(Ortogonal) izdüşüm

FOTOGRAMETRİ I
Tanımlar, Geometrik ve Matemetiksel
Temeller
Yrd. Doç. Dr. Saygın ABDİKAN
Yrd. Doç. Dr. Aycan M. MARANGOZ
JDF329 Fotogrametri I Ders Notu
2015-2016 Öğretim Yılı Güz Dönemi
İzdüşüm merkezi(O): Kamera optik sisteminin
merkezidir.
 İzdüşüm ışını: POP‘doğru parçasını oluşturan ışın.
 Asal uzaklık: Fotoğraf düzlemi ile izdüşüm merkezi
arasında ki uzaklık (c).


Asal Nokta: Bu nokta aynı zaman da kamera
ekseninin fotoğraf düzlemini ve nesne yüzeyini
deldiği H ve H’ noktasıdır.

Ayak ucu (Nadir) Noktası (NN’): İzdüşüm
merkezinden geçen çekül doğrusu fotoğraf ve araziyi
ayak ucu noktasında keser.
Yaşayan,2011

1. Paralel
izdüşüm: Bir d
doğrusuna
paralel izdüşüm
doğruları çizerek
izdüşüm
düzlemini deldiği
noktalar bulunur


2. Dik (Ortogonal)
izdüşüm: Noktalardan
izdüşüm düzlemine dikler
inilir. Bu noktalar nesnenin
izdüşüm noktasıdır. Harita,
dik bir izdüşümdür.
İzdüşüm düzlemi olarak
yeryüzünün belirli bir
noktasına teğet olan bir
düzlem alınır. Genellikle bu
düzey deniz yüzeyine
paralel bir düzlemdir ve dik
izdüşüm küçültülerek
kâğıda aktarılır.


3. Merkezsel izdüşüm:
Uzay noktaları izdüşüm düzlemi dışındaki bir O
noktası ile birleştirilir. Bu doğruların düzlemi deldiği
noktalar ilgili noktaların merkezsel izdüşümüdür. O
noktası izdüşüm merkezidir.
Merkezsel izdüflüm
Pozitif konum
Merkezsel izdüflüm
negatif konum



3. Merkezsel izdüşüm: O izdüşüm merkezi şekildeki gibi, nesne
noktaları ile izdüşüm düzlemi arasında da olabilir.
Fotoğraf, merkezsel bir izdüşlümdür. O izdüşüm merkezi, kamera
optik sisteminin merkezidir.
Tüm izdüşüm ışınları bu noktadan geçer. Geometrik olarak bir harita
ile düşey bir hava fotoğrafı arasında en önemli fark, farklı izdüşüm
sonucu oluşmalarıdır.
Merkezsel izdüflüm
Pozitif konum
Merkezsel izdüflüm
negatif konum
Merkezsel izdüşümün Özellikleri
Üç boyutlu uzayda bir A noktasına karşılık izdüşüm
düzleminde tek bir A‘ noktası vardır.
 İzdüşüm düzlemindeki A‘ noktasına karşılık ise A‘O
izdüşüm ışını üzerinde bulunan sonsuz sayıda nokta
karşılık gelir.
 Ölçme noktalarının bulunduğu uzay, yani arazi üç
boyutludur. Bu noktaların konumları A (X,Y,Z)
koordinatları bir tek fotoğraftan elde edilemez. (ancak
en az iki fotoğraftan elde edilebilir).
 Çifte oran özelliği: bir doğru üzerinde bulunan dört
nokta için yazılacak bir çifte oran, merkezsel
izdüşümde sabittir.
 Merkezsel İzdüşümün Özelliklerini Araştırın !




Üç boyutlu uzaydaki bir d doğrusuna karşılık izdüşüm düzleminde
bir tek d' doğrusu vardır.
İzdüşüm düzlemindeki bir d' doğrusuna d doğrusu ve O izdüşüm
merkezinin belirlediği düzlem üzerinde sonsuz sayıda doğru
parçası karşılık gelir.
Uzayda birbirine paralel olan fakat izdüşüm düzlemine paralel
olmayan doğruların izdüşümleri kesişir
Merkezsel izdüşümde paralel doğrular
İzdüşüm düzlemine paralel olan birbirine
paralel doğrular izdüşüm düzleminde de
birbirine paralel kalır.
 Tek gözümüzde oluşan görüntü aslında
merkezsel izdüşümdür ve çevremizdeki
nesneleri gözlememizde her zaman
perspektif kurallar geçerlidir.


Bir doğru üzerinde bulunan dört
nokta için yazılacak bir çifte
oran, merkezsel izdüşümde
değişmez kalır. Buna çifte oran
özelliği denir.

Bilinen üç doğrultu yardımı ile
fotoğrafta bulunan dördüncü bir
doğrultunun nesne uzayındaki
ya da haritadaki karflılığı
bulunabilir.




Tek bir fotoğraftan ölçme uzayındaki noktaların
X,Y,Z koordinatları elde edilemez.
Ölçme uzayındaki noktalar bir düzlemde
bulunuyorsa, ölçüm için bir tek fotoğraf yeterlidir.
Ölçüm uzayındaki noktaların konumlarının, yani
X,Y,Z koordinatlarının bulunması için başka bir
noktadan çekilmiş ikinci bir fotoğraf gereklidir.
Böylece aynı noktaya ait iki izdüşüm ışını nesne
noktasında kesiştirilebilecektir.
MATEMATİK TEMELLER –
Fotogrametride Kullanılan Koordinat Sistemleri




Fotoğraf Koordinat sistemi
Fotoğraf koordinat sistemi eksenleri cisim koordinat sistemiyle aynı
yönde olan ve sağ el koordinat sistemine uyan xyz koordinat
sistemidir.
Başlangıç noktası O izdüşüm merkezidir. xy düzlemi fotoğraf
düzlemine paralel, z ekseni de kamera ekseni ile çakışıktır. x ekseni
komşu fotoğrafın izdüşüm merkezi doğrultusundadır.
Bu yön hava fotogrametrisinde, yaklaşık olarak uçuş çizgisi
doğrultusudur. Noktaların z koordinatı sabit ve asal uzaklığa eşittir.



Uzay Koordinat Sistemi
Fotogrametride nesne uzayındaki noktalar uzay koordinatları ile
tanımlanır. Uzay koordinat sistemi, X ekseni pozitif yönü uçuş
yönü doğrultusunda (hava fotogrametrisi için), Z ekseni XY
düzlemine dik ve sağ el koordinat sistemine uyan dik bir XYZ
koordinat sistemidir.
Başlangıç noktasının seçimi serbesttir. Ancak Z (H) ekseni her
durumda düşey doğrultuda, XY düzlemi de her zaman yatay bir
düzlemdir
Matematik temeller
Koordinat Dönüşümü

İki boyutlu koordinat dönüşümü (Benzerlik dönüşümü)


İki boyutlu koordinat dönüşümü (Benzerlik dönüşümü)
Başlangıçları farklı, aralarında α kadar dönüklük ve ölçek
• Benzerlik dönüşümünde 1 ölçek, 1 dönüklük ve 2 öteleme parametresi
• İki koordinat sistemi arasındaki dönüşüm parametrelerinin bulunması
için, her iki sistemde de koordinatları bilinen, ortak noktaya ihtiyaç
duyulur.
İki Boyutlu Affin Dönüşümü

İki boyutlu Affin dönüşümü
Kaynak: Yaşayan, 2011
Üç boyutlu koordinat dönüşümü
Başlangıçları aynı olan iki üç boyutlu dik
koordinat sistemi (kartezyen koordinat
sistemi) arasındaki dönüşüm
Bu iki koordinat sistemi arasında bir ölçek
katsayısı ve öteleme varsa, genel bir
üç boyutlu benzerlik dönüşümü formülü
Dönüşüm Matrisi (Ortogonal Matris)
Dönüşüm formüllerindeki λA dönüşüm matrisi
uzunlukları, λ katsayısı oranında değiştirilir.
 Ancak bu durumda şeklin benzerliği değişmez, açılar
aynı kalır.
 Bu nedenle bu dönüşüme benzerlik dönüşümü denir.
λ = 1 durumunda dönüşüm özel bir dönüşümdür ki
buna ortogonal dönüşüm denir.
 Fotogrametride sembolik olarak tanımlanan A
dönüşüm matrisi ortogonal bir matristir.
 Ortogonal matrisin özellikleri nelerdir?


Her eleman kendisinin kofaktörüne eşit ya da
ters işaretlisidir. a11 için bu bağıntılar yazılırsa;






O izdüşüm merkezine paralel
XYZ uzay koordinat sistemi ele alınsın
Elde edilen xyz koordinat sistemi ve bu
eksenler etrafında dönüklük açıları
X-ekseni çevresindeki dönüklük v (omega )
Y-ekseni çevresindeki dönüklük ϕ ( fi )
Z-ekseni çevresindeki dönüklük k ( kappa )


Üç öteleme ve üç dönüklükten oluşan altı
elemana bir fotoğrafın dış yöneltme
elemanları denir.

Bir fotoğrafın altı dış yöneltme elemanı:
izdüşüm merkezinin üç koordinatı
(Xo,Yo,Zo) ve fotoğraf koordinat
sisteminin üç dönüklüğü (v, ϕ, k)’dür.
Fotoğraf koordinat sisteminin arazi koordinat sistemine göre
dönüklüğünü ifade eden A matrisi, her biri ortogonal olan ve düzlem
dönüklükten elde edilen üç matrisin arka arkaya çarpılmaları ile elde
edilen bir matristir.
Av, Aϕ, Ak’ya kısmi dönüklük matrisleri denir. Matris çarpımlarında
sıra önemlidir.


Benzerlik dönüşüm formülleri
A noktasının koordinat dönüşümü:
B noktasının koordinat dönüşümü:
Dönüşüm parametrelerinin hesabı

İki koordinat sistemi arasındaki dönüşüm
parametrelerinin bulunması için, her iki sistemde de
koordinatları bilinen, ortak noktaya ihtiyaç duyulur.

P1 ve P2 noktalarının 1. koordinat sistemindeki
koordinatları sırasıyla (x1, y1) ve (x2, y2), 2. koordinat
sistemindeki koordinatlar› (X1, Y1) ve (X2, Y2) olsun.
P1 ve P2 noktaları için dönüşüm denklemleri
aşağıdaki gibi yazılır.