HIZ ve İVME

HIZ ve İVME
AMAÇ:
 Yer-çekimi ivmesini ölçmek
 Sürtünmesiz eğik düzlemde hız-zaman
ilişkisini incelemek
BİLİNMESİ GEREKEN KAVRAMLAR:





Konum vektörü
Yer-değiştirme vektörü
Ortalama hız ve anlık hız
Ortalama ivme ve anlık ivme
Newton yasaları
Konum vektörü: Bir cismin konum vektörü,
bulunduğu koordinat sisteminin merkezinden
cismin bulunduğu noktaya çizilen vektördür.
Yer-değiştirme
Y
d ği ti
V ktö ü Bir
Vektörü:
Bi cisim
i i x1 konumundan
k
d x2 konumuna
k
hareket etmişse, konumundaki değişim yer-değiştirme ile tanımlanır.


x


 x2  x1


yer değiştirme
son konum
ilk konum
konum
Ortalama Hız: Herhangi bir t1 anı ile t2 anı arasında, cismin konumu
x1 noktasından
kt
d x2 noktasına
kt
d ği i
değişiyorsa,
cismin
i i ortalama
t l
hızı,
h
 


x2  x1 x
vort 

t2  t1 t
Konum-zaman
Konum
zaman grafiğinde (t1, x1) noktasından (t2, x2) noktasına
çizilen doğrunun eğimi, cismin t1 ve t2 aralığındaki vort hızına eşittir.
Anlık Hız:
Anlık hız, ortalama hızın Δt →0 durumundaki
limitidir.
limitidir



x dx
d
v  lim

t 0 t dt
Bu tanımdan anlık hız, cismin x konumunun
zamana göre
ö birinci
bi i i türevidir.
tü idi
Yani, konum-zaman grafiğinin herhangi bir
andaki
d ki eğimidir.
i idi
Ortalama İvme: Herhangi bir t1 anı ile t2 anı arasında,


cismin
i i hızı
h v1 ' dden v2' ye ddeğişiyorsa,
ği i
cismin
i i ortalama
tl
ivmesi :
 

v  v v

aort  2 1 
t2  t1 t
m/ s2
Anlık İvme:
Anlık ivme,, ortalama ivmenin Δt→0 durumundaki
limitidir ve herhangi bir t anında hızın ne kadar
hızlı değiştiğini gösterir.




2
v dv

 dv d  dx  d x
a  lim
; a

   2
t  0 t
dt
dt dt  dt  dt
Bu tanımdan anlık ivme, cismin hızının zamana göre birinci
türevidir Yani,
türevidir.
Yani hız-zaman
hız zaman grafiğinin herhangi bir andaki eğimidir.
eğimidir
Sabit İvmeli Hareket :


t  0'da cismin hızı v0 ve konumu xo olsun.


v
t
t
 dv
 




 
a
 dv  adt   dv   adt  a  dt  v (t )  v0  at

dt
dt
v0
0
0


x
t
t
d
 dx
 
 



v
 dx  vdt   v0  at  dt   dx   v0 dt  a  tdt

dt
xo
0
0
12

 
x (t )  xo  v0t  at
2
(Eş-2)
  
Bu iki eşitlikten
ş
t yyok edilirse: v  v  2a   x  x0  (Eş-3)
( ş )
2
2
0
(Eş-1)
Serbest Düşme:
Dünya yüzeyinin yakınlarında tüm cisimler büyüklüğü 9.8 m/s2 ve
yönü dünyanın merkezine doğru olan bir ivmenin etkisinde hareket
ederler.
d l
S b t düşmede
Serbest
dü
d cisimlerin
i i l i ivmesi
i
i sembolik
b lik olarak
l k “g”
“ ” ile
il
gösterilir.
y-ekseni düşeyde ve yukarı yönde alınırsa,
serbest düşmede cismin ivmesi
 
a  g  g  jĵ
 
olur. Bu durumda hareket denklemleri:
  
v  v0  gt
   12
y  y0  v0t  gtt
2
  
2
2
v  v0  2g   y  yo 
(Eş-1)
(E 2)
(Eş-2)
(Eş-3)
(Eş 3)
İvmenin Sabit Olmadığı Durum :
Cismin ivmesi sabit değilse,
değilse cismin hızını v (t ) ve konumunu x (t )
integrasyon yoluyla bulabiliriz.
İntegrasyon analitik olarak veya grafik yaklaşımı ile yapılır.
v
t
t
t
1
1
1
1
dv
a
 dv  adt   dv   adt  v1  v0   adt  v1  v0   adt
dt
v0
t0
t0
t0
t1
 adt
  a(t)  t grafiğinde eğri altında kalan alan
t0
x
t
1
1
dx
v
 dx  vdt   dx   vdt
dt
x0
t0
t1
t1
t0
t0
x1  x0   vdt
d  x1  x0   vdt
d
t1
fiği d eğri
ğ i altında
l d alan
l 
 vdtd  v(t)  t grafiğinde
to
NEWTON YASALARI
Newton’un Birinci Yasası : Eylemsizlik Yasası
Bir cisme net bir kuvvet etkimiyorsa,
etkimiyorsa cisim durumunu korur.
korur
Durgunsa durmaya, hareketliyse aynı hızla hareketine devam eder.
N t ’ İkinci
Newton’un
İki i Yasası:
Y
Bir cisme sıfırdan farklı bir kuvvet etkiyorsa, cisim bir ivme kazanır.
Cisme etkiyen net kuvvet ile cisme kazandırdığı ivme doğru orantılıdır
ve orantı sabiti de o cismin kütlesine eşittir.


Fnet  ma
N t ’ Üçüncü
Newton’un
Ü ü üY
Yasası: Etki-Tepki
Etki T ki Yasası
Y
İki cisim arasındaki etkileşme kuvvetlerinin büyüklükleri aynı,
doğrultuları ters yöndedir.
Yer-çekimi Kuvveti: Bir cisme Dünya tarafından
uygulanan kuvvettir. Dünyanın merkezine doğrudur ve
Newton’ un ikinci yasasına göre şöyle verilir.


Fg  ma  mgĵ


Fg  mg
Ağırlık: Bir cismin ağırlığı, cismin serbest düşmesini engelleyecek
kuvvetin büyüklüğü
y
ğ olarak tanımlanır.
g
y
W
Fnet, y  ma y  W  mg  0  W  mg
mg
Değme Kuvveti: İsminden de anlaşılacağı gibi, bu kuvvetler
birbirleriyle
y temas halindeki yyüzeyler
y
arasında oluşur.
ş İki tür temas
kuvveti vardır. Birincisi temas yüzeyine dik yöndeki “normal
kuvvet”, ikincisi de temas yüzeyine paralel olan “sürtünme kuvveti”
dir.
Normal Kuvvet: Bir cisim bulunduğu
yüzeye bir baskı uygularsa, yüzey deforme
olur ve cisme, temas yüzeyine dik yönde,
ismine “normal kuvvet” diyeceğimiz bir
kuvvet uygular.
uygular Bir masa üzerinde duran
kütlesi m olan bir blok düşünelim.
Fnet, y  ma y  FN  mg  0  FN  mg
Sürtünme kuvveti: Bir cismi bulunduğu
yüzey
ü e üzerinde
ü erinde harekete zorlarsak
orlarsak bir dirençle
karşılaşırız. Bu direnç “sürtünme” olarak
bilinir ve kayma eğilimine ters yöndedir.
Gerilme: Bir cisme bağlı olan ipte oluşan bir kuvvettir ve şu
ö llikl sahiptir:
özelliklere
hi ti
11. Her zaman ip boyunca yönelir
yönelir.
2. Her zaman cismi çekecek yöndedir.
3. İp üzerinde A ve B noktalarında aynı büyüklüktedir.
Sürtünmesiz Eğik Düzlem :
F
F
 max  mg sin   ma 
  a  g sin 

y  N  mg cos   0
x
Makaralı sistem :
m1 ve m2 için Newton' un ikinci yasası, sırasıyla:
F
F
F
y
 T  m1 g  m1a
(Eş-1)
x'
 m2 g sin   T   m2 a
(Eş-2)
(Eş 2)
y'
 N  m2 g cos   0
(Eş-3)
Eş-1 ve Eş-2 denklemlerinden T' yi yok edersek ivme,
 m2 sin   m1 
a
 g bulunur.
 m2  m1 
Atwood düzeneği :
m2  m1 olduğunu kabul edelim:
m1 ve m2 için Newton' un ikinci yasası, sırasıyla:
F
F
y
 T  m1 g  m1a
((Eş-1)
ş )
y
 T  m2 g  m2 a
(Eş-2)
Bu iki denklemden T' yi yok edersek ivme,
 m2  m1 
a
 g bulunur.
 m2  m1 
İKİ BOYUTLU UZAYDA ÇARPIŞMA
ve
Ç
Ş
ESNEK ve ESNEK OLMAYAN ÇARPIŞMA
AMAÇ:
 Cisimlerin çarpışması olayında momentumun korunumu ilkesinin
incelenmesi
 Çarpışmada mekanik enerjinin korunumu ilkesinin incelenmesi
 Ölçüm
Öl ü sonuçlarından
l
d yararlanarak,
l
k çarpışan cisimlerin
i i l i kütlelerinin
kütl l i i
oranının bulunması
BİLİNMESİ GEREKEN KAVRAMLAR
KAVRAMLAR:





Çizgisel momentum
Newton’ un ikinci yasası
Momentumun korunumu
Çarpışma türleri ve kinetik enerjinin korunumu
Merkezi ve merkezi olmayan çarpışma
Çizgisel Momentum :


p  mv

Kütlesi m ve hızı v olan bir cismin çizgisel momentumu


p  mv
ile tanımlanır.
tanımlanır SI sistemindeki birimi kg.m/s
kg m/s' dir.
dir
Momentum ifadesinin her iki tarafının zamana göre türevi alınırsa,





d
d
d
dv
d
dp

 dp


p  mv 
  mv   m
 ma  Fnet  Fnet 
dt dt
dt
dt
b l
bulunur.
Bu ifade Newton' un ikinci yasasının bir başka ifade şeklidir.
"Bir cismin çizgisel momentumunun değişim hızı, o cisme etkiyen
net kuvvetin büyüklüğüne eşittir ve onunla (net kuvvetle) aynı yöndedir".
Bu eşitlik, bir cismin çizgisel momentumunun ancak bir dış kuvvetle
değişebileceğini göstermektedir.
göstermektedir Dış kuvvet sıfır ise
ise, cismin çizgisel
momentumu değişmez.
Parçacık Sistemlerinin Çizgisel Momentumu:

i. parçacığın kütlesi mi , hızı vi ve çizgisel momentumu

pi olsun. n tane parçacıktan oluşan bir sistemin çizgisel
momentumu şu şekilde verilir:
   






P  p1  p2  p3  ...  pn  m1v1  m2v2  m3v3  ...  mn vn  Mvkm
Bir parçacık sisteminin çizgisel momentumu, sistemdeki parçacıkların

toplam kütlesi (M ) ile kütle merkezinin hızının (vkm ) çarpımına eşittir.
Çarpışma ve İtme :
Bir cisme sıfırdan farklı bir dış kuvvet etkidiğinde cismin çizgisel
momentumunun değişebileceğini öğrendik.
 İki cismin çarpışması sürecinde böyle kuvvetler ortaya çıkar.
çıkar
 Bu kuvvetlerin şiddetleri çok büyük ancak, etkime süreleri çok kısadır.
 Çarpışan cisimlerin çizgisel momentumlarındaki değişimin kaynağıdırlar
kaynağıdırlar.
İki cisim arasındaki çarpışmayı
p
y düşünelim. Çarpışma,
p
cisimlerin temas
ettiği ti anında başlar ve temasın kesildiği t s anında biter. Cisimler

çarpışma süresince birbirlerine F (t ) ile verilen değişken bir kuvvet
uygularlar. Bu kuvvetin değişimi Şekil-a' da verilmiştir.


dp
F (t ) 
ile verilir.
dt

Burada p, cisimlerden birisinin çizgisel momentumudur.
ps
ts




dp  F (t )dt   dp   F (t )dt
pi
ti
ts
  

 dp  ps  pi  p  momentumdaki değişim
ti
 ts 
J   F (t )dt
d  " itme
i " veya "impuls
i
l " olarak
l k tanımlanır
l .
ti
Geometrik olarak, F (t )-t grafiği altında kalan alan olarak
tanımlanabilir.
 ts 

J   F (t )dt  Fortt t

 
J  Fortt t
ti
Çarpışan bir
Ç
bi cismin
i i çizgisel
i i l momentumundaki
t
d ki değişime
d ği i eşittir:
itti


J  p
Çizgisel Momentumun Korunumu :
Bir parçacık sistemi üzerine etkiyen net kuvvet



dP 
Fnett  0 
 Fnett  0  P  sabit
dt
Bir parçacık sistemi üzerine dış kuvvet etkimiyorsa, toplam çizgisel

momentum P değişmez.
H h i bir
bi ti anındaki
d ki  H
Herhangi
h i bi
bir t s anındaki
d ki 
Herhangi
çizgisel momentum
 = çizgisel momentum


 


Not : Bir sistem üzerine etkiyen dış kuvvet Fnet  0 ise, iç kuvvetler ne
kadar büyük olursa olsun, çizgisel momentum her zaman korunur.
Çarpışmalarda Momentum ve Kinetik Enerji :
Çarpışmaları iki sınıfta toplamak mümkündür.
"Esnek (elastik)" ve "Esnek olmayan" olmayan çarpışmalar.
Kinetik enerjide bir kayıp yoksa (K i  K s ), çarpışma esnek çarpışmadır.
Kinetik enerjide bir kayıp varsa (K s  K i ), çarpışma esnek olmayan çarpışmadır.
Bu kayıp başka bir enerji formuna dönüşmüştür deriz.
İİki cisim çarpıştıktan sonra birbirine yapışıp birlikte hareket ediyorsa,
cisimler "tamamen esnek olmayan" veya "esnek olmayan tam çarpışma"
yapmıştır deriz. Bu tür çarpışmalar esnek olmayan çarpışma türüdür ve
kinetik enerjideki kaybın en fazla olduğu çarpışma türüdür.
Esnek Olmayan Çarpışma :
B tür
Bu
tü çarpışmalarda,
l d momentum
t korunur
k
ancak
k kinetik
ki tik
enerji korunmaz.




p1i  p2i  p1s  p2 s ; Ki  Ks
Esnek Olmayan Tam Çarpışma :
Bu tür çarpışmalarda, çarpışan cisimler yapışır ve
çarpışmadan sonra birlikte hareket ederler.

v2 i  0 özel durumu için:



m1 

m1v1i  m1V  m 2V  V 
v1i
m1  m2
Bu tür çarpışmalarda kütle merkezinin hızı



p  p2i
m1 
P

 1i

vkm 
v1i
m1  m2 m1  m2 m1  m2
ile verilir.
Bir - Boyutta Esnek Çarpışma :


Kütleleri m1 ve m2 , ilk hızları v1i ve v2 i ,


çarpışmadan sonraki hızları da v1s ve v2 s
olan iki cisim düşünelim.
düşünelim
Bu tür çarpışmalarda hem çizgisel momentum, hem de kinetik enerji korunur.




m1v1i  m2 v2 i  m1v1s  m2 v2 s
(Eş-1)
1
1
1
1
m1v12i  m2 v22i  m1v12s  m2 v22s (Eş-2)
2
2
2
2


İki bilinmeyenli (v1s ve v2 s ) bu iki denklem çözülürse, cisimlerin çarpışmadan
sonraki hızları için şu ifadeler elde edilir:
2m2 
m  m2 

v1s  1
v1i 
v2i
m1  m2
m1  m2
;

v2 s 
2m1  m2  m1 
v1i 
v2i
m1  m2
m1  m2



Esnek Çarpışmada Özel Durum v = 0 :
2i

Az önce elde edilen eşitliklerde v2i  0 yazarsak,


v1s ve v2 s :


m1  m2 
2m2 
m1  m2 
v1s 
v1i 
v2i  v1s 
v1i
m1  m2
m1  m2
m1  m2

v2 s 

2m1  m2  m1 
2m1 
v1i 
v2i  v2 s 
v1i
m1  m2
m1  m2
m1  m2
bulunur. Aşağıdaki özel durumlara göz atalım:
1 m1  m2  m
1.

m  m2 
mm 
v1s  1
v1i 
v1i  0
m1  m2
mm

v2 s 

2m1 
2m 
v1i 
v1i  v1i
m1  m2
mm
Çarpışan cisimler hızlarını değiştirirler.
2. m2  m1 
m1
1
m2
m1
1
m1  m2 
m2



v1s 
v1i 
v1i   v1i
m
m1  m2
1
1
m2
 m1 
2

m
 m1  
2 m1 


2  
v2 s 
v1i 
v1i  2 
v1i

m1
m1  m2
 m2 
1
m2
m1 cismi (küçük cisim) aynı hızla geliş yönünün tersi yönünde hareket eder.
m2 cismi (büyük cisim) ileri yönde çok küçük bir hızla hareket eder (
m1
 1).
m2
3 . m1  m 2 

v1 s
m2
1
m1
m2
1
m1  m 2 
m1 


v1 i 
v1 i  v1 i
m
m1  m 2
1 2
m1

v2 s 
2 m1 
2


v1 i 
v1 i  2 v1 i
m
m1  m 2
1 2
m1
m1 cismi (büyük cisim) neredeyse aynı hızla yoluna devam eder.
m2 cismi ((küçük
ç cisim)) gelen
g
cismin yaklaşık
y ş iki katı bir hızla hareket eder.
İki - Boyutta Çarpışma :
Kütleleri m1 and m 2 olan iki cismin xy -düzleminde
düzleminde
çarpıştıklarını gözönüne alalım.




Sistemin çizgisel momentumu korunur: p1i  p2i  p1s  p2 s
Çarpışma esnek ise kinetik enerji de korunur: K1i  K 2i  K1s  K 2 s
Çarpışmadan önce m2 parçacığının durgun olduğunu, çarpışmadan sonra da
m1 cisminin geliş doğrultusuyla 1 , m2 cisminin de  2 açısı yaptığını varsayalım.
Bu durumda, momentumun ve kinetik enerjinin korunum ifadeleri:
x  ekseni:
k i m1v1i  m1v1s cos 1  m2 v2 s cos  2 (Eş-1)
(E 1)
y  ekseni: 0  m1v1s sin 1  m2 v2 s sin  2
(Eş-2)
1
1
1
2
2
m1v1i  m1v2 s  m2 v22s
2
2
2
(Eş-3)
Y di bilinmeyenli
Yedi
bili
li (m1 , m2 , v1i , v1s , v2 s , 1 ,  2 ) üç
ü tane
t
denklemimiz
d kl i i var. Bunlardan
B l d
herhangi dört tanesinin verilmesi halinde, diğer üçü kolaylıkla bulunabilir.
YİTİRİCİ KUVVETLER
AMAÇ:




Hava rayında sabit hızlı hareketin incelenmesi
Hava rayında sürtünme sabitinin tayini
Hava rayında kızak kütlesinin bulunması
Hava rayında çarpışmanın incelenmesi
BİLİNMESİ GEREKEN KAVRAMLAR:





Kinetik enerji, İş
Potansiyel enerji, İş
M k ik enerji
Mekanik
ji
Korunumlu ve korunumsuz kuvvetler
Vizkozluk kuvveti
Kinetik Energy: Bir cismin hızından dolayı sahip olduğu enerjidir. Hızı
v kütlesi m olan bir cismin kinetik enerjisi şu ifadeye sahiptir:
v,
1
K  mv 2
2
SI sistemindeki birimi kg.m2/s2 = joule ve sembolik olarak J
ile gösterilir.
gösterilir
İşş ((W):
) Kütlesi m olan bir cisme bir F kuvveti uygulandığında
yg
ğ
cisim ivmelenir
ve hızını (v) dolayısıyla da kinetik enerjisini (K) artırabilir veya azaltabilir.
Cismin kinetik enerjisindeki değişim miktarı, F kuvveti tarafından cisme
aktarılan veya cisimden dışarıya alınan enerji (W) kadardır.
Cisme enerji aktarılmışsa W pozitiftir (W > 0) ve F kuvveti cisim üzerinde pozitif
i yapmıştır denir.
iş
d i
Aksine, cisimden dışarıya enerji alınmışsa W negatiftir (W < 0) ve F kuvveti
cisim üzerinde negatif iş yapmıştır denir.
denir
Şekilde kütlesi m olan cisim sürtünmesiz bir yüzeyde
x-ekseni
ekseni yönünde hareket ederken
ederken, üzerine yatayla 

açısı yapacak şekilde bir F kuvveti uygulanıyor.

Newton' un ikinci yasası gereği: Fx  max ' dır. Cismin başlangıçtaki hızının vi


vee d kadarlık
k d l k bir
bi yer-değiştirme
e deği ti e sonundaki
d ki hızının
h
d vs olduğunu
da
ld ğ
varsayalım.
l
Kinematiğin üçüncü denklemi: v 2  v02  2ax d
eşitliğinden,
m Fx
m 2 m 2 m
  v    v0    2ax d  2 d  Fx d   F cos   d
2 m
2
2
2
1 2
1
mvi ; K s  mvs2  K =K s  K i  Fd cos 
2
2
 
W  K  W  Fd cos   W  F  d
Ki 
İşin birimi, kinetik enerjinin birimiyle aynıdır (J).
 

NET İŞ : Cisme birden fazla kuvvet etkiyorsa (örneğin FA , FB ve FC ),
p
net işş (Wnet ))' in hesaplanması:
Yol - 1 : Herbir kuvvetin yaptığı işler (WA , WB ve WC ) ayrı ayrı hesaplanır ve
sonra da toplanır (Wnet  WA  WB  WC ).
)




Yol - 2 : Cisim üzerine etki eden net kuvvet (Fnet  FA  FB  FC ) bulunur ve
 
sonra da net kuvvetin yaptığı iş hesaplanır (Wnet  Fnet  d ).
İ - ki
İş
kinetik
tik enerji
ji tteoremii : Wnet  K  K s  K i
Bir cismin kinetik

enerjisindeki değişim  = Cisim üzerinde yapılan net iş 


Wnet  0  K s  K i  0  K s  K i
Wnet  0  K s  K i  0  K s  K i
Değişken K uvvetin Yaptığı İş :
Şekilde, konuma bağlı olarak değişen bir F kuvveti
verilmiştir. Bu kuvvetin xi ile x s noktaları arasında
yaptığı
y
p ğ işi
ş ( W ) bulmak isteyelim.
y
Bunun için  xi , xs  aralığı, genişliği x olan N tane
ince şerite bölünür
bölünür.
j. aralıkta yapılan iş W j  Fj ,ort x kadardır.
kadardır
N
Bu durumda toplam
p
iş,
ş, W   Fj ,ort x olur.
j1
x  0 (N  ) durumunda,
N
xs
j 1
xi
W  lim  Fj ,ort x   F ( x)dx
x  0
xs
W   F ( x)dx   F ( x)  x grafiği altında kalan alan 
xi
İş ve Potansiyel Enerji:
Y
Yer-çekimi
ki i potansiyel
t i l enerjisi:
ji i
•
•
•
Kütlesi m olan bir cisim v0 ilk hızıyla A noktasından
yukarı doğru fırlatılıyor.
fırlatılıyor
Yerçekimi kuvvetinin etkisiyle cisim yavaşlayarak
yükselecek ve B noktasında tamamen duracaktır.
Sonra da,
da aşağı doğru hareket ederek orijinal v0 hızıyla
A noktasına ulaşacaktır.
Cisim A noktasından B noktasına giderken Fg kuvvetinin yaptığı iş W1 =  mgh’ dir.
Bunun anlamı, Fg kuvveti cismin kinetik enerjisini yerçekimi potansiyel enerjisine
(U) dönüşmüştür.
dönüşmüştür
Cisim B noktasından A noktasına düşerken, Fg kuvvetinin yaptığı iş W2 = mgh’ dir.
Bunun anlamı da,
da Fg kuvveti cismin yerçekimi potansiyel enerjisini kinetik enerjiye
dönüştürmüştür.
Sistemin potansiyel enerjisindeki değişim şu ifadeyle verilir:
U  W
Yerçekimi Potansiyel Enerjisi :
Düşey doğrultuda (y-ekseni
ekseni boyunca) yukarı doğru yi noktasından
ys noktasına hareket eden m kütleli bir cisim düşünelim.
Cisme etki eden yerçekimi kuvveti nedeniyle cisim-yer sisteminin
potansiyel
p
y enerjisinde
j
değişim,
ğş ,
yf
ys
ys
yi
yi
yi
U    F ( y)dy     mg  dy  mg  dy  mg  y  y  mg  ys  yi   mg y
ys
i
Cismin bulunduğu
ğ son noktayı
y ggenelleştirirsek U ( y)  Ui  mgg  y  yi 
bulunur.
Genellikle hareketin başladığı konum yi  0 ve bu noktadaki
Genellikle,
potansiyel U i  0 olarak seçilir. Bu durumda,
U ( y )  mgy
bulunur.
Yaydaki Potansiyel Enerji :
Bir kütle-yay sisteminde,
sisteminde blok xi noktasından xs
noktasına hareket etsin. Yay kuvveti bir iş (W )
yapacaktır ve kütle-yay
kütle yay sisteminin potansiyel
enerjisinde bir değişim meydana gelecektir.
xs
U  W    F ( x)dx  
xi
xs
1 2 1 2

kxdx

 kxs  kxi 
x
2
2

i
1 2 1 2
Cismin bulunduğu son noktayı genelleştirirsek U ( x)  U i  kx  kxi
2
2
Genellikle hareketin başladığı konum xi  0 ve bu noktadaki
potansiyel
p
y U i  0 olarak seçilir.
ç
Denge noktasından herhangi bir x uzaklığında,
1 2
yaydaki potansiyel enerji: U  kx
2
Korunumlu ve Korunumsuz Kuvvetler:
Cismin sadece kinetik ve potansiyel enerjileri
arasında bir dönüşüme neden oldukları için,
yerçekimi kuvveti ve yay kuvveti “korunumlu”
kuvvetlerdir.
B
Buna
k
karşın,
sürtünme
ü ü
k
kuvveti
i “korunumlu
k
l olmayan
l
” bir
bi kuvvettir.
k
i
Sürtünmeli bir yüzey üzerinde A noktasından v0 ilk hızıyla harekete
başlayan bir blok düşünelim. Blok ile zemin arasındaki kinetik sürtünme
katsayısı μk olsun. Blok, kinetik sürtünme kuvveti fk etkisiyle d kadar yol
aldıktan sonra B noktasında duracaktır.
A ve B noktaları arasında sürtünme kuvvetinin yaptığı iş Wf =  μkmgd
olacaktır. Sürtünme kuvveti, bloğun tüm kinetik enerjisini “ısı
enerjisi” ne dönüştürmüştür. Bu enerji tekrar kinetik enerjiye
dö ü tü ül
dönüştürülemez
ve bu
b nedenle
d l sürtünme
ü tü
k
kuvveti
ti korunumlu
k
l bir
bi
kuvvet değildir.
1. Kapalı bir yol boyunca, korunumlu bir
kuvvetin bir cisim üzerinde yaptığı net iş
sıfırdır (Şekil-a).
Wnet  0
Yerden yukarı doğru fırlatılan taş ve kütle-yay
kütle yay sistemi buna
birer örnektir. Wnet = Wab,1 + Wba,2 = 0
2. a’ dan b’ ye giden bir cismin üzerine etki eden korunumlu
bir kuvvetin yaptığı iş gidilen yoldan bağımsızdır.
Şekil - a' dan : Wnet = Wab,1 + Wba,2 = 0
Şekil - b' den : Wab,2 =  Wba,2
W
W
abb,11 ab
b,2
2
 Wab,1 =  Wba,2
Mekanik Enerjinin Korunumu :
Bi sistemin
Bir
i
i mekanik
k ik enerjjis
i i, o sistemin
i
i kinetik
ki ik ve potansiyel
i l enerjilerinin
jil i i
toplamı olarak tarif edilir
(M k ik enerji
(Mekanik
ji = Emek  K  U )
Sistemin çevresinden izole olduğunu, dış kuvvetlerin olmadığını
ve sistemdeki kuvvetlerin ise korunumlu olduğunu kabul ediyoruz.
Sistemdeki iç kuvvetin yaptığı iş sistemin kinetik enerjisinde
bir değişim meydana getirecektir.
K  W
(Eş 1)
(Eş-1)
Bu, aynı zamanda sistemin potansiyel enerjisinde de bir
değişim meydana getirecektir
U  W
((Eş-2).
ş ).
Bu iki eşitlik birleştirilirse,
K  U
K s  K i   U s  U i 
Ki  U i  K s  U s
sonucuna ulaşılır.
Bu "mekanik
Bu,
mekanik enerjinin korunumu"
korunumu yasasıdır ve şu şekilde özetlenebilir.
r
Emek.  K  U  0
Korunumlu ve korunumsuz kuvvetlerin olduğu izole bir sistemde bu yasa
Emek.  Wkorunumsuz
f
formundadır.
d d
Burada Wkorunumsuz , sistemdeki tüm korunumsuz kuvvetler tarafından y
yapılan
p
işştir.
Vizkozluk sürtünme kuvveti :
Yatay bir hava rayı üzerinde hareket eden kızağa etkiyen vizkozluk
kuvveti kızağın hızı ile orantılıdır ve


F   bv
eşitliği ile tanımlanır. Burada b , havanın özelliklerine ve düzeneğe
bağlı bir sabittir. Negatif işareti de, sürtünme kuvvetinin daima hıza
ters yönde olduğunu söyler.
Vizkozluk sürtünme kuvveti yukarıdaki gibi tanımlı yatay bir hava
rayı üzerinde v0 ilk hızıyla harekete başlayan bir kızak ne kadar yol
aldıktan sonra durur?
 F  ma

dv
mv  bv
dx
0
b
v dv   m
0
ddv
m  bv
dt

xd
 dx
;
b
dv   dx
m

 v v

mv0
xd 
b
0
b
0  v0    xd  0 
m
dv dv
d
d ddx
dv
d

v
dt dx dt
dx
0
0
b
xd
   x 0
m
Hava rayına küçük bir  açısı vererek, eğik bir
düzlem oluşturulabilir. Eğik düzlemin üst ucu
ile alt ucu arasındaki mesafe x0 olsun ve alt uçta
yaylı bir tampon bulunsun. Bu durumda, üst uçtan
bırakılan kızak, alt uçtan birçok ardışık sıçramaların sonunda duracaktır.
Sistem için vizkozluk sürtünme,
sürtünme yaylı tampon ve rayın
eğikliğini de içine alacak uygun hareket denklemleri
yazılarak çözüme gidilebilir.
gidilebilir Ancak,
Ancak böyle bir çözüm
yerine yaklaşık bir çözüm de sistem hakkında önemli
bilgiler verir.
verir
Vizkozluk kuvvetinin baskın olduğu durum :
Kızağın başlangıçtaki ve ilk sıçrayıştan sonraki
potansiyel enerjisi ve enerji kaybı,
kaybı
U 0  mgh0  mgx0 sin  
   U   mgg sin    x
U 1  mgh
h1  mgx1 sin
i 
olacaktır.
Bu kaybın kaynağı sürtünme kuvvetidir. Ağırlık korunumlu
bir kuvvet olduğu için enerji kaybına yol açmaz. Kızak x0
başlangıç noktasından alt uca gelene kadar sürtünme kuvveti
p
iş;
ş;
tarafından yyapılan
x0
x0
0
0
W   Fdx    bvdx
Sürtünme çok küçükse, kızağın ivmesi a  g sin  alınabilir.
v 2  v02  2ax  v  2ax
x0
3/2
x0
x
W    b 2axdx  b 2a
3 / 2 0
0
2b  2a 

3
1/2
x03/2
Kızak sıçradıktan sonra, viskozluk kuvveti neredeyse aynı işi yapar.
D l
Dolayısıyla
l toplam
l enerji
ji kaybı;
k b
U   mg sin   x  2W
4b  2a  x03/2
2b  2 x0 
x  

3ma
3ma1/2
1/2
3/2
Yükseklikteki değişim, ilk yüksekliğin 3/2. kuvveti ile orantılıdır.
Tampon etkisinin baskın olduğu durum :
Kızağın tampona çarpmadan hemen önceki hızı v1 , sıçramadan
he e sonraki
hemen
ki hızı
h da
d v2 olsun.
l
Tamponun
T
sıçrama katsayısı:
k t
:
e
v2
v1
ile tanımlanır.
Viskozluk sürtünmesinin yol açtığı enerji kaybı çok düşük ise,
K 0  U 0  mgx0 sin  
x1  e 2 x0
K1  v12  2 x1
 2 e  

K1  U1  mgx1 sin  
K 0  v0 
x0
x2  e 2 x1
 x1  x1  x0   1  e 2  x0 ; ilk sıçrama sonunda konum farkı
 x2  x2  x1   1  e 2  x1 ; iki
ikincii sıçrama sonunda
d kkonum farkı
f k
Enerji kaybında vizkozluk sürtünmesi baskın ise,
2b  2 xi 1 
xi  
3ma1/2
3/2
E ji kaybında
Enerji
k b d tampon
t
etkisi
tki i baskın
b k iise,
 xi   1  e 2  xi 1
HAVA MASASINDA BASİT SARKAÇ
ve
YERÇEKİMİ İVMESİNİN ÖLÇÜLMESİ
AMAÇ:
 Basit harmonik hareketin özelliklerini ve bu hareketi
tanımlayan temel kavramları öğrenmek.
 Eğik düzlemde salınan basit sarkaç yardımı ile
yerçekimi ivmesini hesaplamak.
BİLİNMESİ GEREKEN KAVRAMLAR:




Basit harmonik hareket ve hareketle ilgili nicelikler
Basit harmonik hareket yapan cismin hızı ve ivmesi
Basit harmonik hareket yapan cismin enerjisi
Basit harmonik hareket yapan cismin periyodu
Basit Harmonik Hareket :
Şekil a ' da basit harmonik hareket yapan bir cisim resmedilmiştir.
Şekilresmedilmiştir
x(t )  xm cos t   
Cismin yer-değiştirmesi
yer değiştirmesi x(t )  xm co
coss t    bağıntısı ile verilir ve zamanla
nasıl değiştiği Şekil-b' de resmedilmiştir.
x(t )  xm cos t   
Konum fonksiyonu = cismin denge noktasına olan uzaklığı
xm niceliği "genlik" olarak bilinir ve cismin maksimum yer-değiştirmesidir.
 niceliği de hareketin "açısal frekans" ıdır ve
2
  2 f 
T
ifadesine sahiptir. SI sisteminde birimi rad/s' dir.
 t   
ise t anındaki faz aççısıdır ve SI sisteminde birimi rady
yandır.
 niceliği, salınıcının "faz sabitidir" ve salınan cismin t  0 anındaki x(0)
k
konumuna
ve v(0) hızına
h
b ğl d SI sisteminde
bağlıdır.
i
i d birimi
bi i i radyandır.
d d
Bir tam salınım için geçen süre "period (T )" olarak tarif edilir.
SI sistemindeki birimi saniyedir.
Birim zamandaki salınım sayısı "frekans (f )" olarak tanımlanır.
tanımlanır
SI sistemindeki birimi hertz (s -1 )' dir.
x ( t )  x m cos  t   
  0 durumunda x(t )  xm cos t' dir
ve ŞekilŞekil a' da çizilmiştir.
çizilmiştir
Basit Harmonik Salınıcının Hızı :
v(t ) 
dx(t ) d
  xm cos t       xm sin t   
dt
dt
 xm çarpımı hızın alabileceği maksimum
değerdir (vm )).   0 durumunda
v(t )  vm sin t' dir ve Şekil-b' de çizilmiştir.
Basit Harmonik Salınıcının İvmesi :
a (t ) 
ddv (t ) d
   xm sin  t       2 xm cos  t   2 x
dt
dt
 2 xm ivmenin alabileceği maksimum değerdir (am ).
)
  0 durumunda a(t )   2 xm cos t' dir ve Şekil-c' de çizilmiştir
Basit Harmonik Hareket İçin Kuvvet Yasası :
Basit harmonik salınıcı için a (t )   2 x(t ) olduğunu biliyoruz.
Newton' un ikinci yasasına göre: F  ma   m 2 x    m 2  x olur.
"Bir cisme etkiyen net kuvvet ile cismin yer-değiştirmesi arasında,
Hook Yasası olarak bilinen,
bilinen F   C  x şeklinde bir ilişki varsa
(burada C bir sabit), o cisim basit harmonik hareket yapıyor" denir.
Bu durumda, basit harmonik salıcının periyodu
m 2  C   
C
m
2
=
 T  2
olarak
l k bulunur.
b l
T
m
C
Üstte sürtünmesiz bir düzlemde, yay sabiti k olan bir
yaya bağlı
b l m kkütleli
l li cismin
i i hareketi
h k i resmedilmiştir.
dil i i
m kütleli cisme etkiyen net kuvvet Hooke yasasına uyar: F   kx.
Bunu, F  Cx ile karşılaştırırsak C = k bulunur.
Buradan da, hareketin açısal frekansı ve periyodu
C
k
m
m


ve T  2
 2
m
m
C
k
olarak hesaplanır.
Basit Harmonik Hareketin Enerjisi :
Basit harmonik hareket yapan bir cismin mekanik enerjisi E , herhangi bir
anda cismin potansiyel enerjisi U ile kinetik enerjisi K' nın toplamıdır.
1 2 1 2
Potansiyel Enerji: U  kx  kxm cos2 t   
2
2
1 2 1
1 k 2
2 2
2
Kinetik Enerji: K  mv  m xm sin t     m xm sin 2 t   
2
2
2 m
Mekanik
k ik Enerji:
ji E  U  K 
1 2
1 2
k m cos 2 t     sin
kx
i 2 t      kx
k m
2
2
Şekilde
Şe
de potansiyel
pota s ye enerji
e e j "yeş
eşil",, kinetik
et enerji
e e j "kırmızı" ve mekanik
e a
enerji de "siyah" çizgi ile gösterilmiştir. U ve K zamanla değişirken,
E sabittir. Salınım yapan cismin potansiyel
potansiyel ve kinetik ene
enerjileri
arasında dönüşüm olurken, toplamları sabit kalmaktadır.
Burulma Sarkacı :
Eylemsizlik momenti I olan disk
disk, bir tel ile asılmış ve ekseni
etrafında salınım yapmaktadır. Diskin açısal yer-değiştirmesi
 olduğunda telin diske uyguladığı geri çağırıcı tork   
olur. Bu, Hooke yasasının açısal formudur. Burada  telin
burulma sabitidir
sabitidir.
   ile F  C  x ifadelerini karşılaştırırsak, C   buluruz.
Kütlenin de dönmede eylemsizlik momentine karşılık geldiğini
hatırlarsak, salınımın açısal frekansı ve periyodu,

C
I
I


;
T  2
 2
I
I
C

olarak bulunur. Burada I, diskin tele göre eylemsizlik momentidir.
ç
yyer-değiştirme
ğş
de  (t )   m cos t    ifadesine sahiptir.
p
Açısal
Basit Sarkaç :
Sabit bir noktaya
y bağlı
ğ L uzunluğundaki
ğ
ipp ile ipin
p ucuna bağlı
ğ
m noktasal cisminden oluşur. Kütle denge konumundan bir
miktar uzaklaştırılıp serbest bırakılırsa, basit harmonik hareket
yapacaktır.
Biri yerçekimi, diğeri de ipteki gerilme olmak üzere, cisme
etkiyen iki kuvvet vardır. Bu kuvvetlerin oluşturduğu net
tork   r Fg   Lmg sin  ' dır. Burada  , radyan cinsindendir
ve ipin düşey eksenle yaptığı açıdır.   1 ( <5) durumunda,
sin   yaklaşımı yapılabilir ve     Lmg   bulunur.
Bunu, F  C  x ile karşılaştırırsak, C  Lmg buluruz. Kütlenin
de dönmede eylemsizlik momentine karşılık geldiğini hatırlarsak,
salınımın açısal frekansı ve periyodu
C
mgL


I
I
olarak bulunur.
;
I
I
mL2
L
T  2
 2
 2
 2
C
mgL
mgL
g
Küçük-açı yaklaşımında,  1 ve dolayısıyla sin  
kabullenmesini yaptık.
yaptık
“küçük” açı? Neye göre? Nasıl karar vereceğiz?
 ((derece))
 ((radyan)
y )
sin 
5
0.087
0.087
10
01 4
0.174
01 4
0.174
15
0.262
0.259 (~% 1’lik fark)
20
0.349
0.342 (~% 2’lik fark)
Sonuç:  10o durumunda, küçük-açı yaklaşımını kullanabiliriz.
Fiziksel Sarkaç :
Bir O noktasından asılmış ve yerçekimi etkisiyle bu nokta
etrafında salınım yapan katı cisimdir. Cisme etkiyen net tork,
   mgh sin  ifadesine sahiptir. Burada h, Katı cismin kütle
merkezi ile O noktası arasındaki mesafedir.
Küçük-açı
ç
ç yyaklaşımı
ş
(  10) yaparsak,
y p
, net tork
    mgh   olur.
ş ş
C  hmg
g buluruz.
Bunu, F  C  x ile karşılaştırırsak
Kütlenin de dönmede eylemsizlik momentine karşılık geldiğini hatırlarsak,
salınımın
l
açısall frekansı
f k
ve periyodu
i d

C
mgh

I
I
;
T  2
I
I
 2
C
mgh
Burada I , katı cismin O noktasından geçen eksene göre dönme eylemsizlik
momentidir(I  I km  mh2 ).
HAVA MASASINDA SÖNÜMLÜ HARMONİK
HAREKET
AMAÇ:
 Sönümlü harmonik hareketin incelenmesi ve sönüm
sabitinin bulunması.
BİLİNMESİ GEREKEN KAVRAMLAR:




Basit harmonik hareket ve özellikleri
Newton yasaları, Hooke yasası
Sürtünme kuvveti
İki i dereceden
İkinci
d
d basit
b it bi
bir dif
diferansiyal
i ld
denklem
kl
çözümü.
Sönümlü Harmonic Hareket :
Harmonik hareket yapan bir cismin titreşim genliği,
genliği dış bir kuvvetin
etkisiyle azalıyorsa, cisim "sönümlü harmonik hareket" yapıyor denir.
Kütlesi m olan bir cisim,
cisim yay sabiti k olan bir yayın ucunda düşey
doğrultuda salınım hareketi yapmaktadır. Cisme, sıvının içinde olacak
şekilde bir de kanatçık monte edilmiştir.
edilmiştir Sıvının uyguladığı sönüm


kuvveti Fd  bv ile verilir.

Negatif işaret, Fd sönüm kuvvetinin salınım yapan cismin hızına her an ters
yönde olduğunu göstermektedir. b parametresi, "sönüm sabiti" olarak bilinir.
Böylece, m kütleli cisim üzerine etkiyen net kuvvet Fnet  ma  kx  bv ile verilir.
dx
d 2x
d 2x
dx
v
ve a = 2  m 2  b  kx  0
dt
dt
dt
dt
differansiyel
y denklemi elde edilir.
Böyle bir denklemin çözümü de: x(t )  xm e  bt /2 m cos  t   
olur.
Yukarıdaki resimde, x (t ) ' nin zamanla (t ) nasıl değiştiği verilmiştir. Önceki sayfada
verilen
il çözümü,
ö ü ü genliği
liği zamanla
l xm e  bt / 2 m bağıntısına
b ğ t
göre
ö değişen
d ği
cosinüs
i ü fonksiyonu
f k i
gibi düşünebiliriz. Titreşimin genliği   2m / b kadar zamanda maksimum değerinin
1/e' sine düşer.
1/e
düşer Bu zamana,
zamana genlik için durulma zamanı denir.
ir
k
b2

Sönümlü harmonik hareketin açısal frekansı  =
ile verilir.
2
m 4m
Sönümlü harmonik harekette mekanik enerji sabit değildir,
1
E (t )  kxm2 e  bt /2 m bağıntısı uyarınca zamanla azalır.
2
SARMAL YAYDA POTANSİYEL ENERJİ
DEĞİŞİMİNİN ve BASİT SALINIM HAREKETİNİN
İNCELENMESİ
AMAÇ:
 Y
Yay sabiti
bi i ve gerii çağırıcı
ğ
k
kuvvet k
kavramlarının
l
öğrenilmesi
öğ il
i
 Potansiyel enerji ve kinetik enerji kavramlarının öğrenilmesi
 Basit
s ssalınım hareketinin
e e
öğrenilmesi
öğ e
es ve salınım
s
periyodu
pe yodu
ifadesinin bulunması
BİLİNMESİ GEREKEN KAVRAMLAR:




İş, Kinetik enerji, Potansiyel enerji, mekanik enerji
Mekanik enerjinin korunumu
Hooke yasası, yay sabiti ve geri çağırıcı kuvvet
Basit harmonik hareket ve özellikleri, cismin konumu,
hızı ve ivmesi
Kinetik Energy: Bir cismin hızından dolayı sahip olduğu enerjidir. Hızı
v kütlesi m olan bir cismin kinetik enerjisi şu ifadeye sahiptir:
v,
1
K  mv 2
2
SI sistemindeki birimi kg.m2/s2 = joule ve sembolik olarak J
ile gösterilir.
İş (W): Kütlesi m olan bir cisme bir F kuvveti uygulandığında cisim ivmelenir
ve hızını (v) dolayısıyla da kinetik enerjisini (K) artırabilir veya azaltabilir.
Cismin kinetik enerjisindeki değişim miktarı, F kuvveti tarafından cisme
aktarılan veya cisimden dışarıya alınan enerji (W) kadardır.
Cisme enerji aktarılmışsa W pozitiftir (W > 0) ve F kuvveti cisim üzerinde pozitif
işş yyapmıştır
p ş denir.
Aksine, cisimden dışarıya enerji alınmışsa W negatiftir (W < 0) ve F kuvveti
cisim üzerinde negatif iş yapmıştır denir.
Şekilde kütlesi m olan cisim sürtünmesiz bir yüzeyde
x-ekseni
ekseni yönünde hareket ederken
ederken, üzerine yatayla 

açısı yapacak şekilde bir F kuvveti uygulanıyor.

Newton' un ikinci yasası gereği: Fx  max ' dır. Cismin başlangıçtaki hızının vi


vee d kadarlık
k d l k bir
bi yer-değiştirme
e deği ti e sonundaki
d ki hızının
h
d vs olduğunu
da
ld ğ
varsayalım.
l
Kinematiğin üçüncü denklemi: v 2  v02  2ax d
eşitliğinden,
m Fx
m 2 m 2 m
  v    v0    2ax d  2 d  Fx d   F cos   d
2 m
2
2
2
1 2
1
mvi ; K s  mvs2  K =K s  K i  Fd cos 
2
2
 
W  K  W  Fd cos   W  F  d
Ki 
İşin birimi, kinetik enerjinin birimiyle aynıdır (J).
 

NET İŞ : Cisme birden fazla kuvvet etkiyorsa (örneğin FA , FB ve FC ),
p
net işş (Wnet ))' in hesaplanması:
Yol - 1 : Herbir kuvvetin yaptığı işler (WA , WB ve WC ) ayrı ayrı hesaplanır ve
sonra da toplanır (Wnet  WA  WB  WC ).
)




Yol - 2 : Cisim üzerine etki eden net kuvvet (Fnet  FA  FB  FC ) bulunur ve
 
sonra da net kuvvetin yaptığı iş hesaplanır (Wnet  Fnet  d ).
İ - ki
İş
kinetik
tik enerji
ji tteoremii : Wnet  K  K s  K i
Bir cismin kinetik

enerjisindeki değişim  = Cisim üzerinde yapılan net iş 


Wnet  0  K s  K i  0  K s  K i
Wnet  0  K s  K i  0  K s  K i
İş ve Potansiyel Enerji:
Y
Yer-çekimi
ki i potansiyel
t i l enerjisi:
ji i
•
•
•
Kütlesi m olan bir cisim v0 ilk hızıyla A noktasından
yukarı doğru fırlatılıyor.
fırlatılıyor
Yerçekimi kuvvetinin etkisiyle cisim yavaşlayarak
yükselecek ve B noktasında tamamen duracaktır.
Sonra da,
da aşağı doğru hareket ederek orijinal v0 hızıyla
A noktasına ulaşacaktır.
Cisim A noktasından B noktasına giderken Fg kuvvetinin yaptığı iş W1 =  mgh’ dir.
Bunun anlamı, Fg kuvveti cismin kinetik enerjisini yerçekimi potansiyel enerjisine
(U) dönüşmüştür.
dönüşmüştür
Cisim B noktasından A noktasına düşerken, Fg kuvvetinin yaptığı iş W2 = mgh’ dir.
Bunun anlamı da,
da Fg kuvveti cismin yerçekimi potansiyel enerjisini kinetik enerjiye
dönüştürmüştür.
Sistemin potansiyel enerjisindeki değişim şu ifadeyle verilir:
U  W
Yerçekimi Potansiyel Enerjisi :
Düşey doğrultuda (y-ekseni
ekseni boyunca) yukarı doğru yi noktasından
ys noktasına hareket eden m kütleli bir cisim düşünelim.
Cisme etki eden yerçekimi kuvveti nedeniyle cisim-yer sisteminin
potansiyel
p
y enerjisinde
j
değişim,
ğş ,
yf
ys
ys
yi
yi
U    F ( y)dy     mg  dy  mg  dy  mg  y  y  mg  ys  yi   mg y
ys
i
yi
Cismin bulunduğu
ğ son noktayı
y ggenelleştirirsek U ( y)  Ui  mgg  y  yi 
bulunur.
Genellikle hareketin başladığı konum yi  0 ve bu noktadaki
Genellikle,
potansiyel U i  0 olarak seçilir. Bu durumda,
U ( y )  mgy
bulunur.
Yaydaki Potansiyel Enerji :
Bir kütle-yay sisteminde,
sisteminde blok xi noktasından xs
noktasına hareket etsin. Yay kuvveti bir iş (W )
yapacaktır ve kütle-yay
kütle yay sisteminin potansiyel
enerjisinde bir değişim meydana gelecektir.
xs
xs
xi
xi
U  W    F ( x)dx  
 kxdx 
1 2 1 2
kxs  kxi
2
2
1 2 1 2
Cismin bulunduğu son noktayı genelleştirirsek U ( x)  U i  kx  kxi
2
2
Genellikle hareketin başladığı konum xi  0 ve bu noktadaki
potansiyel
p
y U i  0 olarak seçilir.
ç
Denge noktasından herhangi bir x uzaklığında,
1 2
yaydaki potansiyel enerji: U  kx
2
Mekanik Enerjinin Korunumu :
Bi sistemin
Bir
i
i mekanik
k ik enerjjis
i i, o sistemin
i
i kinetik
ki ik ve potansiyel
i l enerjilerinin
jil i i
toplamı olarak tarif edilir
(M k ik enerji
(Mekanik
ji = Emek  K  U )
Sistemin çevresinden izole olduğunu, dış kuvvetlerin olmadığını
ve sistemdeki kuvvetlerin ise korunumlu olduğunu kabul ediyoruz.
Sistemdeki iç kuvvetin yaptığı iş sistemin kinetik enerjisinde
bir değişim meydana getirecektir.
K  W
(Eş 1)
(Eş-1)
Bu, aynı zamanda sistemin potansiyel enerjisinde de bir
değişim meydana getirecektir
U  W
((Eş-2).
ş ).
Bu iki eşitlik birleştirilirse,
K  U
K s  K i   U s  U i 
Ki  U i  K s  U s
sonucuna ulaşılır.
Bu "mekanik
Bu,
mekanik enerjinin korunumu"
korunumu yasasıdır ve şu şekilde özetlenebilir.
r
Emek.  K  U  0
Korunumlu ve korunumsuz kuvvetlerin olduğu izole bir sistemde bu yasa
Emek.  Wkorunumsuz
f
formundadır.
d d
Burada Wkorunumsuz , sistemdeki tüm korunumsuz kuvvetler tarafından y
yapılan
p
işştir.
Denge durumunda,
1
1
F

0

kx

mg

x

mg


 
 W
k
k
x(m)
Eğim=1/k
W(N)
s durumunu gravitasyonel potansiyel enerjinin sıfır
olduğu referans noktası olarak kabul edelim. Kütle
"i" noktasından serbest bırakılsın ve "s" noktası da
dönüm noktası olsun. Sistemde sürtünme yoksa,
E  0  K  U g  U yay  0
yazılabilir.
Hem "i" hemde "s" konumlarında cisim durgun olduğu için:
1 2 1 2
K  mvs  mvi  0
2
2
"s" referans noktasına göre gravitasyonel potansiyel enerjideki değişim:
U g  0  mg ( x2  x1 )  mg ( x2  x1 )
Yaydaki esneklik potansiyel enerjisindeki değişim:
1
1
1
U yay  kx22  kx12  k  x22  x12 
2
2
2
K  U g  U yay
1
0
(
)
  mg x2  x1  k  x22  x12   0
2
1
k  x22  x12   mg ( x2  x1 )
2
Kütle-yay sisteminden oluşan basit harmonik hareketin periyodu:
T  2
m
k
Farklı yay sabitlerine sahip yaylara aynı m kütlesi
T2
bağlayarak basit harmonik hareket yapan sistemler
oluşturulabilir. Her bir sistemin periyodunun karesi,
Eğim=42m
1/k' ya karşı çizilirse bir doğru elde edilir. Doğrunun
1/k
eğimi 4 2 m ifadesine eşittir.
Yay sabiti k olan bir yaya farklı m kütleleri bağlayarak
basit harmonik hareket yapan sistemler oluşturulabilir.
Her bir sistemin periyodunun karesi
karesi, m' ye karşı çizilirse
bir doğru elde edilir. Doğrunun eğimi 4 2 / k ifadesine
eşittir
eşittir.
T2
Eğim=42/k
m
DURAN DALGALAR
AMAÇ:
 Bir ip üzerinde duran dalgaları gözlemek
 Bir sicimde duran dalganın dalga boyunun, sicimdeki
ggerilimin karekökü ile orantılı olduğunu
ğ
ggöstermek
 Hava sütununda duran dalgaları oluşturarak sesin hızını
ölçmek
BİLİNMESİ GEREKEN KAVRAMLAR:




Dalga çeşitleri
Dalgaların üst-üste binme ilkesi ve girişim
Bir ipte ilerleyen dalga
Dalganın genliği, dalga boyu, periyodu, frekansı, fazı
ve yyayılma
y
hızı
 Duran dalgalar ve rezonans
Dalga, boşlukta ve madde içinde sabit hızla yayılabilen ritmik bir olay
olarak tanımlanabilir. Dalgaları
g
üç g
gruba ayırmak
y
mümkündür:
1. Mekanik dalgalar: Bu dalgalar yayılmak için maddesel bir ortama
ihtiyaç duyarlar.
duyarlar Dalgayı oluşturan hareketler Newton yasalarına uyarlar.
uyarlar
Ses, su ve sismik dalgalar mekanik dalgalara örneklerdir.
2 El
2.
Elekromanyetik
k
ik dalgalar:
d l l
B dalgalar
Bu
d l l yayılmak
l k için
i i bir
bi ortama ihtiyaç
ih i
duymazlar, boşlukta da yayılabilirler. Maxwell denklemlerine uyan ve
yayılma
y
y
doğrultusuna
ğ
dik bir düzlemde,, birbirlerine dik bir şşekilde
titreşen elektrik ve manyetik alanlardan oluşur. Radyo dalgalarından
başlayıp, mikrodalga, kızılötesi, görünür bölge, morötesi, x-ışını, gama
ışınlarına
l
k d geniş
kadar
i bir
bi yelpazeye
l
sahiptir.
hi ti Bütün
Bütü elektromanyetik
l kt
tik
dalgalar boşlukta ışık hızı ile hareket ederler.
3. Maddesel dalgalar: Schrodinger denklemi uyarınca elektron, proton,
nötron, atom gibi mikroskobik parçacıklara bir dalga eşlik eder. Bu
dalgalara maddesel dalgalar adı verilir.
verilir
Enine ve Boyuna Dalgalar :
Dalganın titreşim doğrultusu yayılma doğrultusuna
dik ise, bu tür dalgalara "enine dalga" denir. Şekil-a
buna bir örnektir. Dalga x-ekseni yönünde ilerlerken,
ipteki her element y -ekseni boyunca titreşmektedir.
Dalganın titreşim doğrultusu yayılma doğrultusuna paralel ise,
bu tür dalgalara "boyuna dalga" denir (Şekil
(Şekil-b).
) Hava dolu
bir tüp içindeki pistonun ileri-geri hareketi sonucu, tüpteki
y oluşan
ş dalga.
g Tüpp içindeki
ç
hava moleküllerinin hareketiyle
hava moleküllerinin titreşim doğrultusu ile dalganın yayılma
doğrultusu birbirine paraleldir. Bir diğer örnek, bir ucu sabit
diğer ucun ileri-geri hareket ettirilerek yayda oluşturulan dalga.
Dalgalarla İlgili Nicelikler :
Dalga boyu (): Yatay eksen konum olmak
üzere, ardışık iki tepe veya çukur arasındaki
esa eye eş
eşittir.
tt .
mesafeye
Genlik (A): Dalga üzerindeki bir noktanın,
d
denge
noktasından
kt
d olan
l maksimum
ki
uzaklığıdır.
kl ğ d
Periyod (T) : Belirli bir x noktasında,
noktasında ardışık iki
tepe veya çukur geçen zamandır. Birimi saniye’
dir.
Frekans (f): Belirli bir x noktasında, saniyede
geçen tepe sayısıdır.
sayısıdır Birimi s-1 veya Hertz
Hertz’ tir.
tir
y ( x, 0)  f ( x)
y ( x, t )  y ( x  vt , 0)
y ( x, t )  f ( x  vt )
Sola doğru ilerleyen dalga için : y ( x, t )  f ( x  vt )
Yanda
Y
d +x
+ yönünde
ö ü d v hızıyla
h l ilerleyen
il l
sinüzoidal
i ü id l bir
bi
dalga verilmiştir. Kırmızı t = 0 anındaki dalgayı ve
mavi de herhangi bir t anındaki dalgayı temsil
etmektedir.
t  0 'da  y ( x, 0)  A sin(ax)
x  0 ve x 


konumlarında y (0, 0)  y ( , 0)
2
2


2
 2
 y ( x, 0)  A sin 
sin( a )  0  a    a 

2
2
 

x  bulunur.

 2

 x yönünde v hızıyla ilerleyen bir dalga için : y ( x, t )  A sin   x  vt  


x

  x t 
 v   y ( x, t )  A sin  2    
v
t
T
   T 
Herhangi bir t anında dalga x, x +  , x + 2 , ... noktalarında aynı genliğe sahiptir.
Herhangi bir x noktasında dalga t , t + T , t + 2T, ... anlarında aynı genliğe sahiptir.
2





2
   açısal frekans   y ( x, t )  A sin  kx  t 
T




v f 

T
k
 k  dalga sayısı
t  0 'da
da y  0  y ( x, t )  A sin  kx  t   
;
  faz açısı
İpteki dalganın hızı :
Birim uzunluğunun kütlesi  olan bir ipte ilerleyen
bir dalga
g düşünelim. İpteki
p
ggerilme kuvveti T olsun.
İpin l uzunluğundaki bir parçasını ele alalım.
Seçilen
S
il elemanı
l
R yarıçaplı
l bir
bi çember
b üzerindeki
ü i d ki yay parçası gibi
ibi düşünebiliriz.
dü ü bili i İp
İ
üzerindeki net kuvvet çemberin merkezine doğrudur ve büyüklüğü F  2T sin  ' dir.
l
l
Burada   1 kabullenmesi yaparsak  sin   
 F T
(Eş - 1)
2R
R
v2
v2
Newton' un ikinci yasasına göre: F  m =  l 
Newton
(Eş - 2)
R
R
v2
l
T
Bu iki eşitlik
ş
birleştirilirse:
ş
 l   T  v  .
R
R

Not : Dalganın hızı v ipin kütle yoğunluğuna ve ipteki gerilme kuvvetine bağlıdır.
Dalganın titreşim frekansına bağlı değildir.
Dalgaların Girişimi :
Genlikleri ve frekansları aynı, aralarında  faz farkı bulunan,
x-ekseni boyunca yayılan iki dalga düşünelim. Bu iki dalganın
birleşmesi olayına girişim diyoruz. Dalga fonksiyonları:
y1 ( x, t )  ym sin  kx  t 
y2 ( x, t )  ym sin  kx  t   
ifadelerine sahip olsun.
y  y1  y2  y  x, t   ym sin  kx  t   ym sin  kx  t   
 



y  x, t    2 ym cos  sin  kx  t  
2 
2

Sonuç dalga
dalga, aynı frekansta titreşen,
titreşen faz farkı  /2 olan ve genliği
ym  2 ym cos

2
ifadesine sahip bir dalgadır.
Yapıcı Girişim :
Sonuçç dalganın
g
ggenliği,
ğ , faz farkı   0 olduğunda
ğ
maksimumdur.
ym  2 ym cos

2  0
 2 ym
Dalga fonksiyonu,


y  x, t    2 ym  sin  kx  t  
2

olur ve bu duruma tamamen yapıcı girişim denir.
Yıkıcı Girişim :
Sonuç dalganın genliği, faz farkı    olduğunda minimumdur.
ym  2 ym cos

0
2
D l fonksiyonu
Dalga
f ki
y   x, t   0
olur ve bu duruma tamamen yıkıcı girişim denir.
denir
D
Duran
D
Dalgalar
l l : Frekansları
F k l ve genlikleri
likl i aynı, ters
t yönlerde
ö l d ilerleyen
il l
iki dalga
d l
düşünelim.
y1  x, t   ym sin  kx  t  ve y2  x, t   ym sin  kx  t  .
Bu iki dalganın girişimiyle oluşacak sonuç dalga,
y  x, t   y1  x, t   y2  x, t 
y  x, t   ym sin  kx  t   ym sin  kx  t    2 ym sin kx  cos t
olur. Bu ilerleyen bir dalga değil, genliği konuma bağlı olan ve  açısal frekansı
ile titreşen bir dalgadır. Bu tür dalgalara "duran dalga" denir.
Sonuç dalga fonksiyonu: y  x, t    2 ym sin kx  cos t
Konuma bağlı genlik
: 2ym sin kx.
Düğüm Noktaları : Duran dalga genliğinin sıfır olduğu noktalardır.
n  0,1, 2,... olmak üzere, kx  n eşitliğini sağlayan x konumlarında
ortaya çıkarlar.
2

x  n  xn  n

2
; n  0,1, 2,...
Karın Noktaları : Duran dalga genliğinin maksimum olduğu noktalardır.
1

n  0,1, 2,... olmak üzere, kx   n    eşitliğini sağlayan x konumlarında
2

ortaya çıkarlar.
2
1
1


x   n     xn   n   ; n  0,1, 2,...

2
2 2


Not - 1 : Ardışık iki düğüm noktası veya karın noktası arasındaki mesafe
 /2' ye eşittir.
Not - 2 : Bir düğüm noktası ile karın noktası arasındaki mesafe  /4' e eşittir.
Duran Dalgalar ve Rezonans :
A ve B noktalarından sabitlenmiş L uzunluğunda gergin
bir ipp düşünelim.
ş
A noktasından sağa
ğ doğru
ğ ilerleyen
y bir
dalga B noktasından yansıyarak sola doğru ilerler ve A
noktasından yansıyıp tekrar sağa doğru ilerler. Böylece,
aynı sicim üzerinde yarısı sağa doğru diğer yarısı da sola
doğru ilerleyen çok sayıda üst-üste binmiş dalgalara sahip
oluruz.
l
Üst-üste binen bu dalgalar, belirli frekanslarda duran
dalga oluşturur. Bu duruma rezonans durumu diyoruz.
Rezonansın oluştuğu frekansa da sistemin rezonans
frekansı denir.
Rezonans durumu, sistemin sınır koşulları sağlandığında ortaya çıkar. Bu problemde
sınır koşulu, genliğin A ve B noktalarında sıfır olmasıdır.
İlk rezonans Şekil-a' da verilmiştir. Duran dalganın biri A' da diğeri
B' de olmak üzere iki düğüm noktası vardır.
L
1
 1  2L
2
İkinci rezonans Şekil
Şekil-b'
b de verilmiştir. Duran dalganın, ikisi A ve B
B' de
olmak üzere üç tane düğüm noktası vardır.

L  2      2  L
2
Üçüncü rezonans Şekil-c' de verilmiştir. Duran dalganın, ikisi A ve B' de
olmak üzere dört tane düğüm noktası vardı
vardırr.
2

L  3      3  L.
3
2
Rezonans durumunda, n  1, 2,3,... olmak üzere, dalgaboyu ve frekans:
2L
v
v
ve
fn 
n 
n
n
n
2L
ifadelerine sahiptir.