tc sakarya üniversitesi fen edebiyat fakültesi fizik bölümü

1
T.C.
SAKARYA ÜNİVERSİTESİ
FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ
FİZİK BÖLÜMÜ
ELEKTROMANYETİK TEORİ
7.2 ELEKTROMAGNETİK İNDÜKSİYON
2
İÇİNDEKİLER
7.2.1 FARADAY YASASI ........................................................................ 3
7.2.2 İNDÜKTANS ................................................................................ 9
7.2.3 MAGNETİK ALANDA ENERJİ ...................................................... 14
3
7.2.1 FARADAY YASASI
Sabit manyetik alan içinde iletken bir çerçeveyi hareket ettirdiğimizde oluşan emk için akı kuralı:
𝜀=
−𝑑𝜑
𝑑𝑡
Peki, çerçeveyi sabit tutup mıknatısı zıt yönde hareket ettirirsek ne olur? Aynı emk’nin
oluştuğunu söylersem herhalde pek şaşırmazsınız-önemli olan çerçeve ile mıknatısın bağıl hareketidir.
Gerçekten de özel görelilik teorisine göre, bunun böyle olması gerekir. Bu durum Faraday tarafından
deneysel olarak gözlendiğinde, görelilik teorisi daha ortada yoktu; klasik elektromanyetik teori
çerçevesinde bu olgu önemli sonuçlar doğurur. Eğer çerçeve hareket ediyorsa emk manyetik kuvvet
tarafından oluşturulur; fakat çerçeve durgunken mıknatıs hareket ediyorsa kuvvet manyetik kökenli
olamaz- durgun yükler üzerinde manyetik kuvvet yoktur. Bu durumda, itici kuvvet nereden
kaynaklanır? Duran yüklere kuvvet uygulayan bu alan nasıl bir alandır? Yanıt: bir elektrik alan! Ama
elektrostatik türden değil, çünkü elektrostatik alanın emk oluşturamayacağını biliyoruz (∮ 𝐸⃗ . 𝑑𝑙 = 0).
Bu yeni tür elektrik alan mıknatısın hareket ediyor olmasından, yani manyetik alanın değişiyor
olmasından kaynaklanmalıdır. O halde, değişen manyetik alan bir elektrik alan oluşturur.
Bu emk durgun manyetik alanda hareket eden çerçevenin emk’sine eşit olduğuna göre;
𝑑𝜑
∮ 𝐸⃗.𝑑𝑙 =𝜀 = − 𝑑𝑡
olur.
(7.14)
Bu Faraday Yasasının integral ifadesidir. Bunun diferansiyel ifadesini Stokes Teoremi yardımıyla
kolayca bulabiliriz.
⃗
⃗ × 𝐸⃗ ).d𝑎= - 𝑑 ∫ 𝐵
⃗ .𝑑𝑎=-∫ 𝜕𝐵 ∙ 𝑑𝑎
∮ 𝐸⃗ .𝑑𝑙 =∫(∇
𝑑𝑡
𝜕𝑡
(7.15)
Yüzey integrallerinin eşitliğinden şu sonuç yazılabilir:
⃗
⃗∇ × 𝐸⃗ = - 𝜕𝐵
𝜕𝑡
⃗ × 𝐸⃗ = 0 veya ∮ 𝐸⃗ .𝑑𝑙 =0 olur, yani statik durumu elde ederiz.
Eğer manyetik alan sabitse, ∇
Yukarıda sözü edilen iki deney aynı formülü (𝛆 =
−𝐝𝛗
)
𝐝𝐭
sağladıkları için birbirine eşdeğer gibi
görünse de, fiziksel açıklamaları tümden farklıdır. Çerçeve hareket ettiğinde, Lorentz kuvveti oluşur ve
emk manyetik kuvvetten kaynaklanır. Mıknatıs hareket ettiğinde ise, Faraday yasasına göre, emk
elektriksel kuvvetten kaynaklanır. Bu açıdan bakıldığında, iki farklı sürecin aynı emk ye yol açması
4
gerçekten şaşırtıcıdır. Einstein’ı görelilik teorisini bulmaya iten, klasik elektromanyetik teorideki bu
‘rastlantı’ idi.
Hareket kaynaklı emk ile Faraday emk si arasındaki paralelliği gösterebilmek için, ikinci deneyde
⃗⃗ ’deki değişmenin nedeni ne olursa olsun, Faraday Yasası geçerlidir:
mıknatısın hareket eder. Oysa , 𝑩
Bu değişme mıknatısın hareketinden kaynaklanabilir veya mıknatısın şiddeti değişebilir (birileri
solenoitteki akımı kurcalıyor olabilir). İletken çerçeve manyetik alanın neden değiştiğini bilemez.
Önemli olan, çerçeve içinden geçen manyetik akının değişmesidir. Böyle olduğunda, manyetik alanın
değişmesine eşlik eden bir elektrik alan oluşur.
Faraday Yasasındaki eksi işaretini doğru kullanmak bazen insanı uğraştırabilir. Bunu
kolaylaştırmak üzere Lenz Kuralı denilen bir yol vardır.
İndüksiyon yoluyla oluşabilecek akım, kendisini doğuran manyetik akıdaki değişikliğe
karşı koyacak yönde olur.
Akı azalıyorsa, oluşan akımın manyetik alanı, akıyı arttıracak yönde olur; akı artıyorsa akım ters
yönde oluşur. İndüksiyon akımı, akının kendisine değil, akıdaki değişime karşıdır. Faraday İndüksiyonu
bir tür eylemsizlik olayıdır: İletken bir çerçeve kendi içindeki akının sabit olmasını ister. Akı değiştiğinde,
çerçeve bu değişmeye karşı koyacak yönde bir akım oluşturarak yanıt verir( Çerçeve bunu tam olarak
başaramaz; indüksiyon akımı orijinal akımın sadece bir kesri kadar olur; Lenz Kuralı sadece akımın
yönünü belirtir.
ÖRNEK 7.5 Zıplayan halka deneyi:
Demir bir çubuğun etrafına solenoid şeklinde tel sarılır (demirin görevi manyetik alanı arttırmaktır) ve
üst tarafına metal bir halka yerleştirilir. Solenoite akım verildiğinde halkanın birkaç metre havaya
zıpladığı görülür. Neden?
Şek.7.21
Çözüm: Akım vermeden önce halka içindeki akı sıfırdı. Sonra halka içinden( şekilde yukarı yönde) geçen
manyetik akıdan dolayı bir indüksiyon emk si ve dolayısıyla indüksiyon akımı oluşur. Lenz Kuralına göre,
5
akımın yönü öyle olmalıdır ki, bunun manyetik alanı halka içindeki ilk akıyı azaltacak şekilde olsun. O
halde, indüksiyon akımı solenoitteki akıma zıt yönde olur. Zıt yöndeki akımlar birbirini ittiğinden, halka
havaya fırlar.
Değişken bir manyetik alanın yol açacağı indüksiyon elektrik alanını hesaplamak için, Faraday
Yasası ve Amper Yasası arasındaki benzerlikten yararlanılır. Faraday Yasası:
⃗
⃗ × 𝐸⃗ = - 𝜕𝐵
∇
𝜕𝑡
Ve Amper Yasası:
⃗ × 𝐵
⃗ = 𝜇° .⃗𝐽
∇
Elbette sadece rotasyonelden elektrik alanı bulamayız; diverjansını da bilmeliyiz. Fakat 𝐸⃗ alanı
⃗ ’deki değişmeden kaynaklanıyorsa ortamda serbest yük
sadece Faraday indüksiyon alanı ise, yani 𝐵
yoğunluğu olmaz ve Gauss Yasasına göre;
𝛻⃗ ⋅ 𝐸⃗ = 0 olur.
Manyetik alan içindeki diverjans daima sıfırdır.
𝛻⃗ ⋅ 𝐵 = 0
Görüldüğü gibi, tam bir paralellik vardır. Buna göre magnetostatik alan 𝜇0 .𝐽 ile nasıl
⃗ ∕ 𝜕𝑡) ile öyle belirlenir. Biot- Savart yasası:
belirleniyorsa, Faraday indüksiyon elektrik alanı da −(𝜕𝐵
̂
⃗ = 𝜇0 ∫ 𝐽𝑥𝑅
𝐵
𝑑𝑟
4𝜋
𝑅2
Bu ifadenin elektrik alan için paraleli şöyle olmalıdır:
−1
𝐸⃗ = 4𝜋 ∫
⃗ ∕𝜕𝑡)𝑥𝑅̂
(𝜕𝐵
𝑅2
𝜕
1
𝑑𝑟=𝜕𝑡 (− 4𝜋 ∫
⃗ 𝑥𝑅̂
𝐵
𝑑𝑟)
𝑅2
(7.18)
Parantez içindeki ifade 𝐴 vektör potansiyelidir. Buna göre;
𝜕𝐴
𝐸⃗ = − 𝜕𝑡
Olur. Bu sonucu kontrol etmek için rotasyonelini alalım:
⃗
𝜕
𝜕𝐵
𝛻⃗𝑥𝐸⃗ = 𝜕𝑡 (𝛻⃗𝑥𝐴) = − 𝜕𝑡
Eğer sistemin simetrisi varsa, Ampere yasasının integral ifadesi de kullanılabilir:
(7.19)
6
⃗ .d𝑙 =𝜇° .𝐼𝑖ç
∫𝐵
Buna göre paralel indüksiyon elektrik alan ifadesi,
∮ 𝐸⃗ ⋅ 𝑑𝑖 = −
𝑑𝜑
𝑑𝑡
(7.20)
olur. Yani, seçtiğimiz Ampere çevrimi içindeki 𝜇° .𝐼𝑖ç yerine, akı değişimi alınır.
Örnek 7.6:
Şek.7.23
Şekildeki taralı bölgede, yukarı yönde ve düzgün ⃗⃗⃗⃗
𝐵0 (t) manyetik alanı zamanın fonksiyonu olarak
değişmektedir. İndüksiyon elektrik alanı bulunuz.
Çözüm: r yarıçaplı Ampere çevrimi seçilir ve Faraday Yasası uygulanır:
𝑑𝜑
∮ 𝐸⃗ ⋅ 𝑑𝑖=E(2𝜋r)= − = −
𝑑𝑡
𝑑
𝑑𝐵
(𝜋𝑟 2 𝐵𝑜 (𝑡))=−𝜋𝑟 2 𝑑𝑡0
𝑑𝑡
Buradan sonuç bulunur:
𝑟 𝑑𝐵0
𝑑𝑡
E=− 2
𝐸⃗ alanı çembere teğet yönde, tıpkı düzgün akım yoğunluğu geçen telin manyetik alanı gibi, olur.
𝐵0 artıyorsa, yukarıdan bakıldığında 𝐸⃗ saat yönünde dolanır.
Örnek 7.7:
7
Şek.7.25
R yarıçaplı çember şeklinde bir tekerlek çevresine 𝜆 boyca yük yoğunluğu konulmuştur. Tekerlek
orta noktasından tavana asılmış olup yatay bir düzlemde serbestçe dönebilmektedir. Tekerlek içinde a
yarıçapına kadar olan bölgede yukarı yönde düzgün ⃗⃗⃗⃗
𝐵0 manyetik alanı bulunmaktadır. Manyetik alan
birden sıfırlanıyor. Tekerlek ne yapar?
Çözüm:
Değişen manyetik alanın oluşturduğu indüksiyon elektrik alanı tekerleğe teğet yönde dolanır. Bu
elektrik alan tekerlek çevresindeki yüklere bir kuvvet uygulayıp tekerleği döndürür. Lenz kuralına göre,
dönüş yolu öyle olmalıdır ki, hareketli yüklerin manyetik alanı, yukarı yöndeki akıyı geri getirebilmelidir.
Buna göre dönüş, şekilde gösterildiği gibi, yukarıdan bakıldığında saat yönü tersine olur.
Faraday yasasına göre
𝑑𝜑
𝑑𝐵
∮ 𝐸⃗ ⋅ 𝑑𝑙 = − 𝑑𝑡 = 𝜋𝑎2 𝑑𝑡
Olur. Tekerlek çevresindeki küçük d𝑙 elemanı üzerindeki tork (𝑅⃗ 𝑥𝐹 ) veya (𝑅𝜆𝐸) dl olur. Tekerlek
üzerindeki toplam tork
𝑑𝐵
N=R𝜆∮ 𝐸 𝑑𝐿 = −𝑅𝜆𝜋𝑎2 𝑑𝑡
ve tekerleğin kazandığı toplam açısal momentum:
0
N.dt=-R𝜆𝜋𝑎2 ∫𝐵 𝑑𝐵=𝑅𝜆𝜋𝑎2 𝐵0 olur.
°
Bu sonuca göre, magnetik alanın sıfırlanma hızı önemsizdir, tekerleğin son açısal hızı aynı
olacaktır.
Bu örnek için son bir söz: Dönmeyi sağlayan elektrik alandır. Bunu açık görebilmek için örnek
tekerlek çevresinde manyetik alan daima sıfır olacak şekilde hazırlanmıştır. Burada manyetik alanı
sıfırlayınca, elektrik alan kendiliğinden oluşur ve tekerleği döndürür.
8
Faraday yasası uygulamalarının çoğunda rahatsız edici bir nokta vardır: Faraday yasasında
değişen manyetik alanlar söz konusudur; oysa bu alanları hesaplamak için manyetostatik formüller
(Ampere yasası, Biort-Savart yasası) kullanmaktayız. İşin doğrusu bu yolla yapılan hesaplar yaklaşık
olur. Fakat manyetik alan çok hızlı değişmediği sürece yapılan hata pratikte çok küçük olur. Örneğin
makasla kesilen tel örneğinde dahi Ampere yasasını uygulayacak kadar statik bir durum vardır.
Manyetostatik kuralların Faraday yasasıyla birlikte kullanıldığı bu rejimlere yarı-statik adı verilir. Genel
olarak, ancak elektromanyetik dalgalar ve radyasyon teorisine gelindiğinde manyetostatik uygulanır
olmaktan çıkar.
Örnek7.8: R yarıçaplı küresel kabul yüzeyinde 𝜎 yük yoğunluğu vardır. Küre kendi ekseni
etrafında yavaşça değişen w(t) açısal hızıyla dönmektedir. Küre içinde ve dışında elektrik alanı bulunuz.
Çözüm: Burada iki tür elektrik alan vardır. (1) yüzey yükünün Coulomb alanı:
1 𝑄
⃗𝐸𝑐 = {4𝜋𝜀0 𝑟 2 𝑟̂ 𝑘ü𝑟𝑒 𝑑𝑖ş𝑖𝑛𝑑𝑎
0
𝑘ü𝑟𝑒 𝑖ç𝑖𝑛𝑑𝑒
(2) Değişen manyetik alandan kaynaklanan Faraday alanı. Dönen küresel kabuğun vektör
potansiyeli;
𝜇° 𝑅𝜎
𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃𝜑̂
3
𝐴(𝑃) = {
𝜇° 𝑅4 𝜎 𝑠𝑖𝑛𝜃
𝜑̂
3𝑠 2
𝑟2
𝑘ü𝑟𝑒 𝑖ç𝑖𝑛𝑑𝑒
𝑘ü𝑟𝑒 𝑑𝑖ş𝑖𝑛𝑑𝑎
Ve bu potansiyelin t ye göre kısmi türevini alıp eksi ile çarparsak;
−𝜇° 𝑅𝜎
𝑤̇ 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃𝜑̂ (𝑘ü𝑟𝑒 𝑑𝑖ş𝑖𝑛𝑑𝑎)
3
⃗⃗⃗⃗
𝐸𝑓 = {
−𝜇° 𝑅 4 𝜎
𝑠𝑖𝑛𝜃
𝑤̇ 𝑟 3 𝜑̂ (𝑘ü𝑟𝑒 𝑖ç𝑖𝑛𝑑𝑒)
3
𝑟
Bulunur. Burada 𝑤̇=dw/dt dir.
Örnek 7.9:
Sonsuz doğrusal bir telden geçen akım I(t) şeklinde yavaşça değişiyor. İndüksiyon elektrik alanını
bulunuz.
9
Şek.7.26
Çözüm:
Yarı-statik yaklaşıklıkla, doğrusal telin manyetik alanı (𝜇° I/2𝜋r) olup telin çevresinde dolanır yöndedir.
⃗ alanı
Yukarıda incelediğimiz Faraday Yasası ile Ampere yasası arasındaki analojiye göre, solenoidin 𝐵
gibi, burada 𝐸⃗ alanı eksene paralel olacaktır. Şekildeki Ampere çevrimini seçersek, Faraday yasası:
∮ 𝐸⃗ .d𝑙 =E(𝑟° )l-E(r)l= -
𝑑
⃗
∫𝐵
𝑑𝑡
⋅ 𝑑𝑎 = -
𝑑𝑙
𝑑𝑡
𝜇° ( )𝑙
2𝜋
𝑑𝑙
𝑟 𝑑𝑟̇ 𝜇° ( )𝑙
∫𝑟 𝑟̇ =- 2𝜋𝑑𝑡 (lnr-ln𝑟° )
°
veya
E(r)=
𝑑𝐼
𝑑𝑡
𝑑𝑙
𝑑𝑡
𝜇° ( )
𝜇° ( )𝑙
2𝜋
2𝜋
lnr+ K olup K=E(𝑟° )-
ln(𝑟° ) sabittir.
Bu sonuca göre, r→ ∞ olduğunda E alanı ıraksak olacaktır. Bu doğru olamaz. Nerede yanlış yaptık?
Yanıt: Yarı-statik yaklaşıklığın dışına çıktık. Elektromanyetik haber ışık hızıyla yayılır; buna göre, uzak
⃗ alanı sadece o andaki akıma değil, daha önceki zamanlardaki akıma da bağlı olacaktır. I
mesafelerde 𝐵
akımının önemli ölçüde değiştiği zaman aralığına t dersek, yarı-statik yaklaşıklığın geçerli olabilmesi için
r<<ct olmalıdır bu nedenle yukarıdaki sonuç büyük r değerlerine uygulanamaz.
10
7.2.2 İNDÜKTANS
Şek.7.27
Hareketsiz 2 çerçeve göz önüne alalım. (Şekil 7.27) 1. Çerçeveden geçirdiğimiz kararlı 𝐼1 akımı
⃗ 1 olsun. Bu alan çizgilerinin bir bölümü 2.çerçeve içinden
geçirdiğimizde oluşan magnetik alan 𝐵
⃗ 1 alanının 2.çerçeve içinden geçen akısına ∅2 diyelim. Sistem çok basit değilse 𝐵
⃗ 1 hesabı
geçecektir. 𝐵
oldukça karmaşık olabilir. Fakat Biort-Savart yasasına tekrar bakalım:
⃗⃗⃗
̂
⃗ 1 = 𝜇0 𝐼1 ∮ 𝑑𝑙12𝑥𝑅
𝐵
4𝜋
𝑅
Bu magnetik alan 𝐼1 akımıyla orantılıdır. Bunun 2.çerçeveden geçen
⃗ 1 . 𝑑𝑎
∅2 = ∮ 𝐵
⃗⃗⃗⃗2
Akısı da 𝐼1 akımıyla orantılı olacaktır. O halde, şöyle yazabiliriz:
∅2 = 𝑀21 . 𝐼1
(7.21)
Buradaki 𝑀21 orantı katsayısına iki çerçevenin karşılıklı indüktansı denir.
Karşılıklı indüktans hesabı genelde çok zordur. Burada pratikte yararlı olabilecek, vektör potansiyel
cinsinden bir ifade verelim:
⃗ 1 . 𝑑𝑎
∅2 = ∮ 𝐵
⃗⃗⃗⃗2 =∫( 𝛻⃗𝑥𝐴1 ). 𝑑𝑎
⃗⃗⃗⃗2 =∮ 𝐴1 . 𝑑𝑙⃗⃗⃗2
(son eşitlikte stokes kullanıldı)(5.58 )tanımına göre
𝐴1 =
Olduğundan
𝜇0
𝑑𝑙⃗⃗1
𝐼1 ∮
4𝜋
𝑅
11
∅2 =
𝜇0
𝑑𝑙⃗⃗⃗
𝐼1 ∮[∮ 1 ]. 𝑑𝑙⃗⃗⃗2
4𝜋
𝑅
Yazılır ve (7.21) denklemiyle karşılaştırılırsa
𝜇
𝑀21 = 4𝜋0 ∬
𝑑𝑙1 .𝑑𝑙2
𝑅
(7.22)
İki eğrisel integralli bu ifadeye Neumann formülü denir; İntegrallerden biri 1.çerçeve üzerinde, diğeri
2.çerçeve üzerinden alınır.(Şek. 7.28) Bu formülün kolay olduğunu iddia etmiyorum, fakat iki noktayı
açığa kavuşturması bakımından önemlidir:
Şek.7.28
𝑀21 katsayısı iki çerçevenin sadece geometrik özelliklerine (şekil, boy, aradaki uzaklık) bağlıdır.
1. ve 2.çerçeveleri yer değiştirirsek, katsayı değişmez:
𝑀21 = 𝑀12
O halde, indisleri kaldırıp kısaca M ile gösterebiliriz. Bu şaşılacak bir sonuçtur; Şekli ve biçimleri
ne olursa olsun, 1.çerçevedeki 𝐼 akımının 2.çerçevedeki akısı, 2.çerçeveden aynı 𝐼 akımı
geçirildiğinde 1.çerçevede oluşturduğu akıya eşit olur.
Örnek 7.10: Birim uzunlukta 𝑁2 sarımlı uzun solenoit içine yarıçapı R, uzunluğu 𝑙 birim uzunluktaki
sarım sayısı 𝑁1 olan küçük bir solenoit kurulmuştur(Şek. 7.29). Küçük solenoitten 𝐼 akımı geçtiğinde,
uzun solenoit içindeki magnetik akı ne olur?
Şek.7.29
12
Çözüm: Küçük solenoidin boyu kısa olduğundan, magnetik alan ifadesi karmaşıktır; üstelik büyük
solenoidin her halkasında farklı akı oluşturur. Akıyı bu yolla hesaplamak iş değildir. Oysa, karşılıklı
indüktansların eşitliğini kullanırsak problem kolaylaşır. Verilen problemin karşıtına bakalım: Dış
solenoitten 𝐼 akımı geçirelim ve küçük solenoit içindeki akıyı hesaplayalım: Uzun solenoit içinde
magnetik alan düzgün olup, değeri
B=𝜇0 𝑁2 𝐼
Olur. Buna göre, küçük solenoidin tek bir sarımından geçen akı
𝐵𝜋𝑅 2 = 𝜇0 𝑁2 𝐼𝜋𝑅 2
Olur. Toplam sarım sayısı 𝑁1 𝑙 olduğundan, iç solenoitteki toplam akı bulunur:
∅ = (𝜇0 𝜋𝑅 2 𝑁1 𝑁2 𝑙)𝐼
Bu, bizim aradığımız küçük solenoitteki 𝐼 akımının uzun solenoitte oluşturduğu akıya eşittir. Bu sistemin
karşılıklı indüktansı şöyle olur:
M=𝜇0 𝜋𝑅 2 𝑁1 𝑁2 𝑙
Yukarıdaki iki çerçeveli deneyde 1.çerçevedeki akımın değiştiğini varsayalım. Bu durumda,
2.çerçeveden geçen magnetik akı da değişecek ve Faraday yasasına göre, 2.çerçevede bir emk
oluşacaktır:
𝜀2 = −
𝑑𝜙
𝑑𝑡
= −𝑀
𝑑𝐿1
𝑑𝑡
(7.24)
Bu ilginç bir sonuçtur: 1.çerçevedeki akımı değiştirdiğimizde, buna iletken bir telle bağlı olmadığı halde,
2.çerçevede bir akım oluşacaktır.
Şek.7.30
Biraz düşünecek olursak, değişken bir akım sadece komşu çerçevede değil, kendi bulunduğu çevrede
de bir emk oluşturur(şek. 7.30). Bu magnetik akı da yine geçen akımla orantılı olur:
∅ = 𝐿𝐼
(7.25)
13
L orantı katsayısına çerçevenin özindüksiyon katsayısı veya kısaca indüktans denir. İndüktans, M gibi,
çerçevenin sadece geometrisine (büyüklüğü, biçimi) bağlı bir sabittir. Akım değişirken, çerçevede
oluşan emk Faraday Yasası ile verilir:
𝑑𝐼
𝜀 = −𝐿 𝑑𝑡
(7.26)
İndüktans birimi voltxsaniye/ampere, veya Henry(H) olur.
Örnek 7.11: Dikdörtgen kesitli toroit şeklindeki bir bobinin iç yarıçapı a, dış yarıçapı b ve kalınlığı h olup,
toplam n sarımı vardır. Özindüksiyon katsayısını bulun.
Şek.7.31
Çözüm: Toroit içinde r uzaklıktaki magnetik alan (5.52) formülünden yazılır:
𝐵=
𝜇0 𝑛𝐼
2𝜋𝑟
Şekil 7.31’e göre, bir sarımdan geçen magnetik akı
⃗ . 𝑑𝑎 = 𝜇0 𝑛𝐼 ℎ ∫𝑏 𝑑𝑟 = 𝜇0 𝑛𝐼ℎ 𝑙𝑛 (𝑏 )
∅ = ∫𝐵
𝑎
2𝜋
𝑟
2𝜋
𝑎
Olup, toplam akı bunun n katıdır. Buna göre, (7.25) formülünden özindüksiyon katsayısı hesaplanır:
𝐿=
𝜇0 𝑛2 ℎ
𝑏
𝑙𝑛 (𝑎)
2𝜋
(7.27)
Tanım olarak M ve L pozitif birer sabittir. (7.26) formülündeki eksi işareti, Lenz kuralı uyarınca, emk’nın
akımdaki değişmeye karşı koyacak yönde olmasını gerektirir. Bu açıdan devrenin kendisinde oluşan bu
emk’ya zıt emk denir. Bir devredeki akımı değiştirmek istediğinizde, bu zıt emk’yı karşılamalısınız. Bu
bakımdan, elektrik devrelerinde indüktans mekanikteki kütle rolünü üstlenir. L ne kadar büyükse,
devredeki akımı değiştirmek o kadar zor olur; tıpkı büyük kütlenin daha zor ivmelenmesi gibi.
Örnek 7.12: Bir çerçevede 𝐼 akımı geçmekteyken tel kesiliyor; akım ‘birdenbire’ sıfır oluyor. Burada 𝐼
akımı küçük olabilir, ama d𝐼/dt çok büyük olduğundan, önemli bir zıt emk doğar. Bu nedenler, bir ütü
14
veya tost makinasının fişini çektiğinizde bir kıvılcım parladığını görürsünüz- elektromagnetik
indüksiyon, akımı sabit tutabilmek için ne lazımsa yapar, gerektiğinde boşluktan atlar.
Fakat ütü veya tost makinasının fişini taktığınızda böyle dramatik bir etki gözlenmez bu kezindüksiyon,
akımdaki daha yumuşak bir artışa karşı koymaya çalışır. Örneğin direnci R ve indüktansı L olan bir
devrenini, sabit 𝜀𝑜 emk veren bir bataryaya bağlandığını düşünelim.(Şek. 7.32) Geçen akım ne olur?
Şek 7.32
Şek 7.33
Çözüm: bu devrenin toplam emk’sı batarya ve devrenin indüktansından kaynaklanır. Ohm yasası
yazılırsa;
𝜀𝑜 − 𝐿
𝑑𝐼
𝑑𝑡
= 𝑅𝐼
Bu 𝐼(𝑡) için 1.dereceden diferansiyel denklemdir. Genel çözümün;
𝐼(𝑡) =
𝑅
𝜀𝑜
−( )𝑡
𝐿
𝑘𝑒
𝑅
Olduğu kontrol edilebilir. k sabiti problemin sınır koşulundan tayin edilir. Bu devre 𝑡 = 0 anında fişe
takıldığında, 𝐼(0) = 0 olur ve 𝑘 = −𝜀𝑜/𝑅 bulunur. Buna göre;
𝐼(𝑡) =
𝜀𝑜
(1
𝑅
𝑅
− 𝑒 −( 𝐿 )𝑡
7.28
Bulunur. Bu eğri şekil 7.33 te gösterilmiştir. Eğer devrede indüktans olmasaydı, akım birden
çıkardı. Pratikte her devrenin bir miktar özindüksiyonu vardır ve akım dereceli olarak
𝜀𝑜
𝑅
𝜀𝑜
değerine
𝑅
değerine ulaşır.
𝐿/𝑅 oranına devrenin zaman sabiti denir; akımın son değerine ne kadar zamanda erişeceğinin bir
ölçüsüdür.
7.2.3 MAGNETİK ALANDA ENERJİ
15
Bir devrede akımı başlatabilmek için enerji gerekir. Burada dirençlerde ısıya dönüşen
enerjiden sözetmiyorum – dirençlerdeki enerji az veya çok olabilir, ama devre açısından bir kayıptır.
Burada akımı başlatabilmek için zıt emk’ya karşı yapılması gereken işten sözediyorum. Bu enerjinin
değeri bellidir ve akım sıfırlandığında geri alınabilir. Bu devre çalışırken bir tür potansiyel enerji olarak,
magnetik alanda depolanır.
Birim yükün devrede bir tam dolanımı sırasında zıt emk’ya karşı yapılan iş -𝜀 olur. (Eksi işareti
işi bizim yaptığımızı göstermek içindir.) Telden birim zamanda geçen yük olduğundan, birim zamanda
yapılan toplam iş
𝑑𝑊
𝑑𝑡
= −𝜀 𝐼 = 𝐿𝐼
Olur. Akım sıfırdan başlayıp son I değerine erişinceye kadar yapılan toplam iş bunun integrali olur.
1
𝑊 = 2 𝐿𝐼 2
İş, akımın ne kadar zamanda son değerine eriştiğine değil, sadece geometrisine bağlı olur.
İş ifadesini daha değişik bir şekilde yazarak, yüzey ve hacim akımlarına genelleştirmek
mümkündür. Devre içinden geçen magnetik akının ∅ = 𝐿𝐼 olduğunu hatırlayın. Bir yandan
⃗ . 𝑑𝑎 = ∫(∇
⃗ 𝑥 𝐴). 𝑑𝑎 = ∮ 𝐴. 𝑑𝑙
∅ = ∫𝐵
Burada C devreyi oluşturan eğri ve S bunun içinde kalan herhangi bir yüzeydir. Burada
𝐿𝐼 = ∮ 𝐴. 𝑑𝑙
1
𝑊 = 2 𝐼 ∮ 𝐴. 𝑑𝑙
Bu vektör işaretini I üzerine alırsak
1
𝑊 = 2 ∮(𝐴. 𝐼 )𝑑𝑙
(7.31)
Şimdi bu ifadenin hacim akımlarına nasıl genelleşebileceği açıktır.
1
𝑊 = 2 ∫(𝐴. 𝐽)dτ
(7.32)
⃗ x B = 𝜇° 𝐽
Bir adım daha götürüp, magnetik alan cinsinden ifade edebiliriz. ∇
elenirse
amper yasasıyla 𝐽
16
𝑊=
1
2𝜇°
⃗ 𝑥𝐵
⃗ )𝑑𝜏
∫ 𝐴. (∇
(7.33)
Vektörlerin 6.çarpım kuralını hatırlayalım:
⃗ . (𝐴 𝑥 𝐵
⃗)=𝐵
⃗ . (∇
⃗ 𝑥 𝐴) − 𝐴. (∇
⃗ 𝑥𝐵
⃗)
∇
⃗ 𝑥𝐵
⃗ ) = 𝐵2 − ⃗∇. (𝐴 𝑥 𝐵
⃗)
𝐴. (∇
Buna göre
1
1
⃗ . (𝐴 𝑥 𝐵
⃗ )𝑑𝜏] =
⃗ ). 𝑑𝑎 ]
𝑊 = 2𝜇 [∫ 𝐵2 𝑑𝜏 − ∫ ∇
[∫ 𝐵2 𝑑𝜏 − ∮(𝐴 𝑥 𝐵
2𝜇
°
°
(7.34)
Birinci integral, akımların işgal ettiği tüm hacim üzerinden alınmaktadır. Bu hacmi daha da büyütürsek,
dışarda 𝐽 = 0 olduğundan, yapılan toplam iş değişmez. Ama birinci integralin değeri giderek artar, ikinci
yüzey integrali de sıfıra gider. Sonunda tüm uzay üzerinden integral alındığında yüzey integrali sıfır olur:
1
𝑊 = 2𝜇 ∫ 𝐵2 𝑑𝜏
(7.35)
°
2
Bu sonuca bakarak, enerjinin birim hacimde 𝐵 ⁄2𝜇 miktarda magnetik alanda depolandığını
°
söyleyebiliriz. Gerçi (7.32) denklemine bakanlar, enerjinin birim hacimde (𝐴. 𝐽) miktarda ‘’akım
dağılımında depolandığını’’ söyleyebilirler, ama bizim bakış açımız daha güzeldir. Arada sadece teorik
fark vardır; önemli olan büyüklük toplam W enerjisidir, nerde depolandığını dert etmeyeceğiz.
Yine, magnetik kuvvetler iş yapmadığı halde, magnetik alan oluşturmak için iş yapılması gerektiği size
tuhaf gelebilir. Burada, magnetik alan oluşturmak değişken magnetik alan (?) ve Faraday yasasına göre
bu, indüksiyon elektrik alanı gerektirir; elektrik alan iş yapar. Bu incelemenin ışığında, elektrik ve
magnetik enerji formüllerinin ne kadar paralel olduğunu görmek yararlıdır:
1
𝑊𝑒𝑙𝑒𝑘 = 2 ∫(𝑉𝜌)𝑑𝜏 =
1
𝜀0
∫ 𝐸 2 𝑑𝜏
2
1
𝑊𝑚𝑎𝑔 = 2 ∫(𝐴. 𝐽)𝑑𝜏 = 2𝜇 ∫ 𝐵2 𝑑𝜏
°
Örnek 7.13: Uzun bir koaksiyal kablonun a yarıçaplı iç silindirinden geçen 𝐼 akımı yarıçaplı dış silindirden
geri dönmektedir. Kablonun 𝑙 uzunluğunda depolanan enerjiyi bulun.
Çözüm: Ampere yasasıyla silindirler arasındaki bölgede magnetik alan bulunur
̂
⃗ = 𝜇0 𝐼 ∅
𝐵
2𝜋𝑟
Diğer bölgelerde magnetik alan sıfırdır. Buna göre, birim hacimdeki enerji
17
1
𝐵2
2𝜇0
=
1
𝜇 𝐼 2
( 0 )
2𝜇0 2𝜋𝑟
=
𝜇0 𝐼2
8𝜋2 𝑟 2
Olur. 𝑙 uzunluğunda ve [r,r+dr] aralığındaki silindirik bir kabukta enerji
𝜇 𝐼2
(8𝜋02 𝑟2 ) 𝑙2𝜋𝑟𝑑𝑟 =
𝜇0 𝐼2 𝑙 𝑑𝑟
4𝜋 𝑟
Bu ifadenin a’dan b’ye integrali aradığımız enerjiyi verir:
𝑊=
𝜇0 𝐼2 𝑙
𝑏
𝑙𝑛 (𝑎)
4𝜋
Bu sonuç, özindüksiyon katsayısını hesaplamanın daha kolay bir yolunu göstermektedir(7.30)
formülüne göre enerji
𝐿=
1
𝐿𝐼 2
2
olduğundan, iki ifade karşılaştırılırsa
𝜇0 𝑙
𝑏
𝑙𝑛 ( )
2𝜋
𝑎
Bulunur. Bu yöntem, özellikle hacim veya yüzey akımları olan sistemlerde kullanışlı olabilir.