y www.muratguner.net

www.muratguner.net
HER GENÇ
GEOMETRİ ÖĞRENEBİLİR
MURAT GÜNER
İSTANBUL- 2004
www.muratguner.net
www.muratguner.net
www.muratguner.net
www.muratguner.net
1- BENZER ÜÇGENLER
Karşılıklı açıları eş ve karşılıklı kenarları orantılı olan üçgenlere benzer
üçgenler denir.
A
D
a
B
f
C
E
ABC ve DEF üçgenleri için


m(A)= m(D)


m(B)= m(E)


m(C)= m(F)
a
b
c


d
e
f
oranı yazılabilir.
e
d
F
Buradan ABC üçgeni DEF
üçgeni benzerdir denir
ve

b

c
ABC  DEF
biçiminde gösterilir.
www.muratguner.net
a
b
c


k
d
e
f
eşitliğinde verilen k sayısına , benzerlik oranı veya
benzerlik katsayısı denir.
 k = 1 olan benzer üçgenlerde karşılıklı kenarlar eşit
olduğundan , bu üçgenlere eş üçgenler denir.


ABC  DEF benzerliği yazılırken eş açıların
sıralanmasına dikkat edilir.
l AB l
l AC l
l BC l
ABC  DEF 


k
l DE l
l DF l
l EF l

Hayalleri olanlar asla uyuyamaz.

www.muratguner.net
ÖRNEK
D
A
B
5
C
E
5
F
ABC üçgeni ile DEF üçgeni karşılıklı açıları eş olduğundan benzerdir.
A ve D eş açıların gördüğü kenarlarda eşit olduğundan aynı
zamanda eş üçgendir. ( l BC l = l EF l = 5 cm )
www.muratguner.net
ÖRNEK
Şekilde
[ DE ] // [ AB ]
I AC I = I CE I
I DE I = 2m + 3
I AB I = m + 5 ise m kaçtır?
ÇÖZÜM
ABC  EDC 
l AC l
m5

l EC l
2m  3
 m + 5 = 2m + 3
2=m
D
E
2m + 3
b
a
c
c
C
a
A
b
m+5
B
www.muratguner.net
ÖRNEK
D
b
x
6
A
2
4
E
4
a
b
C
[ DC ]  [ BC ] ,[ DE ]  [ AC ]
[ AB ]  [ AC ],
I AE I = 2 cm , I AB I = 4 cm ve
I DC I = I BC I ise A( ADC ) = ?
x
a
B
ÇÖZÜM
BAC  CED 
l BA l
l BC l
l AC l



l CE l
l CD l
l ED l
 l CE l = 4
lACl = lDEl = 4+2 = 6
4
x l AC l


l CE l
x l ED l
6.6
= 18
A( ADC )=
2
www.muratguner.net
ÖRNEK
Şekilde
[ BE ]  [ AD ] = { C }
I AC I = I CE I
I BC I = I CD I ve
I EDI =8 cm ise
I AB I = ?
ÇÖZÜM
I ABI = 8 cm
E
A
8
B
a
C
a
8
D
www.muratguner.net
ÖRNEK
Eş üçgenler
C
D
2x -1
a
E
a
A
ÇÖZÜM
x + 2 = 2x –1
3=x
B
Şekilde
I AB I = I AC I
I CD I = I EBI
I AE I = x + 2
I AD I = 2x –1 ise x
kaçtır?
www.muratguner.net
D
a
E
65°

ÖRNEK
A
Şekilde
[ AD ] // [ BC ]
I AE I = I BC I
I AD I = I AC I
m( DEC )= 65° ise ABC
açısının ölçüsü kaç derecedir?
ÇÖZÜM
A
A
D
a
180°– 65° = 115°
E
a
B
C
a
B
C
www.muratguner.net


ÖRNEK
Şekilde
I AB I = I BE I
I BC I = I BD I
I AD I = 12 cm
m( ABE ) = m( DBC )= 60°
ise I EC I =?
E
A
c
60°
B
ÇÖZÜM
D
E
A
60° + c
B
B
D
C
C
www.muratguner.net
2- AÇI – AÇI BENZERLİK TEOREMİ
Karşılıklı ikişer açıları eş üçgenler benzerdir.
A
D
c
b
a
C
E
d
F

ABC  DEF
İkişer açıları eş olduğundan üçüncü
açıları da eş olur.Bu iki üçgen benzer
üçgenlerdir.



m(C)= m(F)
e



m(A)= m(D)

B
f
m ( B ) = m ( E ) ve
a
b
c


olur.
d
e
f
www.muratguner.net
ÖRNEK
D
60
A
Şekildeki
üçgenlerin
benzerliği
nasıl
yazılır?
50
70
60
B
70
C
50
E
F
ÇÖZÜM

50 60 70
50 60 70
( A.A.A )
EDF  CBA
70 60 50
( A.A.A )
50 60 70


50 60 70
FDE  ABC



ABC  FDE

60 50 70
( A.A.A )

60 50 70
BAC  DFE
70 60 50
( A.A.A )
……
……
www.muratguner.net
1999
ÖRNEK
A
Şekilde verilenlere göre

40
E


F
ABC  DEF ise  kaç derecedir?
30
C
D
B
A


D

60

m(C)= m(F)
40
30

E


50
B
m(A)=m(D)
ABC  DEF ise m ( B ) = m ( E )
F
40


ÇÖZÜM
 + 40 = 60 + 50
50
C
 = 70
www.muratguner.net
ÖRNEK
A
BAC dik üçgen
[ ED ]  [ BC]
l AE l = 3 cm , l EC l = 5 cm
l DC l = 4 cm
x = ?
3
E
5
D
4
C
ÇÖZÜM

BAC  EDC
A
3
5
x
D
4
( A.A.A )
l BA l
l BC l
l AC l


l ED l
l EC l
l DC l
E
B

x
B
C
x 4
35

5
4

x 4
2
5
 x=6
www.muratguner.net


ÖRNEK A
m ( BAC ) = m ( BDE ) ise
x = ?
5
2
B
x
D
C
3

A
E
BAC  EDC
5
2
B
x
D
C
3
E

ÇÖZÜM
( A.A.A )
l BC l
l AC l

l EC l
l DC l
x
5

3
2
Başarı tatlıdır ama çoğunlukla ter kokar
15
 x
2
www.muratguner.net
ÖRNEK
A

E

6
4


B
x
C
2
D
ÇÖZÜM


ABC  CDE
x
6

4
2
( A.A.A )
24
 x
 x = 12
2
Şekilde verilenlere göre x = ?
www.muratguner.net
A
ÖRNEK
θ
β
x
E
θ
4
D
x
x
β
9
B
F
x
C
ÇÖZÜM


AED  EBF

4 x

x 9

x6
( A.A.A )
Şekilde CDEF bir kare old. göre
x=?
www.muratguner.net
A
ÖRNEK
x

Şekilde verilenlere göre x = ?
E
θ
3
B

θ
β
4
C
2
D
ÇÖZÜM


ABC  DBE 
( A.A.A )
l AB l
l BC l

l DB l
l BE l

x 3
4

42
3

x  5 cm
www.muratguner.net
ÖRNEK
1998
A
Şekildeki l BE l = x = ?
16
D
15
4
x
B
C
E
ÇÖZÜM

ABC  EBD
16
D


B
x

20 25

x
4

x = 16 / 5
15

4

A
E
25 ( 3- 4- 5 )
C
www.muratguner.net
ÖRNEK
1993
A
Şekildeki l BC l = x = ?
D
24

10
8


B
C
E
x
ÇÖZÜM


ABC  EBD

8
10

24
x

x  30
www.muratguner.net
2000
ÖRNEK
A
y
B
D
y
r N
r
O
x
2r
Şekildeki [ BO ] çaplı çember ,O merkezli ve
[ BC ] çaplı çembere B
noktasında içten
teğettir.AB doğrusu her iki çembere B noktasında
da içteki çembere D
C teğet AC doğrusu
noktasında teğet olduğuna göre
l AB l
?
l AC l
ÇÖZÜM


ABC  NDC
l AB l l AC l


r
3r
l AB l
r
1



l AC l 3r
3
www.muratguner.net
1993
ÖRNEK
D

8
C
Şekilde ABCD bir dik yamuk ,
θ
E
x

A


θ
m( ABC ) = m(CDE )
15
l BC l = 15 cm , l AB l = 16 cm
l CD l = 8 cm old.göre l BE l = x = ?
B
16
ÇÖZÜM


ABC DCE

x
16

15  x
8

x
2
15  x
 30  2x  x
 x  10
ÖĞRENCİ HATALARI
www.muratguner.net
3- KENAR – AÇI – KENAR BENZERLİK TEOREMİ
İki üçgenin karşılıklı ikişer kenarı orantılı ve bu kenarların oluşturduğu
karşılıklı açılar eş ise üçgenler benzerdir.
A
D
c
b
a
C


m(A)= m(D)

l AB l l AC l

l DE l l DF l
E

B
f
ABC  DEF
e
d
F
www.muratguner.net
ÖRNEK
A
Şekilde verilenlere göre x = ?
2
E
7
2
C
5
6
8

3
4
ÇÖZÜM
A
E
6
x
7
2
4
B
eşitliği sağlandığından
8
C
B
3
D

D
3

4
B
x
CAB  EDB
6
8
x


7
3
4
2
( K. A. K )
 x=7
www.muratguner.net
ÖRNEK
2
A
3

B
x
4

8
C
D
[ AB ] // [ CD ] , l AB l = 2 cm
l AC l = 3 cm
l BC l = 4 cm
l CD l = 8 cm
old. göre l BDl = x = ?
ÇÖZÜM

4
3
B B
CBA  DCB
2
4
3


4
8
x
x
4
C C

2
A
( İç ters açılar )

8



m( ABC ) = m( BCD ) = 
D
( K. A. K )

x6
www.muratguner.net
4- KENAR – KENAR – KENAR
BENZER TEOREMİ
İki üçgenin karşılıklı bütün kenarları orantılı ise bu iki üçgen
benzerdir.
A
D
a
C
d
E
F


üçgenlerinde orantılı kenarları gören açılar eştir.

Kenarları orantılı olan ABC ve DEF benzer

ABC  DEF


e

a
b
c


d
e
f
f

B
b

c
m(A)=m(D)
m(B)= m(E)
m(C)= m(F)
www.muratguner.net
5- TEMEL BENZERLİK TEOREMİ
Bir üçgenin kenarlarından birine çizilen paralel doğru , kestiği diğer
kenarlar üzeride orantılı parçalar ayırır.

D

ABC  ADE

l AD l
l AE l
l DE l


l AB l
l AC l
l BC l
E

VEYA

C
B
(

A
[ DE ] // [ BC ]
)
l AD l
l AE l

l DB l
l EC l
www.muratguner.net
ÖRNEK
A
[ DE ] // [ BC ] ise l BC l = x = ?
5
D
6
E
2
x
B
C
ÇÖZÜM
[ DE ] // [ BC ] olduğundan
l AD l
l AB l

l DE l
l BC l
( T.B.T )

5
52

6
x

42
x
5
www.muratguner.net
1991
ÖRNEK
K
Şekilde ABCD bir yamuk olduğuna göre x = ?
x
D
4
C
3
8
A
B
ÇÖZÜM
[ DC ] // [ AB ] olduğundan
l KC l
l BB l

l DC l
l AB l
( T.B.T )

x
x 3

4
8

x 3
www.muratguner.net
ÖRNEK
1995
A
D
3
E
4
F
2
7k
4k
a
B
10k
l DA l
?
l DC l
K
5–a
5
C
ÇÖZÜM
l EK l
4
2a


l DC l
43
25
( T.B.T )
a2
2
5

4k
l AC l
( T.B.T )
l AC l  10k
l DA l
3k
3


l DC l
7k
7
www.muratguner.net
ÖRNEK
A
[ DE ] // [ BC ] , [ BE ] açıortay olduğuna
göre l BC l = x kaç cm dir?
3
2
D

E
2


x
B
C
ÇÖZÜM


m( DEB ) = m( EBC ) = 
( İç ters açılar )
Buna göre l DE l = 2 cm
( İkizkenar Üçgen )
[ DE ] // [ BC ] olduğundan
3
32

2
x
( T.B.T )

10
x
3
www.muratguner.net
1992
ÖRNEK
A
Şekildeki ABC üçgeninde
D , E ve F noktaları kenarlar
üzerinde olup AEDF
bir
paralel kenardır. Buna göre
l EC l = x = ?
2
6
F
3
E
6
x
2
B
C
D
ÇÖZÜM


ABC  FBD 
3
36

2
x2
 x =4
www.muratguner.net
ÖRNEK
A
x
y
F
B
3
E
Şekildeki ABC üçgeninde
D , E ve F noktaları kenarlar
üzerinde olup AEDF
bir
paralelkenarının çevresi kaç
cm dir?
20
y
x
4
1997
D
12
C
ÇÖZÜM
3
15

x
20
x =4
12
15

y
4y
15y = 48 + 12y
3y = 48
y = 16
2( x + y ) = 2( 4 +16 ) = 40
www.muratguner.net
1996
ÖRNEK
A
15
y
F
E
y
y
B
y
D
25
16
x
25 – y
Şekildeki ABC üçgeninde D , E ve
F noktaları kenarlar üzerinde olup
BFED bir eşkenar dörtgendir. Buna
göre l EC l = x = ?
C
ÇÖZÜM
25  y
25

y
15
75
y
8
x
16

y
15



x
16

75
15
8
16 75
x
.
15 8
x  10
www.muratguner.net
2005
ÖRNEK
y
A(x,y)
y=x–3
1
45
–2
O
3
x– 3
x
x
A noktasının
koordinatları
toplamı kaçtır?
–3
ÇÖZÜM
2
x2

 2x  6  x  2  x  8
1 x 3
y  83  5
+
x  y  13
www.muratguner.net
ÖRNEK
Soru Sayısı
1.Öğrenci
2.Öğrenci
135
b
a
60
O
2
5
t
Zaman ( Saat )
Yanda grafikte iki öğrencinin
zamana göre çözdükleri
soru
sayıları
verilmiştir.Şekle
göre
kaçıncı saatte çözdükleri
soru sayıları eşitlenir?
ÇÖZÜM
b
b  60

 ab  3b  ab  60a  b  20a
a
a 3
5
a5
1
a5
 20a  15a  75



75
b
15
20a
 a  15  t  20
www.muratguner.net
A
ÖRNEK
2002
a
L
Şekildeki ;
l AL l = l LH l = l HK l = l KB l
[ LD ] // [ HF ] // [ KE ] // [ BC ]
l KE l = 2 cm ise
l BC l = x = ?
D
a
H
F
a
K
2
E
a
x
C
B
ÇÖZÜM




BKE  BLD 
a
3a

2
l LD l
 l LD l  6
3
12


ALD  ABC 
l LD l
x
3
12

6
x
 x  24
www.muratguner.net
A
ÖRNEK
[ DA ] // [ EK ] , [ KL ] // [ BC ]
l DE l = 2 cm , l EB l= 3 cm , l KL l = 4 cm
old. göre l BC l = ?
2a
4
D
K
2
E
L
3a
3
B
C
ÇÖZÜM
[ DA ] // [ EK ] olduğundan
[ KL ] // [ BC ] olduğundan
l BE l
l BK l
3
3a



l ED l
l KA l
2
2a
2a
2a  3a

4
l BC l
( T.B.T )
2a
5a

4
l BC l

l BC l  10 cm
www.muratguner.net
ÖRNEK
A
2y
D
y
B
[ DF ] // [ BE ] , [ DE ] // [ BC ]
l AF l = 4 cm , l AD l= 2l BD l
old. göre l EC l = ?
4
F
2
E
x
C
ÇÖZÜM
l AD l
2
l AF l


[ DF ] // [ BE ] 

l BD l
1
l FE l
4
2
l FE l
( T.B.T )
2y
42
l AD l
l AE l
[ DE ] // [ BC ] 

 x  3 cm


y
x
l BD l
l EC l
( T.B.T )
www.muratguner.net
6- TALES TEOREMİ
Paralel doğrular
kendilerini kesen
doğruları aynı oranda
bölerler.
d1 // d2 // d3
doğruları için
l AB l
l DE l

l BC l
l EF l
VE
l AB l
l DE l

l AC l
l DF l
A
B
C
d1
D
d2
E
F
d3
www.muratguner.net
ÖRNEK
A
2
B
3
C
D
d1 // d2 // d 3 ,
l DF l = 10 cm
l AB l = 2 cm
l BCl = 3 cm olduğuna göre x = ?
d1
E
d2
x
F
d3
ÇÖZÜM
l AB l
l DE l


l BC l
l EF l
2 10  x

3
x
 2x  30  3x
 5x  30  x  6
www.muratguner.net
ÖRNEK
A
3
D
6
E
5
B
d1
d2
x
C
8
F
d1 // d2 // d 3 ,
l AD l = 3 cm l DE l = 6 cm
l l BE l = 5 cm
l CF l = 8 cm olduğuna göre x = ?
d3
ÇÖZÜM
A
B
3
3
6
6x

 15  6  x
2
5
D
6
2 E

x
3
C
5
F
x 9
www.muratguner.net
ÖRNEK
A
5
D
2
8
B
E
4
[ AD ] // [ BE ] // [ CF ]
l AD l = 5 cm l BE l = 8 cm
l l AB l = 2 cm l BC l = 4 cm
l CF l = 8 cm olduğuna göre x = ?
x
F
C
ÇÖZÜM
A
5
D
2 24

3 x 5
2
B
3
5
E
 x  14
4
x–5
C
 2x 10  18
5
F
www.muratguner.net
7- BENZERLİK ÖZELLİKLERİ
A
D
c
b
ha
a

B

ABC  DEF
f
C

e
hd
E
d
F
a
b
c


k
d
e
f

Benzer üçgenlerde orantılı kenarlara ait yüksekliklerin
oranı benzerlikler oranına eşittir.
ha
hb
hc
a
b
c


k 


d
e
f
hd
he
hf
www.muratguner.net
ÖRNEK
1999

D
8 – x
A

G
x
x


B
DEFG karesinin köşeleri ,şekildeki
ABC
üçgeninin
kenarları
üzerindedir. l AH l = 8 cm ve
l BC l = 12 cm olduğuna göre
l DE l = x = ?
E
F
H
C
ÇÖZÜM


8
l AB l 12
k 

ABC  ADG 
8-x
l AD l
x

96 – 12x = 8x  96 = 20x
( Yükseklikler
oranı benzerlik
sabitine eşittir. )
 x = 4,8
www.muratguner.net
ÖRNEK
m( ABC ) = m(CDE )
θ

B


A
L
C
K
l AK l = 5 cm l LE l = 3 cm
l BD l = 16cm
olduğuna göre l BC l = ?

D
θ
ÇÖZÜM
E


5
l AB l l BC l
l AC l
l AK l



k 
ABC  EDC 
3
l ED l l CD l
l EC l
l LE l
 l BC l  5a
8a  16  a  2
l CD l  3a
+
l BC l  5.2  10 cm
l BD l  8a
www.muratguner.net
A
D
c
Va
ll
a

B
b

ABC  DEF
f
ll
e
Vd
ll
C

E
d
ll
F
a
b
c


k
d
e
f

Benzer üçgenlerde orantılı kenarlara ait kenarortayların
oranı benzerlikler oranına eşittir.
V
V
V
a
b
c


k  a  b  c
d
e
f
Vd
Ve
Vf
www.muratguner.net
A
D
c
b
nA
a

B

ABC  DEF
f
C

e
nD
E
d
F
a
b
c


k
d
e
f

Benzer üçgenlerde orantılı kenarlara ait açıortayların
oranı benzerlikler oranına eşittir.
a
b
c
n
n
n


k  A  B  C
d
e
f
nD
nE
nF
www.muratguner.net
A
D
c
b
a

B

ABC  DEF

f
C

E
e
d
F
a
b
c


k
d
e
f
Benzer üçgenlerin
oranına eşittir.
çevrelerinin
a
b
c
Ç ( ABC )


k 
d
e
f
Ç ( DEF )
oranı
benzerlikler
a bc

def
www.muratguner.net
A
D
c
b
a

B

ABC  DEF
f
C

E
e
d
F
a
b
c


k
d
e
f

Benzer üçgenlerin alanlarının oranı benzerlik oranının
karesine eşittir.
A ( ABC )
A ( DEF )
 k2
www.muratguner.net
ÖRNEK
A


θ
6
D

m ( ACB ) = m ( BDE )
l AC l = 6 cm l DE l = 3 cm
A ( ABC )
A ( EBD )
3


θ
B
?
C
E
ÇÖZÜM


l AB l
l AC l l BC l
6


k 
2
ABC  EBD 
l EB l
l ED l l BD l
3
A ( ABC )
A ( EBD )
k 
2
A ( ABC )
A ( EBD )
 22  4
www.muratguner.net
ÖRNEK
A
2
D
3
4S
E
21S
B
C
[ DE ] // [ BC ]
l AD l = 2 cm
l DB l = 3 cm old. göre
A ( ABC )
?
A ( DECB )
ÇÖZÜM


l AD l
2
2


ADE  ABC 
l AB l
23
5
2
4
A( ADE )
 2 





25
A( ABC )
 5 
A( ABC )
25


A( DECB )
21
www.muratguner.net
2000
ÖRNEK
D
C
4
β
2
F
3
4 – x
A
θ
β
θ 1
E x B
ABCD bir dikdörtgen , l AD l = 3 cm
l DC l = 4 cm , l CF l = 2 cm
l AE l > l EB l olduğuna göre
A( EBF )
?
A ( AED )
ÇÖZÜM


1
x


k
BFE  AED
4x
3
 4x  x 2  3
 x 2  4x  3  0

x  1 veya x  3 ?!
A( EBF )
 k2
A ( AED )
A( EBF ) 1

A ( AED ) 9
www.muratguner.net
ÖRNEK
A
[ DE ] // [ BC ]
l AD l = 4 cm , l DB l = 3 cm
A( DECB ) = 33cm2
olduğuna göre A ( ADE ) = ?
4
16cm2
D
3
E
33cm2
C
B
ÇÖZÜM
A( ADE ) 2
16
16S
4
k 

k 
ADE  ABC 
A ( ABC )
49
49S
7


A( DECB ) = 49S – 16S = 33S = 33  S= 1 cm2
A ( ADE ) = 16 cm2
www.muratguner.net
1995
ÖRNEK
A
[ EF ] // [ BC ]
A( EBCF ) = A( AEF ) olduğuna göre
S
E
F
S
C
B
l AE l
?
l EB l
ÇÖZÜM
S
A( AEF )
l AE l
2
k 
k 
AEF  ABC 
2S
A ( ABC )
l EB l

1
 k 
2
2
1
 k
2

www.muratguner.net
1996
ÖRNEK
D
C
8
E
4
K
A
F
ABCD bir yamuk [ EF ] orta tabandır.
Şekildeki AEK üçgeninin alanı 4 cm2,
CKF üçgeninin alanı 8 cm2 olduğuna
göre , ABCD yamuğunun alanı kaç
B
cm2dir?
ÇÖZÜM




1
4
1
k 

 A( ADC )  16
AEKADC 
2
A ( ADC ) 4
1
8
1
k 

 A( CBA )  32
CFKCBA 
2
A ( CBA ) 4
A( ABCD ) = 32 + 16 = 48 cm2
www.muratguner.net

Ağırlık merkezinden çizilen paralel doğru kenarları bir
birime iki birim oranında böler.
A
2b
2c
2a
L
K
c
B
G
a
[ DE ] // [ BC ]
b
C
www.muratguner.net
ÖRNEK
A
10
K
ABC bir üçgen G ağırlık merkezi
[ KL ] // [ BC ] old. göre
AKL üçgeninin çevresi kaç cm dir?
12
5
G
B
12
L
6
C
ÇÖZÜM
Ağırlık merkezinden kenara paralel çizildiğinden
10
15

l KL l
12
( T.B.T )
 l KL l  8 cm

l AK l = 2.5 = 10 cm
l AL l = 2.6 = 12 cm
Ç ( AKL) = 10 + 12 + 8
= 30 cm
www.muratguner.net

B
A
C
D
E
// [ DE ]

[ AB ]

ABC  EDC 
l AB l
l BC l
l AC l


l ED l
l DC l
l EC l
www.muratguner.net
ÖRNEK
A
B
[ DE ] // [ AB ]
l AC l = 4 cm
l BD l = 5 cm
l CE l = 3 cm olduğuna göre l BC l =?
4
C
x
D
3
E
ÇÖZÜM
5x
4

x
3
 15  3x  4x
15
 x
7
BC  5 
15
20

7
7
www.muratguner.net
ÖRNEK
A
[ DE ] // [ BC ]
3l DF l = l FC l
l AD l = 4 cm
olduğuna göre l DB l = x = ?
4
b
D
E
a
x
F
3a
3b
B
C
ÇÖZÜM
l DF l = a  l FC l = 3a
l DF l
1
l DE l
b



l FC l
3
l BC l
3b
( KELEBEK BENZERLİĞİ )
4
b
4x

3b
x  8 cm
( T. B.T )
www.muratguner.net
ÖRNEK
A
2y
2001
E
2x
F
l EF l
2
l DC l


?
l FD l
3
l BD l
3x
B
5y
K 2y
Şekilde l AB l = l AC l
A , F , C noktaları ve E , F , D
noktaları doğrudaştır.Buna göre
D 3y C
ÇÖZÜM


AEF  CDF

( Kelebek Benzerliği )
l AE l = l KD l = 2y
l BK l = l KC l = 5y
l AE l 2

l DC l 3
( Dikdörtgen )
( İkizkenar üçgende yükseklik
tabanı iki eş parçaya ayırır. )
l DC l 3y
3


l BD l
7y
7
www.muratguner.net
ÖRNEK
D
12
2004
C
ABCD ve HAFE birer kare
l HA l = 4 cm
l AB l = 12 cm
olduğuna göre taralı
alanların toplamı kaç cm2 dir?
6
K
2
F
E
4
H
A
4
12
B
ÇÖZÜM

l KE l
4
1
FEK  CDK  l KD l  12  3

( Kelebek Benzerliği )


4.2
A( FKE ) 
4
2
+

l KE l  2
l KD l  6
6.12
A( EDC ) 
 36
2
Toplam alan: 40 cm2
www.muratguner.net
2004
ÖRNEK
D
E
2
2k
a
F
3a
2
A
3
3k
B
1
C
ABCD bir paralelkenar
l DE l = 2 cm , l EC l = 1 cm dir.
Taralı bölgenin alanı a cm2
olduğuna göre ABCD
paralelkenarının alanı kaç cm2 dir ?
ÇÖZÜM


DEF  BAF 
( Kelebek Benzerliği )
l DF l 2
l KE l  2k


l FB l 3
l KD l  3k

3a
5a
A( FKE ) 
a 
2
2
 A( ABCD )  2. 5a  5a
2
www.muratguner.net
ÖRNEK
2004
A
3x
3y
E
x
y
G
B
[ AB ] // [ GD ]
2l AE l = 6l EF l = 3l FC l
olduğuna göre ,
D
y
F
2x
C
l DF l
?
l FG l
ÇÖZÜM


l FC l l FG l
2x
1



ACB  FCG 
l AC l l AB l
6x
3
( T.B.T )


l EF l
l DF l
1


 l DF l  y
DEF BEA 
l EA l l AB l
3
( Kelebek Benzerliği )
l DF l
1
l FG l
www.muratguner.net
2003
ÖRNEK
a
D
a
E
C
5
9
F
10
A
ABCD bir dikdörtgen
l DE l = l EC l , l BC l = 9 cm
l BF l = 10 cm olduğuna göre
l AB l kaç cm dir?
B
x = 2a
ÇÖZÜM


DEF BAF 
( Kelebek Benzerliği )
l DF l
a
1


l FB l 2a
2
l AB l = l DC l = 12
( 3k- 4k- 5k )
 l DF l  5
www.muratguner.net
2002
ÖRNEK
D
C
ABCD bir kare l AE l = l EF l = l FB l ,
l BG l = l CG l A , H , G doğrusal
D , H , F , doğrusal olduğuna göre
G
H
A
E
F
l DH l
?
l HF l
B
ÇÖZÜM
3x
C
y
H
A
x E
x F xB
G
y
K

3x

D
l DH l 6x

DKH FAH 
l HF l 2x
( Kelebek Benzerliği )
l DH l
3

l HF l
www.muratguner.net
2000
ÖRNEK
6
D
C
3y
x
E
F
2y
A
4
[ DC ] // [ EF ] // [ AB ]
l DC l = 6 cm
l AB l = 4 cm olduğuna göre
x = ?
B
ÇÖZÜM




l AB l 4
l BE l



ABE  CDE 
l DC l 6
l ED l
( Kelebek Benzerliği )
2y
x

BCD  BFE 
5y
6
( T.B.T )
 x
12
5
l EB l  2y
l ED l  3y
www.muratguner.net
ÖRNEK
1996
A
θ
T
a

B

x
24
F
D
a
ÇÖZÜM
θ

10
C
[ AB ] // [ TE ]
l EF l = l FT l , l BD l = 24 cm
l FC l = 10 cm
olduğuna göre l DF l = x =?
E
x  34
l AB l

ACB  TCF 
10
a
( T.B.T )




DAB DEF 
( Kelebek Benzerliği )
24
l AB l

x
a
x  34
24

10
x
x 2  34x  240
x6
www.muratguner.net

Kenarları eşit aralıklı
paralellerle bölünmüş olan
üçgenlerde
alanlar
1 , 3 , 5 , 7 , ….. gibi orantılı
olarak artar.
Paralel kenarlar da
1,2,3,4,5,….gibi
orantılı artar.
S
a
3S
2a
5S
3a
www.muratguner.net
ÖRNEK
A
D
[ DE ] // [ KL ] // [ BC ]
l AD l = 2l DK l = 2l KB l
A( DELK ) = 20 cm2
olduğuna göre A(ABC ) kaç cm2 dir?
E
L
K
B
C
ÇÖZÜM
A
x
M
x
D
x
K
x
B
S
3S
5S
l DK l = x  l AD l = 2x
N
[ MN ] // [ DE ] // [ KL ]
E
A( DELK ) = 5S = 20  S = 4
L
7S
C
A( ABC ) = 16S = 64 cm2
www.muratguner.net

[ AB ] // [ EF ] // [ DC ] ise benzerlik özelliklerinden
D
A
1
1
1


x
y
z
y
E
y.m  n.z
z
x
B
n
F
m
C
www.muratguner.net
ÖRNEK
A
D
12
E
6
x
B
[ AB ] // [ EF ] // [ DC ]
l DC l = 6 cm , l AB l = 12 cm
l AB l = 4 cm olduğuna göre
x = ?
C
F
ÇÖZÜM
1.yol
1
1
1


x
12
6

1
3

x
12

1
1

 x4
x
4
2.yol
FORMÜL KULLANMADAN SİZ YAPINIZ.
www.muratguner.net
1995
ÖRNEK
A
Şekildeki A ve B şehirleri y yolunun
aynı
tarafında
bulunmaktadırlar.A
şehrinden
y yolu üzerinde bir N
6 km
noktasına uğrayarak B şehrine giden
y en kısa l AN l + l BN l yolu kaç km dir?
B
8 km
K
L
7 km
ÇÖZÜM
1.YOL
B
x
P
8
K
x2 = 82 + 42


y2 = 62 + 32

6 ( 7 – a ) = 8a
A
y
7 – a
4
N
a
3
6
L
y
+
a=3
x=4
5
y=3
5
x + y =7
5
www.muratguner.net
1999
1995
ÖRNEK
A
Şekildeki A ve B şehirleri y yolunun
aynı
tarafında
bulunmaktadırlar.A
şehrinden
y yolu üzerinde bir N
6 km
noktasına uğrayarak B şehrine giden
y en kısa l AN l + l BN l yolu kaç km dir?
B
8 km
K
L
7 km
ÇÖZÜM
A
l AB' l2 = ( 8 + 6 )2 + 72
B
x
8
y
6
C
L
N
K
y
7
l AB' l2 = 142 + 72
6
y
l AB' l2 = 72( 22 + 1 )
6
l AB' l2 = 72 . 5
B'
l AB' l  7 5
www.muratguner.net

Şekilde ABC bir dik üçgen AFDE bir dikdörtgen olmak
üzere ;
A
E
c
F
b
x
y
B
D
x
y

1
c
b
C