Matematik 7

BÖLÜM 2
MATEMATİK
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
2. ÖZDEŞLİKLER ,DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER
2.1 ÖZDEŞLİKLER
İki cebirsel ifade içerdikleri değişkenlerin (veya bilinmeyenlerin) her değeri
içinbirbirine eşit oluyorsa, bu iki ifadeye özdeştir denir. Örneğin x2 – y2 ifadesi ile
(x – y)(x + y) ifadesini ele alalım. İkinci ifadedeki çarpma işlemini yaptığımızda birinci
ifadeyi elde ederiz. Bu nedenle ∀x, y ∈ \ için ;x2 – y2 = (x – y)(x + y) yazabiliriz bu
eşitlik, x ve y nin her değeri için doğru olduğundan, bir özdeşliktir.
Bazı Önemli Özdeşlikler :
1- (x + y)2 = x2 + 2xy + y2
2- (x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 +y3
3- (x – y)2 = x2 –2xy +y2
4- (x – y)3 = x3 – 3x2y + 3xy2 –y3
5- x2 – y2 = (x – y)(x + y)
6- x3 – y3 = (x – y)(x2 + xy + y2)
7- x3 + y3 = (x + y)(x2 – xy + y2)
8- (x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2(xy +xz +yz)
Örnek :
x + y = 8 ve x⋅y = 10 ise x2 + y2 kaçtır?
Çözüm : (x + y)2 = x2 + y2 + 2xy
82 = x2 + y2 + 2⋅10
⇒
x2 + y2 = 44
1
1
= 3 ise (x + ) 2 kaçtır?
x
x
1 2
Çözüm : ( x − ) = 3 2
x
1
1
2
x + 2 − 2 = 9 ⇒ x 2 + 2 = 11
x
x
Örnek
: x−
bulunur
MATEMATİK
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
1
1
( x + ) 2 = 2 + x 2 + 2 = 11 + 2 = 13 bulunur.
x
x
Örnek :
x + y = x⋅y = 4 ise x3 + y3 değeri kaçtır?
Çözüm : (x + y)3 = x3 + 3x2y +3xy2 +y3
(x + y)3 = x3 + y3 + 3xy(x +y)
43 = x3 + y3 + 3⋅4⋅4 ⇒
2.2
x3 + y3 = 64 – 48 = 16 bulunur.
DENKLEMLER
x2 – 9 = (x – 3)(x + 3) ve 3x + 1 = x + 7 eşitliklerini ele alalım. Bu eşitliklerden birincisi
∀x ∈ \ için
sağlandığından bir özdeşliktir. İkinci eşitlik ise, sadece x = 3 için
doğrudur. Bu eşitlikte x yerine 3 den farklı hangi sayıyı yazarsak yazalım eşitlik doğru
olmaz. Böyle eşitliklere, yani içerisinde bilinmeyen içeren ve bilinmeyenlerin özel
değerleri için gerçeklenen eşitliklere denklem denir. Bilinmeyenlerin denklemi
sağlayan değerlerine denklemin kökleri, köklerin oluşturduğu kümeye denklemin
çözüm kümesi denir.
Bir tek bilinmeyen içeren denklemlere bir bilinmeyenli denklemler, iki
bilinmeyen içeren denklemlere iki bilinmeyenli denklemler, benzer şekilde n tane
bilinmeyen içeren denklemlere de, n bilinmeyenli denklemler denir.
Örneğin 3x + 4 = 9 denklemi bir bilinmeyenli, 2x2 + xy + y = 8 denklemi iki
bilinmeyenli, 3x – 4y + 5z = 14 denklemi ise üç bilinmeyenli denklemlerdir.
Tanım : a, b ∈ \ ve a ≠ 0 olmak üzere ax + b = 0 şeklindeki eşitliklere
birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Bu denklemde x’e bilinmeyen, a
ve b ye de denklemin katsayıları denir.
40
MATEMATİK
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
ax + b = 0 denklemini çözmek için şu yol izlenir. ax + b = 0 ⇒ ax = -b. a ≠ 0
b
b
olduğundan x = −
elde edilir. O halde ax + b = 0 denkleminin çözümü −
ve
a
a
b
çözüm kümesi Ç = {− } dır.
a
Örnek : 3x – 7 = 0 denklemini çözünüz?
Çözüm : 3x -7 = 0 ⇒ 3x = 7 ⇒
x=
7
⇒
3
7
Ç.K . = { } bulunur.
3
Örnek : 5x = 0 denklemini çözünüz?
Çözüm : 5x = 0 ⇒
x=
0
= 0 ⇒ Ç.K. = { 0 } bulunur.
5
Örnek : -2x +1 = x +7 denklemini çözünüz?
Çözüm : -2x –x = 7 –1
-3x = 6
x = -2
⇒
Örnek :
Çözüm :
0=
Ç.K.= {-2} bulunur.
1
3
( x − 1) + x = x + 4 denklemini çözünüz?
2
2
1
1
3
x− +x= x+4
2
2
2
3
3
1
x− x = +4
2
2
2
9
olup bu mümkün değildir. O halde Ç.K.= ∅ bulunur.
2
Örnek :
2
1
5
+
= 2
denklemini çözünüz?
x +1 x −1 x −1
41
MATEMATİK
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
2
1
5
+
= 2
Çözüm : x + 1 x − 1 x − 1
( x − 1) (x + 1) (1)
2( x − 1) + ( x + 1)
5
= 2
2
x −1
x −1
2x –2 +x +1 = 5
Örnek :
Çözüm :
⇒
1
1
1
+
+
=1
x +1 x + m x − 2
3x = 6
⇒
x =2
Ç.K.= {2} bulunur.
denkleminin köklerinden biri 3 ise m kaçtır?
Denklemin köklerinden biri 3 ise x=3 değeri denklemi sağlar.
1
1
1
1
1
+
+ =1⇒
=−
4 3+ m 1
3+ m
4
3 +m = -4 ⇒ m = -7 bulunur.
Tanım : a, b, c ∈ \ ve a,b ≠ 0 olmak üzere ax +by +c =0 şeklindeki eşitliklere birinci
dereceden iki bilinmeyenli denklem denir.
Tanım : ax +by +c = 0
sisteme dx +ey +f = 0
Şeklindeki birden fazla iki bilinmeyenli Denklemden oluşan
iki Bilinmeyenli denklem sistemi denir.
Birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemlerinin çözüm kümesinin
bulunmasına dair birçok yöntem vardır. Şimdi bunlardan bazılarını verelim.
YOK ETME METODU
Verilen denklemlerin katsayıları, değişkenlerden birinin yok edilmesini sağlayacak
şekilde düzenlendikten sonra taraf tarafa toplama yada çıkarma işlemleri yapılarak
sonuca gidilir.
42
MATEMATİK
Örnek :
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
3x –2y = 13
denklem sisteminin çözüm kümesini bulunuz?
x + 2y= 7
Çözüm : Bu iki denklemi taraf tarafa toplayalım.
3x –2y = 13
+ x+2y = 7
4x = 20
⇒ x =5 bulunur.
x = 5 değerini birinci denklemde yerine yazarsak 3⋅5 –2y = 13 ⇒ y =1
bulunur. O halde Ç.K.={(5,1)} bulunur.
YERİNE KOYMA METODU
Verilen denklemlerin birinden, değişkenlerden biri çekilip diğer denklemde yerine
yazılarak sonuca gidilir.
Örnek : 3x +5y = 25
denklem sisteminin çözüm kümesini bulunuz?
8x – y = 38
Çözüm : İkinci denklemde y değişkenini çeker, birinci denklemde yerine yazarsak,
y = 8x –38
3x +5(8x –38) = 25
43x –190 = 25
⇒
x = 5 bulunur.
x = 5 değerini y de yerine yazarsak y = 8⋅5 –38 = 2 olup Ç.K.={(5,2)} bulunur.
KARŞILAŞTIRMA METODU
Verilen denklemlerin her ikisinden de aynı değişken çekilir. Denklemlerin
diğer tarafları eşitlenerek sonuca gidilir.
43
MATEMATİK
Örnek :
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
x +y =7
denklem sisteminin çözüm kümesini bulunuz?
x –4y= 2
Çözüm : Her iki denklemden x değişkeni çekilirse ;
x = 7 –y
x = 2 +4y
⇒ 7 –y = 2 +4y ⇒
5y = 5
⇒ y=1
⇒ x=6 ⇒
Ç.K.={(6,1)}
Tanım : a,b,c ∈ \ ve a ≠0 olmak üzere ax2 +bx +c =0 şeklinde yazılan denklemlere
ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler denir. Denklemi sağlayan x reel
sayılarına denklemin kökleri, tüm köklerin oluşturduğu kümeye de denklemin çözüm
kümesi denir.
ax2 +bx +c = 0 denkleminde ∆=b2 –4ac ifadesine denklemin diskriminantı denir. ∆
için aşağıda üç durum söz konusudur.
1) ∆>0 ise denklemin birbirinden farklı iki reel kökü vardır. Bu kökler ;
−b+ ∆
−b− ∆
x1 =
,
x2 =
olup denklemin çözüm kümesi Ç.K.={x1 ,x2} dir.
2a
2a
2) ∆=0 ise denklemin eşit iki reel kökü vardır. Bu kökler ;
x1 = x 2 = −
b
2a
dir. Denklemin bu köküne çift katlı kök denir. Ç.K.={x1}
3) ∆<0 ise denklemin reel kökü yoktur. Ç.K.=∅
Örnek : x2 –4x –21 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz?
44
MATEMATİK
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
Çözüm : x2 –4x –21 = 0
∆= b2 –4ac = (-4)2 - 4⋅1⋅(-21) = 16 +84 = 100 > 0
x1 =
−b + ∆
− (−4) + 100
=
=7 ,
2a
2
x2 =
−b − ∆
2a
=
− (−4) − 100
=3
2
Ç.K.={7,-3} bulunur.
33
Örnek : x +x +5 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz?
2
Çözüm :
∆= b2 –4ac
∆= 1-4⋅1⋅5 = -19 < 0 olduğundan denklemin reel sayılar kümesinde
çözümü yoktur. Ç.K.=∅
Örnek : x 2 − 2 x + 1 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz?
Çözüm :
∆=b2 – 4ac = 4 − 4 ⋅1⋅1 = 0 olup
b 2
x1 = x2 = −
= = 1 Ç.K . = {1} bulunur.
2a 2
ax2 +bx +c =0 Denkleminin Çarpanlara Ayrılması
1) a = 1 ise x2 +bx +c =0 olur.
Burada b = x1+x2 , c = x1 ⋅x2 ise
x2 + bx +c = x2 +(x1 +x2)x +x1⋅x2 = 0 olur.
x
x
x1
x2
45
MATEMATİK
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
Örnek : Aşağıdaki ikinci derece denklemlerini çarpanlara ayıralım.
1) x2 +7x +10
x
x
+2
+5
= (x+2)(x+5)
2) x2 -5x +6
x
x
-3
-2
= (x-3)(x-2)
3) x2 +x -12
x
x
4
-3
= (x+4)(x-3)
2) a ≠1 ise ax2 +bx +c =0 denkleminde a= m⋅n , b=mp +nq , c= pq ise
ax2 +bx +c= mnx2 +(mp +nq)x +pq = (mx +q)(nx +p) olur.
mx
nx
q
p
Örnek : Aşağıdaki ikinci derece denklemlerini çarpanlara ayıralım.
1) 5x2 +11x +2
5x
1
x
2
= (5x +1)(x +2)
2) 2x2 –3x –9
2x
3
x
-3
= (2x +3)(x –3)
2.2.1 YÜKSEK DERECEDEN BAZI DENKLEMLER
a,b,c,d,e ∈ \ olmak üzere, ax3 +bx2 +cx +d =0 şeklindeki denklemlere 3. dereceden,
ax4 +bx3 +cx2 +dx +e =0 şeklindeki denklemlere de 4. dereceden x’e göre
düzenlenmiş denklemler denir. Bu tip denklemlerin çoğu 2.derece denklemlere
indirgenerek çözülebilir.
Örnek : x4 –3x2 –4 =0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz?
46
MATEMATİK
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
Çözüm : x2 = t diyelim ( t ≥ 0 ) O halde yukarıdaki denklem
t2 –3t –4 =0 ikinci derece denklemine dönüşür.
Bu denklem t’ye göre düzenlenmiştir. (t-4)(t-1) = 0 olup t =4 ve t =-1 dir.
t =4 ise x2 =4
t = -1 ise x2=-1
⇒ x = ±2
olup gerçek kök yoktur. O halde denklemin Ç.K.={-2,2}
bulunur.
1
= 10 denkleminin çözüm kümesini bulunuz?
x
x2 +1
Çözüm :
= 10
⇒ x2 +1 =10x ⇒ x2 –10x +1 = 0 olur.
x
∆ =b2 –4ac =100 –4= 96 >0
Örnek :
x+
x1=
-b + ∆
2a
x1 = 5 + 2 6
x2=
-b - ∆
2a
x2 = 5 − 2 6
Ç.K . = {5 + 2 6,5 − 2 6} bulunur.
Örnek :
2 x + 1 − x = −7 denkleminin çözüm kümesini bulunuz?
Çözüm :
2x + 1 = x − 7
denkleminin her iki tarafının karesini alalım
2x +1 =(x-7)2
2x +1 = x2 –14x +49
0= x2 –16x +48
denklemi çözülürse x =12 ve x =4 bulunur.
Bu köklerden x =12 denklemi sağlar. Fakat x =4 denklemi sağlamaz. O halde Ç.K.
={12} bulunur.
Örnek : x3 –5x2 +6x =0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz?
Çözüm : x(x2 –5x +6) =0 buradan ;
x1 =0 ve x2 –5x +6 = 0 denklemleri yazılır.
x2 –5x +6 =0
x
-3
x
-2
⇒ x2 –5x +6 = (x-3)(x-2) =0 ⇒ x2 =3 , x3 =2
O halde Ç.K.= {0,2,3} bulunur.
47
MATEMATİK
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
2.3 EŞİTSİZLİKLER
2.3.1 BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ EŞİTSİZLİKLER
Tanım : a,b ∈ \ ve a ≠0 olmak üzere ax +b>0 , ax +b≥0 , ax +b<0 , ax +b≤0
şekindeki ifadelere birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlik denir.
Eşitsizliği çözmek için ax +b ifadesinin işaret tablosundan faydalanarak eşitsizliği
sağlayan aralık bulunur.
−b
ax + b = 0 ⇒ x =
a
- b
a
x −∞
ax +b
a'nin isaretinin
tersi
+∞
a'nin isaretinin
aynisi
−b
dan küçük bir sayı yazılırsa bu ifade
a
−b
−b
a ile ters işaretli,
dan büyük bir sayı yazılırsa a ile aynı işaretli olur,
a
a
yazılırsa bu ifadenin değeri 0 olur demektir.
Bu tablonun anlamı ax +b ifadesinde x yerine
Örnek : 4x –12 ≤0 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz?
Çözüm : I.yol : 4x –12 ≤0 ⇒ 4x ≤ 12 ⇒ x ≤ 3 ⇒ Ç.K.=(-∞,3]
II.yol : 4x –12 =0 ⇒ 4x =12 ⇒ x =3
Ç.K.=(-∞,+3]
48
MATEMATİK
Örnek :
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
x+2
≤ 0 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz?
− x +1
Çözüm : Bu eşitsizliğin çözüm kümesini bulmak için pay ve paydanın ayrı ayrı
işaretlerini inceledikten sonra bölümün işaretini inceleyeceğiz. x +2 =0 ise x = -2 ve
-x +1 =0 ise x =1 olduğundan bu ifadenin işareti aşağıdaki tablodaki gibidir.
x+2
tanımlı olmadığından x =1 çözüm kümesine dahil değildir.
− x +1
Ç.K.= (-∞,-2] ∪ (1,+∞) dır.
Burada x =1 için
2.3.2 İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ EŞİTSİZLİKLER
Tanım : a,b,c ∈ \ , a ≠0 olmak üzere ax2 +bx +x >0 , ax2 +bx +c ≥0 , ax2 +bx +c <0
, ax2 +bx +c ≤0 şeklindeki ifadelere ikinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlikler
denir.
Eşitsizliği çözmek için ax2 +bx +c ifadenin işaret tablosundan faydalanarak eşitsizliği
sağlayan aralık bulunur.
ax2 +bx +c ifadesinin işaret tablosunun oluşturulmasında üç durum vardır.
I.Durum : ∆ > 0 ise ax2 +bx +c ifadesinin farklı iki kökü vardır. Bunlar x1 ve x2
olsun (x1<x2)
49
MATEMATİK
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
II.Durum : ∆ =0 ise ax2 +bx +c ifadesinin eşit iki kökü vardır.
III.Durum : ∆<0 ise ax2 +bx +c ifadesinin reel kökü yoktur.
Örnek : x2 +2x <35 eşitsizliğin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm :
x2 +2x <35 ⇒ x2 +2x –35 <0 eşitsizliği elde edilir.
x2 +2x –35 =0
x
x
7
-5
x −∞
2
x +2x -35 <0
⇒ x2 +2x –35 = (x+7)(x-5)
x1 = -7 , x2 =5
-7
5
+∞
+
+
çözüm
Ç.K.= (-7,5)
50
MATEMATİK
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
Örnek : -x2 +2x –1 <0 eşitsizliğin çözüm kümesini bulunuz
-x2 +2x –1 <0 ⇒ x2 -2x +1 >0 eşitsizliği elde edilir.
Çözüm :
x2 -2x +1 =0 ⇒ x =1
x
x
-1
-1
x −∞
+
+
2
x -2x +1 >0
+∞
1
çözüm
Ç.K.= \ –{1}
Örnek : x3 –1 ≤0 eşitsizliğin çözüm kümesini bulunuz
Çözüm :
x3 –1 ≤0
x3 –1 = (x –1)(x2 +x +1) şeklinde yazıp her çarpanın işaretini ayrı ayrı
inceledikten sonra çarpımın işaretini inceleyeceğiz.
x –1=0 ise x =1 ,x2 +x +1 =0 denkleminin reel kökleri yoktur.
x −∞
1
x -1
x 2+x +1
+
x3 –1 ≤0
+
+
+
+∞
çözüm
Ç.K.= (-∞ ,1]
51
MATEMATİK
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
x2 − x − 6
≥ 0 eşitsizliğin çözüm kümesini bulunuz
x3 − x
x2 − x − 6
≥ 0 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulalım. Burada da pay ve
Çözüm :
x3 − x
paydanın ayrı ayrı işareti incelendikten sonra kesirin işaretini inceleyeceğiz.
Örnek :
x2 –x –6 =0 ise x =3 ve x = -2, x3 –x =0 ⇒ x(x2 –1) =0 ise x =0 , x =+1, x = -1
x
x
-3
2
x −∞
2
x –x –6
-2
-1
0
+
+
2
x -x -6
≥0
x3-x
Burada
3
+∞
+
+ + +
+.+
+
+
x
x2 –1
1
+
+
x = -1 , x = 1 ve x = 0 paydayı sıfır yaptığı için çözüm kümesine dahil
edilmemiştir.
Ç.K.=[-2,-1) ∪ (0,1) ∪ [3,+∞) dır
Örnek : 2 +
Çözüm :
3− x
≤ 0 eşitsizliğin çözüm kümesini bulunuz
x+5
2+
3− x
≤ 0 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulalım.
x+5
2 x + 10 + 3 − x
≤0
x+5
x + 13
≤0
x+5
52
MATEMATİK
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
Burada pay ve paydanın ayrı ayrı işareti incelendikten sonra kesirin işaretini
inceleyeceğiz.
x + 13 = 0 ise
x = −13
ve x + 5 = 0 ise
x = −5
Burada x=-5 paydayı sıfır yaptığı için çözüm kümesine dahil edilmemiştir.
Ç.K =  −13, −5 )
Tanım : Birden fazla eşitsizliğin bir araya gelmesiyle oluşturulan sisteme eşitsizlik
sistemi denir. Eşitsizlik sistemini çözmek için ayrı ayrı işaret tablosu düzenlenerek
ortak çözüm bulunur.
x2 –16 ≤0
Örnek :
3
Eşitsizlik sisteminin çözüm kümesini bulunuz?
x –27 >0
Çözüm : x2 –16 =0 ⇒ x =-4 , x =4
x3 –27 =0 ⇒ x =3
Burada x =3 değeri x3 –27 >0 ifadesinin kökü olup çözüme dahil değildir
Ç.K.=( 3,4 ]
53
MATEMATİK
Örnek :
x-5<0
x2 +x –6≤0
x4-16>0
Çözüm : x –5 =0
x2 +x –6 =0
x
x
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
Eşitsizlik sisteminin çözüm kümesini bulunuz?
⇒ x=5
⇒ x =-3 , x =2
+3
-2
4
x –16 =0 ⇒ x =-2 , x =2
x = -2 değeri x4 –16 >0 eşitsizliğinin kökü olup çözüme dahil edilmemiştir
Ç.K.= [ -3,-2)
2.3.4. MUTLAK DEĞER İÇEREN EŞİTSİZLİKLER
a, b, c ∈ \, a ≠ 0, c > 0 olmak üzere ax + b ≤ c şeklindeki eşitsizliğin çözümü
−c ≤ ax + b ≤ c olup,
ax + b ≤ c 
 eşitsizlik siteminin çözümü olarak bulunur.
ax + b ≥ −c 
ax + b ≥ c şeklindeki eşitsizliğin çözümü ise ax + b ≤ −c ve ax + b ≥ c
eşitsizliklerinin çözüm kümelerinin birleşimi olarak alınır.
54
MATEMATİK
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
Örnek: 2 x − 3 > 5 eşitsizliğin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm: 2 x − 3 < −5
2 x < −2
x < −1
ve
ve
2x − 3 > 5
2x > 8
x>4
Bu durumda Ç.K . = ( −∞, −1) ∪ ( 4, +∞ )
bulunur.
Örnek: 4 x − 1 ≤ 7 eşitsizliğin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm:
−7 ≤ 4 x − 1 ≤ 7
x≤2 
4x −1 ≤ 7 
4x ≤ 8 

⇒
⇒
3
4 x − 1 ≥ −7  4 x ≥ −6  x ≥ − 
2
 3 
Bu durumda Ç.K . =  − , 2  bulunur.
 2 
Örnek :
Çözüm :
2x − 6
< 2 eşitsizliğinin çözüm aralığı nedir?
5
2x − 6
2x - 6
−2 <
< 2 ⇒ (−2) ⋅ 5 <
⋅5 < 2⋅5
5
5
⇒ −10 < 2 x − 6 < 10
⇒ −4 < 2 x < 16
⇒ −2 < x < 8
−∞
Ç.K . = (−2, +8)
Örnek :
2 x + 1 ≥ 5 eşitsizliğinin çözüm aralığı nedir?
Çözüm : 2 x + 1 ≥ 5
x≥2
Ç.K . = ( −∞, −3 ∪ 2, +∞ )
2 x + 1 ≤ −5
veya
x ≤ −3
veya
−∞
−3
+∞
2
55
−2
8
+∞
MATEMATİK
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
ALIŞTIRMALAR
1) Aşağıdaki denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz?
a) (0,5) x ⋅ (0,25) x +1 ⋅ (0,125) x + 2 = (0,0625) x +3
b) ( x + 3) 5 = (0,00032) −1
c) ( x − 2) 5− x = 1
d) (6 − 2 x) 2000 = ( x + 3) 2000
1   2 1

x+
: x +  3
x −1  
x

e)
=
1
5
 1 
1 −  :  x − 
x
 x 
2
 x +1
 x +1
f) 
 − 4
+4 = 0
 x −1 
 x −1 
g)
4 − 5x x + 2
−
= −2
6
4
h) 0,01x 2 + 0,2 x − 0,6 = 0
ı)
x − 2x − 8 − 2 = 0
i) x 3 − 4 x 2 − 5 x = 0
j)
14 x + 7
x +1 x + 5
+
= 2
x+3 x−2 x + x−6
2) Aşağıdaki eşitsizliklerin çözüm aralığını bulunuz?
a) 1 + 3 x − 1 ≤ 5
b) 1 < x + 2 ≤ 5
c) (2 − x)( x 2 + x − 6) < 0
2x 2 − 2x − 4
d)
>0
− 2x + 3
56
MATEMATİK
e)
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
x
2
8
−
< 2
x −1 x +1 x −1
3) Aşağıdaki eşitsizlik sistemlerinin çözüm kümelerini bulunuz?
a) x 2 − 2 x ≤ 0
4 − x2 > 0
b) x 2 + 2 x − 3 > 0
x 2 − 4x > 0
c) x2 –6x +5 > 0
x2 –7x +6 < 0
d) 3x +2 < 0
x2 –3x +2 > 0
4)Aşağıdaki denklemleri çözünüz
a) ( x 2 + 6 x) − 5( x 2 + 6 x) = 24
b) ( x 2 − 2 x − 5) 2 − 2( x 2 − 2 x − 5) = 3
c) ( x 2 + 3 x − 25) 2 − 2( x 2 + 3 x − 25) = −7
d) ( x + 2) 4 − ( x + 2) 2 = 12
e) ( x 2 + 2 x) ⋅ ( x 2 + 2 x + 2) = 3
f) ( x 2 − x − 16) ⋅ ( x 2 − x + 2) = 88
g) (2 x 2 + 7 x − 8) ⋅ (2 x 2 + 7 x − 3) − 6 = 0
h)
x2 + 1
x
1
+ 2
=2
x
x +1
2
x 2 + 2 3x − 2
2
ı)
− 2
=2
3x − 2 x + 2
3
57
MATEMATİK
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
i) x 4 − 9 x 2 + 18 = 0
j) x 4 + 3 x 2 − 10 = 0
k) 4 x 4 − 12 x 2 + 1 = 0
l) 12 x 4 − x 2 − 1 = 0
TEST
1. Aşağıdaki (x, y) ikililerinden hangisi |x+y| = |x| - |y| eşitliğini sağlar?
A) (2, 0)
D) (3, 1)
B) (0, 2)
E) (1, 1)
C) (2, 2)
2. 1 + 2x = 3(x - 4) + 5 denklemini sağlayan x değeri nedir?
A) 3
B) 5
C) 7
D) 8
E) 12
3. (x + 3)(2x – 5) = (x-1)(2x+3) denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden
hangisidir?
A) {-3}
B) {1}
 3
D) - 
 2
5 
E)  
2
C) φ
1
37
4. 2 x - = - 4x denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
3
3
A) {2}
D) {1}
5.
B) {-1}
E) {-2}
C) {0}
2x
1
+ 1 = x + denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
3
4
 3
1 
3
A) - 
B)  
C)  
 4
4
4
9 
3
D)  
E)  
4
2
58
MATEMATİK
6.
4
5
−6
+
= 2
x+3 x−3 x −9
A) x = -1
D) x = 1
7.
B) 1
B) φ
C) x = 0
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
C) -2
x +1
x
1
−
=
x
x +1 x
A) {1}
denkleminin çözümü nedir?
B) x = -3
E) x = 3
2
1
5
+ = 2
x + 2 x x + 2x
A) 2
8.
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
D) -1
E) –3
denkleminin çözüm kümesi nedir?
C) {-1}
D) {0}
E) ℜ
9. 1 sayısı aşağıdakilerden hangisinin kökü değildir?
A) x 2 − 1 = 0
B) 2x - 2 = 0
C) x + x + 8 = 4
D) x 2 − x = 0
E) (x + 1) 2 = 0
10. x 3 − x = 0
A) 4
denkleminin kaç tane gerçel kökü vardır?
B) 3
C) 2
D) 1
E) 0
11. x 4 − 16 = 0 denkleminin gerçek köklerinin kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) {-2, + 2}
D) {1, 4}
B) φ
C) {0, 4}
E) {-4, + 4}
12. Aşağıdakilerden hangisi, kökleri 2 ve -4 olan ikinci dereceden bir denklemdir?
A) x 2 + 2 x − 8 = 0
B) x 2 − 2 x − 8 = 0
C) x 2 + 8 x − 2 = 0
D) x 2 − 2 x + 8 = 0
E) x 2 − 8 x + 2 = 0
59
MATEMATİK
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
13. Kökleri -2 ve 4olan ikinci dereceden denklem aşağıdakilerden hangisidir?
A) x 2 − 2 x − 8 = 0
B) 2x 2 − 8 x + 1 = 0
C) x 2 − 2 x + 8 = 0
D) x 2 + 2 x + 8 = 0
E) 2x 2 + 8 x + 1 = 0
14. Aşağıdakilerden hangisi, çözüm kümesi {-2, 0, 2} olan denklemlerden biri olabilir?
A) x 2 + 2 = 0
B) x 2 − 2 = 0
C) x 3 − 4 x = 0
D) x 3 + 4 x = 0
E) x 2 + 4 = 0
15. x 2 − 3x + 2 ≤ x + 7 eşitsizliğinin çözüm kümesi hangisidir?
A) [7, ∞)
D) [1, - 5]
B) [2, 7]
E) [-1, 5]
16. x 2 − 4 x − 12 ≤ 0
A) [-2, 6]
D) [3, 4]
17.
x2 − 9
≤0
x2 +1
A) [-2, 2]
D) [-1, 9]
C) [1, 2]
eşitsizliğinin en geniş çözüm aralığı aşağıdakilerden hangisidir?
B) [-2, 2]
E) [6, ∞)
C) [0, 2]
eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdaki aralıklardan hangisidir ?
B) [-1, 1]
E) [4, 5]
C) [-3, 3]
18. x − 1 = x + 1 denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) {1, 2, 3}
D) {3}
19. 6 − x + 5 = x − 1
A) {11}
D) {0 ,1}
B) φ
E) {0}
C) {0, 3}
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
B) {4}
E) {1, 5, 6}
C) {4, 11}
60
MATEMATİK
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
20. x + x + 1 = 1 denkleminin kökleri hakkında, aşağıdaki ifadelerden hangisi
doğrudur?
A) x = 0
B) x 1 = 0 , x 2 = 5
C) x 1 = 0 , x 2 = −1
D) x 1 = −1 , x 2 = 3
E) Kökleri yoktur.
21. 2 x − 5 = x − 1
A) φ
D) ℜ
22. 2x – 5 < 11
A) (-∞, 8)
D) (-8, 8)
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
B) {2, 4}
E) (0, ∞)
eşitsizliğinin çözüm aralığı nedir?
B) [8, ∞)
E) ℜ
23. 5 x + 1 ≥ 3 x + 5
A) (-∞, 2]
D) [2, ∞)
B) [-2, 2]
E) (-∞, ∞)
26. x 2 + x − 2 ≤ 0
A) [-2, 1]
D) (-∞, - 2)
C) [-1, 4)
eşitsizliğinin çözüm aralığı aşağıdakilerden hangisidir?
B) (-∞, 3]
E) φ
25. 2 x − 4 ≤ −2 x + 12
A) [4, ∞)
D) (-∞, ∞)
C) [8, ∞)
eşitsizliğinin en geniş çözüm aralığı aşağıdakilerden hangisidir
24. 3 x − 10 ≤ 20 − 7 x
A) [-3, 3]
D) [0, 1]
C) [-4, 4]
C) [3, ∞)
eşitsizliğinin çözüm aralığı nedir?
B) (-∞, 4]
E) (-∞, 4)
C) (-∞, 2)
eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?
B) [-1, 2]
C) (-2, 1)
E) (-∞, - 2] ∪ [1, ∞)
61
MATEMATİK
27.
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
2 x 5 x x − 10
+
=
denkleminin çözüm kümesi nedir?
4
3
2
A) φ
D) {3}
B) {3, - 3}
E) {0}
1
28. ( x + 2) − ( x − 2) = 4 − x
3
A) {- 2}
29.
C) {-3}
denkleminin çözüm kümesi nedir?
4
8 
B) {4} C)   D)  
5
3
5 
E)  
4
1
1
1
( x − 4) + ( x − 6) = ( x − 18) denklemini sağlayan x değeri nedir?
2
3
6
A) - 3
B) -
3
2
C) 0
D)
3
2
E)
4
3
62