LİNEER CEBİR , , λ λ λ A A = MATRİSLER

LİNEER CEBİR
MATRİSLER
4- A + (-A) = (-A) + A = 0 ( A = ⎡⎣ a ij ⎤⎦
mxn
ise
− A = ⎡⎣ −a ij ⎤⎦ mxn dir.)
Tanım: i = 1, 2, …. , m ve j = 1, 2, …. , n için olmak
üzere
⎡ a11
⎢a
⎢ #21
⎢ #
⎢
⎢ a#i1
⎢ #
⎢
⎣⎢ am1
a12
a22
"
"
#
#
ai2
a1j
a2 j
#
#
aij
"
#
#
am 2
#
#
" amj
a1n ⎤
a2n ⎥
⎥
#
# ⎥
⎥
" ain ⎥
#
# ⎥
⎥
" amn ⎦⎥
"
"
Şeklindeki dikdörtgensel tabloya m x n tipinde
bir matris denir ve kısaca
A = ⎡⎣a ij ⎤⎦ mxn şeklinde
gösterilir. i ye satır indisi j ye sütun indisi, aij ye
de matrisin i. satır, j. sütundaki elemanı denir.
1 satır ve n sütundan oluşan matrise satır
matrisi;
1 sütun ve m satırdan oluşan matrise de
sütun matrisi denir.
Köşegen Matris: a11 , a22 , a33 , … ann elemanlarına asal köşegen elemanları denir. Asal köşegeni
dışında kalan elemanları sıfır olan matrise köşegen matris denir.
Karesel Matris: Bir matriste satır sayısı sütun
sayısına eşitse bu matrise karesel matris denir.
Sıfır Matrisi: Bir matrisin tüm satır ve sütunlarındaki elemanlar sıfır ise bu matrise sıfır matrisi
denir ve 0 ile gösterilir.
Birim Matris: Bir n x n tipindeki karesel matriste
i ≠ j için aij = 0 ve i = j için aij = 1 ise bu matrise
birim matris denir ve In ile gösterilir.
Alt Matris: Bir matrisin bazı satır veya sütunları
silindiğinde kalan matrise o matrisin alt matrisi
denir.
İki Matrisin Eşitliği:
A = ⎡⎣a ij ⎤⎦ mxn , B = ⎡⎣ bij ⎤⎦ mxn
iki matris olsun ∀ (i,j) için aij = bij ise A ve B matrisleri eşittir denir ve A = B şeklinde gösterilir.
Matrislerin Toplanması:
A = ⎡⎣a ij ⎤⎦ mxn ,
B = ⎡⎣ bij ⎤⎦ mxn aynı tipten iki matris olsun A ile B
nin toplamı
A + B = ⎡⎣a ij ⎤⎦ mxn + ⎡⎣ bij ⎤⎦ mxn = ⎡⎣a ij + bij ⎤⎦ mxn
olarak tanımlanır.
Teorem:A, B, C aynı tipten matrisler olmak üzere
1- A + B = B + A
2- (A + B) + C = A + (B + C)
3- A + 0 = 0 + A = A
Matrislerin Skalarla Çarpımı:Bir
matrisi
ile
bir
λ
A = ⎡⎣a ij ⎤⎦ mxn
skalarının
çarpımı
λA = λ ⎡⎣a ij ⎤⎦ mxn = ⎡⎣λa ij ⎤⎦ mxn Olarak tanımlanır.
Teorem:
Her
λ, λ1, λ 2
skalarları
ve
A = ⎡⎣a ij ⎤⎦ mxn , B = ⎡⎣ bij ⎤⎦ mxn matrisi için
1234-
λ (A + B) = λA + λB
(λ1 + λ2 ) A = λ1A + λ2A
(λ1.λ2) A = λ1.(λ2A)
1.A = A
Matrislerin Çarpımı:
A = ⎡⎣a ij ⎤⎦ mxn , B = ⎡⎣ b ij ⎤⎦ nxp
gibi birincisini sütun sayısı ikincisinin satır sayısına eşit olan iki matris verilsin. A matrisinin i.
satırı ile B matrisinin k. sütunundaki elemanlar
karşılıklı olarak çarpılıp, bu çarpımlar toplanırsa,
A.B matrisinin (ik). terimi elde edilir. Bu şekilde
elde edilen mxp türündeki
C = [ cik ]mxp matrisine
A ile B matrisinin çarpımı denir.
cij = a i1.b1j + a i2 .b 2 j +
n
" + a in .b nj = ∑ a ik .b kj
k =1
dir.
Özelikler
1 – (A.B).C = A.(B.C)
2 – A(B + C) = AB +AC
3 – AB ve BA çarpımları mümkün ise AB = BA
olması gerekmez.
4 – AB = 0 ise A veya B matrislerinin birinin 0
olması gerekmez.
5 – AB = AC ise B = C olması gerekmez.
Bir Matrisin Tersi: A nxn tipinde bir matris
olsun. A.B = B.A = In olacak şekilde bir B matrisi
varsa, B ye A nın çarpmaya göre tersi denir ve A-1
ile gösterilir.
⎡a b ⎤
A=⎢
⎥ kare matrisinin, çarpma
⎣c d⎦
1 ⎡ d −b ⎤
−1
işlemine göre tersi A =
a ⎥⎦
ad − bc ⎢⎣ −c
Bir
dır.
A karesel matrisinin çarpma işlemine göre tersinin olabilmesi için ad – bc ≠ 0 olmalıdır.
Teorem: Bir matrisin tersi varsa tektir.
Teorem:
Bir
A
matrisin
tersi
varsa
(A )
−1 −1
=A
dır.
Teorem: A ve B matrislerinin tersleri varsa ve
A.B ile B-1.A-1 tanımlı ise (A.B)-1 = B-1.A-1 dır.
Sonuç: A, B, C aşağıdaki işlemlerde tanımlı olacak
biçimde üç matris ise
1-
(A.B.C) −1 = C−1.B−1.A −1
2-
(A )
n −1
= ( A −1 )
n
1-
( A + B)
2-
(A )
T T
=A +B
T
T
=A
4-
( kA ) = kA T
T
( A.B ) = BT .A T
5-
(A )
3-
T
T −1
= ( A −1 )
T
(A
tersi
olan
karesel matris)
Tanım: A nxn tipinde bir karesel matris olsun
1- AT = A ise A ya simetrik matris,
2- AT = - A ise A ya anti simetrik matris.
3- AT = A-1 ise A ya ortogonal matris denir.
DETERMİNANTLAR
Tanım: 1x1 tipindeki karesel matrislerin kümesi
M1 ise ∀ [a] ∈ M1 için
det : M1 → R , det [a] = a
olarak tanımlanır.
Tanım: 2x2 tipindeki karesel matrislerin kümesi
M2 ise
⎡a b ⎤
A=⎢
⎥ ∈ M 2 için det : M 2 → R için
⎣c d⎦
⎡a b ⎤
det A = det ⎢
⎥ = ad − bc
⎣c d⎦
olarak tanımlanır.
Tanım: 3x3 tipindeki karesel matrislerin kümesi
M3 ise
⎡ a1
A = ⎢⎢ a 2
⎢⎣ a 3
⎡ a1
A = ⎢⎢ a 2
⎢⎣ a 3
dir.
Bir Matrisin Transpozu: Bir A matrisinin satırlarının sütun, sütunlarının satır yapılmasıyla elde
edilen matrise A matrisinin transpozu (devriği)
denir ve AT (Ad) ile gösterilir.
Teorem: k bir skaler ve A, B matrisleri mxn türünden matrisler olsun;
T
olarak tanımlanır.
Sarrus Kuralı: Bu kural yalnızca 3x3 tipindeki
matrislerde geçerlidir.
c1 ⎤
b 2 c 2 ⎥⎥ ∈ M 3 için det : M 3 → R için
b3 c3 ⎥⎦
⎡ a1 b1 c1 ⎤
det A = det ⎢⎢ a 2 b 2 c2 ⎥⎥
⎢⎣ a 3 b3 c3 ⎥⎦
b1
= a1b 2 c3 + a 2 b3c1 + a 3 b1c 2 − a1b3c 2 − a 2 b1c3 − a 3 b 2 c1
a1
a2
a3
b1
b2
b3
c1
c2
c3
a1
a2
b1
b2
c1
c2
b1
b2
b3
c1 ⎤
c 2 ⎥⎥
c3 ⎥⎦
ise det A değeri,
-a3b2c1
-a1b3c2
-a2b1c3
+ a1b2c3
+ a2b3c1
+ a3b1c2
Şemasına göre
det A = a1b2c3 + a 2 b3c1 + a 3b1c2 − (a1b3c2 + a 2 b1c3 + a 3b2c1 )
dir.
Minörler: Determinantta bir elemanın ait olduğu
satır ve sütun silinerek elde edilen determinanta
bu elemanın minörü denir. aij nin minörü Mij olarak gösterilir.
Eş Çarpan (Kofaktör): Bir determinantta satır
numarası i ve sütun numarası j olan elemanı seçelim. Bu elemanın minörünün (-1) i + j ile çarpımına
seçtiğimiz elemanın eş çarpanı denir. aij nin
kofaktörü Aij ile gösterilir
A ij = ( −1) .M ij dir.
i+ j
Teorem: A = [aij], n. mertebeden bir kare matris
olsun ve bir i = 1, 2, ….., n için ⏐A⏐ determinantı,
A nın i. satırındaki terimlerin kendileriyle ilgili
eşçarpanlarıyla çarpımlarının toplamına eşittir;
Yani,
n
A = a i1 .A i1 + a i 2 .A i2 + " + a in .A in = ∑ a ik .A ik
k =1
olur.
Determinant Fonksiyonunun Özelikleri
1. det AT = det A
2. Karesel bir A matrisinin bir satır veya
sütunundaki elemanları 0 ise ⏐A⏐= 0 dır.
3. Bir A matrisinin iki satır veya sütunu
kendi aralarında yer değiştirirse determinantın işareti değişir.
4. Bir
determinant’da
aynı
numaralı
saıtırlarla sütunlar yer değiştirdiği zaman determinantın değeri değişmez.
5. Karesel bir A matrisinin iki satır veya sütunu eşit ise ⏐A⏐= 0 dır.
6.
7.
8.
Karesel bir A matrisinin bir satır veya
sütunu k gibi bir reel sayı ile çarpılarak
bir B matrisi bulunursa B = k.⏐A⏐ olur.
Bir determinantın bir satır veya sütununun k katı başka bir satır veya sütuna eklenirse determinantın değeri değişmez.
Bir satırdaki (ya da sütundaki) elemanların başka bir satır (ya da sütundaki) elemanların
eşçarpanlarıyla çarpımlarının
toplamı 0 dır. (Örneğin 3x3 lük bir matris’de a11A31 + a12A32 + a13A33 = 0 dır.)
9.
Köşegenin altında ya da üstündeki elemanları 0 olan determinant köşegen elemanlarının çarpımına eşittir.
10. Bir determinantın her satırındaki her
eleman, iki elemanın toplamından oluşuyorsa, bu determinant, iki dterminantın
toplamı olarak yazılabilir.
a
b
c
a b c a b c
d+x e+ y f+z = d e f + x y z
g
h
k
g h k g h k
11. ⏐A.B⏐ = ⏐A⏐.⏐B⏐
(Determinantlarda
çarpma matrisler’de olduğu gibi yapılır.
Sonuç: A
Bir Matrisin Eki:
rının
−1
=A
−1
=
1
A
A = ⎡⎣ a ij ⎤⎦ nxn olsun aij elemanla-
kofaktörleri
Aij
ler
olmak
üzere
i
⎡⎣ Aij ⎤⎦ matrisine A matrisinin eki denir ve A
mxn
T
ile gösterilir.
Bir Matrisin Tersi: Tersi olan matrislere regüler
matrisler, tersi olmayan matrislere de singüler
matrisler denir.
1 i
A −1 =
.A
A
MATRİSLER ÜZERİNDE ELEMANTER SATIR
İŞLEMLERİ
Satır Vektörleri: Elemanları reel sayılar olan mxn
tipindeki bir matris
⎡ a11 a12 "
⎢a
⎢ #21 a #22 "
#
⎢ #
A=⎢
⎢ a#i1 a#i2 "
⎢ #
#
⎢
⎢⎣ a m1 a m2 "
a ij ∈ R, 1 ≤ i ≤ m,
a1j " a1n ⎤
a 2 j " a 2n ⎥⎥
#
#
# ⎥
#
⎥
a ij " a in ⎥
#
#
# ⎥
#
⎥
a mj " a mn ⎥⎦
1≤ j ≤ n
,
olsun bu matrisin satır vektörlerini A1, A2, …. Am
ile gösterirsek
A i = [ a i1 a i2 " a in ] , 1 ≤ i ≤ n
demek olur ve o zaman A matrisini satır matrisler
cinsinden
⎡ A1 ⎤
⎢A ⎥
A=⎢ 2 ⎥
⎢# ⎥
⎢ ⎥
⎣⎢ A m ⎦⎥
yazabiliriz.
Elemanter Satır İşlemleri: Bir mxn tipindeki
⎡ A1 ⎤
⎢A ⎥
⎢ 2 ⎥ matrisinin satır vektörleri üzerinde bir
⎢# ⎥
⎢ ⎥
⎣⎢ A m ⎦⎥
elemanter işlem aşağıdakilerden biridir:
1. c ≠ 0 ∈ R olmak üzere Ai vektörü yerine
c.Ai vektörünü alma işlemi Ai → cAi ile
gösterilir.
2. i ≠ j ve c ∈ R olmak üzere Ai vektörü yerine Ai + c.Aj vektörünü alma işlemi Ai →
Ai + cAj ile gösterilir.
3. i ≠ j olmak üzere Ai ve Aj vektörlerinin
yerlerinin kendi aralarında değiştirme işlemleri
Ai ↔ Aj ile gösterilir.
Bu işlemlere matrislerde elemanter satır işlemleri denir ve herhangi bir ε ile gösterilir.
Denk Matrisler: Satır vektörleriyle verilen iki
matris
⎡ A1 ⎤
⎢A ⎥
A=⎢ 2 ⎥
⎢# ⎥
⎢ ⎥
⎣⎢ A m ⎦⎥
ve
⎡ B1 ⎤
⎢B ⎥
B=⎢ 2 ⎥
⎢# ⎥
⎢ ⎥
⎣⎢ Bm ⎦⎥
olsun. Sonlu sayıda elemanter satır işlemleriyle A
dan B elde ediliyorsa A matrisi B matrisine denktir denir ve A ≈ B biçiminde yazılır.
Teorem: mxn tipindeki matrisler kümesinde ≈ ile
gösterilen denk bağıntısı bir denklik bağıntısıdır.
Bir Matrisin Rankı: Bir
A = ⎡⎣ a ij ⎤⎦ mxn ≠ 0 matrisi
verilsin bu matrisin terimlerinden meydana getirilebilecek bütün karesel alt matrislerden determinantı 0 dan farklı olanların mertebelerinin en
büyüğüne A matrisinin rankı denir ve Rank(A) ile
gösterilir.
Teorem:Denk matrislerin rankları birbirine eşittir.
Bir Matrisin Tersinin Bulunuşu:
[ A / In ] ≈ ⎡⎣ In / A −1 ⎤⎦
oluşundan faydalanılır.
Lineer Denklem Sistemlerinin Çözümlerini Bulma
A) İnvers Metodu
a11x1 + a12x2 + . . . . + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + . . . . + a2nxn = b2
………………………………..
………………………………..
an1x1 + an2x2 + . . . . + annxn = bn
Böyle bir denklem sistemini matrisler yardımıyla
⎡ a11 a12
⎢a
⎢ #21 a #22
#
⎢ #
A=⎢
⎢ a#i1 a#i2
⎢ #
#
⎢
⎢⎣ a m1 a m2
a1j " a1n ⎤
⎡ x1 ⎤
⎡ b1 ⎤
⎢
⎥
⎢b ⎥
⎥
a 2 j " a 2n ⎥
x2 ⎥
⎢
⎢ 2⎥
#
#
#
⎢
⎥
⎢# ⎥
⎥
#
#
⎥ .X = ⎢ ⎥ = B = ⎢ ⎥
" a ij " a in ⎥
⎢# ⎥
⎢# ⎥
#
#
⎢
⎥
⎢# ⎥
⎥
#
#
#
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎥
" a mj " a mn ⎥⎦
⎢⎣ x n ⎥⎦
⎢⎣ b n ⎥⎦
"
"
biçiminde yazabiliriz. Buradan X = A-1 . B çıkar
B)
a11x1 + a12x2 + . . . . + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + . . . . + a2nxn = b2
………………………………..
………………………………..
an1x1 + an2x2 + . . . . + annxn = bn
a11 a12 " a1n
Δ=
a 21 a 22 " a 2n
# #
" #
a n1 a n 2 " a nn
≠0
olmak üzere sistemin bir tek çözümü vardır. Bu
çözüm şöyle bulunur;
x1 =
dir. Burada;
Δ1
Δ
Δ
, x2 = 2 , " xn = n
Δ
Δ
Δ
b1 a12 " a1n
Δ1 =
b 2 a 22 " a 2n
#
#
"
#
b n a n 2 " a nn
a11 b1 " a1n
, Δ2 =
a 21 b 2 " a 2n
#
#
a n1 b n
"
#
,"
" a nn
biçimindedir.
C) Elemanter İşlemler İşlemler Metodu: AX = B
ile verilen bir lineer denklem sisteminde
[ A / B]
matrisinden
[ In / X ] matrisi elde edilerek sistem
çözülür.
Not: A(x1, y1) , B(x2 , y2) den geçen doğrunun
x
denklemi x1
x2
y 1
y1 1 = 0 dır.
y2 1