δJ = 0

21
FEN VE MÜHENDİSLİKTE
MATEMATİK METOTLAR
7. KİTAP
VARYASYON HESABI
J = 0
22
İÇİNDEKİLER
I. OPTİMİZASYON
A) Fonksiyon Optimizasyonu : Türev
B) Kısıtlar ve Lagrange Çarpanları
C) Fonksiyonel Optimizasyonu : Euler Denklemleri
D) Hamilton Yaklaşımı
II. UZAY – ZAMAN’DA EVRİM
A) Lagrange Fonksiyonu
B) Eylem Fonksiyoneli
C) Euler – Lagrange Denklemleri
D) Hamilton Denklemleri
E) Hamilton – Jacobi Denklemleri
EKLER VE NOTLAR
23
I. OPTİMİZASYON
A) Fonksiyon Optimizasyonu : Türev
Verilen bir sayı için, belli bir kurala göre başka bir sayı üretmenin "Fonksiyon" olarak
adlandırıldığı görülmüştü. Verilen bir fonksiyon için, gene belli bir kurala göre bir sayı
üretmek ise "Fonksiyonel" olarak adlandırılacaktır. Çok değişkenli fonksiyonlar olduğu gibi
çok fonksiyonlu fonksiyoneller de vardır. Özetle :
Sayı(lar)  Tek bir sayı
:
Fonksiyon
Fonksiyon(lar)  Tek bir sayı
:
 xi 
;
Fonksiyonel
;
 F  xi 
F  x 
j
i
 J  Fj  xi  
Bir fonksiyonu optimize etmek, yani minimum ve maksimum değerlerini bulmak için türevini
sıfıra eşitlemek, üzerinde fazla düşünülmeden uygulanan bir işlemdir. Daha derin bir
yaklaşım bizi optimizasyonun yerel bir simetri işlemi olduğu gerçeğine götürür. Simetri,
genel anlamıyla, bazı şeyleri değiştirdiğimiz halde her şeyin aynı kalmasıdır.(1) Belli bir
noktadan çok küçük bir miktarda uzaklaşınca fonksiyon değerinin değişmemesi ise 'Yerel
Simetri' olarak yorumlanabilir. Yani
F  x  dx   F  x 

F x 
F  x  dx   F  x 
dx
 0
olma şartının altında işte bu simetri ilkesi yatmaktadır. Doğal olarak uç noktaları da kontrol
etmek gerekir; mesela
F  x  m x  b
gibi lineer bir fonksiyonun türevi sıfır olmaz ve
optimum noktalar uçlarda yer alır. Bu olgunun çok daha genel hali "Lineer programlama"
konusunu oluşturur.
B) Kısıtlar ve Lagrange Çarpanları
f  xi 
fonksiyonunun
 n  xi   0
kısıtları altında nasıl optimize edileceği de ilginç bir
konudur. Bu durumda yeni, ancak sayısal olarak
Lagrange çarpanları olarak adlandırılan
n  'lar
f  xi  'den farklı olmayan bir fonksiyon,
aracılığıyla
24

F  xi , n   f  xi  
n n
olarak tanımlanır ve
n
olması istenir. Bir örnek olarak
Yeni yaklaşımda ise
x 
&
4
amax 
a  x, y   x y
maksimum değerini bulmak için
A
 y  2  0 ,
x
denklemlerinden gene


a  x  x   x 
2

olarak yazıp, a  x   0
2
16
çözümünü elde etmektir.
fonksiyonunun
2x  2 y 
A  x, y   x y    2 x  2 y 
 0

A
 x  2   0 , A  2 x  2 y 
y

x  y 
F
 0
n
&
uzunluğunda bir çitle çevrilecek maximum dikdörtgen
alan problemine standart yaklaşım : alanı
şartını kullanarak
F
 0
xi
4
&
amax 
kısıtı altında
yazılır ve
 0
2
16
bulunur.
C) Fonksiyonel Optimizasyonu : Euler Denklemleri
Fonksiyonellerin optimizasyonu ise fizik ve matematiğin belki de en temel konusudur; bu
bazen " J  f  x  
fonksiyonelinin optimizasyonu bize ne verir ? " bazen de " Doğa
yasaları nasıl bir J  f  x  
fonksiyonelinin optimizasyonu sonucu ortaya çıkmış olabilir ? "
biçiminde incelenir. Önce Brachistochrone benzeri kinematik problemlerde, sonra klasik
mekaniğin "Eylem" fonksiyoneli ile formüle edilmesinde kullanılan bu metot, geometrik
optiğin Fermat ilkesinden, kuantum mekaniğinin yörünge integrali formalizmine kadar
vazgeçilmez bir yaklaşım olarak değerini arttırmıştır. Fonksiyonel optimizasyonu için, aynen
fonksiyonlarda kullanılan mantıkla
J  f  x    f  x    J  f  x  
f  x  biraz değiştirilerek
olması istenir. Bazen de   x    f  x 
 J  J  f  x     x    J  f  x    0
tanımıyla
olarak ifade edilen bu teknik "Varyasyon
hesabı" olarak adlandırılır. Çok genel bir konu olan varyasyon hesabının bu kitapta sadece
J 

b
a
dx f  y  x  , y  x  ; x 
özel hali üzerinde durulacaktır.(2)
25
  a    b   0
Uç noktalarda
sağlayan bir varyasyon kullanılarak gerçekleştirilen
y  x  y  x    y  x   y  x    x 
ve dolayısıyla
y  x   y  x      x 
dönüşümleri altında  J  0 ifadesi

b
a
dx  f  y  x     x  , y   x      x  ; x  
biçimini alır.


b
a
b
a
dx  f  y  x  , y   x  ; x   0
b

a
f  y   , y    ; x   f  y , y ; x  
 f

f
dx 
 
   0
y 
 y
f d
f
dx


y dx
y

sonucu elde edilen
b
a
olarak yazılarak
sonucuna ulaşılır. İkinci terimin kısmi integrali alınarak
b

f
f
dy 
dy
y
y

b
a
a
 f 
d
   
 y 

b
a
dx
d  f 

dx  y 
biçiminde açılması
 f
d  f  
dx 

   0 eşitliği tüm  fonksiyonları için
dx  y   
 y
d  f 
f

 0


dx  y  
y
geçerli olduğundan Euler denklemi olarak adlandırılan
eşitliğine
ulaşılır. Bu denklem veya onun çoklu bağımsız fonksiyon biçimi olan
d  f 
f
 0

 
dx  yj 
y j
varyasyon hesabının temelini oluşturur.
D) Hamilton Yaklaşımı
f  y, y, x 
fonksiyonunun
d f f

 0
dx y y
J 

x
xo
dx f  y, y, x 
integralinin optimum olma şartının
Euler denklemi olduğu görülmüştü.
bağlı olmayıp, sadece
Hamilton yaklaşımında
f  y , y 
h 
fonksiyonunun x 'e doğrudan
olduğu özel durumlarda çok yararlı bir metot olan
f
y  f
y
dh
d f
f
df

y 
y 
dx
dx y
y
dx
f
tanımından yola çıkılır. x 'e göre türev sonucu
veya
dh 
f
f
dy 
dy  df
y
y
bulunur,
26
ancak
f
 0
x
olmaktadır.
durumunda
df 
f
y   f  Sabit
y 
f
f
dy 
dy
y
y
olduğuna göre
dh  0
olarak da ifade edilen bu denklem yararlı ve kullanışlı bir
korunum yasasıdır.
PROBLEMLER
P.I.1 ) Deniz kenarındaki dikdörtgen bir alanın üç yanı
uzunluğunda bir çitle çevrilmek
isteniyor. Maksimum alanın boyutlarını Lagrange çarpanı kullanarak bulun.
P.I.2 ) Bir düzlemde
 x, y 
P.I.3 ) Silindirik bir yüzeyde
:  0,0  
 , z 
 B, H 
noktaları arasındaki en kısa yolu bulun.
:  0,0    , H 
noktaları arasındaki en kısa yolu
bulun.
P.I.4 ) Küresel bir yüzeyde
 , 
:  0,0    ,  
noktaları arasındaki en kısa yolun
söz konusu noktalar ile kürenin merkezinden geçen bir düzlemin küreyi kestiği ‘Büyük Daire’
olduğunu gösterin.
P.I.5 ) Brachistochrone problemi : yerçekimli ortamda
 x, y 
:  0,0  
 B,  H 
noktaları arasında en kısa zamanda yol almayı sağlayacak, sürtünmesiz yolu bulun.
27
  L 2 , 0
P.I.6 ) Yerçekimli ortamda, eşit yükseklikteki noktalar :

 L

ve
 L 2 , 0 ’dan
uzunluğunda bir ip sarkıtılıyor. İpin potansiyel enerjiyi minimum yapacak
şekilde sarkacağını varsayarak alacağı biçim : y  y  x  ’i hesaplayın.
P.I.7 )
J 

b
a
dx f  y  x  , y  x  , y  x  ; x 
fonksiyonelini optimize eden Euler
denklemini oluşturun.
P.I.8 ) J 

x
xo
fonksiyonelinin optimizasyonu F2 y  F2 y  Fo y  Q  x 
dx   y, y, x 
  y , y, x 
Hermitsel LDD ’ini oluşturacak bir
oluşturun.
P.I.9 ) Fermat ilkesi, ışığın 'En kısa zaman yol' unu seçmesini öngörür. Işığın madde içindeki
hızı, n : kırılma indisi olmak üzere
c
ile verilir. Kırılma indisinin
n
  L 2 , 0
azalan bir fonksiyon olması durumunda,
y 
yörüngenin, H : en üst nokta olmak üzere,
Bu ara sonuçtan hareketle önce
bulunur, sonra da

0
n2  y   n2  H 
nH 
dy
n
dy
y
0

H
n2  y   n2  H 
2

 y  n H 
2
 x  L 2

 L 2 , 0
ve
L
2 nH 
n  n  y  , sürekli
noktaları arasındaki
olduğunu gösterin.
denkleminden H
denklemi kullanılarak yörünge elde
nH 
edilir.
P.I.10 )
n  y   no exp   y 
arasındaki ışık yörüngesinin
  L 2 , 0
durumunda
y  x  H 
1


ve
 L 2 , 0

, yörüngenin en üst
n cos  x 
2 

noktaları
28
noktasının
 
H 



L
no L sin
2

L
c
2

n sec  L 
2 

1

, ışığın kaynaktan gözlemciye ulaşma süresinin
olduğunu gösterin.
Işığın düz bir çizgide yol aldığı önyargısı, gözlenen nesnenin, ışığın gözlendiği noktadaki
yörüngesinin eğimi doğrultusunda olduğunu sandırır. Buna göre görülen serap ufuktan açı
olarak ne kadar yüksekte gözlenecektir?
n  y   no 1   y 
P.I.11 )
durumunda
  L 2 , 0
ve
 L 2 , 0
noktaları
arasındaki ışık yörüngesinin, H : en üst nokta olmak üzere,
1 
  x 
1  1   H  cosh 


 
 1   H 
y  x 
H
 L2
,
8
y  x
  L2

 x 
2 4

ve serap görüntüsü açısı: 
2
L
2
, 
ile verildiğini ve
 L  1
için
no L   2 L2 
1 

c 
8 
olduğunu gösterin.
II. UZAY – ZAMAN’DA EVRİM
A) Lagrange Fonksiyonu
x
exp  i
k a
t
exp  i

w 
xa

t 
biçiminde ifade edilen uzay ötelemeleri ile
biçiminde ifade edilecek zaman ötelemeleri birleştirilerek
29
exp  i
x ,t
k,w

k a
0
exp  i
w 
x  a , t 

olarak yazılır. Genelde
olmadığı için iki işlemin tek bir üstel fonksiyon olarak birleştirilmesi
ancak sonsuz küçük yerel ötelemeler için geçerlidir.
exp  i
x ,t
exp  i
exp i
x ,t
tanımıyla

k dx 
w dt 

x  dx , t  dt
 k v  w  dt 
ket 'i ile çarpılınca   x, t 

x  dx , t  dt
dx
dt
denklemi sağdan
fonksiyonunun uzay-zaman’da yerel evrimi elde edilir.
  xo , to  başlangıç noktasından, herhangi bir   x, t 
 xo , x 
ve
 to , t 
aralıkları N parçaya bölünür ve
 xo , to 

 x1, t1 

 x2 , t2 
v 
veya
 ... 
 xN , t N 
noktasına global bir evrim için
gelişimi incelenir. Bu işlem dizisine
geçmeden önce kuantum aksiyomları
p k
( DeBroglie)
ve
H 
w
( Planck-Einstein)
k vw
fiziksel bir içerik kazandırmak yerinde olacaktır.
L  p v H
olarak adlandırılan
küçük
xo , to
cinsinden
1
L
kullanılarak formalizme
ifadesi, Lagrange fonksiyonu
olarak yazılırsa, yeterince
t 'ler için
i

i

i

exp  L1 1t  exp  L2  2 t  exp  L3  3t 






elde edilir. Bu noktada
N
operatörü için

n 1
N  
ve
 t n
 0
i
i

exp  L n  n t   exp 



Riemann integraline erişilir.(3)
N

n 1
i

exp  LN  N t  


xN , tN
limitleri alınarak, global evrim

i
L n  n t   exp 



t
to

L dt 

30
B) Eylem Fonksiyoneli

t
to
L  x, v, t  dt
integrali “Eylem” fonksiyoneli olarak adlandırılır ve S ile gösterilir.
Böylece S , Lagrange fonksiyonunun fonksiyoneli, ama to ve t değerlerinin
fonksiyonu olmaktadır.
i 
exp  S  ifadesinde yer alan


Planck sabitinin, kaynağını
insan ölçeğinden alan MKS sisteminde 1034 gibi çok, çok küçük bir sayı oluşu önemlidir.
S fonksiyonelinde
S  
i 
exp  S    xo , to     x, t 


kadar çok küçük bir oynamanın
denkleminde sonucun işaretini değiştireceği ve
x -t düzleminde çok yakın yolların katkılarının sıfıra toplanacağı sezilmektedir.
Sadece S 'nin maksimum veya minimum olduğu yörüngelerde bu durum oluşmaz ve komşu
yörüngelerden gelen katkılar birbirini destekler.


t
to
L  x, v, t  dt  0
kuralı, kuantum
teorisinden çok önce anlaşılmış ve "Hamilton prensibi" olarak adlandırılmıştır.
C) Euler – Lagrange Denklemleri
Klasik mekaniğin temelini oluşturan bu ilke tek boyutta
d L
L

 0
dt v
x
, veya çok
parçacıklı ve 3-Boyutlu sistemlerde, genelleştirilmiş koordinatlar ve hızlar cinsinden
d L
L

 0
dt q j
q j
temelinde
S  S
Euler-Lagrange denklemlerine yol açar. Bu denklemlerin
oluşu yattığına göre, zaten
S
olan atomik sistemlerde
Hamilton ilkesi ve dolayısıyla klasik mekanik geçerli olamaz.
D) Hamilton Denklemleri
Aynı yaklaşımı 1-Boyutta klasik mekaniğe uygulamak için
H  p vL
p 
L
v
tanımıyla
olarak yazılan Hamilton fonksiyonunun, v değişkeninin p kullanılarak
31
H  x, p 
yok edilmesi sonucu
dH
dt
konusunda


olması istenir. Hamilton fonksiyonunun zamana bağlılığı
d  L 
L dv
dL
L dx
L dv
dL






 v 
dt  v 
v dt
dt
x dt
v dt
dt
L dx
L dv
L dx
L dv
L
L




 
x dt
v dt
x dt
v dt
t
t
fonksiyonunun zamana doğrudan bağlı olmadığı durumlarda
H  p vL
yasasına erişilir. Gene

H
x

L
d  L 


  p
x
dt  v 
olur ve Lagrange
H  Sabit
korunum
H
p
 v  x
tanımından yola çıkarak
ve
, Lagrange denklemlerine eşdeğer olan Hamilton
denklemleri elde edilir. 1-Boyutta ve tek parçacık için oluşturulan bu çok basit sonuçlar,
gerçek hayatta 3-Boyutta
N parçacıktan oluşan ve K kısıtlaması olan sistemler için
j  1 , 2 , ... , 3N  K olmak üzere q j genelleştirilmiş ve bağımsız koordinatlar, hızlar
ve momentumlar cinsinden
d L
L

 0
dt q j
q j
;
pj 
L
q j
,
L
 qj
p j
H
q j

,
 pj
denklemlerine genelleşir.
E) Hamilton – Jacobi Denklemleri
S 

t
to
dt L  x, v, t 
S  S  x, t 
tanımından
dS  L dt  p dx  H dt
için tamamen matematiksel bir yaklaşım ise
vermektedir. Bu iki denklemin karşılaştırılmasından
p 
dS 
S
x
bulunur. Öte yandan
S
S
dx 
dt
x
t
, H  
S
t
elde edilir. 1-Boyutta harmonik osilatör problemi bu yaklaşımla
S
1  S 
m 2 x2





t
2m  x 
2
2
olur. Üstel bir ifadede yer alacak
S  x, t 
fonksiyonu
içeren bir Kısmi DD 'in çözümünde değişkenlerin ayrıştırılması metodu kullanırken çözümü
bir çarpım olarak varsaymak doğru olmaz;
S  x, t   X  x   T  t 
daha doğru bir
32
yaklaşımdır ve sol yanı sadece zamana, sağ yanı ise sadece uzaya bağlı
dT
1  dX 
m 2 x2



 
dt
2m  dx 
2
2
eşit olması ile mümkündür.
dT

 E
dt
denkleminin sağlanması ancak iki tarafın da aynı sabite
E olarak seçilen ve Enerji olarak adlandırılan bu sabit ile
1  dX 
m  2 x2

 E


2m  dx 
2
2
,
olmak üzere S  x, t  
m
x
2
E U  x 
denklemlerine ve
U  x 
 U  x 
  Et
sin 1 


E 


E
m 2 x2
2
çözümüne
ulaşılır.
PROBLEMLER
P.II.1 ) 10 m uzunluğundaki bir odayı 10 sn içinde geçen 1 mg kütleli bir sivrisinek için
S fonksiyonelinin değerini hesaplayın ve bu değeri
 1034
kg m2
sn
değerine
oranlayın.
P.II.2 ) Hidrojen atomunun Bohr modeli taban seviyesinde tam bir tur atan bir elektron için
S fonksiyonelinin değerinin
İpucu : Virial Teoremi :
U
3
olduğunu gösteriniz.
 2
K
 L  3K
33
EKLER VE NOTLAR
(1) Nobel ödüllü fizikçi Wilczek 'in hukuk terimleri arasından seçtiği deyimle "Distinction
without difference".
(2) Ters bir örnek olarak : Bir kuantum sisteminin taban enerji seviyesi, potansiyel
fonksiyonunun fonksiyonelidir ancak bu Euler denklemi benzeri bir denkleme yol açmaz.
(3) Sayılamayacak kadar sonsuz
 1 
sayıda noktayı, sayılabilir sonsuz
 o 
sayıda
ama sonsuz küçük aralıklarla temsil eden Riemann integrali, matematiğin çok yararlı bir
kandırmacasıdır.