2. Vektörler

Fizik
FIZK111/FIZK101
Vektörler
Dr. Mete Ramazan
[email protected]
Eczacılık ve Fizyoterapi
2022-2023 Yaz
Uluslararası Final Üniversitesi
1
Önceki Ders
• Fiziğe giriş
• Ölçüler
• Fiziksel nicelikler
• Birimler
• SI birim sistemi
• Birimlerin dönüştürülmesi
2
Bugünkü Ders
Vektörler ve Hareket
• Koordinat ve Referans Sistemleri
• Skalerler ve vektörler
• Yer değiştirme, hız ve ivme vektörleri
• 2 Boyutta Hareket
3
KOORDİNAT VE REFERANS SİSTEMLERİ
Uzaydaki herhangi bir cismin konumunu belirlemek için
kullanılan koordinat sistemi;
• orijin denilen belli bir O referans noktası,
• üzerleri ölçeklenmiş ve isimlendirilmiş belli eksen veya
doğrultuları,
• Uzaydaki bir noktanın konumunu nasıl işaretleyeceğimizi
söyleyen bilgileri içermelidir.
4
Uygun bir koordinat sistemi, dik koordinat
sistemi de denilen kartezyen koordinat
sistemidir.
y
R
Q
(-3,4)
(x, y)
P
(5,3)
x
O
Şekil. Kartezyen koordinat
yerlerinin gösterilmesi.
sisteminde
noktaların
5
Bazen düzlemdeki bir nokta, Şekildeki gibi, (r,) düzlem
kutupsal koordinatlar (polar coordinates) ile temsil edilir.
y
(x, y)
sin = y/r
r
y
r

O
x
cos = x/r
tan = y/x

x
Şekil. Bir noktanın düzlem kutupsal koordinatları r uzaklığı ve  açısıyla temsil edilir.
6
Düzlem kutupsal koordinatlar ile başlayarak, Kartezyen
koordinatlar
𝑥 = 𝑟 cos 𝜃
ve
y = 𝑟 sin 𝜃
denklemlerinden elde edilebilir. Ayrıca,
𝑦
tan 𝜃 =
𝑥
ve
𝑟=
𝑥 2 + 𝑦2
olduğu hesaplanabilir.
7
Örnek: −2𝑥0, −2𝑦0 noktasının kutupsal
koordinatları (polar koordinatları) 𝑟, 𝜃 nedir?
Çözüm: 𝑟 =
𝑥2 + 𝑦2 =
𝑦
−1
𝜃 = tan
𝑥
= tan−1
−2𝑥0 2 + −2𝑦0 2 = 2 𝑥 2 + 𝑦2.
0
−2𝑦0
−2𝑥0
= tan−1
Çeyrekte (x ve y negative olduğu çeyrek)
𝑦0
𝑥0
0
= 180 + 𝜃 , üçüncü
8
SKALERLER VE VEKTÖRLER
• Sayısal büyüklüğü ve birimi verildiğinde, tamamen
belirli
olan
nicelikler
skaler
büyüklükler
olup
doğrultuları (yönleri) yoktur.
• Örneğin, sıcaklık, hacim, kütle, yoğunluk gibi.
• Tamamen belli olabilmesi için sayısal büyüklüğü ve
birimi yanında doğrultu ve yönünün de belirlenmesi
gereken niceliklere vektörel büyüklükler denir.
• Hız, uzaklık, kuvvet, ivme, elektrik alanı gibi.
9
Bir vektörün üç elemanı vardır.
Uygulama Noktası (başlangıç noktası): Vektörel büyüklüğün uygulandığı
noktaya uygulama ya da başlangıç noktası denir. Yukarıdaki vektörün
uygulama noktası O noktasıdır.
Büyüklüğü: Vektörün sayısal değerine o vektörün büyüklüğü denir. Şekilde
→
verilen a vektörünün büyüklüğü a = AB' dir.
Yönü:Vektörel büyüklüğün yönü, doğru parçasının ucuna konulan okun
yönündedir. Şekildeki →
a vekötürnün yönü O' dan A' ya yöneliktir veya doğu
yönündedir.
→
A noktasından B noktasına hareket eden bir cismin yer-değiştirme
vektörü A noktasından B noktasına çizilen bir okla gösterilir.
Okun uzunluğu yer-değiştirmenin büyüklüğü ile orantılıdır. Okun
yönü ise yer-değiştirmenin yönü ile ilgilidir.
Şekilde A dan B ye, A' den B' ne ve A'' nden B'' ne çizilen
vektörlerin büyüklükleri ve yönleri aynıdır.
Vektörler,
büyüklükleri ve
doğrultuları
değiştirilmeden istenildiği gibi kaydırılabilir.
Kitaplarda vektörler sembolik olarak iki şekilde gösterilir:
→
a (niceliğin üzerine bir ok çizilir)
a
(nicelik koyu yazılır)
→
Vektörün büyüklüğü de a veya
a biçiminde sembolize edilir.
(2-3)
VEKTÖRLERİN BAZI ÖZELLİKLERİ
İki Vektörün Eşitliği
→
→
Aynı yönde ve aynı büyüklükteki A ve B vektörleri
eşit vektörlerdir.
y
O
x
Şekil. Aynı vektörün dört gösterimi.
12
Vektör işlemleri
•Vektörlerin Eşitliği
• Bir Vektörün Negatifi
•Vektörün Taşınması
•Vektörlerin Toplanması
•Vektörlerin Çıkarılması
•Vektörün Bileşenlerine Ayrılması
•Vektörün Büyüklüğünün Bulunması
•Vektörün bir eksenle yaptığı açının bulunması
•Vektörlerin bileşenleri cinsinden toplanması
•Vektörlerin Çarpılması
1.Bir Vektörün Bir Skaler ile Çarpılması
2.İki Vektörün Skaler (dot veya nokta çarpım) Çarpılması
3.İki Vektörün Vektörel Çarpılması
•Vektörlerin Skalerle Bölünmesi
•VEKTÖR VEKTÖRE BÖLÜNMEZ !!!
(2-4)
Vektörlerin Toplanması
a. Üçgen yöntemi
→ →→
R=A+B
→
B
- Uçtan uca ekle
- 1.sinin başlangıcından 2.sinin
sonuna uzanan vektördür
→
A
b. Paralelkenar yöntemi
→
B
→→ →
R=A+B
-Başlangıçları birleştir
- Paralel hesaplama sonrası ortada
kalan vektördür
→
A
14
* İki vektör toplandığında, sonuç toplamın sırasından
bağımsızdır ve toplamanın değişme özelliği olarak
bilinir:
A +B =B +A
* Üç veya daha fazla vektör toplanırsa; sonuç, her bir
vektörün
birbirleriyle
gruplandırılma
şeklinden
bağımsızdır. Buna toplamanın birleşme özelliği denir.
A + (B + C) = (A + B) + C
15
Vektörlerde Geometrik Toplama :
A
R=A+B=?
B
A
B
C
D
R=A+B+C+D=?
(2-6)
Vektörlerde Geometrik Toplama :
B
A
A
R=A+B
R=A+B=?
B
C
A
B
D
C
D
R=A+B+C+D=?
B
A
R=A+B+C+D
(2-6)
Bir Vektörün Negatifi
•
A vektörünün negatifi, A vektörüyle
toplandığı zaman sonucu sıfır olan vektör
olarak tanımlanır.
• A ve –A vektörleri aynı büyüklükte fakat
zıt yöndedirler.
A + (-A) = 0
18
Vektörlerin Çıkarılması
A-B işlemi, A vektörü ile toplanan –B vektörü
olarak tanımlanır.
A - B = A + (-B)
B
A
A-B
-B
19
Vektörlerde Geometrik
Çıkarma:
-B
A
R=A-B=?
R=A-B
A
B
B
R=A-B+C
A
B
C
R=A-B+C=?
A
C
-B
Örnek: Bir mağarayı incelemek isteyen birisi girişten
başlayarak, şu uzaklıklara gitmektedir: 75 𝑚 kuzeye, 250 𝑚
doğuya, doğu ile 30°’lik açı yaparak kuzeydoğu yönünde
125 𝑚 ve güneye 150 𝑚. Mağara girişinden itibaren, bileşke
yerdeğiştirmeyi bulunuz.
21
75 𝑚 kuzeye, 250 𝑚 doğuya, doğu ile 30°’lik açı yaparak kuzeydoğu yönünde 125 𝑚 ve güneye 150 𝑚
𝑥 = 250 + 125 cos 30° = 358,25 𝑚
𝑦 = 75 + 125 sin 30° − 150 = −12,5 𝑚
𝑅=
𝑥2 + 𝑦2 =
358,25 2 + (−12,5)2
= 358,46 𝑚
22
BİR VEKTÖRÜN BİLEŞENLERİ
Vektörlerin, dik koordinat sisteminin eksenleri
üzerindeki izdüşümlerine o vektörün bileşenleri
denir.
A = Ax+Ay
y
Ax = Acos
A
Ay
A=

O
Ay = Asin
Ax
x
A2 +A2
x
y
tan = Ay/Ax
23
BİRİM VEKTÖR
• Vektörel nicelikler, verilen bir yönü belirlemek için
kullanılan birim uzunluklu ve boyutsuz olan birim
vektörler cinsinden ifade edilirler.
• x, y, z doğrultularını gösteren birim vektörler,
sırasıyla, i, j, k harfleriyle gösterilirler.
z
k
O
x
i
෡
k=𝒌
j
i=𝒊Ƹ
y
j=𝒋Ƹ
24
A ve B gibi iki vektör x, y ve z bileşenlerine göre
A = Axi + Ayj + Azk
B = Bxi + Byj + Bzk
şeklinde ifade edilir. A ve B vektörlerinin toplamı ise,
R = A+B = (Ax+Bx)i + (Ay+By)j + (Az+Bz)k
ile verilir.
25
Bileşenleri Yardımıyla Vektörlerin Toplanması:
→
a = axi + a y j
→ → →
→ r = a+b =?
→
→
b = bx ˆi + by j
ˆ
r = (ax + bx ) i + (ay + by )ˆj
Bileşenleri Yardımıyla Vektörlerin Çıkarılması:
→
a = ax i + a y j
→ →→
→
→ d = a −b = ?
b = bx ˆi + by j
d = (ax − bx )ˆi + (ay − by )ˆj
Ö r n e k : Bir dikdörtge n le r prizmasının boyutları şekildeki gibi a, b
v e c ’d ir . Y ü z e y k ö ş e g e n v e k t ö r ü v e c i s i m k ö ş e g e n v e k t ö r ü i ç i n b i r
ifade elde ediniz. B u vektörlerin büyüklükleri nedir?
z
b
a
O
Çözüm:
R2
R1
c
y
x
R1 = ai + bj
R1 = (a2+b2)1/2
R 2 = ai + b j + ck
R2 = (a2+b2+c2)1/2
27
Örnek : Bir cisim üç ardışık yer-değiştirme yapıyor. Bunlar sırasıyla,
→
→
→
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
d1 = 15i + 30j+12k cm, d 2 = 23i −14 j − 5k cm ve d 3 = −13iˆ +15jˆ cm
olduğuna göre, toplam yer-değiştirme vektörünün bileşenlerini ve
büyüklüğünü bulunuz.
→
R = d1 + d2 + d 3 = (15 + 23 −13 )ˆi + (30 −14+15 )ˆj+ (12 − 5 )kˆ
= 25î + 31ĵ+ 7k̂ cm
Rx = 25 cm ; Ry = 31 cm ; Rz = 7 cm
R = R 2 + R 2 + R2 =
x
y
z
(25)2 + (31)2 + (7)2 = 40, 4 cm
Örnek: A şehri B şehrinin 46 km batı ve 35 km güneyinde yer almaktadır.
Bu iki şehir arasındaki en kısa mesafenin büyüklüğünü ve yönünü bulunuz.
R = − 46iˆ – 35 ĵ
46 km
R = (46 km)2 + (35 km)2
−35 km
tan  =
−46 km
 = 37,30
35 km
R = 57,8 km
=
R=?
A
B
Örnek: A = 6i-8j, B = -8i+3j, C = 26i+19j ise aA + bB + C = 0
olacak şekilde a ve b’yi tayin edin.
Örnek: 𝑨=6i-8j, 𝑩 =-8i+3j, 𝑪 = 26i+19j ise a 𝑨 + b 𝑩 + 𝑪 = 0
olacak şekilde a ve b’yi tayin edin.
Çözüm:
a 𝐴Ԧ + b 𝐵 + 𝐶 = 0
a(6i-8j) + b(-8i+3j) + (26i+19j) = 0
(6a-8b+26)i + (-8a+3b+19)j = 0
(4/3) * 6a - 8b + 26 = 0 
-8a + 3b + 19 = 0

8a - 10,67b + 34,69 = 0
(1)
-8a + 3b + 19 = 0
(2)
(1) ve (2)’yi taraf tarafa toplarsak
-7,67b + 53,69 = 0
b=7
Bunu (2)’de yerine yazarsak
-8a + 3.7 + 19 = 0
-8a = 40
a=5
32
Örnek: Bir erkek çocuğu bir kıza, şekildeki gibi, 240 N’ luk bir kuvvet
uygulamaktadır. Kızın kolu yatayla 28 açı yaptığına göre bu kuvvetin
bileşenlerini bulunuz.
F = 240 N
Fy
F
280
Fy
Fx
Fx = −|(240 N) cos 280| = − 2400,88= − 212 N
Birim vektörler cinsinden
Fy = +|(240 N) sin 280| =2400,47= +113 N
F = − (212 N )iˆ+ (113 N ) ĵ
Örnek: Bir kaplumbağa aşağıda verilen ardışık üç yerdeğiştirme ve bu yer
değiştirmelerin yatayla yaptığı açı verilmiştir. Kaplumbağanın toplam yer değiştirme
vektörü R’ nin büyüklüğünü ve yönünü bulunuz.
A = 5 m, 0o
R
B = 2,1 m, 20o

A=5m
C = 0,5 m, 90o
C = 0,5 m
20o
B = 2,1 m
cos 20o= 0.94
sin 20o= 0.34
X-bileşeni (i)
Y-bileşeni (j)
A=5 m

00
+5m
0
B=2,1m
200
+(2,1 m) cos 20o
Vektör
C=0,5 m 900
0
Rx = Ax+Bx+Cx
+(2,1 m) sin 20o
+ 0,5 m
Ry = Ay+By+Cy
Örnek devam: Verilen üç vektörün toplamını bulunuz.
x-bileşeni (i)
y-bileşeni (j)
Ax = + 5,00 m
Ay = 0
Bx = +1,97 m
By = +0,72 m
Cx = 0
Cy = + 0,50 m
A = 5,00 i + 0 j
B = 1,97 i + 0,72 j
C=
0 i + 0,50 j
R = 6,97 i + 1,22 j
İKİ VEKTÖRÜN SKALER ÇARPIMI
𝐴Ԧ ve 𝐵 gibi iki vektörün skaler çarpımı,
Ԧ 𝐵 = |A||B|cos
𝐴.
𝐵
ile verilir.

𝐴Ԧ
𝐵cos
36
Skaler çarpımın bazı özellikleri
1. Skaler çarpım değişme özelliğine sahiptir.
A.B = B.A
2. Skaler çarpım çarpmanın dağılma özelliğine sahiptir.
A.(B+C) = A.B+A.C
3. i, j, k birim vektörlerinin skaler çarpımları:
i.i = j.j = k.k = 1
i.j = i.k = j.k = 0
37
Bileşenleri Cinsinden Skaler Çarpım :
→→
a  b = a x ˆi + a y ˆj+ a z kˆ  bx ˆi + by ˆj+ bz kˆ
(
)(
)
î ⊥ ĵ ⊥ k̂ olduğundan,
î  î = ˆj ĵ = k̂  k̂ = 1 

ˆ
î  ĵ = j î = 0

→
→
→
a  b = a xbx + a y by + az bz bulunur.

î  k̂ = k̂  î = 0


ˆj k̂ = k̂  ĵ = 0

→
→
ˆ kˆ ve B = −4iˆ+ 2jˆ − kˆ vektörleri arasındaki
Örnek : A= 2iˆ + 3j+
açıyı bulunuz.
Bu soruda, iki vektör arasındaki açıyı bulmak için vektörlerin iki
farklı yolla skaler çarpım işleminden yararlanacağız. İki sonucu
birleştirerek açıya geçeceğiz.
→→
I.Yol: A  B = ABcosθ =
(2)2 + (3)2 + (1)2  (−4)2 + (2)2 + (−1)2  cosθ
= 14  21  cosθ
II.Yol: A  B = Ax Bx + Ay By + Az Bz = (2)(−4) + (3)(2) + (1)(−1) = −3
3
3
A B
=−
cosθ =
=−
= −0,175 → θ = 100o
AB
14  21
294
Örnek 2: A ve B vektörleri A = 3i+4j, B = -2i+3j olarak veriliyor.
A.B skaler çarpımını hesaplayınız ve A ile B arasındaki  açısını
bulunuz.
Çözüm:
A.B = (3i+4j).(-2i+3j)
= 3i.(-2i) + 4j.3j
A.B = -6 + 12 = 6
A.B = ABcos
cos = A.B / AB
2
2 1/2
A = (Ax +Ay )
A = (32+42)
A=5
2
2 1/2
B = (-22+32)
B = 3,6
B = (Bx +By )
cos = 6/(5x3,6) = 0,33
 = 70,6°
40
41
Alıştırma
42
İki Vektörün Vektörel Çarpımı:
→ →
→ →→
a ve b vektörleri arasındaki vektörel çarpma işlemi, c = a  b
→
ile verilen yeni bir vektör oluşturur. c vektörünün büyüklüğü
→ →
c = ab sin  ile verilir ve a ile b vektörlerinin oluşturduğu
düzleme diktir. Yönü "sağ-el-kuralı" ile belirlenir:
Vektörel çarpım, "cross" çarpım olarak da bilinir.
Sağ el kuralı:
→
i. a ve b vektörlerinin başlangıç noktalarını birleştiriniz.
→
ii. a vektörünü parmak uçlarınız onun yönünü gösterecek
şekilde sağ avuç içine yatırınız.
→
→
iii. a vektörünü küçük açı yönünde b ' nin üzerine süpürünüz.
→
iv. Baş parmağınız c vektörünün yönünü verir.
İKİ VEKTÖRÜN VEKTÖREL ÇARPIMI
+
44
Sağ el kuralı:
(2-25)
Vektör çarpımının bazı özellikleri şunlardır:
1. İki vektörün vektörel çarpımındaki sıra önemlidir.
AB = -(BA)
2. A vektörü B’ye parallel veya antiparallel ise (=0° veya 180°):
AB = 0
3. A vektörü B’ye dikse AB = AB olur.
4. Vektörel çarpım, dağılım kuralına uyar:
A(B+C) = AB + AC
46
5. Vektörel çarpımın t gibi herhangi bir değişkene
göre türevi
d
dt
(AxB) = A
dB
dt
+
dA
dt
B
6. A.(BC) = B.(CA) = C.(AB) çarpımları bir paralel
yüzün V hacmini oluşturur.
7. i, j, k birim vektörlerinin vektörel çarpımı
ii = jj = kk = 0
ij = -ji = k
jk = -kj = i
ki = -ik = j
47
A ve B gibi herhangi iki vektörün vektörel çarpımı,
+
-
+
i
AB = Ax
j
Ay
k
Az
Bx
By
Bz
şeklinde
determinantla
da
ifade
determinantın açılımı neticesinde
edilir.
Bu
AB = i(AyBz - AzBy) -j(AxBz - AzBx) + k(AxBy - AyBx)
sonucu bulunur.
48
→ ˆ ˆ ˆ →
→
Örnek : A= 2i + 3j+ k, B = −4iˆ+ 2jˆ− kˆ ve C = 5iˆ− 2jˆ vektörleri verilsin.
→ →
→ →→ → → → →
a) A B = ? ,
b) C  (A+B) = C  A+C  B olduğunu gösteriniz.
ˆj k̂
î
a)
→ →
A B = 2
1 = −5ˆi − 2ˆj + 16k̂
3
−4 2 −1
b)
→ → → î
C  (A+ B) = 5
−2
î
ˆj
ˆj
k̂
−2 0 = 21k̂
5
0
k̂
î
ˆj
k̂
→ →
→ →
C  A = 5 −2 0 = −2ˆi − 5ˆj+ 19k̂ ve C  B = 5 −2 0 = 2î + 5ˆj + 2k̂
2 3 1
−4 2 −1
→ → → →
→ →→
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
C  A + C  B = −2i − 5 j+19k + 2i + 5 j+ 2k = 21k = C  (A+B)
(
)(
)
Örnek: Boyu 3,2 birim olan bir A vektörü y-z düzleminde ve +y ekseniyle
63°’lik açı yapar şekilde bulunuyor. Boyu 1,4 birim olan B vektörü ise z-x
düzleminde ve +x ekseni ile 48°’lik açı yapar şekilde bulunuyor. A.B, AB
z
ifadelerini ve A ile B arasındaki açıyı hesaplayınız.
A

B

??

y
x
50
Örnek: Boyu 3,2 birim olan bir A vektörü y-z düzleminde ve +y ekseniyle
63°’lik açı yapar şekilde bulunuyor. Boyu 1,4 birim olan B vektörü ise z-x
düzleminde ve +x ekseni ile 48°’lik açı yapar şekilde bulunuyor. A.B, AB
z
ifadelerini ve A ile B arasındaki açıyı hesaplayınız.
Çözüm:
A

B
A = 3,2 (cos j + sin k)
B = 1,4 (cos i + sin k)
??
 =48°
= 63°
y
x
A.B = 3,2.1,4 (sin sin) = 4,48.0,89.0,74 = 2,97
AB = 3,2.1,4 (-coscos k + cossin i + sincos j)
AB = 4,48 (-0,30k + 0,34i + 0,60j) = 1,51i + 2,67j -1,36k
A.B = ABcos

 = cos-1 A.B / AB
 = cos-1 2,97 / 4,48 = 48,5°
51
Önceki Örnek Sorunun İşlem Detayları
A = 3,2 (cos j + sin k)
𝐢
0
𝐀×𝐁=
1.4co s 𝛽
𝐣
3.2co s 𝛼
0
B = 1,4 (cos i + sin k)
𝐤
3.2si n 𝛼
1.4si n 𝛽
𝐀 × 𝐁 = 𝐢 3.2co s 𝛼 ⋅ 1.4si n 𝛽 − 3.2si n 𝛼 ⋅ 0 − 𝐣 0 ⋅ 1.4si n 𝛽 − 3.2si n 𝛼 ⋅ 1.4co s 𝛽 + 𝐤 0 ⋅ 0 − 3.2co s 𝛼 ⋅ 1.4co s 𝛽
𝐀×𝐁=
3.2 ⋅ 1.4 co s 𝛼 si n 𝛽 𝐢 + 3.2 ⋅ 1.4 si n 𝛼 co s 𝛽 𝐣 − 3.2 ⋅ 1.4 co s 𝛼 co s 𝛽 𝐤
𝐀 × 𝐁 = 4.48 co s 𝛼 si n 𝛽 𝐢 + si n 𝛼 co s 𝛽 𝐣 − co s 𝛼 co s 𝛽 𝐤
AB = 4,48 (-0,30k + 0,34i + 0,60j) = 1,51i + 2,67j -1,36k
𝐴𝐵 = 𝐀 𝐁
𝐴𝐵 =
ቀ3.2co s 𝛼 ሻ2 + ൫3.2si n 𝛼 ሻ2 × ቀ1.4co s 𝛽 ሻ2 + ൫1.4si n 𝛽 ሻ2
𝐴𝐵 =
𝐴𝐵 =
ሺ3.2ሻ2 cos2 𝛼 + sin2 𝛼 × ሺ1.4ሻ2 cos2 𝛽 + sin2 𝛽
3.22 × 1.42 =
൫3.2 × 1.4ሻ2 = 3.2 × 1.4 = 4.48
𝑁𝑜𝑡: cos2 𝛼 + sin2 𝛼=1
52