I. MADDENİN YAPISI: Maddenin yapısı, çok eski

I. MADDENİN YAPISI:
Maddenin yapısı, çok eski devirlerden beri bilim adamlarının, araştırıcıların ilgisini çekmiştir.
Hemen söylemek gerekir ki, araştırıcıların bu yoldaki çalışmaları henüz sonuçlanmış değildir.
Ortaya atılan ilk kuramlardan birine göre, tüm maddelerin bölünemez en küçük parçası "atom”dur.
Bugün ise bilmekteyiz ki atomlar bölünebilmektedirler ve onlar da başka parçacıklardan oluşmuşlardır.
Bunlar elektron, proton ve nötron diye adlandırılan temel parçacıklardır. Proton ve nötronlar yaklaşık olarak
aynı kütleli olup, kütleleri elektrondan 1836 kat daha fazladır. Proton ve nötronlar biraraya gelerek atomların
çekirdeklerini oluştururlar. Bu çekirdeklerin etrafında, proton sayısına eşit sayıda eksi yüklü elektronlar
dolaşır. Böylece, merkezde çekirdek ve etrafında dolanan elektron bulutundan oluşan atom, dengeli ve
yüksüz bir sistem oluşturur.
Bugün deneysel çalışmalar sonucunda, yüksek enerjide protonların birbirleriyle veya elektronlarla
çarpıştırılmaları ile "elamenter" (temel) parçacıklar denilen yüzlerce parçacık ortaya çıkarılmıştır. Bunlara
pozitron, nötrino, muon, pion, kaon gibi isimler verilmiştir. Bütün bunlara karşın maddenin yapısı ile ilgili
sorunlara hala kesin bir sonuç verilebilmiş değildir.
Dengeli, yüksüz sistemler diye adlandırdığımız atomlar biraraya gelip molekülü oluşturduklarında
daha dengeli bir sisteme dönüşürler. Moleküller ve atomları birbirine bağlayan kuvvetlerin büyüklüğü
maddenin hallerini belirler. Bunlar katı, sıvı ve gaz hallerdir. Katılarda moleküller ve atomlar birbirlerine
sıkıca bağlı olup, aralarındaki uzaklıklar oldukça sabittir. Sıvılarda ise moleküller birbiri üzerinde kolayca
kayabilirler. Ancak sıvıların hacmini küçültmek oldukça zordur.
Bunun nedeni, sıvılarda moleküller arasındaki uzaklıklar küçüldükçe moleküller arasındaki itici
kuvvetler büyümektedir. Örnek olarak Şekil I.l'deki su damlasını gözönüne alalım.
Şekil I.l Su Molekülünde Hidrojen Atomları Arasında 1050’lik Bir Açı Vardır.
Bu şekildeki su molekülleri birbirlerine oldukça yakın olmakla birlikte, belirli bir geometrik yapı
içinde kenetlenirler. Su dondurulduğu zaman hacmi artmış olur. Borular içinde donan suyun genişleyerek
boruları patlattığı hepimizin bildiği bir gözlemdir. Buz oluştuğunda aynı hacimde daha az su molekülünün
bulunması, buzun sudan daha az yoğun olması demektir ki bunun sonucu olarak buz suda yüzer.
Moleküller arasındaki bağların zayıflığı ve bunun sonucu moleküllerin serbestçe hareket
edebildikleri hal maddenin gaz halidir. Gaz halindeki maddeler şekil ve hacimlarını koruyamazlar.
Bunlardan ayrıca bazı maddenin katı gibi görünmesine karşılık düzgün geometrik bir yapılarının
olmadığı saptanmıştır. Örneğin cam bunlardan birisidir. Böyle maddelere Amorf denir. Amorf maddelerin
fiziksel özellikleri gerçek katı maddelerden oldukça farklıdır. Katıları oluşturan atomlar her ne kadar belli bir
geometrik yapı içinde iseler de, bu atomlar bulundukları yerlerde denge konumları etrafında titreşmekte
devam ederler. Çok düşük sıcaklıklarda katıların birçok özelliklerinde değişiklikler olur. Örneğin iletken
maddelerin dirençleri birdenbire sıfıra düşer. Bu olaya süper iletkenlik denir.
II. FİZİKSEL BİRİMLER ve BOYUT KAVRAMI
Bir büyüklüğü ölçme, onu kendi cinsinden birim olarak seçilmiş bir büyüklükle karşılaştırma, -başka
bir deyişle- ölçülecek büyüklük içinde seçtiğimiz birim büyüklükten ne kadar bulunduğunu belirtme
demektir.
Değişik türden olan büyüklükler arasındaki matematiksel ilişkilerin sadeleştirilmesi, böylelikle
hesaplamaların büyük ölçüde kolaylaştırılması ve az sayıda standart hazırlama ve kullanma olanağının
sağlanması gibi nedenlerle, olabildiği kadar az sayıda temel veya ana birim olarak adlandırabileceğimiz
büyüklüklerin seçilmesi gerekir.
Uluslararası bir anlaşma ile saptanan temel büyüklükler, günümüzde iki sistem oluştururlar.
Bunlardan biri Metrik Sistem diğeri İngiliz Mühendislik Sistemi’dır. Metrik Sistem MKS (Metre, Kilogram,
Saniye) ve CGS (Santimetre, Gram, Saniye) olarak iki alt sisteme ayrılır. İngiliz Mühendislik Sistemi ise
FPS (Foat, Pound, Second) şeklindedir, 1875 yılında 19 ülkenin Metre Konvansiyonufnu imzalamaları ile
birlikte birimlerin standartlaştırılmasına başlanmış ve metre, yer meridyeninin kırk milyonda biri veya
Paris’de Sevr müzesinde korunmakta olan platin-iridyum çubuk üzerindeki iki çizgi arasında 0°C'daki
uzunluk olarak tanımlanmıştır. Günümüzde metre, kripton 86 izotopunun iki belirli hali arasında, -210°C ve
vakumdaki geçişe eşdeğer elektromanyetik ışımanın dalga boyunun 1650763,73 katı olarak tanımlanmıştır.
Zaman birimi saniyede ortalama güneş gününün l/86400’ü olmaktan çıkmış, sezyum 133 izotopunun belirli
iki temel hali arasındaki geçişe eşdeğer ışıma peryodunun 9192631770 katı olarak tanımlanmıştır.
Bu yeni tanımları getiren SI (Systeme Internationale D'unites) hem metrik sistemin uluslararası
olmasını önermekte hem de birimlerin yazılışında ortak bir anlaşmanın bulunmasını istemektedir. Bu kitapta
baştan sona kadar SI sistemine bağlı kalınacaktır.
SI sisteminde üç sınıf vardır:
a) Temel Birimler
b) Yardımcı Birimler
c) Türetilmiş Birimler
a) Temel Birimler: Bunlar, teknolojik koşulların elverdiği ölçüde duyarlı ve tekrarlanabilir ölçümlere dayalı
olarak saptanmış ve diğer birimlerin türetilmelerinde temel olarak kullanılan birimlerdir. Bu birimler
TabloII.l'de verilmektedir.
TABLO II.1 SI TEMEL BİRİMLERİ
BÜYÜKLÜK
ADI
KISA YAZILIŞI
Uzunluk
Metre
m
Kütle
Kilogram
kg
Zaman
Saniye
s
Elektrik akımı
Amper
A
Sıcaklık
Kelvin
K
Madde miktarı
Mole
Mol
Işık Şiddeti
Candela
Cd
b) Yardımcı Birimler: Hem temel hem de türetilmiş gözüyle bakılabilecek birimlerdir. Bunlar Tablo
II.2’de gösterilmiştir.
TABLO II.2 SI YARDIMCI BİRİMLERİ
BÜYÜKLÜK
ADI
KISA YAZILIŞI
Düzlem açısı
Radyan
rad
Uzay açısı
Steradyan
sr
c) Türetilmiş Birimler: Temel ve yardımcı birimler cinsinden türetilmiş birimlerdir. Bunların adları ve kısa
yazılışları çarpma ve bölme işlemleri ile belirtilir. Türetilmiş birimlerden özel ad almış olanlar Tablo II.3’de
gösterilmiştir.
TABLO II.3 SI TÜRETİLMİŞ BİRİMLER
BÜYÜKLÜK
ADI
KISA YAZILIŞI
TANIMI
TEMEL BİRİMLER
CİNSİNDEN TANIMI
Frekans
Hertz
Hz
s-1
s-1
Kuvvet
Newton
N
Kg m / s2
Kg m / s2
Basınç
Pascal
Pa
N / m2
Kg / m s2
Enerji
Joule
J
N–m
Kg m2 / s2
Güç
Watt
W
J/s
Kg m2 / s3
Elektrik yükü
Coulomb
C
As
As
Elektrik gerilimi
Volt
V
W/A
Kg m2 / A s3
SI ÇARPANLARI: Tablo 11.4'de verilmiş olan çarpanların adı birim adlarına ön takı olarak eklenerek söz
konusu çarpan belirtilir.
TABLO II.4 SI ÇARPANLARI
KATLARI
ÇARPAN
ADI
ASKATLARI
KISA YAZILIŞI
ÇARPAN
ADI
KISA
YAZILIŞI
10
Deka
da
10-1
Desi
d
102
Hekta
h
10-2
Canti
c
103
Kilo
k
10-3
Mili
m
106
Mega
M
10-6
Mikro
μ
109
Giga
G
10-9
Nano
n
1012
Tera
T
10-12
Piko
p
1015
Peta
P
10-15
Femto
f
1018
Exa
E
10-18
Atto
a
TABLO II.5 KULLANILAN SI DIŞI BİRİMLER
BÜYÜKLÜK
Zaman
ADI
KISA YAZILIŞI
TANIMI
Dakika
min
60 s
Saat
h
3600 s
Gün
d
86400 s
Düzlem açı
Derece
0
( п / 180 ) rad
Hacim
Litre
L
1 dm3
Kütle
Ton
t
103 kg
Sıcaklık
Celcius
00 C
273.15 K
Enerji
Elektron-volt
eV
1,60219 x 10-19 j
Güç
Beygir gücü
Hp
745.7 watt
BOYUT KAVRAMI:
Fiziksel birimleri, sistemlerden bağımsız olarak belirtebilmek için boyut kavramı geliştirilmiştir. Üç
temel boyut ve bunlardan türetilebilecek olan pek çok bileşik boyut vardır. Temel boyutlar; uzunluk, kütle ve
zaman boyutlarıdır. Bunlar sırasıyla |L| , |M| ve |T| olarak gösterilir. Hız, ivme, kuvvet ve enerji gibi
kavramların boyutları bileşiktir. Örneğin,
Hızın Boyutu
—>
|L| / |T|
Kuvvetin Boyutu —>
|M| |L| / |T2|
Enerjinin Boyutu —>
|L2| / |T2|
dir. Boyut kavramının yararı, uzun bir hesaplamanın sonucunda elde edilen denklemin doğruluğunun
saptanmasıdır. Bir denklemi oluşturan bütün terimlerin aynı boyutlardan olması gerekir. Bir denklemi
oluşturan herhangi iki terim arasında boyut tutarsızlığı varsa, o denklem yanlış demektir. Bunun anlamı,
yalnızca aynı boyutlu terimlerin toplanıp çıkarılabileceğidir. Örneğin;
V2 = 2 a x
denkleminde hızın boyutu |L| / |T| olduğuna göre, denklemin sol tarafı |L2| /|T2|
boyutundadır.
|L2| / |T2| = |L| / |T2| |L|
= |L2| / |T2|
olacaktır.
III. VEKTÖRLER ve SKALERLER:
Fizikte ve teknik bilim dallarında tanımlanabilen tüm büyüklükleri skaler ve vektörel büyüklükler
olmak üzere iki grupta toplayabiliriz.
Kütle, zaman, uzunluk, sıcaklık, vb. gibi birim sistemleri yardımıyla tam olarak tanımlanabilen
büyüklüklere Skaler Büyüklükler denir. Fakat bazı büyüklükler vardır ki birim sistemleri ile tanımlanmazlar,
bunun yanısıra yönü ve doğrultusunun belirtilmesi gerekir. Böyle büyüklüklere Vektörel Büyüklükler denir.
Örneğin; kuvvet, ivme, hız, vb. gibi.Vektör tanım olarak, "başlangıç ve bitim noktaları belirli olan yönlenmiş
doğru parçası"dır. Tanımdan da anlaşılacağı gibi vektörel büyüklükler; örneğin bir parçacığın yeri, hızı,
ivmesi ve momentumu gözlemcinin konumuna göre başka bir deyişle gözlem çerçevesine göre değişebilirler.
0 halde bir olayın nerede, nasıl meydana geldiğini saptamak için başlangıç noktalarının belirlenmesi
büyük önem taşımaktadır. Bu başlangıç noktasına "orjin" diyeceğiz. "Orjin" belirlendikten sonra bir
koordinat sisteminin tanımı gerekir. Örneğin bir parçacığın yerini üç boyutta belirleyebilmemiz için üç
sayıya gereksinim vardır.
Şekil III'1 de görüldüğü gibi orjinden itibaren birbirine dik olarak seçilen üç eksen
z
P(x,y,z)
r
0
Y
x
Şekil III.1
“Kartezyen koordinat sistemi” olarak tanımlanır.
Şekil III.1 P noktasının yeri orjine göre (x,y,z) gibi üç sayıyla belirlenir. Aynı orjin noktalarına göre Şekil
III.2’de görüldüğü gibi P noktasını (r,θ,φ) gibi bir uzunluk iki açı cinsinden de belirleyebiliriz. Bu sisteme ise
"Küresel Koordinat" sistemi denilir.
P (r,θ,φ)
Şekil III.2
Şekil III.1 ve Şekil III.2'de belirtilen (r), (x,y,z) veya (r,θ,φ) gibi üç sayıya bağlıdır.
Şekil III.3'de olduğu gibi r vektörünün dik eksenlerdeki izdüşümlerine r 'nin bileşenleri adı verilir.
Şekil III.3
Kartezyen koordinat sisteminde;
r2 = x2 + y2 + z2
(III.1)
olduğu görülür. r = │r│ şeklinde de gösterilir. Buna r 'nin mutlak değeri denir.
III.1. Vektörel İşlemler:
Vektörel analiz çok önemli uygulama alanları olan geniş kapsamlı bir bilim dalıdır. Ancak biz
burada fiziksel uygulamalarda yeterli olacak düzeyde bir bilgi aktarımı yapacağız.
III.1.1. Vektörlerin Toplamı ve Çıkarılması:
Vektörleri paralel olarak kaydırırsak hiç bir özellikleri değişmemiş olur. Yani ne yönlerinde ne de
büyüklüklerinde bir değişme olmaz. Şekil III.4’deki gibi A ve B vektörlerinin toplamı,
Şekil III.4
A+ B = B+ A = C
(III.2)
olur.
Geometrik olarak incelendiğinde farklı iki vektörün toplamının şiddeti bu iki vektörün şiddetleri
toplamından küçüktür. Yani,
|A| + |B| < | C|
burada vektörel toplam ile skaler toplam arasındaki fark açıkça görülmektedir.
Vektörlerin çıkarılması da benzer şekilde olur. Şekil III.5’de görüldüğü gibi
(III.3)
Şekil III.5
A − B = A + (− B) = C
(III.4)
olur.
ikiden fazla vektör olduğu zaman, çokgen metodu kullanılır. Yani;
Şekil III.6
Şekil III.6'dan da görüleceği üzere,
R = A+ B+C + D
(III.5)
olacaktır.
İki veya daha fazla vektörün eşdeğeri olan vektöre Bileşke Vektör denilir. Yukarıda izah edilen işlemler
bileşke vektörün geometrik yoldan nasıl bulunduğunu göstermektedir.
Uygulamada geometrik özelliklerin yanısıra bazı cebirsel kavramların da bilinmesi gerekir. Bunu vurgulayan
birkaç yol önereceğiz.
1. Yönleri ve doğrultuları aynı olan vektörlerin bileşkesi;
a
A
A
b
B
+
B
=
C
skaler toplamada olduğu gibidir. Yani;
A+ B = C,
a+b=c
olacaktır. Eğer A ve B vektörleri aynı doğrultu üzerinde zıt yönlü vektörler olsaydı, bileşke vektör bu iki
vektörün mutlak değerlerinin farkı olacak ve yönü ise şiddeti büyük olan vektörün yönünde olacaktı. Yani
B
A
C
c
b
a
2. Aynı noktaya etki eden doğrultu ve yönleri farklı iki vektörün bileşkesi; paralelkenar metodu ve cosinüs
teoreminden yararlanarak
A +bulunur.
B=C
,
a−b = c
Şekil 111.7'de, o noktasına A1 ve A2 gibi iki kuvvet vektörü uygulanmıştır. Bunların bileşkesini bulmak
için OABC paralelkenarı çizilir.
R
C
O
A2
A1 ve A2 bu paralelkenarın komşu kenarları ve OB köşegeni ise bileşke vektördür (R ) .
Özel bir hal olarak A1 ve A2 vektörleri Şekil III.8'de gösterildiği gibi birbirlerine dik iseler;
Şekil III.8
Bu durumda bileşke vektörün şiddeti ve doğrultusu,
R=
olur.
A 21 + A 2 2 ve tan θ =
A1
A2
3. Dik bileşenler metodu ile vektörlerin bileşkesinin bulunması; bir O noktasına etkiyen çeşitli doğrultu ve
şiddetlerde çok sayıda kuvvet sözkonusu olduğu zaman, bu metod yardımıyla bileşke kuvvet kolaylıkla
bulunur.
Şekil III.9.a’da A1 A2 ve A3 gibi kesişen üç vektör görülmekte ve bunların bileşkesinin bulunması
istenilmektedir. Bunun için dik eksenler sistemini gözönüne alalım. Analitik geometrideki kabullere göre;
orjinden sağa yönelmiş x-doğrultusundaki bileşenler pozitif, sola yönelmişler de negatif olacaktır.Benzer
şekilde y ekseninde yukarı yönelen bileşenler pozitif, aşağıya yönelen bileşenler ise negatif kabul edilecektir.
y
A1Y
A1
A3 X
x
θ1
θ3
A2
A3Y
A3
(a)
y
∑A
Y
R
= RY
x
θ
∑A
0
X
= RX
(b)
Şekil III.9: A1 , A2 ve A3 ‘ün R bileşkesinin dik bileşenlerinin bulunması
Önce vektörlerin x ve y eksenleri doğrultusundaki bileşenlerini bulalım. A1 vektörünün bileşenlerinin her
ikisi de pozitiftir. A2 vektörü x ekseni üzerinde bulunduğundan bileşenlerine ayırmak sözkonusu değildir.
A3 vektörünün bileşenlerinin her ikisi de negatiftir. o halde;
A1 X = A1Cosθ 1
A1
A1Y = A1 sin θ1
A2 x = A2
(III.6)
A2
A2Y = 0
A3 x = ( − ) A3 Cos θ 3
A3
A3 y = ( − ) A3 Sin θ 3
olacaktır.
Bileşke vektörün yatay bileşeni Rx, vektörlerin yatay bileşenlerinin cebirsel toplamına eşit; benzer şekilde
bileşke vektörün düşey bileşeni Ry, vektörlerin düşey bileşenlerinin cebirsel toplamına eşittir. Yani;
R x = ∑ Ax = A1x + A2 x + A3 x
(III.7)
R y = ∑ Ay = A1 y + A2 y + A3Y
Şekil III.9.b’den yararlanarak, bileşke vektörün şiddeti ve doğrultusu ise;
R = R x2 + RY2 ,
tan θ =
RY
Rx
(III.8)
eşitliklerinden bulunacaktır.
III.1.2. Vektörlerin Çarpımları:
Vektörlerin çarpımlarını skaler çarpım ve vektörel çarpım olmak üzere iki türlü tanımlamaktayız.
1) Skaler Çarpım: İki vektörün çarpımının sonucu skaler olacak biçimde tanımlanmıştır. Skaler çarpım
çoğu kez nokta çarpım olarak da isimlendirilir.
AB = ABCosθ
(III.9)
Burada A = | A | , B = | B | ve θ ise iki vektör arasındaki açıdır. Bu iki vektörün skaler çarpımı,
AB = Ax B x + Ay B y + Az B z
(III.10)
şeklinde de gösterilebilir. (III.9) ve (III.10) ifadeleri
eşanlamlıdır.Bunu
kanıtlayabilmek
için
Şekil
III.10’da gösterildiği gibi A vektörünü x eksenine paralel seçelim ve B vektörünün de (Bx,By) gibi iki
bileşeni bulunsun.
Şekil III.10 Skaler Çarpım
A = | A | = Ax , Ay = 0 , Az =0 ve Bx = B Cos θ olduğundan (III. 10) denklemi bu durumda
AB = AB x = ABCosθ
(III.11)
eşitliği elde edilir. Bu ise (III.9) denklemidir. Eksenlerin seçimi keyfi olduğu için, genel hal için dahi bu
kanıt yeterlidir.
Skaler çarpım için şu özellikler kolayca kanıtlanabilir.
-
θ = 90 0 ise AB = 0 (diklik koşulu )
- AB = B A
- A( B + C ) = A B + AC
- n( A B ) = ( n A) B = A(n B ) ( n bir skaler sayı)
2) Vektörel Çarpım: İki vektörün çarpımının sonucu bir vektör olacak şekilde tanımlanmıştır,
Ax B = C
III.12)
C = C = ABSinθ
C vektörü, A ile B ’nin oluşturduğu düzleme diktir. Şekil III.l1de gösterildiği gibi C vektörünün yönünü
bulabilmek için sağ el kuralı geçerlidir.
y A
C
x
B
z
Sağ El Kuralı: Ax B = C vektörel işleminde, sağ elin dört parmağı A ’dan B ye doğru yöneltilirse, C ‘nin
yönü sağ elin baş parmağı yönünde olur.
Vektörel Çarpımın Özellikleri
- Ax B = − Bx A
- Ax ( B + C ) = Ax B + AxC
- θ° = 0 ise Ax B = 0 olacağından iki vektörün doğrultuları birbirine paraleldir.
- n bir skaler sayı olmak üzere,
n( Ax B ) = n Ax B = Axn B
III. 1.3. Birim Vektörler:
Herhangi bir vektörü kolay bir şekilde tanımlayabilmek için birim vektörler kullanılmaktadır. Birim
vektörler x,y,z eksenlerinin pozitif doğrultularına doğru yönelmiş birim uzunlukta seçilen vektörlerdir.
GG G
Bunlara sırasıyla i, j , k
birim vektörleri diyeceğiz (Şekil III.12). Bu vektörlerin kendileri ve
birbirleriyle olan skaler ve vektörel çarpımlarını oluşturalım.
y
G
j
G
k
z
G
i
x
Şekil III.12 Birim vektörler
Bu takdirde;
GG G G
G G
G G G G
G G
- i • i = j • j = k • k = 1⋅1Cosθ 0 = 1
G G G G
G G
- i j = i k = j k = j i = k j = k i = 1 ⋅1Cos900 = 0
•
GG
•
•
G G
•
•
•
G G
- ixi = jx j = kxk = 1 ⋅1sin θ 0 = 0
G G
G G G
G G
G G G
- ix j = − jxi = k
- jxk = − kx j = i
G G
G G
G
- kxi = −ixk = j
eşitliklerinin doğruluğu kolayca kanıtlanabilir.
Herhangi bir vektörü veya vektörel işlemi daha kolay tanımlayabilmek ve neden birim vektörlerinin
kullanıldığını göstermek için bir örnek verelim.
JG G
G
G
A = iAx + jAy + k Az
JG G
G
G
B = iBx + jBy + kBz
şeklinde verilen iki vektörün vektörel çarpımını yapabilmek için birinci satırı birim vektörler, ikinci satırı
A'nın bileşenleri ve üçüncü satırı B'nin bileşenlerinden oluşacak şekilde bir determinant yazılır ve açılırsa;
G G G
i j k
JG JG
G
G
G
AxB = Ax Ay Az = i ( Ay Bz − Az By ) − j ( Ax Bz − Az Bx ) + k ( Ax By − Ay Bx )
Bx By Bz
elde edilir.
UYGULAMALAR
Ornek 1: Hareket halindeki araba tekerleginin çevresindeki herhangi bir noktanin yola gore hizini bulunuz.
Çözüm: Araba tekerlğinin hareketi bileşik bir harekettir ( donme + ilerlerme). Aşağıda şematik olarak
yapilan incelemede, ilginç bir nokta, tekerlegin yere degdigi noktadaki hızı sıfır olmasıdır.
VR=V+V
=
V
VR=0
V
Ornek 2: Bir cisim şekilde görüldüğü gibi yatay düzlem uzerinde ve yatayla 60°'lik açı yapan doğrultuda bir
F kuvveti ile çekiliyor.
a)Duzleme paralel Fx bileşeninin 20 N olmasi igin gerekli F kuvveti ne olmalıdır?
b)Yukandaki koşula gore Fy bileşeni ne olacaktır?
JG
F
Fy
600
Çözüm:
a ) Fx = FCosθ
Fx
20
=
= 40 N
Cosθ 0,5
b) Fy = FSinθ
F=
= 40 ⋅ 0,866 = 34, 640 N
Fx
Örnek 3: Dik bileşenler metodunu kullanarak şekilde gösterilen vektörlerin bileşkesini bulunuz.
y
JG
B =8N
By
0
80
JG
A = 12 N
Ay
Bx
300
Ax
Çözüm: A ve B vektörlerinin bileşenleri;
JG Ax =12 ⋅ Cos300 = 10, 4
A
Ay = 12 ⋅ Sin300 = 6
JG Bx = −8 ⋅ Cos800 = −1, 4
B
By = 8 ⋅ Sin800 = 7,9
0 halde bileşke R vektörünün bileşenleri;
Rx = Ax + Bx = 9,0
Ry = Ay + By = 13,9
Pisagor teoreminden yararlanılarak, bileşke vektörün şiddeti ve doğrultusu,
JG
R
R = Rx 2 + Ry 2 =16,5 N , tan θ = y = 1,54 ⇒ θ = 570
Rx
olarak hesaplanır.
Örnek 4: Şekilde görüldüğü gibi, aynı düzlemde bulunan vektörlerin şiddetleri A=10, B=20 ve C=10 3
'dür. Bu vektörlerin bileşkesi sıfır olduğuna göre, vektörler arasındaki açıyı (β ve α )bulunuz.
x
Çözüm:
Rx = Ax + Bx + Cx = 10-20 Cosθ +0
Ry = Ay + By + Cy = 0 + 20.Sinθ - 10 3
Olmalıdır. Bileşke vektörün sıfır olması istendiğine göre;
Rx = 0 ⇒ 10 – 20 Cos θ = 0
⇒ Cos θ =
1
⇒ θ = 60°
2
bulunur. Buradan;
α = 90 + (90 − θ ) ⇒ α = 90 + 30 ⇒ α = 1200
β = 90 + θ ⇒ β = 90 + 60 ⇒ β = 1500
elde edilir.
Örnek 5: Sürtünmesiz yatay düzlemde bulunan bir cisme yatayla 60° açı yapacak şekilde, F=20 N'luk bir
kuvvet etki ederek bu cisme x = 2 m'lik bir yer değiştirme yaptırıyor. Yatay doğrultuda hareket eden cismin
yaptığı iş ne kadardır?
Çözüm: Bir cisme etki eden kuvvetin yaptığı iş; kuvvet vektörü ile yer değiştirme vektörünün skaler
JG
F
çarpımı olduğunu düşünerek,
G
x
600
JG G
W =F•x
JG G
W = F ⋅ X Cosθ
F = 20 N , x = 2m , θ = 600
verileri yerine konularak yapılan iş;
W = 20 2 Cos600 = 20 2 (0,5) = 20 Joule
bulunur.
IV. Problemler
1. Birbirine dik iki kuvvetin toplamı 300 N'dur. Kuvvetlerden birinin şiddeti 120 N olduğuna göre diğerinin
şiddeti nedir?
2.Yatay bir düzlem içinde bulunan üç kuvvet bir cisme aşağıdaki şekilde etki ediyor. A’nın şiddeti 6 N ve
kuzeye yönlendirilmiş, B'nin şiddeti 10 N ve batıya yönlendirilmiş ve C 'nin şiddeti 8 N olup, güney-doğuya
JG JG JG JG
yönlüdür. A + B − C = R vektörünün şiddetini ve doğrultusunu bulunuz.
JG
A
y
JG
B
x
JG
3. Bir uçak yerle 30° açı yaparak C
kalkarken güney-batıya doğru ilerliyor. Hızı 220 km/saat olduğuna göre,
hızının düşey ve yatay bileşenini hesaplayınız.
4. Bir pencere çubuğu yatayla 60°'lik açı yapıyor. Çubuğun alt ucuna 20 N'luk bir kuvvet etki ettiğine göre,
çubuk pencereye ne kadarlık bir kuvvet uygular?
5. Şekilde gösterilen kuvvetlerin bileşkesini bulunuz.
15 N
10 N
y
0
53
45
x
1N
6. Şekilde gösterilen kuvvetlerin bileşkesini bulunuz.
y
4N
x
530
2N
5N
7. Şekildeki O noktasına etkiyen kuvvetlerin bileşkesi nedir?
F1=100 N
F3 =50 N
O
F2 =100 N
8. Bir küp üzerine şekildeki gibi yerleştirilmiş olan vektörlerin bileşkesi nedir?
c
b
a=100cm
9. Birbirine dik, eşit şiddette iki kuvvetin bileşkesi 10 N ise kuvvetlerin her birinin şiddeti nedir?
10. Tanımı aşağıdaki gibi verilmiş olan vektörlerin bileşkesini bulunuz
a = 50 birim (kuzey-doğu), b = 60 birim (güney-batı), c = 30 birim ( güney)