Vektörel Çarpım
advertisement
Fiz 1011 Ders 2 Vektörler Skalar ve Vektörel Büyüklükler Vektörlerin Toplanması Vektörlerin Bileşenlere Ayrılması Birim Vektörler Vektörlerin Çarpılması http://kisi.deu.edu.tr/mehmet.tarakci/ Skaler ve Vektörel Büyüklükler Fizikte yer alan büyüklükler genel özellikleri bakımından iki gruba ayrılabilir. Skaler Vektörler Ölçü sayısı ve birimi verildiğinde tamamen belirlenebilen büyüklüklerdir. Tamamen belirli olabilmesi için ölçü sayısı ve birimi ile doğrultu ve yönünün de bilinmesi gereken büyüklüklerdir. Sıcaklık, Kütle, Zaman, Enerji, Isı Hız, İvme, Kuvvet, Moment, Açısal Momentum, Açısal Hız, Elektrik Alan, Manyetik Alan, Bir vektörün belirtilmesi Herhangi bir vektör, şekildeki bir ok ile gösterilir. x y doğrusuna vektörün doğrultusu (veya etki çizgisi) Ölçü sayısına vektörün şiddeti denir, AB uzunluğunun mutlak değeridir ve I a I ile gösterilir. Okun belirttiği yöne vektörün yönü denir. Vektörlerin Toplanması Paralel iki vektörün toplamı Anti paralel iki vektörün toplamı Bileşke vektör (toplam vektör) İki veya daha fazla vektörün aynı bir cisim üzerindeki etkilerini tek başına sağlayacak bir vektör olarak tanımlanabilir. Örnek 2.1 Analitik Yöntem Geometri ve trigonometri teoremlerinden faydalanarak hesaplama yöntemidir. Bileşke vektörün şiddeti için oluşan üçgene kosinüs teoremini uygularsak : b açısı için oluşan üçgene sinüs teoremini uygularsak : Vektörlerin Çıkarılması Şekilde verilen A vektöründen B vektörünü farkı: Bu çıkarma işlemi, A vektörü ile (- B ) vektörünü toplama işlemidir. Örnek 2.2 Bir iskeleden kalkan iki gemiden biri saatte 30.0 km, diğeri 50.0 km’lik ortalama hızlarla hareket ediyorlar. Gemilerin hareket doğrultuları arasındaki açı 120º olduğuna göre; a) Gemilerden birinin ötekine göre hızının büyüklüğünü, b) 4.00 saat sonra gemiler arasındaki uzaklığı bulunuz? Vektörlerin Bileşenlere Ayrılması A vektörü A x ve A y gibi iki dik vektörün toplamı şeklinde yazılabilir. A Ax A y A x ve A y , A vektörünün bileşenleri denir. Ay q = arctan Ax ( ) A x A cos q A y A sin q A A Ax Ax A A2x A 2y Ay Ay Vektörlerin Toplanması (Bileşenleri Kullanarak) R A B R x A x Bx R y A y By Genel olarak R A B C R x A x B x C x R y A y B y C y Vektörlerin Skaler bir Sayı ile Çarpılması Bir vektörün skaler bir sayı ile çarpılması vektörün şiddetini veya yönünü değiştirir. Doğrultusunu değiştirmez. Birim Vektörler (Baz Vektörler) Büyüklüğü 1 olan birimsiz bir vektör olup uzayda sadece bir yönü tanımlamak için kullanılır. C 6.50 cˆ rˆ 1 R s rˆ R 5.70 rˆ A Ax i Ay j j+ A A i+ A A = k x y z j+ i+ B B B B = k x y z Verilen iki vektör olsun. C A B C = (Ax+Bx) i +(Ay+By) j + (Az+Bz) k = + C A B C = (Ax -Bx)i +(Ay -By) j + (Az -Bz )k = - Skaler Çarpım (Noktasal Çarpım) İki vektörün çarpımı sonucu skaler bir büyüklük elde edildiği işlemdir. k A B A B cos q İş : Bir cisim üzerine etki eden kuvvetlerin, cismin konumunda meydana gelen değişim olarak tanımlanabilir. W Fx x F cos q x F cos q Kuvvetin ve yerdeğiştirmenin vektörel büyüklüklerdir. Bu iki vektörün çarpımı söz konusu olmakta ve çarpım sonucu skaler bir büyüklük olan iştir. W F x Vektörlerin Çarpımı Skaler çarpım iki vektör arasındaki açının durumuna göre pozitif, negatif veya sıfır değerini alabilir. 90º q 270º A B değeri pozitif A B değeri nagatif Bileşenler kullanılarak skaler çarpım hesabı iˆ iˆ = ˆj ˆj = kˆ kˆ = 1 1 cos 0º 1 A A x iˆ + A y ˆj + A z kˆ iˆ ˆj = iˆ kˆ = ˆj kˆ = 1 1 cos 90º 0 B B x iˆ + B y ˆj + Bz kˆ A B A xBx A yB y A zBz q 90º 270º A B 0 Örnek 2.3 F1 = i + 2j + 3k (Newton) ve F2 = 4i - 5j - 2k (Newton) kuvvetleri bir parçacık üzerine birlikte etkiyerek parçacığı A(20,15,0) (m) noktasından B(0,0,7) noktasına sürüklemiştir. (a) Parçacık üzerine yapılan iş ne kadardır? (b) F1 ve F2 kuvvetlerinin yaptıkları işleri ayrı ayrı bulunuz? Örnek 2.4 Vektörel Çarpım (Kros Çarpım) İki vektörün çarpımı sonucu vektörel bir büyüklük elde edildiği işlemdir. C A B C A B sin q Yönü sağ-el kuralı ile belirlenir. (veya sağ vida yönüdür) Tork (Moment): Bir cisim üzerine etki eden kuvvetin, o cisim üzerindeki döndürme etkisi olarak tanımlanabilir. F d F sin q r F sin q r d F ' in dik bileşeni Aynı zamanda tork vektörel bir büyüklüktür. Sistemin ne tarafa döndüğü önemlidir. Bu da bir yön kavramını içerir. r F Vektörel Çarpım (Kros Çarpım) İki vektörün çarpımı sonucu vektörel bir büyüklük elde edildiği işlemdir. C A B A A x iˆ + A y ˆj + A z kˆ B B x iˆ + B y ˆj + Bz kˆ Bileşenler kullanılarak skaler çarpım hesabı 2. Yöntem : 1. Yöntem : iˆ iˆ = ˆj ˆj = kˆ kˆ = 0 1 1 sin 0º 0 iˆ ˆj = ˆj iˆ = kˆ ˆj kˆ = kˆ ˆj = iˆ kˆ iˆ = iˆ kˆ = ˆj kˆ iˆ = iˆ kˆ = ˆj iˆ 3. Yöntem : A B A x Bx C A B A yBz A zB y iˆ A zB x A xBz ˆj A xB y A yB x kˆ Cx iˆ ˆj = ˆj iˆ = kˆ ˆj kˆ = kˆ ˆj = iˆ Cy Cz ˆj Ay By kˆ Az Bz Problemler Fen ve Mühendisler için Fizik Bölüm 3 – Vektörler : Konu sonundaki problemler. s71-76 Problem 2.1 Şekilde verilen üç vektörün toplamı ve x ekseni ile yaptığı açı kaç radyandır? Problem 2.2 Yürüyüşe çıkan bir kişi, şekilde görülen yolu takip etmektedir. Yürüyüşün sonunda, kişinin başlangıç noktasından ne kadar uzaktadır? Problemler Problem 2.3 Bir jet uçağı, doğuya doğru 300 km/h hızla ilerlerken, aniden 30º kuzey doğuya doğru 100 km/h hızla esen bir bölgeye giriyor. Uçağın yere göre hız ve yönü ne olur? Problem 2.4 Aralarında 60º lik bir açı yaparak aynı cisme etkiyen 60 N luk bir kuvvet ile 40.0 N luk bir kuvvetin bileşkesi kaç Newton’dur? Problem 2.5 Kartezyen koordinatlarda A = 20i + 40j ve B = 25i - 60k vektörleri veriliyor. (a) s = A . B (b) C = A x B Skaler ve vektörel çarpımlarını yapınız? Problem 2.6 Durgun suda 10 km/saat hızla gidebilen bir sandal, akış hızı 5 km/saat olan bir nehri dikine geçmek istiyor. Sandalın sahile göre hangi açıyla hareket etmelidir? Problemler Problem 2.7 Bir kişi 30º kuzey-doğuya 5 km yürüyor. Aynı noktaya geri gelmesi için güneye ve batıya ne kadar yürümesi gerekir? Problem 2.8 Bir küpün yüzey köşegenleri arasındaki açıyı hesaplayın? Problem 2.9 Manyetik alanın B 2,50ˆi 2,34kˆ T olduğu bir bölgeye v 3, 20ˆi - 1,34ˆj 104 m / s hızı ile giren protona etki eden kuvvetin büyüklüğü nedir?
