MAT 209 OLASILIK ALIŞTIRMALAR II ve ÇÖZÜMLERĐ
1) 3 para atıldığında gelen yazı sayısı X şans değişkeni ile gösterildiğine göre olasılık
fonksiyonu nedir?
ÇÖZÜM: Örnek uzayı {YYY,YYT,YTY,TYY,TTY,TYT,YTT,TTT} olup X in değer
kümesi {0,1,2,3} olur.
x
0
f(x)=P(X=x) 1/8
) ) = ,
0,
1
3/8
2
3/8
3
1/8
= 0,2,3,4,5
ğ
olasılık fonksiyonu veriliyor.
a) c yi bulunuz
b) F(x) i bularak grafiğini çiziniz
ÇÖZÜM: a)
,,,,
≥ 0 ) ≥ 0
) = 1 ⇒ . 0 + . 2 + . 3 + . 4 + . 5 = 1
⇒ 14 = 1 ⇒ =
,
Buna göre ) = ,14
0,
şeklindedir.
1
14
= 0,2,3,4,5
ğ
b)
x
F(x)
0
0
2
2/14
3
5/14
4
9/14
5
1
Buna göre F(x) aşağıdaki şekilde ifade edilebilir:
∑
-) = . 14 ,
0,
= 0,2,3,4,5
ğ
F(x) in grafik gösterimi ise aşağıdaki şeklidedir:
1
3) Sürekli X rastlantı değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu
) = 1 − ),
,
0 < < 1
ğ
ile verilmektedir. Buna göre
a) c sabitinin değerini bulunuz
b) F(x) i oluşturunuz.
c) 2 34 ≥ | 4 ≤ 8 olasılığını hesaplayınız
5
ÇÖZÜM: a) f(x)’in bir X rastlantı değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu olabilmesi için
) ) ≥ 0
5
) 9 ) = 9 − 1) = 1 ⇒ < − =
2
3
:;
?) -) = ,
0,
3 − 2 ,
1 ,
⇒ =6
≤0
0≤<1
≥1
1
| =1
0
/
1
2 32 ≤ 4 ≤ 3/48
1
3
11
@)2 A4 ≥ |4 ≤ B =
= 6 9 1 − ) / 6 9 1 − ) =
3
2
4
27
2 3 4 ≤ 48
5/
diğer bir çözüm olarak;
2
1
2 3 ≤ 4 ≤ 3/48 -3/4) − -1/2) 11
1
3
2
2 A4 ≥ | 4 ≤ B =
=
=
3
2
4
-3/4)
27
234 ≤ 8
4
G6 − − F),
E) , F) = 0,
0 ≤ ≤ 2, 2 < F ≤ 4
ğ
f(x,y) nin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu olması için k ne olmalıdır? Buna göre
P(X+Y≤3) olasılığını hesaplayınız.
ÇÖZÜM:
;
;
9 9 , F)F = 0 olmalı. Buradan;
:; :;
9 9 G6 − − F)F = 1 ⇒ G 96 − ) = 1 ⇒ G =
5 :
1
5
9 9 6 − − F)F =
8
24
O
veya
:O
9
5
9
O
1
8
1
5
6 − − F)F =
8
24
5) X ve Y şans değişkenlerinin ortak dağılım fonksiyonu aşağıdaki gibi veriliyor:
0,
F+F -, F) = R
,
2
1
,
< 0, F < 0
> 0, F < 1 ≥ 1, F ≥ 1
3
a) f(x,y) fonksiyonunu bulunuz
?) 2 A4 ≤
ÇÖZÜM
1 1
, < T ≤ 1B olasılığını hesaplayınız?
2 2
Z) , F) =
[ -, F)
[
F
=
<F + = = + F
[[F
[F
2
5/
5
1 1
?)2 A4 ≤ , < T ≤ 1B = 9 9 + F)F = 1/4
2 2
5/
6) Ortak dağılım fonksiyonu
1 − 2: )1 − 2:O ),
-, F) = 0,
= 1,2, … ve F = 1,2, …
ğ
olarak tanımlanan X ve Y rassal değişkenlerinin marjinal dağılım fonksiyonlarını bulunuz.
Bundan yararlanarak marjinal olasılık fonksiyonlarını bulunuz.
ÇÖZÜM
-, ∞) = ^) = 24 ≤ ) = 1 − 2: )
0
-−∞, F) = _F) = 2T ≤ F) = 1 − 2:O )
0
bulunur. Marjinal olasılık fonksiyonları için,
2: ,
- ) = `) = 0 ,
2:O ,
-O F) = ℎF) = 0 ,
F
bulunur.
GF,
b) , F) = 0,
fonksiyonu veriliyor.
= 1,2, …
ğ
F = 1,2, …
ğ
= 1,2, …
ğ
F = 1,2, …
ğ
= 0,1,2 ve F = 0,1,2,3 ğ
i) f(x,y) fonksiyonunun, (X,Y) rassal değişkenlerinin ortak olasılık fonksiyonu olması için k
ne olmalıdır?
ii) X ve Y rassal değişkenlerinin marjinal olasılık fonksiyonlarını bulunuz.
4
iii) 21 ≤ 4 ≤ 2, 1 ≤ T ≤ 2) olasılığını bulunuz
ÇÖZÜM:
c) , F) = 1 olmalıdır.
O
GF = G F = G 0 + 1 + 2 + 3) = G 6 = 6G0 + 1 + 2) = 18G
O
⇒ 18G = 1 ⇒ G =
cc) `) = O
1
18
ℎF) = ⇒ ℎF) = ,
1
1
1
F =
0 + 1 + 2 + 3) = = 0,1,2
18
18
3
1
⇒) `) = , 3
0
O
= 0,1,2,3 ğ
1
1
1
F =
F0 + 1 + 2) = F
18
18
6
1
F
6
0
F = 0,1,2,3
ğ
F = 0,1,2,3
1
1
3
3
1
1 + 2) =
ccc)21 ≤ ≤ 2, 1 ≤ F ≤ 2) = xy =
x1 + 2) =
x =
18
18
18
18
2
2
2
2
x=1 y=1
2
x=1
x=1
8) X ve Y rassal değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu
, F) = veriliyor.
:eO) ,
0,
> 0, F > 0
ğ
i) X rassal değişkeninin marginal olasılık yoğunluk fonksiyonunu bulunuz
ii) Y rassal değişkeninin marginal olasılık yoğunluk fonksiyonunu bulunuz
;
;
ÇÖhÜj: c) `) = 9 , F)F = 9 ⇒ `) = :;
:
>0
0
ğ
;
;
cc) ℎF) = 9 , F)F = 9 :;
:eO)
:eO)
= F = :O
:
;
9 :O F = :
;
9 : = :O
5
:O
ℎF) = 0
F > 0
ğ
9) X ve Y rassal değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu
5 + F,
, F) = ,4
0,
0 ≤ F ≤ 1 − şeklindedir. Buna göre
ğ
2
c) 2 A0 ≤ 4 ≤ B olasılığını bulunuz.
3
cc) 2T ≤ 4 + 1) olasılığını bulunuz.
ÇÖhÜj
5: m
2
5 5
F 5:
c) 2 A0 ≤ 4 ≤ B = 9 9 A + FB F = 9 < F + = ⎪ 4
4
3
2
O
m
5
5
5
16
= 9 1 − ) = < − = ⎪ =
A5 − B = 0,4
8
8
5
12
81
cc)2T ≤ 4 + 1) = 1 − 2T > 4 + 1) = 1 − 9
5: m
5
9 A + FB F
4
:5 Oe5
5:
5
5
5
9 A + FB ⎪ e5 = 1 −
9 − − 2 − 3 − 2)
=1−
4
4
8
:5
m
:5
5
5
1 1
13
= 1 − <− − − − = ⎪:5 = 1 − A− + B =
= 0,81
8
5
2
8
5 2
16
10) (X,Y) ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu
1
6 − − F),
, F) = ,8
0,
0 < ≤ 2, 2 ≤ F ≤ 4
veriliyor. Aşağıdakileri bulunuz
i) E(X) ii) E(Y) iii)E(X+Y)
ğ
iV) E(XY)
6
ÇÖZÜM
1
1
F
1
c) o4) = 9 9 6 − − F) F = 9 <6F − F − = ⎪ = 9 6 − 2)
8
2
8
8
O
1 6 2 5
= <
−
= ⎪ =
8 2
3
6
1
1
cc) oT) = 9 9 F 6 − − F) F = 9 9 6F − F − F )F
8
8
O
O
1
F
F F
1
52
1 52
17
= 9 <6 − − = ⎪ = 9 A − 6B = < − 6 = ⎪ =
8
2
2
2
2
8
3
8 3
6
ccc) o4 + T) = o4) + oT) =
5 17 11
+
=
6 6
3
1
1
7
cp) o4T) = 9 9 F 6 − − F) = 9 9 6F − F − F )F =
8
3
8
O
O
7
