MANTIK
I. MATEMATİĞİN TARİHÇESİ
D. MATEMATIK DERSINE NASIL
ÇALIŞILIR?
A. MATEMATİK NEDIR?
◆◆ Matematik; sayıları ve sayılarla yapılan işlemleri,
bunların karşılıklı ilişkilerini, birleşimlerini, genellemelerini, soyutlamalarını, uzaydaki biçimlenmelerini ve bunların yapılarını, ölçümünü, dönüşümünü
ele alan aritmetik, cebir ve geometri gibi dallara ayrılan bilimdir.
B. MATEMATIK NEDEN ÖNEMLIDIR?
◆◆ Matematik; fen bilimlerinde, sosyal bilimlerde, sağlık bilimlerinde uygulanarak bu bilimlerin gelişmesine katkıda bulunmaktadır. Bu tür bilimlerde karşılaşılan problemlerin çözülmesi için, önce problemin
matematiksel modelinin kurulması sonra da modele göre çözülmesi gerekir.
◆◆ Bir mimar hazırladığı projede matematiksel hesaplamalar yapmadan projesini tamamlayamaz. Ekonomistler matematiksel veriler olmadan gerekli hesapları ve değerlendirmeleri yapamazlar. Hava durumu tahminlerinde ve daha birçok alanda matematiksel hesaplar kesinlikle gereklidir.
C. MATEMATIĞIN TARIHSEL GELIŞIMI
◆◆ Matematiğin kesin olmamakla beraber MÖ 3000 2000 yılları arasında Mısır ve Mezopotamya’da
başladığını söyleyebiliriz. Mısır’da Nil Nehri’nin taşması ve tarım arazilerine zarar vermesi sebebiyle
Mısırlılar belli hesaplamalar yapmıştır.
◆◆ Matematik sözcüğü ilk kez MÖ 550 yıllarında Pisagor okulu öğrencileri tarafından kullanılmış, yazılı literatüre ise MÖ 380 yıllarında Platon’la girmiştir. Kelime anlamı, “Öğrenilmesi gereken bilgi”dir.
◆◆ MÖ 590 yılında Miletli Thales, geometri okulunu
kurdu ve kendi teoremini gerçekleştirdi.
◆◆ MS 700 yıllarında sıfır bulundu. Harezmi tarafından
Avrupa’ya tanıtıldı.
◆◆ 10 Kasım 1619 modern matematiğin doğuşunun
resmî tarihidir. Geometri cebirselleşmiş, cebir de
görselleşmiştir. Kartezyen geometri hem fonksiyon kuramının hem de uzayın sayısallaştırılmasının başlangıç noktasıdır.
www.sinav.com.tr
◆◆ Matematik yığılmalı olarak ilerleyen bir bilim dalıdır.
Dolayısıyla bir bütündür. Her ne kadar konuları birbirinden ayrı olarak düşünülse de temelde birikerek
ilerler. İlk öğrenilen konudaki bilgiyle son öğrenilen
konudaki soru çözülür. Eğer toplama ve çıkarmayı
bilmiyorsanız “Üslü Sayılar” konusunu anlamanız
mümkün değildir. Bu sebeple matematik söz konusu olduğunda “Temelin sağlam olmalı.” yargısı burada devreye girer.
◆◆ Matematiğin semboller ve şekillerden oluşan kendine has bir dili vardır. Bu dili öğrenmek de matematiği öğrenmede ölçüt kabul edilir. Çünkü her matematik sorusu matematik okuryazarlığını da ölçer.
Bu nedenle şekiller ve semboller görsel tekrarlarla
zihinde pekiştirilmelidir.
◆◆ Bir konu öğrenilirken o konuda matematiğin nasıl
kullanıldığının öğrenilmesi önemlidir. Böylelikle bilgiler mantıksal temele yerleştirilip ezberden öteye
taşınır. Örneğin mutlak değer öğrenilirken, “Pozitif
sayılar mutlak değerin dışına aynen çıkar, negatif
sayılar eksiyle çarpılarak pozitif çıkar.” yerine, “Mutlak değer matematikte bir sayının başlangıç noktasına uzaklığını ifade eder ve uzaklık negatif olmaz.”
şeklindeki bir öğrenme mantık temellerine dayandırıldığından daha kalıcıdır.
◆◆ “Ders, derste dinlenir.” sözünden hareketle matematik, en iyi temele, anlatan kişiyi dikkatle dinleyerek ve anlaşılmayan noktaları belirtip, gerekirse
tekrar dinleyip oturtulur.
◆◆ Eğer bu konu anlatıcı tarafından dinlenmiş, anlaşılmayan noktalar da çözülmüşse artık o konuyu belli
sıklıklarla tekrar etmek gerekir. Bilgi tazeyken tekrarlar sık sık, zaman geçtikçe belli periyotlarda olmalıdır. Ders çalışırken konu tekrarının önemi kadar tekrar edilen konunun pekişmesi adına konu
hakkında sorular çözmek de çok önemlidir. Böylelikle benzer sorularla sonuca ulaşırken matematik
sembolleri, şekilleri ve o konuda gerekli formüllerin
beyne kalıcı olarak yerleşmesi sağlanır.
◆◆ Matematik dinleyip, tekrar edip pekiştirerek öğrenilir.
9. SINIF MATEMATİK / 1
43
MATEMATİK
BÖLÜM 1
Mantık
II. MANTIK VE DÜŞÜNME
◆◆ Günlük yaşamımızda etrafımızdakilerin bazı düşünüş ve davranışlarını “mantıklı” bazılarını “mantıksız” diye nitelendirdiğimiz çok olur. Bir düşünüş veya davranışın mantıklı olması ne demektir?
◆◆ “Mantık” sözcüğü Arapça olup “konuşma” anlamına gelen “nutuk”tan türetilmiştir. Nutuk sözcüğü de
eski Yunancada hem “konuşma” (söz) hem “akıl”
anlamına gelen “logos”un karşılığıdır. Bu durumda
“mantık” (Yunanca “logike”) “konuşma veya düşünme bilgisi” anlamında kullanılmış olsa gerek. İnsanlık tarihi boyunca da mantık, “doğru düşünme sanatı” veya “doğru düşünme kurallarının bilgisi” diye tanımlanagelmiştir.
ulaşmış, ancak bir türlü tartışmalardan arındırılmamıştır. Fakat gelişen bilim ve teknolojinin matematikle iç içe yaşama zorunluluğu tartışmalardan uzak
ve sonuçları net bir matematiksel mantık örgüsünü
gerektirmiştir. Bu örgünün farklı dil, din, ırk ve kültürlerdeki ayrılıklardan etkilenmemesi gerekmektedir. Çünkü bilim dili, evrensel olmalıdır.
◆◆ İşte, 19. yüzyılın ortalarında, sonuçları tartışmasız,
bilim ve teknoloji ile zıt düşmeyen ve matematiksel
mantık veya sembolik mantık adı verilen modern
mantık doğmuştur.
Mantık
Düşünce ne demektir?
–
Rahmetli babamı düşünüyorum.
–
Yarınki sınavı düşünüyorum.
–
Tatile gitmeyi düşünüyorum.
Klasik Mantık
(Aristo Mantığı)
◆◆ Yukarıdaki cümlelerde besbelli ki “düşünme” daha
çok hatırlama, tasarlama veya planlama anlamında
kullanılmıştır. Ancak mantıkta kullanacağımız “düşünme” “akıl yürütme” anlamında kullanılacaktır.
◆◆ İnsanlar, tarih boyunca doğru düşünmenin ve doğru sonuca ulaşmanın yol ve yöntemlerini araştırmıştır. Bu araştırmalar sonucunda farklı sistematik
yapılar oluşmuştur. Oluşan sistematik yapıların başında klasik mantık adı ile bilinen ve Aristo tarafından ortaya atılıp geliştirilen bir düşünme biçimi gelmektedir.
Sembolik Mantık
(Matematiksel Mantık)
Önermeler
Mantığı
Niceleyiciler
Mantığı
◆◆ Sembolik mantık, aynı zamanda modern matematiğin dili olmuştur. Bu sayede matematiksel ifadeler
ve matematiksel düşünme biçimleri daha sistematik bir seviyeye ulaşmıştır. Evrensel bir geçerliliğe
sahip olan bu dil sayesinde bilgisayar, elektrik ve
elektronik mühendislikleri gelişmiştir.
“Sembolik gösterim, matematiğin yarısıdır.”
Bertrand Russell
◆◆ Düşünmek, akıl yürütme ile doğruluğu kesin olan
veya doğruluğuna inandığımız bir veya birden çok
önermenin bizi bir önermeye götürmesidir.
Aristotales
◆◆ MÖ 600-300 yıllarında ortaya çıkan usa vurma kurallarını Aristo sistemleştirdi. Aristo, Organon (Alet)
adlı yapıtında 14 tane “usa vurma kuralı (syllogism)” verdi. Bu kurallar, bugünkü biçimsel mantığın temelidir ve 2000 yılı aşkın bir zaman dilimi içinde insanoğlunun düşünme ve doğruyu bulma eylemini etkisi altında tutmuştur. Aristo’nun yaklaşık
2500 sene önce işlediği konular günümüze kadar
44
Nasıl akıl yürütülür?
◆◆ Bu sorunun belki de hiçbir zaman cevabını bulamayabiliriz. Ama bir yerden başlamak gerekirse bu
sorunun cevabı “mantıklı” yani “doğru düşünme sanatı” olabilir.
9. SINIF MATEMATİK / 1
www.sinav.com.tr
Mantık
◆◆ Sembolik mantık, sadece bu tür cümleleri inceler:
1
a)
“Ankara, Türkiye’nin başkentidir.”
Oysa Murat kütüphanede yok.
b)
“2 + 2 = 4”
O hâlde Murat laboratuvarda olacak.
c)
“2 + 2 = 5”
d)
“C + O2 † CO2”
Murat ya kütüphanede olacak ya laboratuvarda.
◆◆ Yukarıda (a) da verilen önerme, günlük dile ait doğru bir önerme, (b) ve (c) de verilenler ise matematik diline ait (b) nin doğru, (c) nin yanlış olduğu birer
2
önerme (d) de ise kimya diline ait doğru bir öner-
Einstein bir film yıldızı olsaydı, ünlü bir kişi olurdu.
me gösterilmiştir.
Oysa Einstein bir film yıldızı değildi.
◆◆ Önermeler için genellikle temsilci harf olarak p, q, r,
O hâlde Einstein ünlü bir kişi değildir.
s, t harfleri kullanılır.
◆◆ Hüküm bildirmeyen ifadeler; emir, istek, soru, ünlem cümleleri önerme olamaz.
3
Can, saat 16.30’dan beri odasında çalıştığını ve yağ-
a)
“İnşallah!”
ma odasının halısı üzerindeki çamur lekelerinin kendisi
b)
“Sinemaya gidelim.”
tarafından yapılmadığına annesini inandırdı. O, bir insa-
c)
“Çok çalış, çok!”
d)
“Kaç yaşındasın?”
murun 17.00’den önce başlamadığını söyleyerek otur-
nın bulunmadığı bir yerde meydana gelen bir olaya o insanın sebep olamayacağını ifade etti.
Bu örneklerden de anlaşılacağı üzere akıl yürütme günlük hayatımızda başvurduğumuz önemli bir yöntemdir.
◆◆ Yukarıdaki cümleler hüküm bildirmediğinden önerme olamaz.
A. ÖNERME
◆◆ Mantıkta cümleler yanlış ya da doğru olarak nitelendirilebilen ve birer hüküm bildiren bir yapıda ol-
4
telendirilebilmesi, ancak yapısında bir hüküm bu-
Aşağıda verilen cümleleri dikkatlice okuyunuz. Bu
cümlelerden hangilerinin önerme olduğunu, hangilerinin önerme olmadığını yazınız.
lunması ile ilgilidir.
a)
“Bir yıl 12 aydır.”
b)
“İki noktadan sadece bir doğru geçer.”
c)
“Üçgenin iç açılar toplamı 360° dir.”
d)
“Çok abartıyorsun.”
e)
“Çorum, Karadeniz Bölgesi’ndedir.”
f)
“Bugün çok güzelsin.”
malıdır. Zira cümlenin doğru ya da yanlış olarak ni-
◆◆ “Doğru” ya da “yanlış” bir hüküm bildiren ifadelere önerme denir. Gerek “doğru” gerekse “yanlışa”
“doğruluk değeri” denir. Verilen bir önerme ya doğrudur ya da yanlıştır. Doğru olan bir önerme her
yerde, her zaman, herkes için doğrudur. Yanlış
olan bir önerme için de durum öyledir.
www.sinav.com.tr
9. SINIF MATEMATİK / 1
45
Mantık
6
a)
Bir yıl 12 ay olduğundan doğru bir ifadedir yani
önermedir.
b)
Aşağıda verilen önermeleri dikkatlice okuyunuz. Bu
önermelerden hangileri için doğru, hangileri için
yanlış hükmü verilebilir?
İki noktadan sadece bir doğru geçer doğru bir ifa-
Önermeler
dedir yani bir önermedir.
c)
23 + 32 = 17
Üçgenin iç açılar toplamı 180° olduğundan yanlış
bir ifadedir fakat yine de bu bir önermedir.
d)
“Çok abartıyorsun.” bir insanın bir olaya tepkisi ol-
✓
Bir üçgenin alanı, tabanı ile ona
ait yüksekliğinin çarpımının yarı-
yani önerme değildir.
sına eşittir.
Çorum, Karadeniz Bölgesi’nde olduğundan doğru
Bir karenin herhangi bir iç açısı
bir ifadedir yani bir önermedir.
f)
✓
2x + 5 = 17 ise x = 5
duğundan doğru ya da yanlış bir bildirim vermez,
e)
Doğru Yanlış
135° dir.
“Bugün çok güzelsin.” doğru ya da yanlış hüküm
Dörtgenin iç açılarının ölçüleri
bildirmez. Bu ifade bir görüştür yani önerme değil-
toplamı 180° dir.
dir.
2x = 4 ise x = 2’dir.
5
Aşağıdakilerden hangisi önermedir?
1. Bir Önermenin Doğruluk Değeri
A) Ali, bu sene okula gidecek mi?
Bir önerme için yalnızca iki durum vardır. Ya doğrudur
B) E düzlemine içindeki bir P noktasından dik çizelim.
ya da yanlış. Bu durumu aşağıdaki gibi tablolaştırabili-
C) Teoremin tersini yaz.
D) 2 asal sayı değildir.
E) Keşke yarın yağmur yağsa.
riz. p önermesi verilsin.
p
D
Y
Çözümü Siz Yapınız
p
1
0
D: Doğru
Y: Yanlış
şeklinde veya
1: önermenin doğru
0: önermenin yanlış
olduğunu gösterir.
Uygulamalarda genellikle bir p önermesi doğru ise bunu
p ∫ 1 biçiminde, yanlış ise p ∫ 0 biçiminde göstereceğiz.
46
9. SINIF MATEMATİK / 1
www.sinav.com.tr
Mantık
Çözümü Siz Yapınız
7
Aşağıdaki tabloda verilen önermelerin doğruluk değerlerini yazınız.
Sembol
Önerme
p
1+1=3
q
Türkiye, Afrika kıtasındadır.
Doğruluk
Değeri
Önermelerin doğruluk değerlerini görmemiz ve daha
kolay işlem yapabilmemiz için genellikle önermeleri tablo içinde yazarak gösteririz. Örneğin, p ve q iki önerme
olsun. Bu iki önermeye ait doğruluk tablosunu oluşturalım. Her bir önerme için ikişer durumun (doğru-yanlış)
olduğunu biliyoruz.
Kızılırmak, Ege Denizi’ne dö-
r
külür.
s
1≠2
2’nin dışında çift olan asal sa-
t
p
yı yoktur.
1
0
3. Raf
p
1
0
Tablonun bu şekilde kullanışlı olmadığı
görülüyor.
0
1
0
1. Raf
0
Bunun yerine, aşağıdaki tablo kullanılır.
p
Yukarıdaki ayakkabılıkta 3 kardeş ayakkabılarını; büyük
kardeş 2. rafa, ortanca kardeş 1. rafa, küçük kardeş ise
3. rafa yerleştirmiştir.
Fakat anneleri ayakkabılığı yeniden düzenleyerek ayakkabıları numara sırası küçükten büyüğe olacak şekilde
1. raftan 3. rafa doğru yerleştirmiştir.
Büyük kardeş 41 numara, ortanca kardeş 42 numara ve küçük kardeş 43 numara ayakkabı giydiğine
göre, aşağıdaki önermelerden hangileri doğrudur?
Anneleri 3. raftaki ayakkabının yerini değiştirmemiştir.
II. Başlangıçta büyük kardeşin ayakkabısının olduğu
rafa anneleri ortancanın ayakkabısını yerleştirmiştir.
III. Anneleri 3. rafa ortanca kardeşin ayakkabısını yerleştirmiştir.
IV. Annelerinin yaptığı yerleştirme sonucunda ilk duru-
www.sinav.com.tr
1
q
1
2. Raf
ma göre ayakkabıların yeri değişmemiştir.
ve
Bu iki önermeyi aynı tabloda nasıl ifade edebiliriz? Eğer
p önermesi 1 ise q önermesi 1 veya 0 olur. p önermesi 0 ise q önermesi için yine iki durumun olacağı açıktır.
Şimdi bu bilgileri tabloya aktaralım.
8
I.
q
q
1
1
1
0
0
1
0
0
Benzer bir akıl yürütme ile 3 önermeli tablo genellikle aşağıdaki biçimde oluşturulur.
q
q
r
1
1
1
1
1
0
1
0
1
1
0
0
0
1
1
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1 önerme için 2 satır oluşturduk.
2 önerme için 4 satır oluşturduk.
3 önerme için 8 satır oluşturduk.
Buradan kolaylıkla önerme ve oluşturulan satır sayısı
arasındaki örüntü görülür. Eğer “n” tane önerme varsa tam “2n” tane satır oluşturulur. Yukarıdaki 3 önerme
için oluşturulan satırlar dikkatlice incelenirse p önerme-
9. SINIF MATEMATİK / 1
47
Mantık
si için 4 doğru, 4 yanlış (Toplam satır sayısının yarısı ile
başlar.) daha sonraki önermeler için sırasıyla bir önceki
Çözümü Siz Yapınız
önermenin yarısı kadar doğru/yanlış biçiminde bir örüntü bulunduğuna dikkat edilmelidir.
9
32 tane satır oluşturulan bir tabloda kaç tane önerme vardır?
12
n tane önerme olsun.
2n = 32 ¡ 2n = 25 ¡ n = 5 önerme vardır.
1
10
kadaşla ilgili aşağıdakiler bilinmektedir.
7 tane önermenin ................. doğruluk durumu
vardır.
b)
3
Şekildeki üçlü prizde telefonlarını şarj edecek olan 6 ar-
Aşağıdaki boşlukları doldurunuz.
a)
2
•
Ahmet, Burak, Can, Deniz, Eren, Fırat isimlerinin
alfabetik sırasına göre telefonlarını şarj edecektir.
•
Ahmet telefonunu 1 numaralı prize, Burak telefonu-
256 tane satırdan oluşan bir doğruluk tablosunda
nu 2 numaralı prize ve Can telefonunu 3 numaralı
.............. tane önerme vardır.
prize aynı anda takmışlardır.
•
Ahmet’in telefonu 60 dakikada, Burak’ın telefonu
Ahmet’inkinin 2 katı sürede ve Can’ın telefonu Ah-
Çözümü Siz Yapınız
met’inkinin yarısı kadar sürede şarj olmaktadır. Deniz ve Eren’in telefonlarının şarj süreleri Burak’ınkinin 2 katıdır.
•
Şarjı dolan telefondan hemen sonra boşalan prize
sıradaki kişi telefonunu prize takıyor.
2. Denk Önermeler
Telefonların şarj olmalarıyla ilgili;
Doğruluk değerleri aynı olan iki önermeye denk (eş de-
p: Fırat ve Burak telefonlarını aynı prizde şarj etmiş-
ğer) önermeler denir. p ve q gibi iki önermenin denkliği
p ∫ q biçiminde gösterilir.
q: Deniz 1 numaralı prizde telefonunu şarj etmiştir.
r:
11
p: “12 – 22 > 0”
q: “Bir hafta yedi gündür.”
Eren ve Fırat’ın telefonlarını şarj ettikleri prizler yan
yanadır.
Aşağıdaki önermelerin doğruluk değerlerini bulup
denk olanları belirleyiniz.
lerdir.
önermeleri veriliyor.
Buna göre, aşağıdakilerden hangileri yanlıştır?
I.
p∫r
r: “En küçük doğal sayı 1’dir.”
II. p ∫ q
s: “32 + 42 = 52” dir.
III. q _ r
48
9. SINIF MATEMATİK / 1
www.sinav.com.tr
Mantık
Sonuç: Matematikte kullandığımız bazı semboller ve
Çözümü Siz Yapınız
bu sembollerin değilleri aşağıdaki tablodaki gibidir.
Bir Önermenin Değili (Olumsuzu)
Bir p önermesi şöyle olsun.
Sembol
Değili
=
≠
≠
=
<
≥
≤
>
≥
<
>
≤
14
p: “Kar, beyazdır.”
Bu önermede “kar”ın renginin beyaz olduğu hükmü vardır.
Bu hükmün değili (yani olumsuzu) şöyledir:
p: “Kar beyazdır.”
p’nin değili: “Kar beyaz değildir.”
Aşağıdaki önermelerin değillerini bulunuz.
a)
p: “Bir gün 24 saattir.”
b)
q: “Kuşlar 4 ayaklıdır.”
c)
r: “Bütün kenarlarının uzunlukları birbirine eşit olan
dikdörtgen karedir.”
İşte bu örnekte görüldüğü gibi bir önermenin hükmünün
değiştirilmesiyle (olumsuzu) elde edilen yeni önermeye
Çözümü Siz Yapınız
ilk önermenin “değili” (olumsuzu) denir. p’nin değili ~p
veya pı ile gösterilir.
p: “Kar beyazdır.” (önerme)
p’: “Kar beyaz değildir.” (değili)
Bu durum bir p önermesi ve onun değili pı önermesinin
15
tablosunu yaparsak,
p
p'
Aşağıdaki ifadelerin hangilerinin yanlış olduğunu bu-
1
0
lunuz.
0
1
a)
p önerme iken pı yine bir önerme olacağından pı nin de
olumsuzu yani (pı)ı önermesi yine p önermesine denk
olur.
beyaz renkli değildir.” şeklindedir.
b)
“Nevşehir büyük bir köydür.” önermesinin değili
“Nevşehir büyük bir köy değildir.” şeklindedir.
d)
“Ahmet uzun boyludur.” önermesinin değili “Ahmet
kısa boyludur.” şeklindedir.
13
e)
Aşağıdaki önermelerin değillerini bulunuz.
“4 • 7 = 35’tir.” önermesinin değili “4 • 7 ≠ 35’tir.”
şeklindedir.
a) p: “2 = 5”
b) q: “2 + 3 < 4”
c) r: “2 ≠ 5”
d) s: “4 + 2 ≥ 6”
a) pı: “2 ≠ 5”
b) qı: “2 + 3 ≥ 4”
c) rı: “2 = 5”
d) sı: “4 + 2 < 6”
www.sinav.com.tr
“1903 > 1907’dir.” önermesinin değili “1903 ≤ 1907
dir.” şeklindedir.
c)
(pı)ı ∫ p’dir.
“Araba beyaz renklidir.” önermesinin değili “Araba
Çözümü Siz Yapınız
9. SINIF MATEMATİK / 1
49
MATEMATİK
BÖLÜM 2
Mantık
I. BİLEŞİK ÖNERMELER
Her bir durum için aşağıdaki tabloyu dolduralım.
Mantıksal Bağlaçlar
◆◆ Matematikte iki basit önermeyi birbirine bağlayan
“ve”, “veya” “ya da”, “ise” ve “ancak ve ancak” gibi ifadelere mantıksal bağlaç adı verilir. Türkçemizde “ise” ve “ancak ve ancak” birer bağlaç olmadığı
hâlde matematikte “mantıksal bağlaç” olarak kullanıldıklarına dikkat etmeliyiz.
Ali
Burak
Ali ve Burak
okula gitti.
okula gitti.
okula gitti.
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
0
◆◆ Sonuç olarak p, q gibi iki basit önermenin “Ÿ” bağ-
Bileşik Önerme
lacı ile birbirine bağlanmasıyla elde edilen “p Ÿ q”
bileşik önermesinin doğruluk değeri her iki önerme de doğru iken doğru diğer durumlarda yanlıştır.
◆◆ En az iki basit önermenin bir veya daha çok mantıksal bağlaç kullanılarak birbirine bağlanmasıyla
elde edilen yeni önermelere “bileşik önerme” denir.
p
Matematikte kullanılan bağlaçlar ve sembolleri şöyledir:
Bağlaç
Sembolü
ve
Ÿ
veya
Ğ
ya da
Ğ
ise
¡
ancak ve ancak
ğ
q
pŸq
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
0
“Ÿ” bağlacı matematikte çarpma (.) işlemi gibi düşünülebilir. Şöyle ki
1. “Ve” Bağlacı “Ÿ” ve Doğruluk Değeri
p
q
pŸq
1
1
1
1.1 = 1
1
0
0
† 1.0 = 0
0
1
0
† 0.1 = 0
0
0
0
† 0.0 = 0
Yandaki tabloda
1Ÿ1∫1
1Ÿ0∫0
0Ÿ1∫0
0 Ÿ 0 ∫ 0 olur.
Aşağıdaki iki basit önermeyi ele alalım.
p: “Ali okula gitti.”
q: “Burak okula gitti.”
◆◆ Bu iki önermeden “ve” bağlacı kullanılarak yapılan “Ali okula gitti ve Burak okula gitti.” önermesine
“ve” bağlacı kullanılarak yapılan bileşik önerme denir. Bunu p ve q: “Ali ve Burak okula gitti.” biçiminde de ifade edebiliriz.
1
Aşağıda verilen önermelerin doğruluk değerlerini
yazalım.
a)
b)
Bu bileşik önermeden aşağıdaki çıkarımları elde edebiliriz.
•
Ali ve Burak okula gitmişse bileşik önerme doğrudur.
•
Ali okula gitmiş, Burak okula gitmemiş ise bileşik
c)
“c
1 2
1 2
m >c m ve 22 + 32 = 52 ”
2
3
“Dünya’nın şekli küptür ve bir yıl 13 aydır.”
“Sigara sağlığa zararlıdır ve bir haftada 7 gün vardır.”
d)
“Almanya’nın başkenti Düsseldorf’tur ve bir gün 24
saatten oluşur.”
önerme yanlıştır.
•
Ali okula gitmemiş, Burak okula gitmiş ise bileşik
önerme yanlıştır.
•
Her ikisi de okula gitmemiş ise bileşik önerme yanlış olur.
50
a) 1 Ÿ 0 ∫ 0
b) 0 Ÿ 0 ∫ 0
c) 1 Ÿ 1 ∫ 1
d) 0 Ÿ 1 ∫ 0
9. SINIF MATEMATİK / 1
www.sinav.com.tr
Mantık
“Ÿ”nin Özellikleri
2. “Veya” bağlacı “∨” ve Doğruluk Değeri
Aşağıdaki iki basit önermeyi ele alalım.
p, q ve r önermeleri verilsin.
p: “Yağmur yağıyor.”
a)
p Ÿ p ∫ p (Ÿ’nin tek kuvvet özelliği)
b)
p Ÿ q ∫ q Ÿ p (Ÿ’nin değişme özelliği)
Bu iki önermeyi “veya” bağlacını kullanarak birbirine
c)
(p Ÿ q) Ÿ r ∫ p Ÿ (q Ÿ r) (Ÿ’nin birleşme özelliği)
bağlayalım.
d)
pŸ1∫p
p veya q: “Yağmur yağıyor veya güneş açıyor.”
q: “Güneş açıyor.”
pŸ0∫0
Bu bileşik önermeden aşağıdaki çıkarımları yapabiliriz.
Bu özelliklerin doğru oldukları tablo yapılarak kolaylıkla
görülür.
b)
p Ÿ q ∫ q Ÿ p’dir.
p
q
pŸq
qŸp
1
1
1
1
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
Yağmur yağıyor ve güneş açmış ise önerme doğrudur.
•
Yağmur yağıyor ve güneş açmamış ise önerme
doğrudur.
•
Yağmur yağmıyor ve güneş açmış ise önerme doğrudur.
•
Yağmur yağmıyor ve güneş açmamış ise önerme
yanlıştır.
Her bir durum için aşağıdaki tablo oluşturulur.
pŸq∫qŸp
d)
•
p
p
1
0
pŸp
pŸ1
pŸ0
1
1
1
0
1
1
0
0
0
1
0
0
0
0
pŸp∫p
pŸ1∫p pŸ0∫0
bulunur.
Yağmur
Güneş
Yağmur yağıyor veya
yağıyor.
açıyor.
güneş açıyor.
1
1
1
1
0
1
0
1
1
0
0
0
Sonuç olarak p, q iki basit önermenin “∨” bağlacı ile birbirine bağlanmasıyla elde edilen “p ∨ q” bileşik önerme-
si; bu önermelerden en az biri doğru iken doğru, diğer
durumda yanlıştır.
2
p ∫ 1, q ∫ 0, r ∫ 1 olsun.
(p Ÿ qı) Ÿ r bileşik önermesinin doğruluk değerini
bulunuz.
Çözümü Siz Yapınız
www.sinav.com.tr
p
q
pĞq
1
1
1
1
0
1
0
1
1
0
0
0
“∨” bağlacı matematikte toplama (“+”) işlemi gibi düşünülür. Şöyle ki;
p
q
pĞq
1
1
1
1
0
1
1+0=1
0
1
1
0+1=1
0
0
0
0+0=0
9. SINIF MATEMATİK / 1
1 + 1 = 2 (Mantıkta sadece
= 1 1 ve 0 olduğundan
2 yerine 1 alırız.)
bulunur.
51
Mantık
Bu özelliklerin tablo yapılarak doğruluğu kolayca görü-
3
Aşağıda verilen önermelerin doğruluk değerlerini
lebilir.
yazalım.
p
1
0
pĞ0
pĞ1
1
1
0
1
1
a)
0
1
0
“Nisan ayından sonra temmuz ayı gelir veya Dünya
prizma şeklindedir.”
1
1
1 1
veya
+
= +
9 25
3 5
1 1
1 1
.
= . ”
9 25
3 5
b)
“
c)
“Bir üçgenin iç açıortaylarının kesiştiği nokta iç teğet
çemberin merkezidir veya farklı iki noktadan sadece
“Bütün dik açılar birbirine eşittir veya bir doğru açı
360° dir.”
1
pĞ1∫1
bulunur.
e)
p, q ve r üç önerme olsun.
I)
Ÿ’nin ∨ üzerine dağılma özelliği
• p Ÿ (q ∨ r) ∫ (p Ÿ q) ∨ (p Ÿ r) soldan dağılma
bir doğru geçer.”
d)
0
pĞ0∫p
• (q ∨ r) Ÿ p ∫ (q Ÿ p) ∨ (r Ÿ p) sağdan dağılma
II)
∨’nin Ÿ üzerine dağılma özelliği
• p ∨ (q Ÿ r) ∫ (p ∨ q) Ÿ (p ∨ r) soldan dağılma
• (q Ÿ r) ∨ p ∫ (q ∨ p) Ÿ (r ∨ p) sağdan dağılma
a) 0 ∨ 0 ∫ 0
b) 0 ∨ 1 ∫ 1
c) 1 ∨ 1 ∫ 1
d) 1 ∨ 0 ∫ 1
◆◆ Bu özelliklerin hepsinin tablo yardımıyla doğru olduğu görülebilir.
p Ÿ (q ∨ r) ∫ (p Ÿ q) ∨ (p Ÿ r) biz gösterelim.
p q r q ∨ r p Ÿ (q ∨ r) p Ÿ q p Ÿ r (p Ÿ q)∨(p Ÿ r)
4
(1 ∨ 0ı) ∨ (1ı ∨ 1) bileşik önermesinin doğruluk değerini bulunuz.
Çözümü Siz Yapınız
1 1 1
1
1
1
1
1
1 1 0
1
1
1
0
1
1 0 1
1
1
0
1
1
1 0 0
0
0
0
0
0
0 1 1
1
0
0
0
0
0 1 0
1
0
0
0
0
0 0 1
1
0
0
0
0
0 0 0
0
0
0
0
0
A BBBBBBBBBBBBBBBBB C
p / (q 0 r)/(p / q) 0 (p / r)
olur.
p ile q iki önerme olsun.
“∨”nin Özellikleri
a)
p ∨ (p Ÿ q) ∫ p
b)
p Ÿ (p ∨ q) ∫ p’dir.
p, q ve r önermeleri verilsin.
a)
p ∨ p ∫ p (∨’nin tek kuvvet özelliği)
b)
p ∨ q ∫ q ∨ p (∨’nin değişme özelliği)
c)
(p ∨ q) ∨ r ∫ p ∨ (q ∨ r) (∨’nin birleşme özelliği)
d)
p∨0∫p
p∨1∫1
52
◆◆ Bu iki kuralın doğruluğu tablo yardımıyla kolaylıkla görülebilir. Ancak bazı durumlarda tablo yapmak
zaman alacağı için bileşik önermelerin doğrulukları özellikler yardımıyla mantıksal çıkarımlarla gösterilebilir. Yukarıda verilen bu denklikleri mantıksal
özellikleri kullanarak gösterelim.
9. SINIF MATEMATİK / 1
www.sinav.com.tr
Mantık
a)
p ∨ (p Ÿ q) ∫ p
Her bir çıkarım için aşağıdaki tabloyu oluşturalım.
ispat:
Ali okula
Yağmur
Ali, okula gitti ya da
gitti.
yağdı.
yağmur yağdı.
1
1
0
1
0
1
0
1
1
0
0
0
p Ÿ 1 ∫ p olduğundan biliyoruz.
p ∨ (p Ÿ q) ∫ (p Ÿ 1) ∨ (p Ÿ q)
soldan p Ÿ parantezine alalım.
∫ p Ÿ (1 ∨ q)
◆◆ Sonuç olarak p ve q iki önerme olsun. Bu iki basit
önermenin “v” bağlacı ile birbirine bağlanmasıyla
elde edilen “p v q” bileşik önermesinin doğruluk değeri, bu önermelerden yalnız biri doğru iken bileşik
önerme doğru, öteki durumlarda yanlıştır.
∫ p Ÿ 1
∫ p bulunur.
b)
p
p Ÿ (p ∨ q) ∫ p
q
pĞq
1
1
0
ispat:
1
0
1
p ∨ 0 ∫ p olduğunu biliyoruz.
0
1
1
0
0
0
p Ÿ (p ∨ q) ∫ (p ∨ 0) Ÿ (p ∨ q)
5
∫ p ∨ (0 Ÿ q)
Aşağıda verilen önermelerin doğruluk değerlerini
yazınız.
∫p∨0
∫ p bulunur.
a)
b)
“Ya filler uçar ya da kediler havlar.”
“Ya altıgenin iç açıları toplamı 720° dir ya da sekizgenin iç açıları toplamı 720° dir.”
3. “Ya da” Bağlacı “∨” ve Doğruluk Değeri
Aşağıdaki iki basit önermeyi ele alalım.
c)
“Ya bir yılda 10 ay vardır ya da 6 ay yarım yıldır.”
d)
“Ya 42 < 52 dür ya da (0, 2)2 < (0, 3)2 dür.”
p: Ali okula gitti.
q: Yağmur yağdı.
Bu iki önermeyi “ya da” bağlacını kullanarak birbirine
bağlayalım.
a) 0 ∨ 0 ∫ 0
b) 1 ∨ 0 ∫ 1
c) 0 ∨ 1 ∫ 1
d) 1 ∨ 1 ∫ 0
p ya da q: Ali okula gitti ya da yağmur yağdı.
6
Bu bileşik önermeden aşağıdaki çıkarımları yapabiliriz.
•
•
Ali, okula gitmiş ve yağmur yağmış ise bileşik önerme
yanlış
rini bulunuz.
Ali, okula gitmiş ve yağmur yağmamış ise bileşik
Çözümü Siz Yapınız
önerme doğru
•
(1 ∨ 0ı)ı ∨ (1 ∨ 1) bileşik önermesinin doğruluk değe-
Ali, okula gitmemiş ve yağmur yağmamış ise bileşik
önerme yanlış
•
Ali, okula gitmemiş ve yağmur yağmış ise bileşik
önerme doğrudur.
www.sinav.com.tr
9. SINIF MATEMATİK / 1
53
Mantık
“Ya da”nın Özellikleri
tır ve Londra Üniversitesi matematik bölümünde profe-
p, q ve r önermeleri verilsin.
sör ve matematik kulübünün ilk başkanıdır. Cebir, sem-
a)
p∨p∫0
b)
p∨q∫q∨p
c)
(p ∨ q) ∨ r ∫ p ∨ (q ∨ r)
d)
p∨0∫p
p∨1∫
bolik mantık ve klasik Aristo mantığı ile felsefe üzerine
çalışmaları olmuştur.
•
(p Ÿ q)ı ∫ pı ∨ qı dir.
İspat:
pı
Bu özelliklerin tablo yardımıyla doğru olduklarını bulalım.
a)
b)
p∨p∫0
p
p
p∨p
1
1
0
0
0
0
q
pĞq
qĞp
1
1
0
0
1
0
1
1
0
1
1
1
0
0
0
0
q
pı
qı
pŸq
(p Ÿ q)ı
1
1
0
0
1
0
pı Ğ qı
0
1
0
0
1
0
1
1
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
1
(p Ÿ q)ı ∫ pı Ğ qı
•
(p ∨ q)ı ∫ pı Ÿ qı dir.
İspat:
p∨q∫q∨p
p
p
p
q
pı
qı
pĞq
(p Ğ q)ı
1
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
1
0
0
0
1
1
0
1
0
0
1
1
0
1
1
0
0
pı Ÿ qı
(p Ğ q)ı ∫ pı Ÿ qı
pĞq∫qĞp
II. KOŞULLU ÖNERMELER
p
1
0
p∨1
p∨0
1
1
0
0
1
◆◆ “İse” bağlacı kullanılarak elde edilen “p ¡ q” biçimindeki bileşik önermelere koşullu (şartlı) önerme denir.
0
1
0
1
0
d)
Önerme; p doğru, q yanlış iken yanlış, diğer durumlarda doğrudur.
p ve q önermeleri için p ¡ q önermesinin doğruluk tablosu aşağıdaki gibidir.
4. Bileşik Önermelerin Değili
(De Morgan Kuralı)
p ile q iki basit önerme olmak üzere bu iki önerme arasında
•
(p Ÿ q)ı ∫ pı ∨ qı
•
(p ∨ q)ı ∫ pı Ÿ qı
denklikleri vardır. Bu denkliklere
De Morgan kuralları denir. Şimdi
p
q
p¡q
1
1
1
1
0
0
0
1
1
0
0
1
bu denkliklerin doğruluğunu gösterelim.
Ünlü Fransız matematikçi Augustus De Morgan (1806-1871) man-
Augustus De Morgan
tık, analiz ve olasılık teorileri ile ilgili çalışmalar yapmış54
7
[(1 ¡ 1) ¡ 0] Ÿ [(0 ¡ 0) ¡ 0] bileşik önermesinin
doğruluk değerini bulunuz.
9. SINIF MATEMATİK / 1
www.sinav.com.tr
Mantık
9
[(1 ¡ 1) ¡ 0] Ÿ [(0 ¡ 0) ¡ 0] ∫ (1 ¡ 0) Ÿ (1 ¡ 0)
∫ 0 Ÿ 0 ∫ 0 bulunur.
(p ¡ q) ∨ qı önermesinin en sade biçimini bulunuz.
Çözümü Siz Yapınız
A. GEREKTİRME
p ¡ q koşullu önermesinin doğruluk değeri “1” ise bu
önermeye gerektirme denir.
p ¡ q ∫ 1 denkliği p gerektirir q diye okunur.
Özellikler
①p¡p∫1
②p¡1∫1
④1¡p∫p
⑤0¡p∫1
③ p ¡ 0 ∫ pı
10
Bu özelliklerin doğruluğu tablo çizilerek kolayca görülebilir.
p p pı 1
0
1 1 0
1
0
0 0 1
1
0
p¡p
1
p¡1
1
p¡0
0
1¡p
0¡p
1
1
5. Kat
4. Kat
1
1
1
0
1
p¡p∫1 p¡1∫1 p¡0∫pı 1¡p∫p 0¡p∫1
3. Kat
2. Kat
⑥ p ¡ q ∫ pı ∨ q
1. Kat
Birçok soruda koşullu önermenin dengi olan pı ∨ q bileşik önermesi kullanılır. Şimdi bunu ispatlayalım.
p
q
pı
1
1
0
1
1
1
0
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
1
p¡q
pı Ğ q
p ¡ q ∫ pı Ğ q
8
5 katlı bir apartmanın farklı dairelerinde oturan Asil, Ali
ve Kerem’in oturduğu katlarla ilgili aşağıdaki önermeler
veriliyor.
p : Asil, Ali’nin 2 kat üstünde oturmaktadır.
q : Ali ve Kerem ardışık katlarda oturmaktadır.
r : Kerem tek numaralı katta oturmaktadır.
(p Ÿ qı) ¡ r ∫ 0
olduğuna göre, Asil, Ali ve Kerem’in oturduğu katlar
sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?
A) 3, 1, 4
B) 2, 5, 4
D) 5, 2, 4
p ¡ q önermesinin değilini bulunuz.
C) 1, 3, 4
E) 3, 5, 2
Çözümü Siz Yapınız
(p ¡ q)ı ∫ (pı ∨ q)ı
∫ (pı)ıŸ qı
∫ p Ÿ qı
www.sinav.com.tr
9. SINIF MATEMATİK / 1
55
Mantık
B. BİR KOŞULLU ÖNERMENİN
KARŞITI, TERSİ VE KARŞIT TERSİ
12
“Yağmur yağıyorsa hava soğuktur.” önermesinin tersini yazınız.
Bilgi Notu
p ¡ q koşullu önermesinde p ile q önermelerinin yer
değişmesiyle elde edilen q ¡ p önermesine karşıt denir.
•
•
p
q
p¡q
q¡p
1
1
1
1
1
0
0
1
0
1
1
0
0
0
1
1
“Yağmur yağıyorsa hava soğuktur.”
p
¡
q
p ¡ q koşullu önermesinin doğruluk değeri 1 iken
bunun karşıtı q ¡ p koşullu önermesinin doğruluk
değeri 1 veya 0 olabiliyor.
p ¡ q ∫ 0 iken q ¡ p ∫ 1 olduğu unutulmamalıdır.
p ¡ q nun tersi pı ¡ qı idi. Bu durumda verilen önermenin tersi “Yağmur yağmıyorsa hava soğuk değildir.”
13
11
“Kar yağıyorsa hava soğuktur.” önermesinin karşıtını
yazınız.
pı ¡ qı ∫ q ¡ p olduğunu gösteriniz.
İspat:
pı ¡ qı ∫ (pı)ı ∨ qı
“Kar yağıyorsa hava soğuktur.”
p
¡
q
(p ¡ q ∫ pı ∨ q)
∫ p ∨ qı
((pı)ı ∫ p)
∫ qı ∨ p
(p ∨ q ∫ q ∨ p)
∫q¡p
(p ¡ q ∫ pı ∨ q) bulunur.
p ¡ q önermesinin karşıtı q ¡ p olduğundan
“Hava soğuksa kar yağıyordur.” önermesidir.
Bilgi Notu
p ¡ q koşullu önermesinin karşıt tersi qı ¡ pı koşullu
önermesidir.
p ¡ q koşullu önermesinde p ile q önermelerinin
değilleri alınarak oluşturulan p' ¡ q' koşullu önermesine p ¡ q’nun tersi denir.
p
q
p'
q'
p¡q
p' ¡ q'
1
1
0
0
1
1
1
0
0
1
0
1
0
1
1
0
1
0
0
0
1
1
1
1
56
pı
qı
p ¡ q qı ¡ pı
p
q
1
1
0
0
1
1
1
0
0
1
0
0
0
1
1
0
1
1
0
0
1
1
1
1
p ¡ q ∫ qı ¡ pı
Tablodan da anlaşılacağı üzere her koşullu önerme
karşıt tersine denktir. Bu özellik birçok önemli teoremin
ispatında kullanılacağından bu özelliğin iyi bilinmesi gerekmektedir.
9. SINIF MATEMATİK / 1
www.sinav.com.tr
Mantık
Dağılma Özellikleri
14
“Kar yağıyorsa hava soğuktur.” önermesinin karşıt tersini yazınız.
p, q ve r herhangi üç önerme olmak üzere,
a) p ¡ (q Ÿ r) ∫ (p ¡ q) Ÿ (p ¡ r)
b) p ¡ (q ∨ r) ∫ (p ¡ q) ∨ (p ¡ r)
Çözümü Siz Yapınız
15
p ¡ (q ∨ r) ∫ 0 ise (q ∨ r) Ÿ
değerini bulunuz.
pı
p
q
r
q Ÿ r p ¡ q p ¡ r p ¡ (q Ÿ r) (p ¡ q) Ÿ (p ¡ r)
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
1
0
0
0
1
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
0
1
0
0
1
1
1
1
0
0
1
0
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
önermesinin doğruluk
p ¡ (q Ÿ r) ∫ [(p ¡ q) Ÿ (p ¡ r)]
III. İKI YÖNLÜ KOŞULLU ÖNERME
◆◆ p ¡ q bileşik önermesinin karşıtı olan q ¡ p bileşik önermesinin “Ÿ” bağlacı ile ‘‘(p ¡ q) Ÿ (q ¡ p)”
biçiminde bağlanmasıyla elde edilen yeni önermeye iki yönlü koşullu önerme denir ve p ğ q biçiminde gösterilir.
(p ¡ (q Ğ r) ∫ 0) ¡ p ∫ 1 ve q Ğ r = 0
1
0
q∫0
r ∫ 0 olur.
(q ∨ r) Ÿ pı ∫ (0 ∨ 0) Ÿ 1ı ∫ 0 Ÿ 0 ∫ 0 bulunur.
p ğ q iki yönlü koşullu önermesinde her iki önerme de
aynı ise bileşik önerme doğru, öteki durumlarda yanlıştır.
16
(p ¡ qı) Ÿ (p ¡ q) önermesini en sade biçiminde yazınız.
Çözümü Siz Yapınız
p
q
pğq
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
1ğ1∫1
1ğ0∫0
0ğ1∫0
0 ğ 0 ∫ 1 olur.
18
p: ABC üçgeni eşkenar üçgendir.
q: ABC üçgeninin iç açıları eşittir.
p ¡ q: ABC üçgeni eşkenar üçgen ise ABC üçgeninin
17
iç açıları eşittir.
[(p ¡ q) Ÿ (q ¡ p)] ¡ (p Ÿ q) önermesinin en sade
biçimini bulunuz.
q ¡ p: ABC üçgeninin iç açıları eşit ise ABC üçgeni eş-
Çözümü Siz Yapınız
(p & q) / (q & p): ABC üçgeni eşkenar üçgen ise ABC
1 4444 2 4444 3
kenar üçgendir.
p+q
üçgeninin iç açıları eşittir ve ABC üçgeninin iç açıları
eşit ise ABC üçgeni eşkenar üçgendir.
p ğ q: ABC üçgeni eşkenar üçgendir ancak ve ancak
ABC üçgeninin iç açıları eşittir.
www.sinav.com.tr
9. SINIF MATEMATİK / 1
57
Mantık
1. Özellikler
19
p ğ (p ∨ q) bileşik önermesinin en sade şeklini bulunuz.
p herhangi bir önerme olsun.
pğp∫1
pğ1∫p
p ğ 0 ∫ pı
p ğ pı ∫ 0
Bu özelliklerin tablo yardımıyla doğru oldukları kolayca görülür.
p ğ (p ∨ q) ∫ [p ¡ (p ∨ q)] Ÿ [(p ∨ q) ¡ p]
∫ [pı ∨ (p ∨ q)] Ÿ [(p ∨ q)ı ∨ p]
∫ [(pı ∨ p) ∨ q] Ÿ [(pı Ÿ qı) ∨ p]
∫ (1 ∨ q) Ÿ [(pı ∨ p) Ÿ (qı ∨ p)]
p
p'
1
0
pğp
p ğ p'
pğ0
pğ1
1
0
1
0
1
0
0
1
0
1
1
0
1
0
1
0
∫ 1 Ÿ [1 Ÿ (qı ∨ p)]
∫
qı
22
∨p
(x = 0) ğ (x2 = 0) önermesi çift gerektirme midir?
∫ q ¡ p bulunur.
20
(x = 0) ğ (x2 = 0) ∫ [(x = 0) ¡ (x2 = 0)] Ÿ [(x2 = 0) ¡ (x = 0)]
∫ (1 ¡ 1) Ÿ (1 ¡ 1)
∫1Ÿ1
∫ 1 olduğu görülür.
p ğ q’nun değilini bulunuz.
Çözümü Siz Yapınız
23
“Hava çok soğuk olursa okullar tatil olur veya kar yağarsa okullar tatil olur.” bileşik önermesini sembolik mantık dilinde ifade ediniz.
Çözümü Siz Yapınız
21
p ğ q ∫ q ğ p olduğunu gösteriniz.
24
p ğ q ∫ (p ¡ q) Ÿ (q ¡ p)
(Ÿ’nin değişme özelliği)
∫ (q ¡ p) Ÿ (p ¡ q)
∫ ( q ğ p) dir.
“İlkokula başlamak için gerek ve yeter şart, çocuğun 72
aylık olmasıdır.” bileşik önermesini sembolik mantık
dilinde ifade ediniz.
Çözümü Siz Yapınız
ÇİFT GEREKTİRME
◆◆ p ğ q iki yönlü şartlı önermesinin doğruluk değeri
“1” ise bu bileşik önermeye bir çift gerektirme denir.
p ğ q ∫ 1 denkliği “p çift gerektirir q” diye okunur.
1 + 1/ 1
TÖDEV fasikülünde bulunan Matematik testlerini çözmeyi unutmayınız.
4 çift gerektirmedir.
0 + 0 /1
58
9. SINIF MATEMATİK / 1
www.sinav.com.tr
MANTIK
MATEMATİK
BÖLÜM 3
I. AÇIK ÖNERMELER
“Sürücü belgesi olan herkes iyi araba kullanır.” cümlesini ele alalım. Buradan hareketle “Uğur’un sürücü belgesi varsa Uğur iyi araba kullanır.” önermesini elde edebiliriz. Bu son ifadede Uğur yerine Elif, Kağan, Ekrem gibi
adların da konulabileceği aşikârdır. Daha genel anlamda “Bir kimsenin ehliyeti varsa o kimse iyi araba kullanır.” diyebiliriz. Burada “bir kimse” belli bir kişi olmadığı
için biz onun yerine “x” simgesini kullanalım.
A = {0, 1, 2, 3, 4}
x = 0 için p(0): “–2 < 0” doğru
x = 1 için p(1): “–1 < 0” doğru
x = 2 için p(2): “0 < 0” yanlış
x = 3 için p(3): “1 < 0” yanlış
x = 4 için p(4): “2 < 0” yanlış
Bu durumda p(x) in doğruluk kümesi Dp = {0, 1} dir.
2
“x’in sürücü belgesi varsa x iyi araba kullanır.” biçiminde
bir cümle elde ederiz. Bu son yazılan aslında bir önerme olmaz. Çünkü x’in kim olduğunu bilmediğimiz süre içinde bu cümle için bir doğruluk değerinden bahse-
Z+ = {1, 2, 3, ...} kümesi üzerinde tanımlı
p(x): “x(x –1)(x – 2)(x + 1)(x + 2) = 0” açık önermesi tanımlanıyor.
Bu önermenin doğruluk kümesini bulunuz.
dilemez.
Öyle ki x yerine Elif, Ömer, Burak ... gibi belli bir ad konulduğunda bu cümle bir önerme olur.
Çözümü Siz Yapınız
İşte burada belirtilen cümlede olduğu gibi içinde bir bilinmeyen bulunan ve bu bilinmeyenin bazı değerleri için
doğru veya yanlış olan ifadelere “açık önerme” denir.
Böyle bir cümleyi p(x) biçiminde göstereceğiz.
•
p(x): “x’in sürücü belgesi varsa x iyi araba kullanır.”
•
q(x): “x bir asal sayıdır.”
II. NİCELEYİCİLER
•
r(x): “x bir insan, x ölümlüdür.”
“Bütün insanlar ölümlüdür.”
Bir açık önermeyi doğru yapan kümeye açık önermenin
doğruluk kümesi denir. “Dp” ile gösterilir.
“Sıfırdan büyük en az bir tam sayı vardır.”
“Bazı kanatlı hayvanlar uçamaz.”
Bu önermelerin ortak yanı her cümlede bir “nicelik” belirten kelimenin olmasıdır. “Bütün”, “en az”, “bazı” nicelik belirleyen kelimelerdir. Matematikte kullandığımız iki
1
tane niceleyicimiz vardır. Bunlar “her” ve “bazı, en az”
anlamında kullanılır. Sembolik olarak,
A = {0, 1, 2, 3, 4} kümesi üzerinde tanımlı
p(x): “x – 2 < 0” açık önermesinin doğruluk kümesini bulunuz.
www.sinav.com.tr
her = "
bazı = $ biçimindedir.
9. SINIF MATEMATİK / 1
59
Mantık
Örneğin “Bütün x’ler için p(x) doğrudur.” cümlesi sem-
“Her tam sayının karesi pozitif değildir.” biçimindedir.
bolik olarak " x, [p(x)] biçimindedir.
Bu durumda,
“En az bir x için p(x) doğrudur.” cümlesi de sembolik
["x [p(x)]]ı ∫ $x [pı(x)]
olarak $ x, [p(x)] biçiminde yazılır.
[$x [p(x)]]ı ∫ "x [pı(x)] olur.
Bilgi Notu
" niceleyicisine evrensel niceleyici
$ niceleyicisine de varlıksal niceleyici denir.
5
p(x): “$x Œ N [x2 < 1]” önermesinin değilini bulunuz
ve doğruluk değerini belirleyiniz.
3
p: “En az bir tam sayının karesi pozitiftir.” önermesini niceleyiciler kullanarak yazınız ve bu önermenin
doğruluk kümesini bulunuz.
p(x): “$x Œ N [x2 < 1]” doğruluk değeri p ∫ 1’dir.
pı(x): "x Œ N [x2 ≥ 1]” olur.
pı ∫ 0’dır. Gerçekten de x = 0 için 0 ≥ 1 ifadesi yanlıştır.
p(x): “$ x Œ Z, x2 > 0”
6
DP = Z – {0}
($x Œ R, x2 = 1) Ÿ ("x, |x + 1| > 0) önermesinin değilini bulunuz.
4
p(x): “" x Œ R, §x Œ R” önermesinin doğruluk değe-
Çözümü Siz Yapınız
rini bulunuz.
Çözümü Siz Yapınız
7
[("x, x – 1 = x2) ¡ ($x, |x| = 2)] önermesinin değilini bulunuz.
NİCELEYİCİLERİN DEĞİLLERİ
“Her gerçek sayının mutlak değeri pozitiftir.” önerme-
Çözümü Siz Yapınız
sinin değili “Bazı gerçek sayıların mutlak değeri pozitif değildir.” biçiminde ele alınır. Benzer biçimde “En az
bir tam sayının karesi pozitiftir.” önermesinin değili ise
60
9. SINIF MATEMATİK / 1
www.sinav.com.tr
Mantık
III. TANIM, AKSİYOM, TEOREM VE
İSPAT KAVRAMA
Çözümü Siz Yapınız
Bir kavram veya terimin tüm özelliklerinin açık, net, kısa ve anlaşılır biçimde açıklanmasına o kavramın veya
terimin tanımı denir. Örneğin, “1 ve kendisi dışında pozitif böleni olmayan tam sayılara asal sayı denir.” ifadesi asal sayının tanımıdır.
9
Doğruluğu apaçık olan önermelere aksiyom denir. Örneğin, “Her bütün parçasından büyüktür.” önermesi bir
aksiyomdur.
Doğruluğu ispatlanabilen önermelere teorem denir. Ör-
AYT / 2019
Bir masada; biri kırmızı, biri mavi ve biri sarı renkli olmak üzere toplam üç bilye bulunmaktadır. Bu bilyeler A,
B ve C torbalarına her bir torbada bir bilye olacak şekilde konuluyor ve
p: “A torbasında kırmızı bilye yoktur.”
neğin, “Bir üçgenin iç açılarının ölçüleri toplamı 180°
q: “B torbasında mavi bilye vardır.”
dir.” bir teoremdir.
r: “C torbasında sarı bilye yoktur.”
Bir teoremin doğruluğunun gösterilmesine o teoremin
önermeleri veriliyor.
ispatı denir. Bir teorem ispatlanırken,
p Ÿ (q ∨ r)ı
• Tanımlar
• Aksiyomlar
önermesi doğru olduğuna göre; A, B ve C torbalarında bulunan bilyelerin renkleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?
• Önceki teoremler
A) Kırmızı – Mavi – Sarı
belli bir mantıksal kurgu ile kullanılarak ispatlanır.
B) Mavi – Kırmızı – Sarı
p ¡ q bileşik önermesinde, p önermesine hipotez, q
önermesine hüküm denir. Burada p hipotezi doğru olan
p ¡ q gerektirmesine teorem adı verilir. Bir teoremi is-
C) Mavi – Sarı – Kırmızı
D) Sarı – Kırmızı – Mavi
E) Sarı – Mavi – Kırmızı
patlamak demek p hipotezinden hareket ederek tanımlar, aksiyomlar ve önceki teoremler kullanılıp çeşitli akıl
yürütmelerle q önermesinin de doğru olduğunu göstermek demektir.
Önceki bölümde p ¡ q önermesinin karşıtını, tersini ve
karşıt tersini görmüştük. Benzer bir düşünce ile p ¡ q
teoreminin karşıtı q ¡ p olur. Ancak bir teoremin karşı-
p Ÿ (q ∨ r)ı ≡ 1
1
1
(q ∨ r)ı ≡ 1 ise q ∨ r ≡ 0
tı her zaman doğru olmayabilir.
0 0
p ≡ 1, q ≡ 0, r ≡ 0
r, yanlış ise C torbasında sarı bilye vardır.
q, yanlış ise B torbasında kırmızı bilye vardır.
8
Bir tam sayının karesi çift ise bu tam sayı çifttir.” teoreminin karşıt tersini yazınız.
www.sinav.com.tr
p, doğru ise A torbasında mavi bilye vardır.
9. SINIF MATEMATİK / 1
Doğru Seçenek B
61
MATEMATİK
BÖLÜM 4
KÜMELER
KÜMELER
◆◆ Burada a harfi A kümesinin bir elemanıdır. a Œ A biçiminde gösterilir. e harfi ise A kümesinin elemanı
A. KÜME KAVRAMI
değildir. e œ A biçiminde gösterilir.
◆◆ Bir bilim dalı içinde özel anlamları bulunan sözcükBilgi Notu
lere terim denir.
◆◆ Bir terim veya kavramın anlamını belirleme işine ta-
Bir A kümesinin eleman sayısı s(A) ile gösterilir.
nım diyoruz. Herhangi bir terim, bu terimden önce
tanımlanmış terim veya kavramlardan yararlanılarak tanımlanır. Çoğu kez, bunların en başta olanları tanımlanamaz. Anlamları sezgiye bırakılır. Küme
de bunlardan biridir. Küme denilince birtakım nesne, birey veya sembollerden oluşan elemanlar top-
1
K = {¢, a, V, {a}, {¢, a}}
kümesinin eleman sayısını bulunuz.
luluğu düşünülür. Ancak bir kümeyi oluşturan elemanların neler olduğu iyi belirtilmiş olmalıdır.
K kümesinin eleman sayısı s(K) = 5’tir.
B. KÜMELERİN GÖSTERİLMESİ
Türk alfabesinin ilk 5 harfinden oluşan küme A olsun.
2
Bu küme;
1. Liste Yöntemi
A = {1, 2, 3, {1, 2, 3}, {1, 2, 3, 4}}
Kümeye ait olan tüm elemanların “{ }” şeklindeki
kümesinin eleman sayısını bulunuz.
parantezin içerisine aralarına virgül konularak ya-
Çözümü Siz Yapınız
zılması gösterimidir.
A = {a, b, c, ç, d}
2. Ortak Özellik Yöntemi
Kümenin tüm elemanlarının sahip olduğu ortak
özelliğin matematiksel veya sözel bir ifade ile gösterimidir.
C. BOŞ KÜME
A = { x: x Türk alfabesinin ilk 5 harfi}
Ele­ma­nı ol­ma­yan kü­me­ye boş kü­me de­nir. { } ve­ya ∆
3. Venn Şeması
sem­bol­le­rin­den biri i­le gös­te­ri­lir.
Kümenin elemanlarının kapalı bir eğri veya çokgen
içerisine önüne birer nokta konularak yazılmasıyla
yapılan gösterim şeklidir.
3
A = {x| x, iki basamaklı rakamlar}
A
•a
•ç
•b
•c
•d
biçimlerinden biri ile gösterilebilir.
62
kümesinin boş küme olduğunu gösteriniz.
İki basamaklı rakam olmadığından A kümesi boş kümedir.
9. SINIF MATEMATİK / 1
www.sinav.com.tr
Kümeler
4
I.
A = {x | x, J harfi ile başlayan ilimiz)
II. B = {x |
x2
A = {3, 6, 9, 12, ..., 99}
= 3, x ∈ Z}
B = {6, 12, 18, ..., 96}
III. C = {x | x, haftanın on harfli günü}
B kümesinin her elemanı, A kümesinin de elemanı oldu-
kümelerinin boş küme olup olmadığını gösteriniz.
ğundan B ⊆ A’dır.
Çözümü Siz Yapınız
6
A = {1, 2, 3}
B = {1, 2, 3, 4}
C = {1, 2, 3, 4, 5}
kümeleri veriliyor.
Bilgi Notu
A = {Ø} kümesi boş küme değildir. Kümenin elemanı Ø olup s(A) = 1’dir.
I.
A⊆B
II.
B⊆A
III. B ⊆ C
IV. A ⊆ B ⊆ C
ifadelerinden hangilerinin doğru olduğunu bulunuz.
D. ALT KÜ­ME (KÜ­ME PAR­ÇA­SI)
◆◆ A kü­me­si­nin her ele­ma­nı, B kü­me­si­nin de ele­ma­
nı ise A kü­me­si, B kü­me­si­nin alt kü­me­si­dir ya da B,
Çözümü Siz Yapınız
A’ yı kap­sar de­nir.
◆◆ Bu du­rum A ⊆ B ve­ya B ⊇ A şek­lin­de gös­te­ri­lir.
◆◆ A, B’nin alt kü­me­si de­ğil­se A À B şeklinde gösterilir.
◆◆ Bir kümenin kendisi dışındaki tüm alt kümeleri öz
alt küme olarak adlandırılır.
Özel­lik­ler:
1.
∆⊆A
2.
A⊆A
3.
A ⊆ B ve B ⊆ C ¡ A ⊆ C
4.
A ⊆ B ve B ⊆ A ¡ A = B’dir.
kümeleri veriliyor.
5.
n ele­man­lı bir kü­me­nin alt kü­me sa­yı­sı, 2n dir.
B ⊆ A olduğunu gösteriniz.
6.
n elemanlı bir kümenin öz alt küme sayısı 2n – 1’dir.
5
A = {x: 0 < x < 100, x = 3k ve k ΠZ}
B = {x: x < 100, x = 6k ve k ΠZ+}
www.sinav.com.tr
9. SINIF MATEMATİK / 1
63
Kümeler
7
A = {1, 2, 3} kümesinin tüm alt kümelerini yazınız.
Çözümü Siz Yapınız
∆, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3} tür.
11
8
A = {a, b, c, d, e, f, g} kümesi veriliyor.
{a} ⊆ A ⊆ {a, b, c}
Buna göre,
koşulunu sağlayan kaç tane A kümesi vardır?
a)
A kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde a bulunur?
b) A kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde b bulunmaz?
c)
A1 = {a} , A2 = {a, b} , A3 = {a, c} , A4 = {a, b, c} olmak
üzere 4 tane A kümesi vardır.
A kümelerinin sayısı
23 – 1
=
22
A kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde c bulunur, d bulunmaz?
d) A kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde e ve
f birlikte bulunur, g bulunmaz?
= 4’tür.
9
A = {p, q, r, s, t, u}
a) a elemanını ayırıp kalan elemanlardan elde ettiğimiz alt kümelerin hepsine tekrar a’yı ilave ettiğimiz-
kümesinin alt küme ve öz alt küme sayısı kaçtır?
de a’nın bulunduğu alt kümeler elde edilir.
{b, c, d, e, f, g} Alt kümelerinin 64 tanesinde a bulu1444624443
Çözümü Siz Yapınız
nur.
b)
2 = 64
b elemanını atıp kalan elemanlardan elde ettiğimiz
alt kümeler, b’nin bulunmadığı alt kümelerdir.
{a, c, d, e, f, g}
1 44
462 44
43
2 = 64
Alt kümelerin 64 tanesinde b bulunmaz.
10
A kümesinin eleman sayısı, B kümesinin eleman sayısından 3 fazladır.
İki kümenin alt küme sayılarının toplamı 72 olduğuna göre, s(A) + s(B) toplamı kaçtır?
64
c)
c’yi ayırıp d’yi attığımızda istenen alt kümeler elde
edilir.
{a, b, e, f, g}
1 4452 44 3
2 = 32
Alt kümelerin 32 tanesinde c bulunur, d bulunmaz.
9. SINIF MATEMATİK / 1
www.sinav.com.tr
Kümeler
d) e ve f’yi ayırıp g’yi attığımızda istenen alt kümeler
14
elde edilir.
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
{a, b, c, d}
\
4
kümesi veriliyor.
2 = 16
Alt kümelerin 16 tanesinde e ve f bulunur, g bulunmaz.
Buna göre,
a)
A kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde 1 bulunur?
b) A kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde 2 bulunmaz?
c)
12
A kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde 1 bulunur, 2 bulunmaz?
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
A kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde en az bir
tek sayı bulunur?
Çözümü Siz Yapınız
Çözümü Siz Yapınız
15
Bir kümenin eleman sayısı 2 artırıldığında alt küme sayısı 48 artıyor.
13
Buna göre, bu kümenin eleman sayısı kaçtır?
A = {–4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4}
kümesinin iki elemanlı tüm alt kümelerinin, her birinin elemanları çarpımı en az ve en çok kaç olur?
Çözümü Siz Yapınız
A kümesinin iki elemanlı alt kümelerinden, elemanları
çarpımı en az {–4, 4}, en çok {–4, –3} veya {3, 4} kümeleri için elde edilir.
Buna göre, –4.4 = –16 en az
–4.(–3) = 12 en çok olur.
www.sinav.com.tr
16
Alt küme sayısı 1024 olan bir kümenin eleman sayısını bulunuz.
9. SINIF MATEMATİK / 1
65
Kümeler
18
Çözümü Siz Yapınız
I.
A = {x| x tam sayı}
II.
B = {x| x, iki basamaklı tek sayı}
kümelerinin sonlu ya da sonsuz küme olduğunu
gösteriniz.
E. EV­REN­SEL KÜ­ME
◆◆ Kü­me­ler­le ilgili bir prob­lem­de bah­si ge­çen tüm kü­
me­le­ri, alt kü­me ka­bul eden kü­me­ye evrensel küme denir.
I.
A kümesinin elemanları sayılamayacak çoklukta olduğundan sonsuz kümedir.
◆◆ Bir sınıftaki voleybol oynayan öğrencilerin kümesinden söz ederken bu sınıftaki tüm öğrencilerin kü-
II.
İki basamaklı tek sayılar sayılabilecek çoklukta olduğundan B kümesi sonlu kümedir.
mesi evrensel küme olarak seçilebildiği gibi, bu sınıfın bulunduğu okuldaki tüm öğrencilerin kümesi
de evrensel kü­me se­çi­le­bi­lir. An­cak prob­le­min çö­
19
zü­mün­de ih­ti­ya­cı­mı­za ce­vap ve­ren en dar kü­me­yi
ev­ren­sel kü­me seç­memiz işlemlerimizi kolaylaştırır.
I.
A: {x | ≥ 5, x ∈ N}
II.
B: {x | x, üç basamaklı doğal sayı}
III. C: {x | x, 1000 den küçük asal sayı}
IV. D: {x | –2 < x < –1, x ∈ R}
F. SONLU VE SONSUZ KÜ­MELER
1. Sonlu Küme: Elemanları sayılarak belirtilebilen
kümelerinin sonlu ya da sonsuz küme olduğunu
gösteriniz.
kümelere sonlu küme denir. Bir başka deyişle eleman
sayısı bir doğal sayı ile belirtilebilen kümeye sonlu küme denir.
Çözümü Siz Yapınız
17
A = {x: 2 < x ≤ 5 ve x doğal sayıdır.} kümesinin elemanları sayıldığında üç elemanlı bir küme olduğundan sonlu kümedir.
G. KÜMELERLE IŞLEMLER
2. Sonsuz Küme: Elemanları sayılarak belirtileme-
1. Eşit Kümeler
yen, yani eleman sayısı bir doğal sayı ile ifade edileme-
Ele­man­la­rı ay­nı olan kü­me­le­re eşit kü­me­ler de­nir.
yen kümelere sonsuz küme denir.
A ile B kü­me­le­ri eşit ise A = B şek­lin­de gös­te­ri­lir.
66
9. SINIF MATEMATİK / 1
www.sinav.com.tr
Kümeler
2. Kümelerde İşlemler
20
a) Birleşim
A = {x: x3 Р3x2 + 2x = 0, x ΠZ}
A ile B kü­me­le­ri­nin bir­le­şi­mi A » B bi­çi­min­de gös­te­ri­lir
1 x
B = {x: Р< <1, x ΠZ}
3 3
ve bu kü­me;
kümelerini liste yöntemi ile yazarak eşit kümeler olduğunu gösteriniz.
A » B = {x: x Œ A v x Œ B} dir.
A » B kü­me­si; A ile B kü­me­si­nin ele­man­la­rın­dan oluş­
mak­ta­dır.
A
B
A»B
A kümesi için;
x3 – 3x2 + 2x = 0
b) Kesişim
¡ x(x2 – 3x + 2) = 0
A ile B kü­me­le­ri­nin ke­si­şi­mi A « B bi­çi­min­de gös­te­ri­lir ve
bu kü­me A « B = {x: x Œ A ∧ x Œ B} dir.
¡ x . (x – 2) . (x – 1) = 0
A
¡ x = 0 v x = 2 v x = 1 ¡ A = {0, 1, 2}
B
B kümesi için,
–
A « B kü­me­si; A ile B’nin ortak
1 x
< <1 ¡ –1 < x <3 ¡ x = 0, 1, 2 olur.
3 3
A«B
ele­man­la­rın­dan oluş­mak­ta­dır.
B = {0, 1, 2} olduğundan A = B dir.
22
A = {2, 4, 6, 8, 9} ve B = {1, 3, 5, 6, 8} olduğuna göre,
A » B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9} olur.
21
A = {x: x3 Р4x = 0 , x ΠZ}
23
B = {x | x çift tam sayı, –3 < x < 3}
kümelerini liste yöntemi ile yazarak eşit kümeler olduğunu gösteriniz.
Çözümü Siz Yapınız
www.sinav.com.tr
A = {a, b, c, d, e} , B = {a, c, k, l, m}
olduğuna göre, A » B kümesini Venn şeması ile
gösteriniz.
Çözümü Siz Yapınız
9. SINIF MATEMATİK / 1
67
Kümeler
24
Bilgi Notu
A « B = Ø ise, A ile B ayrık kümeler olup
A = {x: –4 ≤ x ≤ 4, x Œ Z}
s(A » B) = s(A) + s(B) dir.
B = {x: x < 6, x ΠN}
olduğuna göre, A « B kümesinin eleman sayısı-
i)
nı bulunuz.
s(A » B » C) = s(A) + s(B) + s(C) – s(A « B) –
s(A « C) – s(B « C) + s(A « B « C)
j)
A ⊆ B ise A » B = B, A « B = A’dır.
A = {– 4, – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, 4}
25 YGS / 2010
B = {0, 1, 2, 3, 4, 5}
A = {a, b, e}
A « B = {0, 1, 2, 3, 4}
B = {a, b, c, d}
s(A « B) = 5 bulunur.
ol­du­ğu­na gö­re, (A « B) Õ K Õ (A » B) ko­şu­lu­nu sağ­
la­yan kaç ta­ne K kü­me­si var­dır?
Birleşim ile Kesişimin Özellikleri
a)
A) 3
B) 4
C) 5
D) 8
E) 9
A » A = A, A « A = A
(Tek kuv­vet öze­lli­ği)
b) A » B = B » A, A « B = B « A
c)
(De­ğiş­me öze­lli­ği)
A « B = {a, b}
A » (B » C) = (A » B) » C
A » B = {a, b, c, d, e} dir.
A « (B « C) = (A « B) « C
{a, b} Õ K Õ {a, b, c, d, e}
(Birleşme özelliği)
(A « B) Õ K ol­du­ğun­dan K kü­me­si­nin ele­man­la­rı ara­sın­
d) A » E = E, A « E = A
e)
A » (B « C) = (A » B) « (A » C)
A « (B » C) = (A « B) » (A « C)
(Da­ğıl­ma özel­li­ği)
f)
A»
Aı
= E, A «
Aı
da a ve b mut­la­ka bu­lun­ma­lı­dır.
A » B kü­me­si­nin a ve b dı­şın­da ka­lan di­ğer ele­man­la­
rının oluş­tur­du­ğu {c, d, e} kü­me­si­nin 23 = 8 ta­ne alt kü­
me­si var­dır. Bu alt kü­me­le­rin her bi­ri­ne {a, b} kü­me­si­nin
iki ele­ma­nı da ka­tı­lır­sa K kü­me­si el­de edi­lir. Ya­ni 8 ta­
=∆
ne K kümesi vardır.
Doğru Seçenek D
g) (A » B)ı = Aı « Bı
(A « B)ı = Aı » Bı
TÖDEV fasikülünde bulunan Matematik testlerini çözmeyi unutmayınız.
(De Mor­gan ku­ral­la­rı)
h) s(A » B) = s(A) + s(B) – s(A « B)
“Bu modülde yer alan Matematik dersine ait konu/sorular hakkında görüş ve önerilerinizi [email protected] adresine
mail atabilirsiniz. Teşekkür ederiz.”
68
9. SINIF MATEMATİK / 1
www.sinav.com.tr
BÖLÜM 1
Mantık
1 Çözüm
A, B, C ve E seçeneklerinde verilen bilgiler doğrudur.
Ancak D seçeneğindeki bilgi yanlıştır. Çünkü gözlemci bakış açısı sadece görüleni anlatır, kişilerin ruhsal çözümlemelerini yapmaz.
Doğru Seçenek D
5 Çözüm
A) Soru cümlesi olup önerme değildir.
B) İstek cümlesi olup önerme değildir.
C) Emir cümlesi olup önerme değildir.
D) Bir hüküm var. 2’nin asal olduğu gerçeğiyle çelişen
bir hüküm. O hâlde önermedir, ama yanlış önerme-
2 Çözüm
dir.
I. cümledeki ifade doğru, II. cümledeki ifade yanlış çünkü tarih içinde dönemsel olarak çatışma konuları daima
değişmiş, sabit kalmamıştır. III. cümledeki yargı da doğru, IV. cümledeki ifade yanlıştır. Konu temaya göre daha dar ve somuttur. Bu nedenle cevap E seçeneğidir.
Doğru Seçenek E
E) Dilek cümlesi olup önerme değildir.
Doğru Seçenek D
6 Çözüm
D, Y, Y, D
8 Çözüm
Uygulama Soruları
A. Öğrenci tarafından cevaplandırılacaktır.
B. Öğrenci tarafından cevaplandırılacaktır.
C. Öğrenci tarafından cevaplandırılacaktır.
I.
K
43 K
2. Raf
B
42 O
1. Raf
O
41 B
III. önerme yanlıştır.
IV. önerme yanlıştır.
10 Çözüm
a) 27 = 128
b) 8
11 Çözüm
1. Öyküleyici anlatım
3. Diyalog tekniği
3. Raf
II. önerme doğrudur.
F.
2. Kahraman bakış açısı
Son Durum
önerme doğrudur.
D. Öğrenci tarafından cevaplandırılacaktır.
E. Öğrenci tarafından cevaplandırılacaktır.
İlk Durum
Verilen önermelerin doğruluk değerleri şöyledir:
p∫0
q∫1
r∫0
s∫1
Bu durumda p ile r denk (p ∫ r) ve q ile s de denktir. (q ∫ s)
www.sinav.com.tr
9. SINIF MODÜL 1
225
ÇÖZÜMLER VE DOĞRU SEÇENEKLER
MATEMATİK
BÖLÜM 6
Hikâye
ÇÖZÜMLER VE DOĞRU SEÇENEKLER
12 Çözüm
Ahmet
Burak
60 dk
120 dk
4 Çözüm
Can
(1 ∨ 0ı) ∨ (1ı ∨ 1) ∫ (1 ∨ 1) ∨ (0 ∨ 1)
30 dk
∫1∨1
Deniz ve Eren’in telefonları ise 120 . 2 = 240 dk’da şarj
olur.
∫ 1 bulunur.
Bu durumda bu 6 arkadaş
1. priz
2. priz
Ahmet
Eren
Burak
Fırat
3. priz
Can
Deniz
6 Çözüm
(1 ∨ 0ı)ı ∨ (1 ∨ 1) ∫ (1 ∨ 1)ı ∨ (1 ∨ 1)
prizlerde sarj etmişlerdir.
∫ (0)ı ∨ (0)
O hâlde p ∫ 1, q ∫ 0 ve r ∫ 1’dir.
∫1∨0
I. p ∫ r doğrudur.
∫ 1 bulunur.
II. p ∫ q yanlıştır.
9 Çözüm
III. q _ r doğrudur.
(p ¡ q) ∨ qı ∫ (pı ∨ q) ∨ qı
14 Çözüm
∫ pı ∨ (q ∨ qı)
Bir gün 24 saat değildir.
∫ pı ∨ 1
b)
Kuşlar 4 ayaklı değildir.
∫ 1 bulunur.
c)
Bütün kenarların uzunlukları birbirine eşit olan dikdört-
a)
10 Çözüm
gen kare değildir.
(p Ÿ qı) ¡ r ∫ 0 olduğundan p Ÿ qı ∫ 1 ve r ∫ 0’dır.
15 Çözüm
p Ÿ qı ∫ 1,
1
a)
Doğru
b)
Doğru
c)
Doğru
d)
Yanlış, “Ahmet uzun boyludur.” önermesinin değili
“Ahmet uzun boylu değildir.”
e)
p ∫ 1 ve q ∫ 0’dır.
1
5.
5.
Kerem
Ali buralara 4.
Asil
yazılamaz. 3.
4.
3.
2. Kerem
Doğru
İstenilen
1.
durumlar
2.
1. Ali
İstenilen
durum
sağlanır.
sağlanmaz.
BÖLÜM 2
Bu durumda Asil, Ali ve Kerem; 3, 1 ve 4. katlarda oturmaktadır.
Mantık
2 Çözüm
(p Ÿ qı) Ÿ r ∫ (1 Ÿ 0ı) Ÿ 1
∫ (1 Ÿ 1) Ÿ 1
∫1Ÿ1
14 Çözüm
“Kar yağarsa hava soğuktur.”
p
¡
q
p ¡ q ∫ qı ¡ pı olduğu için
“Hava soğuk değilse kar yağmaz.”
∫ 1 bulunur.
226
9. SINIF MODÜL 1
www.sinav.com.tr
ÇÖZÜMLER VE DOĞRU SEÇENEKLER
16 Çözüm
24 Çözüm
(p ¡ qı) Ÿ (p ¡ q) ∫ (pı ∨ qı) Ÿ (pv ∨ q)
i: “İlkokula başlamak”
∫ pı ∨ (qı Ÿ q)
a: “Çocuğun 72 aylık olması” biçiminde yazılırsa
123
0
i ğ a olur.
∫ pı ∨ 0
∫ pı bulunur.
BÖLÜM 3
Açık Önermeler
17 Çözüm
2 Çözüm
[(p ¡ q) Ÿ (q ¡ p)] ¡ (p Ÿ q)
∫ [(pı ∨ q) Ÿ (qı ∨ p)] ¡ (p Ÿ q)
p(x): “x(x – 1) (x – 2) (x + 1) (x + 2) = 0” olduğu için
∫ [(pı ∨ q) Ÿ (qı ∨ p)]ı ∨ (p Ÿ q)
x(x – 1) (x – 2) (x + 1) (x + 2) = 0 denkleminin çözüm
kümesi
∫ [(pı ∨ q)ı ∨ (qı ∨ p)ı] ∨ (p Ÿ q)
{0, 1, 2, –1, –2} dir. Ancak 0, –1, ve –2 pozitif doğal sayı
olmadığından önermenin doğruluk kümesi
∫ (p Ÿ qı) ∨ [(q Ÿ pı) ∨ (p Ÿ q)]
∫ (p Ÿ qı) ∨ [q Ÿ (pı ∨ p)]
123
Dp = {1, 2} dir.
1
∫ (p Ÿ qı) ∨ (q Ÿ 1)
∫ (p Ÿ qı) ∨ q
4 Çözüm
∫ (p ∨ q) Ÿ (qı ∨ q) ∫ p ∨ q bulunur.
123
1
p(x) önermesi her gerçek sayının karekökünün de bir
gerçek sayı olduğunu söylüyor. Bu yanlıştır. Örneğin
x = –1 alınırsa æ–1 œ R olur. Bu yüzden p(x) ∫ 0’dır.
20 Çözüm
(p ğ q)ı ∫ [(p ¡ q) Ÿ (q ¡ p)]ı
∫ (p ¡ q)ı ∨ (q ¡ p)ı
6 Çözüm
∫ (pı ∨ q)ı ∨ (qı ∨ p)ı
[($x Œ R, x2 = 1) Ÿ (∀x, |x + 1| > 0)]ı ∫
∫ (p Ÿ qı) ∨ (q Ÿ pı)
(∀x Œ R, x2 ≠ 1) v ($x, |x + 1| ≤ 0) dır.
∫ [(p Ÿ qı) ∨ q] Ÿ [(p Ÿ qı) ∨ pı]
∫ [(p ∨ q) Ÿ (qı ∨ q)] Ÿ [(p ∨ pı) Ÿ (qı ∨ pı)]
123 123
1
1
7 Çözüm
∫ (p ∨ q) Ÿ (pı ∨ qı) bulunur.
[(∀x, x – 1 = x2) ¡ ($x, |x| = 2)] ∫ p ¡ q olur.
14243 14243
p
q
p ¡ q ∫ pı v q olduğundan (p ¡ q)ı ∫ p Ÿ qı demektir.
23 Çözüm
Buna göre
Hava çok soğuk olursa okullar tatil olur veya kar yağarsa okullar tatil olur.
1444424443 142443 14243
s
o
k
` (s v k) & o biçiminde yazılabilir.
[(∀x, x – 1 = x2) ¡ ($x, |x| = 2)]ı
∫ [(∀x, x – 1 = x2) Ÿ (∀x, |x| ≠ 2)]
14243 14243
p
qı
olur.
www.sinav.com.tr
9. SINIF MODÜL 1
227
ÇÖZÜMLER VE DOĞRU SEÇENEKLER
8 Çözüm
10 Çözüm
Bu teoremin karşıt tersi
s(B) = n ise s(A) = n + 3 olur.
“Bir tam sayı çift değil ise bu tam sayının karesi de çift
değildir.”
2n + 2n+3 = 72
¡ 2n(1 + 23) = 72
¡ 2n.9 = 72
¡ 2n = 8 ve n = 3 bulunur.
Buradan s(B) = 3 ise
s(A) = 6 ve s(A) + s(B) = 9 olur.
BÖLÜM 4
Kümeler
12 Çözüm
2 Çözüm
A kümesinin elemanları 1, 2, 3, {1, 2, 3}, {1, 2, 3, 4} olduğundan s(A) = 5 bulunur.
Tüm alt kümelerden, hiç tek sayının bulunmadığı (hepsi çift sayı olan) alt kümeleri çıkarırsak istenen alt kümeler elde edilir.
s(A) = 7 ¡ A kümesinin alt küme sayısı 27 = 128 olur.
{2, 4, 6} ¡ 23 = 8 ¡ Alt kümelerin 8 tanesinde hiç tek
sayı bulunmaz.
4 Çözüm
I.
J harfi ile başlayan ilimiz olmadığından A kümesi
boş kümedir.
II.
Karesi 3’e eşit olan tam sayı olmadığından B kümesi boş kümedir.
III. Haftanın on harfli günü olmadığından C kümesi boş
kümedir.
27 – 23 = 128 – 8 = 120 ¡ Alt kümelerin 120 tanesinde
en az bir tek sayı bulunur.
14 Çözüm
a)
1 eleman ayrıldığında elde edilen alt kümelere 1 ilave edildiğinde 1’in bulunduğu alt kümeler bulunur.
Buna göre; 26 = 64’tür.
b)
6 Çözüm
I.
A kümesinin her elemanı B kümesinde de bir eleman olduğundan, A ⊆ B ifadesi doğrudur.
II.
4 ∈ B iken 4 ∉ A olduğundan B ⊆ A ifadesi yanlıştır.
III. B kümesinin her elemanı C kümesinde olduğundan
B ⊆ C ifadesi doğrudur.
26 = 64 alt kümede 2 bulunmaz.
c)
s(A) = 6’dır. Alt kü­me sa­yı­sı 26 = 64’tür.
Öz alt küme sayısı 26 – 1 = 63’tür.
1 ve 2’yi ayırıp kalan elemanların oluşturduğu alt
kümelerdir.
Buna göre, 25 = 32 alt kümede 1 bulunur, 2 bulunmaz.
15 Çözüm
IV. I ve III. ifadelerden A ⊆ B ⊆ C ifadesi doğrudur.
9 Çözüm
2 elemanı çıkarıldığında kalan elemanların oluşturduğu alt kümelerdir.
Kümenin eleman sayısı n olsun. Alt küme sayısı 2n dir.
Kümenin eleman sayısı 2 artırıldığında alt küme sayısı 2n+2 olur.
Buna göre,
2n+2 – 2n = 48
2n(22 – 1) = 48
¡ 2n = 16
¡ n = 4 bulunur.
228
9. SINIF MODÜL 1
www.sinav.com.tr
s(A) = n olsun.
BÖLÜM 1
2n = 1024
Fizik Bilimine Giriş
2n = 210 ¡ n = 10 bulunur.
2 Çözüm
19 Çözüm
I.
5 ve 5’ten büyük doğal sayılar sayılamayacak çoklukta olduğundan A kümesi sonsuz kümedir.
II.
Üç basamaklı doğal sayılar sayılabilecek çoklukta-
Fizik bilimiyle ilgili I ve II. yargılar doğrudur. Fizik bilimi
matematik, kimya, biyoloji gibi bilim dallarıyla bağlantılı
bir yapıya sahiptir. Olaylar açıklanırken diğer bilim dallarından faydalanılır.
Doğru Seçenek C
dır. B kümesi sonlu kümedir.
III. 1000’den küçük asal sayılar sayılabilecek çoklukta
olduğundan C kümesi sonlu kümedir.
IV. –2 ile –1 arasında sonsuz tane gerçek sayı oldu-
3 Çözüm
ğundan D kümesi sonsuz kümedir.
Teleskobun keşfi Galileo’ya, Elektromanyetik teori
Maxwel’e, Kuantum Mekaniği Schrödinger’e aittir.
Doğru Seçenek D
21 Çözüm
x3 – 4x = 0 ¡ x(x2 – 4) = 0
4 Çözüm
¡ x(x – 2) (x + 2) = 0
x=0 v
x = –2 ∨ x = 2
A = {–2, 0, 2}
B = {–2, 0, 2} olduğundan A = B’dir.
A, B, C ve E seçeneğinde verilenler fiziğin incelediği konulardan bazılarıdır. D seçeneğindeki konu fiziğin incelediği konular arasında yer almaz.
Doğru Seçenek D
23 Çözüm
A
• b
• d
• e
B
• a
• c
A»B
www.sinav.com.tr
Etkinlik 1
Bu soru öğrenci tarafından cevaplanacaktır.
• k
• l
•m
6 Çözüm
Teleskobun yapısı optiğin, dişliler mekaniğin, nükleer
santraller nükleer fiziğin alt alanına aittir.
Doğru Seçenek E
9. SINIF MODÜL 1
229
ÇÖZÜMLER VE DOĞRU SEÇENEKLER
FİZİK
16 Çözüm
