Ry M Gg =

Dersin Kapsamı
• Kütle Çekim Kuvveti
Vücut Kütle Merkezi Konumu Hesabı
• Kütle
• Ağırlık
• Moment
• Denge
4 Mart 2010
• Ağırlık/Kütle Merkezi
Arif Mithat Amca
• İnsanda Vücut Kütle/Ağırlık Merkezinin Konumunu
Hesaplama Yöntemleri
1
2
Kütle Çekim Kuvveti
Kütle Çekim Kuvveti
Newton’un Evrensel Çekim Yasası
Newton’un Evrensel Çekim Yasası
Evrendeki her parçacık başka bir parçacığı, kütlelerinin çarpımıyla doğru orantılı ve
aralarındaki uzaklığın karesiyle ters orantılı olan bir kuvvetle çeker.
Yeryüzünde bir cisim serbest bırakılınca düşme hareketi yapar.
Böyle ivmeli hareket ancak sabit bir kuvvetin etkisi ile olabilir.
Bu kuvvet yerin cisme uyguladığı çekim kuvvetidir.
Eğer parçacıkların kütleleri m1 ve m2 ise ve birbirinden r gibi bir uzaklıkta
bulunuyorlarsa, çekim kuvvetinin büyüklüğü;
Serbest düşme yasaları bulunduğu tarihte henüz yerin cisimleri çektiği
bilinmiyordu.
Galileo (1564-1642)
F =G
Yer’in cisimleri veya genel olarak kütlelerin birbirlerini çektiklerini
keşfeden Newton’dur.
m1.m2
r2
olarak tanımlanır. Burada G, çekim sabiti denilen evrensel bir sabittir. Deneysel olarak
ölçülmüştür ve SI birim sistemindeki değeri;
G = 6,672 *10 −11
Nm 2
kg 2
3
4
Isaac Newton (1642-1727
Kütle Çekim Kuvveti
Kütle Çekim Kuvveti
Newton’un Evrensel Çekim Yasası
Yer Çekimi İvmesi
kütleler arasındaki çekim yasası;
Dünya üzerindeki her cisim üzerinde de bir çekim
kuvveti vardır.
a) Cisimlerin kütlelerinin çarpımı ile doğru orantılı,
Bu çekim her zaman yerin merkezine doğrudur.
b) Cisimlerin arasındaki uzaklığın karesi ile ters orantılıdır,
c) Çekim kuvveti, kütleleri birleştiren doğru boyunca ve ters yönlüdür. Yani;
F =G
m1.m2
r2
g =G
r
m1
My
Ry 2
m2
5
6
1
Kütle (m) / Ağırlık (G)
Kütle (m) / Ağırlık (G)
Kütle (m):
• Cismin hareket etmeye karşı gösterdiği direnç olarak tanımlanır
• Bir cismin hacmini dolduran madde miktarı olarak da adlandırılabilir.
• Skaler bir ifadedir
• Eşit kollu terazi ile ölçülür.
• Değişmezdir, evrenin her yerinde aynıdır
• Birimi kilogram (kg) dır
Dünyada kütlesi 60 kg olan bir astronotun Ay’daki kütlesi ne kadar olur?
Ağırlık (G):
• Bir cisme etkiyen yerçekimi kuvvetine denir.
• Vektörel bir niceliktir
• Ağırlık vektörü daima yer düzlemine diktir.
• Yaylı el kantarı (dinamometre) ile ölçülür.
• Yer çekimi ivmesinin değerine göre değişir.
• Birimi kg.m/s2 = Newton (N) dur
Dünyada ağırlığı 588,6 kg.m/s2 olan bir astronotun Ay’daki ağırlığı ne kadar
olur? (gdünya=9.81, gay=1.7)
G
G =m.g
7
Kütle (m) / Ağırlık (G)
Ankara
Kütle (m) / Ağırlık (G)
Yükseklik (m)
Enlem
Ankara
840
40°
9.79
9.79
İstanbul
10
41°
9.80
Brüksel
102
51°
9.81
0
90°
9.83
Yükseklik (m)
Enlem
Yer çekimi ivmesi
840
40°
İstanbul
10
41°
9.80
Brüksel
102
51°
9.81
0
90°
9.83
Kuzey Kutbu
8
Kuzey Kutbu
Yer çekimi ivmesi
9
Kütle (m) / Ağırlık (G)
Moment (N.m)
Yükseklik (m)
Enlem
Yer çekimi ivmesi
840
40°
9.79
İstanbul
10
41°
9.80
Brüksel
102
51°
9.81
0
90°
9.83
Ankara
Kuzey Kutbu
10
• Kuvvetin cisimler üzerinde meydana getirdiği döndürme etkisine denir.
• Moment vektörel bir niceliktir.
• Birimi N.m dir.
• Yönü sağ el kuralı veya vektör notasyonu ile bulunur
d
F
G G
M =F .d
11
12
2
Moment
Moment
+ moment yönü
• Sağ el kuralı
G
Mo =− F1.d1 + F 2.d 2
Moment
Yönü
+ moment yönü
F2
G
G
M 2 =F 2.d 2
d
2
O
d
1
F
1
G G
M 2 =F2.d 2
G G
M1 =F1.d1
- moment yönü
d2
Mo’ın sonucu
O
d1
F1
Dönme Yönü
F
2
• Pozitif ise çubuk O noktasına göre saatin tersi
yönünde dönmektedir ve moment vektörü ekran
düzleminden dışa doğrudur.
• Negatif ise çubuk saat yönünde döner ve
moment vektörü ekranın içine doğrudur.
• Sıfır ise sistem denge’dedir.
G
G
M 1 =F1.d1
- moment yönü
13
Denge
14
Statik Denge
Bir cisim düzlemsel ve açısal hareket yapmıyorsa statik dengededir denir.
15
Statik Denge
16
Dinamik Denge
Bir cisim düzlemde sabit bir hızla hareket ediyor ise dinamik dengededir denir.
Hareket yoktur !
G
∑ FG = 0
∑M = 0
G
∑ FG = 0
∑M = 0
Another physics example of dynamic equilibrium is someone
walking up an escalator the wrong way, at just the same rate
as the escalator - so to an outside observer it appears that
the person is stationary, while in reality he is in dynamic
equib.
17
18
3
Ağırlık Merkezi
Ağırlık Merkezi
Cismin ağırlığının tek bir kuvvet olarak etkidiği düşünülen noktaya denir
Bir cismin m kütleli parçacıklardan oluştuğunu düşünürsek, yerçekimi kuvveti tüm m
kütleli parçalara etki eder. Bu küçük küçük ağırlıkların bileşkesi o cismin ağırlık
merkezini oluşturur.
• Bir cisim hangi noktasından asılırsa asılsın, asıldığı noktanın yer düzlemine olan dik
doğrultusu cismin KM den geçer.
• Eğer bir cisim KM inin bulunduğu bir noktadan asılırsa yer düzlemine paralel olarak
dengede kalır, yani asıldığı gibi kalır.
19
Ağırlık Merkezi
20
Ağırlık Merkezi
Düzgün geometrik cisimlerin ağırlık merkezi, geometrik merkezleridir.
21
Ağırlık Merkezi Nasıl Bulunur ?
22
Ağırlık Merkezi Nasıl Bulunur ?
Örnek 1
Aynı maddeden yapılmış türdeş levhalar şekildeki gibi birbirlerine perçinlenmiştir. Sistem
hangi noktadan asılırsa dengede kalır? (9/7)
• Türdeş cisimlerde, ağırlık yerine uzunluk (1B - tel, çubuk...), alan (2B – daire, kare
levha...) veya hacim alınarak cisimlerin ağırlıkları karşılaştırılabilir.
Cisimler türdeş değil ise !!
1) Moment hesabı ile ağırlık merkezi bulunması
23
24
4
Ağırlık Merkezi Nasıl Bulunur ?
Ağırlık Merkezi Nasıl Bulunur ?
Örnek 2
Örnek 3
Aynı maddeden yapılmış 2r, r, r yarıçaplı üç dairesel levha birbirine perçinlenmiştir.
Sistemin ağırlık merkezi 2r yarıçaplı levhadan kaç r uzaktadır? (4/3)
Şekilde iki kenarında farklı kilolar takılı bir bar vardır. Bu barın ağırlık merkezinin yerini
bulunuz. (Kiloların eni 5cm, bar 150cm’dir)
25kg 20kg
25kg 15kg
25
Ağırlık Merkezi Nasıl Bulunur ?
26
İnsanda Vücut Kütle Merkezinin Bulunması ?
Örnek 4
İnsan hareket analizlerinde kütle/ağırlık merkezlerinin hesaplanması için iki farklı yöntem
vardır.
Aşağıdaki beyzbol sopasının ağırlık merkezinin destek noktasından olan uzaklığını
hesaplayınız
a) Reaksiyon tahtası yöntemi (statik posizyonlar)
d = 100 cm
b) Segmentasyon yöntemi (dinamik durumlarda uygulanabilir)
E = 1.02 kg
x=?
W = 1.7 kg
27
28
İnsanda Vücut Kütle Merkezinin Bulunması ?
LABORATUAR ÇALIŞMASI
Reaksiyon tahtası yöntemi
Örnek 1
Kütle merkezinin hesaplandığı direk bir yöntemdir
Bir denge noktası etrafında moment hesabı kullanılarak kütle merkezi belirlenir
d = 200cm
x=?
Destek noktası
E = 33.75kg
W = 75kg
29
30
5
LABORATUAR ÇALIŞMASI
LABORATUAR ÇALIŞMASI
d = 200cm
Örnek 2
d = 200cm
Wtahta
Destek noktası
E0 = 10kg
x=?
Wtahta
Destek noktası
E = 33.75kg
Wtahta
W = 75kg
Destek noktası
E = 33.75kg
31
x=?
W = 75kg
32
LABORATUAR ÇALIŞMASI
http://yunus.hacettepe.edu.tr/~cilli/
Örnek 3
d = 200cm
Destek noktası
x=?
E = 9.375kg
W = 75kg
33
34
6