E*itimde Program De*erlendirme

B
Bilişim Teknolojileri için İşletme İstatistiği
Yrd. Doç. Dr. Halil İbrahim CEBECİ
SAYISAL TANIMLAYICI TEKNİKLER
MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜTLERİ
Aritmetik Ortalama:
• Basit şekli ile bütün gözlem değerlerinin toplam gözlem
adedine bölünmesi ile hesaplanır.
𝜇 = 𝐴𝑛𝑎 𝐾ü𝑡𝑙𝑒 𝑂𝑟𝑡𝑎𝑙𝑎𝑚𝑎𝑠𝚤,
𝑥 = Ö𝑟𝑛𝑒𝑘𝑙𝑒𝑚 𝑂𝑟𝑡𝑎𝑙𝑎𝑚𝑎𝑠𝚤
• Uç (Aykırı) değerlerden etkilenir.
Medyan (Ortanca):
• Önceden sıralanmış veri seti içerisindeki tam orta değerdir.
• Eğer gözlem sayısı çift ise ortada bulunan iki değerin
ortalaması medyan olarak kabul edilir.
MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜTLERİ
Mod
• En yüksek frekansa sahip olan gözlem değeridir.
• Merkezi eğilim ölçütü olarak kullanılmasında bazı sıkıntılar
olabilir.
– Eğer örnek sayısı çok az ise uygun sonuç üretmeyebilir.
– Bazı durumlarda tek değildir.
Geometrik Ortalama:
• Bir veri setindeki aykırı değerlerin etkisini minimize edebilmek
için geometrik ortalama kullanılır.
45 + 37 + 40 + 30 + 35 + 45 + 50 + 95
𝜇=
= 47,13
8
𝐺=
8
45 ∗ 37 ∗ 40 ∗ 30 ∗ 35 ∗ 45 ∗ 50 ∗ 95 = 44,34
DEĞİŞKENLİK ÖLÇÜTLERİ
• Merkezi eğilim ölçüleri dağılım hakkında bilgi vermez. Bir veri
setinin ortalamasının ne olduğu kadar, verilerin bu ortalama
etrafında nasıl değişkenlik gösterdiğinin de bilinmesi
önemlidir.
• Yandaki örnekten de anlaşılacağı
üzere, mavi ve kırmızı sınıfların
bir dersten aldığı ortalamalar
aynı olmakla beraber, farkı
değişkenlikleri oldukları görsel
olarak söylenebilir.
DEĞİŞKENLİK ÖLÇÜTLERİ
Dağılım Aralığı:
• Dağılım aralığı en basit değişkenlik ölçütüdür.
𝐷𝑎ğ𝚤𝑙𝚤𝑚 𝐴𝑟𝑎𝑙𝚤ğ𝚤 = 𝐸𝑛 𝐵ü𝑦ü𝑘 𝐷𝑒ğ𝑒𝑟 − 𝐸𝑛 𝐾üçü𝑘 𝐷𝑒ğ𝑒𝑟
• Avantaj : Basitlik
• Dezavantaj : Basitlik
Set 1 : 4, 4, 4, 4, 4, 50
𝐷𝑎ğ𝚤𝑙𝚤𝑚 𝐴𝑟𝑎𝑙𝚤ğ𝚤 = 50 − 4 = 46
Set 2 : 4, 8, 15, 24, 39, 50
𝐷𝑎ğ𝚤𝑙𝚤𝑚 𝐴𝑟𝑎𝑙𝚤ğ𝚤 = 50 − 4 = 46
DEĞİŞKENLİK ÖLÇÜTLERİ
Varyans:
• Bir veri setindeki her bir değerin ortalamadan uzaklıklarının
karelerinin, ortalaması şeklinde hesaplanır.
• Varyans beklenen değer ile (Bütçe) gözlenen değer (Harcama)
arasındaki farktır. Yapılması gereken ile yapılan arasındaki
farktır.
𝜎 2 = 𝐴𝑛𝑎 𝐾ü𝑡𝑙𝑒 𝑉𝑎𝑟𝑦𝑎𝑛𝑠𝚤
𝑠 2 = Ö𝑟𝑛𝑒𝑘𝑙𝑒𝑚 𝑉𝑎𝑟𝑦𝑎𝑛𝑠𝚤
DEĞİŞKENLİK ÖLÇÜTLERİ
Standart Sapma:
• Ortalama veya beklenen değerden ne ölçüde sapma olduğunu
gösterir.
• Düşük standart sapma değerleri verilerin ortalamaya daha
yakın seyrettiğini gösterir. Yüksek değerlerde ise veriler o
kadar ortalamadan uzaklaşır.
𝜎 = 𝐴𝑛𝑎 𝐾ü𝑡𝑙𝑒 𝑆𝑡𝑎𝑛𝑑𝑎𝑟𝑡 𝑆𝑎𝑝𝑚𝑎𝑠𝚤
𝑠 = Ö𝑟𝑛𝑒𝑘𝑙𝑒𝑚 𝑆𝑡𝑎𝑛𝑑𝑎𝑟𝑡 𝑆𝑎𝑝𝑚𝑎𝑠𝚤
DEĞİŞKENLİK ÖLÇÜTLERİ
• Eğer Histogram Çan eğrisi şeklinde (simetrik ise) bütün
değerleri % 68’i tek, %95’i çift ve %99,7 si üç standart sapma
aralığındadır.
DEĞİŞKENLİK ÖLÇÜTLERİ
Değişkenlik Katsayısı:
• Değişkenlik katsayısı standart sapmanın aritmetik ortalamaya
bölünmesi ile elde edilen yüzdesel bir orandır
𝜎2
𝑠2
𝐶𝑉 =
𝑣𝑒𝑦𝑎 𝐶𝑉 =
𝜇
𝑥
Örneklem 1
Ortalama = 141
Standart Sapma = 12
Değişkenlik Katsayısı = 12/141 = 0,0851
Örneklem 2
Ortalama = 136
Standart Sapma = 12
Değişkenlik Katsayısı = 12/136 = 0,0882
Örneklem 3
Ortalama = 136
Standart Sapma = 10
Değişkenlik Katsayısı = 10/136 = 0,0735
GÖRECELİ DURUM ÖLÇÜTLERİ
Persentil:
• Bir değişkenin gözlem değerleri arasındaki belirli yüzdelik
dilimi belirleyen değerdir.
Çeyreklik:
• 𝑄1 = İ𝑙𝑘 𝑣𝑒𝑦𝑎 𝑎𝑙𝑡 ç𝑒𝑦𝑟𝑒𝑘𝑙𝑖𝑘(%25 𝑦ü𝑧𝑑𝑒𝑙𝑖ğ𝑖)
• 𝑄2 = İ𝑘𝑖𝑛𝑐𝑖 ç𝑒𝑦𝑟𝑒𝑘𝑙𝑖𝑘 𝑀𝑒𝑑𝑦𝑎𝑛 ((%50 𝑦ü𝑧𝑑𝑒𝑙𝑖ğ𝑖)
• 𝑄3 = Üçü𝑛𝑐ü 𝑣𝑒𝑦𝑎 ü𝑠𝑡 ç𝑒𝑦𝑟𝑒𝑘𝑙𝑖𝑘((%75 𝑦ü𝑧𝑑𝑒𝑙𝑖ğ𝑖)
𝑃
𝐵𝑖𝑟 𝑦ü𝑧𝑑𝑒𝑙𝑖𝑘 𝑑𝑒ğ𝑒𝑟𝑖𝑛 𝑘𝑜𝑛𝑢𝑚𝑢 = 𝐿𝑝 = (𝑛 + 1)
100
GÖRECELİ DURUM ÖLÇÜTLERİ
Örnek
• Bir grup çalışanın ağırlık değerleri aşağıda verilmiştir:
a. %25 lik dilime karşılık gelen değeri (𝑄1 ) bulunuz
b. %50 lik dilime karşılık gelen değeri (𝑄2 ) bulunuz.
c. %75 lik dilime karşılık gelen değeri (𝑄3 ) bulunuz.
GÖRECELİ DURUM ÖLÇÜTLERİ
Örnek
𝐿𝑝 = 𝑛 + 1
𝑃
100
= 25 + 1
25
100
= 6.5
75
100
= 19.5
160 + 162
𝑄1 =
= 161
2
𝑄2 = 𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛 = 169
𝐿𝑝 = 𝑛 + 1
𝑄3 =
𝑃
100
= 25 + 1
177 + 179
= 178
2
GÖRECELİ DURUM ÖLÇÜTLERİ
5 Nokta Yöntemi:
• 5 sayı yöntemi 𝑄1 , 𝑄2 , 𝑄3 çeyreklik değerleri ile birlikte veri
setindeki en küçük (S) ve en büyük değerin (L) birlikte
sunulduğu bir tanımlayıcı istatistik yöntemidir.
En Küçük Değer (S)
Birinci Çeyreklik (𝑸𝟏 )
Medyan (𝑸𝟐 )
Üçüncü Çeyreklik (𝑸𝟑 )
En büyük Değer (L)
GÖRECELİ DURUM ÖLÇÜTLERİ
Kutu Grafiği:
• Temelde 5 Nokta yöntemine dayanan kutu grafiği veri setinin
değişkenliği ve hangi aralıkta değiştiği ile ilgili önemli yorumlar
sunar. Kutu grafiği uç değerleri, medyanı (dağılım simetrikse
ortalamayı) ve dağılımı birlikte sunduğunda kuvvetli bir görsel
tanımlama aracıdır.5 farklı değer grafik üzerinde sunulur.
GÖRECELİ DURUM ÖLÇÜTLERİ
Kutu Grafiği:
Çeyreklikler arası uzaklık:
– Alt ve üste çeyreklikler arasındaki uzaklığı belirtir.
– Ç𝑒𝑦𝑟𝑒𝑘𝑙𝑖𝑘𝑙𝑒𝑟 𝑎𝑟𝑎𝑠𝚤 𝑢𝑧𝑎𝑘𝑙𝚤𝑘 = 𝐼𝑄𝑅 = 𝑄3 − 𝑄1
• Çubuklar (Whiskers):
– Soldan sağa doğru uzayan doğrusal çizgi.
– Sola doğru 𝑄1 − 1,5 ∗ 𝐼𝑄𝑅 kadar uzar. Veri setindeki en
küçük değerden daha sola gidemez.
– Sağa doğru 𝑄2 + 1,5 ∗ 𝐼𝑄𝑅 kadar uzar. Veri setindeki en
büyük değerden daha sağa gidemez.
GÖRECELİ DURUM ÖLÇÜTLERİ
Örnek:
• Önceki örnekteki veriyi görselleştirelim.
GÖRECELİ DURUM ÖLÇÜTLERİ
• Wendy’s
firmasının
servis süresi en kısa ve
en
az
değişkenlik
gösterendir.
• Hardee’s en yüksek
değişkenlik
değerine
ulaşır.
• Jack-in-the-Box en uzun
servis süresine sahiptir.
SPSS DE TANIMLAYICI İSTATİSTİKLER
• SPSS içerisinde sayısal tanımlayıcı istatistikler Analyze
içerisinde yer alana Descriptives alanında bulunur. Bütün
istatistikleri Bu alanda yer alana geçtiğimiz hafta işlediğimiz
Frequencies analizinden elde edilir.
• EXCEL içerisinde kullandığımız 25 öğrenciye ait boyları SPSS
içerisine girerek BOY adı altında Scale measure yapısında bir
değişken oluşturuyoruz. Daha sonra yukarıda belirtilen
Freequencies / Statistics tabına basılır.
SPSS DE TANIMLAYICI İSTATİSTİKLER
• Bu ekranda merkezi eğilim ölçütlerinden Aritmetik Ortalama,
Mod ve Medyan yer alırken, Değişkenlik ölçütlerinden
Değişim aralığı, varyans ve standart sapma bulunmaktadır.
• Göreceli durum ölçütlerinden persentillerde de yine bu
ekrandan seçilebilir. Çeyreklikler Quartiles alanından
seçilebilirken, istenirse Cuts point for …. Equal groups
kısmından eşit aralıklı persentil değerleri alınabilir.
SPSS DE TANIMLAYICI İSTATİSTİKLER
Kutu Grafiği Oluşturma
• Kutu grafiği karşılaştırma amaçlı kullanılan bir diyagram
olduğundan Boy veri setinekarşılaştırma ölçütü olarak
Cinsiyeti değişkeni (Nominal) de eklenmelidir.
• Graphs> Legacy Dialogs > Box Plot seçimi yapılıp aşağıdaki
ayarlar gerçekleştirilir.
AMAN DİKKAT
• Kategorik veriler için sayısal tanımlayıcı teknikleri kullanmayın.
Bazı kategorik değişkenler sayısal formda sunulsa da bu
durum o değişkenlerin kantitatif yani nominal oldukları
manasına gelmez.
• Bazı durumlarda birden fazla mod değerine rastlanabilir. Bu
şekildeki durumlarda diğer tanımlayıcı istatistiklere yönelin.
• Verilerin içerisinde aykırı değer olup olmadığını sorgulayın. Bu
durum sonucunda kullanılacak tanımlayıcı yöntemi seçin.