Document

Magnetic Materials
3. Ders: Paramanyetizma
Numan Akdoğan
[email protected]
Gebze Institute of Technology
Department of Physics
Nanomagnetism and Spintronic Research Center (NASAM)
Paramanyetizmanın Klasik Teorisi
Farklı sıcaklıklarda ve birçok farklı örnek için ilk sistematik duygunluk ölçümü
Pierre Curie tarafından yapılmış ve 1895 yılında yayınlanmıştır.
Curie diamanyetik malzemeler için kütle duygunluğunu sıcaklıktan bağımsız,
fakat paramanyetik malzemeler için sıcaklıkla ters orantılı olarak değiştiğini
buldu:
C
χm =
T
(3.1)
Bu bağıntı Curie yasası olarak isimlendirilir ve buradaki C gram başına Curie
sabitidir. Daha sonra Curie yasasının aslında daha genel bir yasanın özel bir
durumu olduğu gösterilmiştir:
C
χm =
T −θ
(3.2)
Bu genel yasanın ismi Curie-Weiss yasasıdır. Bu denklemde θ bir sabittir ve Curie
noktası olarak bilinir. Curie yasasına uyan örnekler için θ sıfırdır.
N. Akdoğan
3. Ders: Paramanyetizma
Paramanyetizmanın Klasik Teorisi
1905 yılında Langevin, diamanyetizmanın teorisini de anlattığı makalesini
yayımlayıncaya kadar, Curie’nin paramanyetik malzemelerle ilgili ölçümleri teorik
olarak 10 yıl boyunca izah edilememiştir.
Langevin, paramanyetik bir malzemenin atomlarının aynı net bir manyetik
momente sahip olduğunu varsaydı. Çünkü paramanyetik malzemelerde
atomdaki elektronların bütün spin ve orbital momentleri birbirlerini iptal
etmiyordu.
Bir dış alanın olmadığı durumda bu atomik momentler rastgele yönelime sahip
oluyorlar ve birbirlerini iptal ediyorlar.
Böylece malzemenin net mıknatıslanması sıfırdır.
Bir alan uygulandığı zaman, (eğer bu alana zıt başka etkiler yoksa) her bir
atomik moment uygulanan alan yönünde dönme eğiliminde olur. Böylece
uygulanan alan yönünde malzeme çok büyük bir manyetik momente sahip olur.
Fakat atomların termal olarak kışkırtılması bu eğilime terstir ve atomik
momentleri rastgele yöneltmek ister. Bu da alan yönünde kısmi bir yönelime ve
küçük pozitif bir duygunluğa neden olur.
Sıcaklığın arttırılması rastgele yönelimi arttırır ve böylece duygunluğu azaltır.
N. Akdoğan
3. Ders: Paramanyetizma
Paramanyetizmanın Klasik Teorisi
Malzemenin birim hacminde her biri µ manyetik momentine sahip n tane atom
olduğunu varsayalım. Her bir manyetik momentin yönünü vektör ile gösterelim ve
bütün vektörleri birim yarıçaplı bir kürenin merkezinden itibaren çizelim.
θ ve θ+dθ arasında açı yapan manyetik momentlerin sayısını (dn) bulmak istiyoruz.
Birim yarıçaplı bir küre için:
=
dA 2=
π rdθ 2π R sin=
θ dθ 2π sin θ dθ
H
dA
R
r
θ
N. Akdoğan
3. Ders: Paramanyetizma
dθ
Paramanyetizmanın Klasik Teorisi
Fakat alan uygulandığı zaman bütün µ vektörleri alan yönünde dönerler. Böylece
alana maruz kalan her bir atomik moment EP potansiyel enerjisine sahip olur.
EP = − µ H cos θ
T sıcaklığında ısıl denge durumunda bir atomun
EP enerjisine sahip olma olasılığı Boltzman faktörü
ile orantılıdır. Buradaki k, Boltzman sabitidir.
 − EkTP 
e 


Bu durumda θ ve θ+dθ arasındaki momentlerin sayısı (dn), dA ile Boltzman faktörünün
çarpımıyla orantılı olacaktır.
dn = K ⋅ dA ⋅ e
−
EP
kT
= 2π Ke
µ H cosθ
kT
Buradaki K orantı faktörüdür.
N. Akdoğan
3. Ders: Paramanyetizma
sin θ dθ
(3.3)
Paramanyetizmanın Klasik Teorisi
dn = K ⋅ dA ⋅ e
−
EP
kT
= 2π Ke
µ H cosθ
kT
sin θ dθ
(3.3)
İşlemi kolaylaştırmak için:
a=
=
n
µH
kT
n
π
0
0
a cosθ
=
dn
2
π
K
e
sin θ dθ
∫
∫
(3.4)
Birim hacimde alan yönündeki toplam manyetik moment (dolayısıyla mıknatıslanma, M),
dn atom sayısıyla her bir atomdan gelen µcosθ katkısının çarpımının
toplam sayı üzerinden integraliyle elde edilir.
n
M = ∫ µ cos θ dn
0
N. Akdoğan
3. Ders: Paramanyetizma
(3.5)
Paramanyetizmanın Klasik Teorisi
dn’i (3.5) denkleminde yerine yazarsak;
π
M = 2π K ∫ µ cos θ e a cosθ sin θ dθ
0
(3.6)
π
M = 2π K µ ∫ e a cosθ sin θ cos θ dθ
(3.7)
0
π
Denklem 3.4’te
n = 2π K ∫ e
a cosθ
sin θ dθ
idi.
0
π
nµ ∫ e a cosθ sin θ cos θ dθ
0
π
a cosθ
e
sin θ dθ
∫
0
N. Akdoğan
π
a cosθ
e
sin θ dθ
∫
0
M=
2π K =
n
3. Ders: Paramanyetizma
(3.8)
Paramanyetizmanın Klasik Teorisi
π
M=
nµ ∫ e a cosθ sin θ cos θ dθ
0
π
a cosθ
e
sin θ dθ
∫
(3.8)
0
x = cos θ
İntegralleri çözebilmek için
diyoruz. Böylece dx = − sin θ dθ olur.
−1
−1
nµ ∫ e ax x(−dx) nµ ∫ xe ax dx
1
1
=
=
M
−1
−1
ax
ax
−
e
dx
e
(
)
∫
∫ dx
1
1
Bu denklemi çözersek:
N. Akdoğan
3. Ders: Paramanyetizma
(3.9)
Paramanyetizmanın Klasik Teorisi
 ea + e− a 1 
1

=
−  nµ  coth a − 
M nµ  a − a=
a
a

 e −e
(3.10)
Buradaki nµ malzemenin sahip olabileceği maksimum (azami) momenttir.
Bütün atomik momentlerin alana paralel olarak yöneldiğini gösterir.
Bu duruma doyum (saturation) durumu denir ve M0 ile gösterilir.
1

=
M M 0  coth a − 
a

M 
1
=  coth a − =
 L(a )
M0 
a
(3.11)
(3.12)
Sağdaki ifadeye Langevin fonksiyonu denir ve L(a) ile gösterilir.
Langevin fonksiyonunu seri ile de ifade edebiliriz:
a a 3 2a 5
L(a )=
− +
− ⋅⋅⋅
3 45 945
Denklem 3.13 durumu yalnızca a≤1 için geçerlidir.
N. Akdoğan
3. Ders: Paramanyetizma
(3.13)
Paramanyetizmanın Klasik Teorisi
a’nın fonksiyonu olarak L(a) aşağıdaki grafikte çizilmiştir.
Büyük a değerinde L(a) 1’e doğru gider. Yani M=M0 olur.
a 0.5’den küçük olduğunda L(a) 1/3 eğimine sahip düz bir çizgidir.
M
= L(a )
1
M0
L(a)=a/3
0.8
L(a)
0.6
0.4
0.2
0
N. Akdoğan
a=
1
2
3
3. Ders: Paramanyetizma
4
5
6
µH
kT
Paramanyetizmanın Klasik Teorisi
Langevin teorisinin iki sonucu vardır:
1. Doyum durumu ancak a yeterince büyükse olur. Dolayısıyla büyük H ve küçük T’ye
ihtiyacımız var. Ancak bu durumda uyguladığımız alan düzensizliğe sebep olan termal
etkiyi yenebilir.
2. Küçük a değerlerinde mıknatıslanma, H ile lineer olarak değişir. Normal koşullarda a
küçüktür ve lineer M-H eğrileri gözlenir.
Langevin teorisi Curie yasasına da rehberlik yapar.
Küçük a değerleri için L(a)=a/3 olur ve 3.10 denklemi aşağıdaki gibi yazılır:
1

M nµ  coth a=
=
−  nµ L ( a )
a

nµ a nµ H
=
M =
3
3kT
2
N. Akdoğan
3. Ders: Paramanyetizma
(3.14)
Paramanyetizmanın Klasik Teorisi
Böylece:
M nµ
χ=
=
V
H 3kT
2
ve
χV
nµ 2
χ=
=
m
ρ 3ρ kT
(3.15)
Burada ρ yoğunluk, n birim hacimdeki atomların sayısıdır ve aşağıdaki gibi yazılır.
Nρ
n=
A
N Avagadro sayısı (atom/mol) ve A atomik ağırlıktır.
N. Akdoğan
3. Ders: Paramanyetizma
Paramanyetizmanın Klasik Teorisi
n’i 3.15 denklemlerinde yerine yazarsak:
N ρµ 2
χV =
3 AkT
(3.16)
Nµ2 C
χm =
=
3 AkT T
(3.17)
C Curie sabitidir.
Nµ
C=
3 Ak
2
N. Akdoğan
3. Ders: Paramanyetizma
(3.18)
Paramanyetizmanın Klasik Teorisi
Paramanyetizmanın Langevin teorisi manyetik momente sahip atom veya moleküllerin
birbirleriyle etkileşmediği varsayımına dayanır. Sadece uygulanan alandan ve termal
kışkırtmalardan etkilendikleri varsayar. Bu da Curie yasasına sebep olur.
Halbuki birçok paramanyetik malzeme için bu kural geçerli değildir.
Onlar daha genel olan Curie-Weiss yasasına uyarlar.
C
χm =
T −θ
1907’de Pierre Weiss (J. de Physique 6 (1907) p 66-69 Q) bu davranışın
her bir momentin birbiriyle etkileştiği teziyle açıklanabileceğini gösterdi.
Weiss, uygulanan H alanına ek olarak hayali bir Hm (moleküler alan) alanının bu
etkileşmeyi açıklayabileceğini önerdi.
Bu moleküler alanın atomların etrafındaki malzemenin mıknatıslanmasıyla meydana
geldiği düşünülebilir.
(Eğer Weiss bu tezini 10 yıl sonra geliştirseydi, bu alanı büyük ihtimalle atomik alan olarak
isimlendirirdi. XRD 1912 yılında keşfedildi ve 1917’de yapılan XRD deneylerinde bütün
metallerin ve basit inorganik katıların moleküllerden değil atomlardan oluştuğu gösterildi.)
N. Akdoğan
3. Ders: Paramanyetizma
Paramanyetizmanın Klasik Teorisi
Weiss, moleküler alanın şiddetinin (büyüklüğünün) mıknatıslanma ile doğru orantılı
olduğunu varsaydı.
Hm = γ M
(3.19)
Burada γ moleküler alan sabitidir. Böylece malzemeye etkiyen toplam alan:
H=
H + Hm
T
(3.20)
Toplam alanı 3.15 denkleminde H yerine yazarsak:
M
C
=
χm =
ρH T
M
C
M
= =
ρ ( H + Hm ) T ρ ( H + γ M )
N. Akdoğan
3. Ders: Paramanyetizma
(3.21)
Paramanyetizmanın Klasik Teorisi
3.21’den M’i çekersek:
ρ CH
M=
T − ρ Cγ
(3.22)
M
C
C
=
χm =
=
ρ H T − ρ Cγ T − θ
(3.23)
θ = ρ Cγ
(3.24)
θ, moleküler alan sabiti γ ile orantılı olduğundan, etkileşmenin şiddetinin ölçüsüdür.
Curie yasasına uyan malzemeler için θ=0’dır.
N. Akdoğan
3. Ders: Paramanyetizma
Paramanyetizmanın Klasik Teorisi
χ
1/χ
Curie Weiss
Yasası
Curie
Yasası
Curie Yasası
Curie Weiss
Yasası
Paramanyetik
FeSO
Curie Weiss
Yasası
4
MnCl
2
θ
0
T (K)
-θb
Diamanyetik
T (K)
θa
Diamanyetik
NaCl
θ, moleküler alan sabiti γ ile orantılı olduğundan, etkileşmenin şiddetinin ölçüsüdür.
Curie yasasına uyan malzemeler için θ=0’dır.
N. Akdoğan
3. Ders: Paramanyetizma