vektörler - muhendislik bilgileri

VEKTÖRLER
M.Feridun Dengizek
VEKTÖR TANIMI
Mühendislik mekaniğinde fiziksel büyüklükler iki
türlü ifade edilirler
1.
Sayısal büyüklükler: Bunlar yönü olmayan salt
büyüklüklerdir. (Scalar)
Örnek ; Kütle, süre, uzunluk
2.
Vektörel büyüklükler: Yönü olan
büyüklüklerdir.
Örnek; Statik konusunda: kuvvet, moment vb.
Dinamik konusunda: Hız, ivme, vb.
Mühendislik mekaniğinde statik konusunun en
önemli kavramı vektörlerdir. Vektörler yan
şekildeki gibi bir ok ile belirtilir ve üzerine
büyüklüğü yazılır.
Biz derslerimizde vektör üzerinde ok işaretinin
bulunduğu yere vektörün başı, noktanın
bulunduğu başlangıç yerine ise vektörün
kuyruğu diyeceğiz
Vektör Tanımı
Vektörler için iki tanım bulunmaktadır
1.
Vektörel değer tanımı: Bu tanım vektörün
doğrultusu ve yönünü belirtir. Üzerinde ok
işareti bulunur.
Örnek; F=(3i-5j+6k)N
Burada
i: değerin x ekseni üzerinde karşılığı bulunduğunu
j: değerin y ekseni üzerinde karşılığı bulunduğunu
k: değerin z ekseni üzerinde karşılığı bulunduğunu
gösterir
2. Vektörün skalar büyüklük tanımı :
Bu büyüklük vektörün x,y,z eksenleri
üzerindeki değerlerin karelerinin kare köküne
eşittir. Bu gösterimde ok işareti bulunmaz.
F  x 2  y2  z2
Yukarıdaki örnek için F vektörünün skalar büyüklüğü
F  32  (5) 2  6 2
 F  8.37N
Vektör işlemleri
VEKTÖR ÇARPMA VE
BÖLME İŞLEMİ
Vektör çapma ve bölme
işlemi vektörün doğrultusu
ve büyüklüğünün çarpma,
bölme oranında değişmesi
demektir. Eğer çarpan veya
bölen negatif değerde ise
doğrultu aynı kalır ancak
yön tersine döner.
VEKTÖR ÇIKARILMASI
Vektör çıkarma işlemi sadece aynı doğrultuda fakat ters yönde olan
vektörler için geçerlidir.
Sonuç vektörün doğrultusu aynı kalır ancak yönü çıkarılan vektörlerden
büyük olanın yönü olur, büyüklük ise iki vektörün farkı kadar olur.
Doğrultu farklı ise yönü ne olursa olsun vektörler toplanırlar.
(Eğer vektör negatif ise yönü ters çevrilerek toplanır)
VEKTÖRLERİN TOPLANMASI
• Aynı doğrultu ve yöndeki vektörlerin
toplamasında ise doğrultu ve yön aynı kalır
büyüklük toplam değerin büyüklüğü kadar olur
VEKTÖRLERİN TOPLANMASI
(PARALELOGRAM METODU)
•
•
Vektörlerin grafiksel olarak toplanması için
iki metod vardır. Birincisi paralelogram
metodu kullanılarak toplanması metodudur.
Parelelogram çizimi aşağıdaki gibidir.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Önce vektörlerin kuyrukları birbirleri ile
çakıştırılır
Sonra vektörün birinin başından diğer
vektöre paralel yardımcı bir çizgi çizilir
Sonra ikinci vektörün başından diğer vektöre
paralel bir yardımcı çizgi çizilir.
Vektörlerin çakışık kuyruklarından çizilen
yardımcı çizgilerin kesiştiği noktaya bir
vektör çizilir.
Bu vektörün kuyruğu diğer vektörlerle
çakışık olan yerde, başı ise kesişim
noktasında olur.
İki vektörün toplamı olan bu vektörün
büyüklüğü kuyruk ile baş arasındaki
büyüklük, yönü ise ortak çakışma noktası ile
kesişim noktası arasındaki yöndür
VEKTÖRLERİN TOPLANMASI
(ÜÇGEN METODU)
•
•
İkincisi metod ise Üçgen metodu
kullanılarak toplanmasıdır.
Üçgen metodu aşağıdaki gibidir.
1.
2.
3.
4.
Önce vektörlerden birinin kuyruğu
diğerinin başı ile çakıştırılır
Sonra biricinin kuyruğundan diğer
vektörün basına gelecek şekilde
toplam vektör çizilir.
Toplam vektörün kuyruğu birinci
vektörün kuyruğunda ve başı ise
ikinci vektörün başına çakışık
olur.
Toplam vektörün büyüklüğü
kuyruk ile baş arasındaki
büyüklük, yönü ise birinci
vektörün kuyruğu ile ikinci
vektörün başı doğrultusundaki
yöndür
Her iki metodla da bulunan toplam
vektörlerinin yön ve büyüklükleri
aynı olur
VEKTÖRLERİN TOPLANMASI
(İKİDEN FAZLA VEKTÖR VARSA)
İkiden fazla vektörün toplanması
gerekiyorsa uygulanacak metod
1.
2.
3.
4.
Önce herhangi iki vektör anlatılmış
olan metodlardan birisi ile toplanır.
Sonra üçüncü vektör ilk iki vektörün
toplamı ile toplanır.
Eğer daha başka vektör varsa o da
son bulunan toplam vektör ile toplanır.
Yukarıda anlatılan işlemler sadece tek
bir toplam vektör kalıncaya kadar
devam eder.
İkiden fazla vektörün toplanmasında en kolay
yol üçgen metodudur. Bu uygulama ile
önce tüm vektörler birinin kuyruğu ötekinin
başı ile çakışacak şekilde birleştirilir. En
sonunda ilk vektörün kuyruğu ile son
vektörün başı arasında toplam vektör
oluşturulur.
ETKİ EDEN TEK BİR KUVVETİN ÇÖZÜMLENMESİ
Kuvvetin yönü ve büyüklüğü olduğu için
vektörel bir değer olduğunu belirtmiştik.
Bazen yapılar üzerinde etkin olan bir
kuvvetin yapıya etkisini çözümleyerek
yapının bu kuvvete karşı direncini
hesaplamamız gerekir.
Bu durumda birden fazla kuvvetin
paralelogram yolu ile tek bir kuvvete
indirgenmesi metodu tersten
uygulanarak tek bir kuvvetin belli
yönlerde nasıl etki yaptığı
çözümlenmelidir.
KUVVET ÇÖZÜMLENMESİ
• Çözümleme için etki eden kuvvetin
kuyruğundan ve başından yapı elemanlarına
paralel yardımcı çizgiler çizilir.
• Sonra bu çizgilerin kesişim notalarına yapı
elemanlarının birleştiği noktadan başlayan ve
yardımcı çizgilerin kesişim noktalarında sona
eren vektörel kuvvetler çizilir.
• Bunlar uygulanmış toplam kuvvetin
çözümlenmiş eksenel kuvvet bileşenleridir.
• Yapı elemanlarının dayanım hesaplarında
dikkate alınacak kuvvetler bu bileşke
kuvvetleridir
VEKTÖRLERİN TRİGONOMETRİK ANALİZİ
Paralelogram veya üçgen metodu
ile vektörlerin geometrik
analizinin nasıl yapıldığını
gördük.
Ancak geometrik analiz kolay
olmakla birlikte son derecede
hassas çizim ve ölçme
gerektirir. Bu ise her zaman
mümkün olmayabilir.
Bu durum ise çözüm için
trigonometrik hesap
kullanılmasını gerektirir.
Vektörlerin trigonometrik analizi
için en fazla gereken
trigonometrik formüller sinüs
ve kosinüs kanunlarıdır.
Sinüs Kanunu
a
b
c


SinA SinB SinC
Kosinüs kanunu
c  a 2  b 2  2ab * cos C
HANGİ KOŞULLARDA HANGİ TEOREM KULLANILIR
Herhangi bir üçgende üçü açı üçüde kenar
olmak üzere 6 değer bulunur. Bunlardan
herhangi üçünün bilinmesi diğer üçünün
bulunması için yeterlidir (Sadece üç açının
bilinmesi durumu hariç)
Eğer iki kenar ve bunların
arasındaki açı biliniyorsa
Veya
sadece üç kenar biliniyorsa
diğer bilinmeyenleri bulmak
için COSİNUS teoremi
uygulanır.
c  a 2  b 2  2ab * cos C
a 2  b2  c2 
C  cos 

2
ab


1
Eğer bilinenler iki kenar ve bunların arasında
olmayan bir açı ise (kenarın karşısındaki açı
ise)
Veya
Bilinenler iki açı ve sadece bir kenar ise
SİNUS teoremi kullanılır
a
b
c


SinA SinB SinC
Eğer bilinen tek kenar bilinen iki açının
arasındaki kenar ise iç açılar toplamı
180 derece olduğundan önce
bilinmeyen açı bulunur sonra SİNÜS
teoremi ile diğer bilinmeyenler bulunur
SIK KULLANILACAK DİK ÜÇGEN FORMÜLLERİN
HATIRLANMASI
•
•
Vektörlerin hesaplanmasında diğer önemli
trigonometrik formüller orta öğrenim yıllarından
öğrenmiş olduğunuz dik üçgen kanunlarıdır. Bunlar
Pisagor kanunu:
Dik kenarların karesini toplamı hipotenüsün
karesine eşittir.
a2+b2=c2
•
Sinüs kuralı: Karşı dik kenarın hipotenüse oranı
açının sinisüne eşittir.
Sinϴ= a/c
•
Cosinüs Kuralı: Komşu dik açının hipotenüse oranı
açının kosinüsünü verir
Cosϴ= b/c
•
Tanjant kuralı: Karşı dik kenarın komşu dik kenara
oranı açının tanjantını verir.
Tanϴ=a/b
Zaman zaman problemlerde vektör açıları derece
cinsinden değil dik kenarlar cinsinden verilerek
problemlerin daha kolay çözülmesi
sağlanmaktadır.
Örnek olarak yandaki resimde F vektörünün
açıları dik kenar cinsinden verilmiştir.
Burada F’ değerini bulmak için F değerini cosϴ
ile çarpmak yerine cosϴ ya eşit olan b/c ile
çapılır.
F’ değerinin x ekseni üzerindeki bileşenini bulmak
için F’ *sinβ yerine F’*(d/e) ile çarpılır.
F’ değerinin y ekseni üzerindeki bileşenini bulmak
için F’ *cos β yerine F’*(f/e) ile çarpılır.
F değerinin z ekseni üzerindeki bileşenini bulmak
için F *sinϴ yerine F*(a/c) ile çarpılır.
ÖRNEK
Yada verilen F=500 N kuvvetinin x,y,z
bileşenlerini bulunuz.
F’= F*cosϴ= 500*(4/5) =400N
Fx= F’*sinβ =400*(-3/5) = -240N
Fy=F’*cosβ =400*(4/5) = 320N
Fz= F*sinϴ = 500*(3/5)= 300N
PROBLEM 3.1
• Resimde gösterilen
çelik konstrüksiyon
2000 N luk bir
kuvvetle belirtilen
açıda çekilmektedir.
• A ve B bağlantı
çubuklarına gelen
eksenel kuvvetleri
bulunuz
PROBLEM 3.1 ÇÖZÜMÜ
1.
2.
3.
Paralelogram metoduna göre etki eden
kuvveti bileşkelerine ayrılır.
Kuvvetler üçgen oluşturacak şekilde açıları
ile belirtilir.
Sinüs teoremi uyarınca FA ve FB kuvvetleri
hesaplanır.
F
F
F
 A  B
Sin 120 Sin 15 Sin 45

2000
F
 A  FA  597.72 N
Sin 120 Sin 15

2000
F
 B  FB  1633N
Sin 120 Sin 45
PROBLEM 3.2
• Tavana bağlı bir kanca iki ayrı halat ile
çekilmektedir.
• A halatı tavan ile 60 derece açıda
6,000N kuvvet ile, B halatı ise 45 derece
açıda 2,000N kuvvet ile çekilmektedir.
• Kancaya etki eden toplam kuvveti ve
tavan ile saat yelkovanı yönünde yaptığı
açıyı bulunuz
PROBLEM 3.2 ÇÖZÜMÜ
•
•
Önce vektörler üçgen metoduna
göre yerleştirilir.
Kosinüs kuralına göre etki eden
toplam kuvvet FR hesaplanır
FR  FA2  FB2  2FA FB * cos 
 FR  62  22  2 * 6 * 2 * cos105
 FR  6.8kN
•Sinüs kuralına göre Φ açısı bulunur
FB
F
 R
Sin  Sin 
2
6.8


   16.510
Sin  Sin 105
   180  60  16.51
   103.49
PROBLEM 3.3
•
•
•
•
Arızalanan bir aracın çekilebilmesi için 1000N luk bir kuvvet kullanılması
gerekmektedir.
Bu aracın çekilebilmesi için iki ayrı halat kullanılıyor. Birinci halat araba
ekseni ile 30 derece açılı durumdadır.
İkinci halata uygulanacak kuvvetin minimum olması için ikinci halat araç
eksenine kaç derece olarak bağlanmalıdır.
Birinci ve ikinci halatlara uygulanmasi gereken kuvvetler ne kadardır.
PROBLEM 3.3 ÇÖZÜMÜ
•
Üçgen metodu ile kuvvetleri vektörel
olarak yerleştirmek için çekme
kuvvetinin başına doğrultusu bilinen
FA vektörüne paralel yardımcı
çizgimizi çekelim.
•
İkinci kuvvetin ne doğrultusu ne de
büyüklüğü bilinmediği için çekme
kuvvetinin kuyruğundan yardımcı
çizgiye 4 veya 5 adet geçici yardımcı
çizgiler çizelim.
•
Bu çizgiler arasında en kısa olan
çizginin FA vektörüne paralel
çizdiğimiz yardımcı çizgiye dik
konumda bulunan çizgi olacağı
açıktır.
•
Bu durumda ϴ=180-90-30=600
•
Üç açıda bilindiği için bilinmeyen
kuvvetler sinüs kuralından bulunabilir.
Fmin
F

Sin 30 Sin 90
 Fmin  Sin 30 *
1000
Sin 90
 Fmin  500 N
FA
F

Sin 60 Sin 90
 FA  Sin 60 *
 FA  866 N
1000
Sin 90
EKSERSİZ PROBLEMLERİ
3.4
Resimde belirtilen konstrüksiyon elemanlarında
ortaya çıkacak kuvvetleri bulunuz
3.5
Resimdeki halatların oluşturacağı toplam
kuvveti ve x ekseninden olan açısını
bulunuz