X ve X - SABİS

12.BÖLÜM
RASSAL DEĞİŞKENLER
VE
OLASILIK BÖLÜNMELERİ
Prof. Dr. Mustafa AKAL
1
İÇİNDEKİLER
1.TANIM
2.OLASILIK DAĞILIMLARI VE OLASILIK DAĞILIM FONKSİYONLARI
2.1. Olasılık Dağılımı
2.2. Olasılık Dağılım Fonksiyonu
2.3. Olasılık Dağılım Histogramı
2.4. Kümülatif Olasılık Dağılım Fonksiyonu
3.SÜREKLİ RASSAL DEĞİŞKENLERDE DAĞILIM
3.1. Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu
3.2. Kümülatif Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu
4. ÇEBİŞEV TEOREMİ
HEDEFLER
 Kesikli rassal değişkenlerin olasılık bölünmeleri hakkında bilgi vermek
 Sürekli rassal değişkenlerin olasılık bölünmeleri hakkında bilgi vermek
2
1. TANIM
Şans (stokastik) değişkeni veya rassal değişken çeşitli reel değerler oluşan bir kümedir.
Bir ilde belirli bir dönem boyunca; yıl boyunca aylar itibariyle meydana gelen trafik
kazalarının sayısı, dört defa atılan bir madeni paranın tura gelme sayısı, bir zarın
atılması sonucu üste gelebilecek sayıların kümesi, bir torbada bulunan 5’e kadar
numaralandırılmış sayılardan birinin 0.2 olasılıkla çekilmesinin oluşturduğu 1,2,3,4,5
değerler kümesi rassal değişkeni tanımlar. Rassal değişken (X) büyük harfle gösterilir,
aldığı değerler ise X=x örneğinde olduğu gibi küçük harfle (x) gösterilir.
Tamsayılardan veya 1,2,3,... gibi sonlu sayılardan oluşan değişkene kesikli rassal
değişken, ve bu değişkenin aldığı değerlerin olasılıklarla ifadesine kesikli rassal
değişkenlerin olasılık bölünmesi yada kısaca olasılık dağılım fonksiyonu denir. İki tam
sayı arasında sonsuz değer alabilen değişkene sürekli değişken denir. Örneğin, bir hafta
boyunca 1.0001 litre, 1.1, 1.11, 1.111, 1.1111, ..1.999... litre gibi 1 lt. ile 2 lt. arasında
veya iki tamsayı arasında sayılabilir sonsuzlukta sürekli değerler alabilen bezin alım
miktarları kümesi sürekli rassal değişkeni tanımlar. Sürekli rassal değişkenin aldığı
değerlerin olasılıklarla ifadesine sürekli rassal rassal değişkenlerin olasılık bölünmesi
yada kısaca olasılık yoğunluk fonksiyonu denir.
2. OLASILIK DAĞILIMLARI VE OLASILIK DAĞILIM FONKSİYONLARI
2.1. Olasılık Dağılımı
Tanım: Bir X rassal değişkeninin aldığı değerlerin olasılıklarla ifadesine olasılık
dağılımı denir.
Teorem 1. S bir olasılığa sahip örnekler yüzeyi, X de S içerisinde reel olarak
tanımlanmış bir fonksiyon (S’nin elemanlarından oluşan) ise X rassal bir değişkendir.
Örneğin: Bir zarın atımının sonucu gerçekleşebilecek değerlere rassal değişken denir.
Örneğin,rassal olarak çekilen bir evli çiftin ve onların birlikte gelirleri (erkeğin geliri X,
kadını geliri Y ) rassal değişkenlerdir.
X rassal değişken olarak tanımlanırsa bu rassal X değişkeninin değerleri küçük
x’ dir. Örneğin, bir zarı atalım ve toplam 9 olan sayılar kümesini teşkil edelim. Burada
x=9 ve bu 9 toplamı veren alt kümeler ise {(6,3),(5,4),(4,5),(3,6)}=S
x = toplamları 9’u veren S kümesinin tek ve çift sayılı elementleri olup,
X=x rassal değerlerinin 9 değerini aldığı (x=9) elementler kümesi rassal X değişkenin
oluşturur.
Burada bir matematikçi f(X)’i X ‘in aldığı değere göre bir fonksiyon olarak tanımlaması
vardır.
Örnek : Bir çorap torbasında 5 B (beyaz) 3 G (gri) çorap olsun. X rassal değişkeni bize
B çoraplarında kaç tane seçildiğinin sayısını versin ve x’de X’e karşılık gelen; çekilen
çorabın beyaz gelme sayısı olsun. 2 çorap çekildiği varsayılırsa örneklem elementlerini,
karşılık gelen olasılıklarını ve karşılık gelen x değerlerini nasıl listeleyebiliriz?
3
Çözüm: Burada 1 çorap çekilince geri konmamakta olup 2. çekilmektedir. Bu iki
çekilişinin örneklem kümesi ve olasılılık dağılımı aşağıdaki gibidir.
S={(B,B),(B,G),(G,B),(G,G)}
İadesiz çekim sonucu kaç beyaz çorap geldiğinin kümesi ve olasılık dağılımı şöyledir:
Örneklemin elementleri
(x,y)
x
BB
2
BG
1
GB
1
GG
0
P(X=x)
5 4 5
. =
8 7 14
5 3 15
. =
8 7 56
3 5 15
. =
8 7 56
3 2 3
. =
8 7 28
Olasılık dağılımı
X
2
1
0
P(X=x)
5
14
30
56
3
28
rassal X değişkeninin 2 değerinde olması yani her iki çekilişte de 2 B çorap gelmesi
olasılığı
5
P(X=2)=
14
Örnek : Herhangi bir madeni para 4 defa atılsın. X in tura gelme değişkeni ve x de kaç
defa tura gelmesi değeri olsun. Eşit şansa sahip bir durumda bu paranın atılması sonucu
örneklem kümesini ve olasılık dağılımını oluşturunuz?
Çözüm: T=Tura, Y=Yazı olsun. Tablo 2 bu örneğe ait örneklem kümesini ve
örneklemin olasılık dağılımı aşağıda verilmiştir.
Örneklem kümesi
Olasılık Dağılımı
Küme
X
P(X=x)
X
P(X=x)
TTTT
TTTY
TTYT
TYTT
YTTT
TTYY
TYTY
TYYT
YTTY
YTYT
4
3
3
3
3
2
2
2
2
2
1/16
1/16
1/16
1/16
1/16
1/16
1/16
1/16
1/16
1/16
4
3
2
1
0
1/16
4/16
6/16
4/16
1/16
4
YYTT
TYYY
YTYY
YYTY
YYYT
YYYY
2
1
1
1
1
0
1/16
1/16
1/16
1/16
1/16
1/16
1
16
4
P( X  3) 
16
P( X  4) 
Örnek : Bir zar çifti atıldığında yüzeye gelen sayıların toplam değerlerinin olasılık
dağılımını oluşturunuz?
Çözüm: Burada her bir elementin bir sayı 1,2,..,6’nın 2 zar atım sonrası aynı anda gelme
olasılığı 1/6.1/6’dır. İki zarın üste gelen sayılarının toplamının 2 gelmesi, örneklem
kümesinde (1,1) elementini tanımlar ve toplamların 2 gelme olasılığı
(1/6).(1/6)=1/36’dır. Diğer toplamlarda bu biçimde yapılır.
Küme elementleri
Olasılık Dağılımı
S
_________
(1,1)
(1,2)(2,1)
(1,3)(3,1)(2,2)
(1,4)(4,1)(2,3)(3,2)
(1,5)(5,1)(2,4)(4,2)(2,3)
(1,6)(6,1)(2,5)(5,2)(3,4)(4,3)
(2,6)(6,2)(3,5)(5,3)(4,4)
(3,6)(6,3)(5,4)(4,5)
(5,5)(6,4)(4,6)
(6,5)(5,6)
(6,6)
X
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
P(X=x)
1/36
2/36
3/36
4/36
5/36
6/36
5/36
4/36
3/36
2/36
1/36
1/6.1/6
1/6.1/6+1/6.1/6
1/6.1/6+1/6.1/6+1/6.1/6
2.2. Olasılık Dağılım Fonksiyonu
Tanım: Eğer X kesitli (süreksiz) rassal bir değişken ise, ve fonksiyon f ( X ) tarafından
verilmiş ise f ( X ) =P(X=x)’e, X’ in belli bir aralığında tanımlanan X değişkeninin
alacağı değerlerden oluşan fonksiyona X’ in olasılık dağılımı fonksiyonu denir.
Örnek 4: Eğer f ( X ) 
6 X 7
gibi bir fonksiyonun alacağı değerler X=2,3,…..,12
36
için alacağı değerlerin olasılıklarını bulunuz?
6 27
65 1
f (2) 


36
36
36
5
6 37
64 2

36
36
36
……………………………….
6  12  7
65 1
f (12) 


36
36
36
f (3) 

Teorem 2: Bir fonksiyonun olasılık dağılımı özelliğine sahip olması için aşağıdaki iki
şartın yerine gelmesi gerekir. Bunlardan,
1. f ( X )  0 , onun tanım aralığında her bir X değeri için olasılığı  0 olmalıdır.
2.  f ( X )  1 , ve x değerlerine karşılık gelen olasılıkların toplamı 1’e eşit olmalıdır.
X
Örnek : 4 defa atılan dengeli bir madeni paranın toplam Tura gelme olasılık dağılımını
bulunuz? Ve bir olasılık dağılımı gösterip göstermediğini belirtiniz?
Çözüm: x=tura gelme sayısı.
P(X=0)=1/16, P(X=1)=4/16, P(X=2)=6/16, P(X=3)=4/16 ve P(X=4)=1/16
X
0
1
2
3
4
P(X=x)
1/16
4/16
6/16
4/16
1/16
4
p( x)  0,  p( X  x)  1 olduğundan olasılık dağılımı göstermektedir.
x 0
Bir atış iki olay sonuçlandırmaktadır. n atış ise 2.2….2= 2n olay verir. 24=16.Bu 5
bölümün payları değerleri gözlenirse bize binomiyal
katsayılı olduğu
4
4
4
4
4
         
gözükür.   ,   ,   ,   ,   ve biz de olasılık dağılımını şöyle yazabiliriz.
 0  1   2   3   4 
4 
 
X
f ( X )    , X =0,1,2,3,4 , X= Tura sayısı
16
X 2
, X =1,2,3,4,5 için verilen
25
değişkeni için bir olasılık dağılımı gösteriyor mu?
Örnek : f ( X ) 
Çözüm:
değerlerini
fonksiyonda
yan
yana
3
4
5
6
7
, f (2)  , f (3) 
, f (4)  , f (5) 
bunların her biri için
f (1) 
25
25
25
25
25
X’in
farklı
f ( X ) fonksiyonu süreksiz X
koyarak
6
1. f ( X )  0 ve
2. f (1)  f (2)  f (3)  f (4)  f (5) 
3
4
5
6
7
    =1
25 25 25 25 25
5
Evet “ f ( x)  0 ve  f ( X )  1 ” teoremi sağlandığından dolayı olasılık dağılımı
X 1
gerçekleşir.
2.3. Olasılık Dağılımı Histogramı
Tanım: Bir rassal değişkenin alacağı değerlerin belli olasılıklarla şekil üzerinde
grafiksel gösterimine histogram denir.
Örnek : 4 defa arka arkaya atılan madeni bir paranın Tura gelme sayısının olasılık
histogramını çiziniz?
Çözüm: Tura gelme sayısı apsiste orta noktada olacak ve bulara karşılık gelen
olasılıklarda ordinat ekseninde olacak şekilde, 4 atışta Tura gelmesinin histogramı
aşağıda gösterildiği gibidir:
f (X )
6/6
4/6
1/6
0
X
1 2
3
4
7
4 defa tura gelmesinin bar grafiği şu şekilde çizilir.
f (X )
1
4/16
1/16
0
1
2
3
4
X
Buradan anlaşıldığı gibi, histogram bar grafiğinin bileşkesidir.
2.4. Kümülatif Olasılık Dağılım Fonksiyonu
Tanım:
Eğer
bir değişken ise ve F ( x) fonksiyonu
F ( X )  P( X  x)   f (t ),    X   şeklinde verilmiş ise ve f (t ) , X’ in t’ de
X
kesikli
rassal
tx
aldığı değerlere göre olasılığı olması kaydıyla, F(X) fonksiyonuna, X’ in kümülatif
dağılım fonksiyonu denir
Teorem 3: F ( X ) eğer aşağıdakileri sağlıyor ise kümülatif bir dağılım fonksiyonunu
tanımlar.
1. F ()  0 ve F ()  1
2. Eğer a<b, herhangi reel a ve b için F (a)  F (b) olur.
Örnek : Bir madeni paranın 4 defa atılması sonucu toplam tura gelmesinin kümülatif
olasılık dağılım fonksiyonunu bulunuz?
Çözüm: Bir para her defasında ya Y yada T gelir. T gelme olayı gerçekleşmezse X=0
değerini alır. Sonuçta X=0,1,2,3,4 değerlerini alır. Buna göre,
8
F (0)  f (0) 
1
16
 4  4
   
0
1
5
F (1)  f (0)  f (1)       
16
16 16
 4  4  4
     
0
1
2
11
F (2)  f (0)  f (1)  f (2)          
16
16
16 16
 4  4  4  4
    
0
1
2
3
15
F (3)  f (0)  f (1)  f (2)  f (3)          
16
16
F (4)  f (0)  f (1)  f (2)  f (3)  f (4)  1
Böylece kümülatif dağılım fonksiyonu aşağıdaki gibi verilir.
0, X  0(  X  0) 
1

 ,0  X 1

16

5

 ,1  X  2

16

F(X )  

 11 , 2  X  3

16

15

 ,3  X  4

16

1, X  4

Garfiksel olarak:
F(X)
1
15/16
11/16
5/16
1/16
X
1
2
3
4
9
Not edilmeli ki bu kümülatif olasılık dağılım fonksiyonu yalnız rassal değişkenin aldığı
değerler için değil, bütün gerçek değerler için tanımlanmıştır.
Hilesiz bir paranın 4 defa atımı sonucu en çok 1.8 tura gelme olasılığı gerçekten bir
anlam ifade etmememsine karşın F(1.8)=5/16 veya en çok 50 tura gelmesi bir anlam
ifade etmemesine rağmen F(50)=1 yazabiliriz.
Örnek : 5 beyaz 3 Gri çorap olan bir torbada, W arka arkaya 2 beyaz çorap çekme
sayısını tanımlasın. İki çekiliş sonucunda ikisinin de Beyaz olmasının kümülatif olasılık
dağılım fonksiyonu nedir?
Çözüm: W=0,1,2 sayılarında beyaz çorap olması olduğuna göre
3 2 3
5 3 3 5 15
5 4 5
f (0)  . 
, f (1)  .  . 
, f (2)  . 
8 7 28
8 7 8 7 28
8 7 14
3
F (0) : f (0) 
28
9
F (1) : f (0)  f (1) 
14
F (2) : f (0)  f (1)  f (2)  1
olduğudan
0, W  0

3

 , 0  W  1
 28

F (W )  

 9 ,1  W  2 
14

1, W  2



W rassal değişkeninin kümülatif olasılık fonksiyonunun grafiği (W,F(W)) ise
F(W)
1
9/14
3/28
0
Olası durum
BB
BG
GB
GG
1
2
f(w)
5/14
15/56
15/56
3/28
3
w
2
1
1
0
W
f(w)
5/8.4/7
5/8.3/7
3/8.5/7
3/8.2/7
W
0
1
2
f(W=w)
3/28
30/56
3/28
10
Teorem 4. Bir rassal X değişkenin aralığı x1  x2  x3  .....  xn değerlerinden
oluşuyorsa,
ile başlamak kaydıyla
için
f ( X1 )  F ( X1 )
i  2,3,...., n
f ( X i )  F ( X i )  F ( X i 1 ) dir.
Bu teorem, kümülatif dağılım fonksiyonundan olasılık dağılım fonksiyonunun elde
edilmesinde kullanılır.
Örnek : Eğer X’ in kümülatif dağılım fonksiyonu aşağıdaki gibi ise rassal değişkenin
olasılık dağılımını bulunuz?
f ( X i )  F ( X i )  F ( X i 1 ) X’in olasılık dağılımı
0, X  2
X ....... f ( X i )
1
1
1


 , 2  X  3 f (2)   0 

 2............ 1
36
36
 36


36
3
3
1
2


f (3) 


 ,3  X  4

 3............ 2
36 36 36
 36


36
6
6
2
1
3

 , 4  X  5 f (4)    
3

36 36 36 36  4............
 36
36


10 6
4
 10
,
5

X

6
f
(5)





4
 36
36 36 36

 5............

36

 15 , 6  X  7  f (6)  15  10  5


5
 36
36 36 36
6............


 21
36
21 15 6



F ( x)   , 7  X  8  f (7)   

6
36 36 36
 36

 7............
36
26 21 4
 26


,8

X

9
f
(8)



5
 36


36 36 36


 8............ 36
 30 , 9  X  10  f (9)  30  26  4

 36

 9............ 4
36 36 36



36
 33 ,10  X  11  f (10)  33  30  3

 36

 10.......... 3
36 36 36
36
 35


35 33 2
 ,11  X  12  f (11)   

2
36 36 36
 36

 11..........
36
1, X  12


35 1
f
(12)

1





1
36 36

 12..........

36

3. SÜREKLİ RASSAL DEĞİŞKENLERDE DAĞILIM
225.3, 45.5, 4.2 gibi değerler iki tamsayı arasında sonsuz değerler arasında yer alır. Bu
sayılar pozitif reel değerlerdir ancak 225,45 ,4 gibi değillerdir. Sürekli değişkenleri
11
tanımlar. Örneğin kazanın 1 cm boyunda olma olasılığı 0,0000005 gibi çok çok küçük
bir değerdir. Uzunluk değeri 0’a yaklaştıkça olasılık değeri de sıfıra yaklaşır.
Tanım: Küçük parçalara bölünebilir değerlerin oluşturduğu değişkene sürekli değişken
denir.
Bir aralık üzerinde oluşan olasılığa olasılık yoğunluğu denir. Çünkü bu aralıkta X’in
alacağı sürekli değerler söz konusudur.
Örneğin 200 km. boyunda bir yolda bir kaza olma olasılığı tartışılsın. Deney bu km
boyunca noktalardan oluşmaktadır yani 0 km ile 200 km arasında
200
 d 
1
P
  D ve P( S ) 
200
 200 
Varsayalım ki kaza 200 km. boyunca d1 ve d2 gibi farklı iki noktada oluşsun, dolayısıyla
d  d2
olasılığı 1
’dür. Diğer yandan 200’e kadar d1  d2  d3  .... gibi noktalarda
200
d  d  d3  ....
oluşması ise 1 2
olasılığına sahiptir.
200
3.1. Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu
Her bir rassal değişkeninin olasılığın süreklilik arz etmesi sonucu oluşan olasılığa
olasılık yoğunluk fonksiyonu denir.
Tanım: Reel sayılardan bir set üzerinde, f ( X ) değerleriyle oluşan bir fonksiyona
olasılık fonksiyonu denir.
b
P(a  X  b)   f ( X )dx ' dir , a  b , reel a ve b sabitleri için olasılık yoğunluk
a
fonksiyonudur.
Herhangi bir gerçek değerli c sabiti için P(x=c)=0. Bundan dolayı, ave b aralığında uç
noktaları katıp katmamak önemli değildir.
Bir sıvı madde litre, mililitre olarak ölçülebilir. Fraklı ölçümleri ondalık değerlerle
ölçecek olursak histogramı birinci grafikteki gibi (X sürekli değişkeninin aldığı ondalık
değerlerle yazılımı) gösterilir, militrelerle ölçümler yapıldığında, daha küçük ölçümlerin
olasılık yoğunluğunun grafiği ikinci şekildeki gibi çizilir.
12
15.9
16
16.1
olasılık yoğunluk fonksiyonu
15,9
16
16,1
Teorem 5: Eğer X sürekli rassal ve a ve b reel sabitler ise ve a  b ise
P(a  X  b)  P(a  X  b)  P(a  X  b)  P(a  X  b) ’dir.
Teorem 6: Tarama X değişkenini olasılık yoğunluk fonksiyonu
değerleri
1. f ( X )  0,   X  
olması için f(x)

2.  f ( X )dx  1

şartını sağlamalıdır.
k .e3 X , X  0
Örnek : f ( X )  
0, diğerleri
ise k ve P(0.5  X  1)  ?
Çözüm:




f ( X )dx   k .e 3 X dx  k .lim
x 
0
1
P(0.5  X  1) 
 3e
3 X
e3 X t k
  1  k  3 olmalıdır.
3 0 3
dx  e3 X
1
0.5
 e 3  e 1.5  0.173
0.5
3.2. Kümülatif Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu
Tanım: Eğer X sürekli rassal değişken ise ve onun t’ de aldığı olasılık yoğunluk
n
fonksiyonu f (t ) ise, F ( X )  P( X  x) 

f (t )dt ,   X   fonksiyonuna X sürekli

değişkeninin kümülatif olasılık yoğunluk fonksiyonu denir.
Kümülatif Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu şu özelliklere sahiptir:
i ) F ()  0,
ii ) F ()  1,
iii ) F (a)  F (b), a  b
13
Teorem 7. f ( x) ile F ( x) sırasıyla X’in olasılık yoğunluk ve X’ in x ’te kümülatif
olasılık yoğunluk fonksiyonu ise a ile b herhangi iki sabit ve a  b için
P(a  X  b)  F (b)  F (a) ve
dF ( X )
dir.
f (X ) 
dX
k .e3 x , x  0
Örnek : f ( x)  
in k=3 için kümülatif yoğunluk fonksiyonu nedir?
0
Çözüm: X>0 için
X
F(X ) 


X
f (t )dt   3e dt  e
3t
0
3t
X
 1  e 3 X olur ve
o
X  0 için F(X)=0 olduğuna göre X>0 için
0, X  0

F(X )  

3 X
1  e , X  0
dir ve
P(0.5  X  1)  F (1)  F (0.5)  (1  e3 )  (1  e1.5 )  0.173
0, X  0

Örnek : Eğer F ( X )   X , 0  X  1
1, X  1

ise
a)Olasılık yoğunluğunun grafiğini çizininiz?
b) Kümülatif olasılık yoğunluğunun grafiğini çiziniz?
c) Karma bir rassal değişkenin kümülatif olasılık dağılım fonksiyonunun grafiğini
çiziniz?
Çözüm:
a) Bu F(x) fonksiyonunun X=0 ve X= 1 dışında türevleri alınabilir.
Dolayısıyla, X<0, 0<X<1 ve X>1 için türevleri alınırsa f(X<0)=0,f(0<X<1)=1,
f(X>1)=0 elde edilir. Bu durumda
0, X  0

f ( X )  1, 0  X  1
0, X  1

elde edilir. X=0 ve X=1 için yoğunluk fonksiyonunun bu iki noktada nasıl tanımlandığı
önemli olmadığından olasılık yoğunluğunun açık bir aralıkta sıfır olmayacağı şekilde
verilmesi tercih edilir. Bu durumda
ise
1, 0  X  1
f (X )  
değilse
0,
14
Şeklinde olasılık yoğunluk fonksiyonu tanımlanır ve grafiği
f(X)
1
0
biçiminde çizilir.
1
X
b) Kümülatif olasılık yoğunluğunu grafiği
F(X)
1....
..
..
1
X
c) Dağılım fonksiyonu ve karma rassal değişken P(X=0.5)=3/4-1/4=1/2, Belirli bir
x=0,5’de f ( X ) kesintiye uğrar, sonra önceki gibi (0<X<0.5) süreklilik arz eder. Burada
kesitli ve sürekli rassal değişken durumunun ortaya çıkardığı karma değişkeni kümülatif
olasılık fonksiyonu grafiği vardır. Karma bir rassal değişkenin kümülatif olasılık
dağılım fonksiyonunu grafiği:
F(X)
1
3/4
1/2
¼
.. bir noktadaki kapalılığın derinliği bize o rassal
.. değişkenin bu noktada alacağı değerin olasılığını verir.
0.5
1
X
Örnek : Olasılık yoğunluk fonksiyonu
1
3
 X  ,1  X  3 için
f ( X )  16
8

diğer
durumlarda
0
Olarak tanımlansın. Buna göre
a) X=1,2,3 için olasılıkları nedir?
b) X’in kümülatif olasılık yoğunluk fonksiyonunu nedir?
15
c) 1<X<3 aralığında X=2 için F(2) ve F(2.5) nedir?
3 2 1
7
d) F ( X ) 
olarak verilse idi olasılık yoğunluk fonksiyonu nedir?
X  X
32
8
32
3 2 1
7
e) F ( X ) 
X  X  ise f(2<X<2.5) nedir?
32
8
32
Çözüm:
a.
3
1 5
f (1)  1  
16 8 16
3
1 8
f (2)  2  
16
8 16
3
1 11
f (3)  3  
16
8 16
b.
x

F(X ) 
f (t )dt

X
3 1
3 2 1 
0.
dt

(
t

)
dt

t

t

1 16 8
 32
8  1

1
F(X ) 
x
1   3 1
3
F(X )   X 2  X     
8   32 8 
 32
3 2 1
7
F(X ) 
X  X
32
8
32
Ve kümülatif olasılık yoğunluk fonksiyonu
0, X  1
3
1
7

F ( X )   X 2  X  ,1  X  3
8
32
 32
0, X  3
3 2 1
7
X  X  ,1  X  3 oludğundan
32
8
32
3
1
7 13
F (2)  (2) 2  (2) 

32
8
32 32
F(2)=
3
1
7
F (2.5)  (2.5) 2  (2.5) 
 0.6796875
32
8
32
3
1
7
( X 2  X  )
F ( X )
8
32  6 X  1
d. f ( X ) 
 32
X
X
32
8
e.
c) F(X)=
16
f (2  X  2.5)  F (2.5)  F (2)  (
f (2  X  2.5)  0.6796875 
3
1
7
3
1
7
(2.5) 2  (2.5)  )  ( (2) 2  (2)  )
32
8
32
32
8
32
13
 0.2734375
32
4.ÇEBİŞEV TEOREMİ
Standart sapma ya da varyansın bir rassal değişkenin yaygınlığının nasıl bir göstergesi
olduğunu açıklar.
Teorem 8:  ile  , X rassal değişkeninin ortalaması ve standart sapması ise, herhangi
bir artı değerli k sabiti için, X’in, ortalamanın iki yanında k standart sapma aralığında
bir değer alabilme olasılığı en az
1-1/k2 kadardır. Simgelerle şöyle gösterilir:
P( X   <k  )  1-1/k2 veya P( X    k  )  1/k2
  k

  k
17
Kanıt:
 2=E[(X-  )2]=



(x-  )2 f(x) dx
Daha sonra integrali çizimdeki gibi üç parçaya ayırabiliriz:
 2= 
 k

(x-  )2f(x) dx + 
  k
 k
(x-  )2f(x) dx +


 k
(x-  )2f(x) dx
İntegrali alınacak terim (x-  )2 f(x) eksi değer alamayacağından ikinci integrali ortadan
kaldırıp şu eşitsizliği yazabiliriz:
 2

 k

(x-  )2 f(x) dx + 

  k
(x-  )2 f(x) dx
Bu durumda, x   -k  ya da x   + k  için (x-  )2  k2  2 olduğuna göre,
 2

 k

k2 
2
f(x) dx + 

  k
k2 
2
f(x) dx
dolayısıyla da,  2  0 olmak koşuluyla
1/k2 

 k

f(x) dx + 

  k
f(x) dx
elde edilir. Sağ taraftaki iki integralin toplamı, X’in  - k  ’dan küçük ya da
 +k  ’dan büyük değerler alma olasılığı olduğundan
P( X    k  )  1/k2 yazılabilir, buradan da şu sonuca varılabilir:
P( X   <k  )  1-1/k2 olur.
Örneğin, X rassal değişkeninin ortalamanın iki yanında iki standart sapma aralığında bir
değer alma olasılığı en az 1-1/22=3/4; üç standart sapma aralığında bir değer alma
olasılığı 1-1/32=8/9; beş standart sapma aralığında bir değer alma olasılığı 1-1/52=24/25
olur.
18
Çebişev teoreiminin verdiği olasılığı bir alt sınırdır. Ortalamın k standar sapma
aralığında bir değer alma olasılığının 1-1/k2 den büyük olup olmadığını bilemeyiz ama
Çebişev teoremi bize bu olasılığın kesinlikle1-1/k2 den küçük olamayacağını söyle. Bir
rassal değişkenin dağılımı bilinirse ancak o zaman olasılık hesaplanabilir.
Örnek :X rassal değişkeninin olasılık yoğunluğu
630 x 4 (1  x)4 , 0  x  1 ise
f(x)= f ( x)  
0 değilse
biçimindeyken, bu değişkenin ortalamanın iki yanında iki standart sapma aralığında bir
değer alma olasılığı bulun, bu olasılığı Çebişev teoreminin verdiği alt sınırlarla
karşılaştırınız?
Çözüm. Doğrudan integral alarak  =1/2,  2=1/44 bulunur, böylece  = 1/144 ya da
yaklaşık olarak 0,15 elde edilir. Bu durumda X’in ortalamanın iki yanında iki standart
sapma aralığında 0,20 ile 0,80 arasında bir değer alma olasılığı,
P(0,20<X<0,80)= 
0,80
0,20
630x4 (1-x)4 dx=0,96 sonucu bulunur. “Bu olasılık 0,96 dır”
demek, Çebişev teoremine göre bu olasılık en az 0,75 demekten çok daha güçlüdür.
Tschebycheff Tekniği, herhangi bir bölünmeye ilişkin teorik model belli olduğunda, bu
bölünmenin X rassal değişkeninin istenilen bir sayıdan büyük veya küçük olması
olasılığının hesabında kullanılır.
Uygun bir teorik model belli olmadığında, teorik modelin parametrelerinden
yararlanmadan uygulanabilecek tekniklere gerek duyulur. Tschebycheff tekniği, bu
amaçla kullanılan parametrik olmayan tekniklerden birisidir.
Bir rassal değişkenin, bölünmenin ortalamasına ne derece yakın değerler alabileceğini
tahmin etmede kullanılan “Tschebycheff (Çebişef) eşitsizliği” şu şekilde de ifade
edilebilir:
 X  a
1
P
 2
z
b  X 
veya
19
P( X    k )  p( X    k
1

k2
  k


f ( x)dx 


 
ve
X    k ) 
1
k2
f ( x)dx,  2  0.
k
Bu eşitsizlik yardımıyla ve │z│>1 olmak şartıyla, bir rassal değişkenin ortalama
etrafında simetrik bir aralığın dışında bulunması olasılığı belirlenir.
Çebişef eşitsizliğinin aşağıdaki şekilde gösterilir;
P ( a  X  b)  1 
1
z2
veya
P( X    k )  p(  k  X    k )  1 
1
k2
ise bir rassal değişkenin k kadar veya ±z kadar simetrik aralık içinde bulunma
olasılığını verir. Eşitsizlikte yer alan Z
Z 
X 

biçiminde hesaplanan standart değişkendir.
Aralık simetrik olmadığında Çebişef eşitsizliği
 X  a
4  ( za  zb ) 2
P

( za  zb ) 2
b  X 
olarak gösterilir.
4  ( za  zb ) 2
P ( a  X  b)  1 
( za  zb ) 2
Örnek(Serper): Uçakla seyahat eden bir grup lise öğrencisinin ağırlıklarının
ortalamasının 62 ve standart sapmasının 8 kg olduğu bilinmektedir. Bu öğrencilerden
herhangi birinin ağırlığının en fazla 48 veya en az 76 kg olması olasılığını hesaplayınız?
20
Çözüm: Burada μ=62 ve σ=8 olup, Z standart değişkeni şu şekilde hesaplanır:
z
48  62
 1.75
8
veya
z
76  62
 1.75
8
Bu duruma göre aralık simetriktir,
z2 = (±1,75)2 = 3,0625
dir. (z2) nin değerini eşitsizlikte yerine koyarsak,
 X  48 
1
P

 0.3265

76

X
3.0625


olur. Böylece aranılan olasılığın en fazla %32,65 olduğu anlaşılır.
Örnek : Bir X değişkeninin
a) iki standart sapma arasında bulunma
b) iki standart sapma dışında bulunma olasılıklarını bulunuz?
Çözüm:
P( X    k )  p(  2  X    2 )  1 
a)
P( X    k )  p( X    2
b)
1
 0.75
22
ve X    2 ) 
1
 0.25.
22
21
Örnek (Serper): Uçakla seyahat edenlerin ortalaması 62 kg, standart sapması 8 kg.
olduğu bilinmektedir. Seyahat eden öğrencilerden herhangi birinin ağırlığının
a) en fazla 54 veya en az 78 kg. olması
b) 54-74 kğ arasında
c) 48-76 kğ arasında olma olasılıklarını hesaplayınız?
Çözüm 1:
za 
a.
54  62
 1
8
78  62
 2
8
zb 
za  zb  (1)(2)  1
za  zb  (1)  (2)  3
 X  54  4  (1) 2
P
 0.5556

2
78

X
(

3)


b. P(54<X<78)  1-0.5556=0.4444.
c.
48  62
 1.75
8
z 
veya
z 
76  62
 1.75
8
Bu duruma göre,
z2 = (±1,75)2 = 3,0625
22
 X  48 
1
P
 0.6735
 1
2
76

X
(3.0625)


P(48<X<76)≥1=
Çözüm 2:
Burada k’nın değerini
X    2
ve X    2
yaralanarak bulmak gerekir. k
değeri öyle olmalı ki
  k  X
  k  X
1
2
62  k 8  54
Yani k 62  k 8  78
k’nın değeri için I. Denklem (-1) ile çarpılır ve ikinci denklemle toplanıp k değeri
bulunur.
62  k 8  54 

  16k  54  k  1.5
62

k
8

78


Buradan
P( X    1.5 )  p( X    1.5
ve X    1.5 ) 
a)
P( X    k )  p(   1.5  X    1.5 )  1 
b)
1
 0.4444.
k2
1
 0.5556
1.52
P(54<X<78)  1-0.4444=0.5556.
c) P(48<X<76) için burada
62  k 8  48
62  k 8  76
23
62  k 8  48

  16k  28  k  1.75
62

k
8

76


P( X    k )  p(62  1.75  X  62  1.75 )  1 
p(48  X  76)  1 
1
1.752
1
 0.6735
3.0625
Örnek : Ortalaması sıfır ve varyansı 1 olan bir X değişkeninin
p(-3<X<3)=?
Çözüm:
 0  k1  3 

k 3
0

k
1


3


P( X    k )  p(0  3  X  0  3 )  p(3  X  3)  1 
1 8

32 9
Kaynakça
Freund, J. E. and Williams, F. J. (1966), Dictionary/Outline of Basic Statistics, Dower
Publications, Inc, New York.
Serper, Ö. (2004), Uygulamalı İstatistik I, Ezgi Kitabevi, Bursa.
24