Slayt 1

OLASILIK
•Olasılık belirli bir olayın olabilirliğinin sayısal ölçüsüdür.
Olasılık bir diğer ifadeyle bir olayın meydana gelme
şansının sayısal ifadesidir.
• 17 yy.’da şans oyunlarıyla birlikte kullanılmaya başlanan
olasılık, uygulamalı matematiğin bir dalı olarak gelişim
göstermiş ve istatistiksel yorumlamada önemli uygulama alanı
bulmuştur.
n sonlu bir sayı olmak üzere n adet elemandan oluşan bir
örnek grubu içinde belirli bir A özelliğe sahip olan eleman
sayısı  ise eşit şanslı ve tamamıyla tesadüfi seçilmek şartı ile
bir elemanın A özelliğini taşıması (A olayının ortaya çıkma
olasılığı P(A))
P(A) =

n
şeklinde ifade edilir.
1
Olasılığın iki temel özelliği;
1.Bir olayın olasılığı daima 0 ile 1 arasında değerler
alır (
).
İmkansız olayın olasılığı “0”,
kesin olayın olasılığı “1” dir.
2. Örneklem uzayındaki
olasılıkları toplamı 1’dir.
örneklem
noktalarının
 P(E)  1
2
Bir deneyin tüm olası sonuçlarının oluşturduğu kümeye örneklem uzayı denir
ve S harfi ile gösterilir. Bu örnek uzaydaki her bir elemana örneklem noktası
denir. Örneklem uzayın, her bir alt kümesine de olay denir.
Para atma deneyi için; Örneklem uzayı: S = { Yazı , Tura }
Yazı ve Tura örneklem noktalarıdır.
Zar atma deneyi için;
S={1,2,3,4,5,6}
Belirsizliğin bir ölçüsü olarak düşünülen olasılıkta kesinlikten çok
tesadüfilik (rassallık) söz konusudur.
Birden fazla basit olayın bir araya getirilmesi suretiyle «bileşik olay»
meydana gelir. Bunun için birleşim, kesişim ve tamamlayıcı kümelerden
faydalanılır.
Örneğin; verilen 100 ampulden sağlamların ayrılması istenirse, her deneyin
sağlam veya bozuk olma gibi iki sonucu yani basit olayı vardır. Bunlara A
ve B denilirse, örneklem uzayı şöyle tanımlanabilir; S = {A, B}, gözlem
sayısı 100’dür.
Örneklem uzay «sınırlı» veya «sınırsız» olabildiği gibi «sürekli» veya
«süreksiz» de olabilir. Sınırlı veya sınırsız olmakla birlikte sayılabilir sayıda
olay içeren örneklem uzay süreksizdir. Örneklem uzaydaki olaylar
3
sayılamayacak kadar olursa, sürekli örneklem uzayı olarak adlandırılır.
Örnek: Bir kapta 5 sarı, 5 lacivert ve 5 adet
yeşil bilye bulunmaktadır. Çekilen bir bilyenin
sarı olma olasılığı nedir?
A: Çekilen bir bilyenin sarı olması
n(S): Örnek uzayı eleman sayısı = 15
n(A): Örnek uzayındaki A elemanı sayısı = 5
n( A) 5 1
P( A) 
 
n( S ) 15 3
4
Rassal Deney
Belirsizliğin bir ölçüsü olarak düşünülen olasılıkta kesinlikten çok rassallık
(tesadüfilik) söz konusudur.
Rassal deney şartları:
•Bir deneyin bütün olası sonuçlarını biliyorsak,
•Deney uygulandığında onun hangi sonuçla sonuçlanacağını bilmiyorsak,
•Deney aynı koşullar altında tekrarlanabiliyorsa bu bir rassal deneydir.
İstatistikte bir rassal deneyin sonuçlarını gerçek sayılarla ilişkilendiren
fonksiyona «rassal değişken» adı verilir. Rassal değişkenler sürekli veya
kesikli olabilirler.
Eğer iki rassal değişken değeri arasına sonsuz sayıda değişken
yerleştirilebiliyorsa bu rassal değişken sürekli, aksi taktirde kesiklidir.
5
Toplam ve Çarpım Olasılıkları
Toplam kanunu: A veya B aynı anda olamayan iki
bağımsız olay ise A veya B nin meydana gelme
olasılığı
P( A  B)  P( A)  P( B)  P( A  B)
Çarpım kanunu: A ve B gibi iki bağımsız olayın aynı
anda meydana gelme olasılığı
P( A  B)  P( A).P( B)
6
Objektif Olasılık
Tekrarlanabilen rastgele bir deneye bağlıdır.
Örnek: Rus ruletinin döndürülmesi, zar atılması gibi.
Subjektif Olasılık
Kişisel inançlara ve deneyimlere dayanmaktadır.
(Tekrar edilemeyen bir deneye bağlıdır).
Örnek: Geçmiş meteoroloji verilerine dayanarak yarın
yağmur yağma ihtimalinin tahmini subjektif olasılık
değerlerini sunan bir deneydir.
7
Marjinal Olasılık
Başka bir olayı göz önüne almaksızın hesaplanan, tek bir olayın hesabıdır.
Marjinal olaya ayrıca «basit olasılık» da denir.
8
9
10
11
Örnek :
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
Büyük bir firmaya iş başvurusu yapan 20 kişi ile ilgili bilgiler:
Devlet
üniversitesi
mezunu
Özel üniversite
mezunu
Toplam
Erkek
10
2
12
Kız
5
3
8
Toplam
15
5
20
Seçilen kişinin erkek olma olasılığı
Seçilen kişinin kız olma olasılığı
Seçilen kişinin devlet üniversitesi mezunu olma olasılığı
Seçilen kişinin özel üniversite mezunu olma olasılığı
Seçilen kişinin erkek ve devlet üniversite mezunu olma olasılığı
Seçilen kişinin erkek ve özel üniversite mezunu olma olasılığı
Seçilen kişinin kız ve devlet üniversite mezunu olma olasılığı
Seçilen kişinin kız ve özel üniversite mezunu olma olasılığı
Bileşik ve marjinal olasılıkları bir tabloda gösteriniz.
12
12
 0,6
20
a)-
P( E ) 
c)-
15
P( E ) 
 0,75
20
b)-
8
P( E ) 
 0,4
20
d)-
5
P( E ) 
 0,25
20
e)-
10
P( E ) 
 0,5
20
f)-
2
P( E ) 
 0,1
20
g)-
5
P( E ) 
 0,25
20
h)-
3
P( E ) 
 0,15
20
13
i)-
Devlet
üniversitesi
mezunu
Özel
üniversite
mezunu
Marjinal olasılık
Erkek
0,5
0,1
0,6
Kız
0,25
0,15
0,4
Marjinal
olasılık
0,75
0,25
1
14
Koşullu (Şartlı) Olasılık
Diğer bir olayın gerçekleştiğini bildiğimizde bir olayın gerçekleşme
olasılığına koşullu olasılık denir. E, S örnek uzayda bir olaydır.
P( A  E )
E’den sonra A’nın olma olasılığı P( A / E ) 
şeklinde ifade edilebilir.
P( E )
P(A)0 , P(B)0  A ve B örneklem uzayında iki olay ve olasılıkları 0’dan
farklı ise bunlarla ilgili koşullu olasılığı P( B / A)  P( A  B) , P( A / B)  P( A  B)
P( A)
P( B)
şeklinde yazılır.
15
Örnek:
filmlerin
16
Eğer bir deneyde A ve B olayları birbirlerini engellemeyen türden olaylar ise
A veya B olaylarının ortaya çıkış olasılığı:
P(A veya B)= P(A) + P(B) - P(AB)
Örnek:
Örnek:
17
Örnek Uzayı ve Olay Sayısının
Büyük Olduğu Durumlar
Örnek uzayı ve olay sayısının büyük olduğu
durumlarda kullanılan sayma yöntemleri;
– Permütasyon
– Kombinasyon
18
Permütasyon
Eğer bir kümenin elemanlarının bir kısmı veya hepsi belli
bir düzen içerisinde sıralanıyorsa buna permütasyon
denir. Yani n elemanlı bir kümeden r eleman çekilerek
sıra
önemli
olmak
kaydıyla
sıralanırsa
buna
permütasyon adı verilir.
Permütasyon bir olaylar topluluğunun belirli bir sıraya
göre dizilmiş şeklidir.
n farklı eleman içeren bir gruptan seçilme sırasını da
dikkate alarak seçilen r adet elemandan oluşan grup
sayısını aşağıdaki formülle buluruz:
P(n,r) =
n!
n  r !
19
Permütasyon birçok probleme uygulanabilmekle birlikte,
uygulamada dikkat edilmesi gereken bazı durumlar vardır.
Eğer bir problemde şu üç şart gerçekleşiyorsa permütasyon
uygulamak mümkündür:
1- Kümedeki bütün elemanlar birbirinden farklı olmalıdır,
2- Herhangi bir eleman için hiçbir kısıtlama olmamalıdır,
3- Hiçbir eleman bir defadan fazla kullanılmamalıdır.
• Kullanıldığı durumlar
– İadesiz örnekleme
– Örneğe çıkış sırası önemli
20
Örnek: 20 kişinin katıldığı bir yarışmada ilk üç dereceye
girenler farklı şekillerde ödüllendirileceklerdir. Yarışma kaç
değişik şekilde sonuçlanabilir?
Çözüm: Örnekte sıra önemli olduğuna göre permütasyon
uygulanması gerekir.
20!
20! 20  19  18  17!


 20  19  18  6840
20 P3 
(20  3)! 17!
17!
21
Tekrarlı Permütasyon: Bir küme içindeki elemanlardan bazıları tekrarlanıyorsa
permütasyonu direk olarak hesaplamak yanlış olur. “İSTATİSTİK” kelimesinin
permütasyonunu bulmak için toplam permütasyon sayısını tekrar edilen (İ, T ve S)
harflerin permütasyonuna bölmek gerekir. İ = 3, T = 3, S = 2 defa tekrar edilmiş
7!
n = 7 olduğuna göre
bulunur.
3! 3! 2!
 72
22
Kombinasyon
• n adet nesne arasından seçilen x tanesinin
kombinasyon sayısı n C x ile gösterilir. Sıralama
önemli olmaksızın tüm durumların sayısı olarak
ifade edilir. Bu sayı şu şekilde hesaplanır:
n
n!
C 
n  x ! x!
x
Kullanıldığı durumlar;
– İadesiz örnekleme
– Örneğe çıkış sırası önemsiz
23
Kombinasyon, n elemanı olan bir kümeden her biri r eleman içeren
birbirinden farklı alt kümelerin kaç farklı şekilde seçilebileceğini
gösteren sayıdır ve bu sayı;
n
n!


nCr =   = C(n,r)=
(n  r )!r!
r
formülü ile hesaplanır.
Bu kombinasyon sayısına aynı zamanda binom katsayısı adı da
verilmektedir.
24
25
Örnek: 50 transistörden 40’ı sağlam 10’u bozuktur. Bunlar içinden
3’ü sağlam 2’si bozuk toplam 5 transistör kaç değişik şekilde
seçilebilir?
Çözüm:
 40 
  x
3
10 
40!
10!
40.39.38.37! 10.9.8!
  
x

x
 444600
37! 3!
8! 2!
 2  (40  3)! 3! (10  2)! 2!
26
Örnek: 1,2,3,4 rakamlarını kullanarak yapılacak 3’lü permütasyon ve
kombinasyonları hesaplayınız?
P(n,r) =
n!
=
n  r !
4!
 24
4  3!
n!
=
C(n,r) =
n  r !.r!
4!
4
4  3!.3!
27
Örnek: Bir ilaç üç fabrika tarafından üretilmektedir.
1. Fabrikanın üretimi 2. ve 3. fabrikaların üretiminin 2 katıdır.
Ayrıca 1. ve 2. fabrikalar % 2, 3. fabrika % 4 oranında bozuk
ilaç üretmektedir. Üretilen tüm ilaçlar aynı depoda
saklandığına göre bu depodan rast gele seçilen bir ilacın
bozuk olma olasılığı nedir.
A = Seçilen ilacın bozuk olma olasılığı
P(A)=?
Bi= Seçilen ilacın i nci fabrikada üretilmesi
P(B1) = P(B2) + P(B3)
P(B1) + P(B2) + P(B3) = 1 olduğundan;
P(B1) = 0,50
P(B2) = P(B3) = 0,25 olarak elde edilir.
P( A)  P( A / B1 ) P( B1 )  P( A / B2 ) P( B2 )  P( A / B3 ) P( B3 )
P(A)=(0.02)(0.5)+(0.02)(0.25)+(0.04)(0.25)=0,025
Depodan seçilen 1000 ürünün 25 tanesinin hatalıdır.
28
OLASILIK DAĞILIMLARI
Olayın veya değişkenin taşıdığı şartlara bağlı olarak olasılık hesaplanması
için teorik olasılık dağılımları veya kısaca olasılık dağılımları olarak
adlandırılan matematiksel kalıplar kullanılabilmektedir.
Teorik dağılımlar rassal değişkenlerin olasılık dağılımlarıdır ve bu
dağılımlar öncelikle kesikli ve sürekli rassal değişkenlere göre iki ana
grupta incelenebilir. Kesikli rassal değişkenlerin teorik dağılımlarına örnek
olarak, Poisson, Hipergeometrik ve binom dağılımları; sürekli rassal
değişkenlere örnek olarak normal dağılım verilebilir.
29
Hipergeometrik Dağılım
Bu dağılım bir örnek grubunda iadesiz olarak seçim yapılması
halinde uygulanır. Seçimler birbirinden bağımsız değildir.
Seçim iadesiz yapıldığı için her elemanın seçilme olasılığı
kendinden önce seçilenlerin cinsine bağlıdır.
N adet bir yığında a adet parça sağlam, b adet bozuk parça
bulunsun. N adet bir yığından alınan n adet örnek grubu içinde
k adet sağlam parça bulunma olasılığı hipergeometrik
dağılımla hesaplanabilir.
C(a, k ).C(b, n  k )
P(k )  h (k, n, b, a ) 
C( N, n )
30
31
Örnek: Bir torbada 6 kırmızı 4 beyaz bilye vardır. Torbadan iadesiz olarak 2
bilye çekiliyor.
a) Çekilen bilyelerin 2 kırmızı
b) Çekilen bilyelerin 2 beyaz
c) Çekilen bilyelerin 1 kırmızı, 1 beyaz olma olasılıklarını hesaplayınız.
(a=6, b=4, N=10, n=2)
a)- P(2kırmızı) 
C (6,2).C (4,0)
 0,33
C (10,2)
C (4,2).C (6,0)
 0,133
b)- P(2beyaz ) 
C (10,2)
c)-
C(6,1).C(4,1)
P(1kırmızı,1beyaz) 
 0,533
C(10,2)
32
Örnek 1: İçinde 10 sağlam ve 4 arızalı mal bulunan bir topluluktan 5
mal alınmıştır. Bunlardan üçünün sağlam çıkma olasılığı nedir? (0,35)
Örnek 2: 4 sınıfta 30 erkek 20 kız öğrenci vardır. Bunların arasından 9
kişilik bir komisyon oluşturulacaktır.
a) Komisyonda 2 kız olma olasılığı (0,154)
b) En az bir kız olma olasılığı nedir? (0,99)
33
Örnek : İş için başvuran her 10 adaydan 6’sının üniversite mezunu olduğu
bilinmektedir. Rassal olarak seçilen 4 aday arasından
a. Üçünün
b. En çok üçünün üniversite mezunu olma olasılığını bulunuz.
a.
b.
P(X ≤ 3) = 1- 0,071= 0,92
34
35
denemeden
36
37
Binom dağılımı ihtimal dağılımları içinde en yaygın olarak kullanılan
süreksiz olasılık dağılımlardan biridir. Deneylerin tekrarlandığı durumlarda
ve bir örnek grubundan iadeli olarak seçim yapılması halinde uygulanır.
Örneğin (n) adetlik bir grup içinden bozuk bir parça seçme olasılığı  ,



Sağlam çekme olasılığı da 1   olsun. Herhangi bir sıraya göre x adet
bozuk parça seçme olasılığı binom dağılımını temsil eden
b(n, x, )  C (n, x). x (1   ) n  x
formülü kullanılır.
p: elverişli hal (başarı olasılığı)
q: elverişsiz hal (başarısızlık olasılığı)
n: mümkün hal sayısı
n – x: elverişsiz hal sayısı
p=1-q
yada
n
f ( x )  ( ).p x .q n  x
x
x: 0,1,2......n
x: elverişli hal sayısı
38
Binom dağılımının uygulanması bazı şartlara bağlıdır:
1. Olayda bir tek karakterin olumlu ve olumsuz durumu söz konusu olmalıdır.
Örneğin, bir mamül hatalıdır veya hatasızdır gibi.
2. Olayda deneme n defa, sonlu sayıda tekrarlanmalıdır.
3. Denemeler (tekrarlar) birbirinden bağımsız olmalıdır (iadeli seçim gibi).
4. Denemelerden sonra olasılık (p) ve ters olasılık (q) değişmemelidir.
5. Binom dağılımında olasılık genellikle 0.05 veya daha büyük olacaktır.
P  0.05
Bernoulli dağılımı bir rassal deney yapıldığında yalnızca iyi, kötü, olumluolumsuz, başarılı-başarısız gibi sadece iki sonuç elde edildiğinde kullanılır.
Eğer deney bir defa değil, n defa peş peşe birbirinden bağımsız olmak
üzere tekrarlandığında yine olumlu veya başarılı sonuçla ilgileniyorsa,
Bernoulli dağılımının özel bir genel hali ortaya çıkar ve bu dağılıma Binom
dağılımı denir ve kullanım alanı oldukça geniştir.
39
Örnek : Bir basketbol oyuncusunun, topu basket yapmasının ortalaması 0,25’tir.
Her atışın bir diğerinden bağımsız olduğu varsayımı altında, yapılan bir maçta
bu oyuncu dört defa atış yaparsa,
a. Bir tanesinde başarılı olma
b. En az bir tanesinde başarılı olma olasılıklarını bulunuz.
Çözüm : X, topun potaya girme olayını göstersin. P = ¼ ve n = 4 olduğuna göre
a.
b.
40
Örnek : Yazı gelmesi olasılığı 0.48 olan para 6 kere atılıyor.
a. 4 yazı gelmesi
b. 1 tura gelmesi
c. Yazı gelmemesi olasılıklarını hesaplayınız.
a)
n=6
p = 0.48
q = 1-p = 1 – 0.48 = 0.52
p(x = 4) = c(6 , 4) (0.48)4 (0.52)6-4
6!
p(x  4) 
x0.48 4 x(0.52) 2  0.2153
4!(6 - 4)!
41
b) 2 farklı hesaplama yapılabilir.
1 tura gelmesi için 5 yazı gelmelidir.
p(x = 5) = c(6 , 5) (0.48)5 (0.52)1 = 0.0794
yada
p(x = 1) = c(6 , 1) (0.52)1 (0.48)5 =0.0794
c) p(x = 0) = c(6 , 0) (0.48)0 (0.52)6 = 0.0197
42
Örnek: Bir üretim prosesi sonucunda yapılan kontrollerde ürünlerin
%5’inin hatalı olduğunu kabul ettiğimizde bu partiden alınan 10 birimlik
tesadüfi örnekte,
a)
b)
c)
d)
Hiç hatalı ürün olmaması
Bir hatalı ürün olması
İki hatalı ürün olması
En fazla iki hatalı ürün olma olasılığını hesaplayınız.
(n=10, p=0.05, q=0.95)
C(10,0).(0,05)0.(0,95)10-0=
10!
.1.(0,95)10  0,5987
0!.10!
a)
f(0) =
b)
f(1) = C(10,1).(0,05)1.(0,95)10-1 = 0,3151
c)
f(2) = C(10,2).(0,05)2.(0,95)10-2 = 0,0746
d)
P(x≤2)=f(0) + f(1) + f(2) = 0,9885
43
Örnek : Bir işletmenin ürettiği ampullerden %6’sının kusurlu olduğu
bilinmektedir. Buna göre rassal olarak seçilen 5 ampulden
a) 2 tanesinin kusurlu
b) Tamamının kusursuz
c) En az iki tanesinin kusurlu olması olasılıklarını hesaplayınız.
(n=5, p=0.06, q=0.94)
a)
P(2) = C(5,2).(0,06)2.(0,94)5-2 = 0,029901
b)
P(0) = C(5,0).(0,06)0.(0,94)5 = 0,733904
c)
P(x≥2) = P(2) + P(3) + P(4) + P(5)
P(x≥2) = 0,029901 + 0,001909 + 0,000061 + 0,000001 = 0,031872
44
Poission Dağılımı
En çok kullanılan dağılımlardan birisidir. Küçük olasılıklar dağılımı da denir.
Belli ve çok dar bir zaman aralığında az rastlanan olaylar bu tür dağılım
gösterirler. Çok fazla incelenecek numune varsa uygulanır. Poission
dağılımı binom dağılımının özel bir halidir. b(x,n,) ifadesinde →0 veya
n→∞ olması durumunda poission dağılımı ifadesi kullanılır.
P( x,  ) 

x
x!
e

n. p  
n.  
45
Örnek: Bir atölyede imal edilen civataların %3’ü kusurlu çıkmaktadır.
Civatalar 10.000’lik partiler halinde teslim edilmekte ve alıcı firma her bir
partiden tesadüfi olarak seçtiği 100 civatayı kontrol ederek parti hakkında
karar vermektedir. 3 kusurlu civata bulunma olasılığını hesaplayınız.
λ = n . P = 100 . 0,03 = 3
p = 0,03
n = 100
P ( x,  ) 
x
x!
e
3
3  3 27 1
P(3) 
e 
x
 0.2240
3!
6 e3
Hiç kusur bulunmama olasılığı;
30 3
P(0)  e  0.04979
0!
46
Örnek: Bir imalat prosesinde hatalı miktarı %0,01 ve çekilen
örnek hacmi n=100 ise bu numune hacminde 0 hata olması
durumunda partinin kabul edilme olasılığı nedir?
P( x,  ) 
x
x!
e
n. p  
n.  
0,01
n.p    100.
 0,01  
100
(0,01) 0 0, 01
P(0) 
e
 0,99
0!
47
Örnek: Bir milimetre sıvıdaki bakteri sayısının ortalama olarak 4 olduğu
bilinmektedir. Bakterilerin sayısının Poisson dağılımı gösterdiği kabul edilerek 1
milimetrede,
a.
Hiç bakteri olmaması
b.
4 bakteri olması
c.
3’den az bakteri olması olasılıklarını bulunuz.
48
Ödev 1: Bir tezgahta üretilen parçaların %1 i hatalı olduğuna göre partiden
çekilen 200 adetlik örnek grubunda
a) Hiç hatalı ürün olmaması (0,135)
b) Bir hata olması (0,27)
c) En fazla bir hatalı ürün olması (0,4)
d) En fazla iki hatalı ürün olması (0,67)
e) En fazla üç hatalı ürün olması durumunda partinin kabul görme olasılığını
hesaplayınız. (0,85)
Ödev 2: Bir avcının atışlarda hedefe isabet kaydetmesi olasılığı %1/5 tir. Bu
avcının yaptığı 9 atışta
a) 3 defa
b) En az 2 defa isabet kaydetmesi olasılığı nedir? Hesaplayınız.
49
Ödev 3: İÇİNDE 10 SAĞLAM VE 4 ARIZALI MAL BULUNAN BİR
TOPLULUKTAN 5 MAL ALINMIŞTIR. BUNLARDAN ÜÇÜNÜN SAĞLAM
ÇIKMA OLASILIĞI NEDİR? (0.3596)
Ödev 4: BİR FABRİKADA ÜRETİM YAPAN MAKİNALARDAN BİRİNİN
ÜRETTİĞİ ÜRÜNLERİN 0,09’U KUSURLU OLARAK ÜRETİLMİŞ
BULUNMAKTADIR. BU ÜRÜNLERDEN 4 ADEDİ RASTGELE
SEÇİLMİŞTİR. HİÇ ÖZÜRLÜ ÜRÜN SEÇİLMEMİŞ OLMA OLASILIĞI
NEDİR? (0.6857)
Ödev 5: BİR FABRİKADA ÜRETİLEN ÜRÜNLER 0,001 OLASLIKLA
BOZUKTUR. RASTGELE ÖRNEKLEME İLE 2000 ADET ALINMIŞTIR. 4
ADET ÜRÜNÜN BOZUK OLMA OLASILIĞI NEDİR? (0.09)
50