ANKARA ÜN VERS TES FEN B L MLER ENST TÜSÜ YÜKSEK L

ANKARA ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
YÜKSEK LİSANS TEZİ
KONTAK MANİFOLDLARDA ESAS FORMLAR VE YÖNLENDİRME
İsmail GÖK
MATEMATİK ANA BİLİM DALI
ANKARA
2005
Her Hakkı Saklıdır.
Prof. Dr. Hilmi HACISALİHOĞLU danışmanlığında İsmail GÖK tarafından hazırlanan
bu çalışma 22/07/2005 tarihinde aşağıdaki jüri tarafından Matematik Anabilim Dalında
Yüksek Lisans tezi olarak kabul edilmiştir.
Başkan
: Prof. Dr. Hilmi HACISALİHOĞLU
Üye
: Prof. Dr. Baki KARLIAĞA
Üye
: Doç. Dr. M. Kemal SAĞEL
Yukarıdaki sonucu onaylarım.
Prof. Dr. Ülkü MEHMETOĞLU
Enstitü Müdürü
ÖZET
Yüksek Lisans Tezi
KONTAK MANİFOLDLARDA ESAS FORMLAR VE YÖNLENDİRME
İsmail GÖK
Ankara Üniversitesi
Fen Bilimleri Enstitüsü
Matematik Ana Bilim Dalı
Danışman: Prof. Dr. H. Hilmi HACISALİHOĞLU
Bu yüksek lisans tezi dört bölümden oluşmaktadır.
Birinci bölüm giriş bölümüne ayrılmıştır.
İkinci bölümde lineer dönüşüm, simetrik bi-lineer formlar, Rieman manifoldlar,
Riemann koneksiyonu, ikinci temel form ve yönlendirme kavramları tanımlanmıştır.
Üçüncü bölümde ise ,sırasıyla, kontak manifoldlar, hemen hemen kontak manifoldlar,
hemen hemen kontak metrik manifoldlar, kontak manifoldlarda ikinci temel form,
hemen hemen kontak manifoldların torsiyon tensörü, K-kontak manifoldlar kavramları
örneklerle incelenmiştir.
Son bölümde ise kontak geometri de yönlendirme kavramı incelenmiştir.
2005 , 98 sayfa
ANAHTAR KELİMELER: Kontak Formlar, Kontak Manifoldlar, Kontak
Dönüşümler, Kontak Yapı, Temel Formlar, Komplex Yapı, Torsiyon Tensörü,
Yönlendirme.
ABSTRACT
Master Thesis
FUNDAMENTAL FORMS AND ORIENTATION
ON CONTACT MANIFOLDS
İsmail GÖK
Ankara University
Graduate School of Natural and Applied Sciences
Department of Mathematics
Supervisor: Prof. Dr. H. Hilmi HACISALİHOĞLU
This thesis consists of four chapters.
The first chapter has been devoted to the introduction.
In the second chapter, linear transformation, symmetric bi-linear forms, Riemann
manifolds, Riemannian connections, second fundamental form and orientation have
been recalled.
In the third chapter, contact manifolds, almost contact manifolds, contact metric
manifolds, torsion tensor of almost contact manifolds, k-contact manifolds have been
dealt by giving examples.
In the last chapter, orientation of contact geometry has been recalled.
2005, 98 pages
Key Words:
Contact forms, Contact manifolds, Contact transformation, Contact
structures, Fundamental forms, Complex structure, Torsion tensor,
Orientation.
TEŞEKKÜR
Bu çalışma konusunu bana veren ve araştırmalarımın her aşamasında beni yönlendiren
danışmanım, Sayın Prof. Dr. H. Hilmi HACISALİHOĞLU ( Ankara Üniversitesi Fen
Fakültesi )’ na, öneri ve sorgulamalarıyla yardımını gördüğüm Sayın Prof. Dr. Yusuf
YAYLI ( Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi )’ ya, manevi desteğini esirgemeyen Sayın
Abdullah ALTIN ( Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi )’ a, çalışmalarımda yardımlarını
esirgemeyen Sayın Arş. Gör. Çetin CAMCI ( Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi )’ ya,
Sayın Arş. Gör. Abdullah YILDIRIM ( Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi )’ a, Sayın
Dr. Hüseyin KOCAYİĞİT ’ e en içten saygı ve teşekkürlerimi sunarım.
Bu çalışmalarım sırasında benden maddi yardımlarını esirgemeyen TÜBİTAK’ a saygı
ve teşekkürlerimi sunarım.
Tezimi aldığım günden bu yana bana anlayış gösteren ve yardımını esirgemeyen sevgili
eşim Özlem GÖK’ e en içten sevgi ve teşekkürlerimi sunarım.
İsmail GÖK
Ankara, Temmuz 2005
İÇİNDEKİLER
ÖZET.................................................................................................................................. i
ABSTRACT ...................................................................................................................... ii
TEŞEKKÜR ..................................................................................................................... iii
SİMGELER DİZİNİ......................................................................................................... .v
1.GİRİŞ ...................................................................................................................... 1
2. TEMEL KAVRAMLAR ..................................................................................... 2
2.1. Lineer Döüşümler ve Simetrik Bi-lineer Formlar ................................................ 2
2.2. Riemann Manifoldu, Riemann Koneksiyonu, İkinci Temel Form ...................... 5
2.3. Bir Yüzeyin Yönlendirilmesi ............................................................................... 9
3. KONTAK GEOMETRİ ..................................................................................... 12
3.1. Kontak Manifoldlar ............................................................................................ 12
3.2. Hemen Hemen Kontak Manifoldlar ................................................................... 34
3.3. Hemen Hemen Kontak Metrik Manifold ........................................................... 42
3.4 Kontak Manifoldlarda İkinci Temel Form .......................................................... 53
3.5. Hemen Hemen Kontak Manifoldların Torsiyon Tensörü .................................. 57
3.6. K-Kontak Manifoldları....................................................................................... 82
4. MANİFOLDLAR ÜZERİNDE YÖNLENDİRME ......................................... 92
4.1. Genel Anlamda Bir Manifoldun Yönlendirilmesi.............................................. 92
4.2 Kontak Manifoldlarda Yönlendirme ................................................................... 95
KAYNAKLAR ............................................................................................................... 97
ÖZGEÇMİŞ .................................................................................................................... 98
SİMGELER DİZİNİ
En
n boyutlu Öklid uzayı
Mn
n boyutlu Riemann manifoldu
η
1-form
g
Riemann metrik tensörü
D
Riemann konneksiyonu
Γ
Adi grup
Γ0
Alt grubumsu
C∞
Diferensiyellenebilme
[, ]
Lie (Bracket) Operatörü
Aξ
Şekil operatörü
B
İkinci temel form
V
V vektörünün uzunluğu
R
M nin Riemann eğrilik tensörü
χ (M )
M nin teğet vektör alanlarının uzayı
χ ( M )⊥
χ ( M ) nin duali
∇⊥
M nin T ⊥ ( M ) normal demetindeki konneksiyon
1. GİRİŞ
Bu tezde tek boyutlu manifoldlar sınıfında önemli bir yeri olan kontak manifoldların
bazı özelliklerini inceleyeceğiz. η 1-form olmak üzere η∧ (d η)n ≠ 0 koşulunu sağlayan
η 1-formuna kontak form denir. Bu yüzeyler teorisinde iyi bilinen hacim elementine
karşılık gelir ve W = EG − F 2 ifadesinin karşıtıdır. Ayrıca kontak manifoldlar
içerisindeki bazı tanım ve teoremleri ifade edeceğiz.
2. TEMEL KAVRAMLAR
2.1. Lineer Dönüşümler ve Simetrik Bi-lineer Formlar
Tanım 2.1.1. V1 , V2 ,..., Vr ve W uzayları aynı K cismi üzerinde tanımlı birer vektör
uzayı ve kartezyen çarpımları da V1 × V2 × ... × Vr olsun.
L : V1 × V2 × ... × Vr 
→W
dönüşümü için aşağıdaki özellik varsa bu dönüşüme r-lineer dönüşüm denir
(Hacısalihoğlu 1980).
α1 ∈ V1 , α 2 ∈ V2 ,..., α i −1 ∈ Vi −1 , aε + bµ ∈ Vi , α i +1 ∈ Vi +1 ,..., α r ∈ Vr ve ∀a, b ∈ K için
L(α1 , α 2 ,...α i −1 , aε + bµ , α i +1 ,..., α r ) = aL(α1 , α 2 ,...α i −1 , ε , α i +1 ,..., α r )
+bL(α1 , α 2 ,...α i −1 , µ , α i +1 ,..., α r )
(2.1.1)
Özel Haller:
i) V ve W aynı K cismi üzerinde tanımlı vektör uzayları ve L , V den W ya tanımlı bir
fonksiyon olsun. L fonksiyonu aşağıdaki iki önermeyi sağlarsa L ye bir lineer
dönüşüm denir.
a) ∀α , β ∈ V için L(α + β ) = L(α ) + L( β )
b) ∀α ∈ V ve ∀c ∈ K için L(cα ) = cL(α )
ii) V1 , V2 ve W aynı K cismi üzerinde tanımlı vektör uzayları ve L, V1 × V2 den W ya
tanımlı bir fonksiyon olsun.
L : V1 × V2 → W
dönüşümü, ∀α1 , α 2 , α ∈ V1 ve ∀β1 , β 2 , β ∈ V2 ve ∀a1 , a2 ∈
için
L(a1 x1 + a2 x2 , y ) = a1 L( x1 , y ) + a2 L( x2 , y )
L( x, a1 y1 + a2 y2 ) = a1 L( x, y1 ) + a2 L( x, y2 )
biçiminde tanımlı ise L ’ye V1 × V2 üzerinde tanımlı bi-lineer dönüşüm adı verilir.
V nin seçilmiş bir bazı {V1 , V2 ,..., Vn } ve
L(Vi ,V j ) = aij
(2.1.1)
olsun. Bu durumda L bi-lineer formuna karşılık gelen matris
 L(V1 , V1 ) L(V1 , V2 )... L(V1 , Vn ) 


L(V2 , V1 ) L(V2 , V2 )... L(V2 , Vn ) 

L=

M
M


 L(Vn , V1 ) L(Vn , V2 )... L(Vn , Vn )  nXn
(2.1.2)
olur (Hacısalihoğlu 1980).
Teorem 2.1.1. A : V 
→ W dönüşümü sonlu boyutlu bir V vektör uzayından bir W
vektör uzayına bir lineer dönüşüm ise
rankA+sıfırlıkA=boyV
dır (Hacısalihoğlu 1985).
(2.1.3)
Teorem 2.1.2. V ve W aynı F cismi üzerinde n-boyutlu birer vektör uzayı olsunlar.
Bir
A : V 
→W
lineer dönüşümü için aşağıdaki önermeler denktir.
1) A : V 
→ W bir lineer izomorfizimdir.
2) A injektifdir.
3) ∀α ∈ V için A(α ) = 0 ⇒ α = 0
4) A nın sıfırlık derecesi =0
5) rank A = 0
6) A örten
dir (Hacısalihoğlu 1985) .
Tanım 2.1.2. Metrik tensörü g olan Riemann manifoldu M olsun. Bir X p ∈ TM ( P)
tanjant vektörünün normu(uzunluğu)
X p = g(X p , X p )
(2.1.4)
şeklindedir (Hacısalihoğlu 1980).
Tanım 2.1.3. V bir reel vektör uzayı olsun.
bi −lineer
L : V X V 
→
dönüşümü ∀X , Y ∈ V için
L( X , Y ) = L(Y , X )
oluyorsa L dönüşümüne simetrik bi-lineer form denir (Hacısalihoğlu 1980).
(2.1.6)
Tanım 2.1.4. V bir reel vektör uzayı olsun. V üzerinde simetrik bi-lineer dönüşüm L
olmak üzere sıfırdan farklı ∀α ∈ V için
L(α , α )⟩ 0
(2.1.7)
ve ∀α , β ∈ V için
L(α , β ) = 0 ⇔ α = 0
(2.1.8)
oluyorsa L ye pozitif tanımlıdır denir (Hacısalihoğlu 1985) .
Tanım 2.1.5. V bir reel vektör uzayı olsun. V üzerinde simetrik bi-lineer dönüşüm L
olmak üzere ∀α ∈ V için
L(α , α ) = 0 ⇒ α = 0
(2.1.8)
oluyorsa L ye non-dejeneredir denir (Hacısalihoğlu 1985) .
2.2. Riemann Manifoldu, Riemann Koneksiyonu, İkinci Temel Form
Tanım 2.2.1. M bir C ∞ manifold olsun. M üzerinde tanımlı bir g simetrik bi-lineer
formu pozitif tanımlı ise
g : χ (M ) × χ (M ) → C ∞ (M , )
(2.2.1)
şeklinde tanımlı (0, 2) tipindeki g metrik tensörüne M de Riemann metriği adı verilir
(Hacısalihoğlu 1980).
Tanım
2.2.2.
Bir
C∞
M
manifoldu
üzerinde
bir
g
tanımlanabiliyorsa ( M , g ) ikilisine bir Riemann manifoldu denir.
Riemann
metriği
Eğer g Riemann metriğinde pozitif tanımlılık aksiyomu yerine non-dejenere aksiyomu
alınırsa ( M , g ) ikilisine yarı- Riemann manifoldu denir (Hacısalihoğlu 2003) .
Tanım 2.2.3. V vektör uzayının ortonormal bir bazı {e1 , e2 ,..., en } olsun.
ε i = g (ei , ei )
(2.2.2)
olmak üzere ∀X ∈ V vektörü
n
X = ∑ ε i g ( X , ei )ei
(2.2.3)
i =1
olacak şekilde tek türlü yazılabilir (O’Neill 1983).
Tanım 2.2.4. Bir Riemann manifoldu M ve M üzerinde bir Riemann koneksiyonu D
olsun. D ’nin M ’ye ait bir bölge üzerindeki ∀X , Y , Z ∈ χ ( M ) ve ∀f , h ∈ C ∞ ( M , )
için,
D : χ (M ) × χ (M ) → χ (M )
( X , Y ) → D ( X , Y ) = DX Y
bi-lineer dönüşümü
i) DX (Y + Z ) = DX Y + DX Z
(2.2.4)
ii) DX +Y Z = DX Z + DY Z
(2.2.5)
iii) D fX Y = fDX Y
(2.2.6)
iV) DX ( fY ) = fDX Y + X ( f )Y
(2.2.7)
özelliklerini sağlıyorsa D ye M üzerinden tanımlı bir afin koneksiyon veya kovaryant
türev adı verilir (Hacısalihoğlu 2003 ) .
Tanım 2.2.5. ( M , g ) bir Riemann manifoldu ve D de M üzerinde tanımlı bir afin
olsun. O zaman ∀X , Y , Z ∈ χ ( M ) olmak üzere D dönüşümü
i) DX Y − DY X = [ X , Y ] (zero tensör özelliği)
(2.2.8)
ii) Zg ( X , Y ) = g ( DZ X , Y ) + g ( X , DZ Y ) ( D ’nin metrikle bağdaşabilme özelliği) (2.2.9)
şartlarını sağlıyorsa D ye M nin Levi-Civita koneksiyonu denir (Hacısalihoğlu 2003).
Teorem 2.2.1. Bir Riemann (veya yarı Riemann) manifoldu üzerinde bir tek Riemann
koneksiyonu vardır (Hacısalihoğlu 2003).
Tanım 2.2.6. M bir Riemann manifoldu ve M ⊂ M nin alt manifoldu olsun. M ve M
nin Riemann koneksiyonları, sırasıyla, D ve D olmak üzere
V : χ ( M ) × χ ( M ) → χ ( M )⊥
χ ( M ) ⊥ , χ ( M ) in ortogonal komplemanı olmak üzere
( DX Y ) = D X Y + V ( X , Y )
(2.2.10)
denklemine Genelleştirilmiş Gauss Denklemi denir (Hacısalihoğlu 2003).
Tanım 2.2.7. n-boyutlu bir Riemann manifoldu M ve M nin k-boyutlu alt manifoldu
M olsun. O zaman χ ( M )⊥ in
ψ = {N1 , N 2 ,..., N n − k }
ortonormal bazı yardımıyla, ∀X , Y , Z ∈ χ ( M ) için,
Bi ( X , Y ) = ⟨V ( X , Y ), N i ⟩
;
1≤ i ≤ n − k
n−k
V ( X , Y ) = ∑ Bi ( X , Y ) N i
(2.2.11)
i =1
şeklinde tanımlı Bi bi-lineer formlarına M nin ψ ye göre ikinci temel formları denir.
Eğer V = 0 ise M ye total geodeziktir denir (Hacısalihoğlu 2003).
Tanım 2.2.8. M ve M ,sırasıyla, n ve n + k boyutlu Riemann manifoldları olmak
üzere M , M nin alt manifoldu olsun. M de normal bir birim vektör alanı ε olsun.
DX ε nin teğet ve normal bileşenleri, sırasıyla, − Aε ( X ) ve ∇ X⊥ olmak üzere ,
A : χ ( M ) × χ ⊥ ( M ) 
→ χ (M )
dönüşümü iyi tanımlıdır. Böylece ;
DX ε = − Aε ( X ) + ∇X⊥ ε
(2.2.12)
biçiminde tanımlı denkleme Weingarten denklemi adı verilir. Burada Aε ya şekil
operatörü, ∇ ⊥ e de M nin T ⊥ ( M ) normal demetindeki koneksiyon adı verilir.
M nin şekil operatörü Aε ile ikinci temel form V arasında
g ( Aε ( X ), Y ) = g (V ( X , Y ), ε )
bağıntısı vardır (Hacısalihoğlu 2003).
(2.2.13)
2.3. Bir Yüzeyin Yönlendirilmesi
Tanım 2.3.1. n boyutlu V vektör uzayının, iki bazı, sırasıyla, ϕ ve ϕ ' olsun.
ϕ = {α1 , α 2 ,..., α n }
ve
ϕ ' = {α1' , α 2' ,..., α n' }
eşitlikleriyle verilmiş olsun.
n
α 'j = ∑ pijα i
(2.3.1)
i =1
şeklinde tanımlı [ pij ]nXn matrisine, ϕ ' tabanının ϕ tabanına göre matrisi denir.
ϕ ' ve ϕ tabanına göre matrisi P ' olsun. P matrisinin tersi mevcut ve
P −1 = P '
olur (Sabuncuoğlu 2004).
Tanım 2.3.2. M yüzeyinin basit yüzeylerden oluşan bir örtüsü, bu basit yüzeylerin
pozitif yönlü birim dik vektör alanları, basit yüzeylerin arakesit noktalarında çakışacak
biçimde bulunabiliyorsa, M yüzeyi yönlendirilebilir yüzeydir denir (Sabuncuoğlu
2004).
Teorem 2.3.1. M yüzeyinin basit yüzeylerden oluşan bir örtüsünde,
ϕ (U ) ∩ψ ( H ) ≠ 0
koşulunu sağlayan ϕ (U ) ve ψ ( H ) basit yüzeylerini göz önüne alalım. Bu basit
yüzeylerin pozitif yönlü birim dik vektör alanlarının, basit yüzeylerin arakesit
noktalarında çakışması için gerek ve yeter koşul, ϕ (U ) yüzeyinin {∂1 , ∂ 2 } çatı alanı ile
ψ ( H ) yüzeyinin {∂1 , ∂ 2 } çatı alanının ortak noktalarda çakışmasıdır (Sabuncuoğlu
2004).
Teorem 2.3.2. Bir M manifoldunun yönlendirilebilir olması için gerek ve yeter şart M
nin {U X , U X } yönlendirilmiş koordinat koşuluna sahip olmasıdır. (Sabuncuoğlu 2004) .
Tanım 2.3.3. M üzerinde sıfırdan farklı bir C ∞ n − form ω mevcut ise M bir
n − boyutlu yönlendirilebilir manifolddur. M yönlendirilmiş ise M üzerinde sıfırdan
farklı bir ω n − formu seçeriz ve M nin ω ile yönlendirilmiş olduğunu ve M nin
yönünün ω olduğunu söyleyebiliriz. O zaman ∀P ∈ M için TM ( P ) deki bir sıralanmış
r r
r
{e1 , e 2 ,..., e n } bazı
r*
r*
r*
ω = b{e1 ∧ e 2 ∧ ... ∧ e n }
r* r*
r*
daki b⟩ 0 ise manifold pozitif yönlüdür. Eğer M yönlendirilmiş ve {e1 , e 2 ,..., en } ve
TM ( P ) nin pozitif yönlü bir bazı ise TM ( P ) deki
uur
n
V j = ∑ bij ei
1≤ i ≤ n
;
i =1
tanjant vektörlerinden oluşan bir diğer baz da pozitif yönlüdür. ⇔ det bij ⟩ 0
Örneğin E n Öklit uzayı yönlendirilebilirdir.
ui : E n 
→
doğal koordinat fonksiyonlarını göstermek üzere
ω = {du1 ∧ du2 ∧ ... ∧ dun }
;
1≤ i ≤ n
seçmek üzere E n yi yönlendirmiş oluruz. Böylece topolojik bir sonuç olarak E n deki
kapalı yüzeyler yönlendirilebilir.
M ve M yönlendirilmiş iki n − manifold olsunlar. Bir singüler olmayan
∞
C
f : M 
→M
Eğer f* türev dönüşümü TM deki pozitif yönlü bazları TM deki pozitif yönlü bazlara
dönüştürüyorsa f* dönüşümüne yönü koruyordur denir (Hacısalihoğlu 2003) .
Tanım 2.3.4. M yönlendirilmiş bir Riemann n − manifold olsun. TM ( P ) de pozitif
r r
r
r* r*
r*
yönlü bir ortonormal baz {e1 , e 2 ,..., e n } ve buna dual olan bazda {e1 , e 2 ,..., en } olsun.
r*
r*
∀P ∈ M için V P = e1 ∧ ... ∧ en olarak tanımlanan V n − formunu ele alalım. V
n − formu özel bazların seçilişinden bağımsız olduğu için iyi tanımlanmıştır denir ve
ayrıca da M üzerinde bir C ∞ formudur. V n − formuna M nin hacim elementi denir
(Hacısalihoğlu 2003) .
3. KONTAK GEOMETRİ
3.1. Kontak Manifoldlar
Tanım 3.1.1. (2n+1)-boyutlu diferensiyellenebilir bir Riemann manifoldu M olsun. M
üzerinde her noktada,
η ∧ (dη) n ≠ 0
(3.1.1)
koşulunu sağlayan bir η diferensiyel 1- formu varsa η ya kontak form, (M, η )
ikilisine de kontak manifold denir. Burada η ∧ (dη) n ≠ 0 bağıntısı M manifoldu
üzerinde bir hacim elementine karşılık gelir ve bundan dolayı M manifoldu
yönlendirilebilirdir. Burada (dη) n , dη nın kendisi ile n defa dış çarpımını gösterir, yani
(dη) n = (dη) ∧ (dη) ∧ … ∧ (dη)
n tane
dir. η 1-form olduğundan dη 2-form ve η ∧ (dη) n ifadesi (2n+1)-form olur.Bu
sebepten dolayı kontak manifoldlar (2n+1)-boyutlu manifoldlardır (Blair 1986, Blair
2002).
Teorem 3.1.1. (Darboux’un Klasik Teoremi): n-boyutlu diferensiyellenebilir
Riemann manifoldu
M ve bu manifold üzerinde diferensiyel 1-form ω olsun. M
üzerinde,
ω ∧ (dω) p ≠ 0
(dω) p +1 = 0
,
p
ω = dy p +1 − ∑ y i dxi
i =1
olacak şekilde M nin her noktası civarında bir ( x1 , x 2 ,..., x p , y1 , y 2 ,..., y n − p ) kordinat
sistemi vardır (Yano ve Kon 1984).
Böylece Darboux teoremine göre: (2n+1)-boyutlu M kontak manifoldunun her noktası
civarında,
n
η = dz − ∑ y i d xi
i =1
olacak şekilde ( x1 , x 2 ,..., x n , y1 , y 2 ,... y n , z ) koordinatları vardır (Blair 1976, Yano ve
Kon 1984) .
Örnek 3.1.1. (2n+1)-boyutlu kontak manifold M olsun. Bu durumda M manifoldu
üzerinde diferensiyel bir form
n
η = dz − ∑ y i d xi
i =1
olmak üzere η ∧ (dη) n ≠ 0 olduğunu gösterelim.
( x1 , x 2 ,..., x n , y1 , y 2 ,... y n , z ) ∈
2 n +1
dır.
n = 1 için M 3 de η ∧ dη ≠ 0 olduğunu gösterelim:
η = dz − y1 dx1
olmak üzere
dη = d (dz ) − dy1 ∧ dx1 − y1 d (dx1 )
dır.
d (dz ) = 0 , d (dx1 ) = 0
olduğundan
dη = - dy1 ∧ dx1
= dx1 ∧ dy1
olur. O zaman
η ∧ dη = ( dz − y1 dx1 ) ∧(dx1 ∧ dy1 )
= [dz ∧ (dx1 ∧ dy1 )] − [ y1 dx1 ∧ (dx1 ∧ dy1 )]
= dx1 ∧ dy1 ∧ dz
≠ 0
dir. Böylece ( M 3 , η ) ikilisi 3-boyutlu bir kontak manifolddur.
n = 2 için M 5 de η ∧ (dη) 2 ≠ 0 olduğunu gösterelim:
2
η =dz − ∑ y i dxi = dz − y1 dx1 − y 2 dx 2
i =1
olmak üzere
dη =d (dz ) − dy1 ∧ dx1 − y1 d (dx1 ) − dy 2 ∧ dx 2 − y 2 d (dx 2 )
dir.
d (dz ) = 0 , d (dx1 ) = 0 , d (dx 2 ) = 0
olduğundan
2
dη = dx1 ∧ dy1 + dx 2 ∧ dy 2 = ∑ dx i ∧ dy i
i =1
olur. Buradan
(dη) 2 = dη ∧ dη
= (dx1 ∧ dy1 + dx 2 ∧ dy 2 ) ∧ (dx1 ∧ dy1 + dx 2 ∧ dy 2 )
= [(dx1 ∧ dy1 ) ∧ (dx1 ∧ dy1 )] + [(dx1 ∧ dy1 ) ∧ (dx 2 ∧ dy 2 )]
+[(dx 2 ∧ dy 2 ) ∧ (dx1 ∧ dy1 )] + [(dx 2 ∧ dy 2 ) ∧ (dx 2 ∧ dy 2 )]
= 2(dx1 ∧ dy1 ∧ dx 2 ∧ dy 2 )
= 2!(dx1 ∧ dy1 ∧ dx 2 ∧ dy 2 )
dır. O zaman
η ∧ (dη) 2 = (dz − y1 dx1 − y 2 dx 2 ) ∧ [2!(dx1 ∧ dy1 ∧ dx 2 ∧ dy 2 )]
= 2!(dx1 ∧ dy1 ∧ dx 2 ∧ dy 2 ∧ dz )
≠ 0
elde edilir. O halde ( M 5 , η ) ikilisi 5-boyutlu kontak manifolddur.
n=3 için M 7 de η ∧ (dη)3 ≠ 0 olduğunu gösterelim:
3
η = dz − ∑ y i dxi = dz − y1 dx1 − y 2 dx 2 − y 3 dx3
i =1
olmak üzere
dη =d (dz ) − dy1 ∧ dx1 − y1 d (dx1 ) − dy 2 ∧ dx 2 − y 2 d (dx 2 ) − dy 3 ∧ dx 3 − y 3 d (dx3 )
dir.
d (dz ) = 0 , d (dx1 ) = 0 , d (dx 2 ) = 0 , d (dx3 ) = 0
olduğundan
3
dη = dx1 ∧ dy1 + dx 2 ∧ dy 2 + dx3 ∧ dy 3 = ∑ dxi ∧ dy i
i =1
ve
(dη) 2 = dη ∧ dη
= (dx1 ∧ dy1 + dx 2 ∧ dy 2 + dx3 ∧ dy 3 )
∧ (dx1 ∧ dy1 + dx 2 ∧ dy 2 + dx3 ∧ dy 3 )
= 2! (dx1 ∧ dy1 ∧ dx 2 ∧ dy 2 ) + 2! (dx 2 ∧ dy 2 ∧ dx3 ∧ dy 3 )
+ 2! (dx1 ∧ dy1 ∧ dx3 ∧ dy 3 )
dir. Ayrıca
(dη)3 = dη ∧ (dη) 2
 2!(dx1 ∧ dy1 ∧ dx 2 ∧ dy 2 ) 


= (dx1 ∧ dy1 + dx 2 ∧ dy 2 + dx3 ∧ dy 3 ) ∧  +2!(dx 2 ∧ dy 2 ∧ dx3 ∧ dy 3 ) 

1
1
3
3 
 +2!(dx ∧ dy ∧ dx ∧ dy ) 
=3!( dx1 ∧ dy1 ∧ dx 2 ∧ dy 2 ∧ dx3 ∧ dy 3 )
ve buradan da
η ∧ (dη)3 = (dz − y1dx1 − y 2 dx 2 − y 3 dx 3 ) ∧ [3!(dx1 ∧ dy1 ∧ dx 2 ∧ dy 2 ∧ dx 3 ∧ dy 3 )]
= 3!(dx1 ∧ dy1 ∧ dx 2 ∧ dy 2 ∧ dx 3 ∧ dy 3 ∧ dz )
≠ 0
olur. O halde ( M 7 , η ) ikilisi 7-boyutlu kontak manifolddur.
n>3 için M 2 n +1 de η ∧ (dη) n ≠ 0 olduğunu gösterelim.
n
η = dz − ∑ y i dxi = dz − y1dx1 − y 2 dx 2 − ... − y n dx n
i =1
olmak üzere
n
dη =d (dz ) − ∑ [dy i ∧ dx i − y i d (dx i )]
i =1
d (dz ) = 0 ve d (dxi ) = 0 , 1 ≤ i ≤ n
olduğundan
n
dη = ∑ dx i − dy i
i =1
dır. Buradan
(dη) 2 = dη ∧ dη
= (dx1 ∧ dy1 + dx 2 ∧ dy 2 + ... + dx n ∧ dy n )
∧ (dx1 ∧ dy1 + dx 2 ∧ dy 2 + ... + dx n ∧ dy n )
= 2! (dx1 ∧ dy1 ∧ dx 2 ∧ dy 2 ) + 2! (dx1 ∧ dy1 ∧ dx3 ∧ dy 3 )
+...+2! (dx1 ∧ dy1 ∧ dx n ∧ dy n ) + 2! (dx 2 ∧ dy 2 ∧ dx3 ∧ dy 3 )
+2! (dx 2 ∧ dy 2 ∧ dx 4 ∧ dy 4 ) + ... + 2! (dx 2 ∧ dy 2 ∧ dx n ∧ dy n )
+2! (dx 3 ∧ dy 3 ∧ dx 4 ∧ dy 4 ) + 2! (dx 3 ∧ dy 3 ∧ dx 5 ∧ dy 5 )
+...+2! (dx3 ∧ dy 3 ∧ dx n ∧ dy n ) + ... + 2! (dx n −1 ∧ dy n −1 ∧ dx n ∧ dy n )
ve
(dη)3 = dη ∧ (dη)2
= 3!(dx1 ∧ dy1 + dx 2 ∧ dy 2 ∧ dx 3 ∧ dy 3 )
+...+3! (dx1 ∧ dy1 ∧ dx 2 ∧ dy 2 ∧ dx n ∧ dy n )
+3! (dx 2 ∧ dy 2 ∧ dx3 ∧ dy 3 ∧ dx 4 ∧ dy 4 )
+...+3! (dx 2 ∧ dy 2 ∧ dx3 ∧ dy 3 ∧ dx n ∧ dy n )
+...+3! (dx n − 2 ∧ dy n − 2 ∧ dx n −1 ∧ dy n −1 ∧ dx n ∧ dy n )
olduğu görülür. Buradan da
(dη) n = dη ∧ dη ∧ ... ∧ dη
= n!(dx1 ∧ dy1 ∧ dx 2 ∧ dy 2 ∧ ... ∧ dx n ∧ dy n )
veya
n
η ∧ (dη)n = (dz − ∑ y i dxi ) ∧ [n !(dx1 ∧ dy1 ∧ dx 2 ∧ dy 2 ∧ ... ∧ dx n ∧ dy n )]
i =1
= n !(dx1 ∧ dy1 ∧ dx 2 ∧ dy 2 ∧ ... ∧ dx n ∧ dy n ∧ dz )
≠
0
elde edilir. O halde ( M 2 n +1 , η ) ikilisi (2n+1)-boyutlu bir kontak manifolddur.
Örnek 3.1.2. 3- boyutlu diferensiyellenebilir bir manifold M 3 olsun. Her (x,y,z) noktası
civarında
η = cos zdx + sin zdy
diferensiyel 1-formu için,
η ∧ dη ≠ 0
olduğunu gösterelim.
Burada
dη = − sin zdz ∧ dx + cos zd (dx) + cos zdz ∧ dy + sin zd (dy )
d (dx) = 0 , d (dy ) = 0
olduğundan
dη = sin zdx ∧ dz + cos zdz ∧ dy
dır, dolayısı ile
η ∧ dη = ( cos zdx + sin zdy ) ∧ (sin zdx ∧ dz + cos zdz ∧ dy )
= cos 2 zdx ∧ dz ∧ dy + sin 2 zdy ∧ dx ∧ dz
= − cos 2 zdx ∧ dy ∧ dz − sin 2 zdx ∧ dy ∧ dz
= ( cos 2 z + sin 2 z )(− dx ∧ dy ∧ dz )
= − (dx ∧ dy ∧ dz )
≠
0
dır. Böylece ( M 3 , η ) ikilisi 3-boyutlu bir kontak manifolddur.
Tanım 3.1.2.
2 n +1
2 n +1
üzerinde kartezyen koordinatlar ( x1 , x 2 ,..., x n , y1 , y 2 ,... y n , z ) ve
n
de bir diferensiyel 1-form η = dz − ∑ y i dx i olsun.
2 n +1
in açık alt cümleleri U
i =1
ve U ' olmak üzere
diffeomorfizim
f : U 
→ U'
diffeomorfizimi için,
ƒ* : χ (U )
χ (U ' )
ve
ƒ* : Ω(U ' )
Ω (U )
olmak üzere
ƒ* η = τ.η
(3.1.2)
ise f ye kontak transformasyon denir. Burada τ , U üzerinde sıfır olmayan bir reel
değerli fonksiyondur. Ayrıca χ (U ) , U üzerindeki vektör alanlarının uzayı, Ω (U ) da
χ (U ) nun dualidir.
U üzerindeki bütün kontak transformasyonların cümlesi Γ ise;
diffeomorfizim
Γ = { f | f : U 
→U ' ;U , U ' ⊂
şeklindedir. Burada τ : U 
→
2 n +1
açıklar. ƒ* η = τ.η}
reel değerli bir fonksiyondur. O zaman Γ ya adi
grup (grubumsu) denir (Yano ve Kon 1984).
Tanım 3.1.3. Bir ƒ ∈ Γ kontak transformasyonu için τ =1 yani
ƒ* η = η
(3.1.3)
ise ƒ ye bir kesin kontak transformasyon veya sıkı kontak transformasyon denir. Bu
tip transformasyonların cümlesi Γ 0 ile gösterilirse
diffeomorfizim
Γ 0 = { f | f : U 
→ U ' ;U , U ' ⊂
2 n +1
açıklar. ƒ* η = η}
şeklindedir.
Γ 0 cümlesine Γ için bir alt grubumsu (değişimli olmayan grup) denir (Yano ve Kon
1984).
Teorem 3.1.2. Kontak transformasyonların cümlesi Γ , çarpma işlemine göre bir
grubumsudur (Yano ve Kon 1984).
İspat:
o : Γx Γ → Γ
i)
( g , f ) a gof
şeklinde tanımlı o işlemi Γ cümlesinde bir iç işlemdir.
f :U → U '
,
g :V → V '
,
U ' ∩V ≠ ∅
kontak transformasyonları verilsin.
f* : χ (U ) → χ (U ' )
,
g* : χ (V ) → χ (V ' )
f * : Ω (U ' ) → Ω (U )
,
f * : Ω (V ' ) → Ω (V )
ve
olmak üzere
f * η0 = τ0 .η0
dır. Burada τ0 :U →
ve τ1 : V →
,
g * η1 = τ1 .η1
reel değerli fonksiyonlardır.
Böylece
gof : f −1 (U ' I V ) ⊂ U → g (U ' I V ) ⊂ V '
dönüşümü de bir kontak transformasyondur.
Gerçekten
f
g
U 
→ U ' ⊂ V 
→V '
−1
f
g
f −1 (U ' I V ) ⊂ U ←
U ' I V 
→ g (U ' I V ) ⊂ V '
gof : f −1 (U ' I V ) ⊂ U 
→ g (U ' I V ) ⊂ V '
( gof )* : χ ( f −1 (U ' I V )) 
→ χ ( g (U ' I V ))
( gof )* : Ω ( g (U ' I V )) 
→ Ω ( f −1 (U ' I V ))
∀η1 ∈ Ω ( g (U ' I V )) için
( gof )* η1 = ( f *og * )η1
= f * ( g *η1 )
; g kontak transformasyon , g * η1 = τ1 .η1
= f * (τ1 .η1 )
; f kontak transformasyon , f * τ1 .η1 = τ 0 .(τ1 .η1 )
= τ 0 .(τ1 .η1 )
= (τ 0 .τ1 ).η1
τ0 .τ1 = τ kabul edilir ise ( gof )* η1 = τ. η1 olur ki bu da gof ∈ Γ demektir.
ii) o işlemi Γ da birleşimlidir: U , V , W , U ' , V ' , W ' ⊂
f
g
h
U 
→ U ' ⊂ V 
→ V ' ⊂ W 
→W '
∀ f , g , h ∈ Γ ve ∀ ηo ∈ Γ Ω (W ' ) için
[( fog )oh]* (η0 ) = [h* o( fog )* ] (η0 )
= [h* o( g * of * )](η0 )
= h* (( g * of * )(η0 ))
;
2 n +1
in açıkları olmak üzere
U ' ∩V ≠ ∅
, V ' ∩W ≠ ∅
[( fog )oh]* (η0 ) = h* ( g * ( f *η0 ))
; f kontak transformasyon , f * η0 = τ 0 .η0
= h* (g* (τ 0 .η0 )) ; g kontak transformasyon, g * ( τ 0 .η0 ) = τ1 .( τ 0 .η0 )
= (h* (τ1 ( τ 0 .η0 )) ; h kontak transformasyon h* η0 = τ .η0
= (τ 2 τ1 τ 0 ) η0
(τ 2 τ1 τ 0 ) = τ alınırsa
[( fog )oh]* (η0 ) = τ .η0
(3.1.4)
dır.
Diğer taraftan,
∀ f , g , h ∈ Γ ve ∀ η0 için ,
[( fo( goh)]* (η0 ) = [( goh)* of * ] (η0 )
= [(h* og * )of * ] (η0 )
= (h* og * )( f * (η0 )) ; f kontak transformasyon , f * η0 = τ0 .η0
= (h* og * )(τ 0 .η0 )
= h* ( g * (τ 0 .η0 )
; g kontak transformasyon, g * ( τ 0 .η0 ) = τ1 .( τ 0 .η0 )
= h* (τ1 .(τ 0 .η0 ))
; h kontak transformasyon h* η0 = τ .η0
= (τ 2 τ1 τ 0 ) η0
(τ 2 τ1 τ 0 ) = τ alınırsa
[( fog )oh]* (η0 ) = τ.η0
dır.
(3.1.5)
(3.1.4) ve (3.1.5) den
[( fog )oh]* (η0 ) = [ fo( goh)]* (η0 )
olur. Bu ifade ∀η0 için doğru olduğundan
[( fog )oh]* = [ fo( goh)]*
dır. O halde ∀ f , g , h ∈ Γ için
( fog )oh = fo( goh)
olur. Yani o işlemi Γ da birleşimlidir.
diffeomorfizim
→U ' olduğundan f −1 vardır ve fof −1 = f −1of = I olur.
iii) f : U 
I ∈ Γ birim kontak transformasyon olduğundan ∀η ∈ Ω (U ) için
I* η = η
olur. Ayrıca f ∈ Γ olduğundan f * η = τ.η olucak şekilde τ ≠ 0 fonksiyonu vardır.
Buna göre
fof −1 = I
( fof −1 )* (η) = I* (η)
[( f −1 )* of * ](η) = I* (η)
( f −1 )* ( f * (η)) = η
; f kontak transformasyon , f * η0 = τ.η
( f −1 )* (τ.η) = η
dır. O halde η1 = τ.η ve τ −1 mevcut ise η = τ−1η1 olup f −1 ∈ Γ olur.
( f −1 )* (η1 ) = τ−1η1
yazılabilir. O halde τ −1 mevcut ise sonuç olarak Γ cümlesi o işlemine göre bir
grubumsudur.
Teorem 3.1.3. Γ 0 cümlesi , Γ cümlesinin bir alt grubudur.
İspat:
Γ0 = { f
2 n +1
f : U → U ' ; U ve U ' ⊂
açıklar, ƒ* η = η} ⊂ Γ nın alt grubudur.
Gerçekten ,
i) I* η = η olduğundan I ∈ Γ 0 dır. Yani
Γ0 ≠ ∅
olur.
ii) ∀f ∈ Γ 0 için
f *η = η
f * η = 1.η ve τ = 1 alınırsa
f * η = τ.η olur ki , bu da f ∈ Γ demektir.
Yani ,
Γ0 ⊂ Γ
olur.
iii) ∀f , g ∈ Γ 0 için fog −1 ∈ Γ 0 olduğunu gösterelim.
( fog −1 )* η = ( g −1 )* ( f * η)
= ( g −1 )η
; g −1 sıkı kontak transformasyon ( g −1 )* η = η
=η
O halde
fog −1 ∈ Γ 0
dır.
Sonuç olarak Γ 0 ⊂ Γ bir alt grupdur.
Tanım 3.1.4. ∀(i, j ) çifti için fij ,
fij = fi of j−1 = fi f j−1
anlamında o işlemi kullanılmayacaktır. ∀U i , Vi ⊂
2 n +1
fi : U i → Vi ⊂
2 n +1
(3.1.6)
açıkları için
homeomorfizimleri verilmiş olsun. Ayrıca M nin bir açık örtüsü {U i } ve
boy M = (2n + 1) olsun. Eğer
f i ' f j−1 ∈ Γ
ise
{U i , fi } ve {U i' , f i ' }
koordinat sistemleri (haritalar) denktirler denir. Bu denklik bağıntısına göre denklik
sınıflarının cümlesi M üzerinde bir en geniş anlamda kontak yapı olarak adlandırılır
(Yano ve Kon 1984).
Sonuç 3.1.1. f j (U i ∩ U j ) üzerinde
( f i f j−1 )* (η0 ) = ρij η0
(3.1.7)
olacak şekilde sıfırdan faklı bir ρij = ( f i f j−1 )* fonksiyonu vardır (Kocayiğit 2004).
İspat : f i ∈ Γ olduğundan f i* η0 = τ0 .η0 dır. Böylece f i f j−1 ∈ Γ olduğundan
( f i f j−1 )* (η0 ) = [( f j−1 )* f i* )]η0
= ( f j−1 )* (( fi * )(η0 ))
= ( f j−1 )* (τ 0 .η0 )
dır. f j−1 ∈ Γ olduğundan ( f j−1 )(η1 ) = τ ' .η1 olup
( f i f j−1 )* (η0 ) = τ' (τ 0 .η0 )
= (τ ' τ 0 ).η0
; fi ∈ Γ ,
f i* η0 = τ0 .η0
( f i f j−1 )* (η0 ) = ρij η0
elde edilir. Diğer taraftan
ρij η0 = ( fi f j−1 )* (η0 )
eşitliğinin her iki tarafına soldan f j* yi uygularsak,
f j* ( ρij η0 ) = [ f j* ( f i f j−1 )* ](η0 )
= [ f j* (( f j−1 )* of i* )](η0 )
= [( f j* ( f j−1 )* )ofi * ](η0 )
= [( f j−1 f j )* of i * ](η0 )
= [ I * fi * ](η0 )
= f i * (η0 )
f j* ( ρij (η0 )) = f i* (η0 )
(3.1.8)
olur.
Sonuç 3.1.2.
f j* ( ρij (η0 )) = f j* ( ρij ) f j* (η0 )
(3.1.9)
dır (Kocayiğit 2004).
İspat:
f j bir kontak transformasyon olduğundan U j üzerinde reel değerli bir
τ' fonksiyonu
f j* ( ρij .η0 ) = τ ' ( ρij .η0 )
olacak şekilde vardır. τ0 ve τ1 U j üzerinde reel değerli fonksiyonlar olmak üzere
( f j* ρij )(ρ ) = (τ0 ρij )(ρ )
= τ 0 ( ρ ) ρij
ve
( f j* η0 )( ρ ) = (τ1 η0 )( ρ )
= τ1 ( ρ )η0
olduğundan,
[( f j* ρij )(f j* η0 )]( ρ ) = ( f j* ρij )( ρ )(f j*η0 )( ρ )
= (τ 0 ( ρ ) ρij )(τ1 ( ρ )η0 )
= τ 0 ( ρ )τ1 ( ρ ) ρij η0
= [(τ 0 τ1 ) ρij η0 ]( ρ )
[( f j* ρij )(f j* η0 )]( ρ ) = [τ ' ( ρij η0 )](ρ ) = f j* ( ρij η0 )(ρ )
(3.1.10)
dır. Bu eşitlik ∀ρ ∈ U i için var olduğundan (3.1.9) ve (3.1.10) dan
( f j* ρij )(f j* η0 ) = τ ' ( ρij η0 )
= f i * η0
= f j* ( ρij .η0 )
elde edilir.
Sonuç 3.1.3. Eğer ηi yi her U i üzerinde ηi = fi * η0 olacak şekilde bir 1-form olarak
tanımlarsak U i ∩ U j ≠ ∅ üzerinde
ηi = f j* ( ρij )η j
dır ve ηi ler birer kontak form olur (Kocayiğit 2004).
İspat:
f i*η0 = ( f j* ρij )(f j*η0 )
eşitliğinde f i* η0 yerine ηi ve f j* η0 yerine η j yazılırsa η0 ∧ (dη0 )n ≠ 0 olduğundan
ηi ∧ (dηi )n ≠ 0 olur. Ayrıca ηi = f i *η0 olduğundan ,
dηi = d ( f i *η0 )
= f i* (dη0 )
dır.
(dηi ) n =
1
(dηi ∧ dηi ∧ ... ∧ dηi )
n!
=
1 *
( fi (dη0 ) ∧ fi * (dη0 ) ∧ ... ∧ f i * (dη0 ))
n!
=
1 *
f i (dη0 ∧ dη0 ∧ ... ∧ dη0 )
n!
= fi*[
1
(dη0 ∧ dη0 ∧ ... ∧ dη0 )]
n!
= f i * ( dη 0 ) n
dir. Buna göre
ηi ∧ (dηi )n = ( fi *η0 ) ∧ ( fi * (dη0 ) n )
= f i* (η0 ∧ (dη0 ) n )
; f i* lineer olduğundan
olur. Bu ise f i* lineer ve η0 ∧ (dη0 ) ≠ 0 olduğundan
ηi ∧ (dηi )n ≠ 0
;
1≤ i ≤ n
demektir. Dolayısıyla her i değeri için ηi ler kontak formdur.
Tanım 3.1.5. (2n+1)-boyutlu diferensiyellenebilir Riemann manifoldu M ve η da
M üzerinde diferensiyel 1-form olsun.
dif . bilir
D = { X ∈ χ ( M ) η : χ ( M ) 

→ C ∞ ( M , R) , η(X ) = 0}
lineer
(3.1.11)
cümlesine η kontak formunun kontak distribüsyonu denir (Blair 1976).
Tanım 3.1.6. ( M , η) kontak manifoldu üzerinde X ≠ ξ için ,
η(ξ )=1
(3.1.12)
dη(ξ , X )=0
(3.1.13)
olacak şekilde bir tek ξ ∈ χ ( M ) vektör alanı varsa ξ ye η kontak yapısının
karakteristik vektör alanı denir.
Burada
1:1
ξ : M 
→ U TM ( P )
örten
p∈M
şeklinde tanımlı (1,0) tipinde tensör alanıdır (Blair 1976).
Örnek
3.1.3.
M3
3-boyutlu
diferensiyellenebilir
bir
manifold
olsun.
Her
( x1 , y1 , z ) noktası civarında η = cos zdx + sin zdy diferensiyel 1-formu için Tanım
(3.1.6) daki şartları sağlayan bir tek ξ ∈ χ ( M ) vektör alanı
ξ = cos z
∂
∂
+ sin z
∂x
∂y
dır. Gerçekten ,
dη = sin zdx ∧ dz + cos zdz ∧ dy
olmak üzere,
dη(X ,ξ ) = [sin zdx ∧ dz + cos zdz ∧ dy ]( X ,ξ )
= [sin zdx ∧ dz ]( X , ξ ) + [cos zdz ∧ dy ]( X , ξ )
= sin z[dx( X )dz (ξ ) − dx(ξ )dz ( X )] + cos z[dz ( X )dy (ξ ) − dz (ξ )dy ( X )]


∂
∂
∂
∂
= sin z  dx( X )dz (cos z + sin z ) − dx(cos z + sin z )dz ( X ) 
∂x
∂y
∂x
∂y




∂
∂
∂
∂
+ cos z  dz ( X )dy (cos z + sin z ) − dz (cos z + sin z )dy ( X ) 
∂x
∂y
∂x
∂y


∂
∂
∂
) + sin z cos zdx( X )dz ( ) − sin z cos zdx( )dz ( X )
∂x
∂y
∂x
∂
∂
∂
− sin 2 zdx( )dz ( X ) + cos 2 zdz ( X )dy ( ) + cos z sin zdz ( X )dy ( )
∂y
∂x
∂y
∂
∂
+ cos z sin zdz ( )dy ( X ) − cos 2 zdz ( )dy ( X )
∂x
∂y
= − sin 2 zdx( X )dz (
∂
∂
)dz ( X ) + cos z sin zdz ( X )dy ( )
∂x
∂y
= − sin z cos zdz ( X ) + cos z sin zdz ( X )
= − sin z cos zdx(
dη( X , ξ ) = 0
olur.
η(ξ ) = [cos zdx + sin zdy ](ξ )
∂
∂
+ sin z )
∂x
∂y
∂
∂
∂
∂
= cos 2 zdx( ) + cos z sin zdx( ) + sin z cos zdy ( ) + sin 2 zdy ( )
∂x
∂y
∂x
∂y
= [cos zdx + sin zdy ](cos z
ve
dx(
∂
∂
∂
∂
) = 1 , dx( ) = 0 , dy ( ) = 0 , dy ( ) = 1
∂x
∂y
∂x
∂y
olduğundan
η(ξ ) = 1
dir. Dolayısıyla ξ , η kontak yapısının karakteristik vektör alanı olur.
Sonuç 3.1.4. ( M , η) ikilisi (2n+1)-boyutlu kontak manifold, D ise η kontak formunun
kontak distribisyonu olmak üzere χ ( M ) , D ile D ⊥ in direk toplamı olarak yazılabilir.
Yani,
χ (M ) = D ⊕ D⊥
(3.1.14)
dır.
Sonuç 3.1.5. ( M , η) ikilisi (2n+1) –boyutlu kontak manifold ve Ker η , η kontak
formunun çekirdeği olmak üzere aşağıdaki önermeler denktir.
i) η kontak formu bire birdir.
ii) Ker η = {0}
Sonuç 3.1.6. ( M , η) ikilisi (2n+1) –boyutlu kontak manifold ve Ker η , η kontak
formunun çekirdeği olmak üzere
Ker η=D
(3.1.15)
dir.
3.2. Hemen Hemen Kontak Manifoldlar
Tanım 3.2.1. (2n+1)-boyutlu diferensiyellenebilir bir manifold
M
ve φ,ξ , η
,sırasıyla, M üzerinde (1,1) , (1,0) , (0,1) tipinde tensör alanları olsun. φ,ξ , η için
∀X ∈ χ ( M ) olmak üzere
η(ξ ) = 1
(3.2.1)
φ 2 (X ) = − X + η( X )ξ
(3.2.2)
koşullarını sağlayan ( φ,ξ , η ) üçlüsüne M de hemen hemen kontak yapı ve
( M , φ,ξ , η ) dörtlüsüne de hemen hemen kontak manifold denir (Yano ve Kon 1984).
Burada
lineer
φ : χ (M ) 
→ χ (M )
anti − simetrik
; (1,1) tensör
lineer
η : χ (M ) →
C ∞ (M , )
dif .bilir
; (1,0) tensör
1:1
ξ : M 
→ U TM ( P )
örten
p∈M
; (0,1) tensör
dır.
Örnek 3.2.1
3
de standart koordinatlar ( x, y, z ) olmak üzere
η kontak formu ,
1
η = (dz − ydx)
2
ξ vektör alanı,
ξ = 2(
∂
)∈ χ(
∂z
3
)
φ lineer dönüşümü,
φ : χ(
3
lineer
) 
→ χ(
3
)
olsun.
φ lineer dönüşümüne karşılık gelen matris,
 0 1 0


φ =  −1 0 0 
 0 y 0


olmak üzere,
η(ξ ) =
1
∂
(dz − ydx)(2( ))
2
∂z
= dz (
∂
∂
) − ydx( )
∂z
∂z
;
dz (
∂
∂
) = 1 , dx( ) = 0
∂z
∂z
=1
olur.
Ayrıca
X = x1 (
∂
∂
∂
) + x2 ( ) + x3 ( ) ∈ χ (
∂x
∂y
∂z
3
)
;
X = ( x1 , x2 , x3 ) ∈
olmak üzere
η( X ) =
1
∂
∂
∂
(dz − ydx).( x1 + x2
+ x3 )
2
∂x
∂y
∂z
1
∂
∂
∂
∂
∂
∂
= [dz ( x1 + x2
+ x3 ) − ydx( x1 + x2
+ x3 )]
2
∂x
∂y
∂z
∂x
∂y
∂z
=
1
( x3 − yx1 )
2
dır.
0 
ξ vektör alanına karşılık gelen matris ξ = 0  ve
 2 
 x1 
X ∈ χ ( 3 ) in matris formu X =  x2  olduğundan
 x3 
 0 1 0   0 1 0   x1 



φ ( X ) = φ(φ( X )) =  −1 0 0  .  −1 0 0  .  x2 
 0 y 0  0 y 0 x 


  3
2
3
 −1 0 0   x1 


φ ( X ) =  0 −1 0  .  x2 
 − y 0 0 x 

  3
2
 −1 0 0   0 0 0    x1 

 

φ ( X ) =  0 −1 0  +  0 0 0   .  x2 
 0 0 −1  − y 0 1    x3 
2
0




= − I3 ( X ) + 
0

 − yx1 + x3 
0 
= − X + ( x3 − yx1 ) 0 
1 
0 
1
= − X + ( x3 − yx1 )  0 
2
 2 
= − X + η( X )ξ .
Böylece (
3
, φ, ξ , η) dörtlüsü hemen hemen kontak manifold olur.
Teorem 3.2.1. ( M , φ,ξ , η ) dörtlüsü hemen hemen kontak manifold olmak üzere
X,ξ ∈ χ ( M ) , X ≠ ξ ve
lineer
φ : χ (M ) 
→ χ (M )
için
i)
φ (ξ ) = 0
(3.2.3)
ii)
ηo φ = 0
(3.2.4)
iii)
rank φ = 2n
(3.2.5)
dir (Yano ve Kon 1984).
İspat :
i) ∀X ∈ χ ( M ) için (3.2.2) den φ 2 (X ) = − X + η( X )ξ eşitliğinde X = ξ alınırsa
φ 2 (ξ ) = −ξ + η(ξ )ξ ; η(ξ ) = 1
= −ξ + ξ
=0
Öncelikle φ (ξ ) = 0 eşitliğini Olmayana Ergi Yöntemi ile ispatlayalım.
Kabul edelim ki φ(ξ ) ≠ 0 olsun. φ 2 (ξ ) = 0 ifadesinde ξ yerine φ ξ alınırsa
φ 2 (φξ ) = 0
φ 2 (φξ ) = −φξ + η(φξ )ξ = 0
φξ = η(φξ )ξ
(3.2.6)
olur. Burada η(φξ ) = 0 ve η(φξ ) ≠ 0 olmak üzere iki durum ortaya çıkar.
η(φξ ) = 0 olduğunda φξ = 0 olur. Bu ise φ(ξ ) ≠ 0 kabulümüz ile çelişir. Demek ki
kabulümüz yanlış olup φξ = 0 olmak zorundadır.
η(φξ ) ≠ 0 olduğunda (3.2.6) eşitliği soldan φ ile çarpılırsa
φ 2 (ξ ) = η(φ(ξ ))φ(ξ )
olur. φ 2 (ξ ) = 0 ve η(φξ ) ≠ 0 dolayısı ile (φξ ) = 0 olur. Bu ise φ(ξ ) ≠ 0 kabulümüz
ile çelişir.Demek ki kabulümüz yanlış olup φξ = 0 olmak zorundadır.
Sonuç olarak her iki durumda da φξ = 0 olur.
ii) (3.2.2) den ∀X ∈ χ ( M ) için φ 2 (X ) = − X + η(X)ξ olduğundan X = φ(X) alınarak
φ3 (X ) = φ 2 (φX ) = φ(φ 2 ( X ))
= φ( − X + η( X )ξ )
; φ lineer olduğundan
= −φ(X ) + φ(η( X )ξ )
= −φ(X ) + η( X )φ(ξ )
φ3 (X ) = −φ(X ) + η(φ( X ))ξ
(3.2.7)
elde edilir.
φ(ξ ) = 0
olduğundan
φ3 (X ) = −φ(X )
(3.2.7) ve (3.2.8) den
η(φ(X ))ξ = 0
olur. Ayrıca
(3.2.8)
ξ ≠0
olduğundan
η(φ(X )) = 0
dır. Bu ise
(ηoφ)(X ) = 0( X )
olur ki ∀X ∈ χ ( M ) için doğru olduğundan
ηoφ = 0
olur.
lineer
iii) φ:χ (M ) 
→ χ (M ) dönüşümünün çekirdeği Ker φ olmak üzere
Ker φ={X ∈ χ (M ) φ(X ) = 0}
şeklindedir.
∀X ∈ Kerφ için
φ(X ) = 0
, eşitliğin her iki tarafına φ uygulanırsa
φ(φ(X )) = φ(0)
,
φ 2 (X ) = 0
(3.2.2) den
− X + η(X )ξ = 0
X = η(X )ξ
olur. Böylece ∀X ∈ Kerφ için X ∈ Sp{ξ } olur ki bu da
Ker φ ⊂ Sp{ξ }
(3.2.9)
demektir.
∀X ∈ Sp{ξ } için
X = λξ
,
φ( X ) = λ φ(ξ )
;
φ(ξ ) = 0 ,
φ( X ) = 0
olur. Böylece ∀X ∈ Sp{ξ } için X ∈ Kerφ olur ki bu da
Sp{ξ } ⊂ Ker φ
(3.2.9) ve (3.2.10) dan Ker φ = Sp{ξ } demektir.
Sonuç olarak
rank φ+sıfırlık φ = boy χ ( M )
ve
sıfırlık φ = boy ( Ker φ) = 1
(3.2.10)
olduğundan
rank φ=2n
dır.
3.3. Hemen Hemen Kontak Metrik Manifold
Tanım 3.3.1. (2n+1)-boyutlu M diferensiyellenebilir Riemann Manifoldunu ele alalım.
(φ,ξ ,η) hemen hemen kontak yapısıyla birlikte M nin bir P noktasındaki g P Riemann
metriği
2-lineer
g P : TM ( P ) × TM ( P )  simetrik

→
poz. tanımlı
dir.
∀X , Y ∈ χ ( M ) ve ξ ∈ χ ( M ) için
η( X ) = g ( X , ξ )
(3.3.1)
g (φ( X ), φ(Y )) = g ( X , Y ) − η( X ) η(Y )
(3.3.2)
koşullarını sağlayan g metriğine M üzerinde hemen hemen kontak metrik, (φ,ξ ,η,g)
yapısına da hemen hemen kontak metrik yapı, ( M , φ,ξ ,η,g) beşlisine de hemen
hemen kontak metrik manifold denir (Yano ve Kon 1984).
(3.3.2) eşitliğinde Y = ξ alınırsa
g (φ( X ), φ(ξ )) = g ( X , ξ ) − η( X ).η(ξ )
η( X ) = g ( X , ξ )
olur.
;
φ(ξ ) = 0 , η(ξ ) = 1
φ anti-simetrik olduğundan φ* = −φ dır.
g (φ( X ), φ(Y )) = g ( X , φ* (φ(Y )))
= g ( X , − φ(φ(Y )))
= − g ( X , φ 2 (Y ))
;
φ 2 (Y ) = −Y + η(Y )ξ
= − g ( X , −Y + η(Y )ξ )
;
g lineer
= g ( X , Y ) − η(Y ) g ( X , ξ ) ;
g ( X , ξ ) = η( X )
= g ( X , Y ) − η( X ) η(Y )
olur.
Örnek 3.3.1. Örnek (3.2.1) deki (
3
, φ, ξ , η) hemen hemen kontak manifoldunda bir g
metriği şöyle tanımlansın.
1
g = ((1 + y 2 )dx 2 + dy 2 + dz 2 − 2 ydxdz )
4
3
de g metriğinin matris yazılımı
g = a11dx 2 + a22 dy 2 + a33 dz 2 + 2a12 dxdy + 2a13 dxdz + 2a23 dydz
dir. Ayrıca g nin matrisi simetrik olduğundan g metriğinin matris yazılımı
1 + y 2
1
g=  0
4
 −y
şeklinde olup (
3
0 −y

1 0 
0 1 
, φ, ξ , η, g ) beşlisi bir hemen hemen kontak metrik manifolddur.
 0 1 0   x1   x2 


φ( X ) =  −1 0 0  .  x2  =  − x1 
 0 y 0   x   yx 

  3  2
 0 1 0   y1   y2 


φ(Y ) =  −1 0 0  .  y2  =  − y1 
 0 y 0   y   yy 

  3  2
1
η( X ) = ( x3 − yx1 )
2
η(Y ) =
,
,
,
1
( y3 − yy1 )
2
,
g (φ( X ), φ(Y ) = (φ X )T g (φ Y )
olduğundan
1 + y 2
1
g (φ( X ), φ(Y )) =  x2 -x1 yx2  .  0
4
 −y
0 − y   y2 

 
1 0  .  − y1 
0 1   yy2 


 y2 

 1
1
= .  x2 -x1 0  .  − y1  = ( x2 y2 + x1 y1 ) ,
4
 yy  4
 2
η( X ) η(Y ) =
1
1
( x3 − yx1 ). ( y3 − yy1 ) ,
2
2
1
η( X ) η(Y ) = ( x3 y3 − yx3 y1 − yx1 y3 + y 2 x1 y1 ) ,
4
g ( X ,Y ) =
=
1
((1 + y 2 ) x1 y1 − yx1 y3 + x2 y2 − yx3 y1 + x3 y3 )
4
1
1
( x1 y1 + x2 y2 ) + ( x3 y3 + y 2 x1 y1 − yx1 y3 − yx3 y1 ) ,
4
4
g (φ( X ), φ(Y )) = g ( X , Y ) − η( X ) η(Y ) ,
g ( X , Y ) = g (φ( X ), φ(Y )) + η( X ) η(Y )
dır.
Şimdi η( X ) = g ( X , ξ ) olduğunu gösterelim.
1 + y 2
1
g ( X , ξ ) = [ x1 x2 x3 ] .  0
4
 −y
 −2 y 
1
= [ x1 x2 x3 ] .  0 
4
 2 
1
g ( X , ξ ) = ( x3 − yx1 )
2
1
η( X ) = ( x3 − yx1 )
2
olduğundan
0 − y  0 

1 0  . 0 
0 1   2 
,
η( X ) = g ( X , ξ )
olup (
3
, φ, ξ , η, g ) beşlisi bir hemen hemen kontak metrik manifold olur.
Teorem 3.3.1. (φ,ξ ,η) hemen hemen kontak yapısıyla birlikte (2n+1) –boyutlu
M diferensiyellenebilir manifoldu verilsin.
∀X , Y ∈ χ ( M ) için
g (φ(X),φ(Y)) = g ( X , Y ) − η( X ) η(Y )
olacak şekilde bir g Riemann metriği daima vardır (Blair 1976).
İspat: Her manifoldunda bir Riemann metriği vardır. O halde h ' , M de herhangi bir
Riemann metrik olsun ve h metriğide ∀X , Y ∈ χ ( M ) için
h( X , Y ) = h ' (φ 2 ( X ), φ 2 (Y )) + η( X ) η(Y )
şeklinde tanımlansın. Önce h nın Riemann metriği olduğunu gösterelim.
1) h metriği simetriktir.
2) h nın bi-lineer olduğunu gösterelim.
∀X , Y , Z ∈ χ ( M ) ve ∀a, b ∈
için h ' , φ ve η nın lineerliği kullanılarak,
h(aX + bY , Z ) = h ' (φ 2 (aX + bY ), φ 2 ( Z )) + η(aX + bY ) η( Z )
= h ' [a φ 2 ( X ) + b φ 2 (Y ), φ 2 ( Z )] + a η( X ) η( Z ) + b η(Y ) η( Z )
= ah ' (φ 2 ( X ), φ 2 ( Z )) + bh ' (φ 2 (Y ), φ 2 ( Z )) + a η( X ) η( Z ) + b η(Y ) η( Z )
= a[h ' (φ 2 ( X ), φ 2 ( Z )) + η( X ) η( Z )] + b[h ' (φ 2 (Y ), φ 2 ( Z )) + η(Y ) η( Z )]
h(aX + bY , Z ) = ah( X , Z ) + bh(Y , Z )
dır.
h simetrik olduğundan ∀X , Y , Z ∈ χ ( M ) ve ∀a, b ∈
için
h( X , aY + bZ ) = ah( X , Y ) + bh(Y , Z )
olur. O halde h bi-lineerdir.
3) ∀X ∈ χ ( M ) için
h( X , X ) = h ' (φ 2 ( X ), φ 2 ( X )) + η( X ) η( X )
= h ' (φ 2 ( X ), φ 2 ( X )) + η2 ( X )
dir. h ' Riemann metrik olduğundan h ' (φ 2 ( X ), φ 2 ( X )) ifadesi X ≠ 0 için pozitiftir.
Ayrıca η2 ( X ) de pozitif olduğundan
h( X , X ) ⟩ 0
h( X , X ) = 0
; X ≠0
,
ise
η( X ) = 0
g ( X ,ξ ) = 0
;
η( X ) = g ( X , ξ )
⇒ X =0.
Demek ki h metriği pozitif definitdir. O halde h bir Riemann metriği olur.
Şimdi g yi ∀X , Y ∈ χ ( M ) için
1
g ( X , Y ) = [h( X , Y ) + h(φ( X ), φ(Y )) + η( X ) η(Y )]
2
(2.2.13)
şeklinde tanımlayalım ve g nin Riemann metriği olduğunu gösterelim.
g simetriktir:
1
g ( X , Y ) = [h( X , Y ) + h(φ( X ), φ(Y )) + η( X ) η(Y )]
2
; h simetrik
1
= [h(Y , X ) + h(φ(Y ), φ( X )) + η(Y ) η( X )]
2
= g (Y , X ) .
g bi-lineerdir:
∀X , Y , Z ∈ χ ( M ) ve ∀a, b ∈
için
1
g (aX + bY , Z ) = [h(aX + bY , Z ) + h(φ(aX + bY ).φ( Z )) + η(aX + bY ) η( Z )]
2
1
= [ah( X , Z ) + bh(Y , Z ) + h(a φ( X ) + b φ(Y ), φ( Z )) + a η( X ) η( Z ) + b η(Y ) η( Z )
2
= ag ( X , Z ) + bg (Y , Z ) .
Ayrıca g simetrik olduğundan
g ( X , aY + bZ ) = ag ( X , Y ) + bg ( X , Z ) .
g pozitif-definitdir:
∀X ∈ χ ( M ) için g ( X , X ) = 0 olsun.
1
g ( X , X ) = [h( X , X ) + h(φ( X ), φ( X )) + η( X ) η( X )]
2
η( X ) = 0
;
g ( X ,ξ ) = 0
η( X ) = g ( X , ξ )
⇒ X = 0.
X ≠ 0 için h( X , X ) ⟩ 0 , h(φ( X ), φ( X )) ⟩ 0 ve η2 ( X ) ⟩ 0 olduğu için g ( X , X ) ⟩ 0
olur.
O halde g Riemann metriği olur.
(3.3.3) eşitliğinde X = φ( X ) ve Y = φ(Y ) alınırsa
1
g (φ( X ), φ(Y )) = [h(φ( X ), φ(Y )) + h(φ 2 ( X ), φ 2 (Y )) + η(φ( X )) ηφ(Y )]
2
1
= [h(φ( X ), φ(Y )) + h(− X + η( X )ξ , −Y + η(Y )ξ )]
2
;
ηoφ = 0
;
h lineer
1
g (φ( X ), φ(Y )) = [h(φ( X ), φ(Y )) + h( X , Y ) − η(Y )h( X , ξ ) − η( X )h(ξ , Y ) + η( X ) η(Y )h(ξ , ξ )]
2
h( X , ξ ) = η( X ) ,
h(ξ , Y ) = η(Y ) ve h(ξ , ξ ) = η(ξ ) = 1
olduğundan
1
g (φ( X ), φ(Y )) = [h(φ( X ), φ(Y )) + h( X , Y ) − η( X ), η(Y )]
2
1
= [h(φ( X ), φ(Y )) + h( X , Y ) − η( X ) η(Y ) + 2η( X ).η(Y )]-η( X )η(Y )
2
1
= [h( X , Y ) + h(φ( X ), φ(Y )) + η( X )η(Y )]-η( X )η(Y )
2
= g ( X , Y )-η( X )η(Y )
dır.
Sonuç 3.3.1. (2n+1) –boyutlu M Riemann manifoldu ve (φ, ξ , η, g ) hemen hemen
kontak metrik yapı olsun. ∀X , Y ∈ χ ( M ) için
g (φ( X ), Y ) = -g( X , φ(Y )) .
(3.3.4)
Yani, φ g ye göre anti-simetrik tensör alanıdır (Yano ve Kon 1984).
İspat:
∀X , Y ∈ χ ( M ) için
g (φ( X ), φ(Y )) = g ( X , Y ) − η( X ) η(Y )
eşitliğinde X = φ( X ) alınırsa
g (φ 2 ( X ), φ(Y )) = g (φ( X ), Y ) − η(φ( X )) η(Y )
g (− X + η( X )ξ , φ(Y )) = g (φ( X ), Y )
− g ( X , φ(Y )) + η ( X ) g (ξ , φ(Y )) = g (φ( X ), Y )
;
ηoφ = 0
;
g lineer
; g (ξ , φ(Y )) = η(φ(Y )) = 0
g (φ( X ), Y ) = − g ( X , φ(Y ))
olur. Bu ise φ nin anti-simetrik bir tensör alanı olması demektir.
Sonuç 3.3.2. g metriğine karşılık gelen matris A ise ∀X , Y ∈ χ ( M ) için
g ( X , Y ) = X Τ ΑY
(3.3.5)
olmak üzere
lineer
φ : χ ( M ) 
→ χ (M )
→ φ( X ) = BX
X 
Y 
→ φ(Y ) = BY
için
BT Α = −ΑB
(3.3.6)
dır.
İspat:
g ( BX , Y ) = − g ( X , BY )
( BX )T ΑY = − X T Α( BY )
X T BT ΑY = − X T ΑBY
; soldan ( X T ) −1 , sağdan Y −1
BT Α = −ΑB
dır. Özel olarak Α = I olursa
BT = − B
olur. Buda φ ye karşılık gelen matris anti-simetrik olur demektir.
Teorem 3.3.2. (2n+1) –boyutlu bir hemen hemen kontak manifoldu M verilsin. M nin
kontak formu verildiğinde, ∀X , Y ∈ χ ( M ) için
lineer
φ : χ ( M ) 
→ χ (M )
g ( X , φ(Y )) = d η( X , Y )
(3.3.7)
olacak şekilde bir (φ, ξ , η, g ) hemen hemen kontak metrik yapısı vardır (Yano ve Kon
1984).
İspat:
η kontak formu için ∀X ∈ χ ( M ) noktasında
d η(ξ , TX ( M )) =0 olacak şekilde bir
ξ vektör alanı vardır.
φ anti-simetrik (1.1) tensör alanı olsun.
η( X ) = h( X , ξ ) olacak şekilde bir h Riemann metriği her zaman vardır. Diğer yandan
d η öyle bir simplektif formdur ki ξ nın ortogonal tümleyeni üzerindedir ve bu
tümleyen üzerinde
g ' ( X , φ(Y )) = d η( X , Y )
ve
φ2 = I
olacak şekilde bir g ' metriği ve bir φ endomorfizmi vardır.
φ(ξ ) = 0 koşulunu sağlayan φ yi genişleterek ve ξ nın doğrultusunda h ile uyumlu
g metriğine g ' genişletilirse
φ : ξ ⊥ 
→ξ ⊥
dönüşümü için (φ, ξ , η, g ) hemen hemen kontak metrik yapısına sahip oluruz. Bu ise
g ( X , φ(Y )) = d η( X , Y )
demektir.
3.4 Kontak Manifoldlarda İkinci Temel Form
Tanım 3.4.1. M üzerinde bir (φ, ξ , η, g ) hemen hemen kontak metrik yapısı verilsin.
∀X , Y ∈ χ ( M ) için
Ф( X , Y ) = g ( X , φ(Y )) = d η( X , Y )
(3.4.1)
şeklinde tanımlı Ф dönüşümüne (φ, ξ , η, g ) hemen hemen kontak metrik yapısının II.
Temel Formu denir. Burada η kontak formu için yazılan η∧ (d η)n ≠ 0 koşulu
η∧ (Ф) n ≠ 0 halini alır (Yano ve Kon 1984).
Örnek 3.4.1. Örnek 3.3.1 deki (
3
, φ, ξ , η, g ) beşlisi bir hemen hemen kontak manifold
olsun. Daha önce bu manifoldun hemen hemen kontak metrik manifold olduğunu
gösterdik.
Şimdi (φ, ξ , η, g ) hemen hemen kontak metrik yapısının II. Temel Formunu bulalım.
1
η = (dz − ydx) ,
2
1
d η = [d (dz ) − ydy ∧ dx − yd (dx)] ; d (dz ) = 0 , d (dx) = 0
2
veya
dη=
dan elde edilen
1
(dx ∧ dy )
2
1
Ф = (dx ∧ dy )
2
ifadesi (
3
, φ, ξ , η, g ) hemen hemen kontak metrik manifoldunun II. Temel Formudur.
Tanım 3.4.2. (2n+1)-boyutlu hemen hemen kontak metrik manifoldu
( M , φ, ξ , η, g ) olsun. Eğer, ∀X , Y ∈ χ ( M ) için
d η( X , Y ) = g ( X , φ(Y )) = Ф( X , Y )
oluyorsa (φ, ξ , η, g ) dörtlüsüne kontak metrik yapı ve ( M , φ, ξ , η, g ) ye de kontak
metrik manifold denir (Yano ve Kon 1984).
Sonuç 3.4.1. Ф = d η eşitliğini sağlayan (φ, ξ , η, g ) hemen hemen kontak metrik yapısı
aynı zamanda kontak metrik yapıdır (Yano ve Kon 1984).
Sonuç 3.4.2. Her kontak metrik manifold aynı zamanda kontak manifolddur(Yano ve
Kon 1984).
Önerme 3.4.1. w bir r-form olmak üzere ∀ X 0 , X1 ,..., X r ∈ χ ( M ) için
dw (X 0 , X1 ,..., X r ) =
1 r
(−1)i X i ( w(X 0 , X1 ,..., X i ,..., X r ))
∑
r + 1 i=0
+
n
1
(−1)i + j w([Xi , X j ],X 0 , X1 ,..., Xi ,..., X j ,..., X r )
∑
r + 1 0 ≤i ≤ j ≤ r
dir.
Özel olarak w bir 1-form ise
2dw( X , Y ) = X ( w(Y )) − Y ( w( X )) − w([ X , Y ])
dir.
(3.4.2)
Teorem 3.4.1. M üzerinde (φ, ξ , η, g ) hemen hemen kontak metrik yapısı için
1
Φ( X , Y ) = [ g ( DX ξ , Y ) − g ( DY ξ , X )]
2
(3.4.3)
dir (Yano ve Kon 1984).
İspat :
η 1-form olduğundan ∀X , Y ∈ χ ( M ) için
2d η( X , Y ) = X (η(Y )) − Y (η( X )) − η([ X , Y ])
(3.4.4)
dır.
(φ, ξ , η, g ) hemen hemen kontak metrik yapı olduğundan
η( X ) = g ( X , ξ )
,
η(Y ) = g (Y , ξ )
,
η([ X , Y ]) = g ([ X , Y ], ξ )
ifadeleri (3.4.4) de yerine yazılırsa
2d η( X , Y ) = X ( g (Y , ξ )) − Y ( g ( X , ξ )) − g ([ X , Y ], ξ )
elde edilir, burada
X ( g (Y , ξ )) = g ( DX Y , ξ ) + g (Y , DX ξ )
Y ( g ( X , ξ )) = g ( DY X , ξ ) + g ( X , DY ξ )
eşitlikleri (3.4.5) de yerlerine yazılırsa
(3.4.5)
2d η( X , Y ) = g ( DX Y , ξ ) + g (Y , DX ξ ) − g ( DY X , ξ ) − g ( X , DY ξ ) − g ([ X , Y ], ξ )
= g ( DX Y − DY X , ξ ) + g (Y , DX ξ ) − g ( X , DY ξ ) − g ([ X , Y ], ξ )
= g (Y , DX ξ ) − g ( X , DY ξ )
ve
d η( X , Y ) = Φ( X , Y )
olduğundan
1
Φ( X , Y ) = [ g ( DX ξ , Y ) − g ( DY ξ , X )]
2
olur.
Teorem 3.4.2. (2n+1)-boyutlu diferensiyellenebilir Riemann manifoldu M , (φ, ξ ,η , g )
kontak metrik yapısıyla verilsin. ∀X , Y ∈ χ ( M ) için
d η( X , ξ ) = 0
(3.4.6)
d η(φ( X ), Y ) + d η( X , φ(Y )) = 0
(3.4.7)
ve
dır (Yano ve Kon 1984).
İspat:
(3.3.7) den ∀X , Y ∈ χ ( M ) için
d η( X , Y ) = g ( X , φ(Y ))
eşitliğinde Y = ξ alınırsa
d η( X , ξ ) = g ( X , φ(ξ ))
φ(ξ ) = 0
;
d η( X , ξ ) = 0
olur.
Ayrıca (3.3.7) den
d η(φ( X ), Y ) = g (φ( X ), φ(Y ))
d η( X , φ(Y )) = g ( X , φ 2 (Y ))
(3.3.8)
;
φ anti-simetrik
= − g (φ( X ), φ(Y ))
(3.3.8) ve (3.3.9) dan
d η(φ( X ), Y ) + d η( X , φ(Y )) = 0
dır.
3.5. Hemen Hemen Kontak Manifoldların Torsiyon Tensörü
Tanım 3.5.1. V bir vektör uzayı olmak üzere
J :V → V
lineer dönüşümü
J 2 = −I
(3.3.9)
koşulunu sağlıyorsa J ye V üzerinde bir kompleks yapı denir (Yano ve Kon 1984).
M , (2n + 1) -boyutlu hemen hemen kontak manifoldu verilsin.
olduğundan M ×
de bir manifolddur.
χ( ) ={ f
d
: f ∈ C ∞ ( M , )}
dt
χ ( M × ) = {( X , f
olmak üzere X , M ye teğet bir vektör alanı, t de
f
d
, M×
dt
de bir manifold
d
) X ∈ χ (M ) ,
dt
f
d
∈ χ ( )}
dt
nin bir koordinatı ve
üzerinde tanımlı bir fonksiyondur. M ×
nin tanjant uzayındaki bir
J lineer dönüşümü
lineer
J : χ ( M × ) 
→ χ (M × )
(X , f
d
d
) 
→ J(X , f )
dt
dt
olmak üzere
J (X , f
d
d
) = (φ( X ) − f ξ , η( X ) )
dt
dt
şeklinde tanımlanır (Yano ve Kon 1984).
Teorem 3.5.1. J dönüşümü
i)
Lineer bir dönüşümdür.
ii)
J 2 = −I
dır (Yano ve Kon 1984).
İspat:
i) ∀a, b ∈
ve ∀( X , f
d
d
), (Y , g ) ∈ χ ( M × ) için
dt
dt
(3.5.1)
J (a( X , f
d
d
d
) + b(Y , g )) = J (aX + bY , (af + bg ) )
dt
dt
dt
= (φ(aX + bY ) − (af + bg )ξ , η(aX + bY )
d
)
dt
; φ ve η lineer
d
d
+ b η(Y ) )
dt
dt
d
d
= (a φ( X ) − af ξ , a η( X ) ) + (b φ(Y ) − bgξ , b η(Y ) )
dt
dt
d  
d 

= a  φ( X ) − f ξ , η( X )  + b  φ(Y ) − gξ , η(Y ) 
dt  
dt 

= (a φ( X ) + b φ(Y ) − af ξ − bgξ , a η( X )
= a J(X , f
d
d
) + bJ (Y , g )
dt
dt
O halde J lineer bir dönüşümdür.
ii) ∀( X , f
d
) ∈ χ ( M × ) için
dt
J 2(X , f
d
d
d
) = J ( J ( X , f )) = J (φ( X ) − f ξ , η( X ) )
dt
dt
dt
d 

=  φ(φ( X ) − f (ξ ) − η( X )ξ , η(φ( X ) − f ξ )  ; η lineer
dt 

d
d
= φ 2 ( X ) − f φ(ξ ) − η( X )ξ , (η o φ)( X ) − f η(ξ ) )
dt
dt
Tanım 3.2.1 ve Teorem 3.2.1 den
J 2(X , f
d
d
) = (φ 2 ( X ) − η( X )ξ , − f )
dt
dt
= (− X + η( X )ξ − η( X )ξ , − f
d
)
dt
d
= −I ( X , f )
dt
= (− X , − f
;
d
)
dt
φ 2 ( X ) = − X + η( X )ξ
∀( X , f
d
) ∈ χ ( M × ) için
dt
J 2(X , f
d
d
) = −I ( X , f )
dt
dt
olduğundan
J 2 = −I
olur.
Sonuç 3.5.1. ( M × ) nin tanjant uzayında tanımlı J dönüşümü ( M × ) üzerinde bir
hemen hemen kompleks yapı oluşturur (Yano ve Kon 1984).
Teorem 3.5.2. V , W sırasıyla n ve m boyutlu iki vektör uzayı olsun.
A : V 
→W
dönüşümü lineer ise bu dönüşüm Α ∈ Fnm tipinde bir matrise karşılık gelir ve tersine her
Α ∈ Fnm tipinde matrise bir lineer dönüşüm karşılık gelir (Hacısalihoğlu 1998).
Teorem 3.5.3 . (2n + 1) -boyutlu ( M , φ, ξ , η) hemen hemen kontak metrik manifoldu
verilsin. Teorem 3.5.2 uyarınca
lineer
J : χ ( M × ) 
→ χ (M × )
(X , f
d
d
d
) 
→ J ( X , f ) = (φ( X ) − f ξ , η( X ) )
dt
dt
dt
lineer dönüşümüne (2n + 2) × (2n + 2) tipinde bir matris karşılık gelir ve bu matris
0

-I
J = n
0

0
I n 0 0

0 0 0
0 0 1

0 -1 0 
şeklindedir (Yıldırım 2004).
İspat: χ ( M ) = Sp{e1 , e2 ,..., en , φ(e1 ), φ(e2 ),..., φ(en ), ξ }
dır. Burada
Ei = (ei , 0)
; 1≤ i ≤ n
φ (Ei ) = (φ(ei ), 0)
; 1≤ i ≤ n
E2 n +1 = (ξ , 0)
E2 n + 2 = (0,
d
)
dt
denilirse
χ ( M × ) = Sp{E1 , E2 ,..., En , φ( E1 ), φ( E2 ),..., φ( En ), E2 n+1 , E2 n+ 2 }
olur. Buna göre
J ( Ei ) = J (ei , 0) = (φ(ei ) − 0.ξ , η(ei )
d
)
dt
; 1≤ i ≤ n
J ( Ei ) = (φ(ei ), 0)
J ( Ei ) = φ( Ei )
; 1≤ i ≤ n
(3.5.2)
J (φ( Ei )) = (φ(ei ), 0)
= (φ 2 (ei ) − 0.ξ , η ( φ(ei ))
d
)
dt
; ηο φ = 0
= (−ei + η(ei )ξ , 0)
= (−ei ,0)
J (φ( Ei )) = − Ei
; 1≤ i ≤ n
(3.5.3)
J ( E2 n +1 ) = J (ξ ,0)
= (φ(ξ ) − 0.ξ , η(ξ )
= (0,
d
)
dt
d
)
dt
J ( E2 n +1 ) = E2 n + 2
J ( E2 n + 2 ) = J (0,
(3.5.4)
d
)
dt
= (φ(0) − ξ , η(0)
d
)
dt
= (−ξ ,0)
J ( E2 n + 2 ) = − E2 n +1
(3.5.5)
(3.5.2) , (3.5.3) , (3.5.4) ve (3.5.5) eşitlikleri yardımıyla J lineer dönüşümüne karşılık
gelen matrisi bulalım.
J ( E1 ) = 0.E1 + 0.E2 + ... + 0.En + 1.φ( E1 ) + 0.φ( E2 ) + ... + 0.φ( En ) + 0.E2 n +1 + 0.E2 n + 2
J ( E2 ) = 0.E1 + 0.E2 + ... + 0.En + 0.φ( E1 ) + 1.φ( E2 ) + ... + 0.φ( En ) + 0.E2 n +1 + 0.E2 n + 2
M
J ( En ) = 0.E1 + 0.E2 + ... + 0.En + 0.φ( E1 ) + 0.φ( E2 ) + ... + 1.φ( En ) + 0.E2 n +1 + 0.E2 n + 2
J (φ( E1 )) = −1.E1 + 0.E2 + ... + 0.En + 0.φ( E1 ) + 0.φ( E2 ) + ... + 0.φ( En ) + 0.E2 n +1 + 0.E2 n + 2
J (φ( E2 )) = 0.E1 − 1.E2 + ... + 0.En + 0.φ( E1 ) + 0.φ( E2 ) + ... + 0.φ( En ) + 0.E2 n +1 + 0.E2 n + 2
M
J (φ( En )) = 0.E1 + 0.E2 + ... − 1.En + 0.φ( E1 ) + 0.φ( E2 ) + ... + 0.φ( En ) + 0.E2 n +1 + 0.E2 n + 2
J ( E2 n +1 ) = 0.E1 + 0.E2 + ... + 0.En + 0.φ( E1 ) + 0.φ( E2 ) + ... + 0.φ( En ) + 0.E2 n +1 + 1.E2 n + 2
J ( E2 n + 2 ) = 0.E1 + 0.E2 + ... + 0.En + 0.φ( E1 ) + 0.φ( E2 ) + ... + 0.φ( En ) − 1.E2 n +1 + 0.E2 n + 2
Buna göre
0

-I
J = n
0

0
I n 0 0

0 0 0
0 0 1

0 -1 0 
olur.
Tanım 3.5.2. (2n + 1) -boyutlu bir M manifoldu (φ, ξ , η, g ) hemen hemen kontak yapısı
ile verilsin. M ×
de Braket operatörü
[ , ]: χ ( M × ) × χ ( M × ) 
→ χ (M × )
(( X , f
d
d
d
d 

), (Y , g )) 
→ ( X , f ), (Y , g ) 
dt
dt
dt
dt 

olmak üzere
d
d 
d

(
X
,
f
),
(
Y
,
g
)
=
([
X
,
Y
],
(
X
(
g
)
−
Y
(
f
)
)

dt
dt 
dt
dır (Camcı 2003).
(3.5.6)
Tanım 3.5.3. M diferensiyellenebilir bir manifold olmak üzere F, (1,1) tipinde tensör
alanı olsun.
∀X , Y ∈ χ ( M )
için
N F : χ ( M ) × χ ( M ) 
→ χ (M )
( X , Y ) 
→ NF ( X ,Y )
olmak üzere
N F ( X , Y ) = F 2 ([ X , Y ]) + [ F ( X ), F (Y )] − F ([ F ( X ), Y ]) − F ([ X , F (Y )])
(3.5.7)
şeklinde tanımlanan (1,2) tipinde N F tensör alanına F nin Nijenhuis torsiyon tensörü
denir.
Özel haller;
i) F = φ olması durumunda
∀X , Y ∈ χ ( M ) için
N φ ( X , Y ) = −[ X , Y ] + η[ X , Y ]ξ + [φ( X ), φ(Y )] − φ[φ( X ), Y ] − φ[ X , φ(Y )]
(3.5.8)
şeklinde tanımlanan N φ tensör alanına φ nin Nijenhuis torsiyon tensörü denir.
ii) F = J olması halinde
N j (( X , f
d
d
d
d
d
d
), (Y , g )) = −[( X , f ), (Y , g )] + [ J ( X , f ), J (Y , g )]
dt
dt
dt
dt
dt
dt
d
d
d
d
− J [ J ( X , f ), (Y , g )] − J [( X , f ), J (Y , g )]
dt
dt
dt
dt
(3.5.9)
şeklinde tanımlı N j tensör alanına J hemen hemen kompleks yapısının Nijenhuis
torsiyon tensörü denir (Kocayiğit 2004).
Sonuç 3.5.2 N F Nijenhuis torsiyon tensörü bi-lineer ve antisimetrik tensördür.
Tanım 3.5.4. ( M × , J ) hemen hemen kontak manifoldu verilsin. N j ≡ 0 ise J hemen
hemen kompleks yapısına integrallenebilirdir denir (Yano ve Kon 1984, Blair 2002).
Tanım 3.5.5. M üzerinde bir vektör alanı X ve X ile gerilmiş lokal dönüşümlü 1parametreli grup φt olsun. X vektör alanına göre bir F tensör alanının Lx F ile
gösterilen Lie türevi ;
1
Lx F = lim  Fp − (ϕt F ) p 
t →0 t
Lx F = [ X , F ]
(3.5.10)
olarak tanımlanır (Yano ve Kon 1984).
Önerme 3.5.1. Lx F = 0 olması için gerek ve yeter koşul ∀t ∈
için φt nin F yi
invaryant bırakmasıdır. (Yano ve Kon 1984).
Önerme 3.5.2. X vektör alanına Lx ile gösterilen Lie türevi, aşağıdaki özellikleri
sağlar:
i) Lx ( F ⊗ F ') = ( Lx F ) ⊗ F '+ F ⊗ ( Lx F ')
; ( F , F ' herhengi tensör alanları)
ii) Lx f = X [ f ] = df ( X )
;
f ∈ C ∞ (M , )
iii) LxY = [ X , Y ]
;
X , Y ∈ χ (M )
iv)
r −lineer
T : χ ( M ) × χ ( M ) × ... × χ ( M ) →
C ∞ (M , )
r −lineer
( X 1 , X 2 ,..., X r ) →
T ( X 1 , X 2 ,..., X r )
olmak üzere T , (1, r ) -tipinden tensördür. Burada
r
( LX T )( X 1 , X 2 ,..., X r ) = X (T ( X 1 , X 2 ,..., X r )) − ∑ T ( X 1 ,...,[ X , X i ],..., X r )
i =1
şeklindedir.
v) ( Lx F )(Y ) = X ( F (Y )) − F ([ X , Y ]) , ∀X , Y ∈ χ ( M ) ve F , (0,1) -tipinden tensör
vi) ( Lx g )(Y , Z ) = X ( g (Y , Z )) − g ([ X , Y ], Z ) − g (Y ,[ X , Z ] , ∀X , Y , Z ∈ χ ( M )
Burada g , (0, 2) -tipli geometrik (metrik) tensördür.
vii) ( LX T )(W 1 ,W 2 ,...,W p , X 1 , X 2 ,..., X q ) = X (T (W 1 ,W 2 ,...,W p , X 1 , X 2 ,..., X q ))
p
−∑ T (W 1 ,..., LX W i ,..., W p , X 1 , X 2 ,..., X q )
i =1
p
−∑ T (W 1 ,..., W p , X 1...,[ X , X i ],..., X q )
i =1
burada T , ( p, q ) -tipli bir tensör alanıdır (Yano ve Kon 1984).
Teorem 3.5.4. (2n + 1) -boyutlu diferensiyellenebilir bir manifold M, (φ, ξ , η) hemen
hemen kontak yapısı verilmiş olsun.
∀X , Y ∈ χ ( M ) için,
dır (Camcı 2003).
( Lφ( x ) η)(Y ) = φ( X )(η(Y )) − η([φ( X ), Y ])
(3.5.11)
( Lξ η)( X ) = ξη( X ) − η([ξ , X ])
(3.5.12)
( Lξ φ)( X ) = [ξ , φ( X )] − φ([ξ , X ])
(3.5.13)
Teorem 3.5.5. ( M , φ, ξ , η, g ) hemen hemen kontak metrik manifoldu verilsin.
( Lφ( x ) η)(Y ) = ( Lφ(Y ) η)( X )
(3.5.14)
dir (Yano ve Kon 1984).
İspat: ∀X , Y ∈ χ ( M ) için,
2d η (φ( X ), Y ) = φ( X )η (Y ) − Y (η φ( X )) − η[φ( X ), Y ]
;η o φ = 0
2d η ( X , φ(Y )) = X (η( φ( X )) − φ(Y )η( X ) − η[ X , φ(Y )]
;η o φ = 0
eşitlikleri taraf tarafa toplanırsa
2 {d η (φ( X ), Y ) + d η ( X , φ(Y ))} = φ( X )η(Y ) − η[φ( X ), Y )] − φ(Y )η( X ) − η[ X , φ(Y )]
d η (φ( X ), Y ) = − d η ( X , φ(Y ))
olduğundan
φ( X )η(Y ) − η[φ( X ), Y ] − φ(Y )η( X ) − η[ X , φ(Y )] = 0
eşitliği 3.5.11 e göre düzenlenirse
( Lφ( x ) η)(Y ) − ( Lφ( y ) η)( X ) = 0
ve dolayısıyla
( Lφ( x ) η)(Y ) = ( Lφ( y ) η)( X )
olur.
Teorem 3.5.6. ( M , φ, ξ , η, g ) hemen hemen kontak metrik manifoldu verilmiş olsun.
h : χ ( M ) 
→ χ (M )
1
1
X 
→ h( X ) = ( Lξ φ)( X ) = ( Lξ φ( X ) − φ Lξ ( X ) )
2
2
(3.5.15)
şeklinde tanımlı h metriği
i)
Lineerdir.
ii)
h, φ ile anti-komutatittir (Yıldırım 2004).
İspat : i) ∀X , Y ∈ χ ( M ) için
1
( Lξ φ)( X + Y )
2
h( X + Y ) =
=
1
( Lξ (φ( X + Y ) − φ Lξ ( X + Y ) )
2
=
1
( Lξ (φ( X ) + φ(Y )) − φ Lξ ( X ) − φ Lξ (Y ) )
2
=
1
1
Lξ (φ( X )) + φ Lξ ( X ) ) + ( Lξ (φ(Y )) − φ Lξ (Y ) )
(
2
2
;
φ ve Lξ
lineer
(3.5.15) eşitliğinden
h( X + Y ) =
1
1
( Lξ φ)( X ) + ( Lξ φ)(Y )
2
2
ve dolayısıyla
h( X + Y ) = h( X ) + h(Y )
olur.
∀k∈
ve ∀ X ∈ χ ( M ) için
1
h(kX ) = ( Lξ φ)(kX )
2
1
= {Lξ φ(kX )) − φ Lξ (kX )} ; φ ve Lξ lineer
2
1
= {k ( Lξ φ( X )) − k φ Lξ ( X )}
2
k
= {Lξ φ( X )) − φ Lξ ( X )}
2
(3.5.15) eşitliğinden
h(kX ) = kh( X )
olur.
ii) ∀ X , Y ∈ χ ( M ) için
g ( X , φ(Y )) = d η ( X , Y )
1
= { X η(Y ) − Y η( X ) − η[ X , Y ]}
2
1
= {g ( DX Y , ξ ) + g (Y , DX ξ ) − g ( DY X , ξ )
2
− g ( X , DY ξ ) − g ( DX Y , ξ ) + g ( DY X , ξ )}
1
= {g ( Dxξ , Y ) − g ( DY ξ , X ) }
2
1
= {g (− φ( X ) − φ(h( X )), Y ) − g (− φ(Y ) − φ(h(Y )), X )}
2
1
= {g ( X , φ(Y ) − g (φ(h( X )), Y ) + g ( X , φ(Y )) + g (φ(h(Y )), X )}
2
1
1
= g ( X , φ(Y )) − g (φ(h( X )), Y ) + g (φ(h(Y )), X )
2
2
olur. Buna göre
g (φ(h( X ), Y ) = g (φ(h(Y )), X )
= − g (h(Y ), φ( X ))
= − g (Y , h(φ( X ))
= g (−h(φ( X )), Y )
olduğundan
φ(h( X )) = − h(φ( X ))
(φ h)( X ) = (− h φ)( X )
ve sonuç olarak
φ h = −h φ
olur.
Tanım 3.5.6. Eğer M ×
üzerinde bir J hemen hemen komplex yapısı integrallenebilir
ise (φ, ξ , η) hemen hemen kontak yapısına normaldir denir (Yano ve Kon 1984,Blair
2002).
Teorem 3.5.7. (2n + 1) -boyutlu ( M , φ, ξ , η) hemen hemen kontak manifoldu verilsin.
∀X , Y ∈ χ ( M ) için,
d 

N j (( X , 0)(Y , 0)) =  N (1) ( X , Y ), N (2) ( X , Y ) 
dt 

ve
d  
d 

N j  ( X , 0), (0, )  =  N (3) ( X ), N (4) ( X ) 
dt  
dt 

dir. Burada
N (1) ( X , Y ) = N φ ( X , Y ) + 2d η( X , Y )ξ
N (2) ( X , Y ) = ( Lφ( x ) η) (Y ) − ( Lφ(Y ) η) ( X )
N (3) ( X ) = ( Lξ φ ) ( X )
N (4) ( X ) = ( Lξη ) ( X )
şeklindedir (Blair 2002).
d 

İspat: N j (( X , 0), (Y , 0)) ve N j  ( X , 0), (0, )  torsiyon tensörlerini hesaplayalım.
dt 

N j (( X , 0), (Y , 0)) = −[( X , 0), (Y , 0)] + [ J ( X , 0), J (Y , 0)] − J [ J ( X , 0), (Y , 0)] − J [( X , 0), J (Y , 0)]
= −([ X , Y ], 0) + [(φ( X ), η( X )
d
d
d
), (φ(Y ), η(Y ) )] − J [(φ( X ), η( X ) ), (Y , 0)]
dt
dt
dt
− J [( X , 0), (φ(Y ), η(Y )
d
)]
dt
d 

= − ([ X , Y ], 0 ) +  [φ( X ), φ(Y )], ( φ( X )η(Y ) − φ(Y )η( X ) ) 
dt 

d 
d 


− J  [φ( X ), Y ], −Y η( X )  − J  [ X , φ(Y )], X η(Y ) 
dt 
dt 


d 

= − ([ X , Y ], 0 ) +  [φ( X ), φ(Y )], ( φ( X )η (Y ) − φ(Y )η ( X ) ) 
dt 

d 

−  φ[φ( X ), Y ] + Y η( X )ξ , η([φ( X ), Y ]) 
dt 

d 

−  φ[ X , φ(Y )] − X η(Y )ξ , η([ X , φ(Y )]) 
dt 

= ( −[ X , Y ] + [φ( X ), φ(Y )] − φ[φ( X ), Y ] − φ[ X , φ(Y )]
+ ( X η(Y ) − Y η( X ) ) ξ , φ( X )η(Y ) − φ(Y )η( X ) − η([φ( X ), Y ]) − η([ X , φ(Y )])
d
dt
)
= (−[ X , Y ] + [φ( X ), φ(Y )] − φ[φ( X ), Y ] − φ[ X , φ(Y )] + ( X η(Y ) − Y η( X ))ξ
+η[ X , Y ]ξ − η[ X , Y ]ξ , (φ( X )η(Y ) − φ(Y )η( X ) − η([φ( X ), Y ]) − η([ X , φ(Y )])
Ayrıca
2d η( X , Y ) = X (η(Y )) − Y (η( X )) − η[ X , Y ]
( Lφ X η)Y = φ( X )(η(Y )) − η([φ( X ), Y ])
( Lφ Y η) X = φ(Y )(η( X )) − η([φ(Y ), X ])
oldukları düşünülür ve
d
) (2.3.16)
dt
N φ ( X , Y ) = −[ X , Y ] + η[ X , Y ]ξ + [φ( X ), φ(Y )] − φ[φ( X ), Y ] − φ[ X , φ(Y )])
(3.5.16) da yerine yazılırsa
d 

N j (( X , 0), (Y , 0)) =  N φ ( X , Y ) + 2d η( X , Y )ξ , (( Lφ( X ) η)Y − ( Lφ(Y ) η) X ) 
dt 

N (1) ( X , Y )
N (2) ( X , Y )
Benzer mantıkla
N j (( X , 0), (0,
d
d  
d 

)) = − ( X , 0), (0, )  +  J ( X , 0), J (0, ) 
dt
dt  
dt 

d 
d 


− J  J ( X , 0), (0, )  − J  ( X , 0), J (0, ) 
dt 
dt 


d
d
d 



= (φ( X ), η( X ) ), (−ξ , 0)  − J (φ( X ), η( X ) ), (0, )  − J [ ( X , 0), (−ξ , 0) ]
dt
dt
dt 



= (−[φ( X ), ξ ], ξη( X )
d
d
) − J ([φ( X ), 0], (φ( X )(1) − 0) ) − J (−[ X , ξ ], 0)
dt
dt
= (−[φ( X ), ξ ), ξη( X )
d
d
) − (− φ[ X , ξ ], −η[ X , ξ ] )
dt
dt
d 

=  (φ[ X , ξ ] − [φ X , ξ ]), (ξη( X ) + η[ X , ξ ]) 
dt 

(3.517)
r
( LX ω )(Y1 ,..., Yr ) = LX (ω (Y1 ,..., Yr )) − ∑ ω (Y1 ,...,[ X , Y1 ],..., Yr )
i =1
olduğundan hareketle
( Lξ η) X = Lξ (η( X )) − η[ξ , X ]
(3.5.18)
ve
( Lξ φ) X = Lξ (φ X ) − φ[ξ , X ] = [ξ , φ X ] + φ[ X , ξ ]
= φ[ X , ξ ] − [φ( X ), ξ ]
olur.
(3.5.19)
(3.5.18) ve (3.5.19) eşitlikleri (3.5.17) de yazılırsa
N j (( X , 0), (0,
d
d
)) = (( Lξ φ) X , ( Lξ η) X )
dt
dt
N (3) ( X ) N (4) ( X )
olur. Sonuç olarak
N (1) ( X , Y ) = N φ ( X , Y ) + 2d η( X , Y )ξ
(3.5.20)
N (2) ( X , Y ) = ( Lφ( X ) η)Y − ( Lφ(Y ) η) X
N (3) ( X , Y ) = ( Lξ η) X
N (4) ( X , Y ) = ( Lξ η) X
eşitlikleri göz önüne alınırsa
N j (( X , 0), (Y , 0)) = ( N (1) ( X , Y ), N (2) ( X , Y )
d
)
dt
ve
N j (( X , 0), (0,
d
d
)) = ( N (3) ( X ), N (4) ( X ) )
dt
dt
olur.
Teorem 3.5.8. M , (2n + 1) boyutlu Riemann manifoldunda (φ, ξ , η) hemen hemen
kontak yapısı verilsin. Bu yapının normal olabilmesi için gerek ve yeter şart
N (1) , N (2) , N (3) , N (4) tensörlerinin sıfır olmasıdır (Camcı 2003).
İspat: (⇒) : N j (( X , f
d
d
d
d
), (Y , g )) = ( N j ( X , 0) + (0, f ), (Y , 0) + (0, g ))
dt
dt
dt
dt
Burada J nin lineerliği, N j ’nin bi-lineer ve antisimetrik oluşunu kullanırsak
N j (( X , f
d
d
d
), (Y , g )) = N j (( X , 0), (Y , 0)) + gN j (( X , 0), (0, ))
dt
dt
dt
− fN j ((Y , 0), (0,
d
d
d
)) + fgN j ((0, ), (0, ))
dt
dt
dt
elde edilir.
N j ((0,
d
d
), (0, )) = 0
dt
dt
olduğundan
N j (( X , f
d
d
d
d
), (Y , g )) = N j (( X , 0), (Y , 0)) + gN j (( X , 0), (0, )) − fN j ((Y , 0), (0, ))
dt
dt
dt
dt
= ( N 1 ( X , Y ), N 2 ( X , Y )) + g ( N 3 ( X ), N 4 ( X )) − f ( N 3 (Y ), N 4 (Y ))
= ( N 1 ( X , Y ) + gN 3 ( X ) − fN 3 (Y ), N 2 ( X , Y ) + gN 4 ( X ) − fN 4 (Y ))
olur. Şayet N j = 0 ise
N 1 ( X , Y ) + gN 3 ( X ) − fN 3 (Y ) = 0
(3.5.21)
N 2 ( X , Y ) + gN 4 ( X ) − fN 4 (Y ) = 0
(3.5.22)
olur.
Nϕ , d η, N 1 ve N 2 antisimetrik olduğunu kolayca gösterebiliriz.
(3.5.21) eşitliğinde X = Y alırsak
N1( X , X ) = ( f − g)N 3 ( X )
;
( f ≠ g)
elde edilir.
N 1 anti-simetrik olduğundan
N1( X , X ) = 0
( f − g)N 3 ( X ) = 0
N3(X ) = 0
( ∀X ∈ χ ( M ) için)
;
N3 = 0
(3.5.22) eşitliğinde X = Y alırsak
N 2 ( X , X ) = ( f − g)N 4 ( X )
( f ≠ g)
elde edilir.
N 2 anti-simetrik olduğundan
N2(X , X ) = 0
( f − g)N 4 ( X ) = 0
N4(X ) = 0
;
( ∀X ∈ χ ( M ) için)
N4 = 0
Dikkat edilirse bu ispatı yaparken f ≠ g aldık.
Şimdi de f = g olsun
(3.5.21) ve (3.5.22) eşitliklerinde Y = − X ve f = g alınırsa
N 1 ( X , − X ) + fN 3 ( X ) − fN 3 (− X ) = 0
N1( X , X ) = 0
2 fN 3 ( X ) = 0
; N 1 anti-simetrik
∀X ∈ χ ( M ) ve f ≠ 0 olduğundan
N3 = 0
N 2 ( X , − X ) + fN 4 ( X ) − fN 4 (− X )
N2(X , X ) = 0
;
N 2 anti-simetrik
2 fN 4 ( X ) = 0
∀X ∈ χ ( M ) ve f ≠ 0 olduğundan
N4 = 0
olur.
(⇐) : Tersine kabul edelimki N 1 ( X , Y ) = N 2 ( X , Y ) = N 3 ( X ) = N 4 ( X ) = 0 olsun.
N J (( X , f
d
d
),(Y , g )) = ( N 1 ( X , Y ) + gN 3 ( X ) − fN 3 (Y ), N 2 ( X , Y ) + gN 4 ( X ) − fN 4 (Y ))
dt
dt
eşitliğinde N 1 ( X , Y ) = N 2 ( X , Y ) = N 3 ( X ) = N 4 ( X ) = 0 olduğu göz önüne alınırsa
N J (( X , f
elde edilir.Bu ∀(( X , f
d
d
),(Y , g )) = (0,0)
dt
dt
d
d
),(Y , g )) ∈ χ ( MX ) için sağlandığından dolayı
dt
dt
NJ ≡ 0
olur.Dolayısıyla (φ, ξ , η) hemen hemen kontak yapısı normaldir.
Teorem 3.5.9. (2n+1)-boyutlu ( M , φ, ξ , η) hemen hemen kontak manifoldu verilsin.
N 1 = 0 ise N 2 = N 3 = N 4 = 0 dır (Camcı 2003).
İspat: ∀X , Y ∈ χ ( M ) için
N 1 ( X , Y ) = N φ ( X , Y ) + 2dη ( X , Y )
ve Y = ξ alınırsa
N 1 ( X , ξ ) = N φ ( X , ξ ) + 2dη ( X , ξ )
olur.
(3.5.21) ve (3.5.8) den
N 1 ( X , ξ ) = [ X , ξ ] + φ[ξ , φ( X )] − (ξη ( X ))ξ
(3.5.23)
dır. Hipotezden için N 1 = 0 olduğundan
[ξ , X ] + φ[ξ , φ( X )] − (ξη ( X ))ξ = 0
(3.5.24)
elde edilir. Her iki tarafı “η ” altında görüntüsünü alırsak
η[ξ , X ] + η (φ[ξ , φ( X )] − (ξη ( X ))η (ξ ) = 0
(3.5.25)
(3.2.1) ve (3.2.4) den
η[ξ , X ] − (ξη ( X )) = 0
olur.
( Lξη )( X ) = 0
N4(X ) = 0
(3.5.26)
∀X ∈ χ ( M ) için doğru olduğundan
N4 = 0
(3.5.26) da X yerine φ( X ) alırsak
η[ξ , φ( X )] = 0
olur. (3.5.24) de her iki tarafa φ yi uygularsak
φ[ξ , X ] + φ 2 [ξ , φ( X )] − (ξη ( X )) φ(ξ ) = 0 ; φ(ξ ) = 0
φ[ξ , X ] − [ξ , φ( X )] + η[ξ , φ( X )]ξ = 0
φ[ξ , X ] − [ξ , φ( X )] + η[ξ , φ( X )] = 0
;
φ[ξ , X ] − [ξ , φ( X )] = 0
ise
N 3 ( X ) = ( Lξ φ) X = φ[ξ , X ] − [ξ ,φ( X )] = 0
elde edilir. Ayrıca N 1 = 0 dan N 1 (φ( X ), Y ) = 0 dır. Böylece
η[ξ , φ( X )] = 0
N 1 (φ( X ), Y ) = −[φ( X ), Y ] + η[φ( X ), Y ]ξ + [− X + η ( X )ξ , φ(Y )]
− φ[− X + η ( X )ξ , Y ] − φ[φ( X ), φ(Y )] + φ( X )η (Y )ξ
− Yη (φ( X ))ξ − η[φ( X ), Y ]ξ
0 = −[φ( X ), Y ] − [ X , φ(Y )] + [η ( X )ξ , φ(Y )] − φ[− X + η ( X )ξ , Y ]
− φ[φ( X ), φ(Y )] + φ( X )η (Y )ξ
0 = −[φ( X ), Y ] − [ X , φ(Y )] − φ(Y )η ( X )ξ + η ( X )[ξ , φ(Y )] − φ[− X + η ( X )ξ , Y ]
− φ[φ( X ), φ(Y )] + φ( X )η (Y )ξ
her iki tarafa η yü uygulayıp η[ξ , φ( X )] = 0 ’ı göz önüne alırsak
φ( X )η (Y ) − φ(Y )η ( X ) − η[φ( X ), Y ] − η[ X , φ(Y )] = 0
elde edilir. Dolayısıyla N 2 ( X , Y ) = 0 dır. Böylece ispat biter.
Sonuç 3.5.3. (2n + 1) -boyutlu M kontak manifoldunda (φ, ξ ,η ) hemen hemen kontak
yapısı verilsin. Şayet N 2 = 0 ise (φ, ξ ,η ) hemen hemen kontak yapısı φ altında dη ‘yı
invaryant bırakır (Camcı 2003) .
İspat : (3.4.4) de X yerine φ( X ) alırsak
2dη (φ( X ), Y ) = φ( X )η (Y ) − Yη (φ( X )) − η[φ( X ), Y ]
(3.5.27)
olur. Benzer şekilde Y yerine φ(Y ) alırsak
2dη ( X , φ(Y )) = Xη (φ(Y )) − φ(Y )η ( X ) − η[ X , φ(Y )]
(3.5.28)
(3.5.27) ve (3.5.28) eşitlikleri taraf tarafa toplanırsa
2dη (φ( X ), Y ) + 2dη ( X , φ(Y )) = φ( X )η (Y ) − φ(Y )η ( X ) − η[φ( X ), Y ] − η[ X , φ(Y )]
2dη (φ( X ), Y ) + 2dη ( X ,φ(Y )) = N 2 ( X , Y )
∀X , Y ∈ χ ( M ) için N 1 = 0 iken N 2 = 0 olduğundan
dη (φ( X ), Y ) + dη ( X , φ(Y )) = 0
olur. Burada Y yerine φ(Y ) alırsak
dη (φ( X ), φ(Y )) + dη ( X , φ 2 (Y )) = 0
dη (φ( X ), φ(Y )) + dη ( X , −Y + η (Y )ξ ) = 0
dη (φ( X ), φ(Y )) − dη ( X , Y ) + η (Y )dη ( X , ξ ) = 0
(3.5.29)
(3.4.4) eşitliğinde Y yerine ξ alınırsa
2dη ( X , ξ ) = X η (ξ ) − ξη ( X ) − η[ X , ξ ]
2dη ( X , ξ ) = −ξη ( X ) + η[ξ , X ]
= −( Lξη ) X
=0
olur. Bu sonuç (3.5.29) da yerine yazılırsa
;
η (ξ ) = 1 ve X(1)=0
dη (φ( X ), φ(Y )) = dη ( X , Y )
olur ki bu da (φ, ξ ,η ) hemen hemen kontak yapsının φ altında dη yı invaryant
(değişmez) bırakması demektir.
Sonuç 3.5.4. (2n + 1) -boyutlu ( M , φ ξ ,η ) hemen hemen kontak manifoldu verilsin.
(φ, ξ ,η ) yapısının normal olabilmesi için gerek ve yeter şart N 1 = 0 olmasıdır (Yano ve
Kon 1984, Blair 2002 ).
Sonuç 3.5.5. (2n + 1) -boyutlu ( M , φ, ξ ,η ) hemen hemen kontak manifoldu verilsin.
(φ, ξ ,η ) yapısının normal olabilmesi için gerek ve yeter şart ∀X , Y ∈ χ ( M ) için
N φ ( X , Y ) + 2dη ( X , Y )ξ = 0
olmasıdır (Yano ve Kon 1984, Blair 2002 ).
Teorem 3.5.10. (2n + 1) -boyutlu ( M , φ, ξ ,η , g ) hemen hemen kontak metrik
manifoldunda
2 g (( DX φ)Y , Z ) = g ( N 1 (Y , Z ), φ( X )) + 2dη (φ(Y ), X )η ( Z ) − 2dη (φ( Z ), X )η (Y )
ve özellikle henhangi bir kontak metrik yapı için
Dξ φ = 0
olur (Yano ve Kon 1984).
Sonuç 3.5.6. Teorem 3.5.10 da ξ nın integral eğrileri geodeziklerdir. Çünkü Dξ ξ = 0
olduğu kolaylıkla gösterilebilir (Yano ve Kon 1984).
3.6. K-Kontak Manifoldları
Tanım 3.6.1. M bir Riemann manifoldu g Riemann metriği ile verilsin. Ayrıca
M üzerinde bir X vektör alanını ele alalım. M nin her bir noktasının bir komşuluğunda
X
ile meydana gelen lokal dönüşümlerin lokal 1-parametreli grubu lokal
izometrilerden oluşuyor ise X vektör alanına Killing vektör alanı denir.
Böylece ; X bir Killing vektör alanıdır. ⇔ LX g = 0 ’dır, yani g metrik tensörünün
X vektör alanı yönündeki Lie türevi sıfırdır (Yano ve Kon 1984, Kocayiğit 2004).
Tanım 3.6.2.
(2n + 1) -boyutlu kontak metrik manifoldu
M
verilsin. Eğer
(φ, ξ , η, g ) hemen hemen kontak metrik yapısında yer alan ξ vektör alanı g ye göre bir
Killing vektör alanı ise o zaman M üzerindeki kontak yapıya K-kontak yapı ve M ye de
K-kontak manifoldu denir (Yano ve Kon 1984).
Teorem 3.6.1. (2n + 1) -boyutlu manifoldu M , (φ, ξ , η, g ) kontak metrik yapısı ile
verilsin. Bu durumda aşağıda önermeler denktir.
i) M bir K-kontak manifolddur.
ii) ∀X , Y ∈ χ ( M ) için
g ( DX ξ , Y ) + g ( DY ξ , X ) = 0
(3.6.1)
dır.
iii) ∀X ∈ χ ( M ) için
DX ξ = − φ( X )
(3.6.2)
dır (Camcı 2003, Yano ve Kon 1984) .
İspat: (ii ) ⇒ (iii ) M bir K-kontak manifold olsun. Dolayısıyla ξ bir Killing vektör
alanıdır. M aynı zamanda kontak metrik manifold olduğundan
d η( X , Y ) = g ( X , φ(Y )) = − g (φ( X ), Y )
dir.
(3.6.3)
Ayrıca
2d η( X , Y ) = X η(Y ) − Y η( X ) − η([ X , Y ])
= Xg (Y , ξ ) − Yg ( X , ξ ) − g ([ X , Y ], ξ )
= g ( DX Y , ξ ) + g (Y , DX ξ ) − g ( DY X , ξ )
− g ( X , DY ξ ) − g ( DX Y , ξ ) − g ( DY X , ξ )
gerekli sadeleştirmeler yapılırsa
2d η( X , Y ) = g ( DX ξ , Y ) − g ( X , DY ξ )
(3.6.4)
elde edilir. Ayrıca ξ Killing vektör alanı olduğundan
Lξ g = 0
(3.6.5)
olur.
Burada ( Lξ g )( X , Y ) ’yi hesaplarsak
( Lξ g )( X , Y ) = ξ g ( X , Y ) − g ([ξ , X ], Y ) − g ( X ,[ξ , Y ])
= g ( Dξ X , Y ) + g ( Dξ Y , X ) − g ( Dξ X , Y )
+ g ( DX ξ , Y ) − g ( Dξ Y , X ) + g ( DY ξ , X )
( Lξ g )( X , Y ) = g ( DX ξ , Y ) + g ( X , DY ξ )
(3.6.6)
(3.6.5) ifadesi (3.6.6) da yerine yazılırsa
g ( DX ξ , Y ) + g ( X , DY ξ ) = 0
elde ederiz.
(ii ) ⇒ (iii ) g ( DX ξ , Y ) + g ( X , DY ξ ) = 0 olsun. Dolayısıyla
g ( DX ξ , Y ) = − g ( X , DY ξ )
(3.6.7)
olur.
(3.6.7) ifadesi (3.6.4) de yerine yazılırsa
2d η( X , Y ) = 2 g ( DX ξ , (Y ))
d η( X , Y ) = g ( DX ξ , Y ) = g ( X , φ(Y ))
(3.6.8)
elde edilir. ϕ anti-simetrik olduğundan
g ( X , φ(Y )) = − g (φ( X ), Y ) = g ( DX ξ , Y )
bu eşitlik ∀X , Y ∈ χ ( M ) için sağlandığından
DX ξ = − φ( X )
sonucuna ulaşılır.
(iii ) ⇒ (i ) : ∀X ∈ χ ( M ) için hipotezden bildiğimiz DX ξ = − φ X eşitliği (3.6.6) da
yerine yazılırsa
( Lξ g )( X , Y ) = g (− φ( X ), Y ) + g ( X , − φ(Y ))
; φ anti-simetrik
( Lξ g )( X , Y ) = g ( X , φ(Y ) − g ( X , φ(Y ))
( Lξ g )( X , Y ) = 0
∀X ∈ χ ( M ) için doğru olduğundan Lξ g = 0
dır. Böylece ξ Killing vektör alanı ve M manifoldu K-kontak manifolddur.
O halde (i ) ⇒ (ii ), (ii ) ⇒ (iii ), (iii ⇒ i ) önermeleri doğru olduğundan (i ), (ii ), (iii )
önermeleri denktir (Hacısalihoğlu 1983).
Teorem 3.6.2 (2n+1)-boyutlu manifoldu M , (φ, ξ ,η , g ) kontak metrik yapısı ile
verilsin. Bu durumda N 2 = N 4 = 0 dır. Ayrıca, N 3 = 0 ⇔ ξ Killing vektördür (Camcı
2003) .
İspat : M , kontak metrik manifold olduğundan
d η( X , Y ) = g ( X , φ(Y ))
dir. Burada X yerine φ( X ) , Y yerinede φ(Y ) yazılırsa
d η(φ( X ), φ(Y )) = g (φ( X ), φ 2 (Y ))
= − g ( X , φ3 (Y )) ; φ3 (Y ) = − φ(Y )
= − g ( X , − φ(Y )) ; φ3 (Y ) = − φ(Y )
= g ( X , φ(Y ))
Dolayısıyla
d η(φ( X ), φ(Y )) = d η( X , Y )
(3.6.9)
elde edilir. Ayrıca (3.6.9) da Y yerine φ(Y ) yazılırsa
d η(φ( X ), φ 2 (Y )) = d η( X , φ(Y ))
d η(φ( X ), −Y + η(Y )ξ ) = d η( X , φ(Y ))
− d η(φ( X ), Y ) + η(Y )d η( φ( X ), ξ ) = d η( X , φ(Y ))
burada
d η(φ( X ), ξ ) = g (φ( X ), φ(ξ ))
ve
φ(ξ ) = 0
olduğundan
d η(φ( X ), Y ) + (d η( X , φ(Y )) = 0
elde edilir.
Ayrıca
N 2 ( X , Y ) = 2d η(φ( X ), Y ) + 2d η( X , φ(Y ))
olduğundan
N2 = 0
olur. Diğer taraftan
(3.6.10)
d η( X , ξ ) = g ( X , φ(ξ )) = 0
ve
d η( X , ξ ) =
1
( Xη (ξ ) − ξη ( X ) − η ([ X , ξ ]) ; η (ξ ) = 1 ve X (1) = 0
2
ξη ( X ) − η ([ X , ξ ]) = 0
elde edilir. Böylece
N 4 ( X ) = ( Lξη ) X
= ξη ( X ) − η ([ξ , X ])
=0
olur. Böylece birinci kısmın ispatı biter. İkinci kısmın ispatı için bazı hazırlıklar
yapalım.
( Lξ g )( X , ξ ) = ξ g (ξ , X ) − g ([ξ , X ], ξ ) − g ( X ,[ξ , ξ ])
= ξη ( X ) − η ([ξ , X ])
= ( Lξη )( X )
=0
elde edilir. Biliyoruz ki η ile dη Lie türevi altında invaryant olduğundan Lξ dη ≡ 0 dır.
Dolayısıyla ∀X , Y ∈ χ ( M ) için
( Lξ dη )( X , Y ) = 0
ξ dη ( X , Y ) − dη ([ξ , X ], Y ) − dη ( X ,[ξ , Y ]) = 0
olur.
dη ( X , Y ) = g ( X , φ(Y ))
olduğundan
ξ g ( X , φ(Y )) − g ([ξ , X ], φ(Y )) − g ( X , φ([ξ , Y ])) = 0
(3.6.11)
olur. Diğer taraftan
( Lξ g )( X , φ(Y )) = g (φ(Y ), X ) − g ([ξ , X ], φ(Y )) − g ( X ,[ξ , φ(Y )])
g ( X , ( Lξ φ)(Y )) = g ( X ,[ξ , φ(Y )]) − g ( X , φ([ξ , Y ]))
eşitlikleri taraf tarafa toplarsak
( Lξ g )( X , φ(Y )) + g ( X , ( Lξ φ)(Y )) = ξ g (φ(Y ), X ) − g ([ξ , X ], φ(Y )) − g ( X , φ([ξ , Y ])
elde edilir. (3.6.11) den
( Lξ g )( X , φ(Y )) + g ( X , ( Lξ φ)(Y )) = 0
olur.
(⇒) : N 3 = 0 ise
( Lξ g )( X , φ(Y )) = 0
elde edilir. Bu eşitlik ∀X , Y ∈ χ ( M ) için doğru olduğundan Lξ g ≡ 0 ’dır. Dolayısıyla ξ
Killing vektör alanıdır.
(⇐) : ξ Killing vektör alanı ise Lξ g ≡ 0 olacağından g ( X , ( Lξ φ)(Y )) = 0 olur. Bu
eşitlik ∀X ∈ χ ( M ) için sağlandığından N 3 = 0 dır.
Teorem 3.6.3 (2n + 1) -boyutlu bir M Riemann manifoldunun bir K-kontak manifoldu
olması için gerek ve yeter koşullar aşağıdadır:
i) M bir birim ξ Killing vektör alnına sahiptir.
ii) M nin herhangi bir noktasında ξ ’yı kapsayan düzlem kesitlerin kesitsel eğriliği 1 e
eşittir (Yano ve Kon 1984).
İspat : M bir K-kontak manifold olsun. O zaman ξ ’ye dik bir birim vektör alanı X
olmak üzere
g ( R( X , ξ )ξ , X ) = g (− φ 2 ( X ), X ) = g ( X , X ) = 1
(3.6.12)
dir.
Tersine M nin (i) ve (ii) koşullarını sağladığını düşünelim. ξ bir Killing vektör alanı
olduğundan
R( X , ξ )Y = DX DY ξ − DD Y ξ
X
olur.
(3.6.13)
η ( X ) = g ( X ,ξ )
ve
− DX ξ = φ( X )
eşitlikleri göz önüne alındığında
φ(ξ ) = 0
olur. ξ ye dik bir birim vektör alanı X ∈ χ ( M ) olmak üzere (3.6.12) den
g ( R( X , ξ )ξ , X ) = 1 = − g (φ 2 ( X ), X )
elde edilir. Bu yüzden ξ ye dik ∀X ∈ χ ( M ) vektör alanı için
φ2 ( X ) = − X
olduğu görülür. Halbuki ∀Y ∈ χ ( M ) vektör alanı için
φ 2 (Y ) = −Y + η (Y )ξ
dir. Üstelik
dη ( X , Y ) =
1
( g ( DX ξ , Y ) − g ( DY ξ , X ))
2
= − g ( DY ξ , X )
= g ( X , φ(Y ))
dir. Sonuç olarak (φ, ξ ,η , g ) yapısı M üzerinde bir K-kontak yapısıdır.
Ayrıca (3.6.12) den
1
R( X , ξ )ξ = − φ 2 X = − X − η ( X )ξ
2
elde edilir. Böylece M nin (3.6.12) eşitliğini sağlayan ξ birim Killing vektör alanına
sahip olan (2n + 1) -boyutlu bir K kontak manifold olduğu görülür.
4. MANİFOLDLAR ÜZERİNDE YÖNLENDİRME
4.1. Genel Anlamda Bir Manifoldun Yönlendirilmesi
Tanım 4.1.1. E n deki k-boyutlu bir M manifoldunu ele alalım.
M bir manifold olduğuna göre M nin her bir X n-katsayısındaki TM ( X ) tanjant
uzayında bir µ X yönlendirmesi tanımlamak istiyoruz. Bu işi bir V reel vektör
uzayındaki gibi aynen yapabiliriz. Ancak manifoldun her bir noktasında TM ( X ) için bir
başka vektör uzayı söz konusudur. Bu nedenle her biri için bir yönlendirme söz
konusudur; Eğer M nin her bir noktasındaki tanjant uzaylarda yönlendirme aynı ise M
manifolduna uygun yönlendirilmiş manifold aksi halde ise M manifolduna uygun
yönlendirilmemiş manifold denir.
Diğer bir ifade ile uygun yönlendirilmiş bir M manifoldu için diyebiliriz ki her bir
f : W ⊂ E k 
→ M ⊂ En
koordinat sisteminde a, b ∈ W için
 f* (e1 a ),..., f* (ek a )  = µ f ( a )


(4.1.1)
 f* (e1 b ),..., f* (ek b )  = µ f (b )


(4.1.2)
ile
aynıdır.
M üzerinde uygun bir yön tanımlanmış iken bir
F : M 
→M
fonksiyonu ∀X ∈ M için

∂
 F* (
 ∂x1
X
),..., F* (
∂
∂xk
X
  ∂
) = 
  ∂x1
F(X )
,...,
∂
∂xk

F(X ) 

(4.1.3)
ise F dönüşümüne yönü koruyordur denir. Bu demekdir ki F dönüşümü TM ( X )
deki bir sağ sistemi (sol sistemi) TM ( F ( X )) deki bir diğer sağ sisteme (sol sisteme)
dönüştürür.
Eğer F yönü koruyan cinsden değil ise o zaman det T = −1 olacak şekilde bir
T : E k 
→ Ek
lineer dönüşümü ile elde edilen
F o T : M 
→M
dönüşümü yönü korur. Demek oluyor ki M nin her noktasında daima yönü koruyan bir
koordinat sistemi düşünülebilir (Hacısalihoğlu 2004) .
Tanım 4.1.2. Üzerinde uygun bir yön seçilebilen M manifolduna yönlendirilebilir
manifold veya yönlenebilir manifold denir. Böyle bir manifold üzerinde seçilmiş olan
özel bir µ yönüne M manifoldu üzerinde µ yönü denir. ( M , µ ) ikilisine de
yönlendirilmiş manifold denir (Hacısalihoğlu 2004) .
Tanım 4.1.3. Eğer M bir k-boyutlu ve sınırlı manifold ise X ∈ ∂M noktasındaki
T∂M ( X ) tanjant uzayı (k-1)-boyutludur. Yani TM ( X ) tanjant uzayının (k-1)-boyutlu alt
uzayıdır. Dolayısıyla TM ( X ) de T∂M ( X ) alt uzayına dik olan iki tane birim vektör
vardır. Bu iki vektör aynı doğrultuda fakat zıt yönlüdür.
M üzerinde bir koordinat sistemi
f : W ⊂ E k 
→ M ⊂ En
ve W ⊂ E k ve f (0) = X ∈ M ise bu iki vektörden sadece biri vk negatif olacak şekilde
f* (v 0 ) dır. Bu birim vektöre M nin X noktasındaki dış birim normali denir ve
n( X ) ile gösterilir. Bu tanımın f koordinat sisteminin seçilişinden bağımsız olduğunu
göstermek kolaydır.
k-boyutlu ve sınırlı bir manifold M ve M üzerindeki yönlerden biri µ olsun. Bir
X ∈ ∂M noktasında
v1
X
,..., vk −1
X
∈ T∂M ( X ) vektörlerini öyle seçelim ki
 n( X ), v1

X
,..., vk −1
X
,..., wk −1
X
 = µX

olsun. Eğer aynı zamanda
 n( X ), w1

ise {v1
X
,..., vk −1 X } ve
{w1
X
X
 = µX

,..., wk −1 X } bazları T∂M ( X ) için aynı yönlüdürler
diyeceğiz ve bu yönü (∂µ ) X ile göstereceğiz.
M yönlendirilmiş olduğundan X ∈ ∂M için (∂µ ) X yönlerinin uygun yönlendirmeler
oldukları açıktır. Demek oluyor ki M yönlendirilmiş ise ∂M de yönlendirilmiş olur ve
M de ki bir µ yönü ∂M deki bir ∂µ yönünü belirtir, bu ∂µ yönüne indirgenmiş yön
denir.
Eğer E n de M yönlendirilmiş bir (n-1)-manifold ise M için dış birim normal vektörün
seçilişi M nin bir sınır (yani n-boyutlu bir başka manifoldun sınırı) olmasını
gerektirmez. Eğer
v1
X
,..., vn −1
X
 = µ X
ise n( X ) vektörünü TE n ( X ) de TM ( X ) e dik bir birim vektör olarak öyle seçebilir ki
 n( X ), v1
X
,..., vn −1
X

TE n ( X ) deki adi yön olur. Bu durumda gene n( X ) vektörüne M nin µ ile belirtilmiş
olan, dış birim normali denir. n( X ) birim vektörleri M üzerinde noktadan noktaya
sürekli olarak değişirler. Tersine, M nin bütün noktaları üzerinde, sürekli değişen
n( X ) birim vektörlerinin bir ailesi tanımlanmış ise n( X ) ile M üzerinde bir yön
belirtilebilir (Hacısalihoğlu 2004) .
4.2. Kontak Manifoldlarda Yönlendirme
Teorem 4.2.1. (2n+1)-boyutlu kontak manifold M olmak üzere n sayısı çift ise M
kontak manifoldu yönlendirilebilir bir manifolddur (Blair 1976, Yano ve Kon 1984) .
Teorem 4.2.2. (2n+1)-boyutlu M Riemann manifoldu (φ, ξ ,η ) hemen hemen kontak
yapısı ile birlikte verilsin bu durumda ( M , φ, ξ ,η ) hemen hemen kontak manifoldu
yönlendirilebilirdir (Yano ve Kon 1984) .
Örnek 4.2.1.
4 n +1
de
2n
η = dz − ∑ y i dxi
i =1
kontak formu verilsin. Burada ( x i , y i , z )
karakteristik vektör alanı ξ =
xi =
şeklinde verildiğinde
4 n +1
kartezyen koordinatlar olmak üzere
∂
olmak üzere
∂z
∂
∂
∂
+ yi
, xn +i = i
i
∂x
∂z
∂y
yönlendirilebilirdir.
;
i = 1, 2,..., 2n
KAYNAKLAR
Baikoussis, C. and Blair, D. E. 1997. On Legendere curves in contact 3-manifolds
Geom. Dedicata. 49:135-142.
Blair, D.E.1976. Contact Manifolds in Riemanian Geometry, Lecture Notes in Mat.
Vol. 509. Springer-Verlag.
Blair, D.E.2002.Riemannian Geometry of Contact and Simplectic Manifolds,
Birkhauser, Boston.
Camcı, C.2003. Kontak Geometride Legendre Eğrileri, Doktora Seminer Notu, Ankara
Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü, Ankara.
Hacısalihoğlu, H.H. 1980. Yüksek Diferensiyel Geometriye Giriş, Fırat Üniversitesi
Fen Fakültesi Yayınları, Turkey.
Hacısalihoğlu, H.H. 1985. Diferensiyel Geometri, Gazi Üniversitesi Basın Yayın Y.O.
Basım Evi, Turkey.
Hacısalihoğlu, H.H. 2003. Tensör Geometri, Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi
Yayınları, Turkey.
Hacısalihoğlu, H.H. 2004. Diferensiyel Geometri, Nobel Basım Evi, Turkey.
Kocayiğit, H.2004. Biharmonic Curves in Lorentz 3-Manifolds and Contact Geometry,
Doktora Tezi, A.Ü. Fen Bilimleri Enstitüsü, Ankara.
Sabuncuoğlu, A. 2004 Diferensiyel Geometri, Nobel Basım Evi, Turkey.
Yano, K. and Kon, M. 1984. Structures on Manifolds, Series in Pure Mathematics, vol.
3, Singapore
ÖZGEÇMİŞ
1977 yılında Ankara’da doğdu. İlk, orta ve lise öğrenimini Ankara’da tamamladı.
Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü’nden 2003 yılında Matematikçi
ve Fakülte birincisi unvanıyla mezun oldu. Aynı yıl Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri
Enstitüsü’nde yüksek lisans öğrenimine başlayan İsmail GÖK halen yüksek lisans
öğrenimini devam ettirmektedir.