Yıl 4 , Sayı 11 Aralık 2015 1)Ders ortamı: Dersleri çok iyi dinlemek gerekir.Matematik desinde en önemli nokta önce dinleyip anlayıp sonra not almaktır.Eğer öğretmen anlatırken not Yeniden merhaba demenin mutluluğu ile alıyorsanız o dersi dinlemiyorsunuz karşınızdayız. Matematik severler için yine demektir.Ayrıca ders içinde anlamadığınız güzel sorularımız var.Kasım ayı içinde en ufak şeyi dahi sormanız veya not alıp merak uyandırıcı bir haber duyduk. daha sonra öğrenmeniz gereklidir.Aksi Matematik dünyasını heyecanblandıran bir halde bu küçük “kıymık”lar sizin canınızı haberdi: çok yakabilir.Eğer öğrenecek kadar cesaretiniz varsa soracak kadar da olmalı.Derslere önceden hazırlanarak gelmeniz sizi sınıf içinde bir adım öne geçirecektir. Nijeryalı Opeyemi Enoch adlı matematik profesörü, ilk kez 1859 yılında Bernhard Riemann tarafından ortaya atılan ve bugüne kadar çözülemeyen Riemann Hipotezi’ni çözmeyi başardı. Enoch, hipotezin çözümünü Avusturya’nın başkenti Viyana’daki Uluslararası Matematik ve Bilgisayar Bilimleri Konferansı’nda sundu. 156 yıldır çözülemeyen problemi çözerek tarihe geçen Enoch, ayrıca 1 milyon dolarlık (2 milyon 866 bin TL) ödülün de sahibi oldu. Clay Matematik Enstitüsü tarafından en zor problemlerden biri olarak kabul edilen problem,1994’te çözülen Fermat’ın Son Teoremi’nden sonra tartışılan en ünlü problemdi. Bir haber de okulumuzdan.. Geçen sene okulumuzda Tübitak Bilim Fuarı yapılmıştı. O fuardan okulumuza güzel bir eser kaldı: Matematik Köşesi. Burada saatlerce matematik çalışmak için buluşuyoruz.Sizi de bekleriz. MATEMATĠĞĠ YAPAMAMAK Bu yıllardır bazı öğrencilerin ağzından duyduğumuz bir sözdür.Elinden geleni yapmasına rağmen başarılı olamayan pes edip bırakan çok öğrenci var.Bazıları gerçekten her yolu deniyor.Ancak %90ı gerekeni yapmadan bırakıyor.Bu tür öğrencilerin yaptığı genel hataları sıralayacağım: 2)Günlük tekrar:Bir günün ardından eve geldiğinizde o gün matematik dersini mutlaka ama mutlaka tekrar etmeniz gerekir.Bu ilk başlarda sıkıcı gelse de ilerleyen zamanlarda çok yararlı olacağını göreceksiniz.Tekrar derken dakikalarca değil de hızlı bir göz atma da yeterli olur.Peşinden kaynaklarınızı karıştırabilir,eğer ünite bittiyse soru çözümlerini yapabilirsiniz.Her ne kadar çok beğenilmese de “ders kitabı”nı incelemeniz kesinlikle faydalı olacaktır. 3)Eksiklerimiz! Evet eksiklerimiz o kadar fazla ki.Daha beteri bunları görememiz. Kesinlikle elinizin altında bir YGS hazırlık kitabı olmalı.Severek aldığınız parasını ellerinizle verdiğiniz bir kitap.Buradan ekiklerinizi tamamlamanız gerekli.Ancak bazı öğrenciler hangi konuyu anlamadığını,hangi sınıfta eksiği olduğunu bilirler.Bunlar için kitaptan ziyade “konu kitapları” da işlerini görebilir. 4)Korkmayın Yaparsınız: Sakın dersten korkmayın ve asla yapamıyorum demeyin. Unutmayın aslında tüm bunların nedeni “psikolojik”.Sınıfınızda zeka yönü ile hepiniz aynısınız.Tek farkınız daha çok çalışmanız.Yapamayanların sebebi zeka değil çalışma azlığıdır. 5)Öğretmeni gör:Ders sadece sınıfta kalmamalı.Matematik öğretmeninizi tenefüslerde de görüp ders hakkında konuşmalısınız.Durumunuzu ve özellikle daha başarılı olmak için neler yapmanız gerektiğinizi öğrenmelisiniz.Sizi en iyi tanıyan ve matematikte yaptığınız hataları gören kişi matematik öğretmeninizdir. 6)ArkadaĢça ÇalıĢma: Sınıf içinde en yakın arkadaşınızın matematiği nasıl olursa olsun siz onunla matematik çalışmalısınız. Bildiğiniz sorular, zorlandığınız kısımlar hakkında konuşmalı ve en önemlisi dersi derste bırakmadan tenefüste de paylaşımlarda bulunmalısınız.Bazen göreceksiniz ki sizin anlamadığınız bir yeri arkadaşınız da anlamamış!İki kişinin matematik öğretmenine soru sorması kadar güzel bir şey olamaz. Yukarıdakileri okuyup yapmasına rağmen matematikte başarılı olamayanları matematik köşemize bir çay içmeye bekliyoruz. “Bir matematikçi sanmaz fakat bilir. İnandırmaya çalışmaz çünkü ispat eder. Güveninizi beklemez. Belki dikkat etmenizi ister.” Henri Poincare Matematik Bülteni / Aralık 2015 MODÜLER ARĠTMETĠK Hayatımızda pek çok şeyin dönerli olarak tekrar ettiğini görmüşsünüzdür. Akşam 9:00 olduğu gibi sabah saat yeniden 9:00 oluyor, Haftanın günleri 7 günde bir devir ediyor . İşte modüler aritmetik bunlarla ilgilidir. Öncelikle bölünebilme kurallarını da düşünerek aşağıdaki sayıların 3 ile bölümünden kalanları inceleyelim: 0,3,6,9… 1,4,7,10… 2,5,8,11… 3 ile bölümünden yerine mod3 deriz: 0 3 6 9(mod3) 1 4 7 10(mod3) 2 5 8 11(mod3) Örneğin 145 ≡ x ( mod 9) ise x kaçtır? 9 ile bölümünden kalan rakamları toplamı olduğuna göre cevap 1+4+5=10=1 olur. Örneğin 12 ≡ 2 ( mod x) ise x’in alabileceği değerleri bulalım. 12 sayısı ve 2 sayısı modx te birbirine denk ise ikisinin de x’e bölümünden kalan aynıdır. Ya da 12-2 sayısı x ile tam bölünmektedir.10 sayısı x’in bir katı olduğuna göre x değeri 10’u bölen 1,2,5 ve 10 değeri olabilir. Bazı kaynaklar mod kavramında 1 sayısına yer vermemektedir. Bu öğrendiğimiz yeni denklik kavramı içinde dört işlemi de tanımlayabiliriz. Tabi mod kavramı içinde “bölümünden kalan” ifadesini unutmayalım. Yani mod3 için aşağıdaki işlemleri “3 ile bölümünden kalan” sonuçlandırmalıyız. 2 2 4 1(mod3) Sayfa 2 3x 1 3 3x 3 1 3x 4 (4 ile 9 mod 5 denk ) 3x 9 x 3(mod 5) Yukarıda yapılan işlemlerin tamamının yanlış olduğunu ifade etmeliyim. Ancak doğru yapılan işlemlerin de bu kapıya çıkacağını söyleyebiliriz. Başta bahsettiğimiz “hayattaki tekrarların” farkına geç varabiliriz. Modüler aritmetikte de aşağıdaki işlemlerin hesabında tekrarlar gelene kadar işleme devam ederiz: Örneğin 243 sayısının mod6 daki değerini sayının kuvvetlerini inceleyerek yorumlayabiliriz: 21 2, 22 4, 23 8 2, 24 16 4 Tekrarı göremeyenler için söyleyelim; sonuçlar hep 2,4 şeklinde devam ediyor. Yani devir ikidir.O halde 43 sayısını ikiye böleriz. Kalan 1 ise cevap 2,kalan 2(daha doğrusu sıfır) ise cevap 4 olur. Cevap 2’dir. Örnek: 31071 ?(mod5) Çözüm: 31 3(mod 5) 32 9 4(mod 5) 33 27 2(mod 5) ALIġTIRMALAR 4 1) kesri mod6 ‘da aşağıdakilerden 5 hangisine denktir? A)0 B)1 C)2 D)3 E)4 2) Bir öğrenci 123456 sayılarını yanyana yazıyor. Öğrencinin yazdığı sayı dizisinde baştan 15. sayı hangisi olur? 3) 4 günde bir nöbet tutan bir öğretmen 4 katlı bir okulun her hafta bir katında sırayla nöbet tutuyor. Salı günü 1. katta nöbete başlayan öğretmen 8. Nöbetini hangi gün ve katta tutar? 4) 3621 ?(mod 7) 5) 8333 10333 ?(mod9) 6) 2333 3333 6333 7333 ?(mod9) DENKLEMLER ve EġĠTSĠZLĠKLER Burada ele alacağımız konu 11. Sınıf müfredatındaki iki bilinmeyenli denklem sistemleri ve ikinci dereceye dönüştürülebilen denklemlerdir. İki bilinmeyenli denklemler için en çok kullanılan çözüm yöntemi “yok etme yöntemi”dir.Bu yöntemde değişkenlerden biri yokedilerek çözüme ulaşılır. Örneğin; x 2 y 14 3x y 7 Denklem siteminin çözümü için ikinci denklemi 2 ile çarpıp ilk denklemle 35 243 3(mod 5) toplarız: 6 3 729 4(mod 5) x 2 y 14 x 2 y 14 Sonuçlara dikkat edin:3,4,2,1,3,4.. şeklinde 7 x 28 x 4 6 x 2 y 14 3 x y 7 başa dönmüş.4 taneden sonra başa döndüğü için kuvvetimizi 4’e bölüp kalana elde edilir. İkinci bilinmeyen için 2 (2 2) 2 4 8 2(mod3) x 2 y 14 denkleminde x 4 yazarsak bakacağız.1071 sayısını dörde bölersek 3 ALIġTIRMALAR 4 2 y 14 y 5 olacaktır. Cevap {4,5} kalır. Aradığımız cevap tekrarlar içindeki 1) 34 (43 52 ) ?(mod 5) Aşağıdaki denklem sistemlerini çözünüz: üçüncü olanıdır: 3, 4, 2 ,1 . Cevap ikidir. 3 8 2 x y 1 14 x 3 y 39 2 x y 1 2) 6 5 (14 7) ?(mod11) Örneğin; bugün günlerden Salı ise 38 gün 3x 2 y 4 6 x 17 y 35 3x 2 y 0 3) x 5(mod13) ise iki basamaklı en büyük sonrasını ve öncesini bulalım. Günler 7 gün Yeni müfredatla eklenen elemantar satır ve de bir devir ettiği için 7’ye böleriz. Elde x nedir? sütun operasyonlarına değinmiyoruz. Ama ettiğimiz kalan kadar ileri veya geri üç bilinmeyenli denklemlere örnek sayarız. 38 3(mod 7) Sadece işlemler değil denklemleri de vermeden geçemeyiz: Çarşamba :1, Perşembe : 2, Cuma : 3 benzer mantıkla çözebiliriz. Elbetteki Öncesi ise Örnek2. farklılıklar vardır. Bunları soru içerisinde Pazartesi :1, Pazar : 2, Cumartesi : 3 olur. x yz 3 ifade etmeye çalışalım: 3x y z 9 x, y, z nedir ? Örneğin aşağıdaki denklemleri mod5 için Örnek1. 5 günde bir nöbet tutan asker ilk çözelim. x 2 y z 5 nöbetini Cuma günü tutacağına göre 15. x 1 4, x 1 2, 2 x 1 7, 3x 1 3, nöbetini hangi gün tutar? Çözüm: İlk denklem ile sırasıyla önce ikinci İlk denklemleri çözdüğünüzü düşünerek Çözüm: 15.5=75 75 5(mod 7) denklemi ardından son denklemi son denkleme geçelim toplayarak z değerini yok edelim. Bu Cumadan sonra 5 gün sayarsak Çarşamba NOT: Bazı kaynaklar mod5 ile durumda iki yeni denklem ile x ve y cevabımız olacaktır. 5 ifadesini aynı kabul edebilir. değerini bulabiliriz: 34 81 1(mod 5) Matematik Bülteni / Aralık 2015 x yz 3 x yz 3 4 x 2 y 12 2 x y 2 3x y z 9 x 2 y z 5 İki denklemimizden x ve y değerini buluruz: 4 x 2 y 12 2 x y 6 x 1, y 4 2 x y 2 2 x y 2 Bu değerleri ise x,y,z içeren herhangi bir denklemde yazarak z değerini buluruz: x y z 3 1 4 y 3 y 2 Çözüm kümemiz {(1,4,2)} olur. Aşağıdaki denklemlerde bilinmeyenleri bulunuz: x y z 10 2 x y 2 z 6 3 x 2 y z 5 x 2 y 2 z 7 x 3 y z 2 x y 2 z 1 Polinomların çarpımının sıfır olmasında her bir polinom sıfır olmalıdır. Bölümünde ise paydadaki polinomların sıfırdan farklı olması gerekir. Yani: 1) P( x) Q( x) 0 P( x) 0 Q( x) 0 P( x) 0 P ( x ) 0 Q( x ) 0 Q( x ) Örnek3.(2010 LYS) (3x 1)( x 1) (3x 1)( x 2) 0 eşitliğini sağlayan x gerçel sayılarının toplamı kaçtır? 2) Çözüm: Ortak çarpan parantezine alırsak; (3x 1)( x 1 x 2) 0 (3x 1)(2 x 1) 0 çarpımın sıfır durumunda her bir çarpan 0 olacağından köklerimiz: 1 1 1 (3x 1) (2 x 1) x , x Cevap : 3 2 6 0 0 İkinci dereceden daha yüksek dereceli denklemlerde benzer ifadeler yeniden adlandırılarak ikinci dereceden denklemlere dönüştürülür. Böylece çözüm kümesi bulunur. Örnek4. x4 4 x2 5 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. Çözüm: x 2 t gibi bir dönüşüm yaparsak x 4 t 2 olacaktır. Denklemimizi yeniden yazalım: t 2 4t 5 0 t 5 t 1 0 Çarpanları sıfıra eşitlersek;t=5 ve t=5 olur. x2 t idi x2 5 x 5, x 2 1 x 1 Çözüm kümesi 5, 1, 1, 5 olur. Köklü denklem bilinmeyenin kök içinde olduğu denklemlerdir. Bu tür denklemlerde denklem önce kökten kurtarılır. Elde edilen denklemin çözüm kümesi bulunur. Son ve en önemli olarak bulunan köklerin denklemi sağlayıp sağlamadığı mutlaka kontrol edilir. Sayfa 3 Örneğin 3x 1 x 1 denkleminde köklü ifadeyi yalnız bırakıp kökten kurtaralım: 3x 1 x 1 3x 1 1 x 3x 1 2 1 x 3x 1 1 2 x x 2 2 Bu denklemi düzenlersek x 0 ve x 1 elde edilir. Bu değerlerden ikisi de denklemi sağlar. Mutlak değerli denklemlerin çözümünde mutlak değerin içerisindeki kök bulunur. Bu köke göre mutlak değer çıkarılarak hesaplamalar yapılır. Bulunana köklerin bu kökten büyük küçüklüğüne dikkat edilir. Örneğin 3x 6 x 6 denkleminin çözümünü 3x 6 0 x 2 ’e göre yapacağız: x 2 için denklemde 3x 6 3x 6 yazarak çözümü buluruz: 3x 6 x 6 4 x 6 6 …:::: SORULAR ::::… (Mantık ve bölünebilme) 1) p q p q bileşik önermesinin karşıt tersinin en sade halini bulunuz. 2) p p q önermesinin olumsuzunu bulunuz. 3) 14 basamaklı ABCABCABCABCAB sayısının 11 ile bölümünden kalan hangisi olabilir? B – A 4) A23B sayısı 15 bölündüğüne göre A+B toplamının alacağı değerleri bulunuz. 5) p q p q önermesinin en sade halini bulunuz. 6) Dört basamaklı 3K4L doğal sayısı 36 ile tam bölünebildiğine göre K+L toplamının alabileceği en büyük değer kaçtır? 4 x 12 x 3 Bu değer x 2 için doğru olacağından çözüm kümesine alacağız. x 2 için denklemde 3x 6 3x 6 yazarak çözümü buluruz: 3x 6 x 6 2 x 6 6 x 0 Bu değer x 2 için doğru olacağından çözüm kümesine alacağız. Çözüm Kümesi {0,3} olacaktır. ALIġTIRMALAR 1) 2 x 2 y z 1 x y z 2 denklem sisteminin y z 1 çözümünde x kaçtır? (2010 LYS1) 2 x x 2) 8 0 denkleminin 2 x3 x 3 çözüm kümesini bulunuz. x 10 6 5 denkleminin x 10 çözüm kümesini bulunuz. 3) 4) 2 x 6 x 2 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. 5) x 2 4 x 2 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. 6) 3 2 x 3 2 x 2 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. ĠKĠNCĠ DERECEDEN ĠKĠ BĠLĠNMEYENLĠ DENKLEM SĠSTEMLERĠ a,b,c,d,e,f birer reel sayı ve a,b,c sayılarından en az ikisi sıfırdan faklı olsun. ax2 by 2 cxy dx ey f 0 şeklindeki denklemler ikinci dereceden iki bilinmeyenli denklemler denir. Bu denklemi sağlayan (x,y) reel sayı ikilisine denklemin çözümü denir.Birden fazla ikinic dereceden iki bilinmeyenli denklemden oluşan sisteme ikinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemi denir.Bu tür denklemler için belirli çözüm yöntemleri yoktur.Her denklem sisteminin farklı farklı çözüm yöntemi olabilir.Çarpanlara ayırmadan yok etme metoduna ortak paranteze pek çok bilgi kullanılabilir. x 2 y 2 x y 12 Örneğin; denklem x y 5 sistemini çözelim. İlk denklemi iki kare Matematik Bülteni / Aralık 2015 farkından yararlanarak x y x y x y 12 yazıp buradaki Sayfa 4 temel örnekler verildi. Fakat bu kavramların öğretimi burada belirttiğimiz gibi kolay bir yapıda değildir. Bu x y yerine 5 yazalım: nedenlerden birisi, bu aşamaların 5 x y x y 12 ve x+y parantezine uygulanmasını sağlayan öğretmendir. Öğrenciye ispat ve muhakeme becerisinin alarak 6 x y 12 x y 2 olur. öğretimi ve gelişimi öğretmene bağlıdır. İkinci denklem ile bulduğumuz son Eğer öğretmenler öğrencileri için geniş denklemi kullanarak x ve y değerlerini öğrenme yelpazesi sunarlar ve değişik ispat 3. x2 x 6 0 eşitsizliğinin çözüm x y 2 7 3 yöntemlerini verirlerse, öğrencilere buluruz: x , y kümesi aşağıdakilerden hangisidir? matematiği ve mantıksal düşünceyi daha x y 5 2 2 A)(-3,0) B)(-2,3) C)(2,3) D)(-3,-2) E)(-3,2) iyi anlayıp yaratıcılıklarını artıracaklardır. Öğretmenler öğrencilerine konular ĠKĠNCĠ DERECEDEN BĠR MATEMATĠKSEL ĠSPAT* üzerindeki fikirlerini açıklama ve tartışma BĠLĠNMEYENLĠ EġĠTSĠZLĠKLER Keşfetme, araştırma duygusu, fırsatı vermeli ve onları cesaretlendirmeÖncelikle ikinci dereceden bir bilinmeyenli neden, niçin gibi sorulara aranan cevaplar fonksiyonun işaretini incelememiz gerekir. bireyin doğmasıyla başlar. Bebekler sürekli lidirler. Öğrenciler bir önermenin doğruluğunu nedenleriyle öğrenmek Bu fonksiyonun işareti başkatsayı ve etrafına bakar, bulunduğu ortamı inceler isterler. diskriminanta göre değişir. merak ederler. Okul öncesi çocukları 2 büyüklerine sürekli sorular sorarak y ax bx c fonksiyonun işareti yaşadığı dünyayı öğrenmeye, ilişkileri x1 , x2 denklemin kökleri olmak üzere anlamaya çalışırlar. Görülüyor ki insanoğlu 1) 0 ise doğumdan itibaren olayları anlamaya çalışan, aralarındaki ilişkileri bulmaya çabalayan yani bir anlamda düşünen bir 2) 0 x1 x2 ALIġTIRMALAR 1. x2 x 2 0 eşitsizliğini sağlayan x’in alabileceği kaç farklı tamsayı değeri vardır? 2. x 2 x2 4 eşitsizliğini sağlayan x’in alabileceği farklı tamsayı değerleri toplamını kaçtır? b a 3) 0 ise reel kök yoktur ve işaret aşağıdaki gibidir: Örnek5. x2 2 x 3 0 sağlayan reel sayı aralığını bulalım. Çözüm: x2 2x 3 0 a 1, b 2, c 3 b2 4ac 2 4 1 (3) 16 yani 2 sıfırdan büyüktür. O halde iki reel kök vardır. Bu kökleri bulup işaretlememizi yapacağız. a=1 ve artı işaretli olduğunu unutmayalım. Denklemin kökleri b b 2 4ac formüllerinden 2a (veya çapanlara ayırarak) x1 1, x2 3 x1,2 Bizden istenen x2 2 x 3 0 yani negatif olan kısımdır. Cevabımız (-1,3) aralığı olacaktır. varlıktır. Düşünebilme yapısı çevrenin etkisiyle daha etkili olarak gelişebilir. Olaylar arasındaki ilişkileri anlayabilme, muhakeme etme sonuç çıkarma okul öncesi yıllarda oluşması beklenmektedir. Eğitim ve öğretimin doğasında olan insanlara olayları nedenleriyle açıklayabilme muhakeme yapısının gelişimini sağlama her alanda ortaktır. Matematiksel ispat ve muhakeme bu alanları içerisine alan bir kavramdır. İspat ve muhakeme insanın içgüdüsel olarak sahip olduğu bir yetenektir. Fakat bu yeteneğin gelişimi belirlenecek uygun stratejilere bağlıdır. Öyle ki bu stratejileri istenilen yapıda belirleyemezseniz insanda doğuştan var olan ispat ve muhakeme yeteneklerini zamanla yok edip, ezberleme yolunu seçen, neden sonuç zincirini takip edemeyen bireyler yetiştirmiş olursunuz. Eğer bu stratejinizi uygun belirlerseniz var olan ispat ve muhakeme yapısını daha da ileriye taşırsınız. Burada bahsettiğimiz strateji kavramı okullarımızda ispat ve muhakeme yapısının gelişimiyle ilgili programlardır. Bu programa, okul öncesi, ilköğretim ve lise aşamalarında bakıldı. Her aşamada ispat ve muhakemenin seviyesiyle ilgilenilerek konuyla ilgili Eğer açıklayıcı ispatlarla matematik öğrenimini sağlarsak onların daha iyi anlamalarını ve zevk almalarını sağlamış oluruz. Konunun öğretimiyle ilgili süreçler doğru olarak uygulandığında ezberlemeyen, kavramları nedenleriyle öğrenen, yaratıcı düşünen ve problemlere farklı acılardan çözüm üretebilen bireyler yetiştirmiş oluruz. * Ege Eğitim Dergisi 2005 (6) 1: 25–37 Editörler: Orhan GÖKÇE (Mat.Öğrt.), Melike SİPAHİ (Mat.Öğrt.), Gökhan KOCA (Mat.Öğrt.) Bu çalışma Türk Telekom Anadolu Lisesi Matematik Kulübünün bir eseridir. Çalışmaya her türlü katkınızı ve görüşlerinizi belirtmek için kulüp üyelerimizle görüşmeniz gerekir. İletişim için (0 354 ) 415 71 12 telefon numarasını arayabilirsiniz. Email adresimiz: [email protected] Çalışmamızdaki her türlü bilgiyi kaynak belirtmek şartıyla kullanabilirsiniz.