( ) ( ) ( )xy ( ) ( )

21/04/2016
SAÜ BİLGİSAYAR VE BİLİŞİM BİLİMLERİ FAKÜLTESİ
BİLGİSAYAR MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
DİFERENSİYEL DENKLEMLER DERSİ ARASINAVI
İŞLEM YAPILMADAN VERİLEN CEVAPLAR DİKKATE ALINMAYACAKTIR.
HER GRUPTAN SADECE 1 (BİR) ADET SORUYU CEVAPLAYINIZ
1.
y  c1 x 2  c2 x eğri ailesini çözüm kabul eden diferensiyel denklemi bulunuz ve
bulduğunuz denklemi mertebe, derece ve lineerlik yönünden inceleyiniz.
2.
C bir keyfi sabit olmak üzere y   x3  C  e3x fonksiyonunun y ' 3 y  3x 2e3 x
denkleminin çözümü olduğunu gösteriniz. ( Denklemi çözmeye çalışmayınız. )
3.
x


dy
 2 y  xy denkleminin çözümünü bulunuz.
dx
4.
 2  xy  ydx   2  xy  xdy  0 denklemi için     xy  şeklinde bir integrasyon
çarpanı bulunuz.
5.
6.
x  y '  1  x ln x  y ' ln x  0 denkleminin çözümünü bulunuz.
2
y  xp 2  2 p3 ile verilen denklemin genel ve varsa tekil çözümlerini elde ediniz.
4
7.
y   4 y ''' 13 y ''  1  2 x 2  3e2 x sin 3x denklemi veriliyor. Bu denkleme ilişkin
homojen kısma ait yh çözümünü elde ediniz. Daha sonra ise y p özel çözümünün nasıl
seçilmesi gerektiğini nedenleri ile belirtiniz. ( Katsayıları bulmaya çalışmayınız.)
8.
y '' 2 y ' y  x 2e x denkleminin genel çözümünü bulunuz.
SÜRE: 80 DAKİKADIR.
.
BAŞARILAR DİLERİZ
CEVAP ANAHTARI
y '  2c1 x (3)
y  c1 x 2  c2 x
1.
c1 
2.
1
y ''
2
c2  y ' xy ''
(3)
y ''  2c1 (3)
(3)
x2 y '' 2 xy ' 2 y  0
(7)
y   x3  C  e3x
y '  3x 2e3 x  3e3 x  x3  C  (15) olup denklemde yerine
2. Mertebe (2), 1.Derece (2) , Lineer (2).
yazılırsa y ' 3 y  3x 2e3 x  3e3 x  x3  C   3e3 x  x3  C  (5)
y ' 3 y  3x 2e3 x (5) elde edilir.
3.
x

dy
 2 y  xy
dx

denklem homojen olduğundan y  vx (5) ile
şekline dönüşür. İntegral yardımıyla

v 2

dv
dx
(15)

x
v2 v
2
2
 y

 cx (3) ve buradan 
 2   cx (2) elde
 x

edilir.
4.
 2  xy  ydx   2  xy  xdy  0 denklemi 
ile çarpalım ve tam diferensiyel olma
şartını uygulayalım. Buna göre


  2 y  xy 2  
  2 x  x 2 y  olmalı. (5) . Buradan
y
x






2 y  xy 2    2  2 xy   

 2 x  x2 y     2  2 xy  (5)     xy  , u  xy ile
y
x
d  u
d  u
2 y  xy 2  
2 x  x 2 y     4 xy 


du y
du x
d
 2 x2 y 2     4 xy  (5)
du
2u 2
ln   2ln u    u 2   
5.
1
(5).
x y2
2
x  y '  1  x ln x  y ' ln x  0
2
y '
1
0 
x
y '
1
0 
x
1

 y '   y ' ln x   0 (5)
x

y ' ln x  0 (5)
y  ln x  c  0 (5)
y  x  ln x  1  c  0 (5) olup genel çözüm
y ' ln x  0 
 y  ln x  c   y  x  ln x  1  c   0
6.
d
d  2
 4u 

du (5)
du

u
(5) şeklinde elde edilir.
y  xp 2  2 p3 ( Lagrange) x e göre türev alalım. Buna göre
p  p2 
dp
2 xp  6 p 2  (5) elde edilir. Buradan p  p 2  0  p  0  p  1 olup

dx
p  0  y  0 (2)
p  1  y  x  2 (3) aykırı çözümleri elde edilir.
p  p 2  0 olsun. Buradan
  1  p  ile
2
1  p 
dx
2
6p

x
dp 1  p
1 p
(5) lineer denklemi elde edilir.
x  2 p 3  3 p 2  c 

 parametrik gösterim (10) elde edilir.
y  xp 2  2 p3


2
4
y   4 y ''' 13 y ''  1  2 x 2  3e2 x sin 3x denkleminin homojen kısmı
7.
4
y   4 y ''' 13 y ''  0 olup karakteristik denklem r 4  4r 3  13r 2  0 dır.
Kökler ise r1  r2  0 ve r3,4  2 3i (5) dir. Buna göre
(5)
(5)
2x
yh  c1  c2 x  e  c3 cos3x  c4 sin 3x  olur. Özel çözüm ise
(5)
(5)
2
2x
y p  x  Ax  Bx  C   xe  D cos3x  E sin 3x  şeklinde seçilmelidir.
2
8.
y '' 2 y ' y  x 2e x
y '' 2 y ' y  0
y p  c1 ( x)e x  c2 ( x) xe x (2) olacak şekilde seçelim.
yh  c1e x  c2 xe x (3)
c1 ' e x  c2 ' xe x  0
r 2  2r  1  0  r1  r2  1 (2)
c1 ' e x  c2 '  e x  xe x   x 2e x
(5)
c1   ln x (3)
c2  
yg  c1e x  c2 xe x  e x (1  ln x) (5).
1
x
(3)
y p  e x (1  ln x) (2)