Gerçek Sayılar

Ders: Matematik
Ders Süresi: 10 Ders Saati
Tarih:
Okulun Adı:
Sınıf: 9
Öğrenme Alanı: Cebir
Bölüm: Sayılar
Alt Öğrenme Alanı: Gerçek Sayılar
Beceriler: Matematiksel düşünme, akıl yürütme, ilişkilendirme, problem çözme, iletişim
kurma.
Kazanımlar:
1.
2.
3.
4.
5.
Rasyonel olmayan sayıların (irrasyonel sayıların) varlığını belirtir.
Gerçek sayılar kümesinde toplama ve çarpma işlemlerinin özelliklerini belirtir.
Gerçek sayılarda eşitsizliğin özelliklerini belirtir.
Gerçek sayılar kümesinde açık, kapalı ve yarı açık aralıkları ifade eder.
Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemlerin ve eşitsizliklerin çözüm
kümelerini değişik sayı kümelerinde bulur.
Araç ve Gereçler : Matematik dersi için hazırlanmış araç gereçler
ÖĞRENME VE ÖĞRETME SÜRECİ
ı
İrrasyonel sayıların ondalık açılımının sınırsız ve devirsiz olduğu belirtilir. Çelişki
metodu kullanarak 2 sayısının rasyonel olmadığını ( a, b  Z , b  0 olmak üzere,
a
b
biçiminde
yazılamadığını) göstermeleri istenir.
a, b  Z  ve obeb(a, b)  1 olmak üzere
2
a
b
olsun.
a
eşitliğinden, a 2  2 b 2 eşitliği elde edilir.
b
a 2  2 b 2 olduğundan a 2 çifttir. a 2 çift ise a  2 k , k  Z
2
dir.
a  2 b eşitliğinde a yerine 2k yazılırsa, b  2 k eşitliği elde edilir.
b 2  2 k 2 olduğundan b 2 çifttir. b 2 çift ise b  2 t , t  Z dir.
a ve b nin ikisini de çift bulduk. Baştaki kabulümüzle çelişki elde ettik.
2
2
Dolayısıyla 2 

2
a
b
2
şeklinde yazılamaz. Yani 2 rasyonel sayı değildir
2 sayısını sayı doğrusu üzerinde göstermeleri istenir.
ı 2 , 3 , 5 ve 1/3 , 5/6 , 1/7 sayılarının ondalık açılımları hesap makinesi kullanarak
buldurulur ve her iki gruptaki sayıların ondalık açılımları arasındaki farkı belirtmeleri istenir.
Buradan hareketle birinci gruptaki sayıların ondalık açılımlarının sınırsız ve devirsiz,
ikinci gruptakilerin ise devirli olduğu keşfettirilir.
A. REEL (GERÇEL) SAYI ARALIKLARI
1. Kapalı Aralık
a < b olsun.
a ve b sayıları ile bu sayıların arasındaki tüm reel (gerçel) sayıları kapsayan aralık
[a, b] veya a  x  b, x IR biçiminde gösterilir ve “a, b kapalı aralığı” diye okunur.
2. Açık Aralık ve Yarı Açık Aralık
i)
(a, b) veya a < x < b, x  IR ifadesine açık aralık denir.
ii) (a, b) açık aralığının uç noktalarından herhangi birinin dahil edilmesiyle elde edilen
aralığa yarı açık aralık denir.
[a, b) veya ax < b ifadesine sağdan açık aralık denir.
B. EŞİTSİZLİĞİN ÖZELLİKLERİ
1) Bir eşitsizliğin her iki yanına aynı sayı eklenir ya da çıkarılırsa eşitsizlik aynı kalır.
a<b
a+c<b+c
a – d < b – d dir.
2) Bir eşitsizliğin her iki yanı pozitif bir sayı ile çarpılırsa ya da bölünürse eşitsizlik aynı
kalır. Negatif sayı ile çarpılırsa ya da bölünürse eşitsizlik yön değiştirir.
a<b
c > 0 ise, a . c < b . c
d < 0 ise, a . d > b . d
k > 0 ise,
m < 0 ise,
3) 0 < a < b ise,
4) a < b < 0 ise,
5) a < 0 < b ise,
6) 0 < a < b ve n IN+ ise, an < bn dir.
7) a < b < 0 ve n  IN+ ise,
a2n > b2n
a2n+1 < b2n+1
(2n : Çift doğal sayıdır.)
(2n+1 : Tek doğal sayıdır.)
8) a < b ve b < c  a < c dir.
9) 0 < a < 1 ve nIN+ – {1} ise, an < a dır.
10)
a>b
+
c>d

a + c > b + d
11)
0<a<b
x
0<c<d

0 < a . c < b . d
12) a . b < 0 ise, a ile b zıt işaretlidir.
13) a . b > 0 ise, a ile b aynı işaretlidir.
1
x
ı x ve y aynı işaretli sayılar olmak üzere, x  y  
x ve y aynı işaretli olduğundan x . y  0 olur.
1
y
olduğunu göstermeleri istenir.
x y
eşitsizliğinin her iki tarafını
1
ile çarpalım.
x. y
x
y

x. y x. y
1 1

y x
A   5,3 ve B  1,   aralıklarını sayı doğrusunda göstermeleri ve A  B , A  B , A  B ve
B  A kümelerini bulmaları istenir.
x, y R olmak üzere,

5  x  2 

4  y  3 
olduğuna göre, x 2  y 2 nin alabileceği tam sayı değerleri buldurulur.
5  x  2
4  y  3

 0  y 2  16 
4  x 2  25

 16   y 2  0
 12  x 2  y 2  25
x 2  y 2  11, 10, 9,..., 25  37 tane tam sayı değeri vardır.
ı
x  1  3x  5  2 x  1 eşitsizliğinin Z deki ve R deki çözüm kümeleri
I. DERECEDEN DENKLEMLER


a, b reel sayı ve a ≠ 0 olmak üzere, a.x + b = 0 biçimindeki eşitliklere birinci
dereceden bir bilinmeyenli denklem denir.
Denklemi sağlayan x reel sayısına denklemin kökü, denklemin köklerinden oluşan
kümeye de denklemin çözüm kümesi denir.
3x + 7 = 0
4x - 5 = 0
9x = 0
y+3=0
2t + 3 = 0
5a – 8 = 0
denklemleri, birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemlerdir
Ancak;
3x + 7 = 0 denklemi, x değişkenine bağlı,
y + 3 =0 denklemi, y değişkenine bağlı,
2t + 3=0 denklemi, t değişkenine bağlı,
5a - 8 = 0 denklemi, a değişkenine bağlı,
Birinci dereceden bir bilinmeyenli
denklemlerdir.
ÖRNEK: (a + 2)x2 + (b - 3)x – 5 = O denklemi birinci dereceden bir bilinmeyenli
denklem olduğuna göre, a ve b kaçtır?
EŞİTLİĞİN ÖZELLİKLERİ
a
a
a
a
=
=
=
=
b
b
b
b
a
a
a
a
+c=b+c
–c=b–c
.c=b.c
/c=b/c c≠0
a = b ve b = c
a = b  an = b n
a = b  n√ a =
a=c
n
√b
a.x + b = 0 Denkleminin Çözüm Kümesinin Bulunması
1. Durum : a ≠ 0  x = -b / a dır. Yani ÇK = {-b / a} ile tek elemanlıdır.
2. Durum : a = 0 ve b = 0  ÇK = R dır.Yani çözüm kümesi sonsuz elemanlıdır.
3. Durum : a = 0 ve b ≠ 0  ÇK = Ø dir.Yani çözüm kümesinin hiçbir elemanı
yoktur.
ÖRNEK : Aşağıdaki denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz?
a) 2x – 6 = 12
b) 8x – 5 + 2(x – 1) = 5(2x – 4) +12
c) 3(2x – 1) + 2(x + 1) = 3(x – 1) + 5x + 2
I.DERECEDEN İKİ BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER



a,b,c Є R , a≠0 , b≠0 olmak üzere ax + by + c = 0 biçimindeki eşitliklere birinci
dereceden bilinmeyenli denklemler denir.
3x + 4y – 5 = 0 denklemini sağlayan ikililerin sayısı sayılamayacak kadar çoktur.
ax + by + c = 0 denklemi bütün (x ,y ) reel sayı ikililerin için sağlanıyorsa a = b =
c = 0 dır.
DENKLEM SİSTEMLERİ


ax + by + c = 0
dx + ey + f = 0 biçimindeki birden fazla iki bilinmeyenli denklemden oluşan
sisteme iki bilinmeyenli denklem sistemleri denir.
Bu denklem sistemlerinin üç şekli vardır.
a
b
1. Durum   ≠ 
d
e
2. Durum 
3. Durum 
ise çözüm kümesi bir tek ikiliden oluşur.
a
b
c
 =  = 
d
e
f
a
b
c
 =  ≠ 
d
e
f
ise çözüm kümesi sonsuz ikiliden oluşur.
ise çözüm kümesi boş kümedir.
ÇÖZÜM KÜMESİNİ BULMA YOLLARI
Yok etme metodu
ÖRNEK: 3x – y = 5
2x + y = 5 denklem sisteminin çözüm kümesini bulunuz?
Yerine koyma metodu:
ÖRNEK: 3x – y = 5
2x + y = 5 denklem sisteminin çözüm kümesini bulunuz?
Karşılaştırma metodu:
ÖRNEK: 3x – y = 5
2x + y = 5 denklem sisteminin çözüm kümesini bulunuz?
ÖZEL DENKLEMLER
ÖRNEK :
a+b=5
b+c=8
c + a = 7 olduğuna göre a + b + c toplamı kaçtır?
ÖRNEK :
5x – 3y + 4z = 15
4x – 4y + 3z = 12 olduğuna göre a + b + c toplamı kaçtır?
ÖRNEK :
x–1
x+1
3x + 1
2x - 1
 +  +  +  = 4
x
x+2
x–1
x–2
olduğuna göre x kaçtır?
a) (-2)
b) (-1)
c) 0
d) 1
e) 2
Etkinlik:
[!] Her rasyonel sayının ondalık açılımının devirli olduğu ve her devirli ondalık açılımın bir
rasyonel sayı olduğu belirtilir
[!] Gerçek sayılar kümesinin elemanları ile sayı doğrusunun noktaları arasında bire bir ve
örten bir eşleme olduğu belirtilir.
[!] Özellikler:


a, b, c, d  R için,
a b  ac bc
(a  b  c  0)  a . c  b . c

(a  b  b  c)  a  c

(a  b  c  d )  a  c  b  d

a, b, c, d  R  için, (a  b  c  d )  a . c  b . d
(a  b  c  0)  a . c  b . c
ÖLÇME VE DEĞERLENDİRME
1. 1/(x+1) + 2/(x+2) - 3/(x-1) - 4/(x-2) = 7 eşitliğini sağlayan x değeri kaçtır?
2. (x+2)/(3) + (x-5)/(6) = (2x-3)/(4) + 15 denkleminin çözüm kümesi
aşağıdakilerden hangisidir?
3. (3/x) + 2y = 6a
(3/y) + 2x = 3a
ise y/x kaçtır?
4. x,y,z Reel sayı olmak üzere;
5.
2x + y - 3z = 2
2x + y + 9z = 8
4x + 5y + 6z = 16 sistemini sağlayan y aşağıdakilerden hangisidir?
13  2 x  3  9 
 eşitsizlik sisteminin çözüm kümesini bulunuz.
3  2x  7

Matematik Öğretmeni