Document

Trigonometrik Fonksiyonların İntegralleri
Aşağıdaki bağıntılar bu bölümdeki integralleri hesaplamak için kullanılırlar.
1.
sin 2 ( x ) + cos 2 ( x ) = 1
2. 1 + tan 2 (x ) =
1
= sec 2 (x )
cos 2 (x )
3. 1 + cot 2 ( x ) =
1
= cosec 2 ( x )
sin 2 ( x )
4.
sin 2 (x ) =
1 − cos(2 x )
2
5.
cos 2 (x ) =
1 + cos(2 x )
2
6.
1
sin (x ) cos(x ) = sin (2 x )
2
7.
sin (x ) cos( y ) =
8.
sin ( x )sin ( y ) = −
9.
cos(x ) cos( y ) =
1
[sin (x − y ) + sin (x + y )]
2
1
[cos(x − y ) − cos(x + y )]
2
1
[cos(x − y ) + cos(x + y )]
2
∫
sin (x )
dx
cos(x )
cos( x ) = u
− sin ( x )dx = du
⇒−
∫
du
= − ln u + c = − ln cos(x ) + c
u
∫
cos(x )
dx
sin (x )
sin ( x ) = u
cos( x )dx = du
⇒
∫
du
= ln u + c = ln sin (x ) + c
u
Örnek:
∫
tan (x )dx =
Örnek:
∫
cot (x )dx =
Örnek:
∫
sin (3x ) cos(x )dx = ?
=
1
1

 1 1
sin (2 x ) + sin (4 x )dx  = − cos(2 x ) − cos(4 x ) + c

2
4
 2 2

∫
 sin m (x ) cos n (x )dx ve m, n ∈ N için,
a) m ya da n’den biri tek ise,
b) m ve n’in ikisi de çift ise,
m = 2k + 1 ⇒
∫
sin 2 k +1 (x ) cos n (x )dx =
=
∫ (1 − cos (x))
=
∫ (1 − u ) u (− du )
k
2
k
n
cos n (x ) sin (x )dx
∫ (sin
2
(x ))k cos n (x )sin (x )dx
cos( x ) = u
− sin (x )dx = du
Belirli İntegral
dF (x )
= f (x ) ⇒
dx
b
∫ f (x)dx = F (b) − F (a) ’dır.
a
Belirli İntegralin Özellikleri:
a
1.
∫ f (x)dx = 0
a
2.
b
a
a
b
∫ f (x)dx = −∫ f (x)dx
c
3.
b
∫ f (x)dx =∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx,
a
a
4.
5.
c
a<b<c
b
b
b
a
a
∫ kf (x)dx = k ∫ f (x)dx (k sabit)
b
b
b
a
a
a
∫ [ f (x) ± g (x)]dx =∫ f (x)dx ± ∫ g (x)dx
Alan Hesabı
Aşağıdaki şekillerde sınırlı bölgelerin alanları hesaplamak için bazı formüller verilmiştir.
Şekil 1
Şekil 2
b
A=
∫ f (x)dx
a
b
A=
∫ [ f (x) − g (x)]dx
a
Şekil 3
Şekil 4
d
A=
d
∫ f ( y )dy
A=
c
∫ [ f ( y ) − g ( y )]dy
c
Şekil 5
Şekil 6
b
∫
A = − f (x )dx
a
b
A = A1 + A2 =
∫
a
f (x ) − g (x ) dx =
c
b
a
c
∫ [ f (x) − g (x)]dx + ∫ [g (x) − f (x)]dx
Örnek: y = x 2 , x = −1 , x = 3 ve x ekseni üzerinde kalan bölgenin alanını bulunuz.
x2
−1
3
A1
0
A1 =
∫
−1
x3 0
 1 1
x dx =
= − −  =
3 −1  3 3
2
A = A1 + A2 =
1
10
+ 3 = br 2
3
3
A2
3
A2 =
∫
0
x 2 dx =
x3 3 9
= =3
3 0 3