ANKARA ÜN VERS TES FEN B L MLER ENST TÜSÜ DOKTORA

ANKARA ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
DOKTORA TEZİ
SPİRAL VEKTÖR ALANLARI VE UYGULAMALARI
Esra Betül KOÇ ÖZTÜRK
MATEMATİK ANABİLİM DALI
ANKARA
2012
Her hakkı saklıdır
ÖZET
Doktora Tezi
SPİRAL VEKTÖR ALANLARI VE UYGULAMALARI
Esra Betül KOÇ ÖZTÜRK
Ankara Üniversitesi
Fen Bilimleri Enstitüsü
Matematik Anabilim Dalı
Danışman: Prof. Dr. Yusuf YAYLI
Bu doktora tezi altı bölümden oluşmaktadır. Birinci bölüm, giriş kısmına ayrılmıştır.
İkinci bölümde, tez için gerekli kavramlar verilmiştir. Üçüncü bölümde, lineer vektör
alanları verilerek spiral vektör alanları tanıtılmıştır ve spiral vektör alanlarının integral
eğrileri hesaplanmıştır. Dördüncü bölümde, üçüncü bölümde yapılan çalışmalar Lorenz
uzayında yapılmıştır. Beşinci bölümde, point-line operatörü tanımlanarak benzerlik
dönüşümü yardımıyla bir point-line’nın başka bir point-line’a dönüştürülebileceği
gösterilmiştir. Altıncı bölümde ise beşinci bölümde yapılan çalışma, Lorenz uzayı için
incelenmiştir.
Şubat 2012, 78 sayfa
Anahtar Kelimeler: Lie Grubu, Lie Cebiri, Lineer vektör alanı, Helisel Vektör Alanı,
Point-line operatörü
i
ABSTRACT
Ph.D. Thesis
SPIRAL VECTOR FIELD AND ITS APPLICATIONS
Esra Betül KOÇ ÖZTÜRK
Ankara University
Graduate School of Natural and Applied Sciences
Department of Mathematics
Supervisor: Prof.Dr. Yusuf YAYLI
This thesis consists of six chapters. The first chapter has been devoted to the
introduction. In the second chapter, some main concepts for this study have been given.
In the third chapter, we gave the lineer vector fields and defined the spiral vector fields.
In addition to this we calculate the integral curves of a spiral vector field. In the fourth
chapter, we did the same work on Lorentzian space like chapter three. In the fifth
chapter, we defined the point-line operator. With the help of Equiform motion a pointline is transformed to the another point-line. In the final chapter we did the same work
on Lorentzian space like chapter five.
February 2012, 78 pages
Key Words : Lie gruops, Lie Algebras, Lineer Vector Field, Helical vector field, Pointline operatör
ii
TEŞEKKÜR
Doktora çalışmamın yönetimini kabul ederek bana bu tezi hazırlama olanağı sağlayan,
çalışmalarımı yönlendiren, araştırmalarımın her aşamasında bilgi, öneri ve yardımlarını
esirgemeyerek akademik ortamda olduğu kadar beşeri ilişkilerde de engin fikirleriyle
yetişmeme ve gelişmeme katkıda bulunan danışman hocam sayın Prof. Dr. Yusuf
YAYLI (Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi)’ya, çalışmalarım süresince desteklerini
esirgemeyen değerli hocalarım sayın Prof. Dr. Baki KARLIĞA (Gazi Üniversitesi Fen
Fakültesi)’ya, Doç. Dr. Nejat EKMEKCİ (Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi)’ye ve
sayın Prof. Dr. Mustafa ÇALIŞKAN (Gazi Üniversitesi Fen Fakültesi)’a teşekkürlerimi
bir borç bilirim.
Çalışmalarım süresince birçok fedakarlıklar göstererek beni destekleyen ve yardımlarını
esirgemeyen eşim Ufuk ÖZTÜRK’e, babam Ali KOÇ ve annem Fatma KOÇ’a derin
duygularla teşekkür ederim.
Esra Betül KOÇ ÖZTÜRK
Ankara, Şubat 2012
iii
İÇİNDEKİLER
ÖZET...........................................................................................................................
i
ABSTRACT................................................................................................................
ii
TEŞEKKÜR................................................................................................................
iii
SİMGELER DİZİNİ..................................................................................................
v
ŞEKİLLER DİZİNİ..................................................................................................
vi
1. GİRİŞ…………………...…...................................................................................
1
2. TEMEL KAVRAMLAR…...................................................................................
2
2.1 n-Boyutlu Öklid Uzayı..……………………………….......................................
2
2.2 Riemann Manifoldu, Riemann Konneksiyonu, İkinci Temel Form…………
2.3 Eğriler Teorisi……….……….............................................................................
3
2.4 Lie Grubu ve Lie Cebiri………………………………………………………..
9
2.5 Dual Uzay………………………………………………………………………..
10
n
6
2.6 E de Hareketler……………………………………………………………….
14
2.7 3-Boyutlu Lorenz Uzayı……...…………………………………………………
18
3. LİNEER VEKTÖR ALANLARI………………………………………………..
21
3
3.1 E de Helisel Vektör Alanı……………………………………………………..
22
3.2 E3 Öklid Uzayında Spiral Vektör Alanları…………………………………...
28
3.3 En Öklid Uzayında Spiral Vektör Alanları…………………………………...
34
4. LORENZ UZAYINDA LİNEER VEKTÖR ALANLARI…………………….
38
4.1 E13 Lorenz Uzayında Helisel Vektör Alanları…………………………………
38
4.2 E13 Lorenz Uzayında Spiral Vektör Alanları ve İntegral Eğrileri…………...
41
4.3 E1n Lorenz Uzayında Spiral Vektör Alanları ve İntegral Eğrileri…………...
45
5. POINT-LINE OPERATÖRÜ…………………………………………………...
5.1 Doğru Elemanlarının Plücker Koordinatları………………………………...
6. LORENZ UZAYINDA POINT-LINE OPERATÖRÜ………………………...
50
53
60
6.1 3-boyutlu Lorenz Uzayında Benzerlik Dönüşümü……………………………
64
6.2 3-boyutlu Lorenz Uzayında Doğru Elemanlarının Plücker Koordinatları…
KAYNAKLAR….......................................................................................................
65
75
ÖZGEÇMİŞ….......................................................................................................
77
iv
SİMGELER DİZİNİ
O (n)
Ortogonal matrisler ailesi
D
Riemann koneksiyonu
g
Metrik tensör
[,]
Lie parantez operatörü
α
İntegral eğrisi
∧
Dış çarpma operatörü
D%
Öklid anlamında koneksiyon
∇
Gradient fonksiyonu
∆
Laplace operatörü
M
Diferensiyellenebilir reel manifold
TM ( P )
P ∈ M noktasındaki tanjant uzay
En
n-boyutlu Öklid uzayı
n
n-boyutlu reel vektör uzayı
GL(n + 1, )
(n + 1) × (n + 1) tipindeki regüler matrislerin cümlesi
O (n)
Ortogonal Matrislerin cümlesi
R
Sabit Uzay
R0
Hareketli Uzay
Ω
Darboux Matrisi
SO (3)
Özel ortogonal grup
SE (3)
Matris Lie grubu
se(3)
Matris Lie grubunun Lie cebiri
SD(3)
Homotetik hareketlerin matris Lie grubu
sd (3)
Homotetik hareketlerin matris Lie grubunun Lie cebiri
v
ŞEKİLLER DİZİNİ
Şekil 2.1 E n uzayı içinde bir eğri……………………………………………….............7
Şekil 2.2 Parametre değişimi………………………………………………………........7
Şekil 3.1 Ani Homotetik Hareket………...…………………………………………….32
Şekil 4.1 Lorenz Uzayında Ani Homotetik Hareket……………………………….......44
Şekil 5.1 Point-line……………………………………………………………………..51
Şekil 5.2 Referans noktası orjin olan point-line………………………………………..52
Şekil 5.3 Point-line yer değiştirmesi……………………………………………………56
Şekil 7.1 Lorenz uzayında Point-line………………………………………………......60
Şekil 7.2 Lorenz uzayında Referans noktası orjin olan point-line .……………………63
Şekil 7.3 Lorenz uzayında Point-line yer değiştirmesi…………………………….......70
vi
1. GİRİŞ
Hareketlerin modellenmesi Kinematikte önemli bir yer tutmaktadır. Özellikle katı cisim
hareketlerinin Lie grubu ve Lie cebiri yapısı yardımıyla ifade edilmesinde, lineer vektör
alanları gündeme gelmektedir. Lineer vektör alanlarının özel hallerinden olan helisel
vektör alanları ile ani hareketlerin yörüngeleri elde edilmektedir.
Lineer vektör alanlarının tanım ve uygulamaları Karger ve Novak (1985) tarafından
verilmiş olup Öklid uzayı için lineer vektör alanlarının integral eğrilerini Acratalishian
(1989) ve Lorenz uzayı için Helisel vektör alanlarının genellemesi ile helisel vektör
alanlarının ani hareketlerle olan ilişkisini Zafer ÜNAL (2007) doktora tezinde
incelemiştir.
Biz ise bu çalışmada, ilk önce lineer vektör alanlarını kullanarak spiral vektör alanlarını
tanımladık ve spiral vektör alanlarının özel halinin helisel vektör alanları olduğunu
gösterdik. Daha sonra, Spiral vektör alanlarının Lie grubu ve Lie cebiri yapılarını
inceleyerek bu yapılar üzerinde çeşitli dönüşümler tanımlayarak bu dönüşümlerin
özeliklerini inceledik.
Ayrıca, yönlendirilmiş bir doğru ve doğru üzerinde alınan bir referans noktası
yardımıyla ifade edilebilen Point-line kavramını inceledik. Bir doğru Plücker
koordinatları ile verilebilir. Eğri üzerinde bir nokta alırsak, bu nokta ile doğrunun ifade
edilmesi de point-line ile verilebilir. Bir point-line’den başka bir point-line’ye geçiş bir
operatörle yapılabilir. Bu operatör, point-line operatörü olarak adlandırılabilir. Biz
gösterdik ki; point-line operatörü bir benzerlik dönüşümüdür. Bunlara ek olarak, bir
point-line’den başka bir point-line’ye geçişin, kuaterniyonları kullanarak daha kolay
yapılabileceğini gösterdik.
1
2. TEMEL KAVRAMLAR
Bu bölümde, ilerleyen bölümlerde sıkça kullanacağımız bazı temel tanım ve sembolleri
tanıtacağız.
2.1 n-Boyutlu Öklid Uzayı
Tanım 2.1.1 A ≠ ∅ bir cümle ve V de K cismi üzerinde bir vektör uzayı olsun. Eğer
bir
ψ : A × A 
→V
dönüşümü P, Q ∈ A noktaları için
( P, Q ) 
→ψ ( P, Q )
şeklinde tanımlanmış ve aşağıdaki iki aksiyomu sağlıyor ise A cümlesine V vektör
uzayı ile birleştirilmiş bir Afin Uzay denir:
∀ P, Q, R ∈ A için ψ ( P, R ) = ψ ( P, Q) + ψ (Q, R ) dir,
ur
ur
ii. ∀ P ∈ A ve ∀ α ∈ V için ψ ( P, Q) = α olacak şekilde bir tek Q ∈ A noktası vardır
i.
(Hacısalihoğlu 2000).
Tanım 2.1.2 n-boyutlu bir reel iç çarpım uzayı
n
olsun.
n
ile birleşen
n
afin
uzayına n-boyutlu Öklid Uzay denir ve E n ile gösterilir (Hacısalihoğlu 2000).
Tanım 2.1.3 E n de bir nokta P = ( p1 ,..., pn ) olsun. 1 ≤ i ≤ n olmak üzere,
xi : E n 
→
P 
→ xi ( P) = pi
biçiminde tanımlı xi fonksiyonuna E n nin i-yinci koordinat fonksiyonu denir. Eğer
P noktasının bileşenleri bir dik çatıya göre verilmişse
{ x1 ,..., xn }
sistemine, E n nin
Öklid koordinat sistemi veya dik koordinat sistemi denir (Hacısalihoğlu 2000).
2
2.2 Riemann Manifoldu, Riemann Konneksiyonu, İkinci Temel Form
Tanım 2.2.1 X ≠ ∅ ve X in alt cümlelerinin bir koleksiyonu τ olsun. Eğer aşağıdaki
aksiyomlar sağlanıyor ise τ koleksiyonu X üzerinde bir topoloji adını alır:
i.
X , ∅ ∈τ ,
ii. ∀Ai , Aj ∈τ ⇒ Ai ∩ Aj ∈τ ,
iii. ∀i ∈ I için Ai ∈τ ⇒ ∪ Ai ∈τ
i∈I
(Hacısalihoğlu 2000 ).
Tanım 2.2.2 Boş olmayan bir X cümlesi ve üzerindeki τ topolojisinden oluşan ( X ,τ )
ikilisine bir topolojik uzay denir ve kısaca X ile gösterilir (Hacısalihoğlu 2000).
Tanım 2.2.3 X bir topolojik uzay olsun. X in P ve Q gibi faklı iki noktaları için, X
de, sırası ile, P ve Q noktalarını içine alan AP ve AQ açık alt cümleleri AP ∩ AQ = ∅
olacak biçimde bulunabilirse X
topolojik uzayına bir Hausdorff uzayı denir
(Hacısalihoğlu 2000).
Tanım 2.2.4 X ve Y birer topolojik uzay olsunlar. Bir
f : X 
→Y
fonksiyonu sürekli, f −1 tersi var ve f −1 de sürekli ise f ye X den Y ye bir
homeomorfizm (topolojik dönüşüm) denir (Hacısalihoğlu 2000).
Tanım 2.2.5 M bir topolojik uzay olsun. M için aşağıdaki önermeler doğru ise M ye
bir n-boyutlu topolojik manifold veya kısaca n-manifold denir:
(M1) M bir Hausdorff uzayıdır,
(M2) M nin her bir açık alt cümlesi E n e veya E n in bir açık alt cümlesine homeomorftur,
(M3) M sayılabilir çoklukta açık cümlelerle örtülebilir
(Hacısalihoğlu 2000).
3
Tanım 2.2.6 M bir topolojik n-manifold olsun. Bir P ∈ M noktasının M deki bir U
açık komşuluğu,
ψ : U 
→V
tanımlı dönüşümü ile E n in bir V açık alt cümlesine homeomorf ise
(U ,ψ )
homeomorfizmine M nin P noktasındaki bir haritası veya koordinat komşuluğu
denir (Hacısalihoğlu 2000).
Tanım 2.2.7 M bir topolojik n-manifold ve M nin bir açık örtüsü {Uα } olsun. Uα
açık cümlelerinin α indislerinin cümlesi A olmak üzere {Uα } örtüsü için {Uα }α ∈A
yazılır. E n de her bir Uα açığının bir ψ α homeomorfizmi altında homeomorf olan bir
açık cümlesi Vα olsun. Böylece ortaya çıkan (ψ α ,U α ) haritalarının
{(Uα ,ψ α )}α
∈A
koleksiyonuna M bir atlası (koordinat komşuluğu sistemi) denir (Hacısalihoğlu
2000).
Tanım 2.2.8 M bir topolojik n-manifold ve M nin bir atlası S = {(Uα ,ψ α )}α ∈A olsun.
Eğer S atlası için, Wα ∩ Wβ ≠ ∅ olmak üzere ∀α , β ∈ A ya karşılık φαβ ve φβα
fonksiyonları
Ck
sınıfından diferensiyellenebilir iseler
S
ye
Ck
sınıfından
diferensiyellenebilir denir. S atlası M üzerinde C k sınıfından olduğu zaman S ye
M üzerinde C k sınıfından diferensiyellenebilir yapı denir (Hacısalihoğlu 2000).
Tanım 2.2.9 M bir topolojik n-manifold olsun. M üzerinde C k sınıfından bir
diferensiyellenebilir atlas tanımlanabilirse M ye C k sınıfından diferensiyel-lenebilir
manifold denir. Ayrıca, her k ∈
zaman
M
manifolduna C ∞
için M üzerindeki atlas diferensiyellenebilir ise, o
sınıfından diferensiyel-lenebilir manifold denir
(Hacısalihoğlu 2000).
4
ye C ∞ sınıfından
Tanım 2.2.10 M diferensiyellenebilir bir manifold ve M den
fonksiyonların cümlesi de C ∞ ( M , ) olmak üzere, ∀P ∈ M için
ur
V P : C ∞ ( M , ) 
→
ur
f 
→V P [ f ]
dönüşümü
ur
ur
ur
i. V P [ λ f + µ g ] = λV P [ f ] + µV P [ g ] ,
∀λ , µ ∈
ur
ur
ur
ii. V P [ f , g ] = V P [ f ] g ( P ) + f ( P ) V P [ g ]
ur
aksiyonlarını sağlıyor ise V P fonksiyonuna M nin P noktasındaki bir tanjant
vektörü denir (Hacısalihoğlu 2000).
M manifoldunun bir P ∈ M noktasındaki tanjant vektörlerinin cümlesini
ur ur
tanjant uzay
TM ( P) = V P V P : C ∞ ( M , ) 
→
{
}
ile gösterelim. Bu cümlede toplama işlemini ∀f ∈ C ∞ ( M , ) için,
⊕ : TM ( P ) × TM ( P ) 
→ TM ( P )
ur uur
ur
uur
V P ,W P

→ V P ⊕ W P : C ∞ ( M , ) 
→
(
)
ur
uur

→ V P ⊕W P
(
f
ur
uur
)[ f ] = V P [ f ] +W P [ f ]
olarak tanımlarsak (TM ( P), ⊕ ) ikilisi bir Abel grubu olur. Ayrıca ∀f ∈ C ∞ ( M , ) için,
:
(
× TM ( P ) 
→ TM ( P )
ur
ur
λ ,V P

→ λ V P : C ∞ ( M , ) 
→
)
f
(

→ λ
ur
VP
dönüşümü ile tanımlı dış işlem ve (TM ( P), ⊕ ) Abel grubu,
uzayı oluşturur. Bu uzay {TM ( P), ⊕, , +, ⋅,
}
ur
) [ f ] = λV
P
[f]
cismi üzerinde bir vektör
sisteminden ibaret olup M nin P ∈ M
noktasındaki tanjant uzayı adını alır ve kısaca TM ( P ) ile gösterilir (Hacısalihoğlu
2000).
5
2.3 Eğriler Teorisi
Tanım 2.3.1 n-boyutlu bir reel vektör uzayı V olmak üzere
, : V × V 
→
n
r r
r r
rr
→ u , v = ∑ ui vi
( u , v ) 
(2.1)
i =1
ile tanımlı dönüşüm (reel değerli fonksiyon), aşağıdaki tanımlanan aksiyomları sağlıyor
ise V üzerinde bir iç çarpım adını alır:
r r
r r
r r
i. Simetri Aksiyomu: ∀u , v ∈ V için u , v = v , u ,
r r r
ii. Bilineerlik Aksiyomu: ∀a, b ∈ ve ∀x , y, z ∈ V için
r r r
r r
r r
ax + by, z = a x , z + b y , z
r r r
r r
r r
x , ay + bz = a x , y + b x , z
r r
r
iii. Pozitif Tanımlılık Aksiyomu: ∀u ∈ V için u , u ≥ 0
r r
r r
u, u = 0 ⇔ u = 0
(Hacısalihoğlu 2000).
r
Tanım 2.3.2 V bir reel vektör uzayı olsun. V deki bir u vektörünün uzunluğu
veya boyu
r
u =
r r
u, u
(2.2)
r
olarak tanımlanır. Ayrıca bu değere u vektörünün normu da denir (Hacısalihoğlu
2000).
Tanım 2.3.3 I ⊂
bir açık aralık olmak üzere,
α : I 
→ En
t 
→ α ( t ) = (α1 ( t ) , α 2 ( t ) ,K , α n ( t ) )
biçiminde düzgün( C ∞ sınıfından) bir α dönüşümüne, E n uzayı içinde bir eğri denir
Buradaki I ⊆
aralığına α eğrisinin parametre aralığı ve t ∈ I değişkenine de α
eğrisinin parametresi denir (Hacısalihoğlu 2000).
6
•α ( t )
α
α
I
En
•
t
Şekil 2.1 E n uzayı içinde bir eğri
Tanım 2.3.4 M bir C ∞ manifold ve I ⊂
bir açık aralık olmak üzere,
α : I 
→ M ⊆ En
dönüşümü diferensiyellenebilir ise α ya M üzerinde diferensiyellenebilir bir eğri
denir (Hacısalihoğlu 2000).
Tanım 2.3.5. E n de bir M eğrisinin ( I , α ) ve ( J , β ) gibi iki koordinat komşuluğu
verilsin.
h = α −1 o β : J 
→I
diferensiyellenebilir fonksiyonuna M nin bir parametre değişimi ( daha doğrusu
M nin I daki parameteresinin J deki parametre ile değişimi) denir (Hacısalihoğlu
2000).
•β ( s ) = α ( t )
β
α
h
J
I
•
s
•
t
Şekil 2.2 Parametre değişimi
Tanım 2.3.6 E n de bir M
eğrisi
( I ,α )
koordinat komşuluğu ile verilsin.
α : I 
→ E n fonksiyonunun Öklidyen koordinat fonksiyonları α1 , α 2 , α 3 ,L , α n olmak
üzere,
7
α (t ) ∈ M
ve
∂α 
 ∂α1
,L , n 
∂t 
 ∂t
α ' (t ) = 
dir.
(α ( t ) , α ( t ) ) ∈ T (α ( t ) )
'
En
tanjant vektörüne , M
(2.3)
eğrisinin
( I ,α )
koordinat
komşuluğuna göre hız vektörü denir (Hacısalihoğlu 2000).
Tanım 2.3.7 Her noktasındaki hız vektörü sıfırdan farklı olan eğriye regüler eğri denir
(Hacısalihoğlu 2000).
Teorem 2.3.1 E n de regüler her eğrinin, birim hızlı olacak şekilde bir koordinat
komşuluğu vardır (Hacısalihoğlu 2000).
Tanım 2.3.8 I ⊂
bir açık aralık, E n de bir eğri a ve E n üzerinde bir vektör alanı
X olmak üzere, " t òI
için,
da
= X (a (t ))
dt
ise, α eğrisine X vektör alanının integral eğrisi denir (Hacısalihoğlu 1983).
Tanım 2.3.9 V , bir K cismi üzerinde n -boyutlu bir vektör uzayı ve X , V üzerinde
bir vektör alanı olsun. Eğer,
A :V ¾ ¾ ® V
ile tanım lineer dönüşümü " v òV için,
X v A
v
olur ise, X vektör alanına lineerdir denir (Karger ve Novak 1979).
8
2.4 Lie Grubu ve Lie Cebiri
Tanım 2.4.1 Diferensiyellenebilir bir manifold M ve bir grub G olmak üzere
L1 : M nin noktaları G nin elemanları ile çakışır,
L2 :
• : M 
→M
(a,b) 
→ a • b -1 işlemi her yerde diferensiyellenebilir,
aksiyomları sağlanırsa (M,G) ikilisine bir Lie Grubu, M ye Lie Grubunun Temel
Manifoldu ve G ye de Lie Grubunun Temel Grubu denir (Hacısalihoğlu 1980a).
Tanım 2.4.2 V , bir K cismi üzerinde bir vektör uzayı olmak üzere
→V
[,] : V × V 
(x, y ) 
→ [ x, y ]
ile tanımlı işlemi,
1. Bilineer,
2. Anti-simetrik,
3. [ x, y ] , z  + [ y, z ] , x  + [ z , x ] , y  = 0
özelliklerine sahipse (V , [,]) ikilisine bir Lie Cebiri denir (Hacısalihoğlu 1980a).
Tanım 2.4.3 Matris uzayının bir alt manifoldu, matrislerin çarpma işlemine göre bir
grup ise bu gruba Matris Lie Grubu denir (Hacısalihoğlu 1980a).
Tanım 2.4.4
3
3
de
O (3) =
{A òR 33 : AT A =
A AT = I , det A = m1 }
şeklinde tanımlanan cümleye Ortogonal Matrislerin Cümlesi denir ve matrislerde
çarpma işlemine göre oluşturduğu gruba Ortogonal Matris Lie Grubu denir (Karger,
Novak 1979).
Tanım 2.4.5
3
3
de
SO
3AR33 : A T A AA T I, detA 1
şeklinde tanımlanan cümleye Özel Ortogonal Matrislerin Cümlesi, matrislerde
9
çarpma işlemine göre oluşturduğu gruba Özel Ortogonal Matris Lie Grubu denir ve
bu Lie grubuna karşılık gelen Lie cebiri
ìï
é
ïïü
- w3 w2 úù
ïï
ê 0
ï
so(3) = ïí wòR 33 : w = êê w3
0
- w1 úú, wT = - w ïı
ïï
ïï
ê- w
ú
w
0
ïï
ïï
êë 2
úû
1
î
ş
şekilde tanımlanır (Karger ve Novak 1979).
Teorem 2.4.1 E3 de bir anti-simetrik matrise karşılık gelen bir lineer dönüşüm A olsun.
A ya karşılık gelen matris,
é0
ê
A = êê- l
ê0
ëê
0 ùú
0 0 úú,
0 0 úú
û
l
(l
¹ 0)
olacak şekilde bir E3 ün bir ortonormal bazı vardır (Karger ve Novak 1979).
2.5 Dual Uzay
Tanım 2.5.1 Her a , a * ∈
için A = ( a , a* ) ikilisine bir sıralı reel sayı ikilisi adı
verilir. Böylece
{
}
ID = × = ( a , a * ) : a , a* ∈
cümlesi üzerinde iki iç işlem (toplama ve çarpma) ve eşitlik aşağıdaki şekilde
tanımlanır.
⊕ :ID × ID 
→ ID
iç işlemi A = ( a , a * ) ∈ ID ve B = ( b , b * ) ∈ ID olmak üzere
A ⊕ B = ( a , a* ) ⊕ ( b , b * ) = ( a + b , a* + b* )
şeklinde tanımlanır ve ID deki toplama olarak isimlendirilir.
:ID × ID 
→ ID
iç işlemi A = ( a , a * ) ∈ ID ve B = ( b , b * ) ∈ ID olmak üzere
A
B = ( a, a* )
( b , b ) = ( ab , ab
*
10
*
+ a*b )
şeklinde tanımlanır ve ID deki çarpma olarak isimlendirilir.
A = ( a , a * ) ∈ ID ve B = ( b , b * ) ∈ ID için
a = b ve a* = b *
ise A ve B eşittir denir ve A = B şeklinde gösterilir (Hacısalihoğlu 1983).
Tanım 2.5.2
reel sayılar cümlesi olmak üzere,
ID = ×
cümlesi üzerinde toplama, çarpma ve eşitlik işlemleri yukarıdaki gibi tanımlanmış ise
ID cümlesine dual sayılar sistemi ve her ( a , a * ) ∈ ID elemanına da bir dual sayı denir
(Hacısalihoğlu 1983).
Teorem 2.5.1 ( ID, ⊕ ,
)
üçlüsü birimli ve değişimli bir halkadır (Hacısalihoğlu 1983).
Teorem 2.5.2 ( ID, ⊕ ,
)
üçlüsü bir cisim değildir (Hacısalihoğlu 1983).
Tanım 2.5.3 A ⊕ X = A denkleminin çözümü olarak tanımlanan X dual sayısına ID
nin sıfırı denir ve 0 = ( 0, 0 ) ile gösterilir (Hacısalihoğlu 1983).
Teorem 2.5.3 ID dual sayılar halkası,
reel sayılar cümlesine izomorf bir alt cümleyi
alt cisim olarak kapsar (Hacısalihoğlu 1983).
Tanım 2.5.4 Her A = ( a , a * ) ∈ ID dual sayısında “ a ” reel sayısına A nın reel kısmı,
“ a* ” reel sayısına da A nın dual kısmı denir ve sırasıyla Re A = a , DuA = a * şeklinde
yazılır (Hacısalihoğlu 1983).
Tanım 2.5.5 ( 1, 0 ) = 1 dual sayısına ID deki çarpma işleminin birim elemanı veya ID
deki reel birim ve ( 0, 1 ) = ε dual sayısı da ID deki dual birim olarak adlandırılır
(Hacısalihoğlu 1983).
11
Tanım 2.5.6 ID dual sayılar halkası olmak üzere,
{
}
ID × ID × ID = ID 3 = A = ( A1 , A2 , A3 ) : A1 , A2 , A3 ∈ ID
cümlesi üzerindeki, sırasıyla, toplama, skalarla çarpma ve eşitlik aşağıdaki şekilde
% = ( B ) ∈ ID 3 ve λ ∈ ID olmak üzere,
tanımlanır. 1 ≤ i ≤ 3 için A = ( Ai ) , B
i
Toplama: + :ID 3 × ID 3 
→ ID 3
( A, B% ) → A + B% = ( A + B )
i
Çarpma:
i
:ID × ID 3 
→ ID 3
( λ , A)

→λ
A = ( λ Ai )
%⇔A =B
Eşitlik : A = B
i
i
(Hacısalihoğlu 1983).
Teorem 2.5.4 ( ID 3 , + ) bir abel grubudur (Hacısalihoğlu 1983).
Teorem 2.5.5
( ID
3
, + , ID, ⊕ , ,
)
sistemi ID dual sayılar halkası üzerinde bir
modüldür (Hacısalihoğlu 1983).
Tanım 2.5.7 Dual sayılar halkası üzerinde modül olan ID 3 = ID × ID × ID cümlesi ID Modül olarak isimlendirilir ve ID -Modül’ ün elemanları olan sıralı dual sayı
üçlülerine, dual vektörler adı verilir (Hacısalihoğlu 1983).
r uur
Teorem 2.5.6 a , a * ∈
3
ur
olmak üzere ID -Modül’ de her bir A dual vektörü
ur r
uur
A = a + ε a* ,
(ε = ( 0, 1) ∈ ID )
biçiminde yazılır (Hacısalihoğlu 1983).
ur r
uur r uur
Teorem 2.5.6 A = a + ε a* = a , a * dual vektörünün λ ∈ ID skaları ile çarpımı
( )
(
r
uur
λ A = λ a , λ a*
dır (Hacısalihoğlu 1983).
12
)
ur r uur ur r uur
% = b , b * ∈ ID 3 için
Teorem 2.5.7 A = a , a* , B
( )
( )
uur uur
r r
% ⇔ a = b ve a* = b *
A=B
dır (Hacısalihoğlu 1983).
Teorem 2.5.8
3
r r
vektör uzayı, ID -Modül’ ün elemanları a , 0 şeklinde olan bir alt
( )
cümlesine izomorftur (Hacısalihoğlu 1983).
ur r
uur ur r
uur
% = b + ε b * ∈ ID 3 dual vektörlerinin iç çarpımı
Tanım 2.5.8 A = a + ε a* , B
f :ID 3 × ID 3 
→ ID
şeklinde bir dönüşümdür ve
ur ur
ur ur
% = A, B
%
f A, B
uur r
uur
r
= a + ε a* , b + ε b *
uur r
r r
r uur
= a, b + ε  a, b * + a* , b 


( )
olarak tanımlanır (Hacısalihoğlu 1983).
ur r
uur
r r
Tanım 2.5.9 Bir A = a + ε a * ∈ ID 3 dual vektörünün normu, a ≠ 0 olmak üzere
r uur
ur
ur ur  r a , a * 
A = A, A =  a , r 

a 



olarak tanımlanan bir dual sayıdır, burada
r uur*
a, a
r
a = a ve a* = r
a
olmak üzere,
ur
A = a + ε a*
olarak yazılabilir (Hacısalihoğlu 1983).
13
Tanım 2.5.10 Normu ( 1, 0 ) reel birimine karşılık gelen dual vektöre birim dual vektör
denir (Hacısalihoğlu 1983).
ur r
uur r uur
Teorem 2.5.9 A = a + ε a * = a , a * ∈ ID 3 dual vektörü, birim dual vektör ise,
( )
r
r uur
a = 1 ve a , a* = 0
dır (Hacısalihoğlu 1983).
ur r uur
Teorem 2.5.10 A = a , a* ∈ ID 3 olmak üzere
( )
ur
ur A
U = ur
A
bir birim dual vektördür (Hacısalihoğlu 1983).
Tanım 2.5.11
{
ur r
uur r uur
X = x + ε x* : x , x* ∈
3
} cümlesine ID -Modül’ de birim
ur
, X = ( 1, 0 )
dual küre adı verilir (Hacısalihoğlu 1983).
ur r r
Teorem 2.5.11 A ≠ 0, a ∈ ID -Modül olmak üzere, ID -Modül’ de denklemi
( )
ur
A = ( 1, 0 )
olan birim dual kürenin dual noktaları,
3
deki yönlü doğrulara birebir karşılık gelir
(E. Study 1903).
2.6 E n de Hareketler
Tanım 2.6.1 n-boyutlu V1 ve V2 iç çarpım uzayları ile birleşen Öklid uzayları, sırasıyla,
E1n ve E2n olsun. Bir
f : E1n 
→ E2n
afin dönüşümü ∀α , β ∈ V1 için
14
ψ (α ),ψ ( β ) = α , β
olacak şekilde bir
ψ : V1 
→V2
lineer dönüşümü ile birleşiyorsa f ye bir izometri denir (Hacısalihoğlu 1980a).
Tanım 2.6.2 n-boyutlu Öklid uzayı E n olmak üzere
→ En
R : E n 
dönüşümü bir izometri ise f ye E n de bir katı hareket denir. E n nin bütün katı
hareketlerinin cümlesi R(n) ile gösterilir ve
R(n) = { R R : E n 
→ E n , R izometri}
olup R(n) cümlesi dönüşümlerin birleşimi işlemine göre bir grup’dur (Hacısalihoğlu
1980a).
Tanım 2.6.3 n-boyutlu Öklid uzayı E n ve
R0 : E n 
→ En
dönüşümü bir izometri olsun.
O ∈ E n için R0 (O) = O
olacak şekilde bir O
noktası mevcut olsun.
x≠0
olmak üzere
∀x ∈ En
için x 
→ R0 ( x) biçiminde tanımlanan R0 hareketine O etrafında E n nin bir dönme
hareketi denir (Hacısalihoğlu 1980a).
En de O etrafındaki bütün dönmelerin cümlesi R0 (n) , hareketlerin birleşimi (çarpımı)
işlemine göre R(n) in bir alt grubudur.
Teorem 2.6.1 n-boyutlu Öklid uzayı E n ve X = ( x1 ,..., xn ), Y = ( y1 ,..., yn ) ∈ E n olmak
üzere
n
X , Y = ∑ xi yi
i =1
15
Öklid iç çarpımını koruyan ortogonal grup O(n) ile O = (0,..., 0) noktasını sabit bırakan
(dönme grubu) R0 (n) ile eşlenebilir (Hacısalihoğlu 1980a).
n
Tanım 2.6.4 n-boyutlu Öklid uzayı E ve
→ En
T : E n 
dönüşümü bir izometri olsun. Eğer ∀X = ( x1 ,..., xn ) ∈ E n için
T ( X ) = ( x1 + t1 ,..., xn + tn ), ti ∈ , 1 ≤ i ≤ n
n
oluyor ise T ye E deki bir öteleme denir (Hacısalihoğlu 1980a).
En deki bütün ötelemelerin cümlesi
T (n) = {T T : E n 
→ E n , T izometri}
ile gösterilir ve hareketlerin bileşimi işlemine göre bir Abel grubudur.
Teorem 2.6.2 ∀R ∈ R ( n ) için E
n+1
de R dönüşümünün matris formu
c1 

 a
M 
ij
R=
,  a  ∈ O(n), 1 ≤ i , j ≤ n

c n   ij 


0 0 L 1 
( n + 1) × ( n + 1) tipinde reel ve regüler bir matristir (Hacısalihoğlu 1980a).
Teorem 2.6.2 ye göre, R ∈ R ( n ) için
R : E n 
→ En
x 
→ R( x) = y = ax + c
olarak ifade edilebilir. Burada, a ∈ O(n) ve c ∈ T (n) dir. E
matris formu
 y 1   a11
M  M
 =
 y n   an 1
  
1  0
L a1 n
O M
L ann
L 0
16
c 1   x1 
M   M 
c n   xn 
 
1 1 
n+1
de R dönüşümünün
olarak yazılabilir. Burada ax , hareketin dönme kısmıdır.
n
n
Tanım 2.6.5 n-boyutlu Öklid uzayı E
{ x1 ,..., xn } dik koordinat sistemine göre
de bir izometri R olsun. E
deki bir
R nin matrisel formu,
 y  a c   x 
 1  =  0 1   1  , a ∈ O(n), c ∈
  
 
n
1
dir. Eğer,
1.
det a = 1 ise R hareketine direkt hareket,
2.
det a = −1 ise R hareketine karşıt hareket denir
(Hacısalihoğlu 1980a).
Ayrıca y = ax + c ile verilen hareketin parametresi t olmak üzere
y = ax
(2.6.1)
dönme kısmını ele alalım. Hareketli uzayın sabit x noktasının hız vektörü
•
y=
•
dy
da
, a=
dt
dt
olmak üzere
•
•
y =ax
(2.6.2)
olur. a ∈ O(n) olduğundan a −1 = aT olup (2.6.1) den
x = aT y
olacağından (2.6.2) ifadesi
•
•
y = a aT y
•
olur. Burada Ω = a aT olarak alınırsa
•
y = Ωy
yazılabilir. Burada Ω , bir anti-simetrik matris olup hareketin a ya karşılık gelen
Darboux matrisi denir (Bottema ve Roth 1979).
17
n+1
n+1
Tanım 2.6.6
de
éa c ù
ïì
ïü
ú, a Î O (n ), det a = 1, c Î R n ïı
SE (n ) = ïí R : R = êê
1
ú
ïï
ïï
êë0 1 úû
î
ş
şeklinde tanımlanan cümleye Katı Cisimlerin Özel Ortogonal Matrislerin Cümlesi,
matrislerde çarpma işlemine göre oluşturduğu gruba Katı Cisimlerin Özel Ortogonal
Matris Lie Grubu denir ve bu Lie grubuna karşılık gelen Lie cebiri
se(n ) =
{w wòR nn ++ 11, wT
= - w}
şekilde tanımlanır (Karger ve Novak 1979).
2.7 3-Boyutlu Lorenz Uzayı
Tanım 2.7.1
R3 üzerinde
,
L
:
3
×
3

→
3
r r
r r
(u , v) 
→ u, v
ile tanımlı ,
L
L
= −u1v1 + u2 v2 + u3v3
metrik tensörünü ele alalım. Bu durumda
(
3
, ,
L
) ikilisine 3-boyutlu
Lorenz Uzayı adı verilir ve E13 ile gösterilir (O’neill, 1983).
Tanım 2.7.2
V , sonlu boyutlu reel vektör uzayı olmak üzere,
, :V × V →
bilineer fonksiyonu ∀v, w ∈ V için v, w = w, v
özelliğini sağlıyor ise
üzerinde bir simetrik bilineer form denir (O’neill 1983).
Tanım 2.7.3
V , vektör uzayı üzerinde bir simetrik bilineer form
,
olsun. Bu taktirde,
i-) ∀v ∈ V , (v ≠ 0) için v, v > 0 ise
,
bilineer formuna pozitif tanımlı,
ii-) ∀v ∈ V , (v ≠ 0) için v, v < 0 ise
,
bilineer formuna negatif tanımlı,
18
, ’ye V
iii-) ∀v ∈ V , (v ≠ 0) için v, v ≥ 0 ise
,
bilineer formuna semi- pozitif tanımlı,
iv-) ∀v ∈ V , (v ≠ 0) için v, v ≤ 0 ise
,
bilineer formuna semi-negatif tanımlı,
v-) ∀w ∈ V için v, w = 0 için v = 0 oluyorsa
,
bilineer formuna non-dejenere,
v ≠ 0 ise dejenere adı verilir (O’neill, 1983).
Tanım 2.7.4
3
üzerinde Lorenz metriğinin tanımlanmasıyla meydana gelen
{
3
, ,
}
ikilisine 3-
boyutlu Lorenz uzayı denir ve IL3 İle gösterilir (O’neill 1983).
Tanım 2.7.5
r
X = ( x1 , x2 , x3 ) ∈ IL3 olsun. Eğer
r r
r
i-) X , X < 0 ise X ’ e time-like vektör,
r r
r
ii-) X , X > 0 ise X ’ e space-like vektör,
r r
r r
r
iii-) X , X = 0 ve X ≠ 0 ise X ’ e null vektör adı verilir
(O’neill 1983).
Tanım 2.7.6
r r
r r
r
r
IL3 , 3-boyutlu Lorenz uzayı ve X , Y ∈ IL3 olsun. X , Y = 0 ise X ve Y vektörleri
Lorenz anlamında diktirler denir (O’neill 1983).
Tanım 2.7.7
r
r
X ∈ IL3 için X ‘ in normu
r
X
L
r r
X, X
=
olarak tanımlanır (O’neill 1983).
Tanım 2.7.8
r
X ∈ IL3 olmak üzere,
r
i-) X > 0 dır,
L
19
r
ii-) X
L
r
= 0 ⇔ X bir null vektördür,
r
r
iii-) X bir time-like vektör ise X
r
r
iv-) X bir space-like vektör ise X
2
L
r r
= − X, X ,
2
L
r r
= X , X dir
(O’neill 1983).
Tanım 2.7.9
IL3 Lorenz uzayında A−1 = ε AT ε eşitliğini sağlayan A matrisine Lorenz anlamda
 −1 0 0 
ortogonal matris denir. Burada ε işaret matrisidir, yani ε =  0 1 0  dir (O’neill
 0 0 1 
1983).
Tanım 2.7.10
S T = −ε S ε eşitliğini sağlayan S matrisine Lorenz anlamda anti-simetrik matris
denir (O’neill 1983).
Tanım 2.7.11
r
r
IL3 Lorenz uzayında iki vektör v = (v1 , v2 , v3 ) ve w = ( w1 , w2 , w3 ) olmak üzere
(v3 w2 − v2 w3 , v3 w1 − v1w3 , v1w2 − v2 w1 )
vektörüne v ve w nın vektörel çarpımı denir.
1, i = j ise
0, i ≠ j ise
δ ij = 
ve
r
ei = (δ i1 , δ i 2δ i 3 )
olmak üzere
r
 −e1
r r
v ∧ w = det  v1
 w1
biçiminde tanımlanır (O’neill 1983).
20
r
e2
v2
w2
r
e3 
v3 
w3 
3. LİNEER VEKTÖR ALANLARI
Bu bölümde ilk önce; hareket, 1-parametreli hareket, homotetik hareket, 1-parametreli
homotetik hareket kavramları verilmiştir. Daha sonra lineer vektör alanları verilerek
spiral vektör alanları ve spiral vektör alanlarının integral eğrileri tanıtılmıştır. Bu
integral eğrilerinin ani hareketler ve homotetik hareketler arasındaki ilişkisi verilmiştir.
Spiral vektör alanlarının özel halinin helisel vektör alanları olduğu belirtilmiştir.
Tanım 3.1 En n-boyutlu Öklid uzayında bir sabit uzay H , hareketli uzay H 0 olmak
üzere, H 0 ın H ye göre H 0 / H hareketi
y : En 
→ En
x 
→ y( x ) = ax + c
şeklindeki y izometrisi ile tanımlıdır ve bu hareketin matris gösterimi
 y  a c   x 
 1  =  0 1 1 
  
 
olarak yazılabilir. Burada, a ∈ SO(n) ve c ∈
n
1
(3.1)
dir.
Tanım 3.2 En n-boyutlu Öklid uzayında J ⊂
bir açık aralık ve t ∈ J olmak üzere
f t : En 
→ En
x 
→ f t ( x ) = y(t ) = a(t )x + c(t )
ile tanımlı dönüşüme En de bir parametreli hareket denir ve bu hareketin matris
gösterimi
 y (t )   a (t ) c(t )   x 
 1 = 0
1   1 

 
dir. Burada, a (t ) ∈ SO(n) ve c(t ) ∈
n
1
dir.
Tanım 3.3 En n-boyutlu Öklid uzayında h ∈
+
olmak üzere
y : En 
→ En
x 
→ y( x ) = ( ha)x + c
21
(3.2)
ile tanımlı dönüşüme En de bir homotetik hareket denir ve bu hareketin matris
gösterimi
 y   ha c   x 
 1  =  0 1  1 
  
 
dir. Burada, a ∈ SO(n) ve c ∈
n
1
(3.3)
dir.
Tanım 3.4 En n-boyutlu Öklid uzayında J ⊂
bir açık aralık ve t ∈ J olmak üzere
f t : En 
→ En
x 
→ f t ( x ) = y(t ) = h(t )a(t )x + c(t )
ile tanımlı dönüşüme En de bir parametreli homotetik hareket denir ve bu hareketin
matris gösterimi
 y (t )   h(t )a (t ) c(t )   x 
 1 = 0
1   1 

 
dir. Burada, h(t ) ∈
+
, a(t ) ∈ SO(n) ve c(t ) ∈
n
1
(3.4)
dir.
3.1 E3 de Helisel Vektör Alanı
Bu bölümde 1-parametreli hareketlerin Lie grubu ve Lie cebirini inceleyerek helisel
vektör alanını tanımlayacağız. Ayrıca aldığımız bir helisel vektör alanının integral
eğrisini inceleyeceğiz
E3 3-boyutlu Öklid uzayında J ⊂
bir açık aralık ve t ∈ J olmak üzere,
y (t ) = a (t ) x + c(t )
ile tanımlı E3 de 1-parametreli hareketi alalım. Bu hareketin matris gösterimi
 y (t )   a (t ) c(t )   x 
 1 = 0
1   1 

 14243

A(t )
dir. Burada, a(t ) ∈ SO(3) ve c(t ) ∈
3
1
dir.
A(t ) formundaki 1-parametreli matrislerin cümlesi
ìï
éa (t ) c(t ) ù
ïü
ú, a (t ) Î SO (3), c(t ) Î R 3 ïı
SE (3) = ïí A (t ) A (t ) = êê
1
ïï
ïï
1 úú
êë 0
î
û
ş
22
(3.5)
olup matrislerde çarpma işlemine göre bir Matris Lie grubunu oluşturur ve bu gruba
 a(t ) c(t )
karşılık gelen Lie cebirini se(3) ile gösterirsek A(t ) = 
 ∈ SE(3) için
0
1


éa - 1(t ) - a - 1(t )c(t ) ù
ú, a(t ) Î SO (3)
A - 1(t ) = êê
ú
0
1
ëê
ûú
éaT (t ) - aT (t )c(t ) ù
ú
= êê
ú
0
1
ëê
ûú
ve
·
é·
ù
êa (t ) c(t ) ú
ú
A (t ) = ê
ê0
0 úú
êë
û
·
olup
·
·
é·
ù
êa (t )aT (t ) - a (t )aT (t )c(t ) + c(t ) ú
ú
A (t )A (t ) = ê
ê 0
ú
0
êë
úû
éW v ù
ú
= êê
ú
0
0
ëê
ûú
·
- 1
·
olarak elde ederiz. Burada W= a(t )aT (t ) olup WT = - W olduğundan bir anti-simetrik
·
·
matris ve v = c(t ) - a(t )aT (t )c(t ) dir. Bu durumda, se(3) Lie cebirini
ìï éW v ù
ïü
ú : WÎ R 3 , WT = - W, v Î R 3 ïı
se(3) = ïí êê
3
1
ïï ê0 0 úú
ïï
îë
û
ş
olarak yazabiliriz. Ayrıca se(3) Lie cebirinin elemanları ile helisel vektör alanları
birebir eşlenirler.
Tanım 3.1.1
4
4
de
ìï éW v ù
ïü
ú : WÎ R 3 , WT = - W, v Î R 3 ïı
se(3) = ïí êê
3
1
ïï ê0 0 úú
ïï
îë
û
ş
ile tanımlı cümlesinin elemanlarının oluşturduğu lineer vektör alanına helisel vektör
alanı denir.
23
Ani hareket altında bir noktanın yörüngesi, lineer vektör alanının integral eğrisidir.
éW(t ) v (t ) ù
ê
ú Î se(3) matris kümesinde t = t için Ω(t ) = Ω ve v (t ) = v olarak alırsak
0
0
0
ê 0
ú
0
úû
ëê
éW v ù
ê
ú
ê0 0 ú matrisi yardımıyla lineer vektör alanını tanımlayabiliriz. Tanım 2.3.9 a göre
úû
ëê
éW v ù
ú ve v =
A = êê
ú
0
0
êë
úû
3
alınırsa X lineer vektör alanını
X :
3
→
3
P → X ( P) = AP
Ω v   P 
=
 
 0 0  1 
 ΩP + v 
=

 0 
şeklinde ifade edebiliriz. Şimdi bu lineer vektör alanının integral eğrisini t = 0 için
y (0) = P = x başlangıç şartı altında bulalım.
·
y = Wy + v
sabit katsayılı matris diferensiyel denkleminin y (0) = P = x başlangıç koşulu altındaki
çözümü
t
Wt
y (t ) = e x + ò e W(t - s )vds
0
= e Wt x - e Wt v W- 1e - Wt + e Wt v W- 1
= e Wt x - (144444442
e Wt ve - Wt 4444444
+ e Wt v 3) W- 1
(3.1.2)
l
= e Wt x - l W- 1
= e Wt x + l W
= e Wt x + S (t )
olarak elde edilir.
Sonuç olarak x in yörüngesi olan y (t ) eğrisi bir helis belirtir. Çünkü x , W etrafında
dönmüş ve W boyunca ötelenmiştir. Bu sonuçtan dolayı X vektör alanına helisel
vektör alanı denir.
24
Helisel vektör alanları ile 1-parametreli hareketlerin Lie cebirinin elemanları eşleşebilir.
Dolayısıyla bunlar yardımı ile 1-parametreli hareketleri elde ederiz. Bu 1-parametreli
hareketlerin yörüngelerini şu teoremle verebiliriz.
Teorem 3.1.1 E3 de bir lineer vektör alanı X , bir anti-simetrik matris Ω ∈
kolon matrisi v ∈
3
1
3
3
ve bir
olsun. O halde X in E3 de bir {O; u1 , u2 , u3 } ortonormal çatısına
göre matrisi
éW v ù
ù
ê
ú é
ê0 0 ú @ êëW v úû
úû
ëê
olmak üzere
1. rank [ Ω v ] = 3 ise X in integral eğrileri, ortak eksenli aynı parametreli, dairesel
helis eğrileridir.
2.
rank [ Ω v ] = 2 ise X in integral eğrileri, paralel düzlemlere dik olan bir eksen
üzerinde bulunan çemberlerdir.
3. rank [ Ω v ] = 1 ise X in integral eğrileri paralel doğrulardır
(Abolfazl 1989).
İspat:
E3 de bir lineer vektör alanı X , bir anti-simetrik matris Ω ∈
v∈
3
1
3
3
ve bir kolon matrisi
olsun. O halde X in E3 de bir {O; u1 , u2 , u3 } ortonormal çatısına göre matrisi
Ω v 
X =

 0 o
 0 −λ
λ 0
=
0 0

0 0
0
0
0
0
a
b 
c

0
şeklinde yazılabilir.
1. rank [ Ω v ] = 3 olmak üzere, X lineer vektör alanını ∀P = ( x, y, z ) ∈ E 3 için
25
 X ( P)  Ω v   P 
 0  =  0 o  1 

 
 
 0 λ 0 a  x
 −λ 0 0 b   y 
 
=
 0 0 0 c z

 
 0 0 0 0 1 
yada
X ( P) = (λ y + a, −λ x + b, c)
olarak yazılabilir. Diğer yandan, E 3 de
α :I ⊂
t

→ E3

→ α (t) = (α1 (t ), α 2 (t ), α 3 (t ))
eğrisini ele alalım. α nın X lineer vektör alanının integral eğrisi olabilmesi için
dα
= X (α (t ))
dt
diferensiyel
denklemini
sağlaması
gerekir.
Bu
diferensiyel
denkleminin
∀α (t ) = P = ( x, y, z ) ∈ E 3 için çözümünü X (P) = (λ y + a, −λ x + b, c) alarak aşağıdaki
şekilde çözebiliriz.
 dα1
 dt = λα 2 + a

 dα 2
= −λα1 + b

 dt
 dα 3
 dt = α 3

diferensiyel denklem sistemidir. Bu denklem sistemini basitleştirmek amacıyla λ = 1
almamız genelliği bozmaz. Bu durumda X in integral eğrisi
α (t ) = ( A sin t − B cos t + b, A cos t + B sin t − a, ct + d )
şeklinde elde edilir. Buradan, α (t ) integral eğrileri ∀A, B ∈
için ortak eksenli aynı
parametreli, dairesel helis eğrileridir.
2. rank [ Ω v ] = 2 olduğunda c = 0 ve λ ≠ 0 olmalıdır. Bu durumda X lineer vektör
alanı
26
X ( P) = (λ y + a, −λ x + b, 0)
yada X e karşılık gelen matris
0 λ
 −λ 0

0 0

0 0
0 a
0 b 
0 0

0 0
şeklinde olmalıdır. Diğer yandan, E 3 de
α :I ⊂
t

→ E3

→ α (t) = (α1 (t ), α 2 (t ), α 3 (t ))
eğrisini ele alalım. α nın X lineer vektör alanının integral eğrisi olabilmesi için
dα
= X (α (t ))
dt
diferensiyel
denklemini
sağlaması
gerekir.
Bu
diferensiyel
denkleminin
∀P = ( x, y, z ) ∈ E 3 için α (t ) = P ve X ( P) = (λ y + a, −λ x + b, 0) ise integral eğrisi
dα
= X ( P)
dt
diferensiyel denkleminin çözüm eğrisidir. Yani,
 dα1
 dt = λα 2 + a

 dα 2
= −λα1 + b

dt

 dα 3
 dt = 0

diferensiyel denklem sistemidir. Bu denklem sistemini basitleştirmek amacıyla λ = 1
almamız genelliği bozmaz. Bu durumda X in integral eğrisi
α (t ) = ( A sin t − B cos t + b, A cos t + B sin t − a, d )
şeklinde elde edilir. Buradan, α (t ) integral eğrileri ∀A, B ∈
için paralel düzlemlere
dik olan bir eksen üzerinde bulunan çemberlerdir.
3. rank [ Ω v ] = 1 olduğunda λ = 0 olmalıdır. Bu durumda X lineer vektör alanı
X ( P ) = ( a , b, c )
yada X e karşılık gelen matris
27
0
0

0

0
0 0 a
0 0 b 
0 0 c

0 0 1
şeklinde olmalıdır. Diğer yandan, E 3 de
α :I ⊂
t

→ E3

→ α (t) = (α1 (t ), α 2 (t ), α 3 (t ))
eğrisini ele alalım. α nın X lineer vektör alanının integral eğrisi olabilmesi için
dα
= X (α (t ))
dt
diferensiyel
denklemini
sağlaması
gerekir.
Bu
diferensiyel
denkleminin
∀P = ( x, y, z ) ∈ E 3 için α (t ) = P ve X ( P) = (a, b, c) ise integral eğrisi
dα
= X ( P)
dt
diferensiyel denkleminin çözüm eğrisidir. Yani,
 dα1
 dt = a

 dα 2
=b

dt

 dα 3
 dt = 0

diferensiyel denklem sistemidir. Böylece X in integral eğrisi
α (t ) = (at + d1 , bt + d 2 , ct + d3 )
şeklinde elde edilir. Buradan, α (t ) integral eğrileri paralel doğrulardır □
3.2 E3 Öklid Uzayında Spiral Vektör Alanları
Bu bölümde bir parametreli homotetik hareketlerin Lie grubu ve Lie cebirini
inceleyerek spiral vektör alanını tanımlayacağız. Ayrıca aldığımız bir spiral vektör
alanının integral eğrisini inceleyeceğiz.
28
E3 n-boyutlu Öklid uzayında J ⊂
bir açık aralık ve t ∈ J olmak üzere
f t : E3 
→ E3
x 
→ f t ( x ) = y(t ) = h(t )a(t )x + c(t )
(3.7)
ile tanımlı E3 de bir parametreli homotetik hareketi ele alalım. Bu homotetik hareketin
matris gösterimi
 y (t )   h(t )a (t ) c(t )   x 
 1 = 0
1  1 

 144

2443  
B (t )
dir. Burada, h(t ) ∈
+
, a(t ) ∈ SO(3) ve c(t ) ∈
3
1
dir.
B(t ) formundaki 1-parametreli matrislerin cümlesi
ìï
éh (t )a (t ) c(t ) ù
ïü
ú, a (t )òSO (3), h (t )òR + , c(t )òR 3 ïı
SD (3) = ïí B (t ): B (t ) = êê
1
ïï
ïï
1 úú
êë 0
î
û
ş
olup matrislerde çarpma işlemine göre bir Matris Lie grubunu oluşturur ve bu gruba
 h(t )a(t ) c(t )
karşılık gelen Lie cebirini sd (3) ile gösterirsek B(t ) = 
∈ SD(3) için
1 
 0
é 1 a - 1(t ) - 1 a - 1(t )c(t ) ù
ú,
h (t )
B - 1(t ) = êêh (t )
ú
0
1
êë
úû
é 1 aT (t ) - 1 aT (t )c(t ) ù
ú
h (t )
= êêh (t )
ú
0
1
ëê
ûú
a Î SO (3)
ve
·
·
é·
ù
êh (t )a (t ) + h (t ) a(t ) c(t ) ú
ú
B (t ) = ê
ê
ú
0
0
êë
úû
·
olup
·
é·
ù
·
·
·
êh (t )
ú
h
(
t
)
T
T
T
T
ê
ú
- 1
a
(
t
)
a
+
a
(
t
)
a
(
t
)
a
(
t
)
a
(
t
)
c
(
t
)
a
(
t
)
a
(
t
)
c
(
t
)
+
c
(
t
)
B (t )B (t ) = ê
ú
h
(
t
)
h
(
t
)
ê
ú
ê
ú
0
0
ëê
ûú
·
29
·
é·
ù
·
·
·
êh (t )
ú
h
(
t
)
T
T
ê
ú
- 1
I
+
a
(
t
)
a
(
t
)
c
(
t
)
a
(
t
)
a
(
t
)
c
(
t
)
+
c
(
t
)
B (t )B (t ) = ê
3
ú
h
(
t
)
h
(
t
)
ê
ú
ê
ú
0
0
êë
úû
ég (t )I 3 + W(t ) c (t ) ù
ú
= êê
ú
0
0
êë
úû
·
·
·
h(t )
olarak elde ederiz. Burada g(t ) =
, W= a(t )aT (t ) olup 3 ´ 3 tipinde bir antih(t )
·
·
simetrik matris ve c (t ) = - g (t )c(t ) - a(t )aT (t )c(t ) + c(t ) dir. Bu durumda, sd (3) Lie
cebirini
ìï ég (t )I 3 + W(t ) c (t ) ù
ïü
ú : WÎ ¡ 3 , WT = - W, c òR 3, g Î ¡ ïı
sd (3) = ïí êê
3
1
ïï ê
ïï
0
0 úú
îë
û
ş
olarak yazabiliriz. Ayrıca se(3) Lie cebirinin elemanları ile spiral vektör alanları birebir
eşlenirler.
Tanım 3.2.1
4
4
de
ìï ég I + W c ù
ïü
ú : WÎ ¡ 3 , WT = - W, c òR 3, g Î ¡ ïı
sd (3) = ïí êê 3
3
1
ïï ê 0
ïï
0 úú
îë
û
ş
ile tanımlı cümlesinin elemanlarının oluşturduğu lineer vektör alanına spiral vektör
alanı denir.
Ani homotetik hareket altında bir noktanın yörüngesi, lineer vektör alanının integral
eğrisidir.
ég (t )I 3 + W(t ) c (t ) ù
ê
ú Î sd (3) matris kümesinde t = t için γ (t ) I + Ω(t ) = D ve
0
0
3
0
ê
ú
0
0
êë
úû
c (t0 ) = c
olarak
alırsak
éD c ù
ê
ú
ê0 0 ú matrisi
úû
ëê
yardımıyla
éD c ù
ú ve v =
tanımlayabiliriz. Tanım 2.3.9 a göre A = êê
ú
0
0
úû
ëê
30
lineer
3
vektör
alanını
alınırsa Y lineer vektör
alanını
Y :
3
→
3
Q → Y (Q) = AQ
 D c  Q   DQ + c 
=
  =

 0 0  1   0 
şeklinde ifade edebiliriz. Şimdi bu lineer vektör alanının integral eğrisini t = 0 için
y (0) = Q = x başlangıç şartı altında bulalım.
·
y = Dy + c
sabit katsayılı matris diferensiyel denkleminin y (0) = Q = x başlangıç koşulu altındaki
çözümü
t
y (t ) = e Dt x + ò e D (t - s )cds
0
= e x + e Dt D - 1c - e Dt D - 1e - Dt c
Dt
= e Dt x + K (t )
olarak elde edilir.
e Dt = e
0
0 
γ ( t )
 0
γ ( t ) 0 

γ ( t )
0
 0
.eΩt
= eγ (t ) I 3 . eΩt 
y (t ) = [ h(t )a(t )] x + K (t ) şeklinde bir
y (t ) = e Dt x + K (t ) ifadesinin
olduğundan
homotetik hareket belirttiğini söyleyebiliriz. Sonuç olarak x in yörüngesi olan y (t )
eğrisi bir spiral belirtir. Bu sonuçtan dolayı X vektör alanına spiral vektör alanı denir.
·
·
·
T
·
T
Ayrıca v = c- a a c ve c = - gc - a a c + c olduğunu biliyoruz. Buna göre
y (t ) = e Dt x + e Dt D - 1c - e Dt D - 1e - Dt c
y (t ) = e ( g I 3 + W)t x + e ( g I 3 + W)t ( g I 3 + W)- 1c - e ( g I 3 + W)t ( g I 3 + W)- 1e - ( g I 3 + W)t
ifadesinde g = 0 alırsak y (t )= e Wt x - e Wt v W- 1e - Wt + e Wt v W- 1 ifadesini elde ederiz ki
bu ifade (3.6) den dolayı y (t ) eğrisinin bir helis eğrisi olduğunu söyler. Bu durumda
spiral vektör alanları helisel vektör alanlarının bir genel halidir diyebiliriz.
31
·
y 1(t )
Şekil 3.1 Ani Homotetik Hareket
Spiral vektör alanları ile 1-parametreli homotetik hareketin Lie cebirinin elemanları
eşleşebilir. Dolayısıyla bunlar yardımı ile 1-parametreli homotetik hareketleri elde
ederiz. Bu durumda 1-parametreli homotetik hareketlerin yörüngelerini aşağıdaki
teoremle verebiliriz.
Teorem 3.2.1 E3 de bir lineer vektör alanı Y , bir anti-simetrik matris Ω ∈
kolon matrisi c ∈
3
1
olsun. O halde Y nin E3 de bir
{O ; u1, u 2, u 3 }
3
3
ve bir
ortonormal
çatısına göre matrisi
ég I + W c ù
ê 3
ú @ ég I + W c ù
úû
ê 0
ú ëê 3
0
úû
ëê
olmak üzere
1. g = 0 ise, bu durumda hareket bir katı cisim hareketidir.
i. rank éêg I 3 + W c ùú = 3 ise Y nin integral eğrileri, ortak eksenli aynı parametreli,
ë
û
helis eğrileridir.
ii. rank éêg I 3 + W c ùú = 2 ise Y nin integral eğrileri, paralel düzlemlerde kalan ve
ë
û
merkezleri bu paralel düzlemlere dik olan bir eksen üzerinde bulunan çemberlerdir.
iii. rank éêg I 3 + W c ùú = 1 ise, Y nin integral eğrileri, paralel doğrulardır
ë
û
(Karger, Novak).
32
2. g ¹ 0 ve rank éêg I 3 + W c ùú = 3 ise integral eğrileri spiral eğrilerdir.
ë
û
·
Burada, h(t ) ∈
Örnek
3.2.1
+
,
h (t )
h (t )
E3 de
é 0 1 0ù
ê
ú
W= êê- 1 0 0 úú Î ¡
ê 0 0 0ú
êë
úû
= g (t ) ve Ω = a aT dır.
bir
lineer
vektör
Y,
alanı
bir
anti-simetrik
é0 ù
ê ú
3
ê0 ú Î ¡ 3 , h = e t ve
,
bir
kolon
matrisi
c
=
3
1
ê ú
ê1 ú
ëê ûú
matris
·
h (t )
h (t )
= g = 1
olmak üzere,
é1
ê
ég I 3 + W c ù ê- 1
ú= ê
Y = êê
ú ê0
0
0
ëê
ûú ê
ê0
êë
1 0 0ù
ú
1 0 0 úú
0 1 1 úú
0 0 0 úú
û
dir.
¥
e tY = å
n= 0
(tY )n
n!
= I + tY +
t2 2
Y
2!
+
t3 3
Y
3!
+
t4
Y4
4!
olduğundan dolayı,
etY
é1 + t - 2t 3 - 4t 4 + ... - t - 2t 2 - 2t 3 - ...
ê
3!
4!
2!
3!
3
4
ê
2t 3
2t 3
1 + t - 23t ! - 44t !
ê t + 2 ! + 3 ! + ...
= ê
ê
0
0
ê
ê
0
0
ë
- it
1 t it
é 1 e t (e - it + e it )
ie (e - e ) 0
ê 2
2
ê- 1 iet (e it - e - it ) 1 et (e - it + e it ) 0
2
= êê 2
0
0
et et
ê
ê
ê
0
0
0
ë
ée t cos t - e t sin t 0
ù
0 ú é cos t
ê
ê
êe t sin t e t cos t 0
0 úú êê t sin t
ê
= ê
ú = êe
0
0
et et - 1 ú ê
ê 0
ê
ú ê
0
ê 0
0
0
1 ú êë
ë
û
ù
ú
ú
0
0
ú
ú
t2
t3
t4
t2
t3
t4
1 + t + 2! + 3! + 4 ! + ... t + 2! + 3! + 4 ! + ... ú
ú
ú
0
1
û
ù
0 ú
0 úú
ú
- 1ú
ú
1 ú
û
- sin t 0 0 ùú
cos t 0 0 úú
0
1 e t - 1 úú
0
0 1 úú
û
0
0
olarak bulunur. e tY ile 1-parametreli homotetik hareket tanımlanabilir. Bu harekette bir
noktanın yörüngesi spiral eğri belirtir.
33
3.3 En Öklid Uzayında Spiral Vektör Alanları
Bu bölümde ilk önce En Öklid uzayında bir parametreli homotetik hareketlerin Lie
grubu ve Lie cebirini inceleyerek spiral vektör alanını tanımlayacağız. Ayrıca aldığımız
bir spiral vektör alanının integral eğrisini inceleyeceğiz.
En n-boyutlu Öklid uzay, J ⊂
bir açık aralık ve t ∈ J olmak üzere
f t : En 
→ En
x 
→ f t ( x ) = y(t ) = h(t )a(t )x + c(t )
(3.8)
ile tanımlı En de bir parametreli homotetik hareketi ele alalım. Bu homotetik hareketin
matris gösterimi
 y (t )   h(t )a (t ) c(t )   x 
 1 = 0
1  1 

 144

2443  
B (t )
dir. Burada, h(t ) ∈
+
, a(t ) ∈ SO(n) ve c(t ) ∈
n
1
dir.
B(t ) formundaki 1-parametreli matrislerin cümlesi
éh (t )a (t ) c(t ) ù
ïì
ïü
ú, a (t ) Î SO (n ), h (t ) Î R + , c(t ) Î R n ïı
SD (n ) = ïí B (t ): B (t ) = êê
1
ïï
ïï
1 úú
êë 0
î
û
ş
olup matrislerde çarpma işlemine göre bir Matris Lie grubunu oluşturur ve bu gruba
éh (t )a (t ) c(t ) ù
ú Î SD (n ) için
karşılık gelen Lie cebirini sd (n ) ile gösterirsek B (t ) = êê
ú
0
1
úû
ëê
B
- 1
é 1 a - 1(t ) - 1 a - 1(t )c(t ) ù
ú,
h (t )
(t ) = êêh (t )
ú
0
1
êë
úû
é 1 aT (t ) - 1 aT (t )c(t ) ù
ú
h (t )
= êêh (t )
ú
0
1
ëê
ûú
a Î SO (n )
ve
·
·
é·
ù
êh (t )a (t ) + h (t ) a (t ) c(t ) ú
ú
B (t ) = ê
ê
0
0 úú
êë
û
·
olup
34
·
é·
ù
·
·
·
êh (t )
ú
h
(
t
)
T
T
T
T
ê
ú
- 1
a
(
t
)
a
+
a
(
t
)
a
(
t
)
a
(
t
)
a
c
(
t
)
a
(
t
)
a
(
t
)
c
(
t
)
+
c
(
t
)
B (t )B (t ) = ê
ú
h
(
t
)
h
(
t
)
ê
ú
ê
ú
0
0
ëê
ûú
·
é·
ù
·
·
·
êh (t )
ú
h (t )
T
T
ê
ú
I
+
a
(
t
)
a
(
t
)
c
(
t
)
a
(
t
)
a
(
t
)
c
(
t
)
+
c
(
t
)
= ê
n
ú
h
(
t
)
h
(
t
)
ê
ú
ê
ú
0
0
êë
úû
ég (t )I n + W(t ) c (t ) ù
ú
= êê
ú
0
0
êë
úû
·
·
·
h(t )
olarak elde ederiz. Burada g(t ) =
, W= a(t )aT (t ) olup n ´ n
h(t )
·
tipinde bir anti-
·
simetrik matris ve c (t ) = - g (t )c(t ) - a(t )aT (t )c(t ) + c(t ) dir. Bu durumda, sd (n ) Lie
cebirini
ìï ég (t )I n + W(t ) c (t ) ù
ïü
ú : WÎ ¡ n , WT = - W, c òR n , g Î ¡ ïı
sd (n ) = ïí êê
1
n
ïï ê
ïï
0
0 úú
îë
û
ş
olarak yazabiliriz. Ayrıca sd (n ) Lie cebirinin elemanları ile spiral vektör alanları
birebir eşlenirler.
Tanım 3.3.1
n+1
n+1
de
ìï ég I + W c ù
ïü
ú : WÎ ¡ n , WT = - W, c òR n , g Î ¡ ïı
sd (n ) = ïí êê n
n
1
ïï ê 0
ïï
0 úú
îë
û
ş
ile tanımlı cümlesinin elemanlarının oluşturduğu lineer vektör alanına spiral vektör
alanı denir.
Ani homotetik hareket altında bir noktanın yörüngesi, lineer vektör alanının integral
eğrisidir.
ég (t )I n + W(t ) c (t ) ù
ê
ú Î sd (n ) matris kümesinde t = t için γ (t ) I + Ω(t ) = D ve
0
0
n
0
ê
ú
0
0
êë
úû
c (t0 ) = c
olarak
alırsak
éD c ù
ê
ú
ê0 0 ú matrisi
úû
ëê
35
yardımıyla
lineer
vektör
alanını
éD c ù
ú ve v =
tanımlayabiliriz. Tanım 2.3.9 a göre A = êê
ú
0
0
úû
ëê
n
alınırsa Y lineer vektör
alanını
Y :
n
→
n
Q → Y (Q) = AQ
 D c  Q   DQ + c 
=
  =

 0 0  1   0 
şeklinde ifade edebiliriz. Şimdi bu lineer vektör alanının integral eğrisini t = 0 için
y (0) = Q = x başlangıç şartı altında bulalım.
·
y = Dy + c
sabit katsayılı matris diferensiyel denkleminin y (0) = Q = x başlangıç koşulu altındaki
çözümü
t
y (t ) = e x + ò e D (t - s )cds
Dt
0
= e Dt x + e Dt D - 1c - e Dt D - 1e - Dt c
= e Dt x + K (t )
olarak elde edilir.
e Dt = e
0
0 
γ ( t )
 0
γ
(
t
)
0 

 0
γ ( t )
0
.eΩt
= eγ (t ) I n . eΩt 
y (t ) = e Dt x + K (t ) ifadesinin
olduğundan
y (t ) = [ h(t )a(t )] x + K (t ) şeklinde bir
homotetik hareket belirttiğini söyleyebiliriz. Sonuç olarak x in yörüngesi olan y (t )
eğrisi bir spiral belirtir. Bu sonuçtan dolayı X vektör alanına spiral vektör alanı denir.
·
·
·
·
Ayrıca v = c- a aT c ve c = - gc - a aT c + c olduğunu biliyoruz. Buna göre
y (t ) = e Dt x + e Dt D - 1c - e Dt D - 1e - Dt c
y (t ) = e ( g I n + W)t x + e ( g I n + W)t ( g I n + W)- 1c - e ( g I n + W)t ( g I n + W)- 1e - ( g I n + W)t
ifadesinde g = 0 alırsak y (t )= e Wt x - e Wt v W- 1e - Wt + e Wt v W- 1 ifadesini elde ederiz ki
bu ifade (3.6) den dolayı y (t ) eğrisinin bir helis eğrisi olduğunu söyler. Bu durumda
spiral vektör alanları helisel vektör alanlarının bir genel halidir diyebiliriz.
36
Spiral vektör alanları ile 1-parametreli homotetik hareketin Lie cebirinin elemanları
eşleşebilir. Dolayısıyla bunlar yardımı ile 1-parametreli homotetik hareketleri elde
ederiz. Bu 1-parametreli homotetik hareketlerin yörüngelerini aşağıdaki teoremle
verebiliriz.
Teorem 3.3.1 E n de bir lineer vektör alanı Y , bir anti-simetrik matris Ω ∈
kolon matrisi c ∈
çatısına
göre
n
1
n
n
ve bir
olsun. O halde Y in E n de bir {O ; u1, u 2 ,..., un } ortonormal
matrisi
ég I + W c ù
ú
Y = êê n
ú
0
0
úû
ëê
olmak
üzere
g ¹ 0
rank éêg I n + W c ùú = n ise Y nin integral eğrileri spiral eğrilerdir.
ë
û
·
·
·
h(t )
c(t ) - a(t )aT (t )c(t ) ,
Burada, a(t ) ∈ SO(n) , h(t ) ∈ + , c(t ) ∈ n1 , c (t ) = c(t ) h(t )
·
·
h(t )
g(t ) =
ve W(t ) = a(t )aT (t ) dir.
h(t )
37
ve
4. LORENZ UZAYINDA LİNEER VEKTÖR ALANLARI
Bu bölümde; Lorenz uzayı için, 1-parametreli hareket ve 1-parametreli homotetik
hareket kavramları verilmiştir. Lorenz uzayında ani homotetik hareketlerin hız
vektörleri incelenmiştir. Daha sonra lineer vektör alanları verilerek Lorenz uzayında
spiral vektör alanları ve spiral vektör alanlarının integral eğrileri tanıtılmıştır. Bu
integral eğrilerinin ani hareketler ile homotetik hareketler arasındaki ilişkisi verilmiştir.
4.1 E13 Lorenz Uzayında Helisel Vektör Alanları
Bu bölümde E13 Lorenz uzayında bir parametreli hareketlerin Lie grubu ve Lie cebirini
inceleyerek helisel vektör alanını tanımlayacağız. Ayrıca aldığımız bir helisel vektör
alanının integral eğrisini inceleyeceğiz.
Tanım 4.1.1 R3 üzerinde
,
L
:
3
×
3

→
3
r r
r r
(u , v) 
→ u, v
ile tanımlı ,
L
L
= −u1v1 + u2 v2 + u3v3
metrik tensörünü ele alalım. Bu durumda
(
3
, ,
L
) ikilisine 3-boyutlu
Lorenz Uzayı adı verilir ve E13 ile gösterilir.
Tanım 4.1.2 E13 , 3-boyutlu Lorenz uzayı, J ⊂
bir açık aralık ve t ∈ J olmak üzere
f t : E13 
→ E13
x
¾ ¾ ® ft (x ) = y (t ) = a (t )x + c(t )
(4.1)
ile tanımlı dönüşümüne E13 Lorenz uzayında 1-parametreli hareket denir ve bu
hareketin matris gösterimi,
 y (t )   a (t ) c(t )   x 
 1 = 0
1   1 

 14243

A(t )
dir. Burada c(t ) Î ¡
3
1
ve a (t ) Î SO (3, 1) dir. Ayrıca, a (t ) Î SO (3, 1) olduğundan
38
 −1 0 0 
ε =  0 1 0  olmak üzere aT = ε a−1ε dir.
 0 0 1 
A(t ) formundaki 1-parametreli matrislerin cümlesi

 a(t ) c(t )
SE(3, 1) =  A(t ) A(t ) = 
, a(t ) ∈ SO(3, 1), c(t ) ∈
1 

 0
3
1



olup matrislerde çarpma işlemine göre bir Matris Lie grubunu oluşturur ve bu gruba
 a(t ) c(t )
∈ SE(3, 1) için
karşılık gelen Lie cebirini se(3,1) ile gösterirsek A(t ) = 
1 
 0
A
- 1
éa - 1(t ) - a - 1(t )c(t ) ù
ú
(t ) = êê
ú
0
1
êë
úû
ve
·
é·
ù
êa (t ) c(t ) ú
ú
A (t ) = ê
ê0
0 úú
êë
û
·
olup
·
·
é·
ù
êa (t )a - 1(t ) c(t ) - a (t )a - 1(t )c(t ) ú
ú
A (t )A (t ) = ê
ê
ú
0
0
ëê
ûú
éC u ù
ú
= êê
ú
0
0
ëê
ûú
·
- 1
·
olarak elde ederiz. Burada C = a(t )a - 1(t ) olup Lorenz anlamında bir anti-simetrik
·
·
matris ve u = c(t ) - a(t )a - 1(t )c(t ) dir. Bu durumda, se(3,1) Lie cebirini
ïì éC
se(3,1) = ïí êê
ïï ê0
îë
uù T
ïü
ú :C = - eC e, u Î R 3 ïı
1
ïï
0 úú
û
ş
olarak yazabiliriz. Ayrıca se(3,1) Lie cebirinin elemanları ile helisel vektör alanları
birebir eşlenirler.
39
Tanım 4.1.3
ïì éC
se(3,1) = ïí êê
ïï ê0
îë
uù T
ïü
ú :C = - eC e, u Î R 3 ïı
1
ïï
0 úú
û
ş
ile tanımlı cümlesinin elemanlarının oluşturduğu lineer vektör alanına helisel vektör
alanı denir.
E13 Lorenz uzayında bir parametreli ani hareket altında bir noktanın yörüngesi, lineer
vektör alanının integral eğrisidir.
éC (t ) u (t ) ù
ê
ú Î se(3,1) matris kümesinde t = t için C (t ) = C ve u (t ) = u olarak
0
0
0
ê 0
ú
0
úû
ëê
éC
alırsak êê
0
ëê
uù
ú matrisi yardımıyla lineer vektör alanını tanımlayabiliriz. Tanım 2.3.9 a
0 úú
û
éC
göre A = êê
êë0
uù
ú ve v = E 3 alınırsa X lineer vektör alanını
1
0 úú
û
X : E13 
→ E13
P → X ( P) = AP
C u   P  CP + u 
=
  = 

 0 0 1   0 
şeklinde ifade edebiliriz. Şimdi bu lineer vektör alanının integral eğrisini t = 0 için
y (0) = P = x başlangıç şartı altında bulalım.
·
y = Cy + u
sabit katsayılı matris diferensiyel denkleminin y (0) = P = x başlangıç koşulu altındaki
çözümü
t
y (t ) = eCt x + ò eC (t - s )uds
Ct
0
Ct
= e x - e uC - 1e - Ct + eCt uC Ct
= eCt x - (1444444
eCt ue - 42
- eCt u 3)C 4444444
l
= eCt x + l C
= eCt x + S (t )
40
1
1
(4.2)
olarak elde edilir.
Sonuç olarak x in yörüngesi olan y (t ) eğrisi bir helis belirtir. Çünkü x , C etrafında
dönmüş ve C boyunca ötelenmiştir. Bu sonuçtan dolayı X vektör alanına helisel
vektör alanı denir.
Helisel vektör alanları ile 1-parametreli hareketlerin Lie cebirinini elemanları
eşleşebilir. Dolayısıyla bunlar yardımı ile 1-parametreli (ani) hareketleri elde ederiz.
4.2 E13 Lorenz Uzayında Spiral Vektör Alanları ve İntegral Eğrileri
Bu bölümde E13 Lorenz uzayında 1-parametreli homotetik hareketlerin Lie grubu ve Lie
cebirini inceleyerek spiral vektör alanını tanımlayacağız. Ayrıca aldığımız bir spiral
vektör alanının integral eğrisini inceleyeceğiz.
Tanım 4.2.1 E13 , 3-boyutlu Lorenz uzayında J ⊂
bir açık aralık ve t ∈ J olmak üzere
ft : E 13 ¾ ¾ ® E 13
x
¾ ¾ ® ft (x ) = y (t ) = h(t )a(t )x + c(t )
(4.3)
ile tanımlı dönüşüme E13 Lorenz uzayında 1-parametreli homotetik hareket denir ve
bu hareketin matris gösterimi,
 y (t )   h(t )a (t ) c(t )   x 
 1 = 0
1  1 

 144

2443  
B (t )
dir. Burada c(t ) Î ¡ 31 , h(t ) ∈
+
ve a (t ) Î SO (3, 1) dir. Ayrıca, a (t ) Î SO (3, 1)
 −1 0 0 
olduğundan ε =  0 1 0  olmak üzere aT = ε a−1ε dir.
 0 0 1 
41
B(t ) formundaki 1-parametreli matrislerin cümlesi

 h(t )a(t ) c(t )
SD(3, 1) = B(t ) : B(t ) = 
, a(t ) ∈ SO(3, 1), c(t ) ∈
1 

 0
3
1
,h∈
+



olup matrislerde çarpma işlemine göre bir Matris Lie grubunu oluşturur ve bu gruba
 h(t )a(t ) c(t )
karşılık gelen Lie cebirini sd (3,1) ile gösterirsek B(t ) = 
∈ SD(3, 1) için
1 
 0
é 1 a - 1(t ) B - 1(t ) = êêh (t )
0
êë
1 a - 1(t )c(t ) ù
ú
h (t )
1
ú
úû
ve
•
•
•

h
(
t
)
a
(
t
)
+
h
(
t
)
a
(
t
)
c
(t ) 
B(t ) = 

0
0 
•
olduğundan
•
•

•
•
•
h
t
h
(
)
(t )
−
1
−1

+ a(t )a (t ) −
c(t ) − a(t )a (t )c(t ) + c(t )
B(t )B−1 (t ) =  h(t )

h( t )


0
0


•
γ (t )I 3 + C (t ) r (t )
=
0
0 

 W (t ) r ( t ) 
=
0 
 0
≅ [W r ]
·
elde
edilir.
Burada
h(t )
g(t ) =
,
h(t )
·
·
- 1
r (t ) = - g(t )c(t ) - a(t )a (t )c(t ) + c(t )
ve
·
C = a(t )a - 1(t ) olup Lorenz anlamında bir anti-simetrik matrisdir. Bu durumda,
sd (3,1) Lie cebirini
ìï éW
sd (3, 1) = ïí êê
ïï ê 0
îë
üï
rù
ú : g I + C = W Î ¡ 3 ,C T = - eC e,, r òR 3 , g Î ¡ ïı
3
1
ïï
0 úú 3
û
ş
olarak yazabiliriz. Ayrıca sd (3,1) Lie cebirinin elemanları ile spiral vektör alanları
birebir eşlenirler.
42
Tanım 4.2.2
ïì éW
sd (3, 1) = ïí êê
ïï ê 0
îë
üï
rù
ú : g I + C = W Î ¡ 3 ,C T = - eC e,, r òR 3 , g Î ¡ ïı
3
1
ïï
0 úú 3
û
ş
ile tanımlı cümlesinin elemanlarının oluşturduğu lineer vektör alanına spiral vektör
alanı denir.
E13 Lorenz uzayında bir parametreli ani
homotetik hareket altında bir noktanın
yörüngesi, lineer vektör alanının integral eğrisidir.
éW (t ) r (t ) ù
ê
ú Î sd (3,1) matris kümesinde t = t için W (t ) = W ve r (t ) = r olarak
0
0
0
ê 0
ú
0
êë
úû
éW
alırsak êê
0
ëê
rù
ú matrisi yardımıyla lineer vektör alanını tanımlayabiliriz. Tanım 2.3.9 a
0 úú
û
éW
göre A = êê
êë 0
rù
ú ve v = E 3 alınırsa Y lineer vektör alanını
1
0 úú
û
Y : E13 → E13
Q → Y (Q) = AQ
r  Q  WQ + r 
=
0   1   0 
W
=
0
şeklinde ifade edebiliriz. Şimdi bu lineer vektör alanının integral eğrisini t = 0 için
y (0) = Q = x başlangıç şartı altında bulalım.
·
y = Wy + r
sabit katsayılı matris diferensiyel denkleminin y (0) = Q = x başlangıç koşulu altındaki
çözümü
t
Wt
y (t ) = e x + ò eW (t - s )rds
0
= eW t x + eW tW
- 1
= eW t x + K (t )
olarak elde edilir.
43
r - eW tW
- 1 - Wt
e
r
eWt = e
0
0 
γ ( t )
 0
γ ( t ) 0 

 0
γ ( t ) 
0
.eWt
= eγ (t ) I 3 . eWt 
y (t ) = eW t x + K (t ) ifadesinin
olduğundan
y (t ) = [ h(t )a(t )] x + K (t ) şeklinde bir
homotetik hareket belirttiğini söyleyebiliriz. Sonuç olarak x in yörüngesi olan y (t )
eğrisi bir spiral belirtir. Bu sonuçtan dolayı X vektör alanına spiral vektör alanı denir.
·
Ayrıca
·
·
- 1
u = c(t ) - a(t )a (t )c(t )
·
- 1
r (t ) = - g(t )c(t ) - a(t )a (t )c(t ) + c(t )
ve
olduğunu biliyoruz. Buna göre
y (t ) = eW t x + eW tW
= e
( g I 3 + C )t
- 1
x+e
İfadesinde γ = 0 alırsak
r - eW tW
( g I 3 + C )t
- 1 - Wt
e
r
( g I 3 + C ) r - e ( g I 3 + C )t ( g I 3 + C )- 1e - ( g I 3 + C )t r
- 1
y (t ) = eCt x - eCt uC - 1e - Ct + eCt uC -
1
ifadesini elde ederiz
ki buda bize (4.2) den dolayı elde edilen y (t ) eğrisinin Lorenz uzayında bir helisel
vektör alanı olduğunu gösterir. Bu durumda söyleyebiliriz ki spiral vektör alanları
helisel vektör alanlarının genel bir halidir.
Şekil 4.1 Lorenz Uzayında Ani Homotetik Hareket
Spiral vektör alanları ile 1-parametreli homotetik hareketin Lie cebirinin elemanları
eşleşebilir. Dolayısıyla bunlar yardımı ile 1-parametreli homotetik hareketleri elde
ederiz. Bu durumda 1-parametreli homotetik hareketlerin yörüngelerini aşağıdaki
teoremle verebiliriz.
44
Teorem 4.2.1 E13 de bir lineer vektör alanı Y , Lorenz anlamında bir anti-simetrik
matris C ∈
3
3
ve bir kolon matrisi r ∈
3
1
olsun. O halde Y in E13 de bir
{O ; u1, u 2, u 3 } ortonormal çatısına göre matrisi
ég I + C
Y = êê 3
êë 0
rù
ú=
0 úú
û
éW
ê
ê0
êë
rù
ú
0 úú
û
olmak üzere
1. g = 0 ise, bu durumda hareket bir katı cisim hareketidir;
i.
rank éêW
ë
r ùú = 3 ise Y nin integral eğrileri, ortak eksenli aynı parametreli,
û
Lorenzian helis eğrileridir,
ii. rank éêW
ë
r ùú = 2 ise Y nin integral eğrileri, paralel düzlemlerde kalan ve
û
merkezleri bu paralel düzlemlere dik olan bir eksen üzerinde bulunan Lorenzian
çemberlerdir,
iii. rank éêW
ë
r ùú = 1 ise, Y nin integral eğrileri, Lorenzian paralel doğrulardır
û
(Zafer Ünal 2007).
2. g ¹ 0 ve rank éêW
ë
r ùú = 3 ise integral eğrileri spiral eğrilerdir.
û
·
Burada, h(t ) ∈
+
ve
h (t )
h (t )
= g (t ) dır.
4.3 E1n Lorenz Uzayında Spiral Vektör Alanları ve İntegral Eğrileri
Bu bölümde E1n Lorenz uzayında uzayında 1-parametreli homotetik hareketlerin Lie
grubu ve Lie cebirini inceleyerek spiral vektör alanını tanımlayacağız. Ayrıca aldığımız
bir spiral vektör alanının integral eğrisini inceleyeceğiz.
45
Tanım 4.3.1 E1n , n-boyutlu Lorenz uzayında J ⊂
bir açık aralık ve t ∈ J olmak üzere
ft : E 1n ¾ ¾ ® E 1n
x
¾ ¾ ® ft (x ) = y (t ) = h(t )a(t )x + c(t )
(4.4)
ile tanımlı dönüşüme E1n Lorenz uzayında 1-parametreli homotetik hareket denir ve
bu hareketin matris gösterimi,
 y (t )   h(t )a (t ) c(t )   x 
 1 = 0
1  1 

 144

2443  
B (t )
dir. Burada c(t ) Î ¡
n
1
 −1
0
olduğundan ε = 
M

0
0
1
M
0
, h( t ) ∈
+
ve a (t ) Î SO (n , 1) dir. Ayrıca, a (t ) Î SO (n , 1)
0
0 
olmak üzere aT = ε a−1ε dir.
M

1
L
L
O
L
B(t ) formundaki 1-parametreli matrislerin cümlesi
 h(t )a(t ) c(t )

SD(n , 1) = B(t ) : B(t ) = 
, a(t ) ∈ SO(n , 1), c(t ) ∈
1 
 0

n
1
,h∈
+



olup matrislerde çarpma işlemine göre bir Matris Lie grubunu oluşturur ve bu gruba
karşılık gelen Lie cebirini sd (n ,1)
 h(t )a(t ) c(t )
ile gösterirsek B(t ) = 
∈ SD(n , 1)
1 
 0
için
B
- 1
é 1 a - 1(t ) (t ) = êêh (t )
0
êë
1 a - 1(t )c(t ) ù
ú
h (t )
1
ve
•
•
•

h
(
t
)
a
(
t
)
+
h
(
t
)
a
(
t
)
c
(t ) 
B(t ) = 

0
0 
•
olduğundan
46
ú
úû
•
•

•
•
•
h
(
t
)
h
(t )
1
−
−1

+ a(t )a (t ) −
c(t ) − a(t )a (t )c(t ) + c(t )
B(t )B−1 (t ) =  h(t )

h( t )


0
0


•
γ (t )I n + C (t ) r (t )
=
0
0 

 W ( t ) r (t ) 
=
0 
 0
≅ [W r ]
·
elde
edilir.
Burada
h(t )
g(t ) =
,
h(t )
·
·
- 1
r (t ) = - g(t )c(t ) - a(t )a (t )c(t ) + c(t )
ve
·
C = a(t )a - 1(t ) olup Lorenz anlamında bir anti-simetrik matris dir. Bu durumda,
sd (n ,1) Lie cebirini
ìï éW
sd (n ,1) = ïí êê
ïï ê 0
îë
üï
rù
ú : g I + C = W Î ¡ n ,C T = - eC e,, r òR n , g Î ¡ ïı
n
1
ïï
0 úú n
û
ş
olarak yazabiliriz. Ayrıca sd (n ,1) Lie cebirinin elemanları ile spiral vektör alanları
birebir eşlenirler.
Tanım 4.3.2
ìï éW
sd (n ,1) = ïí êê
ïï ê 0
îë
üï
rù
ú : g I + C = W Î ¡ n ,C T = - eC e,, r òR n , g Î ¡ ïı
n
1
ïï
0 úú n
û
ş
ile tanımlı cümlesinin elemanlarının oluşturduğu lineer vektör alanına spiral vektör
alanı denir.
E1n Lorenz uzayında bir parametreli ani homotetik hareket altında bir noktanın
yörüngesi, lineer vektör alanının integral eğrisidir.
éW (t ) r (t ) ù
ê
ú Î sd (n ,1) matris kümesinde t = t için W (t ) = W ve r (t ) = r olarak
0
0
0
ê 0
ú
0
êë
úû
47
éW
alırsak êê
0
ëê
rù
ú matrisi yardımıyla lineer vektör alanını tanımlayabiliriz. Tanım 2.3.9 a
0 úú
û
éW
göre A = êê
êë 0
rù
ú ve v = E n alınırsa Y lineer vektör alanını
1
0 úú
û
Y : E1n → E1n
Q → Y (Q) = AQ
r  Q  WQ + r 
=
0   1   0 
W
=
0
şeklinde ifade edebiliriz. Şimdi bu lineer vektör alanının integral eğrisini t = 0 için
y (0) = Q = x başlangıç şartı altında bulalım.
·
y = Wy + r
sabit katsayılı matris diferensiyel denkleminin y (0) = Q = x başlangıç koşulu altındaki
çözümü
t
Wt
y (t ) = e x + ò eW (t - s )rds
0
= eW t x + eW tW
- 1
r - eW tW
- 1 - Wt
e
r
= eW t x + K (t )
olarak elde edilir.
eWt = e
0
0 
γ ( t )
 0
γ ( t ) 0 

 0
γ ( t ) 
0
.eWt
= eγ (t ) I n . eWt 
y (t ) = eW t x + K (t ) ifadesinin
olduğundan
y (t ) = [ h(t )a(t )] x + K (t ) şeklinde bir
homotetik hareket belirttiğini söyleyebiliriz. Sonuç olarak x in yörüngesi olan y (t )
eğrisi bir spiral belirtir. Bu sonuçtan dolayı X vektör alanına spiral vektör alanı denir.
·
Ayrıca
·
·
- 1
u = c(t ) - a(t )a (t )c(t )
·
- 1
r (t ) = - g(t )c(t ) - a(t )a (t )c(t ) + c(t )
ve
olduğunu biliyoruz. Buna göre
y (t ) = eW t x + eW tW
= e
( g I n + C )t
- 1
x+e
r - eW tW
( g I n + C )t
- 1 - Wt
e
r
( g I n + C ) r - e ( g I n + C )t ( g I n + C )- 1e - ( g I n + C )t r
- 1
48
ifadesinde γ = 0 alırsak
y (t ) = eCt x - eCt uC - 1e - Ct + eCt uC -
1
ifadesini elde ederiz
ki buda bize (4.2) den dolayı elde edilen y (t ) eğrisinin Lorenz uzayında bir helisel
vektör alanı olduğunu gösterir. Bu durumda söyleyebiliriz ki spiral vektör alanları
helisel vektör alanlarının genel halleridir.
Spiral vektör alanları ile 1-parametreli homotetik hareketin Lie cebirinin elemanları
eşleşebilir. Dolayısıyla bunlar yardımı ile 1-parametreli homotetik hareketleri elde
ederiz. Bu 1-parametreli homotetik hareketlerin yörüngelerini aşağıdaki teoremle
verebiliriz.
Teorem 4.3.1 E1n de bir lineer vektör alanı Y , Lorenz anlamında bir anti-simetrik
matris C ∈
n
n
ve bir kolon matrisi c ∈
n
1
olsun. O halde Y in E1n de bir
ég I n + C
ê
O
;
u
,
u
,...,
u
ortonormal
çatısına
göre
matrisi
Y
=
{ 1 2
n }
ê 0
êë
olmak üzere g ¹ 0 ve rank éêW
ë
rù
ú=
0 úú
û
éW
ê
ê0
êë
rù
ú
0 úú
û
r ùú = n ise Y nin integral eğrileri spiral eğrilerdir.
û
•
Burada, a(t ) ∈ SO(n , 1) , h(t ) ∈
+
, c(t ) ∈
•
n
1
h(t )
, γ (t ) =
, W (t ) = g (t )I n + C (t ) ,
h(t )
•
•
h(t )
r (t ) = c(t ) −
c(t ) − a(t )a −1 (t )c(t ) ve C (t ) = a (t )a −1 (t ) dir.
h(t )
•
49
5. POINT-LINE OPERATÖRÜ
Bu bölümde point-line operatörü tanıtıldı ve daha sonra point-line yer değiştirmesi ile
Öklid uzayındaki benzerlik dönüşümü arasındaki ilişki verildi. Daha önce point-line
operatörü ve yer değiştirmesi dual kuaterniyonlar kullanılarak Yi Zhang, Kwun-Lon
Ting tarafından On Point-Line Geometry And Displeacement adlı makalelerinde
çalışılmıştır. Boris Odehnal, Helmut Pottmann, and Johannes Wallner Equiform
Kinematics And the Geometry of Line elements adlı makalede 3-boyutlu Öklid
uzayında doğru elemanlarının plücker koordinatlarını vermişlerdir. Biz ise pointline’nin referans noktasını koordinat sistemindeki orjin olarak kabul edildiğinde, pointline ile doğru elemanlarının benzer olduğunu gösterdik. Benzerlik dönüşümü yardımı ile
de herhangi bir doğru elamanını başka bir doğru elemanına dönüştürebileceğimizi
gösterdik. Ayrıca bir doğru elamanını başka bir doğru elamanına kuaterniyonları
kullanarak daha kolay dönüştürülebileceğini ifade ettik.
Yönlendirilmiş bir doğru, birim doğru vektörü yada Plücker koordinatları ile temsil
edilebilir. Point-line yönlendirilmiş bir doğru ve bu doğru üzerindeki bir referans
noktası ile bellidir. E ve H noktaları yönlendirilmiş bir doğru üzerindeki herhangi iki
nokta olsun. Bu durumda E ve H noktalarından geçen yönlendirilmiş doğrumuzu
r r r
r r
r r
A = a + ε a0 , ( a , a = 1, a , a0 = 0 )
(5.1)
r
birim doğrultu vektörü ile gösterebiliriz (Şekil 5.1). Burada, a yönlendirilmiş doğru
r
boyunca birim doğrultman vektörüdür ve a0 O − xyz referans çatısına göre
yönlendirilmiş doğrunun moment vektörüdür. Bir birim doğru vektör 6 tane
paremetreye bağlıdır.
Şimdi doğru üzerinde olmayan herhangi bir nokta P olsun ve buna referans noktası
diyelim. Ayrıca doğru üzerindeki herhangi bir nokta E olsun. N ise P den pointline’ye dik olan ayak noktası ve h ise yönlendirilmiş doğru üzerindeki N ayak
noktasından E noktasına olan uzaklıktır. Burada h yönlendirmeye göre pozitif veya
negatif olabilir.
50
Şekil 5.1 Point-line
Bir point-line exp ( ε h ) = ( 1 + ε h ) dual uzunluk ile (5.1) deki birim dual vektörün
çarpılmasıyla elde edilen bir dual vektördür. Yani,
r
ˆ = exp ( ε h ) A
A
r r
= ( 1 + ε h )( a + ε a0 )
r
r
= ( 1 + ε h ) a + ( 1 + ε h ) ε a0 , ε 2 = 0
r
r r
= a + ε ha + ε a0
r
r r
= a + ( ha + a0 ) ε
r
r r
ve a0 ′ = ha + a0 olmak üzere
r r
 = a + a0 ′ε
(5.2)
dır. Eğer, vidanın adımını, E noktasının yeri olarak kabul edersek vida ile point-line
benzerdir. Benzerliğin avantajı olarak vida ile ilgili koordinat dönüşümündeki formüller
point-line’ ye uygulanabilir. Bir point-line koordinatları verildiğinde E noktasını ve
yönlendirilmiş doğruyu hesaplamak kolaydır.
r
r r
r
a0 ′ = ha + a0 ifadesinde eşitliğin her iki yanını a ile iç çarparsak,
r r
r r
r
a , a′0 = a , a0 + ha
r r
r r
= a , a0 + h a , a
{
123
0
r r
⇒ h = a , a′0
olup (5.1) ifadesini
51
1
(5.3)
r r
r
r
A = a + ε ( a0′ − ha )
(5.4)
olarak yazılabiliriz. Genelliği bozmadan referans noktamız orjindeki koordinat sistemi
olsun. Böylece rE referans noktasının yer vektörü (Şekil 5.2)
r uuuur uuur
rE = ON + NE
(5.5)
uuuur
dır. Burada ON , O noktasının point-line üzerindeki dikme ayağı olduğundan
uuuur r
ON , a = 0 olup vektörel moment tanımından dolayı
uuuur r r
ON ∧ a = a0
(5.6)
r
yazılabilir. (5.6) nın her iki yanını a ile vektörel çarparsak,
r r r uuuur r
a ∧ a0 = a ∧ ON ∧ a
r r uuuur r uuuur r
= a , a ON − a , ON a
{
1
424
3
1
(
)
0
uuuur r r
⇒ ON = a ∧ a0
(5.7)
dir. Ayrıca
uuur
r
NE = ha
(5.8)
r r r
r
rE = a ∧ a0 + ha
(5.9)
dir. O halde (5.7) ve (5.8) den
olarak bulunur.
O
r uuuur r
a0 = ON ∧ a
L
r
rE
r
a
E
h
N
Şekil 5.2 Referans noktası orjin olan point-line
52
5.1 Doğru Elemanlarının Plücker Koordinatları
3-boyutlu Öklid uzayında x noktasından geçen yönlendirilmiş bir doğru L olsun. Eğer,
r r
r r
r
r r r
a ≠ 0 , L doğrusuna paralel birim vektör, a0 = x ∧ a ve h = x , a ise ( a , a0 , h ) ∈ 7
üçlüsüne doğru elemanlarının Plücker koordinatları denir ve bu koordinatlar homojen
r r
koordinatlardır. Burada a0 , a nın vektörel momentidir ve h yi x in L üzerindeki yerel
noktasını belirlemek için ekliyoruz.
Ayrıca orjinden L doğrusuna çizilen dikmenin ayağı
r r
1 r r
N ( a , a0 ) = r r a ∧ a0 ,
a, a
r r
= a ∧ a0
r r
a, a = 1
(5.10)
dir. Ayrıca
r
r
r r
h r
rX = x = N ( a , a0 ) + r r a ,
a, a
r r
r
= N ( a , a0 ) + ha
r r
a, a = 1
(5.11)
ve (5.10) den
r
r r r
r
rX = x = a ∧ a0 + ha
(5.12)
olarak yazılabilir.
r
r r
Şimdi benzerlik dönüşümü ile doğru elemanları arasındaki ilişkiyi verelim. x ' = hgx + v
r r
denklemi ile tanımlı benzerlik dönüşümü ( a , a0 , h1 ) doğru elelmanını
r
r
u = ga
r
r r
u0 = x '∧ u
r r
h2 = x ', u
denklemleri yardımı ile başka bir
r r
( u, u0 , h2 )
doğru elemanına dönüştürür ve bu
dönüşümün matris gösterimi
r
r
0 0  a 
u  g
ur  =  g× g hg 0   ar  ,
 0 
 0
T
T
 h2   v g 0 h   h1 
53
r r
g× x = v ∧ x
(5.13)
r
r r
dir. Özel durumda h1 = h2 = 0 ve h = 1 olduğunda x ' = hgx + v ile tanımlı benzerlik
dönüşümü
r
r r
x ' = gx + v
ve (5.13) deki matris
r
u  g
ur  =  g× g
 0 
r
o  a 
r ,
g   a0 
r r
g× x = v ∧ x
(5.14)
olur ve (5.14) ifadesi McCarthy nin An Introduction to Theoretical Kinematics adlı
kitabındaki sonuç ile çakışır.
Benzer şekilde kuaterniyonları kullanarak,
r r
( u, u0 , h2 )
r r
( a , a0 , h1 )
doğru elelmanını başka bir
doğru elemanına aşağıdaki teoremle dönüştürebiliriz.
Teorem 5.1.1
7
de
1
Qˆ = r 2
A
(
r r
r r
A, U + A ∧ U
)
(5.15)
dönüşümü;
1. Bir doğru elemanını başka bir bir doğru elemanına dönüştürür,
2. Bir point-line operatörü belirtir.
İspat:
7
r
r
r r
r r
de iki doğru elemanı A = ( a , a0 , h1 ) ve U = ( u , u0 , h2 ) olsun.
1
Qˆ = r 2
A
r r
( A, U
r r
+ A ∧U
)
r
olup her iki tarafı A ile vektörel çarparsak
r  1
r r
r r  r

ˆ
Q × A = r 2 A, U + A ∧ U  ∧ A
 A



r
r
r
r
r
r
1
= r 2 A, U A +  A ∧ U  ∧ A
A
(
)
(
54
)




r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
1
Qˆ × A = r 2  A, U A − A, U A + A, A U 
123 
A 
r 2

A


r
r
2
1
= r 2 A U
A
r
=U
dir. Burada “× ” kuaterniyon çarpımıdır.
r
r
r r
r r
Ayrıca A = ( a , a0 , h1 ) ve U = ( u , u0 , h2 ) ,
7
de iki doğru elemanının belirttiği point-
line’ ler, sırasıyla,
r r
ˆ = exp ( ε h )( ar + ε ar ) = A A
A
1
0
0
1424
31
424
3
r
r
A0
A
r r
r
r
Uˆ = exp ( ε h2 )( u + ε u0 ) = U U 0
1424
3 1424
3
r
r
U0
U
olup (5.15) ile tanımlı dönüşümü için
1
Qˆ = r 2
A
r r
( A, U
r r
+ A ∧U
)
r r r r
r r r
r
1
= r 2  A U A0 , U 0 + A U A0 ∧ U 0 


A
r
U
r r
r
r
= r  A0 , U 0 + A0 ∧ U 0 

A 
(
(
=
r
U
r
A
{
exp ε ( h2 − h1 ) 
)
)


r r
r
r 
 A
0 , U 0 + A0 ∧ U 0 
 1444
24443


Q0
(
)
= exp ε ( h2 − h1 )  Q0
dir. Buradan (5.15) ile tanımlı dönüşümünün de bir point-line olduğunu söyleyebiliriz □
Teorem 5.1.2 Eğer bir point-line için referans noktası koordinat sisteminin orjin noktası
r
r
r r
ise rX' = x' = hgx + v benzerlik dönüşümü yardımıyla bir point-line başka bir pointline’ye dönüştürülebilir.
55
İspat:
ˆ = ( ar , ar , h ) ve Uˆ = ( ur , ur , h ) , sırasıyla, L ile L yönlendirilmiş doğruları üzerinde
A
0
1
0
2
1
2
r
r
iki point-line olsun. a0 ve u0 orjin çatısına göre, sırasıyla, Â ve Û nun vektörel
momentleridir. h1 , N den X noktasına olan uzaklık ve h2 , M den X ′ noktasına olan
uzaklık olarak kabul edelim.
r
r
rX ve rX' , sırasıyla, X ve X ′ nün pozisyon vektörleridir (Şekil 5.3)
Şekil 5.3 Point-line yer değiştirmesi
Biliyoruz ki, (5.9) dan rX pozisyon vektörü
r r r
r
rX = a ∧ a0 + h1 a
r
denklemine belirlidir. Aynı zamanda rX' pozisyon vektörü (3.7) den
56
r
r r
rX' = hgrX + v
dir. Burada g ∈ SO(3) , h ∈
+
ve v ∈
3
dir. Aşağıdaki denklemleri kullanarak
r
r
u = ga
r r
r
u0 = rX' ∧ u
r r
h2 = rX' , u
ya da (5.13) deki blok matrisi kullanarak
r
r
r
u0 = g× ga + hga0
{
r
u
r r
r
= v ∧ u + hga0
r
1 r r r
⇒ ga0 = ( u0 − v ∧ u )
h
(5.16)
ve
r r
h2 = vT ga + hh1
{
r
u
rT r
= v u + hh1
r r
= u , v + hh1
r r
⇒ hh1 = h2 − u , v
dir. Buradan
r
r r
rX' = hgrX + v
r r
r r
= hg ( a ∧ a0 + h1 a ) + v
r r
r r
= hg ( a ∧ a0 ) + hgh1 a + v
r
r
r r
= h ( ga ∧ ga0 ) + hh1 ga + v
olup (5.13), (5.16) ve (5.17 ) den
 r
r
r 
r r
rX' = h  ga ∧ ga0  + hh1 ga + v
{
{

r
u
 ur

r r r r
 r 1 r r r 
= h  u ∧  ( u0 − v ∧ u )   +  h2 − u , v  u + v
h


57
(5.17)
r
r
r r r
r r r r r
rX' = u ∧ ( u0 − v ∧ u )  + h2 u − u , v u + v
r r r r r
r r r r r
= u ∧ u0 − u ∧ ( v ∧ u ) + h2 u − u , v u + v
r r
r r r r r r
r r r r r
= u ∧ u0 − u , u v + u , v u + h2 u − u , v u + v
{
1
r r
r
= u ∧ u0 + h2 u
(
)
olarak elde edilir. Bu sonuç Û point-line’ ı için pozisyon vektörüdür □
ˆ = ( ar , ar , h ) point-line vektörü için yön vektörü
Örnek 5.1.1 Şekil 5.3’de gösterilen A
0
1
r
r r
r  1 3
'
a =  0, ,
 ve pozisyon vektörü rX = ( 0, 1, 0 ) olsun. x = hgx + v ile verilen
 2 2 
benzerlik dönüşümü ve (5.1.4) de verilen blok matrisi yardımıyla  point-line’sini Û
r
point-line’sine dönüştürelim. Burada, h = − 3 , v = ( 1, 0, 0 ) ve g ∈ SO(3) , x -ekseni
etrafında 30 o lik dönmeye karşılık gelen matris olsun.
O halde,
r r r
A = a + ε a0
r
r r
= a + ε ( rX ∧ a )
 1 3
 3

=  0, ,
, 0, 0 
 + ε 
 2 2 
 2

r r
1
şeklindedir. Dikme ayağından referans noktasına olan uzaklık h1 = rX , a =
dir.
2
r
r
Buna göre şekil 5.3’deki Û point-line vektörün u birim doğrultman vektörü, u0
r
moment vektörü ve rX ′ yer vektörü aşağıdaki gibidir.
0
1
r
r 
u = ga =  0 cos θ
 0 sin θ


0 
− sin θ  

cos θ  


58

0 
 0 
1   
= 0
2   
  1
3  
2 


 1 


r
r r  3 
rX ′ = hgrX + v = −
 2 


− 3 
 2 
(5.18)
r r
r  3

u0 = rX ′ ∧ u =  − , − 1, 0 
 2

 3

Uˆ = ( 0, 0, 1 ) + ε  − , − 1, 0 
 2

r r
3
h2 = rX ′ , u = −
2
ve biliyoruz ki point-line vektörünün yer vektörü aşağıdaki eşitliği sağlar,
r
r r
r 
3
3
rX ′ = u ∧ u0 + h2 u =  1, − , −

2
2 

Böylece bu sonuç (5.18) ile çakışır.
Sonuç olarak söyleyebiliriz ki benzerlik dönüşümü yardımıyla doğru elemanını başka
bir doğru elemanına dönüştürebiliriz. Biz ise bu bölümde bir point-line’sini başka bir
point-line’sine benzerlik dönüşümünü kullanarak nasıl dönüşebileceğini gösterdik. Aynı
zamanda doğru elemanını başka bir doğru elemanına dönüştürme işinde (5.13) deki
blok matrisi kullanmak zor olacağından bu işi kuaterniyonları kullanarak daha kolay
nasıl yapılabileceğini gösterdik.
59
6. LORENZ UZAYINDA POINT-LINE OPERATÖRÜ
Bu bölümde Lorenz uzayında point-line operatörü tanıtıldı ve daha sonra point-line yer
değiştirmesi ile Lorenz uzayındaki benzerlik dönüşümü arasındaki ilişki verildi. Daha
önce Lorenz uzayında point-line operatörü ve yer değiştirmesi dual kuaterniyonlar
kullanılarak Ö. Aydoğmuş, L. Kula ve Y. Yayli tarafından On Point-Line
Displeacement in Minkowski 3-space adlı makalelerinde çalışılmıştır. Biz ise Lorenz
uzayında ilk önce benzerlik dönüşümünü ve Plücker korrdinatları Lorenz uzayında
tanıttık. Daha sonra point-line’ın referans noktasını koordinat sistemindeki orjin olarak
kabul edildiğinde, point-line ile doğru elemanlarının benzer olduğunu gösterdik. Lorenz
uzayında benzerlik dönüşümü yardımı ile de herhangi bir doğru elamanını başka bir
doğru elemanına dönüştürebileceğimizi gösterdik. Ayrıca bir doğru elamanını başka bir
doğru elamanına split-dual kuaterniyonları kullanarak daha kolay dönüştürülebileceğini
ifade ettik.
Yönlendirilmiş bir doğru birim dual spilt vektörü yada Plücker koordinatlarla
gösterilebilir. Bir point-line ise yönlendirilmiş bir ve bir referans noktası ile bellidir.
Yönlendirilmiş bir doğru, E ve H noktasından geçsin ve birim dual-split vektörünü
r r r
r r
r r
A = a + ε a0 , ( a , a = m1, a , a0 = 0 )
(6.1)
birim doğrultman vektörü ile gösterebiliriz (Şekil 6.1).
Şekil 6.1 Lorenz uzayında Point-line
r
r
Burada, a yönlendirilmiş doğru boyunca birim doğrultman vektörüdür ve a0 sırasıyla
60
O − xyz referans çatısına göre yönlendirilmiş doğrunun moment vektörüdür.
Kabul edelim ki, H yönlendirilmiş bir doğru ve üzerinde alınan herhangi bir nokta E
olsun. Ayrıca doğru üzerinde olmayan bir P noktası alalım. Bu noktaya referans noktası
diyeceğiz. P den yönlendirilmiş doğruya inilen dikmenin ayağı N
ve N dikmenin
ayak noktasından E noktasına yönlendirilmiş doğru üzerindeki uzaklık h dir. Ayrıca
h yönlendirilmiş doğru üzerinde N nin ve E nin konumuna göre pozitif veya negatif
olabilir (Aydoğmuş, 2008). P noktası uzaydaki her hangi bir nokta olabilir. Bunlardan
biri de orjin referans noktası olabilir.
Bir point-line exp ( ε h ) dual sayısı ile (6.1) deki birim dual vektörün çarpılmasıyla elde
edilen bir dual vektördür. Yani,
r
ˆ = exp ( ε h ) A
A
r r
= ( 1 + ε h )( a + ε a0 )
r
r
= ( 1 + ε h ) a + ( 1 + ε h ) ε a0 , ε 2 = 0
r
r r
= a + ε ha + ε a0
r
r r
= a + ( ha + a0 ) ε
r
r r
ve a0 ′ = ha + a0 olmak üzere
r r
 = a + a0 ′ε
(6.2)
dir. Burada, Â nın exp ( ε h ) = 1 + ε h dual uzunluklu dual split vektör olduğunu
söyleyebiliriz. (6.2) eşitliğinden
(
ˆ = a , a , a , a' , a' , a'
A
1
2
3
01
02
03
)
(6.3)
yazılabillir. Burada, a'01 = a 01 + ha1 , a'02 = a 02 + ha2 ve a'03 = a 03 + ha3 dir.
Eğer, vidanın adımını, E noktasının yeri olarak kabul edersek vida ile point-line
benzerdir. Benzerliğin avantajı olarak vida ile ilgili koordinat dönüşümündeki formüller
point-line’ a uygulanabilir. Bir point-line koordinatları verildiğinde E noktası ve
yönlendirilmiş doğruyu hesaplamak kolaydır.
r
r
r r
1) A birim dual-split vektörü spacelike ise a0 ′ = ha + a0 ifadesinde eşitliğin her iki
r
yanını a ile iç çarparsak,
61
r r
r r
r
a , a′0 = a , a0 + ha
r r
r r
= a , a0 + h a , a
{
123
0
1
r r
⇒ h = a , a′0
(6.4)
olup (6.1) ifadesini
r r r
A = a + a0ε
r
r
r
= a + ε ( a0 ′ − ha )
(6.5)
olarak yazılabiliriz.
r
r
r r
2) A birim dual-split vektörü time-like ise a0 ′ = ha + a0 ifadesinde eşitliğin her iki
r
yanını a ile iç çarparsak,
r r
r r
r
a , a′0 = a , a0 + ha
r r
r r
= a , a0 + h a , a
{
123
0
−1
r r
⇒ h = − a , a′0
(6.6)
olup (6.1) ifadesini
r r r
A = a + a0ε
r
r
r
= a + ε ( a0 ′ − ha )
(6.7)
olarak yazılabiliriz.
Point-line koordinatlarını vererek referans noktasının yerini, yönlendirilmiş doğruyu ve
yer vektörü(pozisyon vektörü)nü hesaplamak kolaydır. Genelliği bozmadan referans
noktamız orjindeki koordinat sistemi olsun. Böylece rE referans noktasının yer vektörü
(Şekil 6.2)
r uuuur uuur
rE = ON + NE
dır.
62
(6.8)
O
r uuuur r
a0 = ON ∧ a
L
r
rE
r
a
E
h
N
Şekil 6.2 Lorenz uzayında referans noktası orjin olan point-line
uuuur
uuuur r
Burada ON , O noktasının point-line üzerindeki dikme ayağı olduğundan ON , a = 0
olup vektörel moment tanımından
uuuur r r
ON ∧ a = a0
(6.9)
yazılabilir.
r
r
1) A birim dual-split vektörü spacelike ise (6.9) un her iki yanını a ile vektörel
çarparsak,
r r r uuuur r
a ∧ a0 = a ∧ ON ∧ a
r r uuuur r uuuur r
= − a , a ON + a , ON a
{
1
424
3
(
)
1
0
uuuur
r r
⇒ ON = − a ∧ a0
(6.10)
dir. Ayrıca
uuur
r
NE = ha
(6.11)
dir. O halde (6.10) ve (6.11) den
r
r r
r
rE = − a ∧ a0 + ha
olarak bulunur.
63
(6.12)
r
r
2) A birim dual-split vektörü time-like ise (6.9) un her iki yanını a ile vektörel
çarparsak,
r r r uuuur r
a ∧ a0 = a ∧ ON ∧ a
r r uuuur r uuuur r
= − a , a ON + a , ON a
{
1
424
3
(
)
−1
0
uuuur r r
⇒ ON = a ∧ a0
(6.13)
dir. Ayrıca
uuur
r
NE = ha
(6.14)
r r r
r
rE = a ∧ a0 + ha
(6.15)
dir. O halde (6.13) ve (6.14) den
olarak bulunur.
6.1 3-boyutlu Lorenz Uzayında Benzerlik Dönüşümü
3
1
Tanım 6.1.1 3-boyutlu Lorenz uzayı
de R ∈ SO1 (3) , b ∈
3
1
ve α bir homotetik
skalar olmak üzere
ϕ:
3
1

→
3
1
x 
→ ϕ ( x ) = y(t ) = α (t )R(t )x + b(t )
ile tanımlı dönüşüme
3
1
(6.16)
Lorenz uzayında benzerlik dönüşümü denir.
Burada, R , α ve b , t ye göre C ∞ sınıfından diferensiyellenebilir donksiyonlardır.
y(t ) = α (t )R(t )x + b(t )
•
dönüşümünde t ye göre türev alınarak v( y ) = y(t ) hız vektörü
•
•
•
α
α
v( y ) = y(t ) = R RT y − y − RRT b − b + b
α
α
•
•
(6.17)
•
olarak elde ederiz. Burada R ortogonal matris olduğundan R RT := C × Lorenz
r
anlamındabir antisimetrik matristir ve C × x çarpımı, c vektörünü kullanarak
r r
C × x = c ∧ x şeklinde yazabilir. Bu durumda, (6.17) ifadesini
•
v( y ) = y(t ) = c ∧ y + γ y + c
64
(6.18)
•
•
•
α
α
dir. Burada γ = ve c = − RRT b − b + b dir.
α
α
Her hangi ( c , c , γ ) ∈
7
1
üçlüsü bir tek 3-boyutlu Lorenz uzayında bir tek benzerlik
hareketi tanımlar.
6.2 3-boyutlu Lorenz Uzayında Doğru Elemanlarının Plücker Koordinatları
3-boyutlu Lorenz uzayında x noktasından geçen yönlendirilmiş bir doğru L olsun.
r r
r
r r r
Eğer, a ≠ 0 , L doğrusuna paralel birim vektör, a0 = x ∧ a ve h1 = m x , a ise
r r
( a , a0 , h1 ) ∈
7
1
üçlüsüne doğru elemanlarının Plücker koordinatları denir ve bu
r r
koordinatlar homojen koordinatlardır. Burada a0 , a nın vektörel momentidir ve h1 , x
in L üzerindeki yerel noktasını belirlemek için ekliyoruz. Buradan orjinden L
doğrusuna çizilen dikmenin ayağı
r
1) a birim spacelike vektör ise
r r
r r
N ( a , a0 ) = − a ∧ a0
(6.19)
r
r
r r
r
rX = x = N ( a , a0 ) + h1 a
(6.20)
dir. Ayrıca
ve (6.20) den
r
r r
r
rX = − a ∧ a0 + h1 a
(6.21)
olarak yazılabilir.
r
2) a birim timelike vektör ise
r r
r r
N ( a , a0 ) = a ∧ a0
(6.22)
dir. Ayrıca
r
r
r r
r
rX = x = N ( a , a0 ) + h1 a
(6.23)
r
r r r
r
rX = x = a ∧ a0 + h1 a
(6.24)
ve (6.22) den
65
olarak yazılabilir.
Şimdi benzerlik dönüşümleri ile doğru elemanları arasındaki ilişkiyi verelim. Eğer,
r r
doğru yönlendirilirse doğru elemanı da yönlendirilmiş olur. (6.16) deki x' = α Rx + b
r r
denklemi ile tanımlı benzerlik dönüşümü ( a , a0 , h1 ) doğru elelmanını
r
r r
x ' = α Rx + b
r
r
u = Ra
r
r r
u0 = x '∧ u
r r
h2 = x ', u
denklemleri yardımı ile başka bir
r r
( u, u0 , h2 )
doğru elemanına dönüştürür ve bu
dönüşümün blok matris gösterimi
r
1) a birim spacelike vektör ise
r
r
0 0 a 
u  R
ur  =  R× R α R 0   ar  ,
 0 
 0
T
T
 h2   b R 0
α   h1 
r r
R× x = b ∧ x
(6.25)
dir. Burada R ∈ SO1 (3) dır.
r
2) a birim time-like vektör ise
r
r
0 0 a 
u  R
ur  =  R× R α R 0   ar  ,
 0 
 0
T
T
 h2   −b R 0
α   h1 
r r
R× x = b ∧ x
(6.26)
dir. Burada R ∈ SO1 (3) dır.
(6.25) ve (6.26) eşitlikleri açıkça yönlendirilmiş doğru elemanına uygulanabilir. Benzer
r r
r r
şekilde kuaterniyonları kullanarak, ( a , a0 , h1 ) doğru elemanını başka bir ( u , u0 , h2 )
doğru elemanına aşağıdaki teoremle dönüştürebiliriz.
66
Teorem 6.2.1
dönüşümü
7
1
de
ˆ = ( ar , ar , h )
A
0
1
1
Qˆ =
ˆ 2
A
( Aˆ ,Uˆ
doğru
elemanını,
ˆ ∧ Uˆ
+A
)
(6.27)
r r
Uˆ = ( u , u0 , h2 )
doğru
elemanına
dönüştürür.
İspat:
r
r
r r
r r
A = ( a , a0 , h1 ) ve U = ( u , u0 , h2 ) dual-split vektörler olsun.
r
r r
1) A = ( a , a0 , h1 ) birim dual-split vektör spacelike ise
1
Qˆ =
ˆ 2
A
( Aˆ ,Uˆ
ˆ ∧ Uˆ
+A
)
olup her iki tarafı Â ile soldan vektörel çarparsak
ˆ × Qˆ = 1  A
ˆ∧
A
2 

ˆ
A
=
1
ˆ 2
A
( Aˆ ,Uˆ
( Aˆ ,Uˆ
)
ˆ ∧ Uˆ 
+A

ˆ +A
ˆ ∧ A
ˆ ˆ
A
 ∧U
)




1
ˆ , Uˆ A
ˆ− A
ˆ , Uˆ A
ˆ+ A
ˆ,A
ˆ Uˆ 
 A
=
2
ˆ
123


A 

ˆ 2
A


1
ˆ,A
ˆ Uˆ
=
A
2
ˆ
A
= Uˆ
dir. Burada “ × ” kuaterniyon çarpımıdır.
r
r
r r
r r
Ayrıca A = ( a , a0 , h1 ) ve U = ( u , u0 , h2 ) ,
7
1
de iki doğru elemanının belirttiği point-
line’ler, sırasıyla,
r
ˆ = exp ( ε h )( ar + ε ar ) = A
ˆ A
A
1
0
0
1424
3
1
424
3
r
ˆ
A
A0
67
r
r
r
Uˆ = exp ( ε h2 )( u + ε u0 ) = Uˆ U 0
1424
3 1424
3
r
Uˆ
U0
olup (6.27) ile tanımlı dönüşümü
1
Qˆ =
ˆ 2
A
=
=
=
( Aˆ ,Uˆ
ˆ ∧ Uˆ
+A
)
r
r
1  ˆ ˆ r r
ˆ Uˆ A ∧ U 
A
U
A
,
U
+
A
0
0
0
0

ˆ 2
A
(
Uˆ
)
r r
r
r
 A0 , U 0 + A0 ∧ U 0 

ˆ 
A
(
Uˆ
ˆ
A
{
)


r r
r
r 
 A
0 , U 0 + A0 ∧ U 0 
 1444
24443
Q0


(
exp ε ( h2 − h1 ) 
)
= exp ε ( h2 − h1 )  Q0
dir. Buradan (6.27) ile tanımlı dönüşümünün de bir point-line olduğunu söyleyebiliriz.
r
r r
2) A = ( a , a0 , h1 ) birim dual-split vektör timelike ise
1
Qˆ =
ˆ 2
A
( Aˆ ,Uˆ
ˆ ∧ Uˆ
+A
)
olup her iki tarafı Â ile vektörel çarparsak
ˆ × Qˆ = 1  A
ˆ∧
A
2 

ˆ
A
=
1
ˆ 2
A
( Aˆ ,Uˆ
( Aˆ ,Uˆ
)
ˆ ∧ Uˆ 
+A

ˆ +A
ˆ ∧ A
ˆ ˆ
A
 ∧U
)




1
ˆ , Uˆ A
ˆ− A
ˆ , Uˆ A
ˆ+ A
ˆ,A
ˆ Uˆ 
 A
=
2
ˆ
123 
A 

ˆ 2
A


1
ˆ,A
ˆ Uˆ
=
A
2
ˆ
A
= −Uˆ
68
dir. Burada ” × ” kuaterniyon çarpımıdır
r
r
r r
r r
Ayrıca A = ( a , a0 , h1 ) ve U = ( u , u0 , h2 ) ,
7
1
de iki doğru elemanının belirttiği point-
line’ ler, sırasıyla,
r
ˆ = exp ( ε h )( ar + ε ar ) = A
ˆ A
A
1
0
0
1424
3
1
424
3
r
ˆ
A
A0
r
r
r
Uˆ = exp ( ε h2 )( u + ε u0 ) = Uˆ U 0
1424
3 1424
3
r
Uˆ
U0
olup (6.27) ile tanımlı dönüşümü
1
Qˆ =
ˆ 2
A
=
=
=
( Aˆ ,Uˆ
ˆ ∧ Uˆ
+A
)
r
r
1  ˆ ˆ r r
ˆ Uˆ A ∧ U 
A U A0 , U 0 + A
0
0
2 

ˆ
A
(
Uˆ
)
r r
r
r
 A0 , U 0 + A0 ∧ U 0 

ˆ 
A
(
Uˆ
ˆ
A
{
exp ε ( h2 − h1 ) 
)


r r
r
r 
 A
0 , U 0 + A0 ∧ U 0 
 1444
24443


Q0
(
)
= exp ε ( h2 − h1 )  Q0
dir. Buradan (6.27) ile tanımlı dönüşümünün de bir point-line olduğunu söyleyebiliriz□
Şimdi 3-boyutlu Lorenz uzayında point-line yer değiştirmesi ve benzerlik dönüşümü
arasındaki ilişkiyi bir teoremle verelim.
Teorem 6.2.2 Eğer 3-boyutlu Lorenz uzayında bir point-line için referans noktası
koordinat sisteminin orjin noktası ise (6.16) benzerlik dönüşümü yardımıyla bir pointline başka bir point-line’ye dönüştürülür.
İspat:
ˆ = ( ar , ar , h ) ve Uˆ = ( ur , ur , h ) , sırasıyla, L ile L yönlendirilmiş doğruları üzerinde
A
0
1
0
2
1
2
69
r
r
r
r
iki point-line olsun. a0 ve u0 orjin çatısına göre, sırasıyla, a ve u nun vektörel
momentleridir. h1 , N dikme ayağından X noktasına olan uzaklık ve h2 , M dikme
r
r
ayağından X ′ noktasına olan uzaklık olarak kabul edelim. rX ve rX ′ , sırasıyla, X ve
X ′ nün pozisyon vektörleridir (Şekil 6.3).
Şekil 6.3 Lorenz Uzayında Point-line yer değiştirmesi
r
r
1) a birim spacelike vektör ise (6.21) den rX pozisyon vektörü
r
r r
r
rX = − a ∧ a0 + h1 a
r
denklemine belirlidir. Aynı zamanda rX ' pozisyon vektörü (6.16) den
r
r r
rX ′ = α RrX + b
dir. Burada R ∈ SO1 (3) , α homotetik skalar ve b ∈
matrisleri kullanılırsa
70
3
1
dir. (6.25) ve (6.26) deki blok
r
r
r
u0 = R× Ra
{ + α Ra0
r
u
r r
r
= b ∧ u + α Ra0
r
1 r r r
⇒ Ra0 =
u0 − b ∧ u
α
(
)
(6.28)
ve
r r
h2 = b T Ra
+ α h1
{
r
u
r r
= b T u + α h1
r r
= b , u + α h1
r r
⇒ α h1 = h 2 − b , u
dir. Buradan
r
r r
rX ′ = α RrX + b
r r
r r
= α R ( − a ∧ a0 + h1 a ) + b
r r
r r
= −α R ( a ∧ a0 ) + α Rh1 a + b
r
r
r r
= −α ( Ra ∧ Ra0 ) + α h1 Ra + b
olup (6.25), (6.28) ve (6.29) den
r
r 
r r
 r
rX ′ = −α  Ra
∧
Ra
+
α
h
Ra
0
1 {+ b
{
r
 ur

u
r r r r
 r  1 r r r 
= −α  u ∧  u0 − b ∧ u   +  h2 − u , b  u + b

α
 

r
r r r
r r r r r
= − u ∧  u0 − b ∧ u  + h2 u − u , b u + b


r r r r r
r r r r r
= −u ∧ u0 + u ∧ b ∧ u + h2 u − u , b u + b
r r
r r r r r r
r r r r r
= −u ∧ u0 − u , u b + u , b u + h2 u − u , b u + b
{
1
r r r r r r
r r r r r
= −u ∧ u0 − b + u , b u + h2 u − u , b u + b
r r
r
= −u ∧ u0 + h2 u
(
( (
)
))
( )
olarak elde edilir. Bu sonuç Û point-line’si için pozisyon vektörüdür;
r
r
2) a birim time-like vektör ise (6.24) den rX pozisyon vektörü
r r r
r
rX = a ∧ a0 + h1 a
71
(6.29)
r
denklemine belirlidir. Aynı zamanda rX ' pozisyon vektörü (6.16) den
r
r r
rX ′ = α RrX + b
dir. Burada R ∈ SO1 (3) , α homotetik skalar ve b ∈
3
1
dir. (6.25) ve (6.26) deki blok
matrisleri kullanılırsa
r
r
r
u0 = R× Ra
{ + α Ra0
r
u
r r
r
= b ∧ u + α Ra0
r
1 r r r
⇒ Ra0 =
u0 − b ∧ u
)
(6.30)
r r
h2 = −b T Ra
+ α h1
{
r
u
r r
= − b T u + α h1
r r
⇒ α h1 = h 2 + b , u
(6.31)
α
(
ve
dir. Buradan
r
r r
rX ′ = α RrX + b
r r
r r
= α R ( a ∧ a0 + h1 a ) + b
r r
r r
= α R ( a ∧ a0 ) + α Rh1 a + b
r
r
r r
= α ( Ra ∧ Ra0 ) + α h1 Ra + b
olup (6.26), (6.30) ve (6.31) den
r
r 
r r
 r
rX ′ = α  Ra
∧ Ra0  + α h1 Ra
+b
{
{
r
 ur

u
r r r r
 r  1 r r r 
= α  u ∧  u0 − b ∧ u   +  h2 + u , b  u + b

α
 

r
r r r
r r r r r
= u ∧  u0 − b ∧ u  + h2 u + u , b u + b


r r r r r
r r r r r
= u ∧ u0 − u ∧ b ∧ u + h2 u + u , b u + b
r r
r r r r r r
r r r r r
= u ∧ u0 + u , u b − u , b u + h2 u + u , b u + b
{
−1
r r r r r r
r r r r r
= u ∧ u0 − b − u , b u + h2 u + u , b u + b
r r
r
= u ∧ u0 + h2 u
(
( (
)
))
( )
olarak elde edilir. Bu sonuç Û point-line’si için pozisyon vektörüdür □
72
ˆ = ( ar , ar , h )
A
0
1
Örnek 6.2.1 Şekil 6.3’de gösterilen
point-line vektörü için
r
r
yönlendirilmiş birim vektörü a = ( 1, 1, 1) , moment vektörü a0 = ( 1, 0, 1 ) olsun. (6.16)
de verilen benzerlik dönüşümü ve (6.25) de verilen blok matrisi yardımıyla  pointr
line’sini Û point-line’sine dönüştürelim. Burada, α = 4 , b = ( −1, 0, 2 ) ve θ = ln 2
olarak aldığımızda,
r r
r
A = a + ε a0
= ( 1, 1, 1 ) + ε ( 1, 0, 1 )
r r
şeklindedir. Dikme ayağından referans noktasına olan uzaklık h1 = rX , a = 1 olsun. Bu
durumda, X son noktanın pozisyon vektörü
r
r r
r
rX = − a ∧ a0 + h1 a
= ( 2, 1, 2 )
r
r
dir. Buna göre şekil 6.3’ deki Û point-line’sinin u birim doğrultman vektörü, u0
r
moment vektörü ve rX ′ yer vektörü aşağıdaki gibidir.
 cosh θ
r
r 
u = Ra =  sinh θ
 0
sinh θ
cosh θ
0
0  1  2 
0  1 =  2 
1 1  1 
r
r
r
u0 = R× Ra + α Ra0 = ( 9, 8, 2 )
r r
h2 = b T Ra + α h1 = 8
12 
r
r r  
rX ′ = α RrX + b =  11 
10 
dir. Biliyoruz ki point-line vektörünün yer vektörü,
r
r r
r
rX ′ = −u ∧ u0 + h2 u
= ( 12, 11, 10 )
olup bu sonuç (6.32) ile çakışır.
73
(6.32)
ˆ = ( ar , ar , h )
A
0
1
Örnek 6.2.2 Şekil 6.3’de gösterilen
point-line vektörü için
r
r
yönlendirilmiş birim vektörü a = ( 1, 0,0 ) , moment vektörü a0 = ( 0, 1, 2 ) olsun. (6.16)
de verilen benzerlik dönüşümü ve (6.26) de verilen blok matrisi yardımıyla  pointr
3π
line’ sini Û point-line’ sine dönüştürelim. Burada, α = 2 , b = ( 2, − 1, 3 ) ve θ =
4
olarak aldığımızda,
r r
r
A = a + ε a0
= ( 1, 0, 0 ) + ε ( 0, 1, 2 )
r r
şeklindedir. Dikme ayağından referans noktasına olan uzaklık h1 = rX , a = 2 olsun.
Bu durumda, X referans noktasının pozisyon vektörü
r
r r
r
rX = + a ∧ a0 + h1 a
= ( 2, − 2, 1 )
r
r
dir. Buna göre şekil 6.3’ deki Û point-line’ sinin u birim doğrultman vektörü, u0
r
moment vektörü ve rX ′ yer vektörü aşağıdaki gibidir.
0
1
r
r 
u = Ra =  0 cos θ
 0 − sin θ
0  1 1
sin θ  0  = 0 
cos θ  0  0 
r
r
r
u0 = − R× Ra + α Ra0 = ( 0, 4, − 2 )
r r
h2 = −b T Ra + α h1 = 2 + 2 2
2 + 2 2 

r
r r 
rX ′ = α RrX + b =  2 
 4 


dir. Biliyoruz ki point-line vektörünün yer vektörü,
r
r r
r
rX ′ = u ∧ u0 + h2 u
(
= 2 + 2 2 , 2, 4
)
olup bu sonuç (6.33) ile çakışır.
74
(6.33)
KAYNAKLAR
Acratalishian, A. 1989. “E2n+1 de Lineer Vektör Alanları”, Doktora Tezi Gazi
Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü, Ankara.
Aydoğmuş, Ö., Kula, L. and Yaylı, Y. 2008. “On point-line displacement in Minkowski
3-space” Differential Geometry-Dynamical Systems, Vol. 10, pp. 32-43.
Bottema, O. and Roth, B. 1979. “Theoretical Kinematics”, North Holland Publ.
Company New York
Hacısalihoğlu, H. H. 1983. “Diferansiyel Geometri”, İnönü Üniversitesi Fen Fakültesi
Yayını.
Hacısalihoğlu, H. H. 1980a. “Yüksek Boyutlu Uzaylarda Dönüşümler ve Geometriler”,
İnönü Üniversitesi Temel Bilimler Fakültesi Yayınları, Ankara.
Hacısalihoğlu, H. H. 1980b. ”Yüksek Diferansiyel Geometriye Giriş”, Fırat Üniversitesi
Fen Fakültesi Yayını.
Hacısalihoğlu, H. H. 1971. “On The Rolling of One Curve or Surface Upon Another”,
Proceedings of the Royal Irish Academy. 71(2), 13-16.
Hacısalihoğlu, H. H. 1983. “Hareket Geometrisi ve Kuaterniyonlar Teorisi”, Gazi
Üniversitesi Fen –Ed. Fakültesi Yayınları, Mat. No. 2, Ankara.
Karger, A. and Novak, J. 1985. “Space Kinematics and Lie Groups”, Gordon and
Breach Science Publishers.
McCarthy, J. M. 1990. ”An Introduction to Theoretical Kinematics”, The MIT Pres
Cambridge, Massachusetts London, England.
75
Odehnal, B., Pottmann, H. and
Wallner, J. 2000. “Equiform Knematic and the
Geometry of Line Elements”, Mathematics subject Classification.
O’neill, B. 1983. “Semi Riemannian Geometry”, Academic Press, New York, London.
Ünal, Z. 2007. “Lorenz Uzayında Cebirsel Metodlarla Kinematik”, Ankara Üniversitesi
Fen Bilimleri, Doktora Tezi.
Yano, K. and Kon, M. 1984. “Structures on manifolds”, World Scientific, Singapore.
Zhang, Y. and Ting, K. L. 2004. “On point-line geometry and displacement”, Mech.
Mach. Theory 39, 1033-1050.
76
ÖZGEÇMİŞ
Adı Soyadı
: Esra Betül KOÇ ÖZTÜRK
Doğum Yeri
: KAYSERİ
Doğum Tarihi : 1982
Medeni Hali
: Evli
Yabancı Dili : İngilizce
EĞİTİM DURUMU (Kurum ve Yıl) :
Lise
: Kayseri Lisesi – 2000
Lisans
: Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü
(2002 - 2006)
Tezsiz Yüksek Lisans
: Sakarya Üniversitesi OFMA Tezsiz Yüksek Lisans
(2006 - 2007)
Tezli Yüksek Lisans
: Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik
Anabilim Dalı – ( 2007 - 2009)
Doktora
: Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik
Anabilim Dalı – ( 2009 - 2012)
ÇALIŞTIĞI KURUM/KURUMLAR ve YIL :
•
Ankara Cemal Şaşmaz Fen Lisesi, Yurt Müdür Yardımcılığı, Matematik
Öğretmeni ve Olimpiyat Koordinatörlüğü, 2006 - 2008
•
İngiltere Wisdom School, Matematik Öğretmeni, 2008 – 2009
•
Ankara Öncü Koleji, Matematik Öğretmeni, 2009 - 2010
İŞTİRAK EDİLEN SEMİNER VE DİĞER ETKİNLİKLER :
•
II. Türk Dünyası Matematik Sempozyumu Katılımcı (Sakarya ÜniversitesiSAKARYA)
YAYINLAR :
•
Öztürk, U., Hacısalihoğlu, H.H., Yaylı, Y., Koç Öztürk, E.B. “Dual Quaternion
Frames”, Commun. Fac. Sci. Univ. Ank. Ser. A1 Math. Stat.
77
•
Koç Öztürk, E.B., Öztürk, U., Yaylı, Y., Özkaldı, S., “Integral Curves of a Spiral
Vector Field In Eⁿ”, International Journal Of Mathematical Sciences &
Applications
•
Öztürk, U., Koç Öztürk, E.B., Yaylı, Y., “Dual Quaternion Frames Of A Non
Ligthlike Curve”, International Journal Of Contemporary Mathematics
EDİTÖRLÜK :
•
International Journal of Mathematical Sciences & Aplications
(Ocak 2011 den itibaren)
•
International Journal of Open Problems in Mathematics and Aplications
(Şubat 2011 den itibaren)
78