sonsuz ve yarı sonlu kuantum kuyularında bağlanma enerjġsġ ve
advertisement
I SONSUZ VE YARI SONLU KUANTUM KUYULARINDA BAĞLANMA ENERJĠSĠ VE SELF POLARĠZASYON YÜKSEK LĠSANS TEZĠ FĠZĠK ANABĠLĠM DALI FAĠK GÜNDOĞDU Tez Yöneticisi: Prof. Dr. Hasan AKBAġ EDĠRNE – 2011 II T.C TRAKYA ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ SONSUZ VE YARI SONLU KUANTUM KUYULARINDA BAĞLANMA ENERJĠSĠ VE SELF POLARĠZASYON FAĠK GÜNDOĞDU YÜKSEK LĠSANS TEZĠ FĠZĠK ANABĠLĠM DALI Tez yöneticisi: Prof. Dr. Hasan AKBAġ EDĠRNE 2011 III IV i Yüksek Lisans Tezi Sonsuz Ve Yarı Sonlu Kuantum Kuyularında Bağlanma Enerjisi Ve Self Polarizasyon Trakya Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü Fizik Anabilim Dalı ÖZET Bu çalıĢmada, 𝐴𝑙𝑥 1 𝐺𝑎1−𝑥 1 𝐴𝑠 𝐺𝑎𝐴𝑠 𝐴𝑙𝑥 2 𝐺𝑎1−𝑥 2 𝐴𝑠 sonsuz, 𝑥1 = 𝑥2 = 1, ve yarı sonlu, 𝑥1 = 1 𝑣𝑒 0 < 𝑥2 < 1 kuantum kuyuları incelenmiĢtir. Bulgular etkin kütle yaklaĢımı çerçevesinde varyasyonel yöntemle elde edilmiĢtir. Subband , bağlanma enerjileri ve self polarizabilite statik düzgün elektrik alanda hesaplanmıĢtır. Bağlanma enerjileri ve self polarizabilitenin yabancı atomun konumuna ve hapsedilmenin derecesine bağlı olduğu bulunmuĢtur. Sonuçlar literatürle uyum içindedir. Yıl: 2011 Sayfa:64 Anahtar Kelimeler: kuantum kuyusu, elektrik alan, self polarizasyon, self polarizabilite ii Master‟s thesis Binding Energy and Self-Polarization on Semi-Infinite And Finite Quantum Wells Trakya üniversity, graduate school of natural and applied sciences Department of physics SUMMARY In this work, 𝐴𝑙𝑥1 𝐺𝑎1−𝑥1 /𝐺𝑎𝐴𝑠/ 𝐴𝑙𝑥2 𝐺𝑎1−𝑥2 𝐴𝑠 infinite, 𝑥1 = 𝑥2 = 1, and semi-finite , 𝑥1 = 1 𝑎𝑛𝑑 0 < 𝑥2 < 1, quantum wells are investigated. The results are obtained using variational method in frames of the effective mass approximation. Subband, binding energies , and self polarizability are calculated in the influence of a static uniform electric field. It is found that the binding energy and self polarizability depend on the impurity position and degree of confinement. Obtained results are in good agreement with the literature. Year: 2011 Pages: 64 Keywords: quantum wells, electric field, self polarizition, self polarizability iii TEġEKKÜR Tez yöneticiliğimi üstlenerek, çalıĢmalarım sırasında tüm çalıĢma ortamını ve imkanlarını sağlayan, aydınlatıcı bilgilerini esirgemeyen, Trakya Üniversitesi Fen Fakültesi Fizik Bölümü Bölüm BaĢkanı Prof. Dr. Hasan AKBAġ‟a teĢekkür ederim. ÇalıĢmalarım esnasında aydınlatıcı bilgilerini ve desteğini esirgemeyen Yrd. Doç. Dr. Ġlhan ERDOĞAN ve Yrd. Doç. Dr. Okan AKANKAN‟ a teĢekkür ederim. Bu çalıĢma süresince gerekli olan tüm imkanları sağlayan ve ders aĢamam sırasında emeği geçen Trakya Üniversitesi Fen Fakültesi Fizik Bölümü Öğretim Üyelerine teĢekkür ederim. Tez çalıĢmalarım sırasında tüm manevi desteğini benden esirgemeyen aileme teĢekkür ederim. Okul hayatım ve tez çalıĢmam süresince her zaman yanımda olan ve desteğini hiçbir zaman eksik etmeyen Gizem ġEN‟ e sonsuz teĢekkürler. iv SĠMGELER m* Elektronun etkin kütlesi a0 Bohr yarıçapı a* Etkin Bohr yarçapı R* Etkin Rydberg enerjisi λ Varyasyonel Parametre ψ Dalga fonksiyonu ε Dielektrik sabiti β Varyasyonel Parametre η Hamiltonyen „ deki elektrik alan terimi ξ DeğiĢken zi Yabancı atomun konumu ρ Koordinat değiĢkeni v ĠÇĠNDEKĠLER ÖZET................................................................................................................................ i SUMMARY......................................................................................................................ii TEġEKKÜRLER...........................................................................................................iii SĠMGELER.....................................................................................................................iv ĠÇĠNDEKĠLER................................................................................................................v ġEKĠLLER DĠZĠNĠ………………………………...……………………...…………vii 1. GĠRĠġ……………………………………………………………………………1 1.1. DüĢük Boyutlu Yapılar……………………….………………………………….1 1.2. Kuantum Kuyularının OluĢumu………………….……………….……………...2 2. SĠMETRĠK SONSUZ KUANTUM KUYUSU ĠÇĠNE HAPSEDĠLEN BĠR ELEKTRONUN ÖZELLĠKLERĠ…………………………….…...………....4 2.1. Simetrik Sonsuz Kuantum Kuyusuna Elektrik Alan Etkisi……………….……10 2.2. Düzgün Elektrik Alan Gören Simetrik Sonsuz Kuantum Kuyusunda Yabancı Atom Problemi……………………………......………………………….……16 3. YARI SONLU KUANTUM KUYUSU ĠÇĠNE HAPSEDĠLEN BĠR ELEKTRONUN ÖZELLĠKLERĠ……………………………………….…...23 3.1. Yarı Sonlu Kuantum Kuyusu Ġçine Hapsedilen Elektrona Elektrik Alan Etkisi……………………………………………………………………………30 3.2. Elektrik Alan Etkisindeki Yarı Sonlu Kuantum Kuyusuna Yabancı Atom Etkisi.………….……………………………………………………...…..…….34 vi 4. SELF POLARĠZASYON VE SELF POLARĠZEBĠLĠTE………..…….…..41 4.1. Simetrik Sonsuz Kuantum Kuyusunda Self Polarizasyon Ve Self Polarizabilite……………………………………………………………………43 4.2. Yarı Sonlu Kuantum Kuyusunda Self Polarizasyon Ve Self Polarizabilite……52 SONUÇLAR VE TARTIġMA……………………………...………………………...62 KAYNAKLAR.................................................................................................................63 ÖZGEÇMĠġ......................................................................................................................64 vii ġEKĠLLER DĠZĠNĠ ġekil 1: Kuantum kuyularının oluĢumu………………………………………………………….2 ġekil 2: Sonsuz potansiyelli kuantum kuyusu……………………………………………….…..4 Grafik 2.1: Simetrik sonsuz potansiyelli kuantum kuyusunda kuyu geniĢliğine göre elektronun enerjisinin değiĢim grafiği………………………………………………………………….….…9 ġekil 3: Elektrik alan etkisi altındaki sonsuz kuantum kuyusu…………………………………10 Grafik 2.2: Simetrik sonsuz potansiyelli kuantum kuyusunda dalga fonksiyonu……………...14 Grafik 2.3: Simetrik sonsuz potansiyelli kuantum kuyusunda elektrik alanın Ģiddetine göre elektronun enerjisinin değiĢim grafiği…………………………………………………………..15 ġekil 4: Donor yabancı atomlu sonsuz kuantum kuyusuna elektrik alan etkisi………………...16 Grafik 2.4 :Simetrik sonsuz potansiyelli kuantum kuyusunda bağlanma enerjisinin zi=L/4 konumundayken elektrik alan Ģiddetine bağlı değiĢimi………………………………………...19 Grafik 2.5 : Simetrik sonsuz potansiyelli kuantum kuyusunda bağlanma enerjisinin zi=L/4 konumundayken kuyu geniĢliğine bağlı değiĢimi………………………………………………20 Grafik 2.6: Simetrik sonsuz potansiyelli kuantum kuyusunda bağlanma enerjisinin zi=-L/4 konumundayken elektrik alan Ģiddetine bağlı değiĢimi………………………………………...21 Grafik 2.7: Simetrik sonsuz potansiyelli kuantum kuyusunda bağlanma enerjisinin zi=-L/4 konumundayken kuyu geniĢliğine bağlı değiĢimi………………………………………………22 ġekil 5: Yarı sonlu kuantum kuyusu……………………………………………………………23 Grafik 3.1: Yarı sonlu kuantum kuyusuna hapsedilen elektrona ait taban durumu dalga fonksiyonları……………………………………………………………………………………28 Grafik 3.2: Yarı sonlu kuantum kuyusunun L=100,200Å kuyu geniĢliklerinde basamak potansiyelinin enerjiye bağlı değiĢim grafiği…………………………………………..………29 viii ġekil 6: Elektrik alan etkisi altındaki –L/2 de sonsuz ,+L/2 de Vo potansiyel engeline sahip olan yarı sonlu kuantum kuyusu…………………………………………………………….……….30 Grafik 3.3: Ġki farklı elektrik alan altında yarı sonlu kuantum kuyusuna hapsedilen elektrona ait taban durumu dalga fonksiyonu…………………….………………………………….……….32 Grafik 3.4: F=0,100 kV/cm elektrik alan altındaki yarı sonlu kuantum kuyusunun basamak potansiyelinin değiĢimine göre taban durum enerjisinin değiĢim grafiği…………..…………..33 ġekil 7 : Elektrik alan altında, –L/2 de sonsuz ,+L/2 de Vo potansiyel engeline sahip olan bir potansiyel kuyu…………………………………………………………………………………34 Grafik 3.5: Donor yabancı atomunun zi=L/4 konumu için dört farklı kuyu geniĢliğinde (L=100,150,200,250Å ) bağlanma enerjisinin elektrik alanla değiĢimi………………………...37 Grafik 3.6: Yabancı atom zi= - L/4 konumundayken L=100,150,200,250Å kuyu geniĢliklerinde bağlanma enerjisinin elektrik alan Ģiddetine bağlı değiĢimi…………………………………….38 Grafik 3.7: Donor yabancı atom zi=L/4 konumundayken F=0,50,100,150 kV/cm elektrik alan Ģiddeti altında bağlanma enerjisinin elektrik alan Ģiddetine bağlı değiĢimi…………………………………………………………………………………..……..39 Grafik 3.8: Yabancı atom zi= - L/4 konumundayken F=0,50,100,150 kV/cm elektrik alan Ģiddeti altında bağlanma enerjisinin elektrik alan Ģiddetine bağlı değiĢimi…………………….40 Grafik 4.1.1: Simetrik sonsuz kuantum kuyusunda self polarizasyonun donor yabancı atomu zi=L/4 konumundayken farklı kuyu geniĢlikleri (L=100,150,200,250 Å) için elektrik alan Ģiddetine bağlı değiĢimi…………………………………………………………………………44 Grafik 4.1.2: Simetrik sonsuz kuantum kuyusunda self polarizasyonun donor yabancı atomu zi=L/4 konumundayken farklı elektrik alan değerleri (F=0,50,100,150 kV/cm) için kuyu geniĢliğine bağlı değiĢimi………………………………………………………………………45 Grafik 4.1.3: Simetrik sonsuz kuantum kuyusunda self polarizabilitenin donor yabancı atomu zi=L/4 konumundayken farklı kuyu geniĢlikleri (L=100,150,200,250 Å) için elektrik alan Ģiddetine bağlı değiĢimi…………………………………………………………………………46 Grafik 4.1.4: Simetrik sonsuz kuantum kuyusunda self polarizebilitenin donor yabancı atomu zi=L/4 konumundayken farklı elektrik alan değerleri (F=50,100,150 kV/cm) için kuyu geniĢliğine bağlı değiĢimi………………………………………………………………………47 ix Grafik 4.1.5 : Simetrik sonsuz kuantum kuyusunda self polarizasyonun donor yabancı atomu zi= - L/4 konumundayken farklı kuyu geniĢlikleri (L=100,150,200,250 Å) için elektrik alan Ģiddetine bağlı değiĢimi…………………………………………………………………………48 Grafik 4.1.6 : Simetrik sonsuz kuantum kuyusunda self polarizasyonun donor yabancı atomu zi = - L/4 konumundayken farklı elektrik alan değerleri (F=0,50,100,150 kV/cm) için kuyu geniĢliğine bağlı değiĢimi………………………………………………………………………49 Grafik 4.1.7: Simetrik sonsuz kuantum kuyusunda self polarizabilitenin donor yabancı atomu zi=-L/4 konumundayken farklı kuyu geniĢlikleri (L=100,150,200,250 Å) için elektrik alan Ģiddetine bağlı değiĢimi…………………………………………………………………………50 Grafik 4.1.8: Simetrik sonsuz kuantum kuyusunda self polarizabilitenin donor yabancı atomu zi=-L/4 konumundayken farklı elektrik alan değerleri (F=50,100,150 kV/cm) için kuyunun geniĢliğine bağlı değiĢimi………………………………………………………………………51 Grafik 4.2.1 : Yarı sonlu kuantum kuyusunda donor yabancı atom zi=L/4 konumundayken self polarizasyonun farklı kuyu geniĢlikleri (L=100,150,200,250 Å) için elektrik alan Ģiddetine bağlı değiĢimi………………………………………………………………………………………..54 Grafik 4.2.2 : Yarı sonlu kuantum kuyusunda donor yabancı atomu zi=L/4 konumundayken self polarizasyonun farklı elektrik alan değerleri (F=0,50,100,150 kV/cm) için kuyu geniĢliğine bağlı değiĢimi…………………………………………………………………………………55 Grafik 4.2.3: Yarı sonlu kuantum kuyusunda donor yabancı atomu zi=L/4 konumundayken self polarizabilitenin farklı kuyu geniĢlikleri (L=100,150,200,250 Å) için elektrik alan Ģiddetine bağlı değiĢimi…………………….……………………………………………..……………56 Grafik 4.2.4: Yarı sonlu kuantum kuyusunda donor yabancı atomu zi=L/4 konumundayken self polarizabilitenin farklı elektrik alan değerleri (F=50,100,150 kV/cm) için kuyunun geniĢliğine bağlı değiĢimi……………………………………………………………………………..……57 Grafik 4.2.5: Yarı sonlu kuantum kuyusunda donor yabancı atomu zi= - L/4 konumundayken self polarizasyonun farklı kuyu geniĢlikleri (L=100,150,200,250 Å) için elektrik alan Ģiddetine bağlı değiĢimi………………………………………………………………………..…………58 Grafik 4.2.6: Yarı sonlu kuantum kuyusunda donor yabancı atomu zi= - L/4 konumundayken self polarizasyonun farklı elektrik alan değerleri (F=0,50,100,150 kV/cm) için kuyu geniĢliğine bağlı değiĢimi………………..………………………………………………………….………59 x Grafik 4.2.7: Yarı sonlu kuantum kuyusunda donor yabancı atomu zi= - L/4 konumundayken self polarizebilitenin farklı elektrik alan değerleri (F=50,100,150 kV/cm) için kuyunun geniĢliğine bağlı değiĢimi…………………………..……………………………………………60 Grafik 4.2.8: Yarı sonlu kuantum kuyusunda donor yabancı atomu zi= - L/4 konumundayken self polarizebilitenin farklı kuyu geniĢlikleri (L=100,150,200,250 Å) için elektrik alan Ģiddetine bağlı değiĢimi……………………..………………………………………………………….…61 1 1. GĠRĠġ 1.1 DüĢük Boyutlu Yapılar DüĢük boyutlu yapılar farklı tür yarıiletkenlerin bir araya getirilmesiyle oluĢturulmaktadır. Kristal büyütme teknolojisinde sağlanan geliĢmeler ile yarıiletkenler çok hassas bir biçimde bir atomik tabaka üzerine baĢka bir atomik tabaka yerleĢtirilerek büyütülebilmektedir. Baslıca deneysel yöntemler arasında Sıvı Faz Büyütme (LPE), Moleküler Demet Büyütme (MBE) ve Kimyasal Buhar Depolama (CVD) yöntemleri sayılabilir. Bu yöntemler ile boyutları 10−6 cm‟ den daha küçük düĢük boyutlu yapıların üretimi gerçekleĢtirilmiĢtir. Bu geliĢmeler sonucu yeni elektronik devre elemanlarının yapımı son derece ilginç fizik problemlerini de doğurmuĢtur. DüĢük boyutlu yapıların elektronik ve optik özellikleri halen yaygın olarak araĢtırılmaktadır. Günümüzde düĢük boyutlu yarıiletken yapıların araĢtırılması kuantum fiziği ile açıklanabilen davranıĢlara sahip yeni elektronik devre elemanlarının üretilmesini mümkün kıldığından büyük ilgi çekmektedir. DüĢük boyutlu yarıiletken sistemlerden oluĢan nanometre boyutunda elektronik ve optoelektronik cihazlar günümüz bilgisayar ve haberleĢme endüstrisinde kullanılan devrelerin temel yapıtaĢlarını oluĢturmaktadır. Bu cihazların fiziğinin ve çalıĢma prensiplerinin bilinmesi, bu sistemlerin daha ayrıntılı olarak incelenmesi ile mümkündür. Son yıllarda düĢük boyutlu yapı olarak tanımlanan kuantum kuyusu, kuantum kuyu teli ve kuantum noktaları üzerinde birçok araĢtırma yapılmıĢtır (Akbas vd. 1995; Okan vd. 2004; Manaselyan vd. 2002). 2 1.2. Kuantum Kuyularının OluĢumu 𝐺𝑎1−𝑥 𝐴𝑙𝑥 𝐴𝑠 ve 𝐺𝑎𝐴𝑠 malzemeleriyle bir yapı oluĢturulduğunda, oluĢan yapı için “z” yönündeki potansiyel değiĢimi aĢağıdaki Ģekilde gösterildiği gibi olur. Buradaki x ifadesi mol kesridir ve yapının oluĢtuğu malzemelerin 𝐺𝑎, 𝐴𝑙 oranını belirler. Buradaki x‟ i kısaca malzemede bulunan alüminyum miktarını belirleyen bir değiĢken olarak tanımlayabiliriz. ġekil 1: Kuantum kuyularının oluĢumu 3 Ġletkenlik ve Valans bandındaki potansiyeller için 𝑉0 , 𝑉 aĢağıdaki bağıntılar kullanılabilir. 𝐸𝑔 = 1,555 𝑥 + 0,37 𝑥 2 𝑉0 = %60 𝐸𝑔 𝑉 = %40𝐸𝑔 𝐺𝑎1−𝑥 𝐴𝑙𝑥 𝐴𝑠 malzemesinde mol kesri 𝑥 = 1 olursa sonsuz potansiyelli kuantum kuyusu elde edilir. 4 2. SĠMETRĠK SONSUZ KUANTUM KUYUSU ĠÇĠNE HAPSEDĠLEN BĠR ELEKTRONUN ÖZELLĠKLERĠ Tek boyutlu, L geniĢliğindeki sonsuz potansiyelli bir kuantum kuyusu içindeki m* etkin kütleli elektronun dalga denklemi çözülecektir. Böyle bir sonsuz potansiyel kuyusu aĢağıdaki gibidir; ġekil 2: Sonsuz potansiyelli kuantum kuyusu Yapının potansiyel dağılımı; 𝐿 0, 𝑧 ≤2 ∞, 𝐿 𝑉 𝑧 = dir. (2.1) 𝑧 >2 5 Kuyunun dıĢında, 1. ve 3. Bölgelerde, m* etkin kütleli elektron daima kuyu içinde kalacaktır. Yani elektronu temsil eden dalga fonksiyonu 𝜓 𝑧 engeller içinde sıfır olur. Schrödinger denklemi yalnızca kuyu içinde çözülmelidir. Zamandan Bağımsız Schrödinger Denklemi: 𝐻. 𝜓 𝑧 = 𝐸. 𝜓 𝑧 −ℏ2 𝑑 2 2𝑚 ∗ 𝑑𝑧 2 +𝑉 𝑧 (2.2) 𝜓 𝑧 = 𝐸𝜓 𝑧 (2.3) dir. Uzunluk olarak etkin Bohr yarıçapı (a*), enerji birimi olarak da etkin Rydberg enerjisi (R*) kullanıldığında sonsuz potansiyelli kuyu içerisine hapsedilmiĢ elektronun Schrödinger dalga denklem ifadesi; −𝑑 2 𝑑𝑧 2 + 0 𝜓 𝑧 = 𝐸𝜓 𝑧 −𝑑 2 𝑑𝑧 2 −𝐸 𝜓 𝑧 =0 Ģeklinde olur. Burada 𝑘 2 = 𝐸 olmak üzere dalga fonksiyonu; 𝜓 𝑧 = 𝐴 cos 𝑘𝑧 + 𝐵 sin 𝑘𝑧 Ģeklinde elde edilir. Elde edilen dalga fonksiyonuna sınır Ģartlarını uygularsak: 𝐿 𝐿 𝑧 = − 2 ‟ de 𝑉 𝑧 = ∞ olduğundan 𝜓2 𝑧 = − 2 𝜓 − 𝐿 𝑘𝐿 𝑘𝐿 = 𝐴 cos − + 𝐵 sin − 2 2 2 ve 𝐴 cos 𝑘𝐿 𝑘𝐿 − 𝐵 sin 2 2 =0 = 0 olmalıdır. =0 (2.4) 6 denklemleri elde edilir. 𝐿 𝐿 𝑧 = 2 ‟de 𝑉 𝑧 = ∞ olduğundan 𝜓2 𝑧 = 2 = 0 olmalıdır. 𝜓 𝐿 𝑘𝐿 𝑘𝐿 = 𝐴 cos + 𝐵 sin 2 2 2 =0 ve 𝐴 cos 𝑘𝐿 𝑘𝐿 + 𝐵 sin 2 2 =0 elde edilir. Bu denklemleri çözmek için katsayılar determinatına bakılır. 𝑘𝐿 2 𝑘𝐿 − sin 2 𝑘𝐿 2 𝑘𝐿 cos 2 sin cos =0 Buradan; 𝑘𝐿 = 𝑛𝜋 kn = 𝑛𝜋 n=0,1,2,..... 𝐿 (2.5) elde edilir. Dalga denklemine k n ifadesi yazılır. 𝜓 𝑧 = 𝐴 cos 𝑛𝜋 𝐿 𝑧 + 𝐵 sin 𝑛𝜋 𝐿 𝑧 (2.6) Elde edilen bu dalga fonksiyonu için tek çözümler ve çift çözümler olmak üzere iki tür çözümü vardır. n çift durum için: 𝐴 = 0, 𝐵 ≠ 0 𝜓𝑛 + 𝑧 = 𝐴 cos 𝑛𝜋 𝐿 𝑧 n=1,3,5,… (2.7) n=2,4,6,… (2.8) n tek durum için: 𝐵 = 0, 𝐴 ≠ 0 𝜓𝑛 − 𝑧 = B sin 𝑛𝜋 𝐿 𝑧 7 Burada A ve B normalizasyon sabitleridir. Bu sabitler dalga fonksiyonunun normalize edilmesi ile elde edilir. 𝐿/2 𝜓∗ −𝐿/2 𝑧 𝜓 𝑧 𝑑𝑧 = 1 (2.9) Dalga fonksiyonlarının normalize edildikten sonraki ifadeleri: 𝜓𝑛 + 𝑧 = 2 𝜓𝑛 − 𝑧 = 2 L cos sin L 𝑛𝜋 𝐿 𝑛𝜋 𝐿 𝑧 n=1,3,5,… (2.10) 𝑧 n=2,4,6,… (2.11) Ģeklindedir.. Elektronun enerji özdeğerleri ise: E= 𝜓𝑛 𝑧 H0 𝜓𝑛 𝑧 𝜓𝑛 𝑧 𝜓𝑛 𝑧 bağıntısından hesaplanır, burada H hamiltonyen; 𝐻0 = − 𝑑2 𝑑𝑧 2 dir. Sonsuz potansiyelli kuantum kuyusuna hapsedilen elektronun alabileceği enerji özdeğerleri, bu sonuçlar doğrultusunda n tamsayısına bağlı olarak değiĢir. Yani enerji değerleri n tam sayı katları Ģeklinde kuantize olmuĢtur. 8 GaAs bölgesine hapsedilmiĢ elektronun etkin kütlesi m∗ = 0.067m0 dır. Burada 𝑚0 = 9,11. 10−31 𝑘𝑔 serbest elektron kütlesidir. AlAs GaAs AlAs kuantum kuyusu içinde bulunan böyle bir elektronun taban durumu enerjisi hesaplanmıĢ ve kuyu geniĢliğine bağlı olarak Grafik 2.1 „de verilmiĢtir. 9 Grafik 2.1: Simetrik sonsuz potansiyelli kuantum kuyusunda kuyu geniĢliğine göre elektronun enerjisinin değiĢim grafiği 10 2.1. Simetrik Sonsuz Kuantum Kuyusuna Elektrik Alan Etkisi 𝐴𝑙𝐴𝑠 𝐺𝑎𝐴𝑠 𝐴𝑙𝐴𝑠 kuantum kuyusu içerisine hapsedilmiĢ bir elektrona ait Hamilton, elektrik alan etkisi altında; ћ2 𝐻 = − 2𝑚 ∗ 𝛻 2 + 𝑒𝐹 . 𝑟 + 𝑉 𝑧 (2.1.1) Ģeklindedir. Burada 𝐹 elektrik alan, 𝑚∗ elektronun etkin kütlesi, 𝑟 elektronun konumu, ∇2 kartezyen koordinatlarda laplasyendir. Elektrik alan etkisi altında kuyu ġekil-3‟ de görüldüğü gibi olur. Seçilen elektrik alan sabit, düzgün ve +z yönündedir, 𝐹 = 𝐹𝑒3 ġekil 3: Elektrik alan etkisi altındaki sonsuz kuantum kuyusu Sistemimize uyguladığımız elektrik alandan hamiltonyene gelen katkı; 𝑒𝐹 . 𝑟 = 𝑒 𝐹𝑒3 . 𝑥𝑒1 + 𝑦𝑒2 + 𝑧𝑒3 = 𝑒𝐹𝑧 11 olur. Bu durumda, H hamiltonyeni 𝐻 = 𝐻0 + 𝑒𝐹𝑧 (2.1.2) ve 𝐻0 = − ћ2 𝑑 2 + 𝑉(𝑧) 2𝑚∗ 𝑑𝑧 2 dır. 𝐻0 elektrik alanın yokluğunda sistemimizin Hamiltonyenidir. Elektrik alandan H hamiltonyenine gelen katkı ; 𝑊 = 𝑒𝐹𝑧 dır. a* ve R* birim sisteminde bu katkı 𝜂𝑧 olur. Burada 𝜂 = 𝑒𝑎 𝑏 ∗ 𝑅∗ 𝐹 olup a* ve R* etkin Bohr yarıçapı ve etkin Rydberg enerjisidir. Buna göre a*, R* birim sisteminde H Hamiltonyeni 𝐻=− 𝑑2 𝑑𝑧 2 + 𝑉 𝑧 + 𝜂𝑧 (2.1.3) olur. Sistemin Schrödinger Denklemi: 𝐻𝜓 𝑧 = 𝐸𝜓 𝑧 𝑑2 − 𝑑𝑧 2 + 𝑉 𝑧 + 𝜂z 𝜓 𝑧 = 𝐸𝜓 𝑧 (2.1.4) Ģeklinde yazılır. Sonsuz potansiyel kuyusuna hapsedilmiĢ elektron için 𝑉 𝑧 = 0 olduğundan denklem; 𝑑2 − 𝑑𝑧 2 + 𝜂z 𝜓 𝑧 = 𝐸𝜓 𝑧 (2.1.5) 12 olur. Bu denklem yaklaĢık olarak varyasyonel yöntem ile çözülecektir. Bu yöntemde bir deneme dalga fonksiyonu önerilir. Bu deneme dalga fonksiyonu 𝜓 𝑧 ; 𝜓 𝑧 = 𝜓0 𝑧 𝑒 −𝛽𝑧 (2.1.6) olarak seçilir. Burada 𝜓0 𝑧 dalga fonksiyonu Denklem 2.10 ve Denklem 2.11 ile ifade edildiği gibidir. Buna göre tek ve çift çözümler; Nt 𝜓𝑛𝑡𝑒𝑘 𝑧 = L sin 𝑛𝜋 𝐿 𝑧 𝑒 −𝛽𝑧 (2.1.7) ve ç𝑖𝑓𝑡 𝜓𝑛 Nç 𝑧 = L cos 𝑛𝜋 𝐿 𝑧 𝑒 −𝛽𝑧 (2.1.8) olur, bu denklemlerde 𝛽 varyasyonel parametredir. Elektronun enerjisi varyasyon yöntemine göre; E E n tek n çift 𝜓 𝑛𝑡𝑒𝑘 𝑧 H 𝜓 𝑛𝑡𝑒𝑘 𝑧 𝜓𝑛𝑡𝑒𝑘 𝑧 𝜓𝑛𝑡𝑒𝑘 𝑧 = 𝜓 = denklemlerinden hesaplanır, burada E ç𝑖𝑓𝑡 𝜓 tek ç𝑖𝑓𝑡 𝑧 H 𝜓 𝑧 𝜓 ç𝑖𝑓𝑡 ç𝑖𝑓𝑡 (2.1.9) min β 𝑧 𝑧 (2.1.10) min β tek durumların enerjisi, E çift çift durumların enerjisidir. Elektronun taban durum dalga fonksiyonu Denklem 2.1.8 e göre, n=1, 𝜋 𝜓 𝑧 = N cos 𝑧 𝑒 −𝛽𝑧 𝐿 olur. Taban durum 𝐿 = 100Å, F=0 ve 100 kV/cm elektrik alan Ģiddetleri için hesaplanmıĢ ve elektrik alanın dalga fonksiyonuna etkisi Grafik 2.1‟de verilmiĢtir. Bu grafikten elektrik alanın dalga fonksiyonunu sola kaydırdığını baĢka bir deyiĢle dalgadaki simetriği bozduğunu görüyoruz. 𝐿 = 100Å ve 150Å geniĢliğindeki iki farklı kuantum kuyusuna farklı elektrik alanlar 0 kV/cm ≤ F ≤ 300kV/cm uygulandığında taban durum enerjileri 13 hesaplanmıĢ ve enerjilerin elektrik alanın Ģiddetine bağlı değiĢimleri Grafik 2.3‟te verilmiĢtir. Bu grafikten elektrik alanın taban durum enerjisine geniĢ kuyuda daha etkin olduğu görülmektedir. 14 Grafik 2.2: Simetrik sonsuz potansiyelli kuantum kuyusunda dalga fonksiyonu 15 Grafik 2.3: Simetrik sonsuz potansiyelli kuantum kuyusunda elektrik alanın Ģiddetine göre elektronun enerjisinin değiĢim grafiği 16 2.2. Düzgün Elektrik Alan Gören Simetrik Sonsuz Kuantum Kuyusunda Yabancı Atom Problemi Ġçinde yabancı atom bulunan simetrik sonsuz kuantum kuyusuna “+z” yönünde düzgün ve sabit bir elektrik alan uygulandığında, “F” elektrik alan Ģiddeti olmak üzere kuyunun Ģekil 4‟te görüldüğü gibi olur. Burada elektrik alan sabit, düzgün ve +z yönünde, 𝐹 = 𝐹𝑒3 , seçilmiĢtir. ġekil 4: Donor yabancı atomlu sonsuz kuantum kuyusuna elektrik alan etkisi Düzgün elektrik alan altında donorlu kuantum kuyusu için sistemin silindirik koordinatlarda Hamiltonyeni; ћ2 𝐻𝑓𝑖 = − 2𝑚 ∗ ∇2 − 𝑒2 𝜀 0 𝜌 2 +(𝑧−𝑧 𝑖 )2 + 𝑒𝐹𝑧 + 𝑉 𝑧 olur, burada 𝑧𝑖 donor yabancı atomunun z eksenindeki konumudur. (2.2.1) 17 Sistemin 𝑎 ∗ ve 𝑅 ∗ biriminde Schrödinger Denklemi: 𝐻𝑓𝑖 𝜓𝑓𝑖 𝜌, 𝑧 = 𝐸𝑓𝑖 𝜓𝑓𝑖 𝜌, 𝑧 (2.2.2) veya 𝜕2 1 ∂ ∂ − 𝜕𝑧 2 − 𝜌 ∂𝜌 𝜌 ∂𝜌 − 2 𝜌 2 +(𝑧−𝑧 𝑖 )2 + 𝜂𝑧 + 𝑉 𝑧 𝜓𝑓𝑖 𝜌, 𝑧 = 𝐸𝑓𝑖 𝜓𝑓𝑖 𝜌, 𝑧 (2.2.3) Ģeklinde yazılır. Kuyunun sonsuz olması halinde V(z)=0‟dır ve sistemin Schrödinger denklemi; 𝜕2 1 ∂ ∂ − 𝜕𝑧 2 − 𝜌 ∂𝜌 𝜌 ∂𝜌 − 2 𝜌 2 +(𝑧−𝑧 𝑖 )2 + 𝜂𝑧 𝜓𝑓𝑖 𝜌, 𝑧 = 𝐸𝑓𝑖 𝜓𝑓𝑖 𝜌, 𝑧 (2.2.4) olur. Bu denklemin analitik çözümü olmadığından yaklaĢık olarak varyasyonel yöntem ile çözülecektir. Bu yöntemin kullanılması için bir deneme dalga fonksiyonu önerilir. Taban durumu için deneme dalga fonksiyonu 𝜓𝑓 𝜌, 𝑧 ; 𝜓𝑓𝑖 𝜌, 𝑧 = 𝜓0 𝑧 𝑒 olarak seçilir. Burada 𝜓0 𝑧 −𝛽𝑧 − 𝜌 2 +(𝑧−𝑧 𝑖 )2 𝑒 (2.2.5) 𝜆 daha önce Denklem 2.10 ile tanımlanan dalga fonksiyonudur. Buna göre 𝜓𝑓𝑖 𝜌, 𝑧 dalga fonksiyonu; 𝜓𝑓𝑖 𝜌, 𝑧 = N cos 𝜋 𝐿 𝑧 𝑒 −𝛽𝑧 − 𝑒 𝜌 2 +(𝑧−𝑧 𝑖 )2 (2.2.6) 𝜆 Ģeklini alır. Bu denklemlerde 𝛽 ve 𝜆 varyasyonel parametrelerdir. Donor enerjisi; E formundan hesaplanır. 𝑑𝑉 = 𝜌𝑑𝜌𝑑𝑧𝑑𝜑‟ dir. fi = Burada 𝜓 𝑓𝑖 𝜌 ,𝑧 H fi 𝜓 𝑓𝑖 𝜌,𝑧 𝜓 𝑓𝑖 𝜌,𝑧 𝜓 𝑓𝑖 𝜌,𝑧 dV hacim (2.2.7) min 𝜆,𝛽 elemanı silindirik koordinatlarda 18 E f düzgün elektrik alan etkisinde ancak yabancı atomun yokluğundaki elektronun taban durum enerjisi, E fi düzgün elektrik alan etkisinde ve yabancı atomun varlığındaki elektronun taban durum enerjisi olmak üzere, bağlanma enerjisi; Eb = E f − E fi (2.2.8) olarak tanımlanır. Bağlanma enerjisi nümerik olarak yazdığımız FORTRAN programı ile hesaplanmıĢ ve bağlanma enerjisinin artan kuyu geniĢliği ve artan elektrik alanlarda azaldığı Grafik 2.5‟ te görülmüĢtür. Düzgün elektrik alan altında sonsuz potansiyelli kuantum kuyusunda, yabancı atomun iki farklı konumu, zi=L/4 ; -L/4, ve dört farklı kuyu geniĢliği için bağlanma enerjisi hesaplanmıĢ ve elektrik alan Ģiddetine bağlı değiĢimi Grafik 2.4 ve Grafik 2.6‟da verilmiĢtir Sonsuz potansiyelli kuantum kuyusunda bağlanma enerjisinin zi=L/4 ve zi=-L/4 konumundayken F=0,50,100,150 Kv/cm elektrik alan Ģiddetleri altında kuyu geniĢliğine bağlı değiĢimi Grafik 2.5 ve Grafik 2.7‟ de verilmiĢtir. 19 Grafik 2.4 :Simetrik sonsuz potansiyelli kuantum kuyusunda bağlanma enerjisinin yabancı atom zi=L/4 konumundayken elektrik alan Ģiddetine bağlı değiĢimi 20 Grafik 2.5 : Simetrik sonsuz potansiyelli kuantum kuyusunda bağlanma enerjisinin zi=L/4 konumundayken kuyu geniĢliğine bağlı değiĢimi 21 Grafik 2.6: Simetrik sonsuz potansiyelli kuantum kuyusunda bağlanma enerjisinin yabancı atom zi=-L/4 konumundayken elektrik alan Ģiddetine bağlı değiĢimi 22 Grafik 2.7: Simetrik sonsuz potansiyelli kuantum kuyusunda bağlanma enerjisinin yabancı atom zi=-L/4 konumundayken kuyu geniĢliğine bağlı değiĢimi 23 3. YARI SONLU KUANTUM KUYUSU ĠÇĠNE HAPSEDĠLEN BĠR ELEKTRONUN ÖZELLĠKLERĠ Yarı sonlu bir kuantum kuyusunda m kütleli bir parçacık için Schrödinger denklemi çözülecektir. Kuyunun Ģekli aĢağıdaki gibi olur. ġekil 5: Yarı sonlu kuantum kuyusu Kuyunun potansiyel enerji dağılımı; 𝑉 𝑥 = 𝑧≤−2 0, −2 <𝑧 <2 𝑉0 , Ģeklindedir. 𝐿 ∞, 𝐿 𝐿 𝐿 𝑧>2 (3.1) 24 Yarı sonlu kuyuda parçacık tamamen kuyu içine hapsolmayacak, potansiyel engelin bulunduğu 2. bölgede de bulunacaktır. Zamandan Bağımsız Schrödinger Denklemi: 𝐻𝜓(𝑧) = 𝐸𝜓(𝑧) (3.2) −ℏ2 𝑑 2 + 𝑉(𝑧) 𝜓(𝑧) = 𝐸𝜓(𝑧) 2𝑚∗ 𝑑𝑧 2 Bu denklemde a* ve R* biriminde ℏ2 2𝑚 ∗ = 1 olur. 1.Bölgede 𝑉 𝑧 = 0 olduğu için a* ve R* birim sisteminde Schrödinger denklemi: −𝑑2 + 0 𝜓1 (𝑧) = 𝐸𝜓1 𝑧 𝑑𝑧 2 𝜓1 𝑧 = 𝐴 cos 𝑘1 𝑧 + 𝐵 sin 𝑘1 𝑧 olur. Burada 𝑘1 = 𝐸 dir. 2.Bölgede 𝑉 𝑧 = 𝑉0 olduğundan, bu bölgede Schrödinger denklemi ; −𝑑 2 𝑑𝑧 2 olur. Burada; 𝑘2 = + 𝑉0 𝜓2 𝑧 = 𝐸𝜓2 𝑧 𝜓2 (𝑧) = 𝐶𝑒 𝑘 2 𝑧 + 𝐷𝑒 −𝑘 2 𝑧 (3.3) 𝑉0 − 𝐸 „dir. 𝜓2 (𝑧) dalga fonksiyonu 𝑧 = ∞ için sıfırdır ve C katsayısı 0 olur. Dalga fonksiyonunun son hali; 𝜓2 (𝑧) = 𝐷𝑒 −𝑘 2 𝑧 (3.4) olur. Bu dalga fonksiyonlarına sınır Ģartları uygulanırsa, 𝐿 𝐿 𝑧 ≤ − 2 bölgesinde 𝑉 𝑧 = ∞ olduğundan dalga fonksiyonu 𝜓1 𝑧 = − 2 = 0 olmalıdır. 25 𝐴𝑐𝑜𝑠 − 𝑘1 𝐿 + 𝐵𝑠𝑖𝑛 − 2 𝑘1 𝐿 2 =0 (3.5) Bu durumda 𝜓1 (𝑧) dalga fonksiyonu; 𝜓1 𝑧 = 𝐵𝑡𝑎𝑛 𝑘1 𝐿 𝑐𝑜𝑠(𝑘1 𝑧) + 𝐵𝑠𝑖𝑛(𝑘1 𝑧) 2 𝐿 olur. 𝑧 = 2 „de dalga fonksiyonunun sürekliliğinden 𝜓1 (𝑧) 𝐿 𝑧= 2 = 𝜓2 (𝑧) 𝐿 𝑧= 2 veya 𝐿 𝐿 𝐿 𝐿 𝐵𝑡𝑎𝑛 𝑘1 2 𝑐𝑜𝑠(𝑘1 2 ) + 𝐵𝑠𝑖𝑛(𝑘1 2 ) = 𝐷𝑒 −𝑘 2 2 (3.6) olur. Dalga fonksiyonlarının türev sürekliliğinden 𝑑𝜓 1 (𝑧) 𝑑𝑥 𝐿 𝑧= 2 = 𝑑𝜓 2 (𝑧) 𝑑𝑥 𝐿 2 𝑧= veya 𝐿 𝐿 𝐿 𝐿 −𝐵𝑘1 𝑡𝑎𝑛 𝑘1 2 𝑠𝑖𝑛 𝑘1 2 + 𝐵𝑘1 𝑐𝑜𝑠(𝑘1 2) = −𝐷𝑘2 𝑒 −𝑘 2 2 (3.7) olur. Denklem (3.6) ve Denklem (3.7) den; 𝐿 𝑘2 tan 𝑘1 2 + 𝑘1 = 0 ifadesi elde edilir. Burada 𝑘1 = 𝐸 ve 𝑘2 = 𝑉0 − 𝐸 tan (3.8) 𝑉0 − 𝐸 kullanılırsa; 𝐿 𝐸2 + 𝐸 = 0 (3.9) bulunur. Bu çalıĢmada denklemi sağlayan enerji değerleri nümerik olarak FORTRAN programı yardımı ile hesaplanmıĢtır. Buna göre dalga fonksiyonları: 𝜓1 𝑧 = 𝐵𝑡𝑎𝑛 𝑘1 𝐿 2 𝑐𝑜𝑠(𝑘1 𝑧) + 𝐵𝑠𝑖𝑛(𝑘1 𝑧) (3.10) 26 ve 𝜓2 𝑥 = 𝐷𝑒 −𝑘 2 𝑥 (3.11) olur, burda B ve D sabitleri dalga fonksiyonun normalize edilmesi ile elde edilir. 𝐿 2 𝜓 ∗ −𝐿 2 1 𝑧 𝜓1 𝑧 𝑑𝑧 + ∞ 𝜓 ∗ 𝐿 2 2 𝑧 𝜓2 𝑧 𝑑𝑧 = 1 (3.12) denklemi kullanılırsa; 𝐵𝑡𝑎𝑛 𝜓 𝑧 = 𝐵 𝑘1 𝐿 2 𝑠𝑖𝑛 𝑘 1 𝐿 𝑐𝑜𝑠 𝐿 𝑐𝑜𝑠 𝑘1 𝑧 + 𝐵𝑠𝑖𝑛 𝑘1 𝑧 𝐿 𝑘1 2 𝑒 𝐿 𝑘2 2 −2 <𝑧< 𝑒 −𝑘 2 𝑧 𝑧> 𝐿 𝐿 2 (3.13) 2 olarak elde edilir, burada B katsayısı 𝐿 𝐵 −2 = 2 1 − 𝑠𝑖𝑛 𝑘 1 𝐿 2𝑘 1 𝐿 + 𝑠𝑖𝑛 2 (𝑘 1 𝐿) (3.14) 𝑘2 𝐿 dır. Elektronun taban durum dalga fonksiyonu kuyu geniĢliğine bağlı olarak V0 = 200,400 meV potansiyel engelli yapı için Denklem (3.8), Denklem (3.13) ve Denklem (3.14) yardımıyla hesaplanmıĢ ve hesaplanan dalga fonksiyonları Grafik 3.1 ‟de çizilmiĢtir. Ġki farklı kuyu geniĢliği 𝐿 = 100Å 𝑣𝑒 200Å için taban durum enerjisini V0 engel potansiyeline bağlı olarak hesaplanmıĢ ve enerjinin V0 engel potansiyeline bağlı 27 değiĢimi Grafik 3.2‟de verilmiĢtir. Bu grafik, artan engel potansiyeli yani artan hapsedilme ile elektron enerjisinin arttığını ve sonsuz kuantum kuyusundaki değere yaklaĢtığı görülmektedir. 28 Grafik 3.1: Yarı sonlu kuantum kuyusuna hapsedilen elektrona ait taban durumu dalga fonksiyonları 29 Grafik 3.2: Yarı sonlu kuantum kuyusunun L=100,200 A0 kuyu geniĢliklerinde basamak potansiyelinin enerjiye bağlı değiĢim grafiği 30 3.1. Yarı Sonlu Kuantum Kuyusu Ġçine Hapsedilen Elektrona Elektrik Alan Etkisi ġekil 6: Elektrik alan etkisi altındaki –L/2 „de sonsuz ,+L/2 „de Vo potansiyel engeline sahip olan yarı sonlu kuantum kuyusu Yarı sonlu kuantum kuyusuna “+z” yönünde düzgün “F” elektrik alanı uygulanırsa a* ve R* birim sisteminde yapının Hamiltonyeni : 𝑑2 𝐻𝑓 = − 𝑑𝑧 2 + 𝑉 𝑧 + 𝜂𝑧 (3.1.1) olur. Buna göre zamandan bağımsız Schrödinger denklemi, 𝑑2 − 𝑑𝑧 2 + 𝑉 𝑧 + 𝜂𝑧 𝜓𝑓 𝑧 = 𝐸𝑓 𝜓𝑓 𝑧 (3.1.2) olur. Bu Schrödinger denklemi varyasyonel yöntemle çözülecektir, çözüm için taban durum danga fonksiyonları, 31 𝐵 𝑡𝑎𝑛 𝜓𝑓 𝑧 = 𝐵 𝑘1 𝐿 2 𝑠𝑖𝑛 𝑘 1 𝐿 𝑐𝑜𝑠 𝐿 𝑘1 2 𝑐𝑜𝑠 𝑘1 𝑧 + 𝑠𝑖𝑛 𝑘1 𝑧 𝑒 𝐿 𝑘2 2 𝑒 −𝛽𝑧 𝑒 −𝑘 2 𝑧 𝑒 −𝛽𝑧 𝐿 −2 <𝑧< 𝑧> 𝐿 𝐿 2 (3.1.3) 2 olacak Ģekilde seçilmiĢtir, burada 𝛽 varyasyonel parametredir. Elektronun enerjisi, Ef= 𝜓𝑓 𝑧 Hf 𝜓𝑓 𝑧 𝜓𝑓 𝑧 𝜓𝑓 𝑧 (3.1.4) min β denkleminden hesaplanmıĢtır. Elektronun taban durum dalga fonksiyonları, farklı F =0,100 kV/cm elektrik alan Ģiddeti için grafikleri Grafik 3.3‟ de verilmiĢtir. Bu grafikten elektrik alanın dalga fonksiyonunu sola kaydırdığını ve basamak içindeki tünellemeyi yani sızmayı azalttığı görülmektedir. F =0,100 kV/cm elektrik alan altında elektron taban durum enerjisinin 𝑉0 kuyu engel potansiyeline bağlı olarak değiĢimi hesaplanmıĢ ve bu durum Grafik 3.4‟ te verilmiĢtir. Bu grafikten, uygulanan elektrik alan ve artan engel potansiyeli elektrondaki hapsedilmeyi arttırdığından elektrik alan altında elektron enerjisi büyük olur. Bu durum Grafik 3.3 ile uyumludur. 32 Grafik 3.3: Ġki farklı elektrik alan altında yarı sonlu kuantum kuyusuna hapsedilen elektrona ait taban durumu dalga fonksiyonu 33 Grafik 3.4: F=0,100 kV/cm elektrik alan altındaki yarı sonlu kuantum kuyusunun basamak potansiyelinin değiĢimine göre taban durum enerjisinin değiĢim grafiği 34 3.2. Elektrik Alan Etkisindeki Yarı Sonlu Kuantum Kuyusuna Donor Yabancı Atom Etkisi ġekil 7 : Elektrik alan altında, –L/2 „de sonsuz ,+L/2 „de Vo potansiyel engeline sahip olan kuantum kuyusu Ġçinde donor yabancı atom bulunan simetrik yarı sonlu kuantum kuyusuna “+z” yönünde bir F elektrik alan uygulandığında, sistemin Hamiltonyeni, 𝜕2 1 ∂ ∂ 𝐻𝑓𝑖 = − 𝜕𝑧 2 − 𝜌 ∂𝜌 𝜌 ∂𝜌 − 2 𝜌 2 +(𝑧−𝑧 𝑖 )2 + 𝜂𝑧 + 𝑉 𝑧 (3.2.1) ve Schrödinger denklemi: 𝐻𝑓𝑖 𝜓𝑓𝑖 𝜌, 𝑧 = 𝐸𝑓𝑖 𝜓𝑓𝑖 𝜌, 𝑧 veya (3.2.2) 35 𝜕2 1 ∂ ∂ 2 − 𝜕𝑧 2 − 𝜌 ∂𝜌 𝜌 ∂𝜌 − 𝜌 2 +(𝑧−𝑧 𝑖 )2 + 𝜂𝑧 + 𝑉 𝑧 𝜓𝑓𝑖 𝜌, 𝑧 = 𝐸𝑓𝑖 𝜓𝑓𝑖 𝜌, 𝑧 (3.2.3) olur. Bu denklemin analitik çözümü olmadığından denklem yaklaĢık olarak varyasyonel yöntem ile çözülecektir. Bu yöntemde deneme dalga fonksiyonu 𝜓𝑓𝑖 𝜌, 𝑧 ; 𝜓𝑓𝑖 𝜌, 𝑧 = 𝜓 𝑧 𝑒 olarak seçilir. Burada 𝜓 𝑧 fonksiyonudur. 𝜓𝑓𝑖 𝜌, 𝑧 −𝛽𝑧 − 𝜌 2 +(𝑧−𝑧 𝑖 )2 𝑒 (3.2.4) 𝜆 daha önce Denklem (3.1.3) ile tanımlanan dalga dalga fonksiyonu iki bölge için yerine yazarsak, birinci bölgede; 𝜓𝑓𝑖1 𝜌, 𝑧 = 𝑁1 𝑡𝑎𝑛 𝑘1 𝐿 2 𝑐𝑜𝑠 𝑘1 𝑧 + 𝑠𝑖𝑛 𝑘1 𝑧 𝑒 −𝛽𝑧 − 𝜌 2 +(𝑧−𝑧 𝑖 )2 𝑒 𝜆 (3.2.5) ve ikinci bölgede; 𝜓𝑓𝑖2 𝜌, 𝑧 = 𝑁1 𝑠𝑖𝑛 𝑘 1 𝐿 𝐿 𝑐𝑜𝑠 𝑘 1 𝑒 𝑘2 𝐿 2 𝑒 −𝑘 2 𝑧 −𝛽𝑧 𝑒 𝑒 − 𝜌 2 +(𝑧−𝑧 𝑖 )2 𝜆 (3.2.6) 2 olur. burada 𝛽 ve 𝜆 varyasyonel parametreleri ve zi donor atomunun z ekseni üzerindeki izdüĢümünün konumudur. Donor enerjisi veya donora ait elektronun enerjisi ise, E fi = 𝜓 𝑓𝑖 𝜌,𝑧 H fi 𝜓 𝑓𝑖 𝜌,𝑧 𝜓 𝑓𝑖 𝜌,𝑧 𝜓 𝑓𝑖 𝜌,𝑧 (3.2.7) min β,λ 36 bağıntısından hesaplanır. Bu durum için bağlanma enerjisi de: Eb = E f − E olur, burada E f fi (3.2.8) enerjisi yabancı atom yokluğundaki elektrik alan altındaki taban durum enerjisidir ve daha önce Denklem (3.1.4) ile tanımlanmıĢtır. Düzgün elektrik alan altında yarı sonlu kuantum kuyusunda, yabancı atomun iki farklı konumu, zi=L/4 ; -L/4, ve dört farklı kuyu geniĢliği için bağlanma enerjisi hesaplanmıĢ ve elektrik alan Ģiddetine bağlı değiĢimi Grafik 3.5 ve Grafik 3.7‟de verilmiĢtir. Donor yabancı atomun iki farklı konumu (zi=L/4 ve zi=-L/4) ve dört farklı kuyu geniĢliği 𝐿 = 100,150,200,250Å durumunda, bağlanma enerjisinin elektrik alana bağlı değiĢimi Grafik 3.5 (zi=L/4) ve Grafik 3.6 (zi=-L/4)‟ de verilmiĢtir. Grafik 3.5‟ ten baĢka bir deyiĢle donor yabancı atomunun kuyu içinde ve sonlu engel potansiyele yakın olması halinde bağlanma enerjisinin artan elektrik alan ve artan kuyu geniĢliği ile azaldığı görülmektedir. Grafik 3.6‟ da yabancı atomun sonsuz engel potansiyeline yakın olduğu durumda bağlanma enerjisinin beklenmedik bir Ģekilde artan kuyu geniĢliği ile artan, ancak beklendiği gibi artan elektrik alanla azaldığı görülmektedir. DüĢük elektrik alanlarda Eb‟nin davranıĢı yüksek elektrik alanlara göre daha karmaĢıktır. Donor atomunun iki farklı konumu (zi=L/4 ve zi=-L/4) ve dört farklı elektrik alan Ģiddeti (F=0,50,100,150 kV/cm) için bağlanma enerjisinin kuyu geniĢliğine bağlı değiĢim grafikleri Grafik 3.7 (zi=L/4) de ve Grafik 3.8 (zi=-L/4) de verilmiĢtir. Grafik 3.7‟ den, yabancı atomun sonlu engel potansiyeline yakın olması durumunda bağlanma enerjisi artan kuyu geniĢliği ve artan elektrik alanla artarken, yabancı atomun sonsuz engel potansiyeline yakın olması halinde dar kuyularda bağlanma enerjisi kuyu geniĢliği ile azalmakta, ancak geniĢ kuyularda ve sıfırdan farklı elektrik alanlarda bağlanma enerjisi beklenenin aksine artan elektrik alan ve artan kuyu geniĢliği ile artmaktadir. 37 Grafik 3.5: Donor yabancı atomunun zi=L/4 konumu için dört farklı kuyu geniĢliğinde (L=100,150,200,250Å ) bağlanma enerjisinin elektrik alanla değiĢimi 38 Grafik 3.6: Yabancı atom zi= - L/4 konumundayken L=100,150,200,250 A0 kuyu geniĢliklerinde bağlanma enerjisinin elektrik alan Ģiddetine bağlı değiĢimi 39 Grafik 3.7: Donor yabancı atom zi=L/4 konumundayken F=0,50,100,150 kV/cm elektrik alan Ģiddeti altında bağlanma enerjisinin elektrik alan Ģiddetine bağlı değiĢimi 40 Grafik 3.8: Yabancı atom zi= - L/4 konumundayken F=0,50,100,150 kV/cm elektrik alan Ģiddeti altında bağlanma enerjisinin elektrik alan Ģiddetine bağlı değiĢimi 41 4. SELF POLARĠZASYON VE SELF POLARĠZEBĠLĠTE Kuyunun enerji duvarları donor elektronu etkiler ve bu etkiyi elektrondaki self polarizasyon olarak tanımlarsak; self polarizasyon, elektrik alan etkisi altında; 𝑃𝑠 = 𝛹𝑓𝑖 𝜌, 𝑧 −𝑒 𝑧 − 𝑧𝑖 𝛹𝑓𝑖 𝜌, 𝑧 𝛹𝑓𝑖 𝜌, 𝑧 𝛹𝑓𝑖 𝜌, 𝑧 𝛹 𝜌, 𝑧 −𝑒 𝑧 − 𝑧𝑖 𝛹 𝜌, 𝑧 𝛹 𝜌, 𝑧 𝛹 𝜌, 𝑧 − 𝑘𝑢𝑦𝑢 𝑣𝑎𝑟 𝑘𝑢𝑦𝑢 𝑦𝑜𝑘 veya, 𝛹𝑓𝑖 𝜌, 𝑧 𝑧 𝛹𝑓𝑖 𝜌, 𝑧 𝑃𝑠 =− 𝑒 𝛹𝑓𝑖 𝜌, 𝑧 𝛹𝑓𝑖 𝜌, 𝑧 + 𝑘𝑢𝑦𝑢 𝑣𝑎𝑟 𝛹 𝜌, 𝑧 𝑧 𝛹 𝜌, 𝑧 𝛹 𝜌, 𝑧 𝛹 𝜌, 𝑧 𝑘𝑢𝑦𝑢 𝑦𝑜𝑘 Ģeklinde hesaplanır, burada 𝜓 𝜌, 𝑧 kuyu geniĢliği sonsuz kabul edildiğinde donor elektrona ait dalga fonksiyonudur ve 𝜓 𝜌, 𝑧 = 𝑁𝑒 − 𝜌2 + 𝑧−𝑧𝑖 2 𝑎𝑜 Ģeklinde tanımlanır. Burada 𝛹𝑓𝑖 𝜌, 𝑧 dalga fonksiyonları elektrik alan uygulanmıĢ donor yabancı atomlu kuantum kuyusuna hapsedilen bir elektronun taban durumu dalga fonksiyonu ve 𝑎0 Bohr yarıçapıdır. 42 Self polarizasyon elektrik alan varlığında hesaplandığı gibi elektrik alan etkisi yokken de 𝑃𝑠 𝛹𝑖 𝜌, 𝑧 𝑧 𝛹𝑖 𝜌, 𝑧 =− 𝑒 𝛹𝑖 𝜌, 𝑧 𝛹𝑖 𝜌, 𝑧 + 𝑘𝑢𝑦𝑢 𝑣𝑎𝑟 𝛹 𝜌, 𝑧 𝑧 𝛹 𝜌, 𝑧 𝛹 𝜌, 𝑧 𝛹 𝜌, 𝑧 𝑘𝑢𝑦𝑢 𝑦𝑜𝑘 bağıntısından hesaplanabilir, burada 𝛹𝑖 𝜌, 𝑧 elektrik alan yokluğunda donor yabancı atomlu kuantum kuyusuna hapsedilmiĢ elektrona ait taban durumu dalga fonksiyonudur. Birim elektrik alan baĢına self polarizasyona self polarizabilite denir. Self polarizabilite; 𝛼𝑠 = Ģeklindedir. 𝑃𝑠 𝐹 43 4.1. Simetrik Sonsuz Kuantum Kuyusunda Self Polarizasyon Ve Self Polarizabilite Simetrik sonsuz kuantum kuyusunda self polarizasyon Denklem 2.2.6‟da belirtilen dalga fonksiyonları yardımı ile hesaplanacaktır. Bu taban durumu dalga fonksiyonları; 𝜋 − 𝜓𝑖 𝜌, 𝑧 = N cos 𝑧 𝑒 𝐿 𝜌 2 +(𝑧−𝑧 𝑖 )2 𝜆 ve 𝜓𝑓𝑖 𝜌, 𝑧 = N cos 𝜋 𝑧 𝑒 −𝛽𝑧 𝑒 − 𝐿 Ģeklindedir. Bu dalga fonksiyonlarından 𝜓𝑖 𝜌, 𝑧 𝜌 2 +(𝑧−𝑧 𝑖 )2 𝜆 elektrik alan yokluğunda donor yabancı atomlu kuantum kuyusuna hapsedilen elektrona ait taban durum dalga fonksiyonudur, 𝜓𝑓𝑖 𝜌, 𝑧 elektrik alan uygulanmıĢ donor yabancı atomlu kuantum kuyusuna hapsedilen elektrona ait taban durum dalga fonksiyonudur. Donor yabancı atomu zi=L/4 konumunda iken uygulanan elektrik alan ve kuyunun geniĢliği arttırıldıkça, simetrik sonsuz kuantum kuyusunda polarizasyon (Ps/e) belirgin Ģekilde artmaktadır. Bu artıĢ Grafik 4.1.1, Grafik 4.1.2‟de gözlemlenmektedir. Self polarizabilite, donor yabancı atomu zi=L/4 konumunda iken, simetrik sonsuz kuantum kuyusunda artan elektrik alanla beraber azalmakta ve artan kuyu geniĢliği ile artmaktadır. Bu değiĢimler Grafik 4.1.5 ve Grafik 4.1.6‟de görülmektedir. 44 Grafik 4.1.1: Simetrik sonsuz kuantum kuyusunda self polarizasyonun donor yabancı atomu zi=L/4 konumundayken farklı kuyu geniĢlikleri (L=100,150,200,250 Å) için elektrik alan Ģiddetine bağlı değiĢimi 45 Grafik 4.1.2: Simetrik sonsuz kuantum kuyusunda self polarizasyonun donor yabancı atomu zi=L/4 konumundayken farklı elektrik alan değerleri (F=0,50,100,150 kV/cm) için kuyu geniĢliğine bağlı değiĢimi 46 Grafik 4.1.3: Simetrik sonsuz kuantum kuyusunda self polarizabilitenin donor yabancı atomu zi=L/4 konumundayken farklı kuyu geniĢlikleri (L=100,150,200,250 Å) için elektrik alan Ģiddetine bağlı değiĢimi 47 Grafik 4.1.4: Simetrik sonsuz kuantum kuyusunda self polarizebilitenin donor yabancı atomu zi=L/4 konumundayken farklı elektrik alan değerleri (F=50,100,150 kV/cm) için kuyu geniĢliğine bağlı değiĢimi 48 Grafik 4.1.5 : Simetrik sonsuz kuantum kuyusunda self polarizasyonun donor yabancı atomu zi= - L/4 konumundayken farklı kuyu geniĢlikleri (L=100,150,200,250 Å) için elektrik alan Ģiddetine bağlı değiĢimi 49 Grafik 4.1.6 : Simetrik sonsuz kuantum kuyusunda self polarizasyonun donor yabancı atomu zi= - L/4 konumundayken farklı elektrik alan değerleri (F=0,50,100,150 kV/cm) için kuyu geniĢliğine bağlı değiĢimi 50 Grafik 4.1.7: Simetrik sonsuz kuantum kuyusunda self polarizabilitenin donor yabancı atomu zi=-L/4 konumundayken farklı kuyu geniĢlikleri (L=100,150,200,250 Å) için elektrik alan Ģiddetine bağlı değiĢimi 51 Grafik 4.1.8: Simetrik sonsuz kuantum kuyusunda self polarizabilitenin donor yabancı atomu zi=-L/4 konumundayken farklı elektrik alan değerleri (F=50,100,150 kV/cm) için kuyunun geniĢliğine bağlı değiĢimi 52 Yarı Sonlu Kuantum Kuyusunda Self Polarizasyon Ve Self 4.2. Polarizabilite Yarı sonlu kuantum kuyusunda self polarizasyon Denklem 3.2.5 ve Denklem 3.2.6‟da belirtilen dalga fonksiyonları yardımı ile hesaplanacaktır. Bu taban durumu dalga fonksiyonları; 𝜓𝑖1 𝑘1 𝐿 𝜌, 𝑧 = 𝑁𝑖 𝑡𝑎𝑛 𝑐𝑜𝑠 𝑘1 𝑧 + 𝑠𝑖𝑛 𝑘1 𝑧 𝑒 − 2 𝜓𝑖2 𝜌, 𝑧 = 𝑁𝑖 𝐿 𝑠𝑖𝑛 𝑘1 𝐿 − 𝑒 𝑘 2 2 𝑒 −𝑘 2 𝑧 𝑒 𝐿 𝑐𝑜𝑠 𝑘1 2 𝜌 2 + 𝑧−𝑧 𝑖 2 𝜆 𝜌 2 +(𝑧−𝑧 𝑖 )2 𝜆 ve 𝜓𝑓𝑖1 𝑘1 𝐿 𝜌, 𝑧 = 𝑁1 𝑡𝑎𝑛 𝑐𝑜𝑠 𝑘1 𝑧 + 𝑠𝑖𝑛 𝑘1 𝑧 𝑒 −𝛽𝑧 𝑒 − 2 𝜓𝑓𝑖2 𝜌, 𝑧 = 𝑁1 𝐿 𝑠𝑖𝑛 𝑘1 𝐿 𝑒 𝑘 2 2 𝑒 −𝑘 2 𝑧 𝑒 −𝛽𝑧 𝑒 − 𝐿 𝑐𝑜𝑠 𝑘1 2 𝜌 2 + 𝑧−𝑧 𝑖 2 𝜆 𝜌 2 +(𝑧−𝑧 𝑖 )2 𝜆 Ģeklindedir. Bu dalga fonksiyonlarından 𝜓𝑖1 𝜌, 𝑧 ve 𝜓𝑖2 𝜌, 𝑧 elektrik alan yokluğunda donor yabancı atomlu yarı sonlu kuantum kuyusuna hapsedilen elektrona ait taban 53 durum dalga fonksiyonu, 𝜓𝑓𝑖2 𝜌, 𝑧 ve 𝜓𝑓𝑖2 𝜌, 𝑧 elektrik alan uygulanmıĢ donor yabancı atomlu yarı sonlu kuantum kuyusuna hapsedilen elektrona ait taban durum dalga fonksiyonudur. Donor yabancı atomu zi=L/4 konumunda iken uygulanan elektrik alan ve kuyunun geniĢliği arttırıldıkça, yarı sonlu kuantum kuyusunda self polarizasyon (Ps/e) belirgin Ģekilde artmaktadır. Bu artıĢ Grafik 4.2.1, Grafik 4.2.2‟de gözlemlenmektedir. Self polarizabilite, donor yabancı atomu zi=L/4 konumunda iken, yarı sonlu kuantum kuyusunda artan elektrik alanla beraber azalmakta ve artan kuyu geniĢliği ile artmaktadır. Bu değiĢimler Grafik 4.2.5 ve Grafik 4.2.6‟de görülmektedir. 54 Grafik 4.2.1 : Yarı sonlu kuantum kuyusunda donor yabancı atom zi=L/4 konumundayken self polarizasyonun farklı kuyu geniĢlikleri (L=100,150,200,250 Å) için elektrik alan Ģiddetine bağlı değiĢimi 55 Grafik 4.2.2 : Yarı sonlu kuantum kuyusunda donor yabancı atomu zi=L/4 konumundayken self polarizasyonun farklı elektrik alan değerleri (F=0,50,100,150 kV/cm) için kuyu geniĢliğine bağlı değiĢimi 56 Grafik 4.2.3: Yarı sonlu kuantum kuyusunda donor yabancı atomu zi=L/4 konumundayken self polarizabilitenin farklı kuyu geniĢlikleri (L=100,150,200,250 Å) için elektrik alan Ģiddetine bağlı değiĢimi 57 Grafik 4.2.4: Yarı sonlu kuantum kuyusunda donor yabancı atomu zi=L/4 konumundayken self polarizabilitenin farklı elektrik alan değerleri (F=50,100,150 kV/cm) için kuyunun geniĢliğine bağlı değiĢimi 58 Grafik 4.2.5: Yarı sonlu kuantum kuyusunda donor yabancı atomu zi= - L/4 konumundayken self polarizasyonun farklı kuyu geniĢlikleri (L=100,150,200,250 Å) için elektrik alan Ģiddetine bağlı değiĢimi 59 Grafik 4.2.6: Yarı sonlu kuantum kuyusunda donor yabancı atomu zi= - L/4 konumundayken self polarizasyonun farklı elektrik alan değerleri (F=0,50,100,150 kV/cm) için kuyu geniĢliğine bağlı değiĢimi 60 Grafik 4.2.7: Yarı sonlu kuantum kuyusunda donor yabancı atomu zi= - L/4 konumundayken self polarizebilitenin farklı elektrik alan değerleri (F=50,100,150 kV/cm) için kuyunun geniĢliğine bağlı değiĢimi 61 Grafik 4.2.8: Yarı sonlu kuantum kuyusunda donor yabancı atomu zi= - L/4 konumundayken self polarizebilitenin farklı kuyu geniĢlikleri (L=100,150,200,250 Å) için elektrik alan Ģiddetine bağlı değiĢimi 62 SONUÇLAR VE TARTIġMA Bu çalıĢmada düzgün elektrik alan altında 𝐴𝑙𝑥 1 𝐺𝑎1−𝑥 1 𝐴𝑠 𝐺𝑎𝐴𝑠 𝐴𝑙𝑥 2 𝐺𝑎1−𝑥 2 𝐴𝑠 sonsuz, 𝑥1 = 𝑥2 = 1, ve yarı sonlu, 𝑥1 = 1 𝑣𝑒 0 < 𝑥2 < 1, kuantum kuyularında donor yabancı atomuna ait bağlanma enerjisi ve donor elektronunun self polarizasyonu hesaplanmıĢtır. Bağlanma enerjisinin ve self polarizasyonunun kuyu geniĢliğine, yabancı atomun konumuna ve elektrik alan Ģiddetine bağlı olarak değiĢtiği bulunmuĢtur. Genel kural olarak, yabancı atom kuyu kenarlarına yaklaĢtıkça ve elektrik alan arttıkça bağlanma enerjisinin azaldığı, self polarizasyonun arttığı bulunmuĢtur. BaĢka bir deyiĢle hapsedilme ve simetri azaldıkça bağlanma enerjisinin azaldığı, self polarizasyonun arttığı sonucuna ulaĢılmıĢtır. Bu sonuçlar literatürle uyum içindedir. 63 KAYNAKLAR 1. AKANKAN O., ERDOGAN I., AKBAS H., 2006, “Spatial electric field effect on the self-polarization in GaAs/AlAs square quantum-well wires”, Physica E, 35, 217–221 2. AKANKAN O., OKAN S.E., AKBAS H., 2005, “Spatial electric field effect in GaAs–AlAs quantum wires”, Physica E , 25 ,535–538 3. AKBAġ H.,EKMEKÇĠ S.,AKTAġ ġ.,TOMAK M., 1995, ”Electric field effect on shallow impurity states in mıltiple quantum –well structures”, Tr. J. of Physics, 19, 381. 4. AKTAġ ġ.,BOZ F., 2004, “The binding energy of a hydrogenic impurity in triple GaAs/AlxGa1-xAs quantum well-wires under applied electric field”, Trakya Univ. J. Sci., 5(2), 159. 5. O. YAMAN “Kuantum kuyu ve tellerinde hapsedilen elektronun özellikleri; elektrik alan ve yabancı atom etkileri” yüksek lisans tezi – Edirne, 2010 6. KARAOĞLU B., 1994, “Kuantum Mekaniğine GiriĢ”, Bilgitek yayıncılık, Ġstanbul. 80 7. AKTAġ ġ., OKAN SE, AKBAġ H., “Electric field effect on the binding energy of a hydrogenic impurity in coaxial GaAs-AlxGa 1-x As quantum well-wires” Supperlattices and Microstructures, 30(3),129-134, 2001 8. KASAPOGLU E., SARĠ H., SOKMEN I.,2003, “Binding energies of shallow donor impurities in different shaped quantum wells under an applied electric field”, Physica B, 339, 17–22 9. KITTEL C, 1996, “Katıhal Fiziğine GiriĢ”( Bekir Karaoğlu), 6.basım,224, BilgiTekyayın.,Ġst. 10. MANUK G., BARSEGHYAN, ALBERT A. KĠRAKOSYAN, 2005,” Electronic states in a step quantum well in a magnetic field”, Physica E , 28, 471–481 11. PACHECO M., BARTICEVIC Z., LATGÉ A., 2001, “Electronic and impurity states in triple quantum wells” Physica B, 302-303, 77. 12. SARI H., KASAPOĞLU E., SÖKMEN I., 2003, “Shallow donors in a triple graded quantum well under electric and magnetic field” Physica B, 325, 300. 13. SARI H., SÖKMEN I., YESILGÜL U., 2004, “Photoionization of donor impurities in quantum wires in a magnetic field” J. Phys. D: Appl. Phys., 37, 674. 14. ULAS M., ERDOGAN Ġ, CĠCEK E, SENTURK DALGIC S. “Self polarization in GaAs-(Ga,A)As quantum-well wires: electric field and geometrical effects”, 2004 64 ÖZGEÇMĠġ Adı Soyadı : Faik GÜNDOĞDU Doğum Yeri ve Yılı : Rize – 1987 Medeni Hali : Bekar Öğrenim Durumu: 2004-2008 : T. Ü. Fen-Edebiyat Fakültesi, Fizik Bölümü (Lisans) 2008-2011 :T. Ü. Fen Bilimleri Enstitüsü, Fizik Anabilim Dalı (Yüksek Lisans) Konu: Sonsuz Ve Yarı Sonlu Kuantum Kuyularında Bağlanma Enerjisi Ve Self Polarizasyon. 2008-2011 : T. Ü. Fen Bilimleri Enstitüsü, Fizik Anabilim Dalı (Yüksek Lisans). Yayınlar: 1-“Antisimetrik Ve Simetrik Kuantum Kuyularında Elektrik Alan Etkisi: Self Polarizasyon Ve Self Polarizebilite” Sunum, Türk Fizik Derneği 27. Fizik Kongresi, Ġstanbul, 2010 65
