iki lazer demeti ile zamana bağlı etkileşim altındaki üç düzeyli bir
advertisement
İKİ LAZER DEMETİ İLE ZAMANA BAĞLI ETKİLEŞİM ALTINDAKİ ÜÇ DÜZEYLİ BİR TUZAKLANMIŞ İYONUN KUANTUM DİNAMİĞİ VE KUANTUM DOLAŞIKLIĞI Bekir DEVECİ DANIŞMAN Yrd. Doç. Dr. Rasim DERMEZ FİZİK ANABİLİM DALI TEMMUZ, 2013 AFYON KOCATEPE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ İKİ LAZER DEMETİ İLE ZAMANA-BAĞLI ETKİLEŞİM ALTINDAKİ ÜÇDÜZEYLİ BİR TUZAKLANMIŞ İYONUN KUANTUM DİNAMİĞİ VE KUANTUM DOLAŞIKLIĞI Bekir DEVECİ DANIŞMAN Yrd. Doç. Dr. Rasim DERMEZ FİZİK ANABİLİM DALI TEMMUZ, 2013 TEZ ONAY SAYFASI Bekir DEVECİ tarafından hazırlanan “İki Lazer Demeti İle Zamana Bağlı Etkileşim Altındaki Üç Düzeyli Bir Tuzaklanmış İyonun Kuantum Dinamiği ve Kuantum Dolaşıklığı” adlı tez çalışması lisansüstü eğitim ve öğretim yönetmeliğinin ilgili maddeleri uyarınca 08/07/2013 tarihinde aşağıdaki jüri tarafından oy birliği/oy çokluğu ile Afyon Kocatepe Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Fizik Anabilim Dalı’nda YÜKSEK LİSANS TEZİ/DOKTORA TEZİ olarak kabul edilmiştir. Danışman Başkan : Yrd. Doç. Dr. Rasim DERMEZ : Prof.Dr. Muhammet YÜRÜSOY İmza AKÜ Teknoloji Fakültesi Üye : Yrd. Doç. Dr. Mehmet ÖZKAN İmza AKÜ Fen-Edebiyat Fakültesi Üye : Yrd.Doç.Dr. Rasim DERMEZ AKÜ Fen-Edebiyat Fakültesi Afyon Kocatepe Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Yönetim Kurulu’nun ........./......../........ tarih ve ………………. sayılı kararıyla onaylanmıştır. Prof. Dr. Mevlüt DOĞAN Enstitü Müdürü İmza BİLİMSEL ETİK BİLDİRİM SAYFASI Afyon Kocatepe Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü, tez yazım kurallarına uygun olarak hazırladığım bu tez çalışmasında; Tez içindeki bütün bilgi ve belgeleri akademik kurallar çerçevesinde elde ettiğimi, Görsel, işitsel ve yazılı tüm bilgi ve sonuçları bilimsel ahlak kurallarına uygun olarak sunduğumu, Başkalarının eserlerinden yararlanılması durumunda ilgili eserlere bilimsel normlara uygun olarak atıfta bulunduğumu, Atıfta bulunduğum eserlerin tümünü kaynak olarak gösterdiğimi, Kullanılan verilerde herhangi bir tahrifat yapmadığımı, Ve bu tezin herhangi bir bölümünü bu üniversite veya başka bir üniversitede başka bir tez çalışması olarak sunmadığımı beyan ederim. 08/07/2013 Bekir DEVECİ ÖZET Yüksek Lisans Tezi İKİ LAZER DEMETİ İLE ZAMANA-BAĞLI ETKİLEŞİM ALTINDAKİ ÜÇ DÜZEYLİ BİR TUZAKLANMIŞ İYONUN KUANTUM DİNAMİĞİ VE KUANTUM DOLAŞIKLIĞI Bekir DEVECİ Afyon Kocatepe Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Fizik Anabilim Dalı Danışman: Yrd.Doç.Dr. Rasim DERMEZ Bir üniter transformasyon kullanılan sunumunda iki lazer demeti ile etkileşen üç düzeyli bir iyonun zamana bağlı hamiltonyeni hesaplandı. Kullanılan üniter transformasyon metot titreşen fonon geçişleri için sunumunun bir dönüşümüdür. Grafiklerdeki beli bir zaman periyodunda Lamb-Dicke rejimine ulaştıktan sonra olasılık genlikleri için analitik sonuçlarımız tamdı. Bu işlemden sonra iyon-fonon sisteminde meydana gelen kuantum dolaşıklık incelendi. Zamandan bağımsız daha önceden yapılmış bilimsel makaleler ışığında zamana bağlı iyon-fonon sistemi anlaşıldı. 12 adet olasılık genliği ile, konkurus, negativity, kuantum entropi ölçümleri aracılığıyla zamana-bağlı etkileşimli iyon-fonon sisteminin kuantum dinamiği ve kuantum dolaşıklığı analiz edilmiştir. 2013, viii + 41 sayfa Anahtar kelimeler: Kuantum Dolaşıklık, Tuzaklanmış iyon, Konkurus, Negativity, Kuantum Entropi, Dolaşıklık ölçüm miktarı i ABSTRACT M.Sc Thesis QUANTUM ENTANGLEMENT AND QUANTUM DYNAMICS OF A THREE LEVEL TRAPPED ION UNDER A TIME-DEPENDENT INTERACTION WITH TWO LASER BEAMS Bekir DEVECİ Afyon Kocatepe University Institute for Natural and Applied Sciences Department of Physics Supervisor: Assist. Prof. Dr. Rasim DERMEZ It is calculated time-dependent Hamiltonion of a three-level ion interacting with two laser beams in shema using aunitary transformation method. The unitariy transformation method transform a sheme for vibrational phonon transitions. The analytical results fort he probability amplutudes become precise after a certain period of time when the Lamb-Dicke regime is reached. It is analyzed the qantum entanglement created in the ion-phonon system. It is studed time dependent ion-phonon system via previus time-independent works. With 12 probability amplitudes, we analytically analyzed quantum dynamics and quantum entanglement in a time-dependent interaction of ion-phonon system via concurrence, negativity and quantum entropy. 2013, viii + 41 pages Keywords: Entanglement, Trapped Ion, Concurrence, Negativity, Entropy, amount of entanglement. ii TEŞEKKÜR Çalışmam süresince bilimsel desteğini hiçbir zaman esirgemeyen, tavsiyeleriyle yol gösteren, çalışmalarım için her türlü imkânı sağlayan Sayın Yrd. Doç. Dr. Rasim DERMEZ’E teşekkürler ediyorum. Ayrıca çalışmalarım boyunca takıldığım her konuda yardımcı olan, vaktinin büyük bir kısmını harcayan lisans ve yüksek lisans arkadaşım Kemal KARA ve Gülden N. GÜNAYDIN’a, tez ve makale çalışmasını destekleyen Michigan Technological University’den Yrd.Doç.Dr. Ö. Durdu GÜNEY’e ve Koç Üniversitesi Fizik Bölümünden Prof.Dr. E.Özgür MÜSTECAPLIOĞLU’na bilimsel desteği için teşekkür ediyorum. Ayrıca her türlü maddi ve manevi desteğini esirgemeyen aileme ve eşime sonsuz teşekkür ediyorum. Bekir DEVECİ AFYONKARAHİSAR, 2013 iii İÇİNDEKİLER DİZİNİ ÖZET ...................................................................................................................... i ABSTRACT .......................................................................................................... ii TEŞEKKÜR ......................................................................................................... iii İÇİNDEKİLER DİZİNİ........................................................................................ iv SİMGELER VE KISALTMALAR DİZİNİ .......................................................... v ŞEKİLLER DİZİNİ ............................................................................................. vii 1. GİRİŞ ........................................................................................................................ 1 1.1 Kuantum Teorisinin Felsefesi ............................................................................ 1 1.2 Kuantum Teorisinin Matematiği ........................................................................ 3 1.2.1 Kuantum Mekaniğinin Postülaları .............................................................. 3 1.2.2 Dirac Gösterimi .......................................................................................... 6 1.2.3 Bralar ve Ketler .......................................................................................... 7 1.2.4 Matris Gösterimi ......................................................................................... 8 1.2.5 Tensör Çarpım ............................................................................................ 8 2. LİTERATÜR BİLGİLERİ ..................................................................................... 10 2.1 Kuantum Bilgi Kuramındaki Temel Kavramlar .............................................. 10 2.1.1 Kübit (Kuantum Bit) ................................................................................. 10 2.1.2 İz Fonksiyonu ........................................................................................... 11 2.1.3 Çoklu Kübitler ve Matris Gösterimi ......................................................... 12 2.1.4 Kübitin Yoğunluk Matrisi ........................................................................ 14 3. MATERYAL ve METOT ...................................................................................... 16 3.1 Zamana Bağlı İki Fotonla Etkileşen Tuzaklanmış İyonun Kuantum Sistemi . 16 4. 5. 6. BULGULAR .......................................................................................................... 22 4.1 Kuantum Dolaşıklığın Ölçümleri..................................................................... 22 4.1.1 Konkurus, Negativity ve Kuantum Entropi .............................................. 22 TARTIŞMA VE SONUÇ ....................................................................................... 35 KAYNAKLAR ....................................................................................................... 38 ÖZGEÇMİŞ ............................................................................................................ 41 iv SİMGELER VE KISALTMALAR DİZİNİ Simgeler Yoğunluk matrisi ψ Dalga fonksiyonu H Hamiltoniyen işlemcisi Fn Fock durum genliği Harmonik tuzaklama frekansı , Ket, Bra C Concurrence N Negativity E Entropy Lamb Dicke Parametresi x,y,z Normalizasyon katsayıları , Olasılık genlikleri h, Planck sabiti, Planck sabitinin 2π’de biri LDP Lamb Dicke Parametresi v Kısaltmalar EPR Einstein Podolsky Rosen KAD Kuantum Anahtar Dağıtımı BB84 Bennett ve Brassard’ın 1984 yılı makalesi GHZ Greenberger-Horne-Zeilinger Kübit Kuantum Bit vi ŞEKİLLER DİZİNİ Sayfa Şekil 2.1 Bir kübitin Bloch küresi temsili (Nielsen and Chuang, 2000)...................... 11 Şekil 3.1 İki foton ile üç düzeyli tuzaklanmış iyonun etkileşiminin gösterimi. ............. 16 Şekil 4.1 a) İki kübitin gösterimi b) İki küdritin gösterimi c) İki kuadritin gösterimi . 22 Şekil 4.2 Verilen Rabi frekansı, harmonik tuzak frekansı, iyonun açısal frekansı için iyon-fonon sisteminin kuantum ölçümü konkurusun belirtilen aralıkta zamana bağlı grafiği ............................................................................................................ 25 Şekil 4.3 Verilen Rabi frekansı, harmonik tuzak frekansı, iyonun açısal frekansı için iyon-fonon sisteminin kuantum ölçümü konkurusun belirtilen aralıkta zamana bağlı grafiği ............................................................................................................ 26 Şekil 4.4 Verilen Rabi frekansı, harmonik tuzak frekansı, iyonun açısal frekansı için iyon-fonon sisteminin kuantum ölçümü konkurusun belirtilen aralıkta zamana bağlı grafiği. ........................................................................................................... 26 Şekil 4.5 Verilen Rabi frekansı, harmonik tuzak frekansı, iyonun açısal frekansı için iyon-fonon sisteminin kuantum ölçümü negativity'nin belirtilen aralıkta zamana bağlı grafiği ............................................................................................................ 28 Şekil 4.6 Verilen Rabi frekansı, harmonik tuzak frekansı, iyonun açısal frekansı için iyon-fonon sisteminin kuantum ölçümü negativity'nin belirtilen aralıkta zamana bağlı grafiği ............................................................................................................ 29 Şekil 4.7 Verilen Rabi frekansı, harmonik tuzak frekansı, iyonun açısal frekansı için iyon-fonon sisteminin kuantum ölçümü negativity'nin belirtilen aralıkta zamana bağlı grafiği ............................................................................................................ 29 Şekil 4.8 Verilen Rabi frekansı, harmonik tuzak frekansı, iyonun açısal frekansı için iyon-fonon sisteminin kuantum ölçümü kuantum entropinin belirtilen aralıkta zamana bağlı grafiği ............................................................................................... 31 Şekil 4.9 Verilen Rabi frekansı, harmonik tuzak frekansı, iyonun açısal frekansı için iyon-fonon sisteminin kuantum ölçümü kuantum entropinin belirtilen aralıkta zamana bağlı grafiği ............................................................................................... 32 Şekil 4.10 Verilen Rabi frekansı, harmonik tuzak frekansı, iyonun açısal frekansı için iyon-fonon sisteminin kuantum ölçümü kuantum entropinin belirtilen aralıkta zamana bağlı grafiği ............................................................................................... 32 vii Şekil 4.11 Verilen Rabi frekansı, harmonik tuzak frekansı, iyonun açısal frekansı için iyon-fonon sisteminin kuantum ölçümünün Schimidt katsayılarının belirtilen zaman aralığındaki grafiği. ..................................................................................... 33 viii 1. GİRİŞ 1.1 Kuantum Teorisinin Felsefesi Tanımı: Parçacık fiğine yönelik klasik mekaniğin özel bir yaklaşımı olan kuantum mekaniği her biri atomun yapı taşları olan atomaltı parçacıkların elektronların, protonların, nötronların, mezonların, muonların, gluonların, fotonların davranışlarını inceler. Ancak, sezilen bu atomaltı yapıtaşları bir araya gelip molekülleri ve makromolekülleri oluşturduklarında, atomaltı parçacıklar gibi davranmamaktadır. Atomları meydana getiren makromoleküller nasıl olurda atomlar gibi davranmaz? Kuantum teorinin ortaya çıkardığı bu bilimsel soruları algılamanın en doğru yolu: dalga girişimi, çift yarık deneyi, Heisenberg belirsizlik ilkesi, Planck sabiti 6.62 1034 J .s , Bohr’un tamamlayıcılık kuramı, EPR paradoksu, Bell kuramı, David Bohm’un kuantum potansiyeli gibi çeşitli gerçek deneylere ve düşünce deneylerine bakmaktır. Tüm evren, dünya ve insan atomlardan oluşmuş ise, kuantum teorisi atomlar için doğruluğu kabul edilir. O zaman tüm evren ve içindeki her ögeye kuantum mekaniğin tüm matematiksel kuralları uygulanması gerekir: A) Gerçekte kuantum mekaniksel olarak hiçbir atomaltı parçacığı ölçemeyiz Ya da B) Kuantum teori bütünüyle kesinlikle yanlıştır ve atomaltı parçacıklara uygulanamaz (Gilmero, 2000). 1900 yılında Planck sabitinin tam doğruluğa yakın bir matematiksel hesapla bulunmasından sonra evren anlayışımız tümüyle altüst oldu. Mewton’cu mekanik yerini evrene bakış acımızı değiştiren kuantum teori aldı. Kuantum mekaniksel yasalar, ⃗ ⃗ (1.1) eşitliğinde olduğu gibi Newtoncu mekaniğin ortaya attığı düşüncelerle değil sağduyumuzla ve içsel sezgilerimizle uyuşmazlık içindedir. Klasik mekanik yasalarındaki potansiyel enerji (1.2) 1 eşitliği gibi çoğu formül, kuantum teorideki atomaltı parçacıklara uygulanamaz olduğu anlaşılmıştır. Yine de kuantum teori, atomaltı parçacıkların fiziksel sistemin ölçüm sonucunu bize önceden haber verir. Bu kuantum teorinin olağan üstü başarısıdır. Bu çalışmada, ilk durumu verilen ion-foton sisteminin son kuantum durumundaki 12 farklı olasılıktaki süperpozisyonu tahmin edildi. Matematiksel eşitliği ket notasyonunda açık olarak verildi. Kuantum teoride konum-momentum kadar enerji-zamanda önemlidir. Parçacıklarda zaman ne denli kısalır ise elde edilecek joule cinsinden enerji miktarı da o denli belirsizleşir. (1.3) Sağdan sola, yada soldan sağa aynı doğrultuda aynı hızda giden elektronların kinetik enerjileri aynıdır ancak momentumları vektörel olarak ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ (1.4) şeklinde zıttır. Proton yada elektron gibi, çok küçük nesneler üzerinde yapılan kuantum ölçümlerin inanılmaz büyüklükte parçacık hızlandırıcıları ile (CERN deki Atlas deneyinde proton atomaltı parçacığını ışık hızına yaklaştırmak için 30 km çapında bir hızlandırıcıda çalışılmıştır) yapılma zorunluluğu kuantum fiziği paradoksunun bir bölümüdür. Heisenberg’in diğer bağıntısından dolayı (1.5) Küçük konum değişimi büyük bir momentumla eşlenir. Matematiksel hesaplar Eş. 1.5 yardımıyla kolayca yapılır. Proton gibi atomaltı parçacıklar gerekli olan Joule cinsinden büyük enerjilere ivmelendirilmek için büyük Hadron çarpıştırıcı makineleri gerekir. Kısaca bahsettiğimiz bu kuantum teoriye Albert Einstein hayatı boyunca şüphe ve eleştiri ile bakmıştır. Niels Bohr ile yüzyüze ve makale bazında atışarak yıllarca rauntlar sürmüştür. Bu bilimsel tartışma EPR makalesine (EPR, 1935) Niels Bohr’un aynı adlı makale ile aynı yıl cevap vermesi ile başlamıştır (Bohr, 1935). 2 1.2 Kuantum Teorisinin Matematiği 1.2.1 Kuantum Mekaniğinin Postülaları Kuantum mekaniği, atomaltı parçacıklı fiziksel dünyanın matematiksel modelidir. 1900 yılından bu yana yüz yılı aşkın süredir gerçekleştirilen kuantum mekaniksel deneyeler deneyler gösteriyor ki doğa bu postülalara uymaktadır. Kuantum mekaniğin beli bükülememiştir. Hiçbir kuantum deneyi ile uyuşmazlığı tespit edilememiştir. Kuantum dünya, 1935’de Albert Einstein’in eleştirdiği ve “Tanrı zar atmaz” dediği Erwin Schrödinger’in dolaşık parçacıklardan (quantum entanglement) bahsettiği olasılıklar kuramına dayanır (EPR, 1935 and Schrödinger, 1935). Bu olasılıklar kuramını daha iyi anlayabilmek için dayandığı postülaları derinlemesine incelemek gerekir. Bu modeli betimlemek için birçok postüla olmasına rağmen beş postülayı iyi irdelemek gerekir. Bu postülaları şöyle sıralayabiliriz; Postüla 1 Yalıtılmış bir fiziksel durum, durum uzayı olarak adlandırılan iç çarpımların tanımlı olduğu karmaşık bir vektör uzayı olan Hilbert Uzayında temsil edilir. Hilbert uzayı (Hilbert space) kompleks sayılar içeren Öklid bir sanal uzaydır. Hilbert uzayında yalıtılmış bir fiziksel sitemin herhangi bir andaki durumu vektörü ile tanımlanır ve bu sistem hakkında her türlü bilgiyi keti üzerinden bulunur. Postüla 2 Yalıtılmış bir kuantum sisteminde, kuantum durumunun zamana bağlı değişimi üniter değişim ile gerçekleştirilir. Sistemin t1 anındaki durumu t1 ile t 2 anındaki durumu t2 arasındaki bağlantı U üniter işlemci ile kurulur ve Schrödinger dalga denklemi tanımlanır. Bu denklem; i d t H t dt (1.6) 3 şeklindedir. Schrödinger denkleminde H Hermityen bir işlemcidir. Kuantum sistemin toplam enerjisi Hamiltonyen olarak bulunur. Eşitlik (3)’de Joule.saniye cinsinden birimli olarak Planck sabiti; h 6, 626 1034 J .s 2 (1.7) dir. Hamiltonyeni bilirsek kuantum sistemin kuantum mekaniksel dinamiği hakkında bilgilere ulaşabiliriz. Postüla 3 Gözlenebilir nicelik fiziksel bir sistemde A ile gösterilirken Hilbert uzayı üzerinde ise  ile gösterilir. Klasik mekanikteki “dinamik değişkenler ile kuantum mekaniğindeki konum, momentum ve enerji gibi gözlenebilirler ile aynı mantığa sahiptirler. Fakat kütle, yük gibi nicelikler basit parametreler olup gözlenebilir sınıfına giremezler. Postüla 4 Yalıtılmış bir fiziksel sistem üniter bir şekilde evrilir. Bu fiziksel sistemde evrimi gerçekleştirmek için dışardan müdahale etmek gerekir. Bu dışardan müdahale sonucu elde edilen ölçüm kuantum ölçüm olur. Kuantum ölçümler M m ölçüm işlemcilerinin kolleksiyonu ile tanımlanırlar. M m işlemcileri arasında; M m M n mn M m , M m M m† ve m M m I (1.8) bağlantısı vardır. Tüm ölçümlerin toplamı “ I ” birim matrise eşittir. Ölçülecek olan fiziksel sistemin uzayına bu operatörler etki ederler. Burada “ m ” indisi deneyde oluşan ölçüm sonucunu gösterir. Ölçüm yapılmadan önce fiziksel sistemin durumu ile gösterilir. Ölçüm sonucunda m gelme olasılığı olan p(m) ; p(m) M m† M (1.9) şeklinde verilirken, ölçüm sonrası fiziksel sistemin durumu; 4 Mm (1.10) M m† M İfadesi ile tanımlanır. v1 , v2 ,..., vn birimdik tabanında izdüşümsel ölçüm işlemcileri; M i vi vi (1.11) İle verilir. Ölçüm yapılmadan önceki fiziksel sistemin durumu üzerinde ölçüm yapılırsa vi 2 olasılığıyla sistem; vi (1.12) durumunda bulunur. M m genel anlamda hermityen değildir fakat olasılığı hesaplamada kullandığımız M m† M m hermityen bir operatördür(Yıldız, 2010). Tüm olasılıklar; v1 2 v2 2 v3 2 .... 1 (1.13) şeklinde yazılır. Denklem (1.12) normalizasyon gereği olmalıdır. Postüla 5 A ve B fiziksel sistemlerinin durumları sırasıyla ve ise AB bileşke fiziksel sistemin Hilbert uzayı H A H B şeklinde olur ve sistemin durumu ise; A B (1.14) şeklindedir. Klasik dünyada, matematiksel olarak 3-boyutlu uzayın üst uzayları anlamamız ve sezgisel olarak kavramamız imkânsızdır. Ama yine de, kuantum teoride, kompleks sanal Hilbert uzayı 4-boyutlu uzay ve üzerine çıkmaktadır. Bu 4 ve üzeri uzayların her birinin birim vektörleri lineer bağımsızdır ve birbirine diktirler. Hilbert uzayının sayısı postüla gereği “n” tanedir “sonsuz” olamaz (Mandel and Wolf, 1995). 5 1.2.2 Dirac Gösterimi Fiziksel bir kuantum sistemi Hilbert uzayı denilen, iç çarpımların tanımlı olduğu sonlu boyutlu karmaşık bir vektör uzayında tanımlıdır. Elektronun uzay kısmı sonsuz boyutlu iken spin kısmı sonlu boyutludur. En basit Hilbert uzayı iki boyutludur. “n” boyutlu vektör uzayı; C n C C ... C n defa (1.15) Şeklinde tanımlanır. Herhangi bir vektör uzayının elemanlarına vektör denir ve “n” boyutlu vektör uzayı olan C n içinde bulunan vektörlerin Ket gösterimi; 1 2 i . . n Ket (1.16) şeklindedir. Burada i karmaşık sayılar içeren vektörlerdir. Bu vektörlerin özellikleri ise; i) (sıra değiştirme) ii) iii) c1 c 2 c i . . c n dağılma özelliği Bir skaler ile çarpma özelliği bu şekilde tanımlanabilirler. 6 1.2.3 Bralar ve Ketler Bir vektör uzayının elemanları, Dirac gösteriminde ket olarak gösterdiğimiz, her bir kete bağdaşık H ’de “dual” farklı bir vektör vardır. Bu dual vektör uzayı H olarak tanımlanır. “Dual vektörler” veya “bralar” olarak adlandırılır. Ketleri sütun vektörleri gibi düşünürsek bralar ise satır vektörleri olur. Bra ile Ket arasındaki ilgi Hermitsel eşlenik † ile etki eder. Her vektörü için H üzerinde skaler çarpım olarak F lineer fonksiyonunu tanımlayalım; F (1.17) şeklinde olur. Bir vektör uzayındaki tüm lineer fonksiyonların kümesi yine bir vektör uzayıdır. F yerine denklem (1.18) tarafından tanımlanan lineer fonksiyon için gösterimi kullanılır. Böylece, keti ve bir brası tanımlanır ve Hilbert uzayı üzerinde; (1.18) yolu ile lineer bir fonksiyondur. Bra ve Ket’i satır ve sütun vektörleri olarak düşündüğümüzde ise bu durum; (toplama) c c c ( skalerle çarpma) c ( c ' nin kompleks eşleniği) † c Bra-Ket terminolojisi, vektörler ve lineer fonksiyonların birbirleri ile bracket(parantez) gösterimini kullanan skaler çarpım yoluyla eşleşmelerinden gelir. Bu terminoloji Dirac tarafından sunulmuştur ve kullanılan bu gösterime Dirac’ın bra-ket gösterimi denir. 7 1.2.4 Matris Gösterimi Bir ketin matris gösterimi Branın matris gösterimi; a1 a2 . . n a1 , a2 ,..., an (1.19 a, b) İç çarpımı ise; b1 b2 a1 , a2 ,..., an . . b n a1b1 a2b2 ... anbn (1.20) olur. 1.2.5 Tensör Çarpım Vektör uzaylarını bir araya getirerek daha geniş bir vektör uzayı oluşturmak için kullanılan bir yöntemdir. Bu yöntem kuantum mekaniğinde çoklu parçacıkları anlamak için oldukça önemli bir yöntemdir. m boyutlu bir H1 ve n boyutlu H 2 iki Hilbert uzayının tensör çarpımı; H H1 H 2 (1.21) m n boyutlu bir uzaydır. Her H1 ve H 2 için H H1 H 2 içinde tanımlı şeklinde gösterilen bir vektör vardır. Vektörlerin tensör çarpım özellikleri ise; 8 i) ii) c iv) c 1 , 2 H1 ve H 2 için 1 iii) c 2 1 2 H1 ve 1 , 2 H 2 için 1 2 1 2 şeklindedir. Kısa gösterim olarak , gösterimlerden herhangi birisi kullanılabilir. 9 bu 2. LİTERATÜR BİLGİLERİ 2.1 Kuantum Bilgi Kuramındaki Temel Kavramlar 2.1.1 Kübit (Kuantum Bit) Bit Kuantum Bit 0 0 1 1 0 1 ( Kübit ara değerler alabilir.) Bit klasik bilginin ve hesaplamanın temel birimidir. Kübit ise bit benzeri kuantum bilgiye karşılık gelen birimdir. Kübit herhangi bir doğrusal kombinasyon a i i i i durumlarının ai genlikleriyle süperpozisyonu olarak adlandırılır. 1 ’de ve kompleks sayılar olup normalizasyon koşulu gereği; 1 2 kübit 2 1 0 1 2 (2.1 a, b) 0 1 olmalıdır ve 0 ayrıca 1 şeklindedir. Kübitin genel olarak kuantum 1 0 durumunun, iki boyutlu sanal vektör uzayında bir vektör olduğunu söyleyebiliriz. Tekli bir kübitin göz önünde canlandırılması için kullanışlı bir yöntem olan Bloch küresi gösterimidir. Fakat Bloch küresi temsili çoklu kübitler için genelleştirilmesi yapılamaz. Bir kübitin durumunun temsil edildiği üç boyutlu küreye Bloch küresi denir ve geometrik yorumu ise; cos 2 0 ei sin 1 2 (2.2) olur. Burada ve açıları üç boyutlu küre üzerinde bir nokta tanımlar(Yıldız, 2010). 10 Şekil 2.1 Bir kübitin Bloch küresi temsili (Nielsen and Chuang, 2000) Kübitin atom, elektron ve foton için gösterimi; atom (kübit ) 1 e g 2 elektron (kübit ) foton (kübit ) (2.3) 1 2 (2.4) 1 H V 2 (2.5) dir (Günaydın, 2011). Kübitin ilk gösterimlerde e ve g sırasıyla atomun uyarılmış ve taban düzeyini göstermektedir. Kübitin ikinci gösteriminde ve sırasıyla elektronun yukarı ve aşağı spin yönelimlerini yönelimlerini göstermektedir. Kübitin üçüncü gösterimi H ve V sırasıyla fotonun polarizasyonunun yatay ve dikey yönelimlerini göstermektedir. 2.1.2 İz Fonksiyonu Bir matrisin izi (trace) bu matrisin köşegen elemanlarının toplamı olarak tanımlanır ve iz benzerlik dönüşümleri altında değişmez ve ; n iz ( A) Aii (2.6) i 11 şeklinde gösterilir ve iz fonksiyonunun özellikleri aşağıdaki gibidir. iz A B iz ( A) iz ( B) iz(cA) ciz( A) iz( AB) iz( BA) iz( ABC) iz(CAB) iz( BCA) c Bir operatörün izi aynı zamanda matris gösteriminin izidir. İz özdeğerlerinin toplamına eşittir. A i i i i iz ( A) i i i i i i (2.7) Burada i özdeğerleri temsil eder ve; iz (UAU † ) iz (UU † A) iz ( A) İz üniter iz ( A ) i A i i A A dönüşüm altında değişmez. Beklenen değer operatörüdür. i 2.1.3 Çoklu Kübitler ve Matris Gösterimi Tensör çarpım, vektör uzaylarını bir araya getirerek daha geniş bir vektör uzayı oluşturmak için kullanılan bir yöntemdir. Bu yöntem çok parçacıklı kuantum sistemlerin kuantum mekanik yapısını anlamak için çok önemli bir yöntemdir. K ve L sırasıyla m ve n boyutlu Hilbert uzayları olsun. K L tensör çarpımı mn boyutlu vektör uzayı olur. K L ’nin elemanları; K ’nın k ve L ’nin l elemanları arasındaki tensör çarpımlarının lineer kombinasyonları olur. Uygun matris gösterimleri Kronecker çarpım olarak adlandırılır. A; m n , B; p q matrisleri ve tensör çarpımı; 12 A11 A21 A . . A m1 A12 ... A1m A22 ... A2 m . . . . Am 2 ... Amm B11 B21 B . . B n1 B12 ... B1n B22 ... B2 n . . . . Bn 2 ... Bnn A11 B A12 B ... A1n B A21 B A22 B ... A2 n B A B A . . . . . . A B A B ... A B m2 mn m1 (2.8) olarak verilir. Çoklu kübitte öncelikle iki kübiti göz önüne almak gerekir. İki tane klasik bitten 00,01,10 ve 11 yazılımı ile dört mümkün durum oluşur. Bunun iki kübitli sistemde karşılığı, 00 AB , 01 AB , 10 AB ve 11 AB tensör çarpımlarıyla gösterilen hesapsal baz durumlarına sahiptir. Bu dört bazın tensör çarpımı; 1 1 1 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 1 0 10 1 0 0 1 0 1 01 0 0 0 0 1 1 11 0 1 (2.9)(a,b,c,d) olur. Kübitlerin bir çifti bu dört durumdan herhangi iki durumun üst üste binmesi durumunda var olabilir. İki kübitli kuantum durumunda, her bir hesapsal baz durumunun ayrı ayrı bulunma olasılık genlikleri vardır(Dermez 2005). İki kübitli tanımlayan durum vektörü; 00 01 10 11 (2.10) formunda yazılabilir. Burada ise; 13 1 2 2 2 2 (2.11) durum vektörlerinin olasılık yoğunlukları normalizasyon gereği bir olur. Hilbert uzayında tanımlı olan yukarıdaki baz vektörlerinin dışında farklı baz vektörleriyle tasvir etmek de mümkündür. Bu baz vektörlerinin en yaygın olarak kullanılanı Bell durumu olarak adlandırılan vektörlerdir. Bunlar; 1 00 2 1 01 2 1 00 2 1 01 2 00 11 01 10 11 10 11 10 (2.12 a,b,c,d) vektörleridir. Bell durumlarından herhangi birinde bulunması halinde durumu alt sistemlerin durum vektörlerinin çarpımı formunda yazılma imkânı yoktur. Bu tip durumlara dolaşık durum denir. Yukarıdaki bu dört durum literatüre geçen iki kübit için mevcut dört dolaşık durumlar (entangled state) denir (Yıldız, 2010). 2.1.4 Kübitin Yoğunluk Matrisi Bir kübiti daha önce; kübit 1 0 1 2 (2.13) olarak tanımlandığını göstermiştik. kübit yoğunluk matrisi; kübit (2.14) 14 olarak tanımlanır. Eğer kübitin matrisini bu şekilde tanımlayabilirsek “saf durumdadır” denir. Hermityen bir matristir. Yoğunluk matrisi † özeşleniktir. Buna göre kübitin saf veya karışık durumda olduğunu belirlemek için izine (iz ) bakılır. iz 1 saf durum 2 (2.15 a, b) iz 1 karışık durum 2 koşulu sağlanır. Kübitin saf durumunu incelediğimizde; 1 0 1 2 1 0 0 0 1 2 1 1 0 0 2 0 0 0 1 0 1 2 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 2 1 1 elde edilir. Bu durumda ’nın izi alınamaz ve köşegenleştirilmesi gereklidir. Bu yoğunluk matrisinin öz değerleri; 1 2 det I 1 2 1 2 2 2 1 1 0, 0, 1 2 2 2 1,2 0,1 olarak elde edilir. Köşegenleştirilmiş matris ise; 1 0 0 0 1 0 iz ( ) 2 iz 0 0 iz ( ) 2 1 ( D) olarak bulunur. Bu durum kübitin saf durumda olduğunu gösterir. İşlemlerde kullandığımız yoğunluk matrisi, olasılık dağılımlarının kuantum karşılığıdır (Dermez, 2005) 15 3. MATERYAL ve METOT 3.1 Zamana Bağlı İki Fotonla Etkileşen Tuzaklanmış İyonun Kuantum Sistemi Üç düzeyli iyonun dolaşık olmadan önceki hali; qutrit ion 1 g r 2 (3.1) e photon 1 photon 2 r g Şekil 3.1 İki foton ile üç düzeyli tuzaklanmış iyonun etkileşiminin gösterimi. İyonları tuzaklama düşüncesi yeni değildir, ilk iyon tuzağını, 1936′da F.M. Penning tasarlamıştır. Günümüzde kullanılanlar da, hâlâ bu öncülerin geliştirdiği ilkelere dayanmaktadır. İlk deneyler, binler ve milyonlar basamağındaki çok sayıda iyonla yapılıyordu; bu yüzden tüm sırları açığa vurmuyordu. Yıllar geçtikçe, araştırmacılar, tuzaklanan iyon sayısını birkaça indirmeyi amaçladılar. 1978′de, Federal Almanyalı P.Toschek ile ABD’li Hans Dehmelt ve arkadaşları, bir tuzak içinde, birkaç baryum iyonundan oluşan bir iyon bulutu elde etmeyi başardılar; zaman zaman, iyon sayısının bire indiği bile oluyordu. Tuzak düzeneğini, bir mıknatısın oluşturduğu düşey bir manyetik alana yerleştirelim; kapaklara artı, halkaya ise, eksi birer elektrik gerilimi uygulayalım. Manyetik alanın varlığı, iyonun yatay düzlemde kalmasını sağlar; çünkü iyonun, manyetik alanca belirlenen eksen etrafında daire biçiminde yörüngeler izlemesine neden olur. Bu da, 16 elektrik kuvvetlerinden gelen kararsızlığı dengeler. Böylece, Penning tuzağı, iyonu, uzayın üç doğrultusunda da kapatmayı gerçekleştirmiş olur. Paul'ün önerisinde ise, yalnızca elektrik alanları kullanılır; yalnız bu kez, elektrik alanları, zamana bağlı olarak hızla değişirler. Bu durumda, iyonun hareketi, sabit elektrik alanları durumundakine benzer olarak incelenecektir: Önce, halka artı gerilimdeyken, kapaklar eksi gerilimde olsun. Gerilimler, zamanın fonksiyonu olduğundan, başlangıçta merkezde bulunan iyon, merkezden uzaklaşmaya başlayacaktır; bir süre sonra da, halka ve kapak gerilimlerinin işaretleri değiş tokuş olunca, halka eksi ve kapaklar artı gerilime geçeceklerinden, iyon, kapakların itme etkisi ile merkeze gelerek, yatay doğrultuda uzaklaşmaya başlayacaktır. Yine gerilimlerin işareti değişecek, hareket düşey doğrultuya geçecek ve böyle sürüp gidecektir. Böylece de iyon, kutunun içindeki küçük bir bölgede hareket etmeye zorlanmış ya da tuzaklanmış olacaktır. Paul'ün yöntemi, Penning'inkinden daha uygundur; çünkü tuzaklanmış iyonların durdurulmasına da izin verir. Oysa Paul'ün yöntemindeki daire biçimindeki hareket durdurulamaz. lyon tuzağı düzeneğinde yapılan bir deney, ardışık birçok işlemden oluşur. edildiklerinden, iyonlaşırlar. Sistemin (iki foton-üç düzeyli iyon) ilk durumu şöyledir; 0 (0) ( x g y r z e ) Fn n (3.2) n 0 foton iyon Bu çalışmadaki iyon-foton sisteminde, z 0, x 1 1 , y alınmıştır. 2 2 Fn: Fock sayıları şu şekilde; Fn e 2 2 n n! gösterilir. Özel bir durum aldık; 17 (3.3) 1 g r 0 1 2 (0) 3 düzeyli iyon (3.4) foton Schrödinger dalga denkleminin son durumu final u n e, n n r , n wn g , n (3.5) n 0 Genel Formül şeklinde olur. Üç düzeyli iyonla iki fotonun etkileşmesi sonucunda özel durum 3 final (özel ) un e, n n r , n wn g , n n 0 u0 e, 0 u1 e,1 u2 e, 2 u3 e,3 (3.6) 0 r , 0 1 r ,1 2 r , 2 3 r ,3 w0 g , 0 w1 g ,1 w2 g , 2 w3 g ,3 aldık. İyon seviyelerinin matrisle gösterimi, 1 e 0 0 0 r 1 0 0 g 0 1 (3.7) şeklindedir. Fotonların matris gösterimi, 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 2 1 0 1 0 3 0 1 şeklindedir. Matris gösterimleri yerine yazıldığında (3.8) 12 terim içeriyor. ’de 12 terim içereceğinden dolayı; final final 12 12 (yoğunluk matrisi) 18 (3.9) olacak. Bu matrisi hesaplamak zor olacağından dolayı biz bu çalışmada bunu Triyon ( iyon foton) foton (3 3) (3.10) matrisine indirgiyoruz (reduced density matris). İndirgenmiş yoğunluk matrisi ( s ) kuantum mekaniğinde kullanışlı bir yöntemdir. İndirgenmiş yoğunluk matrisi, bilgi entropisi ve matrisin PPE gibi yöntemlerle mümkün olmaktadır. Son birkaç yıldır bu yöntemlere ilaveten, kuantum kuantum dolaşıklık tomografisi, atomik ve fotonik dolaşık durumları nitelendirmek için kullanılmaktadır. Tek foton Fock durumlarını kullanarak, optiksel kübitleri değerlendirmek için kuantum durum tomografisi kullanılmıştır (Kwiat et al., 2003). Ayrıca iki ve üç spinli sistemler için elde edilen 8×8 boyutundaki yoğunluk matrisi sonuçları, durum tomografisi ile nitelendirilmiştir (Nielsen and Chuang, 2000). Physical Review A 68, 023811 (2003) makalesinde tuzaklanmış, iyon-foton sisteminin etkileşme yaptığı gözlenmiş ve Schrödinger dalga denklemi çözülmüştür (süperpozisyon). Bu sonuca göre genel sonucu özel sonuca indirgeyip negativity, konkurus ve kuantum entropi yardımıyla sistemde kuantum dolaşıklık olup olmadığına baktık ve bir sonraki bölümde yapılan ölçümler detaylı olarak verilmiştir. Eşitlik (3.6 ‘daki iyon-fonon sisteminin 12 tane katsayısı aşağıdaki gibi hesaplanmıştır: u0 t 1 i t 2iN (t ) e e M r 0 t 2 (3.11) u1 t 1 i t 2iN (t ) e e M r1 t 2 (3.12) u2 t 1 i t iN (t ) e e M g 2 t 2 (3.13) u3 t 1 i t 2iN (t ) e e M g 3 t 2 (3.14) v0 t i 2 t eiNt M e1 t e2iNt M r 0 t i t e 19 2iN t M1 t (3.15) v1 t 2e e iN t iN t M g 2 t i 3 t e v2 t 2i t e e M e1 t 2i t e iN t iN t 2iN t w0 t i 2 t e e iN t 2 iN t iN t iN t 2 iN t M e1 t e M g 2 t i 3 t e w3 t i 6 t e iN t M r 0 t (3.16) 2 iN t M r1 t (3.17) M g 3 t 2iN t iN t M g 2 t e 2iN t 2iN t M e 2 t i t e M g 3 t (3.18) M r1 t 2 iN t (3.19) M r 0 t (3.20) M g 2 t 2iN t 2iN t iN t M r 0 t i t e 2 iN t M e1 t 2e 2 iN t M e 2 t i 2 t e M e 2 t i 3 t e M e1 t 2i t e iN t M e 2 t i t e M g 3 t iN t M r1 t i 2 t e w2 t 2i t e e M e1 t 2e M g 2 t i 3 t e v3 t i 6 t e w1 t 2e iN t 2 iN t M e 2 t i 2 t e 2iN t M r1 t M g 3 t M e 2 t i 3 t e iN t M g 2 t e Burada exponansiyel ifadedeki N t v t dt 2iN t (3.21) M g 3 t (3.22) cosh eg t t dt dir. Yukarıda 2 2eg verilen 12 eşitlikteki bazı katsayılar ise sırasıyla, Rabi frekansı t sinh eg t , zamana bağlı harmonik tuzak frekansı v t sinh eg t 2 , iyonun açısal frekansı eg 5 1014 Hz , Lamb-Dicke parametresi (Lamb-Dicke parameter) t k 2 k 2mv t ; ise heriki fotonun da dalga boyunu gösterir ve 0.01 ’dir. bu küçük değer de alınarak normalizasyon koşulu “1” sağlanır. k t M ip t i, p buradaki kuantum durumunda i , elektronik düzeyler olan ip (e, r , g ) ’yi gösterirken p , ise titreşim kuantum numaraları olan (0,1, 2,3) ’ü temsil etmektedir. ve t terimlerinin birinci mertebeleri için M ip t olasılık genlikleri; 20 1 i t 1 iv t t t M e 0 t cos v t t t sin v t t t e 2 2 2 (3.23) 1 iv t t M e1 (t ) cos v t t t e 2 (3.24) M e 2 (t ) i t 5 2iv t t sin v t t t e 5 2 (3.25) M r 0 (t ) 3 iv t t sin v t t t e 3 2 (3.26) M r1 (t ) 5 2ivt t i t 3 2 cos v t t t e 2 5 5 2 (3.27) 1 i t 1 iv t t t M g1 (t ) sin v t t t cos v t t t e 2 2 2 (3.28) M g 2 (t ) 3 iv t t 2 sin v t t t e 3 2 (3.29) M g 3 t 5 2iv t t 3 i t 1 cos v t t t e 5 2 (3.30) şeklindedir. M e3 t M r 2 t M g 0 t 0 birinci mertebeden terimleri yoktur. 21 4. BULGULAR 4.1 Kuantum Dolaşıklığın Ölçümleri 4.1.1 Konkurus, Negativity ve Kuantum Entropi Dolaşıklık iki kubit için çok daha iyi anlaşılmaktadır. İki parçacıklı dolaşık durum Erwin Schrödinger tarafından matematiksel olarak formülleştirilmiştir. İki seviyeli sistemler kübit, üç seviyeli sistemler küdrit, dört seviyeli sistemler kuadrit olarak adlandırılırlar. Bizim bu çalışmadaki iyon-fonon sistemimiz 3x4=12 boyutlu Hilbert uzayında kütrit-kuadrit şeklinde tanımlanmıştır. Şekil 4.1 a) İki kübitin gösterimi b) İki küdritin gösterimi c) İki kuadritin gösterimi İki kübitin temel durumun Schmidht formunda ifadesi, 2 ki ii (4.1) i 1 22 ile gösterilir ve k1 , k2 Schmidht katsayılarıdır. Schmidht katsayıları normalizasyon şartına uyarlar. k12 k22 1 (4.2) A ve B ile adlandırılmış iki kübitin oluşturduğu bir sistem için tanımlı dört EPR-Bell durumu mevcuttur. Bu 4 EPR-Bell matematiksel gösterimi Eşitlik (2.12 a,b,c,d)’de verilmiştir. İki parçacıklı sistemin en küçük boyutu “d” ile tanımlıdır. d boyutunun değerleri 0 ve 1 alındığında AB sisteminin Schmidt formunda ifadesi, p0 0A 0B p1 1A 1B (4.3) şeklinde formüledir. Burada p0 ve p1 indirgenmiş yoğunluk matrisin özdeğerleridir. ifadesinin normalizasyon koşuluna uyması beklenir ki p0 + p1 ifadesi her zaman “1” e eşittir. Matris olarak ifade edilecek EPR-Bell durum fonksiyonlarını ayrı ayrı eşlenikleri ile çarptığımızda AB sisteminin yoğunluk matrisini elde ederiz. AB i i (4.4) EPR-Bell durumlarının her birinin yoğunluk matrisi hesap edilip indirgenmiş yoğunluk matrisleri bulunduğunda her birinin aynı matris sonucunu verdiği görülür. 1 A 2 0 0 1 2 (4.5) İndirgenmiş yoğunluk matrisi A TrB AB şeklinde tanımlıdır. TrB B üzerinden kısmi iz olarak bilinmektedir. Schmidt katsayıları A ’nın özdeğerlerinin kareköküdür. A ’nın özdeğerleri “1/2” dir. Böylece Schmidt katsayıları, k1 , k2 1 2 (4.6) değerlerini almıştır. 23 İki kuantum dolaşıklık ölçümü: Konkurus ve Negativity: Dolaşıklığın ölçüsü olan konkurus ifadesi (Dermez and Soner, 2010), C 2 1 Tr A2 2 1 pi2 i (4.7) şeklindedir. Dolaşıklığın bir diğer ölçüsüde negativity tanımıdır. İki parçacıklı sistemin negativity eşitliği ise, 2 ki 1 i N d 1 (4.8) sistemin boyutu “d=2” alındığında konkurus “1” ve negativity ifadelerimiz “0.5” değerini vermektedir. Bu “1” değeri 4 EPR-Bell durumunun maksimum dolaşıklık miktarını belirtir. Konkurus ve negativity denklemlerini tekrar düzenler isek: C 2 1 2 1 3 2 3 N (4.9) 2 ( 1 2 1 3 2 3 ) d 1 (d=3, 3 düzeyli iyon) (4.10) şeklinde olur. Diğer bir dolaşıklık ölçüsü kuantum entropi formülü; E 1 ln 1 2 ln 2 3 ln 3 (4.11) şeklindedir. Son üç matematiksel formüldeki katsayıları 12 boyutlu tüm iyon-fonon sisteminin 3 boyuta indirgenmiş yoğunluk matrisinin üç özdeğerleridir. Frekansı zamanla değişen iyon-fonon kuantum sistemi için, bu denklemler kullanılarak mathematica programında zamana bağımlı olarak grafikler çizdirilmiştir. 24 Konkurus grafikleri; 1. Concurrence 0.75 0.5 0.25 0 1.65 10 14 3. 10 14 Time Şekil 4.2 Verilen Rabi frekansı, harmonik tuzak frekansı, iyonun açısal frekansı için iyon-fonon sisteminin kuantum ölçümü konkurusun belirtilen aralıkta zamana bağlı grafiği Şekil 4.2’de, Eşitlik (4.9) ile birinci kuantum ölçümü konkurusun saniye cinsinden zamana bağımlı grafiği mathematica programında çizdirilmiştir. Zamana bağımlılığı Rabi frekansı ( ) ( ) değeri ile verilen iki foton Şekil (3.1) de gösterildiği gibi üç-düzeyli tuzaklanmış iyonla kuantum mekaniksel olarak etkileşmiştir. Bu etkileşim sonucu iyon-fonon kuantum sisteminin 12 özel kapling katsayıları Eşitlik (3.13) ile Eşitlik (3.22) arasında verilmiştir. Ö. E. Müstecaplıoğlu’nun Physical Review A 2003 makalesinde sistem 0-sonsuz arasında titreşim fonunlu olarak gözlemlenen bir kuantum sistemdi. Schrödinger dalga denkleminin çözümünde sistem, bu çalışmada 12x12 Hilbert uzayı boyutuna sınırlandı. Sınırlı Hilbert uzaylı bu boyuttaki özel kapling katsayıları yardımıyla indirgenmiş yoğunluk matrisi mathematicada hesaplanmıştır. Daha sonraki matematiksel işlemler öngörüsünde, özdeğerlerinin kombinasyonu olan Eşitlik (4.9) konkurus formülü ile iyon-fonon sisteminde kuantum dolaşıklık olup olmadığı test edilmiştir. Şekil 4.2’de yapılan ilk testte, maksimum kuantum dolaşıklığın geleneksel değeri konkurus ölçümü Cmax=1.0 değeri, saniyede görülmüştür. Kuantum dolaşıklık grafikte Gaussian bir eğri ile etkindir. Gaussian eğri boyunca kuantum dolaşıklık, konkurus ölçümüyle sırasıyla C=2.5, C=5.0 ve C=7.5 değerlerini almıştır. Eğrinin diğer yarısında konkurus değerleri tersden bir yönelim göstermiştir. 25 Grafikte Gaussian’in sonuna bakılırsa, s’de kuantum dolaşıklık sıfıra çok yakın değerler almaktadır, yani kuantum dolaşıklık gözlenmemiştir (disentanglement). 1. Concurrence 0.75 0.5 0.25 0 1.65 10 14 9. 10 14 Time Şekil 4.3 Verilen Rabi frekansı, harmonik tuzak frekansı, iyonun açısal frekansı için iyon-fonon sisteminin kuantum ölçümü konkurusun belirtilen aralıkta zamana bağlı grafiği Kuantum dolaşıklığın ne kadar daha süre boyunca sıfır olacağı, teorik ve deneysel kuantum bilgi teorisi için merak konusudur. Sürenin tespiti için konkurus-zaman grafiği Şekil 4.3 çizdirilmiştir. Şekil 4.3’e göre ion-fonon kuantum sisteminde dolaşık olmama durumu yada sıfır kuantum dolaşıklık aralığında - Concurrence gerçekleşmiştir. Yani konkurus bu aralık boyunca sıfıra yakın değerler almaktadır. 3. 10 8 1. 10 8 0. 9. 10 14 3. 10 13 Time Şekil 4.4 Verilen Rabi frekansı, harmonik tuzak frekansı, iyonun açısal frekansı için iyon-fonon sisteminin kuantum ölçümü konkurusun belirtilen aralıkta zamana bağlı grafiği. 26 Şekil 4.4 de iyon-fonon kuantum sisteminin zaman aralığında konkurus grafiği görülmektedir. Aralık boyunca kuantum dolaşıklık 16 kez pik yapmıştır. Ancak C değeri sıfıra yakın değerler olan 27 ve dir. Negativity grafikleri; 0.5 Negativity 0.4 0.3 0.2 0.1 0 1.65 10 14 3. 10 14 Time Şekil 4.5 Verilen Rabi frekansı, harmonik tuzak frekansı, iyonun açısal frekansı için iyon-fonon sisteminin kuantum ölçümü negativity'nin belirtilen aralıkta zamana bağlı grafiği Şekil 4.5’de, Eşitlik (4.10) ile ikinci kuantum ölçümü negativity’nin saniye cinsinden zamana bağımlı grafiği mathematica programında çizdirilmiştir. Şekil 4.5’de yapılan ikinci kuantum ölçüm testinde, kuantum dolaşıklığın değeri N=0.5 değeri, saniyede görülmüştür. Negativity değeri conkurus Cmax=1.0 maksimum değerinin yarısıdır. Bu farklılık Eşitlik (4.9) konkurusun matematiksel formülü ile Eşitlik (4.10) negativity formülünden kaynaklanmaktadır. Kuantum dolaşıklık grafikte Gaussian bir eğri ile etkindir. Gaussian eğri boyunca kuantum dolaşıklık, negativity ölçümüyle sırasıyla N=0.1, N=0.3 ve N=0.4 değerlerini almıştır. Eğrinin diğer yarısında negativity değerleri tersden bir yönelim göstermiştir. Grafikte Gaussian’in sonuna bakılırsa, s’de kuantum dolaşıklık sıfıra yakın değerler aldığı, yani kuantum dolaşıklık gözlenmemiştir (disentanglement). 28 0.5 Negativity 0.4 0.3 0.2 0.1 0 1.65 10 14 9. 10 14 Time Şekil 4.6 Verilen Rabi frekansı, harmonik tuzak frekansı, iyonun açısal frekansı için iyon-fonon sisteminin kuantum ölçümü negativity'nin belirtilen aralıkta zamana bağlı grafiği Kuantum dolaşıklığın ne kadar daha süre boyunca sıfıra çok yakın değerler alacağı, teorik ve deneysel kuantum bilgi teorisi çalışmalarında test edilmiştir. Sürenin tespiti için negativity-zaman grafiği Şekil 4.6 çizdirilmiştir. Şekil 4.6’a göre ion-fonon kuantum sisteminde dolaşık olmama durumu yada sıfır kuantum dolaşıklık aralığında gerçekleşmiştir. Bir başka ifade ile ikinci - kuantum ölçüm negativity bu aralık boyunca sıfıra yakın değerler almaktadır. Negativity 1.3 1.3.10 10 88 8. 10 9 0. 9. 10 14 3. 10 13 Time Şekil 4.7 Verilen Rabi frekansı, harmonik tuzak frekansı, iyonun açısal frekansı için iyon-fonon sisteminin kuantum ölçümü negativity'nin belirtilen aralıkta zamana bağlı grafiği 29 Şekil 4.7 de iyon-fonon kuantum sisteminin zaman aralığında ikinci kuantum dolaşıklık ölçümü negativity-zaman grafiği görülmektedir. Aralık boyunca kuantum dolaşıklık 11 kez pik yapmıştır. Ancak N değeri sıfıra yakın değerler olan ve aralığında azalıp artmaktadır. 30 Entropy grafikleri; 0.7 Entropy 0.5 0.25 0 1.65 10 14 3. 10 14 Time sec Şekil 4.8 Verilen Rabi frekansı, harmonik tuzak frekansı, iyonun açısal frekansı için iyon-fonon sisteminin kuantum ölçümü kuantum entropinin belirtilen aralıkta zamana bağlı grafiği Şekil 4.8’de, Eşitlik (4.11) ile üçüncü kuantum ölçümü kuantum entropi’nin saniye cinsinden zamana bağımlı grafiği mathematica programında çizdirilmiştir. Şekil 4.8’de yapılan üçüncü kuantum ölçüm testinde, kuantum dolaşıklığın değeri E=0.7 değeri, saniyede görülmüştür. Kuantum entropinin dolaşıklık değeri E=0.7, konkurus Cmax=1.0 ile N=0.5 negativity değerinin arasındadır. Bu farklılık Eşitlik (4.9) konkurusun matematiksel formülü ile Eşitlik (4.10) negativity formülünden kaynaklanmaktadır. Kuantum dolaşıklık grafikte Gaussian bir eğri ile etkindir. Gaussian eğri boyunca kuantum dolaşıklık, kuantum entropi ölçümüyle sırasıyla E=0.25 ve E=0.5 değerlerini almıştır. Eğrinin diğer yarısında kuantum entropinin kuantum dolaşıklık değerleri tersden bir yönelim göstermiştir. Grafikte Gaussian’in sonuna bakılırsa, s’de kuantum dolaşıklık sıfıra yakın değerler almaktadır. 31 0.7 Entropy 0.5 0.25 0 1.65 10 14 6.2 10 14 Time sec Şekil 4.9 Verilen Rabi frekansı, harmonik tuzak frekansı, iyonun açısal frekansı için iyon-fonon sisteminin kuantum ölçümü kuantum entropinin belirtilen aralıkta zamana bağlı grafiği Kuantum dolaşıklığın etkileşim boyunca daha ne kadar süre boyunca sıfıra çok yakın değerler alacağı, teorik ve deneysel kuantum bilgi teorisi çalışmalarında test edilmiştir. Sürenin tespiti için kuantum entropi-zaman grafiği Şekil 4.9’da çizdirilmiştir. Şekil 4.9’a göre iyon-fonon kuantum sisteminde dolaşık olmama durumu yada sıfır kuantum dolaşıklık – aralığında gerçekleşmiştir. Bir başka ifade ile üçüncü kuantum ölçüm kuantum entropi bu aralık boyunca sıfıra yakın değerler Entropy almaktadır. 8. 10 15 4. 10 15 6.2 10 14 3. 10 13 Time sec Şekil 4.10 Verilen Rabi frekansı, harmonik tuzak frekansı, iyonun açısal frekansı için iyonfonon sisteminin kuantum ölçümü kuantum entropinin belirtilen aralıkta zamana bağlı grafiği 32 Şekil 4.10 da iyon-fonon kuantum sisteminin zaman aralığında üçüncü kuantum dolaşıklık ölçümü kuantum entropi-zaman grafiği görülmektedir. Aralık boyunca kuantum dolaşıklık 10 kez pik yapmıştır. Ancak kuantum entropi E değeri sıfıra yakın değerler olan ve aralığında azalıp artmaktadır. 1.0 0.8 SCs 0.6 0.4 0.2 0.0 0 5. 10 15 1. 10 14 1.5 10 14 2. 10 14 2.5 10 14 3. 10 14 t Şekil 4.11 Verilen Rabi frekansı, harmonik tuzak frekansı, iyonun açısal frekansı için iyon-fonon sisteminin kuantum ölçümünün Schimidt katsayılarının belirtilen zaman aralığındaki grafiği. 3x3 indirgenmiş yoğunluk matrisinin üç tane özdeğerinin zamana göre grafiği Şekil 4.11’de farklı renklerde verilmiştir. Ancak üçüncüsü çok küçük değerde olduğu için grafikte gözükmemektedir. Bu üç Schmidt katsayısının toplamı kuantum mekaniksel normalizasyon gereği “1” olmalıdır. Kuantum mekaniğin temel postülası Şekil 4.11’de açık olarak gözükmektedir. Kuantum mekaniksel normalizasyon şartı 3 n 1 i 1 2 3 1 (6.13) şeklindedir. Şekil 4.11 de, Schmidt katsayısının birincisi 0 ile 0,6 arasında artarken, ikinic Schmidt katsayısı 1 ile 0,6 arasında azalmaktadır. Böylelikle, toplam kuantum 33 olasılığın zaman aralığında tüm saniyelerde “1” eşitlenmesini göstermektedir. 34 5. TARTIŞMA VE SONUÇ Kuantum dolaşıklık, çoklu Hilbert uzayı içinde bir noktada oluşan herhangi bir olayın yalnızca olayın yakın çevresindeki etkilere bağlı olduğu durumları açıklar. Kuantum mekaniğinde, klasik fizikten farklı olarak, dolaşıklık, teleportasyon gibi uzaktan etkileşimler ortaya çıkar. Kuantum dolaşıklığı (entanglement) ile nesneler birbirinden ayrı-uzak, ancak yine de kuantum iletişim halinde bulundukları bir kuantum durumu ifade eder. Ancak bu kuantum sistemi açık değil izole bir sistemdir. Klasik fizikte buna benzer muadil olabilecek bir durum söz literatürde kaydedilmemiştir. Yaptığımız kuantum mekaniksel anlamda, bir gözlem-ölçüm bununla ilişkili olabilecek diğerini uzaklıktan bağımsız olarak etkiler. Genelde kuantum düzeyi küçük ölçekli parçacıkların düzeyi olarak düşünülürse de, küçük kavramı aslında fiziksel bir boyutu bildirmez. Kuantum sonuçları metrelerce hatta ışık yılları boyunca etki edebilecegi öngörülmektedir. Kuantum dolaşıklık durumu elektronların spinleriyle açıklayabiliriz. Başlangıçta spini olmayan bir sistemden, spini olacak iki parçacık salınır. Bu salınan parçacıklar (elektron gibi) zıt yönlerde uzaklaşır. Kuantum kuramı, iki parçacığın spin ölçümünün ancak iki değer verebileceğini söyler: yukarı spin ve aşağı spin gibi olmalıdır. Toplam spinin sıfır olması için biri yukarı ise diğeri mutlaka aşağı spinli olmalıdır. Parçacık spinlerine ilişkin bir ölçüm yapılmamışsa, yukarı ve aşağı durumlu spinler üst üste binme durumunda olurlar. Birinin spinine yönelik bir ölçüm yapılırsa ve spini belirginleşirse (yukarı ya da aşağı) diğerinin de spini, ilk ölçülen parçanın spiniyle toplanınca sıfır olacak şekilde belli olur. Bu uzaktan etki ya da dolaşıklık durumudur. Bu durum, birbirlerinden ne kadar uzakta olurlarsa olsunlar değişmez. Biri dünyada, diğeri 2,36 milyon ışık yılı uzaktaki Andromeda galaksisinde olsun, aynı sonucu görürüz. Kuantum dolaşıklık en iyi şekilde Einstein-Podolsky-Rosen (EPR) düşünce deneyi ile ortaya konulmuştur. Bu düşünce deney Albert Einstein, Boris Podolski ve 35 Nathan Rosen’ın adlarını taşır. “Doğanın Kuantum Mekaniksel Betimlemesi Tamamlanmış Kabul Edilebilir mi?” adlı makalelerinde (EPR,1935), kuantum mekaniğinde mikro evrensel nesnelerin dalga fonksiyonu çökmesini belirten ψ-psi fonksiyonunun, tamamlanmış bir betimleme olmadığı sonucuna varmışlardı. Einstein ışıktan hızlı giden bir haberleşme aracısını kabul etmeyip, kuantum kuramının “tam” olmadığını öne sürdü. Adını “tekinsiz uzaktan etki” olarak değiştirdi. Gereken eksik değişkenlere de “gizli değişkenler kuramı” dendi. Daha sonraki dönemlerde David Bohm gibi inatçılarla gizli değişkenler kuramı daha belirgin bir üstün güven kazandıysa da, John Bell (1964) ve Alain Aspect (1982) bu düşünceyi matematiksel ifadelerle sınırlamayıp (Bell eşitsizliği) deneylerle de doğruladılar. Dolayısıyla, gizli değişken diye bir beklenti olamayacağını göstermiş oldular. Tüm nesneler birbiriyle ilişkilidir ve bu atomsal gerçekliğin temel bir özelliğidir. Kuantum dolaşıklık kuantum mekaniğin temel argümanlarını test etmek için en güvenilir bir yol olduğu görülmüştür. Küdit dolaşık durumlar, tekli kuantum durumlarda ve tuzaklanmış iyonda fiziksel olarak modellenebilir (Dermez and Özen, 2008; Dermez and et.al 2012; Dermez and Khalek, 2011). Zamana bağlı olmayan Rabi frekansıyla etkileşen tuzaklanmış iyonda C=1.0 miktarında dolaşık durumlar deneysel çalışmalara yol gösterebilir (Dermez and Müstecaplıoğlu 2009). Temiz kuantum durumlarda (pure entangled states) iyonun olasılık genliklerini sınırlamadan yapılana konkurus hesaplarında sistemde kuantum dolaşıklığın optimum değerlerinin x=0.707 olduğu, bununda kritik bir eşik olduğu gösterildi (Dermez and Özen 2010). Bizde bu çalışmada zamana bağlı Rabi frekansı içeren iki fotonla üç düzeyli tuzaklanmış iyonun kuantum dolaşıklığını inceledik. Yani iyon-fonon sisteminin çözülmüş Schrödinger denklemi üzerinden konkurus, Negativity ve kuantum Entropi aracılığı ile kuantum dolaşıklığın olup olmadığı üzerinde odaklandık. İki fotonla etkileşen iyonda kuantum dolaşıklık durumların fiziksel ölçümleri ve sonuçları Mathematica paket programında hesapları yapıldı ve bu paket programın da iki boyutlu (Plot2D) çizdirildi. Grafiklerde C=1, N=0,5 ve E=0,7 kuantum dolaşıklık miktarları bulundu. Şekil 4.2 de birçok güncel çalışma gibi maksimum kuantum dolaşıklık değeri tespit edildi. 36 Dolaşıklığın zamanla, konkurus, Negativity ve kuantum entropi ile ölçümü yapıldı. Önceki çalışmalardan farklı olarak Lamb Dicke parametresinin (eta) zamana bağlı (time-dependent) olarak alındı. Tuzaklanmış iyonun bulunma olasılık genlikleri x 1 1 , y ,z0 2 2 ve bu katsayılar birinci mertebeden (first order) olarak alındı. Farklı zaman dilimleri için 9 oadet dolaşıklık-zaman grafikleri çizdirilip yorumları yapıldı. Bu grafiklerin Gaussian fo7nksiyonu şeklinde bir pik verdiği üç farklı kuantum ölçüm testinde de gözükmüştür. Zamana bağlı iyon-fonon sisteminde tespit edilmiş 1.0 ile 0,5 aralığındaki kuantum dolaşıklık ölçümleri başka tuzaklanmış iyon sistemleri için örnek olabilir. Tuzaklanmış iyon fiziğinde yapılacak çalışmalara örnek olabilir. Özellikle grafiklerdeki zaman dilimleri deneysel çalışmalar için yol gösterici olabilir. Kuantum bilgi teorisi ve kuantum hesaplamadaki dolaşık durumlar konusundaki bilimsel çalışmalar ivmeli olarak sürmektedir. Kuantum bilgi teorisindeki bu çalışmalar, kuantum mekanik konusundaki temel ilkeleri kullanmasına rağmen yeni, önemli ve çok 7şfarklı bir boyutta gelişmeler sunmaktadır. Kuantum bilgisayar, kuantum iletişim, kuantum tele aktarım gibi teknolojinin bir çok alanında uygulama bulacaktır. Tuzaklanmış iyondaki kuantum dolaşıklık konusu deneysel ve teorik olarak son yıllarda önemini arttırmıştır. 37 6. KAYNAKLAR Abdel-Aty, M. 2005. Information entropy of a time-dependent three-level trapped ion interaction with a laser field. J. Phys. A, 38, 8589-8602. Aspect, A., Grangier, P. and Roger, G. 1982. Experimental realization of EinsteinPodolsky-Rosen-Bohm Gedankenexperiment: A new violation of Bell’s inequalities. Phys. Rev. Lett., 49, 91-94. Bell, J.S. 1964. On the Einstein Podolsky Rosen paradox. Physics 1, 195-200. Bell, J.S. 1966. On the problem of hidden variables in quantum mechanics. Rev. Mod. Phys., 38, 447-452. Can, M.A. 2004. Entanglement in atom-photon systems. PhD thesis. Bilkent University, 88 p., Ankara. Çelik, A, Dermez, R, Kuantum Anahtar Dağıtımında Bell Eşitsizliğinin ihlalinin gösterilmesi, September 2009, 26. Balkan Fizik Kongresi, Bodrum, Türkiye Çakır, Ö. 2005. Robust entanglement in atomic system. PhD thesis. Bilkent University, 107 p., Ankara. Çamursoy, O. 2003, Yüksek Lisans Tezi, Fen Bilimleri Enstitüsü, Ankara Üniversitesi, Ankara. Dermez, R. 2005. Kuantum bilgi teorisinde atomik ve fotonik dolaşıklık. PhD tezi. Osmangazi Üniversitesi, 116 s., Eskişehir. Dermez R. and Ozen S., Higher dimensional entangled qudits in trapped three-level ion, International Laser Physics Workshop (LPHYS'08), June 30to July 4, (2008), NorwegianUniversity of Science and Technology (NTNU), Trondheim, Norway Dermez, R. ve Müstecaplioglu, Ö.E. 2009, Long-lived entangled qudits in a trapped three-level ion beyond the Lamb-Dicke limit. Phys. Scr., 79, 015304. 38 Dermez R. and Özen S. 2010, Maximum quantum entanglement and linearity in the second-order terms of the Lamb-Dicke parameter, Eur. Phys. J. D., 57, 431 Dermez R. and Khalek S. A. 2011, Atomic Wehrl entropy and negativity as entanglement measures for qudit pure states in a trapped ion, J. Russ. Laser Res., 32, 287 Dermez, R. and GÜNAYDIN, G.N., 2010, Characterization of quantum Entanglement with concurrence and negativity in a three-level trapped ion, Adım Fizik Günleri, Kocatepe Univ., Afyonkarahisar Dermez R. and ÇAĞ, M.A., 2008, Negativity an Concurrence As Entanglement Measures for qubits, qutrits and quadrits., Turkish phys. soc. 24th inter. phy. congress, Kocatepe Univ.,Afyonkarahisar Dermez R , S.A. Khalek , K. Kara, B. Deveci and G.N. Günaydin, Full-Trapped Three-Level Ion In The Lamb-Dicke Limit: Analayzing and Comparing Quantum Entanglement Measures of Two Qudits, 2012 Journal of Russian Laser Resarch 33,42 Dermez R., B. Deveci and D.Ö. Güney, Quantum Dynamics Of A Three-Level Trapped Ion Under A Time-Dependent Interaction With Laser Beams, 2013 The European Physics Journal D, 67,120. D. Dehlinger, M. Mitchell . Quant-ph.1 (27 Mayıs 2002) Duru, A. 2006. Intrinsic entanglement of photons. M. Sc. thesis. Bilkent University, 44 p., Ankara. Einstein, A., Podolsky, B. and Rosen, N. 1935. Can quantum mechanical description of physical reality be considered complete? Phys. Rev., 47, 777-780. Greenberger, D. M., Horne, M. A. and Zeilinger, A. 1989. Quantum theory and conceptions of the universe, Kluwer Academic Publishers, 107 p., Dordrecht. Jennewein, T.D. 2002. Quantum communication and teleportation experiments using entangled photon pairs. PhD thesis. Vienna University, 141 p., Vienna. 39 Mandel, L. and Wolf, E., 1995, Optical coherence and quantum optics, Cambridge University Press, Cambridge, 310 p. Mustecaplioglu, O.E. 2003. Motional macroscopic quantum superposition states of a trapped three level ion. Phys. Rev. A, 68, 023811. Niels Bohr, 1935, Can quantum-mechanical description of physical reality be considered complete?, Phys. Rev., 48, 696-702. Özen, S. ve Dermez, R. 2009. Negativity and Concurrence computation of 4 EPR-Bell states for two qubits. BPL, 16, 161046. Özen S. and Dermez R., Negativity and Concurrence Computation of 4EPR-Bell States for Two-Qubits 25th International Physics Congress,25-19 August (2008), BodrumTurkey (BALKAN PHYSICS LETTERS, 16,161046,2009) Robert Gilmore, Alice in Quantumland, Bir kuantum alegorisi, Alice Kuantum Diyarında, Çeviren: Filiz Kaynak, Güncel Yayıncılık, Aralık 2000. Schrödinger, E. 1935. Discussion of probability relations between seperated systems. Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 31, 555-562. Schrödinger, E., 1935, Naturwissenschaften, 23, 807, 823, 844; English translation in Quantum Theory of Measurement, edited by J.A. Wheeler and W.H. Zurek, 1983, Princeton University Press, Princeton. Yıldız, B., 2010, Kuantum dolaşıklık ve eş evresizlik, Yüksek Lisans Tezi, Hacettepe Üniversitesi, Ankara Zeilinger, A. , April 2000, Quantum teleportation, Scientific American, 32-41. Zeilinger, A., Horne, M.A., Weinfurter, H. and Zokowsky, M., 1997, Three-particle entanglements from to entangled pairs, Phys. Rev. Lett., 78, 3031-3033. 40 ÖZGEÇMİŞ Adı Soyadı : Bekir DEVECİ Doğum Yeri : Afyonkarahisar Doğum Tarihi : 01.12.1986 Medeni Hali : Evli Yabancı Dili : İngilizce Eğitim Durumu (Kurum ve Yıl) Lise : Afyon Lisesi, 2001-2004 Lisans : Afyon Kocatepe Üniversitesi, Afyonkarahisar 2005-2009 Tezsiz Yüksek Lisans : Afyon Kocatepe Üniversitesi, Afyonkarahisar 2009-2010 Yüksek Lisans Afyon Kocatepe Üniversitesi, Afyonkarahisar 2010-2013 : Uluslararası konferans ve Sempozyumlardaki Tebliğler 1. R. Dermez , S.A. Khalek , K. Kara, B. Deveci and G.N. Günaydin, FullTrapped Three-Level Ion In The Lamb-Dicke Limit: Analayzing and Comparing Quantum Entanglement Measures of Two Qudits, 2012 Journal of Russian Laser Resarch 33, 42 2. R. Dermez, B. Deveci and D. Ö. Güney, Quantum Dynamics Of A Three-Level Trapped Ion Under A Time-Dependent Interaction With Laser Beams, 2013, The European Physics Journal D 3. B. Deveci, Quantum Entropy of Long Living Entanglement in a TimeDependent Three-Level Trapped Ion, 2011, Afyon Kocatepe Üniversitesi FenEdebiyat Fakültesi, Fizik Bölümü, Bölüm Semineri 41
