asal sayılar

ASAL SAYILAR
Eratosthenes ( Eratosten ) Kalburu
yardımıyla asal sayıları bulurken;
1- 1’in üzerine çarpı atın.
2- 2’yi yuvarlak içine alıp 2’nin
katlarının üzerine çarpı atın.
3- 3’ü yuvarlak içine alıp 3’ün
katlarının üzerine çarpı atın.
4- 5’i yuvarlak içine alıp 5’in
katlarının üzerine çarpı atın.
5- 7’yi yuvarlak içine alıp 7’nin
katlarının üzerine çarpı atın.
Kazanım : Asal sayıları özellikleriyle belirler.
Doğal sayıların asal çarpanlarını belirler.
ASAL SAYILAR
 1 ve kendisinden başka hiçbir sayma
sayısına tam bölünemeyen 1’den büyük
doğal sayılara asal sayılar denir.
 En küçük asal sayı 2’dir. 1 asal sayı
değildir. Çünkü; bir sayının asal sayı
olabilmesi için iki tane böleninin
bulunması gerekir. 1 sayısı yalnızca
kendine bölündüğü için asal sayı
içerisinde yer almaz.
 Asal sayılardan sadece 2 çifttir. Diğer
tüm asal sayılar tektir.
Bu işlemlerin sonucunda çarpı atılmamış
sayıları yuvarlak içine alınız. Yuvarlak
içine alınmış sayılar asal sayılardır.
1 ile 100 arasındaki asal sayılar :2, 3, 5, 7,
11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47,
53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97
İki basamaklı bir sayının asal olup
olmadığını anlamak için sayının
sırasıyla 2, 3, 5 ve 7 ile tam
bölünüp bölünemediğine bakılır.
Eğer bölünmüyorsa sayı asaldır.
ÖRNEK: 5A iki basamaklı doğal sayısı
asal sayı olduğuna göre A’nın alabileceği
değerlerin çarpımını bulunuz.
1’den 100’e kadar olan doğal
sayılardan asal olanları belirlemede
kullanılan aracın adı Eratosthenes
( Eratosten ) Kalburu’dur.
5A
53, 59
A = 3, 9 olabileceğinden 3.9 = 27’dir.
ÖRNEK: B1 iki basamaklı doğal sayısı
asal sayı olduğuna göre B’nin alabileceği
değerlerin toplamını bulunuz.
1
ASAL SAYILAR
DOĞAL SAYILARIN ASAL
ÇARPANLARINA AYRILMASI
ÖRNEK: Aşağıdaki sayıların asal
çarpanlarını bulunuz.
Bir doğal sayının çarpanlarından asal
olanlarına bu doğal sayının asal çarpanları
denir. Bir doğal sayının asal çarpanlarını
bulurken iki yöntem kullanılır. Bu
yöntemler çarpan ağacı yöntemi ve asal
çarpan algoritması (bölen listesi)
yöntemidir.

48

64

75
ÖRNEK: 20 sayısının asal çarpanlarını
bulunuz.

36

96
1.YOL: (Asal Çarpan Ağacı)
20
2
ÖRNEK: 24.32 şeklinde asal çarpanlarına
ayrılan sayıyı bulunuz.
10
2
2
24.32 = 2.2.2.2.3.3
5
20 = 2.2.5
= 16 . 9
= 144
20 = 2.2.5 olduğundan
20 = 22.5 ‘tir.
20’nin asal çarpanları 2 ve 5’tir.
ÖRNEK: Aşağıda asal çarpanlarının
çarpımı şeklinde verilen sayıları bulunuz.
2.YOL: (Bölen Listesi)
20
10
5
1
2
2
5
2 ile bölme işlemi
bitmeden 3’e, 3 ile bölme
işlemi bitmeden 5’e, 5 ile
bölme işlemi bitmeden
7’ye geçilmez. 1’i elde
edene kadar işlem devam
eder.
20 = 2.2.5
= 22.5
20’nin asal çarpanları 2 ve 5’tir.
2

22.3.5 =

2.32.72 =

32.5.7 =

22.52.7 =

25.7 =
ASAL SAYILAR
ÖRNEK:
A
2
2
3
3
5

Yanda A sayısının
asal çarpanlarına
ayrılmış hali
verilmiştir. Buna
göre A sayısı kaçtır?
A = 2.2.3.3.5
= 4.9.5
= 180
ÖRNEK: 280  2a.5b.7c Yanda 280
sayısının asal çarpanlara ayrılmış hali
verilmiştir. Buna göre a + b + c’nin
değerini bulunuz.
ÖRNEK: Aşağıda asal çarpanlarına
ayrılmış hali verilen sayıları bulunuz.




B
280
140
70
35
7
1
2
2
5
7
A
2
2
2
5
7
ÖRNEK: Aşağıda bazı sayıların asal
çarpanlarına ayrılmış hali verilmiştir. Buna
göre, harflere karşılık gelen sayıları
bulunuz.
2
2
3
11
C 2
2
2
3
3
5
D
E 2
2
3
5
5
2
3
3
3
3

100  2a.5b

84  2a.3b.7c a = ?
b=?
c=?

120  2a.3b.5c a = ?
b=?
c=?

270  2a.3b.5c a = ?
b=?
c=?

144  2a.3b
a=? b=?
a=? b=?
ASAL SAYILAR
ÖRNEK: 36 kg pirinç ve 42 kg bulgur
birbirine karıştırılmadan ve hiç artmayacak
şekilde eşit büyüklükte poşetlere
paketlenecektir. Buna göre, poşetler en çok
kaç kg olmalıdır?
Kazanım : İki doğal sayının ortak bölenleri ile
ortak katlarını belirler; ilgili problemleri çözer.
İKİ DOĞAL SAYININ ORTAK
BÖLENLERİ VE KATLARI
Pirinç ve bulgur özdeş poşetlere
paylaştırılacağından poşetlerin ağırlığı hem
36’yı hem 42’yi bölen bir sayı olmalıdır.
 Birden fazla sayının ortak bölenlerini
bulabilmek için bu sayıların ayrı ayrı
bölenleri bulunur ve ortak olanlar
alınır.
36 1
42 1
2
2
3
3
4
6
6
7
9 12 18 36
14 21 42
ÖRNEK: 24 ile 36 doğal sayılarının ortak
bölenlerini bulunuz.
Poşetler en çok 6 kg olmalıdır.
24 = 1 x 24
24 = 2 x 12
24 = 3 x 8
24 = 4 x 6
ÖRNEK: 45 lt Ayçiçek yağı ve 35 lt
zeytinyağı birbirine hiç karıştırılmadan ve
hiç artmayacak şekilde eşit hacimli şişelere
doldurulacaktır. Buna göre, bu şişelerin
hacmi en çok kaç lt olmalıdır?
24 1
36 1
2
2
36 = 1 x 36
36 = 2 x 18
36 = 3 x 12
36 = 4 x 9
36 = 6 x 6
3
3
4
4
6
6
8
9
12 24
12 18 36
Ortak bölenleri = 1, 2, 3, 4, 6, 12
Ortak bölenlerinin en büyüğü = 12
ÖRNEK: Boyutları 12 m ve 16 m olan
dikdörtgen şeklindeki bir odanın zemini
özdeş kare şeklindeki fayanslarla
döşenecektir. Buna göre, özdeş fayansların
bir kenarının uzunluğu en fazla kaç m our?
ÖRNEK: Aşağıdaki doğal sayıların ortak
bölenlerinin en büyüğünü bulunuz.

30 – 40

27 – 36

25 – 35

32 – 60

16 – 24
Kare fayansların bir kenarı hem 12’yi hem
de 16’yı bölen bir sayı olmalıdır.
12
16
1
1
2
2
3
4
4
8
6
16
Fayansların bir kenarı en fazla 4 m
olmalıdır.
4
12
ASAL SAYILAR
ÖRNEK: Uzun kenarı 25 cm, kısa kenarı
30 cm olan bir mukavvanın üzerine hiç
boşluk kalmayacak şekilde eşit büyüklükte
kareler çizilecektir. Karenin bir kenarının
uzunluğu en çok kaç cm olur?
ÖRNEK: Macera Ormanı’na geziye giden
Güneş Ortaokulu 6 – A öğrencileri 4’erli
ve 6’şarlı sıra olabiliyorlar. Buna göre,
6 – A sınıfından en az kaç öğrenci geziye
katılmıştır?
Öğrenciler 4’erli sıra olabildiğine göre
öğrenci sayısı 4’ün bir katı olmalıdır.
Öğrenciler 6’şarlı sıra olabildiğine göre
öğrenci sayısı 6’ınn bir katı olmalıdır.
 Birden fazla sayının ortak katlarını
bulabilmek için bu sayıların ayrı ayrı
katları bulunur ve ortak olanlar alınır.
Öğrenci sayısı hem 4’ün hem de 6’nın bir
katıdır.
4’ün katları = 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32,
36 …
ÖRNEK: 15 ve 20 doğal sayılarının ortak
katlarını bulunuz.
6’nın katları = 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42 …
15’in katları = 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105,
120 …
20’nin katları = 20, 40, 60, 80, 100, 120 …
Geziye katılan öğrenci sayısı en az 12’dir.
ÖRNEK: Bir çiçekçi elindeki gülleri 5’erli
ve 8’erli demetlere ayırabiliyor. Buna göre,
çiçekçide gül sayısı en az kaçtır?
15 ve 20’nin ortak katları = 60, 120 …
15 ve 20’nin ortak katlarının en küçüğü =
60
ÖRNEK: Aşağıdaki doğal sayıların ortak
katlarının en küçüğünü bulunuz.

8 – 12
ÖRNEK: Kenar uzunlukları 6 cm ve 8 cm
olan dikdörtgen şeklindeki kartonlarla kare
şeklindeki bir mukavva hiç boşluk
kalmayacak şekilde kaplanacaktır. Buna
göre, oluşacak karenin bir kenarı en az kaç
cm olur?

4 – 14

9 – 15

5–9
Karenin bir kenarı hem 6’nın bir katı hem
de 8’in bir katı olmalıdır.

18 – 24
6’nın katları = 6, 12, 18, 24, 30 …
8’in katları = 8, 16, 24, 32 …
Karenin bir kenarının uzunluğu en az 24
cm olmalıdır.
5
ASAL SAYILAR
ÖRNEK: İki hemşireden biri 3 günde bir,
diğeri 5 günde bir nöbet tutmaktadır.
Hemşirelerin ikisi de aynı gün nöbet
tuttuktan kaç gün sonra tekrar nöbetleri
aynı güne denk gelir?
ALIŞTIRMALAR

36

42

75

90

120

135

150
1- Aşağıda verilen doğal sayıların asal
çarpanlarını bulunuz.

25

32

45

80

100

140
2- Aşağıda verilen doğal sayıları asal
çarpanlarına ayırınız ve asal
çarpanların çarpımı şeklinde yazınız.

12

20
6
ASAL SAYILAR
3- Aşağıda asal çarpanlarının çarpımı
şeklinde yazılmış olan doğal sayıları
bulunuz.
5- Aşağıda verilen asal çarpanlarına
ayrılmış hali verilen doğal sayıları
bulunuz.

A  23.5.7


B  32.72

C  22.3.11
A 2
2
2
2
3
5

D  2.3.52


E  2 .3 .7

F  32.5.72
B 2
3
3
3
5

C 2
2
3
5
7

D
2
2
4- Aşağıda verilen eşitliklerde a, b ve c
yerine yazılması gereken sayıları
bulunuz.

132  2a.3b.11c

168  2a.3b.7c

189  3a.7b

350  2a.5b.7c

108  2a.3b

600  2a.3b.5c
7
2
2
2
2
5
ASAL SAYILAR


E
F
7- Aşağıda verilen doğal sayıların ortak
katlarının en küçüğünü bulunuz.
2
2
2
5
11
3
3
5
11
6- Aşağıda verilen doğal sayıların ortak
bölenlerinin en büyüğünü bulunuz.

8 – 10

18 – 24

14 – 21

20 – 30

12 – 15

20 – 36

4–7

6–8

10 -12

6 – 15

12 – 16

4 – 10
8- 30 kg ve 42 kg’lık çuvallarda bulunan
unların tamamı birbirine
karıştırılmadan eşit ağırlıklı paketlere
konulacaktır. Buna göre, bu paketlerin
ağırlığı en fazla kaç kg olmalıdır?
8
ASAL SAYILAR
9- Uzunlukları 15 m ve 20 m olan iki tel
hiç artmayacak ve en büyük uzunluğa
sahip olacak şekilde eşit parçalara
ayrılacaktır. Buna göre, her bir telin
uzunluğu kaç m olur?
10-
12-
1 1
 işlemini yapacak olan Atahan,
5 6
kesirlerin paydalarını en az kaçta
eşitleyebilir?
13- Güneş Koleji teneffüs zillerinden
1.kademeninki 30 dk’da, 2.
kademeninki 40 dk’da bir çalmaktadır.
Zillerin ikisi birden aynı anda çaldıktan
en az kaç dk sonra birlikte çalar?
36
kesrinin en sade halini bulmak
40
isteyen Dinçer, kesrin pay ve paydasını
aynı sayıya bölecektir. buna göre,
Dinçer’in sadeleştirme yapacağı
sayının en büyük değeri kaçtır?
11- Esra Öğretmen 6 - B sınıfındaki
öğrencilerini 3’erli ve 4’erli olacak
şekilde sıralara yerleştirebiliyor. Buna
göre, 6 – B sınıfının mevcudu en az kaç
öğrencidir?
ESRA ÇAKIR
9