π - π π π π π π π

3   ifadesini düşündüğümüzde ise, içerisinin
işaretinin eksi olduğunu görüyoruz, küçük bir
sayıdan büyükçe bir sayı çıkarıldığı için. O halde,
içerisi eksi olduğundan dışarıya çıkarırken bir eksi
ile daha çarpmamız lazım, ki sonucumuz adam
akıllı çıksın.
MUTLAK DEĞER
Bu konu, 25 basamaktan oluşmaktadır. Her
basamağı dikkatlice anlayıp, öğrendiğinizde,
mutlak değer konusunun mantığını anlayıp, bu
konuyla ilgili soruları çözüyor olacaksınız
Yine zorlanılan konularımızdan bir tanesi daha 
Mutlak değerin içi sizi yakar, dışı beni misali…
İlköğretimden beri gösterilmesine rağmen,
mantığını hala kavrayamamış olan arkadaşlar
zorlanıyorlar. Bazı kavram yanılgıları da bu
anlaşılmazlığı tetikliyor. Örneğin, mutlak değer
dışarıya daima pozitif olarak çıkıyorsa, niye bazen
lxl=-x olarak yazıyoruz? Bunu az sonra
açıklayacağım zaten… Mutlak değer, anlam olarak
uzaklığı ifade eder aslında. Uzaklık belirttiği için de,
negatif olamaz kesinlikle. Uzaklığı, 3,5,10,0 olarak
belirtebiliriz ama “-2 br uzaklık” demeyiz. Bu
bakımdan mutlak değerin sonucu kesinlikle negatif
değildir. l5l=l-5l=5 olduğunu herkes biliyor
sanırsam, yani 5 in mutlak değeri ile -5 in mutlak
değeri aynıdır ve sonuç 5 tir. Mutlak değerin birçok
özelliği aslında bu basit gerçekten geliyor. Sadece
işin içine değişkenler, köklü sayılar falan girdiğinde
öğrenciler biraz afallıyor, yoksa zor bir şey yok
cidden. Bu gerçeklerden şu çok önemli olan ve her
zaman aklımızda kalması gereken özellikleri
çıkarabiliriz;
Mutlak değerin içinin pozitif olduğundan eminsek,
mutlak değeri iptal edip dışarıya aynen çıkarabiliriz.
Mutlak değerin içinin negatif olduğundan eminsek
de, mutlak değeri iptal edip, dışarıya eksi ile
çarparak çıkarırız içeridekileri.
Yukarıda yaptığımız şey bu idi, ve hep bunu
düşüneceğiz.
l5l için, içerisi pozitif olduğundan dışarıya aynen
yazdık. l-5l için, içerisi negatif olduğundan, dışarıya
çıkarırken eksi ile çarptık ki, pozitif gelmesini
garantileyelim, yani l-5l=-(-5)=+5=5
Hemen de bir örnek vereyim;
  3 ifadesini
3    (3   )  3      3 olur. –x+y
ile y-x aynı şeydir, bu aklımızda kalsın… İki mutlak
değer örneğinde de sonuçların pozitif olduğuna
dikkat edelim. Ayrıca görüldüğü üzere;
  3 = 3   =   3 oluyor. Yani işimize, π de
w
w
w
.
s
a
h
i
n
h
o
c
a
.
c
o
m
karışsa, x de, y de, 5 ile -5 ten farkı yok, biri
diğerinin eksilisi ise.
Şimdi, lxl=-x olayını açıklamaya çalışayım. Bu özellik
verilirken şöyle söylenir; Eğer x sıfırdan küçükse,
yani x<0 ise, lxl=-x olur. “Hani mutlak değer
dışarıya eksi çıkmazdı, sonuç hiç eksi olmazdı, ee
burada eksi olmuş, bize niye yalan söylüyorsunuz,
şimdiye kadar kandırıldık mı yani?!!!” Az sabretsen
söyleyeceğim zaten yeğenim  Soluklan, nefes al
biraz. Şimdi, burada aslında sonuç eksi gibi görünse
de eksi değil, şimdiye kadar da siz kandırılmış
değilsiniz, sadece yeterli açıklama yapılmadı sizlere
sanırsam  Sonuç eksi değildir. Çünkü x zaten
sıfırdan küçük kabul edilmiş, yani bu özellikte x
zaten negatif bir sayı, yani içinde görünmeyen bir
eksi var zaten. Değişken olarak belirtildiği için
görülmesi zor oluyor. Burada, x in kendi içinde bir
eksisi var işte, bir de önündeki eksi var, yukarıda
yazıldığı gibi. Bu ikisinin çarpımı da pozitif
olduğundan sonuç pozitiftir, sanılanın aksine. Bir de
örnekle açıklarsak, x yerine 3 gibi bir sayı
yazamayız zaten, çünkü özellik, sıfırdan küçük
sayılara yönelikmiş. Diyelim ki x i -7 aldınız dışarıya
nasıl çıkıyormuş; –x olarak, x de -7 olduğuna göre, (-7)=+7 gördünüz mü? Sonuç pozitif işte. Demek ki
buradan ne ders çıkarıyoruz: Sadece görünene
bakmayacağız,
dış
görünüşe
göre
yargılamayacağız, olayları, insanları, özellikleri
veya -x i. Önemli olan görünmeyene inanmaktır,
görünmeyene
inanırsanız,
farkınız
olur,
başkalarının görmediklerini görürsünüz 
düşünürsek, π sayısı 3,14 gibi bir sayı olduğundan,
içerisi pozitif olur, çünkü büyük bir sayıdan küçük
bir sayıyı çıkarıyoruz. İçerisi pozitif olduğuna göre
de, dışarıya aynen çıkarırız.   3    3 olur.
Şahin Danişman
Sayfa 1
 Basamak1:
Bu sorularda temel mantığımızı düşünürsek,
hemencecik buluruz. İçerisi pozitifse aynen
çıkarıyoruz, negatif ise eksi ile çarparak.


2  x  3 ise x  2  x  3  ?
C:1

2 5  3 7  7  5 
3  x  4 ise x  3  x  4  x  7  ?
C:14-x
C:1


2  3  1 3  2  5 
C:2z-x-y
C: 5  1


C:5-2x
2
 5 
C: 5  
 a=b+6 ve b=c-3 ise;
a b  c a
?
c b
C:1
 Basamak2:
Mutlak değerin içerisi pozitif mi negatif mi olur.
Sadece işareti belirlemek için uygun değeri verip
kontrol edebilirsiniz. Gerisi de temel mutlak değer
mantığımızla gelecek işte. içerisi pozitifse, aynen
çıkaracaksınız, negatif ise eksi ile çarparak
çıkaracaksınız… Hadi sizin için bir örnek çözeyim;
0<x<y olsun. O zaman; lx-yl+ly-xl-lxl-ly+3l ifadesinin
eşitini sorulsun… Sadece işareti belirlemek için; x=3
ve y=5 alırsak; lx-yl in içi eksi olur, dışarı –x+y çıkar;
ly-xl in içi artı olur, dışarı y-x çıkar; lxl in içi artı olur,
dışarı x çıkar; ly+3l ün içi artı olur, dışarı y+3 çıkar.
O halde hepsini yerine yazarsak; –x+y+ y-x-x-(y+3)=
–x+y+ y-x-x-y-3=-3x+y-3 olur.


x  0 ise 3x  7 x  6  4 x  ?
C:14x-6
5  
C: 5  

x  0 ise 3  x  2  x  ?
x2  1 
C: x  1

x  y  z ise x  y  z  x  y  z  y  x  ?
a  b  0 ise a  b  a  b  a  b  ?
w
w
w
.
s
a
h
i
n
h
o
c
a
.
c
o
m

x  4 iken 4  x  3x  5  11 ise x  ?
C: 1
2
 Basamak3:
Köklü ifadelerde daha anlamlı olacak ama, mutlak
değerle ilgili olarak sorulduğu için ve çokça
karşılaştığımız için burada bir değinelim dedik 
Eğer kökün derecesi ile içerideki sayının kuvveti
aynı ve tek sayı ise kök iptal olur, ifade dışarıya
aynen çıkar. Eğer kökün derecesi ile içerideki
sayının kuvveti aynı ve çift sayı ise kök iptal olur ve
içerideki ifade dışarıya mutlak değer olarak çıkar.
Kesinlikle buna dikkat edelim… Örneğin,
3
 4
3
 2

2
ifadesi
için,
x  0  y ise x  y  x  2 y  x  3  ?
terimde
dereceler eşit ve tek olduğu için dışarıya aynen
çıkarılır, ikinci terimde dereceler eşit ve çift sayı
olduğu için dışarıya mutlak değer olarak çıkarılır.
-4+l-2l=-4+2=-2 cevap olur…

7
 6
7

 5
2
4

 

4
2
3 1  1 2  ?
 C: 3  2  3
C:-3a+b

ilk

a  0  b ise 5 a5  b2 
a  b
2
?
C:2a-2b
C:-3x-y-3
Şahin Danişman
Sayfa 2

x  y  zise
 y  z
2
  x  y   x  z  ?
2
2

C:0

x  0  y ise
 x  5
2

 x  y
2

x  x ise 5x  1 3x  3x  ? ifadesinin
C:1-5x
x  3  x  3 ise x hangi aralıktadır?
Alacağı tamsayı değerlerinden birkaçını
yazınız.
C:[3,∞)

x  8  8  x ise x hangi aralıktadır?
Alacağı tamsayı değerlerinden birkaçını
yazınız.
C:(-∞,8]
 Basamak5:
Çok yahşi bir şey söyleyeceğim. Bu atasözüne kulak
verin Bir mutlak değerin alabileceği en küçük
değer 0 dır. O yüzden bir mutlak değerin en küçük
değerini aldığı zaman içerisinin sıfır olduğu
zamandır. Demek ki, mutlak değerde en küçük diye
bir şey söyleniyor veya soruluyorsa, içeriyi sıfıra
eşitleyeceğiz… “İçini sıfır yapan nokta 4, ama -7
yazarsam daha küçük olmaz mı” demeyin, olmaz
çünkü, isterseniz -1 milyon yazın deneyin…

x  4  3 ifadesinin en küçük değeri
nedir?
en
küçük
değeri
için
C:7
?

C:3
6  x  103 ifadesinin en büyük değeri
nedir?
 Basamak4:
Birçok soruda, öğrendiklerinizi duruma göre
transfer edebilmeniz ve farklı sorulara göre yorum
yapabilmeniz gerekiyor. Mesela, bir sayının mutlak
değeri kendine eşitse o sayı kesinlikle sıfırdır veya
pozitiftir. Bir sayının mutlak değeri eksi ile çarpılmış
haline eşitse, o sayı da kesinlikle sıfırdır veya
negatiftir. Bu kısımları değer vererek yorumlayınız
isterseniz…
eşiti nedir?
nin
x 2  3x  17  ?
C:5-y

x2

C:6
2 x  10  y  2 nin en küçük değeri için
x+y=?

w
w
w
.
s
a
h
i
n
h
o
c
a
.
c
o
m
C:-3
5a  7b nin en küçük değeri için
a
?
b
C:7/5

2a  5b
nin en küçük değeri için
a  3b
kaçtır?
a b

C:-1/7
3a  2b  39 ise b’nin hangi değeri
için b  5a en küçük değerini alır?
C:15

3x  101  7
ifadesinin
değerlerin kümesi nedir?
alabileceği
C:[7,∞)
 Basamak6:
Aynı değişkenler varken, iki ya da daha fazla
mutlak değerin toplamı verildiğinde en küçük
değeri soruluyorsa, mutlak değerlerin hepsinin içini
sıfır yapan noktalar bulunur ve hepsi ifadedeki
değişken yerine ayrı ayrı yazılarak elde edilen
sonuçlar karşılaştırılır. Örneğin; 3x  3  x  2
ifadesinin en küçük değeri soruluyorsa, iki mutlak
değerin içini de sıfır yapan x değerlerini bulacağız.
İlk mutlak değeri sıfıra eşitlersek, x=1 ve ikincisini
sıfıra eşitlersek, x=-2 gelir. Önce tüm x lerin yerine 1
yazdığımızda, sonuç 3 olur, sonra da tüm x lerin
yerine -2 yazdığımızda, sonuç 9 olur. Bize en küçük
Şahin Danişman
Sayfa 3
 Basamak7:
Bir mutlak değerin alabileceği en küçük değer 0
olduğuna göre, farklı mutlak değerlerin toplamı
sıfır iken, hepsinin de içi sıfır olacak demektir.
Çünkü, içleri sıfır olan mutlak değerlerin toplamı
sıfır olur… Aynı şey çift dereceli kökler ve çift
kuvvetler için de geçerli…
değer sorulduğundan küçük olan sonuç, yani 3
cevaptır. “9 da en büyük değeri mi o zaman?”
demeyin. Değil çünkü, o bir şey ifade etmez
şimdilik. En büyük değer sorulamaz burada, çünkü x
yerine çok çok büyük bir şeyler yazıp sonsuza doğru
gidebiliriz. İsterseniz yazın 1357986420 sayısını 
İki mutlak değerin arasında eksi varsa, onun hem
en küçük değeri bulunur, hem de en büyük değeri…
Yine yukarıdaki mantıkla, mutlak değerlerin içini
sıfır yapan noktaları bulup ayrı ayrı yazarsanız
hepsinde, en küçük değerle en büyük değeri bulmuş
olursunuz. Bulduğunuz sonuçlardan hangisi en
büyük değer, hangisi en küçük değer, ona da siz
karar verin artık  Hatta en büyük ve en küçük
değer bulunabildiğinden, kaç tane tamsayı değeri
alabileceği bile bulunabilir….

a  4  b  7  2c  12  0 ise
nedir?

a+b+c
C:-3
x 1  y  3  x  y  z  5  0
x.y.z nedir?
ise
C:27
 A= x  2  x  7 ise A en az kaçtır?
C:9
 B=
x  1  x  3  x  2 ise B en az
kaçtır?
C:5
 C= x  7  2 x  4 ise C en az kaçtır?
C:9
 D=
30
x  2  x 1
ise D’ nin en büyük
değeri kaçtır?
 E=
72
2x  4  x  2
C:10
ise E’nin eşiti en çok
kaçtır?
 F=
C:18
x  7  x  1 ise F nin alacağı en
büyük değer ile en küçük değer nedir?
C:8 ve -8
w
w
w
.
s
a
h
i
n
h
o
c
a
.
c
o
m
x  y  5  x  y  13  x  z  1  0 ise

x.y+z nedir?
C:41
x  4  y  5   z  7  0
2

x+y+z nedir?
a-b=6

ve
ise
C:6
x a 3  y b 4  0
ise y-x nedir?
C:1
 Basamak8:
Mutlak değere girişte aslında bu denklem işine de
değinmiştik birazcık. Şöyle ki, bir mutlak değerin
sonucu 7 ise, bu mutlak değerin için 7 veya -7
olabilir. Yani bir mutlak değerin sonucu pozitif
olarak verilmişse, içerisi o sayıya veya eksilisine
eşittir…
x  5 ve y  6 ise


x  y en çok kaçtır?
C:11

G= x  6  x  3 ise G’nin alabileceği
kaç tamsayı değeri vardır?
C:19

x  y en az kaçtır?
C:1

x  y en az kaçtır?
C:1
Şahin Danişman
Sayfa 4
 Basamak9:
Çözerken, aceleden ve dikkatsizlikten gözden
kaçırabileceğiniz bir nokta da şu: bir mutlak değerin
sonucu kesinlikle negatif olmaz… lxl=-3 ün çözümü
yoktur, yani boş kümedir… Sonuç sıfırsa içerisi de
sıfırdır zaten… Sonuç pozitif ise, içerisi bir sonuca
eşit olabilir, bir de sonucun eksi işaretlisine… lx-4l=6
ise misal olarak, x-4=6 ve x-4=-6 deyip çözeceksiniz
ve iki farklı kök bulacaksınız.
Şimdi size zahmet olmasın diye, boş yere o kadar
yorulmayın diye kısacık bir şey söyleyeceğim  Bu
tarz sorularda,(bir mutlak değer olacak) kökler
toplamı soruluyorsa, cevap içeriyi sıfır yapan
noktanın iki katı olur… Örnek, lx-3l=1000
denkleminin kökler toplamı 2.3 yani 6 dır…
İnanmazsanız deneyin 

4 x  15  16
denkleminin
kümesi nedir?

7 x  15  0 denkleminin çözüm kümesi

x4 3
C:15/7
denkleminin çözüm kümesi
nedir?

x2 4  6
C:{1,7}
denkleminin
kümesi nedir?
çözüm
C:{0,4}
x  7  100 denkleminin kökler toplamı
nedir?

C:-14
x  3  1903
denkleminin
toplamı nedir?

2 x  5  22!

w
w
w
.
s
a
h
i
n
h
o
c
a
.
c
o
m
k>0
olmak
kökler
C:6
denkleminin
toplamı nedir?
kökler
C:-5
üzere;
3x  m  k
denkleminin kökler toplamı 5 ise m
nedir?
C:15/2
çözüm
C: 
nedir?

 Basamak10:
İki mutlak değerin birbirine eşit olması için, ya içleri
eşit olmalıdır, ya da biri diğerinin eksilisine eşit
olmalıdır. Yani, lxl=lyl ise x=y olabilir veya x=-y.
Bunu sorularımıza transfer edin artık yaw 

3x  7  2 x  1
denkleminin
çözüm
kümesi nedir?
C: {6/5,8 }

x  6  x  1 denkleminin çözüm kümesi
nedir?
C:5/2

3x  1  5  3
kümesi nedir?

x2 4  6
kümesi nedir?
denkleminin
çözüm
C:{-7/3,-1/3,1,3 }
denkleminin
çözüm
C:{-12,8}
 Basamak11:
Evet! Güzel sorularımızdan bir demet daha Bu
yahşi soruların çözümünde yukarılarda hafiften
değindiğimiz, ve şimdiye kadar çoktan farkına
varmış olmanız gereken bir gerçeği kullanacağız… 5 in mutlak değeri ile 5 in mutlak değerinin eşit
olduğunu herkes biliyor. Bu basit gerçekten
çıkarmamız gereken özellik ne sizce?!! Demek ki
mutlak değerin içerisini eksi ile çarptığımızda
değişen bir şey olmuyor, yani ikisi de eşit oluyor…
Maharet bunu değişkenlerde kullanabilmek… -x+y
ile y-x aynı şey demiştik. Bunu pekiştirdiğinizi
Şahin Danişman
Sayfa 5
düşünüyorum… O halde, lx-yl=ly-xl veya l-x-yl=lx+yl
olarak ifade edilebilir. Özellikle ilk eşitliği çokça
kullanacaksınız, aklınızda kalsın. Asıl bilmeniz
gereken de şu: Mutlak değerin içerisini eksi ile
çarparsanız değişen bir şey olmaz…
Dikkat etmemiz gereken ikinci özellik ise, mutlak
değerin içinde çarpım halinde olan şeyleri, ayrı
mutlak değer içinde çarpım olarak yazabiliriz, bunu
unutma yeğen! Yani, lx.yl=lxl.lyl işte. Bu ifade, şu
demektir:l3xl=3.lxl veya l-5xl=5.lxl falan filan…
Ortak paranteze alıyormuşsunuz gibi de
düşünebilirsiniz, örneğin; l3x-6l=3.lx-2l=3.l2-xl
olarak yazılabilir. Başka ne diyeyim yaa yeğenim 

x  2  2  x  10
ise
çözüm
denklemi. Ya da, eşitliğin her iki tarafında çarpım
halinde olan bir şeyin sıfır olduğunda, eşitliği
sağlayabileceğini görmeniz lazım. Yani burada x leri
sadeleştirmeden önce x=0 diye kenara not etmek
akıllıca olur…
çözerken, şu adımları izlememiz gerekecekmiş…
x 2  25  2 x  10
x 5 . x 5  2 x 5
x  5 =0 olursa x=5 olur.
Ayrıca x-5 leri sadeleştirirsek,
kümesi
x  5 =2
nedir?
C:{-3,7}

x  1  3x  3  2  2 x  6
ise
çözüm
kümesi nedir?
C:{-2,4}

x   x  3x  2 x  12 çözüm kümesi
nedir?
C:{-4,4}

x 2  25  2 x  10 denklemini
O halde;
3x  2  6  9 x  8 ise çözüm kümesi
nedir?
x+5=2 ve x+5=-2 olur. yani; x=-3 ve x=-7. Yani
çözüm kümesinde 3 eleman vardır, 5,-3,-7.
w
w
w
.
s
a
h
i
n
h
o
c
a
.
c
o
m

x 2  4  5. x  2
ise çözüm kümesi
nedir?
C:{-3,-2,7}

9  x2  2 x  6
ise
çözüm
nedir?
C:{-5,-1,3}

x 2 5 x  6  3  x ise çözüm kümesi
nedir?
C:{0,4/3}
 Basamak12:
Bu sorularda ilk yapmanız gereken, mutlak değerin
içerisi çarpım halinde yazılabiliyorsa, bunları ayrı
mutlak değerlerin çarpımları şeklinde yazmak. Yani,
x 2  25 ifadesini; x  5 . x  5 olarak
yazabiliriz… İkinci olarak dikkat etmeniz gereken
şey de şurada saklı yeğenim… Genellikle bazı
öğrenciler, x2=7x denkleminin çözüm kümesi için
x=7 deyip geçerler. Bu önemli yanlışı yaptıkları için
zaten burada da anıyoruz arkadaşlarımızı 
Burada yapılan şey yanlış değil ama eksiktir. Çünkü
x=0 da olabilir, burada. Yani ya değişkenleri bir
tarafa toplayıp, çarpanlara ayırarak çözeceksiniz
kümesi
C:{1,3}
 Basamak13:
Dikkat etmemiz gereken bir kısım daha…
Denklemlerde, bir taraf mutlak değerli, öteki taraf
da mutlak değersiz ise, normal sayılarda
çözdüğümüz gibi çözeceğiz. Yani mutlak değerin
içini bir dışarıdaki ifadeye, bir de dışarıdaki ifadenin
eksilisine eşitleyeceğiz. Nasıl ki, lxl=7 için,
x=7 ve x=-7 yapıyorsak… Yalnız dikkat etmemiz
gereken şey, bulduğumuz kökleri ilk denklemde
yazarak kontrol etmemizdir. Bu sorular genellikle,
üçkağıtçılık yapar. Bulunan değerleri, tüm
denklemde yazmak yerine sadece mutlak değersiz
kısımda deneyebilirsiniz, eğer pozitif oluyorsa
sonuç, bulunan değer çözüm kümesine alınır, yoksa
Şahin Danişman
Sayfa 6
alınmaz… Tabi son iki soruyu çözmeniz için önce
mutlak değeri yalnız bırakmanız gerekiyor…

den büyük olması gerekir… İlk soruda mesela,
sonuç x-3 olduğundan, bu ifade kesinlikle pozitiftir
ve x in 3 ten büyük gelmesi gerekir. O zaman
soldaki mutlak değerleri anlamsız oluyor,
incelenirse. Çünkü ikisinin de içi pozitif olur, x>3
iken… Mutlak değerleri iptal edip çözüme
ulaşırsınız, ama bulduğunuz kökleri denklemde
kontrol edin. Çözüme x in 3 ten büyük olduğunu
kabul ederek başladıysak, cevapların da 3 ten
büyük olması gerekir…
x  2  3x  4 ise çözüm kümesi nedir?
 C:3/2

x  3  2 x  1 ise çözüm kümesi nedir?
C:4/3


x 3  3x  5 ise çözüm kümesi nedir?
x  3 . x  7  x  3 ise x değerlerini
bulunuz.
C:3
C:1


x 2  6 x  16  x  2 ise x değerlerini
bulunuz.
2 x  x  5 ise çözüm kümesi nedir?
C:2
C:5/3
 Basamak14:
Az çok çarpanlara ayırma biliyorsanız, başlayın
bunları çözmeye… Yoksa öğrendikten sonra
bakarsınız… Bu sorularda, x2=lxl2 alırsanız,
rahatlıkla çözüme ulaşırsınız… Denklemi lxl e bağlı
olarak ifade ettiğinizde bulduğunuz kökler de buna
eşit olmalı. O zaman bu şekilde çözdüğünüzde eksi
çıkan değerler kök belirtmez… lxl=-1 olamayacağı
için…
Aşağıdaki denklemlerin çözüm kümelerini bulalım.

x2  3 x  4  0
C:{-4,4}
w
w
w
.
s
a
h
i
n
h
o
c
a
.
c
o
m
 Basamak16:
Burada da çarpanlara ayırma giriyor işin içine…
Ayrıca,
mecburen
mutlak
değerli
kısmı
yorumlamamız gerekiyor… Mutlak değerin içini sıfır
yapan noktaya göre, iki farklı durum düşüneceğiz.
x>3 iken çözüm ne olur, x<3 iken çözüm ne olur. x=3
ü hemen kontrol edebilirsiniz zaten… Yalnız bu iki
farklı durumdaki, iki denklemi çözdüğümüzde
bulduğumuz köklerin de başta kabul ettiğimiz
şartları sağlaması lazım. Yani x>3 kabul ettiğimizde
kök olarak -4 ve 7 geliyorsa örneğin, -4 kök olamaz,
7 kök olur, çünkü bulunan kök 3 ten büyük olmalı…
Buna dikkat edin…

x. x  3  10
eşitliğini sağlayan x
tamsayı değerlerini bulunuz.

x  5 x  14  0
2
C:5
C:{-2,2}
 Basamak15:
Bu sorularımızda, sol taraf mutlak değerlerin
çarpımı, sağ taraf da mutlak değersiz olarak ifade
edildiğinden, ve benzeyen çarpanlar olduğundan,
sağ tarafa göre x in alacağı değerleri düşünerek
çözüme ulaşabilirsiniz. Şöyle ki, iki mutlak değerin
çarpımı pozitif olacağından, sonuç x-7 geliyorsa
örneğin, x in 7 den büyük olduğunu yorumlamanız
gerekir. Ona göre de diğer mutlak değerleri dışarıya
çıkarabilirsiniz… Tabii bulduğunuz köklerin yine 7
 Basamak17:
En karışık görünen sorulardan bunlar, mutlak değer
konusu için… Bu sorularımızda, mutlak değerin içini
sıfır yapan iki farklı noktaya göre, x in aralıklarını
belirleyip, ona göre mutlak değerleri dışarı çıkarıp
denklemleri çözmeniz gerekiyor. Bir örnek vereyim
ben… x  2  x  5  4 için, iki mutlak değerin
içini sıfır yapan noktalar 2 ve 5 tir. O zaman üç
farklı durum söz konusudur, x için. Ya x sayısı 2 den
küçüktür, ya x sayısı 5 ten büyüktür, ya da x sayısı
bu ikisinin yani 2 ile 5 in arasındadır. Bu aralıklara
Şahin Danişman
Sayfa 7
göre mutlak değerlerin içinin işaretini belirleyip
dışarı çıkaracaksınız…
x>5 için; x-2+x-5=4 ise x=11/2
x<2 için; -x+2-x+5=4 ise x=3/2
2<x<5 için; x-2-x+5=4 ise 3=0 yani boş küme.
İlk kök 5 ten büyük, ikincisi de 2 den küçük olduğu
için ikisi de çözüm kümesinde yer alır.
Eşitsizliklerde, eşitlik işaretini nereye koyduğunuzun
bir önemi yoktur. Hatta hemen kökler sağlıyor mu
sağlamıyor mu diye deneyip kenara yazabilirsiniz.
Yani bu örnekte x yerine bir 2, bir de 5 yazıp
deneyin isterseniz. Denklem çözerken, 7=7 gibi bir
eşitlik çıkıyorsa, kabul ettiğiniz aralıktaki her şey bu
denklemin kökü demektir. Yukarıda 3=0 çıktığı için,
boş küme oldu…

x4  x 8
bulunuz.



C:{-2,6}
C: {
5 ,3}
3
C: [-4,3]
x  1  x  5  6 ise x değerlerini
bulunuz.
nin dışında ne yazarsanız yazın, sonuç sıfırdan
büyük olacaktır, ama 7 yazdığınızda sıfır olur.

x  4  10 ise x değerlerini bulunuz.

C:

x  11  6 ise x değerlerini bulunuz.
C:R

x  3  x  4  7 ise x değerlerini
bulunuz.
x  7  0 ise, çözüm kümesi, R-{7} dir. çünkü, 7
ise x değerlerini
2 x  x  2  7 ise x değerlerini
bulunuz.
değerlerin çözüm kümesi tüm reel sayılardır. lxl>-4
veya lxl≥0 ise çözüm kümesi tüm reel sayılardır,
yani her şey. Mutlak değer sıfırdan büyük ise,
çözüm kümesi reel sayılardan mutlağın içerisini sıfır
yapan noktanın çıkarılmış halidir.
Yani,
w
w
w
.
s
a
h
i
n
h
o
c
a
.
c
o
m
x  3  0 ise x değerlerini bulunuz.
C:R-{3}

x  5  0 ise x değerlerini bulunuz.
C:R
 Basamak19:
Bir mutlak değerli ifade, bir pozitif sayıdan küçükse,
mutlak değerin içerisi, o pozitif sayının artılısı ile
eksilisi arasındadır. Yani, lxl<3 ise, -3<x<3 olarak
çözüm yazabiliriz. Gerisi sizin eşitsizlik çözme
yeteneğinize kalmış… Bu türden eşitsizliklerin
çözümü, sayı doğrusu üzerindeki iki noktanın
arasında yer alır.

2 x  1  5 ise x değerlerini bulunuz.
C: (-2,3)
C: [-1,5]

 Basamak18:
Şimdi
gelelim
mutlak
değerli
eşitsizlik
sorularımıza… Burada sadece dikkatli düşünmek
yeterli aslında ama yine de birkaç yahşi atasözü
söyleyeyim… Bir mutlak değer kesinlikle sıfırdan
küçük olamaz, o zaman sıfırdan veya eksi bir
sayıdan küçük olan mutlak değerlerin çözüm
kümesi boştur. lxl<-4 veya lxl<0 ise çözüm kümesi
boş kümedir. Mutlak değerli ifadeler sıfırdan büyük
veya eşittir. O yüzden, eksili sayılardan büyük olan
veya 0 dan büyük veya 0 a eşit olan mutlak
x  4  7 ise x değerlerini bulunuz.
C: [-11,3]

3x  5  4 ise x değerlerini bulunuz.
C:[-3,1/3]

5  2x
 5 ise x değerlerini bulunuz.
3
C:(-5,10)
Şahin Danişman
Sayfa 8

3x  3
 6 ise x değerlerini bulunuz.
7

C:[-15,13]
bulunuz.
 Basamak20:
Bu kısım yukarıdakinden farklı ve sanki biraz karışık
gibi duruyor. Bir mutlak değerli ifade, bir pozitif
sayıdan büyükse, mutlak değerin içerisi, o pozitif
sayıdan büyüktür veya o sayının eksilisinden
küçüktür. Yani zıt gibi düşüneceksiniz… Yani, lxl>3
ise, x>3 veya x<-3 tür. Bu türden eşitsizliklerin
çözümü, sayı doğrusu üzerindeki iki noktanın
dışında yer alır… Yani (– sonsuz) ve (+sonsuz) a
doğru…


3x  5  7 ise x değerlerini bulunuz.
C: (-∞,-2/3]  [4,∞)

6  2 x  4 ise x değerlerini bulunuz.
C: R-[1,5]

x 3
 1 ise x değerlerini bulunuz.
4
C: R-(-1,7)
 Basamak21:
İki pozitif sayının arasındaki mutlak değerli
eşitsizliklerimizde ise, mutlak değeri çözüyormuş
gibi düşünüp, eşitsizlik çözümü yapabilirsiniz. Yani,
mutlak değeri, dışarıya bir aynen, bir de eksi ile
çarparak çıkarıp çözüm yapabilirsiniz… Örneğin,
4<lxl≤6 gibi bir eşitsizliğin çözümü, 4<x≤6 ve 4<-x≤6
eşitsizliklerinin çözümlerinin birleşimidir. Bazen son
soruda olduğu gibi, içinde üçkağıtçılık olan ve
dikkat etmeniz gereken sorularla karşılaşabilirsiniz.
Tek diyeceğim, dikkatli ol yeğen  Yani bu son
soruda, mutlak değerin -4 ten büyük olduğunun
verilmesine gerek var mı Allah aşkına! Mesele o
değil yeğen, mesele sizi tuzağa düşürmektir O
halde -4 ü hiç görmeyin.


4  2 x  1  9
ise
x
değerlerini
C: (-1,-2/3]
ise
x
değerlerini
C: [-5,4]
w
w
w
.
s
a
h
i
n
h
o
c
a
.
c
o
m
 Basamak22:
Eşitsizliklerde, her taraf pozitifken veya negatifken,
her şeyi ters çevirebiliyorduk. Bu alt tarafta verilen
mutlak değerli ifadelerde, tüm sayıları ve
eşitsizlikleri ters çevirip çözebilirsiniz. Bir nevi içler
dışlar çarpımı aslında. Her şey pozitif olduğundan,
içler dışlar çarpımı yapılabilir, diyebiliriz.

1
1

ise x değerlerini bulunuz.
x4 6
C: (-2,10)-{4}

1
2
 ise x değerlerini bulunuz.
x2 3
C: (-∞,-7/2]
 [-1/2,∞)
 Basamak23:
Burada
mutlak değerli
eşitsizliği
çözüp,
denklemdeki x i de yalnız bırakalım. Sonra, x in y
türünden eşitini, eşitsizlikteki yerine yazalım. Bu
sorulardan eşitsizliklerde çözmüştük, umarım
hatırlıyorsunuz. Hatırlamayanlar, bir geri dönüp,
baksın gelsin bakalım hemen, bekliyorum hadi

x  1  2 ve 2x+3y-5=0 ise y hangi
aralıktadır?

C: [-1/3 , 7/3]
x  3  1 ve 4x+y-3=0 ise y hangi
aralıktadır?
3  x  4  7 ise x değerlerini bulunuz.
C: [-11,-7)
 [2,7/3)
bulunuz.
x  3  6 ise x değerlerini bulunuz.
C:R-[-3,9]
8  6 x  4  10
C:[-13,-5]
 (1,3]
Şahin Danişman
Sayfa 9
 Basamak24:
Bu sorularımızda, basamak 17 de olduğu gibi
düşünüp ayrı durumlar halinde eşitsizliğimizi
çözeceğiz. Çözüm kümelerini alırken dikkatli olmak
lazım. Birazcık karışık görünen sorular olduğunun
farkındayım zaten, uğraşmak isteyen uğraşsın 

2x  4  x  3  5
ŞU KADARCIK MANTIK…
cevap:
C:  12, 4 








3
MA(:TE:)BESSÜ(:M:)ATİK…
x3  x  2
C: x≤- 1
2
 Basamak25:
Yine uğraşmak isteyenlere… Ama bunlar yukarıdaki
gibi gıcık değil, yahşi sorular O yüzden ipucu yok,
herkes yeteneğine göre baksın…

9,9,9 ile 10 nasıl elde edilir?
9,9,9 ile 100 nasıl elde edilir?
9,9,9,9 ile 100 nasıl elde edilir?
6,6,6,6,1 ile 74 nasıl elde edilir?
x,y tamsayı ve x  3  y  5  1 ise
x ne olabilir?
C: {-4,-3,-2}
w
w
w
.
s
a
h
i
n
h
o
c
a
.
c
o
m
Balonla seyahat etmekte olan bir grup yolunu
kaybeder ve biraz alçalarak aşağıdaki kişiye
yaklaşırlar. İçlerinden biri aşağıya bağırır:
- Heyyy!.. Şu anda nerdeyiz?..
Aşağıdaki şahıs onlara şöyle bir bakar ve
biraz düşünüp dalgın dalgın cevap verir:
- Bir balonun içinde ve oldukça alçaktasınız...
Balondaki adam doğrulur ve arkadaşlarına:
- Biliyor musunuz bu adam matematikçi?..
der. Bunun üzerine balondaki diğer şahıslar
bunu nerden anladığını sorduklarında, şöyle
yanıtlar:

a, b tam sayı
ve a  1  b  1  3
ise kaç (a,b) ikilisi var?

C:12
- Birincisi, çok düşündü, ikincisi söylediği şey
kesin olarak doğru... Üçüncüsü, bir işe
yaramıyor...
x,y tam sayı ve x  y  3 ise kaç
(x,y) ikilisi vardır?
C:25
Şahin Danişman
Sayfa 10
7.
A)
x  4  x  4 ise x in alacağı en küçük üç
farklı tamsayı değerinin toplamı nedir?
-2 B) -4 C) -6 D) -8 E)
-9
1.   5  2      1 ifadesinin eşiti
nedir?
A) π-4 B) 6-π C) -π-3 D) 2+π E) 3π-8
8.
2. a=b-7 ve b=c+2 ise;
A)
-6
B)
-1
C)
eşiti nedir?
A) 9x+1 B) -4x+1 C) -5x+1 D) -11x-1 E) 11x+1
a b  c a
?
c b
1
D)
6
E)
7
3. 4  x  7 ise x  4  x  7  ?
A) 11-2x B) 2x-11 C)
x-3
D)
3
E)
-3
4. a  b  c ise a  b  c  b  a  c  b  a  ?
A) c-a-b
B) 2c-a-b C) c+a-b D) c+2a+b E) c-2a-b
5. x  0  y ise
 3x  4 
2

A)
4x-y-4
B)
2x+y-4
D)
2x+4-y
E)
-4x-y+4
 x  y
C)
x  x ise 7 x  1 3x  x  ? ifadesinin
2
w
w
w
.
s
a
h
i
n
h
o
c
a
.
c
o
m
9. lxl>x ve lyl=y ise aşağıdakilerden hangisinin
sonucu sıfır olabilir?
A)
x-y
B) x2+y C)
A)
D)
x.y
E) y-2x
10. x  7  4 ifadesinin en küçük değeri nedir?
A)
11
B)
7
C)
3
D)
4
E)
0
?
4x+y+4
11. 3  x  710 ifadesinin en büyük değeri
nedir?
A) 713 B) 707 C)
6.
x
y
3
D)
2
E)
0
x  5  5  x ise x in alacağı doğal sayı
değerlerinin toplamı nedir?
9 B) 10 C) 14 D)
15
E)
17
12. 3x  12  y  5 in en küçük değeri için
x  y  x. y nin eşiti nedir?
A)
11
B)
19
C)
20
D)
Şahin Danişman
29
E)
31
Sayfa 11
13. 3a  5b nin en küçük değeri için
A)
-4
B)
3
5
C)
0
D)
ab
?
ba
5
3
E)
18. a  2  3b  9  4c  8  0 ise a+b+c
nedir?
A) -3 B)
4
-2
C)
2
D)
3
E)
4
19. x  2  y  5  x  y  z  4  0 ise x .y .z
14. A= x  5  x  1 ise A nın alacağı en küçük
A)
değer nedir?
0 B) 1
C)
4
D)
5
E)
A)
nedir?
-70 B)
-20
C)
15. A= x  3  3x  6 ise A nın alacağı en küçük
16. A=
C)
9
D)
10
E)
15
90
ise A nın en büyük değeri
x 3  x7
kaçtır?
90
A)
B)
7
30
C)
45
2
D)
9
E)
D)
40
E)
35
6
20. x  4 ve y  8 ise
değer nedir?
A) 0 B) 5
70
w
w
w
.
s
a
h
i
n
h
o
c
a
.
c
o
m
x  y nin alabileceği
en büyük değer ile en küçük değerin toplamı
nedir?
A) 16 B) 12 C) 8 D) 6 E) 4
CEVAPLAR
1 D 6
2 C
7
3 A
8
4 B
9
5 D 10
D
E
C
D
D
11
12
13
14
15
C
D
A
E
B
16
17
18
19
20
D
D
A
C
A
1
“Bazı insanlar hayatta hiçbir gayeye
sahip olmadan yaşarlar. Böyle insanlar
bir nehir üzerinde akıp giden saman
çöplerine benzerler. Onlar gitmezler;
17. A= x  10  x  3 ise A nın alacağı kaç farklı
A)
tamsayı değeri vardır?
24 B) 25 C) 26
ancak suyun akışına kapılarak akarlar."
SENECA
D)
27
E)
28
Şahin Danişman
Sayfa 12
6. 3x  5  222 denkleminin kökler toplamı
nedir?
1.

A)
2 x  10  4 denkleminin çözüm kümesi
10
5
B) 
C)
3
3
0
D)
3
217
3
E)
nedir?
A)
 B)
3
C)
6
D)
7
E)
-7
7.
2 x  9  33! denkleminin kökler toplamı
nedir?
2.
4 x  15  0 denkleminin çözüm kümesi
nedir?
4
A)
B)
15
4
C)
15
4
D)
3
E)
A)
33!
B)

9
2
C)
9
2
D)
0
E)
-9
1
8. a>0 olmak üzere; 5x  m  a denkleminin
3.
x  5  3 denkleminin çözüm kümesi nedir?
A) {-2,-8} B) {-2} C)
4.
{8}
D) {-2,3} E) {-8,5}
x  3  2  1 denkleminin çözüm kümesi
nedir?
A) {0,-2,-4,-6}
D) {-2,-4,-6}
B)
E)
{-2,-4}
C)
{0,-4,-6}
{0,-6}
w
w
w
.
s
a
h
i
n
h
o
c
a
.
c
o
m
kökler toplamı 3 ise m nedir?
A)
15
B)

15
C)
2
5
D)
3
E)
1
9. 5 x  11  3x  7 denkleminin çözüm
kümesi nedir?
A)
1
2
B) -9 C)
1
,9 D)
2
1
,-9
2
E)
1
 ,-9
2
10. x  13  x  2 denkleminin çözüm kümesi
nedir?
5.
3x  1  5  7 denkleminin çözüm kümesi
nedir?
{ 10 , 7 }
A)
3 2
D)
{
11
}
3
B)
E)
{
10 }
3
{  11 , 13 }
3 3
C)
A)
11
15
11 , 15
B)
C)
2
2
2 2
D) 
15
11
E) 
2
2
{ 13 }
3
11. x  2 x  3x  3x  7 denkleminin
çözüm kümesi nedir?
A)
-7
B)

7
3
C)
7
2
D)
Şahin Danişman
7
9
E)

Sayfa 13
12. x  3  3  x  14 ise çözüm kümesi nedir?
A) 10,-4 B)
10
C)
-4
18. x 2  2 x  24  0 denkleminin kökler çarpımı
D) 10,4 E) 10,-4
ne olur?
A) -24 B)
13. x  2  4 x  8  12  6 x  4 ise çözüm
2
A) {0,-2,-4} B) {0,2,4} C) {0,-2,4} D) {0,2,-4} E) {-4,2}
C)
-10
D)
-3
E)
-7
15. x  3  2 x  5 ise çözüm kümesi nedir?
B)
2
476
20. 4  x  2 x  4 ise çözüm kümesi nedir?
2
8
3
-36 E)
kümesi nedir?
A) {0,4} B) {0,-2} C) {-2,4} D) {-2} E) {4}
14. x  25  2 x  10 denkleminin kökler
A)
36 D)
19. x  4 . x  1  x  4 denkleminin çözüm
kümesi nedir?
A) 2,-2 B) 1,-2 C) -2,6 D) 2,-6 E) -2,-6
toplamı nedir?
A) -5 B) -5
24 C)
C)
3
D)
8
E)

w
w
w
.
s
a
h
i
n
h
o
c
a
.
c
o
m
CEVAPLAR
1 A
6
2 C
7
3 A
8
4 A
9
5 E
10
A
E
B
D
E
11
12
13
14
15
E
A
C
B
A
16
17
18
19
20
B
B
D
E
D
16. x  1  3x  2 ise çözüm kümesi nedir?
A) 
3
1
1 1
1 3
1 3
B)  C) ,
D) , 
E)  , 
4
2
2 4
2 4
3 2
“O işin başarılmasının imkansız
olduğunu bilmedikleri için başardılar.”
Mark Twain
17. 3x  2 x  7 ise çözüm kümesi nedir?
A)
{7}
B) {
7
7
7
} C) { 7, } D) { 7, } E) {7,-7}
5
5
3
Şahin Danişman
Sayfa 14
7.
x  2  5 eşitsizliğini sağlayan x tamsayısı kaç
tanedir?
A) 9 B)
10 C)
11
D)
12
E)
13
E)
-4
x  5  x  5 denkleminin çözüm kümesi
1.
nedir?
A)
R
B)
 C) [0,5] D) (0,5) E)
[5,0]
8.
2 x  7  1 eşitsizliğini sağlayan x
tamsayılarının toplamı nedir?
A) 1 B) 0 C) -7 D)
-5
2 x  x  3  9 denkleminin çözüm kümesi
2.
nedir?
A) [-2,4] B) {-2,4} C) {-2,4,6} D) (-2,4) E)

9.
3. 3x  143  23 eşitsizliğinin çözüm kümesi
nedir?
A)
R
B)
 C)
0
D) 
143
E) 62
3
2 x  6  2 eşitsizliğinin çözüm kümesi
4.
nedir?
A)
R
B)
 C) R-{3} D)
3
E)
4
3
w
w
w
.
s
a
h
i
n
h
o
c
a
.
c
o
m
4  3x
 7 eşitsizliğini sağlayan kaç tane x
3
doğal sayısı vardır?
A) 6 B) 7 C)
10.
8
D)
9
E)
10
2x  3
 5 eşitsizliğini sağlayan x tamsayısı
7
kaç tanedir?
A) 35 B) 36 C)
37
D)
38
E)
39
11. x  2  4 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?
A)
5.
A)
R
B) [-2,6] C) (-2,6) D) R-[-2,6] E) R-(-2,6)
3x  6  0 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?
R
B) R-{2} C) x>2
D) x<2 E)

12. 3x  1  11 eşitsizliğini sağlayan en küçük iki
6.
3x  4  9 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?
A) x  
farklı doğal sayının toplamı nedir?
A) 5 B) 6 C) 7
D) 8
E)
9
5
13
5 13
5
13
B) x  C)   x  D)   x  3 E) 3  x 
3
3
3
3
3
3
Şahin Danişman
Sayfa 15
13. 6  2 x  10 eşitsizliğini sağlamayan x doğal
sayısı kaç tanedir?
A) 6 B) 7 C)
14.
8
D)
9
E)
18.
10
negatif tamsayı değeri vardır?
A) 4 B) 3 C) 2
D)
19.
x 3
 2 eşitsizliğini sağlayan en büyük
4
negatif tamsayı değeri nedir?
A) -6 B) -5 C) -4 D)
-3
E)
1
1
 eşitsizliğini sağlayan kaç tane
x 1 5
1
E)
0
1
1
 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?
x3 5
A) R-[-8,2] B) R-(-8,2) C) R-{-8,2} D) (-8,2) E) [-8,2]
-2
20. 2 x  1  5 ve 3x+y-7=0 ise y hangi
15. 2  x  5  8 eşitsizliğini sağlayan kaç tane x
tamsayısı vardır?
A) 8 B) 9 C)
10
D)
11
E)
12
16. 5  4 x  11  9 eşitsizliğini sağlayan kaç x
tamsayısı vardır?
A) 0 B) 1 C)
2
D)
3
E)
4
w
w
w
.
s
a
h
i
n
h
o
c
a
.
c
o
m
aralıktadır?
A)[-2,13] B) (-2,13) C) [-13,2] D) (-13,2) E) [-13,-2]
CEVAPLAR
1 C
6
2 B
7
3 B
8
4 A
9
5 B
10
C
C
C
D
B
11
12
13
14
15
D
E
D
B
E
16
17
18
19
20
C
D
B
B
A
“Umudunu yitirmiş olanın kaybedecek
başka bir şeyi yoktur.”
17. 10  3x  1  8 eşitsizliğini sağlayan x
tamsayılarının toplamı nedir?
A) -2 B) 0 C) 2
D)
3
E)
4
Anonim
Şahin Danişman
Sayfa 16