B - kısmi (parçal) integrasyon.qxp

Kýsmi (Parçal) Ýntegrasyon
∫ p(x) .e
KISMÝ (PARÇAL) ÝNTEGRASYON YÖNTEMÝ
∫ f(x).g(x)dx
biçiminde iki fonksiyonun çar-
b)
pýmýnýn integrali bazen güç olabilir. Böyle
fonksiyonlarýn
daha
kolayca
integral-
lenebilmesini saðlamak amacýyla parçalý
(kýsmý) integralleme aþaðýdaki gibi yapýlýr.
dy
du
dv
=
.v +
.u
dx
dx
dx
Buradan
dy = du . v + dv . u olur.
Her iki tarafýn integralini aldýðýmýzda
∫ v.du + ∫ u.dv
∫
u. v –
∫
v.du +
∫
∫
∫ p(x) . arc sin x dx
,
1.
Logaritmik fonksiyon
2.
Ters trigonometrik fonksiyon
3.
Polinom
4.
Trigonometrik fonksiyon
5.
Üstel fonksiyon
I1 =
∫ x . e dx
x
integralini hesaplayalým.
Çözüm
v.du bulunur.
u = x ise du = dx dir.
x
*
i)
ii)
dv = e dx ise v = e
Kýsmi integralde u ve dv nin seçimini
yaparken
]=
x
int egrali
x
x
dir.
∫
x
dx = x . e – e . dx
x
x
=x . e –e +c
x
= e (x – 1) + c
∫u dv nin integralinden
Örnek 2
kolay olmalýdýr.
I=
Bu kolaylýðý saðlamak için iki fonksiyonun
çarpýmýnýn integralinde;
a)
∫x . e
dv nin integralinden fonksiyon kolayca
bulunmalý
∫ v du
gibi.
Örnek 1
u.dv
∫ v.du = ∫ u.dv
u.dv = u. v –
Fonksiyonlarýndan biri polinom, diðeri
logaritmik fonksiyon veya ters trigonometrik fonksiyon ise logoritmik fonksiyona
veya ters trigonometrik fonksiyonu u demek
kolaylýk saðlar.
Bu sýrayý akýlda kalmasý için kýsaca
“L A P T Ü” sözcüðü ile ifade edebiliriz.
∫ dy = ∫ v.du + ∫ u.dv
u.v =
∫ p(x) . sin ax dx
,
Kýsaca u nun seçimindeki öncelik sýrasý
þöyledir:
Gerçekten, integral altýndaki fonksiyon
f(x) = u .v olup, u ve v, x’e baðlý ve diferansiyellebilen fonksiyonlar olsun.
Çarpýmýn türevinden
y=
dx
∫ p(x) . Inx dx
∫ u d v = u. v – ∫ v d u
f ý (x) =
ax
∫
x 2 e x dx
integralini hesaplayalým.
Çözüm
Fonksiyonlardan biri polinom,diðeri üstel
veya trigonometrik fonksiyon ise polinoma
u denir.
u= x
2
du = 2x dx
312
x
dv = e dx
v =e
x
Kýsmi (Parçal) Ýntegrasyon
I=
2
x
∫ x .e dx = x
2
x
x
∫
.e – 2 x.e dx
2
x
x
1 2
1
x . Inx –
x . dx
2
2
=
2
1
1 x
+c
. x . Inx –
2
2 2
=
x
1
(Inx – ) + c
2
2
2
2
= e . (x – 2x + 2) + c
2
Not :
Bu tür integrali kolayca þöyle yapabiliriz.
e x parantezine alýp, diðer fonksiyonu yazar
sonra da periyodik iþaretlerle türevini alýrýz.
*
∫ x.e
*
∫x
*
∫
*
∫x
2
x
Örnek 5
Ι=
x
dx = e (x − 1) + c
∫
x +1
ex
.e x dx = e x (x 2 − 2x + 2) + c
Çözüm
u = x + 1 ise du = dx
dv = e – x dx ise
.e x dx = e x (x 4 − 4x 3 + 12x 2 − 24x + 24) + c
Ι=
= (x + 1) .( –e
∫ x.cos x dx
∫ −e
−x
.dx
∫
= –e – x .x + c
∫
Ι = u . d v = u . v – v du
Örnek 6
u = x ise du = dx
dv = c os x dx ise v = sin x
Ι=
∫
= x.sin x – sin x dx
∫
dv =
Örnek 4
dx
x
∫
Ι = u . dv = u . v – v . du
x
–
2
1
x
2
x
2
dx
x
dx ise v = –
1
x
∫
= Inx.
2
2
integralini hesaplayalým.
Ι = u . dv = u . v – v . du
x
dv = x dx ise v =
2
∫
dx
∫
x . Inx . dx integralini hesaplayalým.
u = Inx ise du =
x2
u = Inx ise du =
= x.sin x + c os x + c
Çözüm
Inx
Çözüm
= x.sin x – ( – c os x) + c
= Inx.
)–
= –e – x (x + 1– 1) + c
Çözüm
∫
–x
= – e – x (x + 1) − ( –e – x ) + c
integralini hesaplayalým.
Ι=
v = –e – x
∫ u . dv = u . v – ∫ v . du
Örnek 3
Ι=
dx
integralini hesaplayalým.
x 3 .e x dx = e x (x 3 − 3x 2 + 6x − 6) + c
4
∫
x
= x . e – 2(x e – e ) + c
x
=
–1
1 dx
– – .
x
x x
∫
=–
–2
1
. Inx + x dx
x
=–
1
(Inx + 1) + c
x
∫
Örnek 7
∫
Ι = arctan x dx
dx
∫2.x
integralini hesaplayalým.
313
Kýsmi (Parçal) Ýntegrasyon
Çözüm
Çözüm
u = arc tan x ise du =
dx
1+ x
u = In2 x
2
du = 2 . Inx .
dv = dx ise v = x dir.
∫
Ι = arc tan x dx = x . arc tan x –
1
= x . arc tan x –
2
= x . arc tan x –
dv = x 2.dx
1
∫ x. 1+ x
2x
∫
1+ x 2
2
dx
Ι=
dx
∫
2
du =
I=
x
3
v=
3
2
x . In x dx =
x
2
2
2
. In x –
x . Inxdx
3
3
∫
2
dv = x
u = Inx
1
2
ln(1 + x ) + c
2
3
1
dx
x
3
dx
x
v=
x
3
3
x
2 ⎡1 3
2
. In x – . ⎢ x Inx −
3
3 ⎢⎣ 3
x
3
dx ⎤
⎥
⎥⎦
∫3. x
3
Örnek 8
Ι=
∫ x . arctan x dx
=
1 3
2 1 3
2 1 x
2
+c
x . In x – . x Inx + . .
3
3 3
3 3 3
=
1 3 ⎡ 2
2
2⎤
x . ⎢In x – Inx + ⎥ + c
3
3
9⎦
⎣
integralini hesaplayalým.
Örnek 10
Çözüm
u = arc tan x ise du =
dx
1+ x
Ι=
2
x ex
∫ (x + 1)
2
dx integralini hesaplayalým.
2
dv = xdx ise v =
Ι=
x
2
Çözüm
2
∫
x . arc tan x dx =
x
arc tan x –
2
1 2
1
= x . arc tan x –
2
2
1 2
1
= x . arc tan x –
2
2
x
dx
.
2 1+ x 2
∫
u= x.e
dv =
2
x + 1– 1
∫
∫
2
1+ x
(1–
2
1
1+ x
dx
Ι=
)dx
2
x
dx
(1 + x)
x.e
x
ise
du = e (x + 1)dx
ise v = –
2
x
∫ (x + 1)
2
x
=x.e .
x
1
x +1
–1
–
x +1
–1
x
∫ x + 1.e .(x + 1)dx
=
1 2
1
1
x . arc tan x – x + arc tan x + c
2
2
2
=
–xe
+
x +1
=
1
1
2
arc tan x . (x + 1) – . x + c
2
2
=
–xe
x
+e +c
x +1
=
–xe + xe + e
+c
x +1
=
e
+ c bulunur.
x +1
x
∫ e dx
x
x
x
x
x
Örnek 9
Ι=
∫ x .In xdx
2
2
Örnek 11
integralini hesaplayalým.
Ι=
314
∫ e .sin x dx
x
integralini hesaplayalým.
Kýsmi (Parçal) Ýntegrasyon
Örnek 3
Çözüm
x
u = sin x
dv = e .dx
du = c os xdx
v =e
∫x
x
∫
∫
I = e x sin xdx = e x sin x –
∫
I1 = e x c os xdx = e x c os x –
v =e
dx =
Ι1
∫
2.
e x( – sin x)dx
∫
k
n
(ax + b)
1
2
∫x
2x – 2
2
– 2x + 5
dx
2
1
In| x – 2x + 5| +c
2
=
hali
u = ax+b dönüþümüyle çözünür.
dv = e dx
du = – sin xdx
– 2x + 5
x
e
cos
xdx
x
u = c os x
x –1
2
x
Örnek 4
x
I = e sin x – I1
x
3
∫ (4x – 5)
sin xdx
∫ e
x
x
I = e sin x – e c os x –
Ι
x
6
x
2Ι = e ( sin x – c os x) + c
KESÝRLÝ (RASYONEL)
FONKSÝYONLARIN ÝNTEGRALÝ
3.
k
dx hali
ax + b
f(x) =
f(x) =
Örnek 1
5
3
3 u
+c
.
4 –5
=
–3
1
+c
.
20 (4x – 5)5
P(x)
Q(x)
P(x)
R(x)
= T(x) +
Q(x)
Q(x)
Örnek 5
5
In|3x – 2| +c
3
∫
Örnek 2
∫
=
∫
Þeklinde yazýlýr ve sonra ayrý ayrý integralleri alýnýr.
∫ 3x – 2 dx = 3 ∫ 3x – 2
=
–6
3
u du
4
Rasyonel ifadesinde payýn derecesi paydanýn derecesinden büyük veya eþitse pay
paydaya bölünür.
Bu tür kesirde paydanýn türevi pay kýsmýnda varsa logaritmalý formülden yararlanýlýr.
5
=
–5
Ι = 1/ 2 . e x . ( sin x – c os x) + c bulunur.
∫
3 du
.
6 4
∫u
(u = 4x – 5 dersek du = 4.dx)
x
I = e sin x – e c os x – Ι
1.
dx =
2
3x + 2x + 3
2
x +1
dx integralini hesaplayalým.
Çözüm
x
1+ x
2
dx =
=
1
2
2x
∫ 1+ x
2
2
3x + 2x + 3 x + 1⎫⎪
⎬
2
⎪
3x + 3
3
⎭
2
1
2
In(1 + x ) + c
2
2x
315
2
3x + 2x + 3
2
x +1
= 3+
2x
2
x +1
Kýsmi (Parçal) Ýntegrasyon
∫
3x 2 + 2x + 3
dx =
2
x +1
⎛
∫ ⎜⎝ 3 + x
⎞
⎟ dx
+ 1⎠
2x
2
4.
∫ ax
2
= 3x + In(x + 1) + c
4
2
x + 2x + x
dx integralini hesaplayalým.
3
x +1
~
Çözüm
~
x 4 + 2x 2 + x
x3 + 1
x
x4 + x
~
2x 2
∫
dx
2
+ bx + c
hali
A) Eðer ax 2 + bx + c polinomu çarpanlarýna ayrýlýyorsa ifade basit kesirlerine
ayrýlarak integre edilir. Basit kesirlerine
ayrýlmýyorsa arctanx formülüne benzetilerek çözülür.
Örnek 6
∫
Basit kesirlerine ayýrma yöntemi
x 4 + 2x 2 + x
x2 + 1
dx =
∫
⎛
2x 2 ⎞
⎜x + 3
⎟ dx
⎜
x + 1 ⎟⎠
⎝
=
∫
x dx +
=
x2
2
+ ln | x 3 + 1| +c
2
3
2
3
∫
1
2
x −4
2x + 1
3
x + 27
=
A
B
+
x−2 x+2
=
A
Bx + C
+
x + 3 x 2 − 3x + 9
3
x +3
x(x + 1)2(x 2 + 1)
=
A
B
C
Dx + E
+
+
+ 2
x
x + 1 (x + 1) 2
x +1
Rasyonel ifadeler yukarýda görüldüðü gibi
basit kesirlerine ayrýlýr ve integral parçalanarak kolaylaþtýrýlýr.
3x 2
Örnek 8
x3 + 1
∫
3x − 1
. dx integralini hesaplayalým.
2
x −1
Çözüm
3x − 1
A
B
=
+
(x − 1) (x + 1) x − 1 x + 1
Örnek 7
I=
∫
3x − 1
A(x + 1) + B(x − 1)
=
(x − 1) (x + 1)
(x − 1) (x + 1)
x
dx integralini hesaplayalým.
x–2
3x − 1 ≡ (A + B)x + A − B
Çözüm
x
x −2
x−2
1
iki polinomun eþitliðinden;
x
2
= 1+
x −2
x −2
∫
B = 2 dir.
A − B = −1
2
Ι=
1+ B = 3
A +B = 3
x
dx =
x −2
∫
2 ⎞
⎛
⎜ 1 + − ⎟ dx
x
2⎠
⎝
∫
dx
x −2
= 1 .dx − 2
∫
2A = 2 ise A = 1
∫
3x − 1
2
x −1
dx =
∫
1
dx + 2
x −1
∫
1
dx
x +1
= ln x − 1 + 2ln x + 1 + c
= x + 2 ln x − 2 + c dir.
= ln (x − 1).(x + 1) 2 + c
316
Kýsmi (Parçal) Ýntegrasyon
Örnek 9
∫
Çözüm
3x − 1
2
x − 2x − 3
2
(x − 1)(x + x + 1)
dx integralini hesaplayalým.
=
özdeºliðinden A =
Çözüm
3x − 1
A
B
=
+
(x − 3) (x + 1) x − 3 x + 1
2
2
1
− x−
3
3
3
dx =
+
3
x − 1 x2 + x + 1
x −1
∫
=
A nýn altýndaki x – 3 = 0 ise x = 3 bulunup
eþitliðin sol tarafýnda (x – 3) ifadesi kaldýrdýktan sonra x yerine 3 yazýlýr ve A bilinmeyeni bulunmuþ olur. B bilinmeyeni de
ayný þekilde yapýlýr.
B)
∫
1
dx +
x −3
∫
x +1
3
x −1
dx =
2
3
∫
dx
1
−
x −1 3
∫
2x + 1
2
x + x +1
dx
2
1
2
ln x − 1 − ln x + x + 1 + c
3
3
dx
2
ax + bx + c
halinde ax 2 +bx+c ifadesi
çarpanlarýna ayrýlmýyorsa (yani Δ <0 ise)
3( −1) − 1 −4
=
= 1 Buna göre;
−1 − 3
−4
3x − 1
dx = 2
(x − 3) (x + 3)
2
1
−2
, B=
, C=−
3
3
3
x +1
3.3 − 1 8
A=
= =2
(3 + 1) 4
B=
A
Bx + C
+ 2
x −1 x + x +1
bulunur.
Bu tür basit ifadelerde A ve B bilinmeyenleri pratik olarak þöyle bulunur.
∫
x +1
∫
1
dx
x +1
= 2ln x − 3 + ln x + 1 + c
dt
∫
A +t
∫
1+ x
2
=
2
dx
2
1
A
t
+ c veya
A
arctan
= arctan x + c formülünden
yararlanýlarak çözüm yapýlýr.
= ln (x − 3)2 . (x + 1) + c
Örnek 12
Örnek 10
∫
dx
2
x +x
∫
integralini hesaplayalým.
∫
1
A
B
= +
x(x + 1) x x + 1
Buradan A =
dx
=
x(x + 1)
∫
1
1
= 1, B =
= −1
0 +1
−1
1
dx −
x
∫
=
1
dx
x +1
=
= ln x − ln x + 1 + c
= ln
x
+c
x +1
x +1
3
x −1
integralini hesaplayalým.
dx
x2 + 9
=
∫
1
2
⎡
⎛ x⎞
9 ⎢ 1+ ⎜ ⎟
⎝ 3⎠
⎢⎣
⎤
⎥
⎥⎦
1 1
x
. arctan + c
1
9
3
3
1
x
.arctan + c bulunur
3
3
Örnek 13
∫
Örnek 11
∫
x +9
Çözüm
Çözüm
∫
dx
2
4x
1 + 4x
4
dx integralini hesaplayalým.
Çözüm
u = 2x 2 dersek du = 4x dx
integralini hesaplayalým.
317
Kýsmi (Parçal) Ýntegrasyon
4x
∫
1 + 4x
4
dx =
∫
=
∫
KÖKLÜ FONKSÝYONLARIN
ÝNTEGRALÝ
4x . dx
2 2
1 + (2x )
du
A)
1 + u2
= arctanu + c
2
= arctan(2x ) + c
Basit köklü integraller
Basit köklü integrallerde deðiþtirdiðimiz
deðiþen köklü ifadeyi ortadan kaldýracak
þekilde ayarlanýr.
3
Örnek 14
x
∫
4
x +5
. dx integralini hesaplayalým.
=
=
2
2
2 5
x2
arctan
5
U(x)
⇒
t 3 = U(x) dönüºümü yapýlýr.
2x + 3 .dx integralini hesaplayalým.
Çözüm
t2 = 2x + 3
2t dt = 2dx
Buna göre,
1 1
u
+c
.
arctan
2
5
5
1
t 2 = U(x)
∫
du
∫ ( 5) +u
⇒
Örnek 1
Çözüm
u = x 2 dersek du = 2x . dx olur.
1
=
2
U(x)
∫
2x + 3 . dx =
3
+c
=
ise
t
1
+c=
3
3
t dt = dx dir.
∫
t 2 . t dt =
∫t
2
dt
( 2x + 3 ) + c
3
Örnek 2
∫
Örnek 15
∫
dx
integralini hesaplayalým.
2
x + 4x + 5
Çözüm
u 2 = x 2 + 7 dersek 2udu = 2x dx
udu = x dx
Çözüm
∫
dx
2
x + 4x + 5
dx
=
∫x
=
∫ (x + 2)
2
+ 4x + 4 − 4 + 5
dx
2
2
x + 7 . x . dx integralini hesaplayalým.
+ 12
Ι=
∫
=
∫
=
3
1⎛ 2
⎞
⎜⎝ x + 7 ⎟⎠ + c
3
= arctan(x + 2) + c
Örnek 16
∫
dx
x + 2x + 3
∫
Çözüm
∫
dx
x 2 + 2x + 3
=
∫
=
∫
dx
2
(x + 1) + 2
=
∫ (x + 1)
=
1
2
u3
+c
3
dersek
2t dt = 2 dx
t dt = dx
dx
2
+ ( 2 )2
arctan
x +1
2
2
u . u du
dx
integralini hesaplayalým.
2x − 1
Çözüm
t2 = 2x – 1
x 2 + 2x + 1 + 2
dx
2
u du =
∫
Örnek 3
integralini hesaplayalým.
2
2
x + 7 . x dx =
Ι=
+c
∫
dx
2x − 1
=
∫
t . dt
t
2
=
∫
dt
= t + c = 2x − 1 + c
318
Kýsmi (Parçal) Ýntegrasyon
Örnek 4
Örnek 7
x . dx
∫
x +5
Çözüm
t 2 = x 2 + 5 ise 2t dt = 2x dx dersek
x . dx
∫
x +5
t . dt
∫
=
2
t
x −1
okek(2, 3)=6 dýr. Dolayýsýyla t 6 =x–1 dönüþümü yapýlýrsa,
t 6 =x–1 ise 6t 5 dt = dx olur.
2
x −1 +1
∫
3
x −1
Örnek 5
∫
x . dx
=2
∫
=
ise
x +4
ve
t
2
5
.6t dt
6
7
3
Örnek 8
t2
t3
− 8t + c
3
Ι=
2
3
( x + 4) − 8 x + 4 + c
3
16 − x
∫
Ι=
∫
=
∫
=2
dx
16 − x
2
∫
=
=
t=
=
1
4
∫
2t dt=e x dx
ise
e x + 4 dx =
t.
2t.dt
t2 − 4
2
=2
∫
2
⎛
x ⎞
⎟
16 ⎜ 1 −
⎜ 16 ⎟
⎝
⎠
∫
2t.dt
ex
2
∫t
2
−4
⎛
4 ⎞
dt = 2 ⎜1 + 2
⎟ dt
t −4
t −4⎠
⎝
∫
2
⎛
1
A
B
⎜⎝ (t − 2) (t + 2) = t − 2 + t + 2
dx
⎛x⎞
1− ⎜ ⎟
⎝4⎠
⎡1
= 2t + 4. ⎢
⎣4
4
4 dt
1− u
2
dt
1
1 ⎞
4 ⎟
⎟
ise
1⎟
B=− ⎟
4⎠
A=
dt ⎤
∫ t − 2 − 4 ∫ t + 2 ⎥⎦
= 2t + ln t − 2 − ln t + 2 + c
= 2t + ln
= arc sinu
x
t−2
+c
t+2
= 2 e + 4 + ln
⎛x⎞
= arcsin ⎜ ⎟ + c bulunur.
⎝4⎠
319
ve e x =t 2 –4
t dt
t −4+4
∫
t2 .
dx
x
dersek 4dt = dx
4
1
4
x
e + 4 dx = ?
Çözüm
t 2 =e x +4
integralini hesaplayalým.
2
6 6
7 3
4
( x − 1) + ( 6 x − 1) + c
7
2
2
(t 2 − 4) dt = 2
dx
4
t
t
+6
+c
7
4
x=t 2 –4
Çözüm
∫
∫
(t − 4) . 2t dt
∫
=
2t dt=dx
Örnek 6
∫
3
t +1
∫
integralini hesaplayalým.
Çözüm
t2 = x + 4
=
=
= 6 (t + t ) dt = 6
x . dx
x+4
∫
.dx = ?
Kökün kuvvetleri 2 ve 3 olduðundan
x + 5 + c bulunur.
=
3
Çözüm
∫ dt = t + c
=
2
x −1 +1
∫
integralini hesaplayalým.
2
x
e +4 −2
x
e +4 +2
+c
Kýsmi (Parçal) Ýntegrasyon
3)
Köklü Ýntegrallerin Trigonometrik
Dönüþümleri
a)
Eðer integral operatörü altýnda aþaðýdaki
þekilde köklü terimler varsa karþýlarýndaki
gibi trigonometrik dönüþümler yapýlýr.
r sabit u deðiþken olmak üzere,
TRÝGONOMETRÝK FONKSÝYONLAR
CÝNSÝNDEN RASYONEL OLARAK
ÝFADE EDÝLEBÝLEN
FONKSÝYONLARIN ÝNTEGRALÝ
∫ f(sin x, cos x) dx integralinde
I)
r 2 − u2
için u = r sin θ
tan x/2 = t dönüþümü yapýlýr.
II)
r 2 + u2
için u = r tan θ
sin
III)
u2 − r 2
için u = r sec θ
Ι=
∫
9 − 4x
∫
ise
2
9 − (2x) dx =
∫
2dx = 3cosθ dθ
3
cos θ d θ
2
2
9 − (3 sin θ) .
=
3
2
∫
=
9
2
∫ cos
=
9
4
∫ (1+ cos 2θ)dθ
=
9⎡
1
⎤
θ + .sin2θ ⎥ + c
4 ⎢⎣
2
⎦
2
9(1 − sin θ) cos θ d θ
2
θ dθ =
9
2
∫
1 + cos 2θ
dθ
2
1
1+ t
2
1
.
1+ t
2
=
2t
1+ t2
x
x
− sin 2
2
2
1
1+ t
2
−
t2
1+ t
=
2
1− t2
1+ t2
tan
x
2t
1− t2
= t ⇒ sin x =
, cos x =
2
2
1+ t
1+ t2
tan
x
x
=t ⇒
= arctan t
2
2
2 dt
1+ t2
Bu dönüþümler uygulandýðýnda trigonometrik
ifadeli integral trigonometrik ifadelerden
soyutlanýp rasyonel hale gelmiþ olacaktýr.
Örnek 1
3
Ι=
2x
9 − 4x
2
Ι=
2x
2x
ise θ = arcsin
3
3
ifadede
sin x
∫ 1+ cos x dx = ?
Çözüm
t=tan x/2 dönüþümü ile çözelim.
θ
4x
2
. 9 − 4x
9
Bunlarý yukarýdaki
yazarsak
Ι=
t
x = 2 arctan t ⇒ dx =
sin2θ = 2sinθ.cosθ
9 − 4x 2
3
t
Buna göre,
2x=3sinθ ⇒ sinθ=2x/3 ve
2x
= 2.
.
3
2
x
x
cos
2
2
=
daki gibi geriye dönüþ iþlemleri yapýlýr.
sin θ =
1+ t2
cos x = cos 2
Bu sonucu x cinsinden yazmak için aþaðý-
=
x
2
1
sin x = 2 sin
dx = ?
1+ t
1+ t2
= 2.
Çözüm
2x=3 . sinθ
Ι=
t
x
=
2
cos
Örnek 9
2
x
=
2
yerlerine
=
9⎡
2x 1 4x
⎤
arcsin
9 − 4x 2 ⎥ + c
+ .
4 ⎢⎣
3 2 9
⎦
∫
∫
2t
1 + t 2 . 2 dt
1− t2 1+ t2
1+
2
1+ t
2t
1+ t
= ln 1 + t
320
2
.
2
2
1+ t
2 dt
.
=
2 1+ t2
+ c = ln 1 + tan
∫
2
2t . dt
1+ t
x
+c
2
2
Kýsmi (Parçal) Ýntegrasyon
Örnek 2
ll. Yol :
∫
Ι=
1
dx = ?
3 + cos x
Çözüm
∫
1
3+
1− t
=
2
2t + 4
1
2
2
.
1+ t2
2 dt
∫
=
arctan
2 dt
1+ t
=
2
dt
1+ t
∫ 3 + 3t
∫ 2+t ∫
t
+1− t
2
.
2 dt
1+ t
Ι=
2
∫
cos x
=
3
sin x .cos x
1
∫ sin x . cos
3
( 2) + t
2
u = tan x
⎛ tan x / 2 ⎞
arctan ⎜
+c
⎝
2
2 ⎟⎠
Ι=
ise
1+ t
sin x =
∫
2
u
1
x = arctan x
⇒
x = arctan x
⇒
dx =
1 + u2
.
.
1
1 + u2
∫
du
2
2
du
u
∫
=
1 + u2
1+ u
du =
u
= ln u +
1 + u2
⎛1
⎞
+ u⎟ du
⎝⎜ u
⎠
∫
u2
+c
2
= ln tan x +
1
2
tan x + c
2
Örnek 4
dx
∫ sinax . cos ax = ?
Ι=
2
Çözüm
Buna göre;
1
dt
dx
∫ sin x . cos
2
=
dt
1+ t
1+ u
1+ t 2
x
tan x = t
u
1
2
1
cos x =
t
2
x
du
1+ u
t
1+ t
1+ u
2
du = (1 + tan x) dx ise
NOT: Trigonometrik ifadeler yukarýdaki
örnekte olduðu gibi çarpým durumunda ise
tanx=t dönüþümü yapýlýr.
Çözüm
tanx = t
∫
cos x
2
dx = ?
x
2
(1 + tan x)dx
sin x . cos x
2
Örnek 3
Ι=
integralinde pay ve
x
dx
2
1
+c =
2
2
dt
=
2
2
dx =
Ι=
3
paydayý cos 2 x ile bölelim.
Ι=
=
dx
∫ sin x . cos
Ι=
3
x
=
1+ t
∫
2
Ι=
⎛ 1
.⎜
2 ⎜
2
1+ t ⎝ 1+ t
t
⎞
⎟
⎟
⎠
3
∫
2⎞
⎛
⎜ 1 + t ⎟ dt
⎝
⎠
2
t.(1 + t )
1+ t
t
2
=
∫
=
t
+ ln t + c
2
dt =
⎛
∫
=
4
=
∫
dx
=
sinax . cos ax
2
∫
2
cos ax
sinax . cos ax
(1 + tan ax)
1
dx =
tanax
a
cos 2 ax
∫
2
a(1 + tan ax)dx
dx
tanax
2
(u = tanax dersek du = a(1 + tan ax)dx)
1
a
=
1⎞
∫ ⎜⎝ t + t ⎟⎠ dt
2
∫
du 1
1
= ln u + c = ln tanax + c
u
a
a
Örnek 5
Ι=
2
= 1/ 2. tan x + ln tan x + c bulunur.
321
dx
∫ sin x + tan x = ?
Kýsmi (Parçal) Ýntegrasyon
Çözüm
∫
u = sin x
dx
=
sin x + tan x
∫
⎫⎪
⎬ dönüºümünü yaptýðýmýzda
du = cos x dx ⎪⎭
dx
cos x.dx
=
sin x
sin
x(1 + cos x)
sin x +
cos x
∫
Ι=
t = tan x/2 dönüþümünü burdan önceki
örneklerdeki gibi uygular ve yerlerine
yazarsak
1− t
∫
cos x dx
=
sin x (1 + cos x)
∫
2
⎞
⎟
⎟
⎠
2
=
1
2
=
2
⎞
1⎛
t
⎜ ýnt −
+ c⎟
⎜
⎟
2⎝
2
⎠
=
2 m
nabilir.
1− t
1
dt =
t
2
.
2 dt
1+ t
2
Örnek 1
Ι =
⎛1
⎞
∫ ⎜⎝ t − t ⎟⎠ dt
∫ cos
5
3
x . sin x dx = ?
Çözüm
Ι=
=
1 ⎛
x⎞ 1
2 x
+c
ln ⎜ tan ⎟ − tan
2 ⎝
2⎠ 4
2
∫ cos
4
x . sin 3 x cos x dx
∫ (1− sin
2
x)2 sin 3 x.cos x dx
t = sin x ise dt = cos x dx
∫ (1− t )
2 2
∫
3
2
4
3
t dt = (1 − 2t + t ) t dt
∫
3
5
7
= (t − 2t + t ) dt
sinx ve cosx cinsinden bir polinomun integrali p, q, ∈ Z + olmak üzere;
∫ cos
du elde edilir.
polinom olduðundan integrali kolayca alý-
SÝNÜS ve KOSÝNÜS CÝNSÝNDEN BÝR
POLÝNOMUN ÝNTEGRASYONU
Ι=
2m +1
Ýntegral altýndaki ifadeler u cinsinden bir
Ι=
p
.u
2
1+ t
2
2t ⎛ 1 − t
⎜
1
+
2
2
1 + t ⎜⎝ 1 + t
∫
∫ (1− u )
q
x .sin x dx
=
t4
t6 t8
−2 .
+
+c
4
6
8
=
1
1
1
(sin x) 4 − (sin x) 6 + (sin x) 8 + c
4
3
8
tipindeki integraller karþýmýza çýkar. Bu tür
integrallerin hesabýný üç deðiþik þekilde
2.
inceleyeceðiz.
p ve q nun biri tek biri çift sayý ise
Tek olandan bir tanesi ayrýlýr. Geriye kalan
diðeri
1.
edilir
ve
deðiþken deðiþtirme kuralý uygulanýr.
p = 2m q = 2n+1 olmak üzere,
∫ cos x . sin x dx = ∫ (cos x)
= (cos x) (1 − cos x) . sin x dx
∫
P = 2m+1,
q = 2n+1,
m,n ∈ Z + olsun,
p
∫ (cos x)
. (sin x)
2n +1
2m
2
basit
. (sin x) 2n +1dx
n
t = cos x dersek dt = − sin x . dx
∫
x .sinq x dx = (cos x) 2m +1 . (sin 2x) 2n +1 dx
2m
q
2m
Bu durumda;
∫ cos
p
Ι=
deðiþken deðiþtirme ile integral çözülür.
=
ifade
Herhangi birinden bir tanesi çekilir geriye
kalan diðeri cinsinden ifade edilerek basit
Ι=
cinsinden
p ve q nun ikiside tek sayý ise
Ι =−
. cos x dx
∫t
2m
(1 − t 2 )n .dt
þeklinde t cinsinden bir polinomun integraline dönüþür.
∫
Ι = (1 − sin 2 x)m . (sin x) 2n +1cos x dx
þeklinde yazabiliriz. Buradan;
322
Kýsmi (Parçal) Ýntegrasyon
Örnek 2
∫ sin
Ι =
4
3
=
1
4
∫ sin
=
1
4
∫ 2 (1− cos 4x) dx
=
1
8
∫ (1− cos 4x)dx
=
1⎛
1
⎞
⎜ x − sin 4x ⎟ + c
8⎝
4
⎠
x . cos x dx = ?
Çözüm
∫ sin
Ι=
=
∫
4
2
x . cos x cos x dx
4
2
sin x . (1 − sin x) cos x dx
2
1
bulunur.
t = sin x dersek dt = cos x dx
Ι=
∫ t (1− t ) dt = ∫(t
4
2
5
=
3.
4
− t 6 ) dt
7
t
t
1
5 1
7
+ + c = (sin x) − (sin x) + c
5
7
5
7
p ve q nun ikiside çift sayý ise
p = 2m
Ι=
∫ cos
(cos x)
q = 2n
p
2m
olsun
∫
x .sinq x dx = (cos x) 2m.(sin x) 2ndx
2
= (cos x)
m
⎛ 1 + cos 2x ⎞
=⎜
⎟⎠
⎝
2
⎛ 1 − cos 2x ⎞
(sin x)2n = (sin 2 x)n = ⎜
⎟⎠
⎝
2
n
n
NOT :
cos 2 x = cos 2 x – sin 2 x
= 2 cos 2 x – 1 = 1 – 2sin 2 x
olduðunu hatýrlayalým. Yukarýdaki ifadelerin yerlerine konulmasýyla sinüs ve kosinüsün dereceleri azaltýlýr. Bu iþleme devam
edilerek bu ifadeler birinci dereceye kadar
indirgenir.
Örnek 3
∫ sin
2
2
x . cos x dx = ?
2
x . cos x dx =
Çözüm
∫ sin
2
∫
1 − cos 2x 1 + cos 2x
.
dx
2
2
=
1
4
∫ (1− cos 2x)(1 + cos 2x)dx
=
1
4
∫ (1− cos
2
2x) dx
323
2x dx
ALIÞTIRMALAR 2
1.
Kýsmi (Parçal) Ýntegrasyon
∫ x . d(e )
x
7.
∫
3
dx
4x – 1
Ýntegralinin eþitini bulunuz.
Ýntegralinin eþitini bulunuz.
Cevap :
Cevap : ex (x – 1) + c
2.
∫ x.e
–x
dx
8.
∫
Ýntegralinin eþitini bulunuz.
x
x2 + 3
dx
Ýntegralinin eþitini bulunuz.
Cevap : (–1) e–x (x + 1) + c
Cevap :
3.
∫
3
ln |4x − 1| + c
4
arccos x dx
9.
Ýntegralinin eþitini bulunuz.
∫
2x – 3
x2
1
ln ( x 2 + 3 ) + c
2
dx
Ýntegralinin eþitini bulunuz.
Cevap : x . arccos x – 1– x 2 + c
Cevap : 2 Inx +
4.
∫
10.
x. sin x dx
Ýntegralinin eþitini bulunuz.
∫
2x + 1
x + x2
dx
Ýntegralinin eþitini bulunuz.
Cevap : –x cosx + sinx + c
5.
Cevap : In |x + x2 | + c
11.
∫ ln x dx
∫
x –1
dx
x +1
Ýntegralinin eþitini bulunuz.
Ýntegralinin eþitini bulunuz.
Cevap : x – 2 In |x + 1| + c
Cevap : x . lýnx – x + c
6.
∫
3
+c
x
2x . ln x dx
12.
Ýntegralinin eþitini bulunuz.
∫
x2
dx
x–2
Ýntegralinin eþitini bulunuz.
1
Cevap : x 2 . ⎛⎜ ln x − ⎞⎟ + c
⎝
2⎠
Cevap :
324
x2
+ 2x + 4 ln |x–2| + c
2
Kýsmi (Parçal) Ýntegrasyon
ALIÞTIRMALAR 2
13.
∫
dx
19.
x 2 – 2x + 2
Ýntegralinin eþitini bulunuz.
∫
1 + sin x
sin x
. cos x dx
Ýntegralinin eþitini bulunuz.
Cevap : 2 sin x + sin x + c
Cevap : arctan ( x – 1 ) + c
14.
∫
dx
2
x –x–6
Ýntegralinin eþitini bulunuz.
20.
Cevap : 1 ln x – 3 + c
5
x+2
∫
1+ x + 1
3
x +1
dx
Ýntegralinin eþitini bulunuz.
Cevap :
15.
∫
3
2
(
6
x +1
)
4
+
6
.
7
( x +1 ) + c
6
7
3x + 2 dx
Ýntegralinin eþitini bulunuz.
Cevap :
2
9
( 3x + 2 ) + c
3
21.
∫
sin3 x dx
Ýntegralinin eþitini bulunuz.
16.
∫
x . x 2 + 5 dx
Cevap :
Ýntegralinin eþitini bulunuz.
Cevap :
1 ⎛
3 ⎝
3
x2 + 5 ⎞ + c
⎠
22.
17.
∫
x . dx
∫
Cevap :
∫
sin3 x . cos 3 x dx
Ýntegralinin eþitini bulunuz.
x2 + 3
Ýntegralinin eþitini bulunuz.
18.
1
cos 3 x − cos x + c
3
Cevap :
1
1
sin4 x –
sin6 x + c
4
6
x2 + 3 + c
dx
23.
9 – x2
tan x . cos 3 x dx
Ýntegralinin eþitini bulunuz.
Ýntegralinin eþitini bulunuz.
x
Cevap : arcsin ⎛⎜
⎝ 3
∫
⎞
⎟+c
⎠
Cevap : −
325
1
cos 3 x + c
3
TEST 2
1.
Kýsmi (Parçal) Ýntegrasyon
∫ (x + 2) . e
x
6.
dx
integrali aþaðýdakilerden hangisine eþittir?
A) ex . (x + 1) + c
C) ex
(x – 1) + c
D)
x
x2 – 1
dx
Ýntegrali aþaðýdakilerden hangisine eþittir?
B) ex (x + 2) + c
ex
∫
A) In |x 2 – 1| + c
.x+c
C)
E) ex . (x – 2) + c
1
In|x 2 –1|+c
2
B) x + In | x 2 – 1| + c
D)
1
In|x+1|+c
2
E) 2In|x 2 –1|+c
2.
∫e
x
. (1– e – x ) dx
7.
integrali aþaðýdakilerden hangisine eþittir?
A) ex . (x – 1) + c
C) ex
B) e–x (x + 1) + c
–x+c
D)
ex
∫
+x+c
A) 3x – 3arctanx + c
B) 3 arctanx + c
C) 3 + arctanx + c
D) x + tan (x – 2) + c
E) x – tan x + c
A) cosx + sinx + c
B) cosx – sinx + c
C) x sinx – cosx + c
D) –x cosx + sinx + c
8.
∫
A) arctanx + c
B) arctan (x – 2) + c
C) 2 arctanx + c
D) x + tan (x – 2) + c
E) x – tan x + c
x 2 . lnx dx
Ýntegrali aþaðýdakilerden hangisine eþittir?
3
A) x – Inx + c
C) x 3Inx –
1 3
x +c
3
3
9.
3
B) x Inx – x + c
D)
x3
1
Inx – x 3 + c
3
9
∫
∫
d(x 2 + 3)
x2 + 3
Ýntegrali aþaðýdakilerden hangisine eþittir?
A) x2 + 3
x3 1 3
E)
– x +c
3 3
5.
dx
x 2 – 4x + 5
Ýntegrali aþaðýdakilerden hangisine eþittir?
E) –(x+1) cosx + sinx + c
∫
dx
(x + 1) sin x dx
Ýntegrali aþaðýdakilerden hangisine eþittir?
4.
x2 + 1
Ýntegrali aþaðýdakilerden hangisine eþittir?
E) ex + e–x + c
3.
∫
3x 2
B) In(2x)+c
D) In( x2 ) + c
10.
x+2
dx
x +1
∫
5x – 1
2
x –x–2
dx
A) ln |x + 1| + c
B) x + ln |x + 1| + c
C) x + ln |x + 2| + c
D) x – ln |x – 1| + c
E) x + In (x2 + 3) + c
Ýntegrali aþaðýdakilerden hangisine eþittir?
Ýntegrali aþaðýdakilerden hangisine eþittir?
A) x – ln |x + 2| + c
C) In(x2+3)+c
C) ln |
x+1
|+c
x–2
B) x + ln |x – 2| +c
D)
2
x–2
ln |
|+c
3
x+1
E) 2ln|x+1|+3ln|x–2|+c
E) x + ln |x – 2| + c
326
Kýsmi (Parçal) Ýntegrasyon
TEST 2
11.
∫
3
x
15.
dx
x
Ýntegrali aþaðýdakilerden hangisine eþittir?
A)
5
6
( x ) +c
6
5
D)
B)
6
5
( x ) +c
6
5
( x ) +c
6
5
E)
6
5
C)
( x ) +c
6
x2
4 3
x +1
dx
Ýntegrali aþaðýdakilerden hangisine eþittir?
5
( x)
5
∫
A)
3
4 ⎛4 3
x + 1⎞ + c
⎠
9 ⎝
B)
3
9 ⎛ 3
x + 1⎞ + c
⎠
4 ⎝
C)
1 ⎛4 3
x + 1⎞ + c
⎠
3 ⎝
D)
2
1 ⎛ 3
x + 1⎞ + c
⎝
⎠
4
6
E)
12.
∫
x . x 2 + 1 dx
Ýntegrali aþaðýdakilerden hangisine eþittir?
3
16.
2
A) ⎛ x 2+1⎞ +c
⎝
⎠
B) ⎛ x 2+1 ⎞ +c
⎝
⎠
3
1
C) ⎛ x 2 –1⎞ +c
⎠
3⎝
3
1
D) ⎛ x 2 + 1⎞ + c
⎠
3⎝
∫ sin x . sin2x dx
Ýntegrali aþaðýdakilerden hangisine eþittir?
A)
2
sin3 x + c
3
B)
1
cos 3 x + c
3
C)
3
sin2 x + c
2
D)
3
cos 2 x + c
2
3
⎛1
⎞
E) ⎜ x 2+1⎟ +c
⎝3
⎠
13.
∫
E)
tan x . sec 2 x dx
17.
Ýntegrali aþaðýdakilerden hangisine eþittir?
A) cos x+c
B) tanx + c
2
C) ( tan x )3 + c
3
2
D)
tan x + c
3
∫
x +1+ 2
x +1
A)
Ýntegrali aþaðýdakilerden hangisine eþittir?
C) 2In(x + 1) + c
D) x + In( x + 1) + c
1
+c
sin 2x
B) –
E)
18.
B)In( x+1) + c
dx
sin2x. tan2x
C) 2 sin 2x + c
dx
A)2In( x + 1)+c
∫
2
cos 2 x + c
3
Ýntegrali aþaðýdakilerden hangisine eþittir?
3
E) ( tan x )3 + c
2
14.
4 ⎛4 3 ⎞
x –1 + c
⎠
9 ⎝
1
+c
2 sin 2x
D) – 2 cos 2x + c
–1
+c
2 cos 2x
∫ (cot an x + 3) dx
2
Ýntegrali aþaðýdakilerden hangisine eþittir?
E) x + 1 + 4 . x + 1 + c
A) x + cotanx + c
B) x – cotanx + c
C) 2x+cotanx + c
D) cotanx + c
E) – cotanx + 2x + c
Cevaplar: 1-A 2-C 3-E 4-D 5-B 6-C 7-A 8-B 9-C 10-E 11-B 12-D 13-C 14-E 15-A 16-A 17-B 18-E
327