VII. OLİMPİYAT SINAVI Sınava Katılan Tüm Talebe Arkadaşlara Başarılar Dileriz SORULAR ( 2 1. (1 + x 3 ) 1 + x 3 )(1 + x ) ........(1 + k.x ) .....(1 + 1997.x ) 33 31997 3k polinomu 1 + a1 x k1 + a2 x k2 + ....... + am x km , ( ai ≠ 0 ve k1 < k2 < ...... < km ) polinomuna eşit olduğuna göre a1997 katsayısının (mod1000) e göre eşiti kaçtır? A) 280 B)665 C)596 D)582 E) Hiçbiri 2. S = {5k | k ∈ , 0 ≤ k ≤ 2004} olarak tanımlanıyor. 52004 = 5443.....0625 sayısı 1401 basamaklı ise S kümesinin kaç elemanı 1 ile başlar? A) 603 B) 604 C) 605 D)606 E) Hiçbiri 1 = 0, d1d 2 d 3 ..... olarak n yazıldığında d i = di +12 , i = 1, 2, 3,... eşitliği sağlanmaktadır. 9901 sayısının asal olduğu bilindiğine göre; S kümesinin kaç pozitif tamsayı elemanı vardır? A) 253 B) 254 C) 255 D) 256 E) Hiçbiri 3. S kümesi öyle n sayılarından oluşmaktadır ki n > 1 ve 4. Bir ABC üçgeninde D, E ve F noktaları sırası ile [ BC ] , [CA] ve [ AB ] üzerinden seçiliyor. Öyle ki; [ AD ] , [ BE ] ve [CF ] doğru parçaları P noktasına kesişiyorlar. A(AFP) = 126, A(FBP) = 63 ve A(CEP) = 24 ise A(ABC) = ? A) 348 B) 349 C) 350 D) 351 E)Hiçbiri www.sbelian.wordpress.com math is not my life, but i like it 1 VII. OLİMPİYAT SINAVI ( 2004 ) 5. k sayısının 2004! sayısını tam bölmesini sağlayan en büyük k değerinin basamakları toplamı kaçtır? ( k ∈ + ) A) 7 B) 5 C) 4 D) 3 E)Hiçbiri 6. Bir ABC üçgeninde BC = 13 , CA = 37 , AB = 40 olarak veriliyor. D, E ve F noktaları sırası ile BC , CA ve AB üzerinden alındığında, AD , BE , CF doğruları çevrel çemberin merkezinde kesiştiklerine göre A) 48 481 7. a1 , a2 , a3 B) 46 481 sayıları C) 44 481 1 1 1 + + =? AD BE CF 43 D) 481 x. ( x − 200 ) . ( 4 x + 1) = 1 denkleminin w = tan −1 (a1 ) + tan −1 (a2 ) + tan −1 (a3 ) olarak veriliyor. Eğer tan(w) = (m,n) = 1 ise m+n = ? A) 163 B) 164 C) 165 D) 166 E) 41 481 kökleridir. m , ( m, n ∈ + ) ve n E) 167 8. İkişerli olarak birbirine teğet olan 3 çemberden ikisinin yarıçapı 3 ve diğerinin 7 dir. Merkezlerinin birleştirilmesi ile oluşan üçgenin alanı 84 ise, üçüncü çemberin alanı nedir? B) 195π C) 193π D) 192π E) 190π A) 196π 9. Basamakları artan sıra ile yazılmış 7 basamaklı sayıların sayısına N diyelim. Buna göre N sayısının 1000 ile bölümünden kalan kaçtır? A) 435 B) 348 C) 712 D) 696 E) 542 www.sbelian.wordpress.com math is not my life, but i like it 2 VII. OLİMPİYAT SINAVI 1 x ≠ 0 , 2 f ( x) + f ( ) = 5 x + 4 olarak veriliyor. Buna göre f ( x) = 2004 x eşitliğini sağlayan x değerlerinin toplamı S ise, S ye en yakın tamsayı değeri kaçtır? A) 602 B) 603 C) 601 D) 608 E) 610 10. u1 + u1 + u1 = 1 11. u1 , u2 , u3 karmaşık sayılar olsun. u12 + u22 + u32 = 3 ise u17 + u27 + u37 toplamı kaçtır? u13 + u23 + u33 = 7 A) 190 B) 71 9800 1 12. S = ∑ C) 210 eşitliğindeki S D) 89 sayısı E) Hiçbiri p + q r ; p, q, r ∈ + biçiminde 2 n + n −1 yazılabilmekte ve r sayısı herhangi bir asal sayının karesi ile bölünemediğine göre ; p + q + r kaçtır? n =1 A) 129 13. Bir B) 128 C) 127 D) 123 E) 121 ABCD kirişler dörtgeninin köşegenleri P noktasında kesişmektedir. BP 3 AB = 1, CD = 4 ve = olarak veriliyor. ABCD dörtgeninin çevrel çemberinin DP 8 alanı p A) 49 π q , ( p, q ) = 1 ise p+q = ? B) 48 www.sbelian.wordpress.com math is not my life, but i like it C) 47 3 D) 46 E) 45 VII. OLİMPİYAT SINAVI N ∈ + olmak üzere; 14. ( a1 , a2 ,...., a8 ) lilerin sayısına N diyelim. a1 = 10 ve a12 − a22 = 10 a22 − a32 = 20 ise N ≡ x(mod1000) denkliğini sağlayan x ∈ + kaçtır? a72 − a82 = 70 a82 − a12 = 80 A) 468 15. B) 469 ∞ { An }n≥1 C) 470 D) 471 E) 472 pozitif sonsuz terimli bir dizi olmak üzere; an = 2.an −1 + n 2 , n > 1 olarak veriliyor. Buna göre; a1 = 1 ise a2004 ≡ x mod(1000) denkliğini sağlayan x değeri kaçtır? A) 56 B) 57 C) 58 D) 59 E) 60 16. Bir ABC dik üçgeninin düzleminde BC doğrusuna göre A noktasının bulunmadığı tarafta BDEC karesi çiziliyor. BAC dik açısına ait açıortayın BC ve DE kenarlarıyla kesişim noktaları sırasıyla F ve G ile gösterilmek üzere AB = 24 ise BDGF dörtgeninin alanı kaçtır? A) 338 B) 340 C) 346 D) 348 E) 352 17. A) 100 10 çizgi ve 10 çember bir düzlemi en fazla kaç parçaya ayırabilir? B) 199 C) 244 D) 346 E) 360 www.sbelian.wordpress.com math is not my life, but i like it 4 VII. OLİMPİYAT SINAVI 18. 1000! ≡ x mod(2003) denkliğini sağlayan x tamsayısının basamakları toplamı kaçtır? A) 2 B) 3 C) 4 D) 6 E) 7 19. İstanbul’un Avrupa yakasında konuşulan fentekçe dilinde tüm kelimeler F, E ve N harflerinden oluşmaktadır. Sesli ve sessiz harf tanımları ise Türkçedeki ile aynıdır. Ancak herhangi bir F, E, N dizisinin fentekçe bir kelime olabilmesi için herhangi iki E arasında en az iki sessiz harf olmalıdır. Buna göre 10 harfli fentekçe kelimelerin sayısının 1000 ile bölümünden kalan kaçtır? B) 937 A) 936 C) 938 D) 939 E) 940 20. {1, 2,3,........,32} kümesinde eğer m|n ise m. sayıda n. sayıyı böler durumunu sağlayan permütasyonların sayısı kaçtır? A) 236 B) 237 C) 238 D) 239 E) 240 an ve 21. bn reel terimli birer dizi olmak üzere; an terimi kendisinden önceki (n-1) terimin aritmetik ortası, bn ise kendisinden önceki (n-1) terimin geometrik ortasıdır. a2004 = 7 ve b2005 = 6 olarak veriliyor. Eğer (a 2 2 ai = bi , i = 1, 2, 3 ve a1 = 3 ise + a32 ) = ? A) 176 B) 180 www.sbelian.wordpress.com math is not my life, but i like it C) 200 5 D) 210 E) 216 VII. OLİMPİYAT SINAVI 22. Bir ABC üçgeninde; BC = 27, CA = 32 ve AB = 35 olarak veriliyor. Ayrıca; öyle bir P noktası var ki Ç ( ABC ) = Ç (CPA) = Ç ( APB ) olduğuna göre, AP + BP + CP = ( p + q r ) / s eşitliğini sağlayan p + q + r + s = ? (p, q, r, s yi bölen bir asal sayı karesi yoktur) A) 170 B) 171 C) 175 D) 177 E) Hiçbiri 23. x, y, z sıfırdan farklı birer tamsayı olmak üzere; −7 ≤ x, y, z ≤ 7 olarak veriliyor. Buna göre; 1/ x + 1/ y + 1/ z = 1/( x + y + z ) eşitliğini sağlayan (x, y, z) üçlülerinin sayısı kaçtır? A) 504 B) 508 C) 521 D) 544 E) 546 24. P(x) bir polinom olmak üzere, P (k ) = ise (m+n) = ? (ebob (m,n) = 1). A) 65 B) 66 25. C) 67 1 m , k = 1, 2,3,.....10 ve p (11) = − k .(k + 1) n D) 64 E) 71 O merkezli AB çaplı bir çember üzerinden alınan C ve D noktaları birleştiriliyor. CD ⊥ AB kesişimleri H noktasıdır. AB = xy, CD = yx olduğuna göre AB = ? ( OH > 0 ) A) 56 26. B) 65 C) 36 D) 63 E) 44 Bir ABC üçgeninde [ BC ] kenarı üzerinden BD = 2, DC = 6 olacak şekilde bir D noktası bulunmaktadır. AB = 4 ve m( ACB) = 20o olduğuna göre m( BAO) = ? A) 50 B) 20 www.sbelian.wordpress.com math is not my life, but i like it C) 29 6 D) 30 E) 42 VII. OLİMPİYAT SINAVI 27. Kenar uzunlukları AB = 6, BC = 7, AC = 8 olan bir ABC üçgeninin A köşesine ait açıortay BC yi D noktasında kesiyor. E noktası [ AC ] üzerinde olmak üzere [CE ] = 2 ise [ DE ] = ? A) 3 B) 4 C) 4,2 D) 4,8 E) 5 Kenarları 1 br olan ABCD karesinin AB, BC, CD, DA kenarları üzerinden sırsı AA′ BB′ CC ′ DD′ 1 = = = = olduğuna göre ile A′, B′, C ′, D′ noktaları alınıyor. AB BC CD DA n AC ′, A′C , BD′, B′D kesişimleri ile oluşan karenin alanı 1/1985 ise n = ? 28. A) 32 B) 36 C) 42 D) 46 E) Hiçbiri 29. A, B, C, D pozitif tamsayıları A5 = B 4 , C3 = D 2 ve C = A + 19 eşitliklerini sağladıklarına göre D − B = ? A) 757 B) 760 C) 780 D) 795 E) 800 30. Bir çembere dışındaki bir A noktasından çizilen teğetlerin değme noktaları B ve C dir. AB ve BC nin orta noktaları sırasıyla D ve E, CD nin çemberi kestiği diğer nokta F olmak üzere m(ABC) = 36o olduğuna göre m(EFC) kaç derecedir? A) 36 B) 45 C) 54 D) 60 E) 72 www.sbelian.wordpress.com math is not my life, but i like it 7 VII. OLİMPİYAT SINAVI Bir ABC üçgeninin kenarortayları AD , BE ve CF olarak veriliyor. Öyle ki 31. AD doğru parçası y = x+3, BE ise y = 2x + 4 üzerindedir. AB = 60 ve m( ABC ) = ? A) hiçbirisi B) 400 C) 440 D) 460 E) 480 32. m kırmızı ve n mavi çorap ( m + n ≤ 1991 ) bir torbaya konuluyor. Eğer rasgele 2 çorap çekilirse, ikisinin de aynı renk olma olasılığı ½ dir. Buna göre m nin alabileceği en büyük değerin basamakları toplamı kaçtır? A) 18 33. B) 21 C) 12 D) 16 E) hiçbirisi Bir ABC üçgeninde D, E ve F noktaları sırasıyla BC , AC , AB kenarlarının orta noktasıdır. P, Q, R noktaları ise sırasıyla EF , FD , DE uzunlukları üzerindedir ve A, P, R; C, R, Q ve B,Q,P noktalar grubunun her biri kendi içerisinde doğrusal olduğuna göre A( ABC ) / A( PQR ) = ? A) 10 B) 11 C) 7 + 2 5 D) 7 + 3 5 E) hiçbirisi 34. Boyutları a, b, c olan bir prizmanın hacmi, boyutları (a+2), (b+2), (c+2) olan başka bir prizmanın hacminin yarısı ise c nin alabileceği en büyük değeri aşağıdakilerden hangisidir? A) 150 B) 140 www.sbelian.wordpress.com math is not my life, but i like it C) 130 8 D) 120 E) 110 VII. OLİMPİYAT SINAVI 35. Bir ABC üçgeninde m( PAB ) = m( PBC ) = m( PCA) olacak şekilde bir P noktası alınıyor. Eğer AB = 13, BC = 14, CA = 15 ise tan(PAB) = ? A) 295/168 36. B) 295/167 C) 295/166 D) 295/166 E) hiçbirisi Bir ABC üçgeninde AB = AC dir. P noktası AC üzerinde, Q ise AB üzerindedir. Eğer AP = PQ = QB = BC ise m( ACB ) / m( APQ) = ? A) 4/7 B)5/7 www.sbelian.wordpress.com math is not my life, but i like it C) 5/7 9 D) 7/13 E) 8/13