Modüler_Aritmetik KONU ANLATIMI

MODÜLER ARİTMETİK
ℤ kümesinde β = {( x, y ) : m böler ( x − y ) , m ∈ ℤ + } bağıntısı bir denklik bağıntısıdır.
Bu bağıntıya göre, ( x, y ) ∈ β ise, x ≡ y ( Mod m ) yazılır ve “ x denktir y modül m ” diye
okunur. Buradaki x ve y sayıları m ile bölündüğünde aynı kalanı verir.
Tam sayıların m ∈ ℤ + ile bölümünden elde edilen kalanların kümesi, {0,1, 2,3,..., m − 1} dir.
m ∈ ℤ + ile bölündüğünde 0 kalanını veren sayıların oluşturduğu kümeye 0’ ın denklik sınıfı
denir ve 0 ile gösterilir. m ∈ ℤ + ile bölündüğünde 1 kalanını veren sayıların oluşturduğu kümeye 1’ in
denklik sınıfı denir ve 1 ile gösterilir.
............................................
m ∈ ℤ + ile bölündüğünde ( m − 1) kalanını veren sayıların oluşturduğu kümeye
( m − 1) ’ in
______
denklik sınıfı denir ve ( m − 1) ile gösterilir.
m ∈ ℤ + olmak üzere , Tam sayıların m ∈ ℤ + ile bölümünden kalanların oluşturduğu sınıfların
______


kümesi ℤ / m =  0, 1, 2,..., ( m − 1)  dir.


Buna göre , ℤ / 2 = {0, 1} , ℤ / 3 = {0, 1, 2} ,….. gibidir.
Soru: ℤ tam sayılar kümesinde ℤ / 5 ’ e göre denklik sınıflarını yazınız.
Soru: ℤ tam sayılar kümesinde β = {( x, y ) : 4 | ( x − y ) , x, y ∈ ℤ} bağıntısı veriliyor. Buna göre denklik
sınıflarını yazınız.
Uyarı: x, y ∈ ℤ ve m ∈ ℤ + olmak üzere x ≡ y ( Mod m ) ise ,
i) x − y , m ile tam bölünür.
ii) x ’ in m ile bölümünden kalan ile y ’nin m ile bölümünden kalan aynı sayıdır. Yani x = y
dır.
iii) 0 ≤ x ≤ m ise x ’in m ile bölümünden kalan y dir.
Soru: ( 5 − x ) ≡ 3 ( Mod 7 ) sağlayan en küçük iki pozitif x tam sayısının toplamı kaçtır.
Soru: ( 3 − x ) ≡ 7 ( Mod 8 ) sağlayan en küçük iki pozitif x tam sayısının toplamı kaçtır.
Soru: 37 ≡ 2 ( Mod k ) sağlayan k > 1 tam sayılarının toplamı kaçtır ?
1
KALAN SINIFLARINDA TOPLAMA ve ÇARPMA
∀x, y, t ∈ ℤ ve m ∈ ℤ + için x ≡ y ( Mod m ) , z ≡ t ( Mod m ) ise,
a. x + z ≡ y + t ( Mod m )
b. x.z ≡ y.t ( Mod m )
İspat:
a.
x ≡ y ( Mod m ) ⇒
z ≡ t ( Mod m ) ⇒
x − y = m.k1 , k1 ∈ ℤ
+ z − t = m.k2 , k2 ∈ ℤ
( x + z ) − ( y + t ) = m. ( k1 + k2 ) ,
⇒
b.
( x + z ) ≡ y + t ( Mod m )
x ≡ y ( Mod m ) ⇒
k1 , k2 ∈ ℤ
dir.
x − y = m.k1 , k1 ∈ ℤ ⇒ x = m.k1 + y
z ≡ t ( Mod m ) ⇒ z − t = m.k2 , k2 ∈ ℤ ⇒ z = m.k2 + t
x = m.k1 + y
z = m.k2 + t
x.z = m 2 .k1.k2 + m.k1.t + m.k2 . y + y.t
x.z − y.t = m. ( m.k1.k2 + k1.t + k2 . y ) = m. p, p ∈ ℤ
⇒ x.z = y.t ( Mod m ) dir.
Sonuç:
x ≡ y ( Mod m ) ve n ∈ ℤ + ise x n ≡ y n ( Mod m )
Uyarı:
ℤ / m kümesinde toplama ve çarpma işlemlerinin birleşme özelliği vardır.
ℤ / m ’ de toplama işleminin birim elemanı 0 ve çarpma işleminin birim elemanı 1 dir.
ℤ / m kümesinde çarpma işleminin toplama işlemi üzerine dağılma özelliği vardır.
4
40
42
4 k +3
Soru : 3 ≡ ? ( Mod 5) , (3) ≡ ? ( Mod 5) , (3) ≡ ? ( Mod 5) , (3) ≡ ? ( Mod 5) , (3)
sayılarını hesaplayınız ?
2
≡ ? ( Mod 5)
Soru: Z/5 de ⊕ ve ⊗ işlemlerinin tablolarını yapınız.
ℤ / 5 de toplama işlemine bakarsak, −3 = 3−1 = 2 olur. (sayı pozitif oluncaya kadar ℤ / 5 'te 5 eklenir.)
+
0
1
2
3
4
Birim eleman toplama işlemine göre 0 dır.
0
0
1
2
3
4
1
1
2
3
4
0
2
2
3
4
0
1
3
3
4
0
1
2
4
4
0
1
2
3
Birim eleman 1 dir.
Çarpma işlemine göre 3 ün tersi
Pratik yol,
1
= 3−1 = 2 dir.
3
1 1.2 2
=
= = 2 (paydayı 1 yapan değerle pay ve payda çarpılır)
3 3.2 1
Örnek :
3
≡ x ( Mod 5) ise, x = ?
4
Çözüm :
3 3.4
=
= 2 dir.
4 4.4
Soru : (−66) ≡ x ( Mod 5) ise, x = ?
42
_
_
Soru : (ℤ / 5) ’de çarpma işlemine göre 1 ’in ve 4 ’ün kareköklerini bulunuz.
Çözüm :
0.0 = 0
.
0
1
2
3
4
1.1 = 1
2.2 = 4
3.3 = 4
4.4 = 1
0
0
0
0
0
0
1
0
1
2
3
4
2
0
2
4
1
3
3
0
3
1
4
2
4
0
4
3
2
1
Yukarıdaki işlemlere göre 1 in karekökü 1 veya 4 tür. 4 ' ün karekökü 2 veya 3 tür.
2 ve 3 ün karekökü yoktur .
Soru : ℤ / 5 te x 2 + 1 = 0 ifadesinin çözüm kümesini bulunuz ?
Soru:
( ℤ / 7, +,.)
sisteminde (cisminde) f ( x ) = 3 x + 2 ise, f −1 ( x ) = ?
3
Soru:
( ℤ / 6, +,.)
sisteminde (cisminde) f ( x ) = 3 x + 2 ise, f −1 ( x ) = ? (Yoktur.)
Soru: ( ℤ / 9, +,.) sisteminde (cisminde) f ( x ) = 2 x + 4 ise, f −1 ( x ) = ? Buna göre , ℤ / 9 ’da hangi
sayının tersi yoktur ? neden ?
Uyarı : Sistemin Asal çarpanlarından birini barındıran sayıların tersleri o sistemde bulunamaz. Asal sayı
olan sistemlerde her elemanın tersi bulunur.
Soru:
( ℤ / 3, +,.) sisteminde (cisminde)
2x + y = 1
 denklem sisteminin çözüm kümesini bulunuz.
x+ y = 1 
( ℤ /11, +,.) sisteminde (cisminde) f ( x ) = 6 x + 5
( fof )( x ) = 1 ise, x = ?
Soru:
ile tanımlı f ( x ) fonksiyonu için
Soru : 112 ≡ 2 ( Modm ) denkliğini sağlayan kaç tane m doğal sayısı vardır ? (6)
Çözüm :
112 = 110 +2 şeklinde yazılır. 110 sayısının asal çarpanları 110 = 2.5.11
(1 + 1)(1 +1)(1 +1) = 8 tanedir. 2 ve 1 denklemi sağlamaz 6 tane olur.
Soru : 9 günde bir sınava giren bir öğrenci ilk sınavına Salı günü girerse 9.ncu sınavına hangi gün girer ?
(Perşembe)
Çözüm :
İlk sınavına girdiğine göre geriye 8 sınav kalmıştır. 8.9 ≡ 2 ( Mod 7) 2 artık gün vardır. buna göre
Perşembe olur.
Soru : Mersin vapuru İstanbul’a 11 günde bir uğramaktadır. Salı günü uğradıktan sonraki 18nci uğrayışı
hangi gün olur ? (Perşembe)
Çözüm :
Uğradıktan sonraki dediği için geriye zaten 18 sınavı kalmıştır. 18.11 ≡ 2 ( Mod 7) 2 artık gün
vardır. Perşembe olur.
4
Soru : 119 + 219 + 319 + ....... + 1819 toplamının 19 ile bölümünden kalan kaçtır ? (0)
Çözüm :
19
19
19
119 + 219 + 319 + .... + (−3) + (−2) + (−1)
yazarsak 0 kalır.
Soru : ( 2!+ 4!+ 6!+ 8!+ ...... + 104!) ≡ x ( Mod 10 ) denkliğini sağlayan x değeri nedir ? (6)
Soru : ( 0!+ 2!+ 4!+ 6!+ ... + 100!)
12456096
≡ x ( Mod 10 ) ise, x kaçtır ? (1)
Soru : n doğal sayı olmak üzere 2n + 4 + 2n + 2 + 2n ≡ x ( Mod 7 ) ⇒ x = ? (0)
Soru : ( 0!+ 2!+ 4!+ 6!+ ... + 100!)
102
sayısının 5 ile bölümünden kalan kaçtır ? (4)
Soru : x bir pozitif tamsayı olmak üzere, 1x + 2 x + 3x + ... + 60 x ≡ 0 ( Mod 4 ) x ’ in en küçük değeri
aşağıdakilerden hangisidir ? (3)*
1
2
3
4
5
Çözüm :
1x + 2 x + 3x + 4 x + 1x + 2 x + ...... şeklinde gider, 15 tane böyle dörtlü olur. Sonuçta sadece
1x + 2 x + 3x ' e bakmak yeterli olacaktır. buradan x = 3 bulunur.
Soru : x ∈ ℤ + olmak üzere, 3x ≡ 2 x ( Mod 5 ) denkliğini sağlayan x ’ in iki basamaklı en büyük sayı
değeri kaçtır ? (98)
Çözüm :
2 2 ≡ 32 dir. Her kuvveti de eşit olacaktır.
Soru : 5 x − 4 ≡ 8 − x ( Mod 9 ) denkliğini sağlayan en küçük üç tane pozitif tamsayının toplamı kaçtır ?
(15)
Çözüm :
5
3
5 x − 4 = 9k + 8 ⇒ x = , k ∈ ℤ k = 0, 2, 4 koymalı pozitif değerler için. (Soruyu bu eşitliği sağlayan ilk
2
30 sayının toplamı şeklinde düşününüz.)
Soru : x 2 + x − 3 ≡ 9 ( Mod ( x 2 − 3 x)) ise x ’ in alabileceği tamsayı değerleri toplamı nedir? (-3)
Çözüm :
( x + 4 )( x − 3) ise, k = 1 + 4 bulunur ki, x sayısı 4’ün
x. ( x − 3 )
x
2
çarpanlarından birisi olabilir {−1,1, −2, 2, −4, 4} fakat, 1 Mod ( (1) − 3. (1) ) = Mod ( −2 ) olamayacağından
x 2 + x − 3 = k ( x 2 − 3x ) + 9 → k =
toplamı −3 olarak bulunur.
Veya , x 2 − x − 3 ≥ 9 denklemini çözmek yeterli olacaktır.
Soru: ℤ / 5 kümesinde 3 .( 2 + 4 ) + 4 .( 2 ) ifadesini hesap ediniz.
Soru: 4275 sayısının 5 ile bölümünden kalan kaçtır?
Soru: 3647 + 37 47 + 3847 + 3947 ≡ x ( Mod 6 ) ise negatif olmayan en küçük x tam sayısı kaçtır?
Soru:
( −11)
−44
≡ x ( Mod 7 ) ise negatif olmayan en küçük x tam sayısı kaçtır?
Soru: 16 x ≡ 4 ( Mod 7 ) ise x doğal sayılarının kümesini yazınız.
Soru: x tam sayısının 8 ile bölümünden kalan 3, y tam sayısının 8 ile bölümünden kalan 5 ise
x3 . y 4 sayısının 8 ile bölümünden kalan kaçtır?
Soru:
( ℤ / 5, +,.)
sisteminde (cisminde)
(x
2
+ 1 ) ( x + 4 ) = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
6
Dosya adı:
Dizin:
Şablon:
Modüler_Aritmetik KONU ANLATIMI
C:\Users\TOLGA\Desktop\INTERNET
C:\Users\TOLGA\AppData\Roaming\Microsoft\Templates\Nor
mal.dotm
Başlık:
Konu:
Yazar:
TOLGA KURTYEMEZ
Anahtar Sözcük:
Açıklamalar:
Oluşturma Tarihi:
08.01.2017 15:15:00
Düzeltme Sayısı:
2
Son Kayıt:
08.01.2017 15:15:00
Son Kaydeden:
TOLGA
Düzenleme Süresi: 1 Dakika
Son Yazdırma Tarihi: 08.01.2017 15:15:00
En Son Tüm Yazdırmada
Sayfa Sayısı:
6
Sözcük Sayısı:
1.508(yaklaşık)
Karakter Sayısı: 8.599(yaklaşık)