VEKTÖREL İNTEGRALLER Mine IŞIN YÜKSEK LİSANS TEZİ

VEKTÖREL İNTEGRALLER
Mine IŞIN
YÜKSEK LİSANS TEZİ
MATEMATİK
GAZİ ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
TEMMUZ 2013
ANKARA
Mine IŞIN tarafından hazırlanan
VEKTÖREL İNTEGRALLER adlı bu tezin
Yüksek Lisans tezi olarak uygun olduğunu onaylarım.
Doç. Dr. Cüneyt ÇEVİK
…………………………………………
Tez Danışmanı, Matematik Anabilim Dalı
Bu çalışma, jürimiz tarafından oy birliği ile Matematik Anabilim Dalında Yüksek
Lisans tezi olarak kabul edilmiştir.
Prof. Dr. Bahri TURAN
…………………………………………
Matematik Anabilim Dalı, Gazi Üniversitesi
Doç. Dr. Cüneyt ÇEVİK
…………………………………………
Matematik Anabilim Dalı, Gazi Üniversitesi
Doç. Dr. İbrahim BÜYÜKYAZICI
…………………………………………
Matematik Anabilim Dalı, Ankara Üniversitesi
Tez Savunma Tarihi: 10 / 07 / 2013
Bu tez ile G.Ü. Fen Bilimleri Enstitüsü Yönetim Kurulu Yüksek Lisans derecesini
onamıştır.
Prof. Dr. Şeref SAĞIROĞLU
Fen Bilimleri Enstitüsü Müdürü
…………………………………………
iii
TEZ BİLDİRİMİ
Tez içindeki bütün bilgilerin etik davranış ve akademik kurallar çerçevesinde elde
edilerek sunulduğunu, ayrıca tez yazım kurallarına uygun olarak hazırlanan bu
çalışmada bana ait olmayan her türlü ifade ve bilginin kaynağına eksiksiz atıf
yapıldığını bildiririm.
Mine IŞIN
iv
VEKTÖREL İNTEGRALLER
(Yüksek Lisans Tezi)
Mine IŞIN
GAZİ ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
Temmuz 2013
ÖZET
Bu tezin amacı fonksiyonun veya integralin vektör değerli olduğu durumdaki
integral çeşitlerini açıklamaktır. Bochner integrallenebilir fonksiyonlar,
Kluvanek-Lewis tipi integrallenebilir fonksiyonlar ve daha genel olarak tensör
integrallenebilir
fonksiyonlar
ve
bunların
uzayları
ile
ilgili
teoriler
incelenmiştir. Bu uzaylarda vektör ölçü teorisindeki bazı temel teoremler
verilmiştir.
Bilim Kodu
: 204.1.095
Anahtar Kelimeler : Vektör ölçüsü, Banach lattice, Bochner integrali,
Bartle-Dunford-Pettis integrali, Tensör integrali
Sayfa Adedi
: 59
Tez Yöneticisi
: Doç. Dr. Cüneyt ÇEVİK
v
VECTORIAL INTEGRATIONS
(M.Sc. Thesis)
Mine IŞIN
GAZİ UNIVERSITY
GRADUATE SCHOOL OF NATURAL AND APPLIED SCIENCES
July 2013
ABSTRACT
The aim of the thesis is to clarify the types of integral being on value of vector of
integral or function. Bochner integrable functions, the functions of KluvanekLewis type and more generally tensor integrable functions and the theories
related to spaces of these were analized. Some main theorems in vector
measuring theory on these spaces were made clear.
Science Code
: 204.1.095
Key Words
: Vector measure, Banach lattice, Bochner integral,
Bartle-Dunford-Pettis integral, Tensör integral
Page Number
: 59
Adviser
: Assoc. Prof. Dr. Cüneyt ÇEVİK
vi
TEŞEKKÜR
Çalışmalarım boyunca yardım ve katkılarıyla beni yönlendiren, kaynaklarla
destekleyen ve değerli zamanlarını bana ayıran sayın hocam Doç. Dr. Cüneyt
ÇEVİK’e ve destekleriyle beni hiç yalnız bırakmayan anneme, babama ve eşim
Mehmet IŞIN’a teşekkürü bir borç bilirim.
vii
İÇİNDEKİLER
Sayfa
ÖZET……………………………………………………………………….........
iv
ABSTRACT………………………………………………………………….......
v
TEŞEKKÜR……………………………………………………………………… vi
İÇİNDEKİLER…………………………………………………………………… vii
1. GİRİŞ………………………………………………….…………………........
1
2. TEMEL KAVRAMLAR………………………………………………………
3
2.1. Riesz Uzayları ve Banach Örgüleri……………………………………....
3
2.2. Reel Değerli Fonksiyonların Reel Değerli Ölçüye göre İntegrali……….
5
2.3. İşaret ve Kompleks Ölçüsü…………………………………………….....
10
3. İNTEGRAL ÇEŞİTLERİ………………………………………………….......
16
3.1. Vektör Ölçüleri………………………………………………………..….
16
3.2. Reel Değerli Fonksiyonların Vektör Değerli Ölçüye göre İntegrali……..
20
3.3. Vektör Değerli Fonksiyonların Reel Değerli Ölçüye göre İntegrali……..
28
4. TENSÖR İNTEGRALLENEBİLİR FONKSİYONLAR….………………….. 44
4.1. Tensör Çarpımları………………………………………………………… 44
4.2. Vektör Değerli Fonksiyonların Vektör Değerli Ölçüye göre İntegrali…..
47
5. SONUÇ VE ÖNERİLER……………………………………………………… 57
KAYNAKLAR…………………………………………………………………... 58
ÖZGEÇMİŞ……………………………………………………………………… 59
1
1. GİRİŞ
Radon-Nikodym Teoremi Johann Radon tarafından 1913 yılında özel durum olarak
 n uzayında ispatlanmıştır ve Otto Nikodym 1930 yılında bu teoremi genel olarak
ispatlamıştır. Riesz uzayı teorisinde bu teorem bir sonuç olarak alınır.
2001 yılında Stefansson çalıştığımız konuyla ilgili olan “Vektör uzaylarında integral”
adında makale çıkardı. Bu makalede vektör değerli fonksiyonların vektör değerli
ölçüye göre integral tanımı yapılıp bu integralin özellikleri çalışıldı. Bu integrali
Stefansson tensör integrali olarak adlandırmıştır ve tensör integrallenebilir fonksiyonların uzayını L 1 (v,X,Y) ile göstermiştir.
2007 yılında Chakraborty ve Santwana, Stefansson’ın makalesinin devamı olan
“Tensör integrallenebilir fonksiyonlar uzayının özellikleri” adı altında makale çıkarmışlardır. Bu makalelerinde bizim de dördüncü bölümde bahsettiğimiz L1 ( v, X , Y )
uzayının sıra sürekli Banach örgüsü olduğunu göstermişlerdir.
Genel olarak bizim çalışmamız, fonksiyonun veya integralin vektör değerli olduğu
durumdaki integral çeşitleri üzerinedir. Bu integral çeşidi için farklı integral
çeşitlerini ele alıp inceledikten sonra bazı özelliklerini vermeyi amaçladık. Ayrıca
fonksiyonun değer uzayı Banach uzayı iken Radon-Nikodym Teoremini sağladığında
fonksiyonun
Radon-Nikodym
özelliğine
sahip
olduğu
da
bu
çalışmamız
içerisindedir.
İkinci bölümde tezin daha iyi anlaşılması için gerekli altyapıyı kurduk. Riesz
uzayları ve Banach örgüleri ile ilgili temel kavramları ve bazı özellikleri hatırlattık.
Daha sonra Lebesgue integralini açıkladık. Lebesgue integralin uzayının ve esas
sınırlı fonksiyonlar uzayının Banach uzayı olduğunu belirttik. Ölçü teorisi ile ilgili
hatırlatmalar yaptıktan sonra da işaretli ve kompleks ölçülerinden bahsedip klasik
Radon-Nikodym Teoremini ve ispatını verdik.
2
Üçüncü bölümde integral çeşitlerini ele aldık. İntegral çeşitlerinden önce ilk olarak
vektör ölçülerinden bahsedip vektör ölçüsüne göre varyasyon ve yarıvaryasyon
tanımını verip aralarındaki durumu hatırlattık. Sonraki kısımda v -integrallenebilir
fonksiyonların L1 (v) uzayını ele aldık. L1 (v) nin bazı temel sonuçlarını verdik ve
Banach uzayı olduğunu belirttik. Ayrıca L1 (v) uzayı için Lebesgue Baskın
Yakınsaklık Teoreminden ve sonucundan da bahsettik.
Üçüncü bölümün üçüncü kısmında ise Bochner integrallenebilir, Borel ölçülebilir ve
güçlü ölçülebilir fonksiyonların özelliklerini inceledik. Bochner integrallenebilir
fonksiyonların ve esas sınırlı ölçülebilir fonksiyonlar uzayının Banach uzayı
olduğuna değindik. Bochner integrali için Baskın Yakınsaklık Teoremi, HahnBanach Teoremleri ve bir sonucunu verdik. Vektör değerli olan diğer
fonksiyonlardan Dunford ve Pettis integrallenebilir fonksiyonları hatırlatıp, bu
integral çeşitlerinin varyasyon ve yarıvaryasyonla ilgili durumunu ele aldık. Ayrıca
Radon-Nikodym özelliğini ve bu özellik ile ilgili örneklere yer verdik.
Dördüncü bölümde ise tensör çarpımından tezimiz için gerekli yerleri hatırlattıktan
sonra integrallenebilir fonksiyonun nasıl
oluştuğundan bahsedilerek tensör
integralinin tanımı yapıldı ve bazı özellikleri ele alındı. Tensör integralinin Baskın
Yakınsaklık Teoremini sağladığını ve tensör integrallenebilir fonksiyonlar uzayı
L1 (v, X , Y ) nin Banach uzayı olduğunu verdik. Ayrıca X sıra sürekli Banach örgüsü
olduğunda L1 (v, X , Y ) nin de sıra sürekli Banach örgüsü olduğunu belirttik.
Beşinci bölümde, elde edilen sonuçların ilgili teoriye katkısından ve bu sonuçların
kullanılmasıyla yapılacak çalışmaların öneminden bahsedilmiştir.
3
2. TEMEL KAVRAMLAR
Bu bölüm, ileride sık sık kullanmak zorunda kalacağımız çeşitli temel kavramları,
önemli tanımları, mantıksal işlemlerle bunlardan çıkartılabilen ve de ele alacağımız
konu çerçevesinde bilinmesi gerekli bazı özellikleri kısaca gözden geçirerek hatırlatmayı amaçlamaktadır.
2.1. Riesz Uzayları ve Banach Örgüleri
Burada geçenler hakkında daha fazla bilgiye sahip olmak için [1] ve [7] e bakılabilir.
2.1. Tanım (Sıralama Bağıntısı, Sıralı Küme, Örgü)
(a) Herhangi bir E ≠ ∅ kümesinde ≤ bağıntısı
• her x ∈ E için x ≤ x ,
• her x, y ∈ E için x ≤ y ve y ≤ x ise y = x,
• her x, y, z ∈ E için x ≤ y ve y ≤ z ise x ≤ z
özelliklerini sağlıyorsa ≤ sıralama bağıntısıdır ve ( E , ≤) ikilisine sıralı küme denir.
E kümesinin herhangi iki elemanı karşılaştırılıyor, yani x, y ∈ E için x ≤ y ya da
y ≤ x ise E kümesine tam sıralı küme denir.
(b) ( E , ≤) sıralı küme olsun. Her x, y ∈ E için x ∨ y ve x ∧ y E ye ait ise E ye
örgü (veya latis) denir. (Burada x ∨ y =
sup { x, y} ve x ∧ y =
inf { x, y} dir)
2.2. Tanım (Sıralı Vektör Uzayı, Riesz Uzayı, Banach Örgüsü)
(a) E reel vektör uzayı ve üzerindeki sıralama bağıntısı ≤ olmak üzere, x ≤ y iken
her z ∈ E ve her λ ∈  + için x + z ≤ y + z ve λ x ≤ λ y oluyorsa E ye sıralı vektör
4
uzayı denir.
(b) E sıralı vektör uzayı ve örgü ise E ye Riesz uzayı (veya vektör örgüsü)
(c) E Riesz uzayı ve üzerindeki norm ⋅ olmak üzere her x, y ∈ E için x ≤ y iken
x ≤ y oluyorsa ⋅ normuna örgü normu, E örgü normuna göre tam ise E ye
Banach örgüsü denir. Burada x = x ∨ (− x) dir.
Şimdi Riesz uzayındaki bazı özellikleri verelim.
E Riesz uzayı ve x, y, z ∈ E olsun. Aşağıdaki özellikler sağlanır:
1) x ∨ y =−[(− x) ∧ (− y )] ve x ∧ y =−[(− x) ∨ (− y )]
2) x + y = ( x ∨ y ) + ( x ∧ y )
3) x + ( y ∨ z ) = ( x + y ) ∨ ( x + z ) ve x + ( y ∧ z ) = ( x + y ) ∧ ( x + z )
4) Her λ ≥ 0 için λ ( x ∨ y ) = λ x ∨ λ y ve λ ( x ∧ y ) = λ x ∧ λ y (Theorem 1.3 [1]).
2.3. Tanım (Arşimedyan Riesz Uzayı, Dedekind Tam Riesz Uzayı, σ - Dedekind
Tam Riesz Uzayı)
E Riesz uzayı olmak üzere,
(a) Her x ∈ E + için n −1 x ↓ 0 oluyorsa E ye Arşimedyan Riesz uzayı,
(b) E nin üstten sınırlı her altkümesi supremuma sahipse, E ye Dedekind tam Riesz
uzayı,
(c) E nin sayılabilir ve üstten sınırlı her alt kümesinin supremumu varsa, E ye σ Dedekind tam Riesz uzayı denir.
2.4. Tanım (Pozitif Operatör, Sıra Sürekli Operatör, Riesz Homomorfizması)
E ve F Riesz uzayları, T : E → F operatör (lineer dönüşüm) olmak üzere,
5
(a) E nin her x ≥ 0 elemanı için F de Tx ≥ 0 oluyorsa T ye pozitif operatör,
(b) E de xα → 0 iken F de Txα → 0 ise T ye sıra sürekli operatör,
(c) Her x, y ∈ E için T ( x ∨ y )= T ( x) ∨ T ( y ) oluyorsa T ye Riesz homomorfizması
denir.
2.2. Reel Değerli Fonksiyonların Reel Değerli Ölçüye Göre İntegrali
Bu kesim için ayrıntılı bilgiye [2] den ulaşılabilir.
2.5. Tanım (Cebir, σ -Cebir, Ölçülebilir Uzay)
Ω bir küme Σ Ω nın alt kümelerinin bir sınıfı olsun. Σ sınıfı
1) Ω ∈ Σ
2) Her A∈ Σ için Ac ∈ Σ
3) Her A, B ∈ Σ ise A  B ∈ Σ
şartlarını sağlıyorsa Σ ya Ω üzerinde bir cebir denir. (3) yerine
3 ) ( An ) ⊆ A dizisi için
∞
 A ∈Σ
n
sağlanıyorsa A ya σ -cebir denir. (Ω, Σ) ikilisine
n =1
de ölçülebilir uzay denir.
2.6. Tanım (Ölçü Fonksiyonu, Ölçülebilir Fonksiyon)
(Ω, Σ) bir ölçülebilir uzay olsun.
(a) µ : A →   {+∞} fonksiyonu
1) µ (∅) =0
∞
 ∞
2) ( An ) ⊆ Σ ayrık kümelerden oluşan dizi için µ   An  = ∑ µ ( An )
 n =1  n =1
şartlarını sağlıyorsa µ ye ölçü veya ölçü fonksiyonu,
6
(b) f : Ω →  bir fonksiyon olmak üzere, her α ∈  için { x ∈ Ω : f ( x) > α } kümesi
ölçülebilir ise f ye Ω üzerinde ölçülebilir fonksiyon denir.
• f ölçülebilir fonksiyon ise f
p
ölçülebilirdir.
2.7. Tanım (Karakteristik Fonksiyon, Basit Fonksiyon ve Standart Temsili, Adım
Fonksiyon)
1, t ∈ A
fonksiyonuna A nın karakteristik
A ⊆ Ω olmak üzere, χ A : Ω → ; χ A (t ) =
0, t ∉ A
fonksiyonu denir. ϕ : Ω →  sonlu değerli ölçülebilir fonksiyonsa, ϕ ye basit
n
fonksiyon denir. Farklı a1 ,..., an değerleri için ϕ = ∑ ai χ Ai yazımına ϕ nin standart
i =1
temsili denir. Buradaki kümeler ölçülebilir ve ayrıktır. B j ler sonlu ölçülebilir
m
kümeler iken ϕ = ∑ b j χ B j yazımına sahip ϕ basit fonksiyonuna adım fonksiyon
j =1
denir.
• Basit fonksiyonun adım fonksiyon olması için, sonlu ölçülü bir kümenin dışında
sıfır olması gerekir ve yeter. Basit fonksiyonların ve adım fonksiyonların toplulukları
fonksiyon uzayları, hatta fonksiyon cebirleridir.
n
ϕ = ∑ ai χ A standart temsiliyle verilen adım fonksiyonun integrali
i
i =1
n
*
∫ ϕ d µ = ∑ ai µ ( Ai )
i =1
biçiminde tanımlanır ve temsilden bağımsızdır. Bu integral, lineer, monoton ve sıra
süreklidir.
7
2.8. Tanım (Üst Fonksiyon)
f : Ω →  fonksiyonu için ϕ n ↑ f hhy ve lim ∫ ϕ n d µ < ∞ olacak biçimde (ϕ n )
adım fonksiyonlar dizisi ( f nin üreten dizisi) varsa, f ye üst fonksiyon denir.
Başka bir adım fonksiyonlar dizisi (ψ n ) için ψ n ↑ f hhy ise, (ψ n ) de f nin üreten
dizisidir.
• Üst fonksiyonların topluluğu vektör uzayı değil; ancak örgüdür. Üst fonksiyonun
integrali
∫ fd µ = lim ∫ ϕ d µ
n
biçiminde tanımlanır ve üreten diziden bağımsızdır. Bu integral, lineer değil; ancak
monoton ve sıra süreklidir.
2.1. Teorem
f ve g iki üst fonksiyon olmak üzere aşağıdakiler sağlanır:
1) f + g üst fonksiyondur ve ∫ ( f + g )d µ =∫ fd µ + ∫ gd µ
2) Her α ≥ 0 için α f üst fonksiyondur ve ∫ (α f )d µ = α ∫ fd µ
3) f ∨ g ve f ∧ g üst fonksiyondur (Theorem 21.4 [2])
İspat
f ve g için {ϕn } ve {ψ n } adım fonksiyonların iki dizisini seçelim.
1) {ϕn +ψ n } adım fonksiyonların dizisi olduğu açıktır ve ϕn +ψ n ↑ f + g hhy
sağlanır.
8
∫ (ϕ
n
+ψ n )d µ =
∫ ϕ d µ + ∫ψ
n
n
d µ ↑ ∫ fd µ + ∫ gd µ
eşitliğinden sonuç elde edilir.
2) Her α ≥ 0 için {αϕn } adım fonksiyonların dizisidir ve αϕn ↑ αϕ hhy sağlanır.
=
) d µ ∫ αϕ
∫ (αϕ
n
d µ ↑ ∫α f d µ
n
eşitliğinden sonuç elde edilir.
3) Üst fonksiyon tanımından ϕn ↑ f ve ψ n ↑ g olur. ϕn ≤ f ∨ g ve ψ n ≤ f ∨ g
olduğundan {ϕn ∨ ψ n } için f ∨ g üst sınırdır. Başka bir üst sınır h olsun. ϕn ≤ h ve
ψ n ≤ h ; f ≤ h ve g ≤ h olduğundan f ∨ g ≤ h olur. O halde ϕn ∨ ψ n ↑ f ∨ g hhy
olur. Ayrıca üst fonksiyon tanımından
olduğundan
lim ∫ (ϕ n ∨ ψ n )d µ < ∞
olur.
lim ∫ ϕ n d µ < ∞
ve
lim ∫ψ n d µ < ∞
ϕ n ∨ ψ n = ϕ n + ψ n − ϕ n ∧ψ n
eşitliğini
kullanırsak
∫ (ϕ
n
∨ ψ=
n )d µ
∫ ϕ d µ + ∫ψ
n
n
d µ − ∫ ϕ n ∧ψ n d µ < ∞
elde edilir. Buradan ∫ (ϕn ∨ ψ=
n )d µ
∫ ϕ d µ ↑ ∫ f d µ + ∫ gd µ − ∫ f ∧ gd µ < ∞ olur. O
n
halde f ∨ g üst fonksiyondur.
f ∧ g nin üst fonksiyon olduğu benzer şekilde gösterilir.
2.9. Tanım (Lebesgue integrallenebilir fonksiyon)
Herhangi bir f : Ω →  fonksiyonu için f= f1 − f 2 olacak biçimde f1 ve f 2 üst
fonksiyonları varsa, f ye Lebesgue integrallenebilir fonksiyon denir.
9
Lebesgue integrallenebilir fonksiyonların topluluğu fonksiyon uzayıdır. Lebesgue
integrallenebilir fonksiyonun integrali
fd µ ∫ f d µ − ∫ f d µ
∫=
1
2
veya =
∫ fd µ
∫f
+
d µ − ∫ f −d µ
biçiminde tanımlanır ve fonksiyonun fark yazımından bağımsızdır. Bu integral, lineer ve monotondur. Yukarıda verilen tanımlardan bir f fonksiyonu için
adım fonksiyon ⇒ üst fonksiyon ⇒ integrallenebilir fonksiyon ⇒ ölçülebilir
fonksiyon
gerektirmeleri sağlanır.
0 < p < ∞ olmak üzere,
f
p
Lebesgue integrallenebilir olacak biçimdeki
f
ölçülebilir fonksiyonlarının topluluğu Lp ( µ ) ile gösterilir. f , g ∈ Lp ( µ ) için "
f g⇔ f =
g µ -hhy" biçiminde tanımlanan bağıntı denklik bağıntısıdır ve
böylece Lp ( µ ) yi denklik sınıflarına ayırır. Lp ( µ ) Riesz uzayıdır. 1 ≤ p < ∞ iken
f
p

=∫ f
Ω
1
p
p
dµ 

eşitliği ile tanımlanan normla Lp ( µ ) Banach örgüsüdür. f ∈ Lp ( µ ) ve ( f n ) ⊆ Lp ( µ )
için lim f n = f µ -hhy iken lim f n
p
= f
p
ise, lim f n − f
p
=
0 sağlanır.
f : Ω →  olmak üzere, bir λ sayısı için f ≤ λ µ -hhy oluyorsa, f ye esas sınırlı
fonksiyon, λ ya da f nin esas sınırı denir. Esas sınırlı ölçülebilir fonksiyonların
topluluğu L∞ ( µ ) ile gösterilir. L∞ ( µ ) Riesz uzayıdır
=
f ∞ inf {λ ≥ 0 : λ , f nin esas sınırı}
10
eşitliği ile tanımlanan normla L∞ ( µ ) Banach örgüsüdür. Burada yine normun tanımlı
olabilmesi için herhangi iki fonksiyon, hemen hemen her yerde eşit olduklarında
özdeş olarak alınır.
2.3. İşaretli ve Kompleks Ölçüler
İşaretli ve kompleks ölçüleri vermeden önce ölçü teorisi hakkında bilgi verelim. Bu
kesim için ayrıntılı bilgiye [2] ve [8] den ulaşılabilir.
2.10. Tanım (İşaretli Ölçü)
Σ, Ω ≠ ∅ üzerinde σ -cebiri olsun. µ : Σ → [ −∞, +∞ ] fonksiyonu
(a) Her A∈ Σ için µ ( A) < ∞ veya µ ( A) > −∞
∞
 ∞
∞
(b) ( An )n =1 ⊂ Σ ayrık dizisi için µ   An  = ∑ µ ( An )
 n =1  n =1
özelliklerini sağlıyorsa µ ye işaretli ölçü denir.
Aşağıdaki özellikler sağlanır.
• Her ölçü işaretli ölçüdür.
• µ işaretli ölçü ise − µ de işaretli ölçüdür.
• µ1 ve µ2 ölçülerinden en az biri sonlu ise, µ1 − µ2 işaretli ölçüdür.
2.2. Teorem
Σ, Ω ≠ ∅ üzerinde σ -cebiri ve µ
Ω üzerinde işaretli ölçü olmak üzere
=
µ ( L) inf {µ ( A) : A ∈ Σ=
} ve µ ( M ) sup {µ ( A) : A ∈ Σ}
11
olacak biçimde L, M ∈ Σ vardır (Theorem 7.1 [15]).
Yukarıdaki sonucun ilginç durumu vardır, µ Σ üzerinde her A∈ Σ için
−∞ < µ ( A) < ∞
(2.1)
şartını sağlayan işaretli ölçü olduğunda,
−∞ < inf {µ ( A) : A ∈ Σ} ≤ sup {µ ( A) : A ∈ Σ} < ∞
olur. (2.1) özelliğini sağlayan işaretli ölçüye sonlu işaretli ölçü denir.
2.11. Tanım (Kompleks Ölçü)
Σ, Ω ≠ ∅ üzerinde σ -cebiri olmak üzere µ : Σ →  küme fonksiyonu ayrık
( An )n=1 ⊂ Σ
∞
∞
 ∞
dizisi için σ -toplamsal, yani µ   An  = ∑ µ ( An ) eşitliği sağlanıyorsa
 n =1  n =1
µ ye Σ üzerinde kompleks ölçü denir. µ : Σ →  kompleks ölçü olması için Re µ
ve Im µ sonlu işaretli ölçü olması gerekir ve yeter.
2.3. Teorem
Σ σ -cebiri ve µ Σ üzerinde işaretli ölçü veya kompleks ölçü olsun. Σ üzerinde
her A∈ Σ için
∞
∞

∞
=
µ ( A) sup ∑ µ ( Ak ) : ( Ak )k =1 ⊂
=
Σ, ikili ayrık,  Ak A
k =1
 k =1

tanımlanır (Theorem 7.4 [15]).
(2.2)
12
2.12. Tanım (Ölçünün Varyasyonu)
(2.2) de tanımlı µ ölçüsü µ nün varyasyonu veya varyasyon ölçüsü olarak
adlandırılır. Her A∈ Σ için µ ( A) ≤ µ ( A) sağlanır.
• Σ σ -cebirinde µ işaretli ölçü veya kompleks ölçü olsun. v Σ üzerinde herhangi
bir ölçü iken her A∈ Σ için µ ( A) ≤ v( A) ise µ ( A) ≤ v( A) olur. Bu durum ayrık
( An )n=1 ⊂ Σ dizisi için,
∞
∞
∑ µ ( An ) ≤
∞
∑ v( A )
n 1=
n 1
=
n
∞
A
n
= A iken
n =1
v( A)
=
eşitsizliği sağlandığından, sol tarafın supremumu alınarak elde edilir.
2.1. Sonuç
µ , Σ σ -cebiri üzerinde sonlu işaret ölçüsü veya kompleks ölçüsü olsun. µ
varyasyonu ölçüsü sonludur.
İspat
= µ + + µ − (Theorem 1.5 [1])
µ sonlu işaretli ölçü ise, µ + ve µ − sonlu ölçülerdir. µ
olduğundan µ de sonlu olur. µ kompleks ölçü ise, µ= v + iη olacak biçimde v
ve η sonlu işaretli ölçüleri vardır. O halde v ve η sonludur. Her A∈ Σ için
µ ( A) = v( A) + iη ( A) ≤ v( A) + η ( A) ≤ v ( A) + η ( A)
olduğundan µ ≤ v + η olur. µ nün sonluluğu v ve η nün sonlu olmasından
sağlanır.
13
2.13. Tanım (Mutlak Süreklilik)
v işaretli ölçü olmak üzere, A∈ Σ ve µ ( A) = 0 iken v( A) = 0 olacak şekilde başka
bir µ
işaretli ölçüsü varsa v ye µ ye göre mutlak sürekli denir ve v  µ veya
µ  v şeklinde yazılır.
2.4. Teorem (Klasik Radon-Nikodym Teoremi)
( Ω, Σ, µ ) σ -sonlu
v( E ) = ∫ fd µ
ölçü uzayı ve v Σ üzerinde v  µ olsun. Her E ∈ Σ için
olacak biçimde f : Ω → [ 0, +∞ ) ölçülebilir fonksiyonu vardır ve
E
tektir. f ye v nin µ ye göre Radon-Nikodym türevi denir ve f =
dv
şeklinde
dµ
yazılır.
İspat
( Ω, Σ, µ )
sonlu ölçü uzayı olsun ve Radon-Nikodym türevinin tekliğini ve varlığını
gösterelim.

=
F f

f : Ω → [ 0, +∞ ] ölçülebilir fonksiyon ve her E ∈ Σ için v( E ) ≥

∫ fd µ 
E
olsun. F sıfır fonksiyonunu içerdiğinden boştan farklıdır. s = sup ∫ fd µ olsun. F
f ∈F Ω
de ( f n ) dizisi vardır öyleki lim ∫ f n d µ = s dir.
n →∞
Ω
f1 , f 2 ∈ F olsun. Her E ∈ Σ için,
14
∫f
1
∨=
f2d µ
∫
f1 ∨ f 2 d µ +
∫
f1d µ +
{x∈E: f1 ( x ) ≥ f 2 ( x )}
E
=
{ x∈E: f1 ( x ) ≥ f 2 ( x )}
∫
{x∈E: f1 ( x ) < f 2 ( x )}
∫
{x∈E: f1 ( x ) < f 2 ( x )}
f1 ∨ f 2 d µ
f2d µ
≤ v ({ x ∈ E : f1 ( x) ≥ f 2 ( x)} ) + v ({ x ∈ E : f1 ( x) < f 2 ( x)} )
= v( E )
olduğundan f1 ∨ f 2 ∈ F bulunur.
n
f n = ∨ hk olsun. ( f n ) F de negatif olmayan artan bir dizidir ve lim ∫ f n d µ = s olur.
n →∞
k =1
Ω
x ∈ X için g ( x) = lim f n ( x) olacak şekilde g fonksiyonunu tanımlayalım. Monoton
n →∞
=
Yakınsaklık Teoreminden her E ∈ Σ için
∫ gd µ
E
ve ∫ gd µ
bize g ∈ F olduğunu gösterir=
Ω
lim ∫ f n d µ ≤ v( E ) olur. Bu da
n →∞
lim ∫ f n d µ
=
n →∞
E
s olur.
Ω
( E ) v( E ) − ∫ gd µ
v0 : Σ → [ 0, +∞ ) ; v0 =
E
şeklinde v0 fonksiyonu tanımlayalım, v0 bir ölçüdür. v0 = 0 olduğunu gösterirsek g
istenen fonksiyondur. Farzedelim ki v0 ≠ 0 olsun. v0 (Ω) > 0 ve µ (Ω) < ∞ , ε > 0
var öyleki v0 (Ω) − εµ (Ω) > 0 dır.
{ A, B}
v0 − εµ işaretli ölçüsü için Hahn ayrıımı
olsun. Her E ∈ Σ için v0 ( A  E ) − εµ ( A  E ) ≥ 0 dır. Bundan dolayı
v( E ) =v0 ( E ) + ∫ gd µ ≥ v0 ( A  E ) + ∫ gd µ ≥ εµ ( A  E ) + ∫ gd µ =∫ ( g + εχ A ) d µ
E
E
dır. O halde g + εχ A ∈ F dir. µ ( A) > 0 ise
E
∫ ( g + εχ
Ω
A
)d µ >
E
∫ gd µ
=
s olur, bu
Ω
g + εχ A ∈ F olması ile çelişir. µ ( A) > 0 ise v  µ olduğundan v( A) = 0 dır.
15
v0 ( A) = v( A) − ∫ gd µ ≤ v( A) = 0 olduğundan v0 ( A) = 0 olur. Sonuç olarak
A
v0 (Ω) − εµ (=
Ω)
v0 ( B) − εµ ( B) ≤ 0 elde edilir. Bu v0 (Ω) − εµ (Ω) > 0 olması ile
çelişir. O halde v0 = 0 dır, her E ∈ Σ için v( E ) = ∫ gd µ olur. Yani v nin µ ye göre
E
Radon-Nikodym türevi vardır.
v( E )
Şimdi tekliğini gösterelim. Herhangi E ∈ Σ için =
=
∫ gd µ
E
Buradan
0
olduğundan
∫ ( f − g )d µ =
E
∫
∫ fd µ
olsun.
E
( f − g )d µ =
0
olur.
Bu
{ f − g ≥ 0}
{ x ∈ Ω : f ( x) ≥ g ( x)}
kümesi üzerinde f = g hhy olduğunu gösterir. Benzer şekilde
{ x ∈ Ω : f ( x) < g ( x)}
kümesinde f = g hhy olur. Böylece Ω kümesi üzerinde
f = g hhy olur.
16
3. İNTEGRAL ÇEŞİTLERİ
Bu bölümde ölçü ve fonksiyonun reel değerli veya vektör değerli olmasına göre
integral çeşitlerini tanıtıyoruz.
3.1. Vektör Ölçüleri
Vektör ölçüleriyle ilgili daha fazla bilgiye sahip olmak için [7] ve [12] e bakılabilir.
3.1. Tanım (Vektör Ölçüsü, Sıra Sınırlı Vektör Ölçüsü)
(Ω, Σ) ölçülebilir uzay, X Banach uzayı olmak üzere, v : Σ → X dönüşümü için
∞
 ∞
( An ) , Σ de ayrık dizi iken v   An  = ∑ v( An ) oluyorsa v ye vektör ölçüsü denir.
 n =1  n =1
E Riesz uzayı iken v : Σ → E vektör ölçüsü için sup { v( A) : A ∈ Σ} ∈ E oluyorsa, v
ye sıra sınırlı vektör ölçüsü denir. E Dedekind tam Riesz uzayı olmak üzere, sıra
sınırlı vektör ölçülerinin topluluğunu V (Σ, E ) ile gösterelim. V (Σ, E ) Dedekind tam
Riesz uzayıdır. E Dedekind tam Banach örgüsü ise, V (Σ, E ) de Dedekind tam
Banach örgüsüdür.
• (Ω, Σ) ölçülebilir uzay, M (Σ) E üzerinde tanımlı skalar (sonlu işaretli veya
kompleks) ölçülerin vektör uzayı olsun.
⋅ : M (Σ ) →  ; µ = µ (Ω)
biçiminde tanımlı dönüşümle
( M (Σ), ⋅ )
Banach uzayıdır. Burada µ , µ nün
varyasyonudur; yani,

n

µ : Σ → [−∞, ∞] ; µ ( A) = sup ∑ µ ( Ai ) : { A1 , A2 ,..., An } A nın parçalanışı 
 i =1

17
dönüşümüdür.
Şimdi skalar durum için varyasyon ve yarıvaryasyon tanımını vektör ölçüsü için
verelim.
3.2. Tanım (Vektör Ölçüsünün Varyasyonu, Sınırlı Varyasyonlu Vektör Ölçüsü,
Vektör Ölçüsünün Yarıvaryasyonu)
Skalar durumdakine benzer olarak v vektör ölçüsünün varyasyonu
 n

v 1 : Σ → [ 0, ∞ ] ; v 1( A) = sup ∑ v( Ai ) : { A1 , A2 ,..., An } A nın parçalanışı 
 i =1

biçiminde tanımlanır. v 1 monoton, negatif olmayan, genişletilmiş reel değerli
fonksiyondur. Vektör ölçüsünün varyasyonu sonlu değerli olmak zorunda değildir.
Her A∈ Σ için v 1 ( A) < ∞ (denk olarak v 1 (Ω) < ∞ ) oluyorsa v ye sınırlı
varyasyonlu vektör ölçüsü denir. v sınırlı varyasyonlu vektör ölçüsü ise, bu durumda
v 1 Σ üzerinde sonlu ölçü olur.
• F (Σ, X ) , Σ üzerinde tanımlı X Banach uzayında değer alan sınırlı varyasyonlu
vektör ölçülerinin vektör uzayı olsun.
⋅ 1 : F (Σ, X ) →  ; v 1 = v 1(Ω)
biçiminde tanımlanan dönüşümle
( F (Σ, X ), ⋅ )
1
Banach uzayıdır. ( ⋅
1
normuna
varyasyon normu denir. )
Şimdi sınırlı varyasyonlu olan ve olmayan vektör ölçüleri için iki örnek verelim:
18
3.1. Örnek
,α
Σ =P() =
(α n ) ∈ c0 ve en
Schauder bazı olmak üzere
v : P() → c0 ; µ ( A) =
∑ α nen
n∈E
biçiminde tanımlanan dönüşüm c0 -değerli vektör ölçüsüdür ve bu vektör ölçüsünün
varyasyonu v 1 ( A) = ∑ α n olur. v nin sınırlı varyasyonlu vektör ölçüsü olması için
n∈E
gerek ve yeter şart α ∈ 1 olmasıdır.
3.2. Örnek
Σ , [ 0,1] aralığının Lebesgue ölçülebilir altkümelerin σ -cebiri ve
v : Σ → Lp [ 0,1] ; v( A) = χ A
olsun. 1 ≤ p < ∞ iken v vektör ölçüsüdür. p = ∞ iken v vektör ölçüsü değildir, ancak
sonlu toplamsaldır. p = 1 alınırsa v 1 ( E ) = λ ( E ) olduğundan v sınırlı varyasyonlu
olur. 1 < p < ∞ alınırsa v 1 ([ 0,1]) = ∞ olduğundan v sınırsız varyasyonludur.
Şimdi vektör ölçüleri için verilen varyasyon tanımına alternatif olacak, sınırlılığın
daima sağlanacağı bir yaklaşımı açıklayalım.
X Banach uzayı ve X * , X in dual uzayı, v : Σ → X vektör ölçüsü iken her x* ∈ X *
için x*v Σ üzerinde tanımlı skalar ölçüdür. Bu durumda
Tv : X * → M (Σ) ; Tv ( x* ) =
x *v
19
biçiminde lineer dönüşüm tanımlayabiliriz. Kapalı Grafik Teoreminden Tv sınırlıdır.
Böylece Tv yardımıyla v vektör ölçüsünün yarıvaryasyonu
=
 ; v ∞ ( A)
v ∞ :Σ →
{
}
sup x*v ( A) : x* ∈ X * , x* ≤ 1
biçiminde tanımlanır ve her A∈ Σ için
v ∞ ( A) ≤ v 1 ( A) ve
sağlanır. v ∞
v ∞ ( A) ≤ v ∞ (Ω) =Tv
 nin sınırlı bir altkümesinde değer alan, monoton ve sayılabilir
alttoplamsal bir fonksiyondur. Ancak, v ∞ genelde sayılabilir toplamsal değildir. Diğer
yandan her A∈ Σ için
v( A) ≤ v ∞ ( A) ≤ 4 sup { v( B) : B ∈ Σ, B ⊆ A}
sağlanır. O halde her A∈ Σ için
=
v( A) ≤ v ∞ ( A) ≤ v ∞ (Ω
)
Tv
< ∞
olduğundan her (sayılabilir toplamsal) vektör ölçüsü sınırlıdır.
M (Σ, X ) Σ üzerinde tanımlı X Banach uzayında değer alan vektör ölçülerinin
vektör uzayı olsun.
⋅
∞
: M ( Σ, X ) →  ; v =
∞
v ∞ (Ω=
)
Tv
(
biçiminde tanımlanan yarıvaryasyon normu ile M (Σ, X ), ⋅
∞
) Banach uzayıdır.
20
3.1. Teorem (Rybakov Teoremi)
v : Σ → X sayılabilir toplamsal vektör ölçüsü olsun. v  x*v (yani A∈ Σ ve
x*v ( A) = 0 iken v( A) = 0 ) olacak biçimde x* ∈ X * vardır (Chapter 9 Theorem 2 [7]).
v vektör ölçüsünün kontrol ölçüsü her A∈ Σ için v( A) =
0 ⇔ µ ( A) =
0 olacak
biçimdeki µ ölçüsüdür. Herhangi bir vektör ölçüsünün bir kontrol ölçüsü vardır.
Rybakov Teoreminden x*v ≤ v ∞  x*v olacak biçimde x* ∈ X * vardır; yani
x*v , v nin kontrol ölçüsüdür. Böylece v ∞ -hhy ve x*v -hhy kavramları birbirine
denktir.
v ∞ (Ω) < ∞ ise v ye sınırlı vektör ölçüsü denir. Her A∈ Σ için
v ∞ ( A) < v 1 ( A) ise v ye sınırlı vektör ölçüsü denir. Sıra sınırlı vektör ölçüsü
sınırlıdır.
3.2. Reel Değerli Fonksiyonların Vektör Değerli Ölçüye Göre İntegrali
Bu kesim için ayrıntılı bilgiye [2] ve [11] den ulaşılabilir.
3.3. Tanım ( v -integrallenebilir fonksiyon)
X Banach uzayı, f : Ω →  ölçülebilir fonksiyon ve v : Σ → X sınırlı vektör
ölçüsü olmak üzere; f
her x* ∈ X * için x*v -integrallenebilir ve A∈ Σ iken
x* ( x A ) = ∫ fdx*v olacak biçimde x A ∈ X varsa f ye v -integrallenebilir denir.
A
f v -integrallenebilir ise x A elemanı
∫ fdv
ile gösterilir ve f nin A üzerinde v -
A
integrali olarak adlandırılır. v -integrallenebilir fonksiyonların topluluğu L1 (v) ile
gösterilir. f , g ∈ L1 (v) için " f  g ⇔ f =
g v ∞ -hhy" biçiminde tanımlanan bağıntı
denklik bağıntısıdır ve böylece L1 (v) yi denklik sınıflarına ayırır. L1 (v) vektör uzayı
21


=
f v sup  ∫ f d x*v : x* ∈ X * , x* ≤ 1
Ω

normuyla donatıldığında ( L1 (v),
v
) Banach uzayıdır.
X Banach uzayı yerine E
Banach örgüsü alındığında doğal v ∞ -hhy sıralamasıyla L1 (v) Banach örgüsü olur.
v -integrallenebilir ise, v ∞ ( A) = 0 olacak şekilde A ∈ M (Σ) vardır öyle ki
• f
f χΩ/ A
M (Σ) -ölçülebilirdir (Proposition 1.1.18 [11]).
f χΩ/ A
Ω
da
v-
integrallenebilir ise, f nin Ω da v -integrallenebilir olduğunu söyleyebiliriz. O
halde E ∈ M (Σ) iken
∫ fdv
∫ fχ
=
E
Ω/ A
E
dv ve
∫ fdv
Ω
=
∫ fχ
Ω/ A
dv
B
tanımlayabiliriz.
f
v -ölçülebilir ve burada E = B  C , C ∈ M (Σ) , B ⊆ A ,
v ∞ ( A) = 0 dır.
v ∞ ( A1 ) = 0 ile A1 ∈ M (Σ) öyle ki f χ Ω / A1 M (Σ) -ölçülebilir ise, f χ Ω / A 1 nın Ω da
v -integrallenebilir olduğu ve A ∈ M (Σ)  {Ω} için
∫ fχ
A
Ω/ A
dv = ∫ f χ Ω / A 1 dv olduğu
A
görülür. Sonuç olarak, yukarıdaki tanımın v -null A kümesinin seçimine bağlı
∫ fdv tanımlanır.
olmadan
A
3.2. Teorem
f : Ω → IK veya [ −∞, ∞ ] ve φ basit fonksiyon olsun. Aşağıdakiler vardır:
r
(a) φ = ∑ α i χ Ai basit (α i )1r ⊂ IK , ( Ai )1 ⊂ Σ ve i ≠ j için Ai  Aj = ∅ , φ Ω da v
1
r
22
r
integrallenebilirdir ve A ∈ M (Σ) için ∫ φ dv = ∑ α i v ( Ai  A ) dır. Sonuç olarak,
1
A


=
v ∞ ( A) sup  ∫ φ dv : φ basit, φ (t ) ≤ χ A (t), t ∈ Ω 
 A

olur.
(b) f Ω da v -integrallenebilir ise, γ (.) : M (Σ) → X , γ (.) =
∫ fdv
σ -toplamsaldır.
(.)
(c) γ (.) , (b) deki gibi ise, A ∈ M (Σ) için
i) γ ( A) = sup ∫ f dv( x*v),
x* ≤1 A
ii) =
lim γ ( A)
v ( A )→0
=
lim γ ( A) 0 .
v ( A )→0
(d) I (v) Ω üzerinde v -integrallenebilir olan v -ölçülebilir skalar fonksiyonların
sınıfı olsun. I (v) skalar çarpım ve noktasal toplamsal ile IK üzerinde vektör
uzayıdır. Ayrıca, A ∈ M (Σ) için f → ∫ fdv I (v) üzerinde lineerdir. Sonuç olarak,
A
( Ai )1 ⊂ P
r
r
ayrık olmasına bağlı olmadan φ = ∑ α i χ Ai
ve
A ∈ M (Σ )
için
1
r
∫ φ dv = ∑ α i v( Ai  A) dır.
A
i =1
=
Σ A
(e) Ω daki bir A kümesi için
{B  A :
B ∈ Σ} olsun. f , Ω da v -ölçülebilir
fonksiyon ve f , A∈ Σ kümesinde v -esas sınırlı ise, f her B ∈ Σ  A için v integrallenebilirdir ve B ∈ M (Σ)  A =
Σ  A için
23
∫ fdv
B
≤  ess sup f (t )  . v ∞ ( B)
t∈ A


dır. Sonuç olarak; Σ, S de σ -halkası ve f , Ω da v -esas sınırlı ve f , Ω da v integrallenebilir ise her A ∈ S için
∫ fdv
A
≤  ess sup f (t )  . v ∞ ( A) ≤  ess sup f (t )  . v ∞ (Ω)
t∈Ω
t∈Ω




dır. ( v ∞ (Ω) < ∞ dır [11]).
(f) ϕ , v -esas sınırlı ve Ω da v -ölçülebilir skalar fonksiyon ise, ϕ . f
Ω da v -
integrallenebilirdir. Özellikle, f Ω da v -integrallenebilir ve A ∈ M (Σ) ise, χ A f Ω
da v -integrallenebilirdir ve
∫ fdv = ∫ χ
A
fdv dir.
Ω
A
(g) (Baskınlık Özelliği). f , Ω da v -ölçülebilir skalar fonksiyon ve g ∈ I (v) Ω da
f (t ) ≤ g (t )
v -hhy ise f ∈ I (v) dır. Sonuç olarak, f : Ω → IK
v -ölçülebilir
fonksiyonu aşağıdakileri sağlar:
(i) f ∈ I (v) ,
(ii) f ∈ I (v) ,
(iii) f ∈ I (v) ,
(iv) Re f ∈ I (v) ve Im f ∈ I (v) ,
(v) ( Re f ) , ( Im f ) , ( Re f ) , ( Im f )
+
Ayrıca;
+
−
−
∈ I (v)
f1 , f 2 : Ω →  v -ölçülebilir ve v -integrallenebilir ise max ( f1 , f 2 ) ve
min ( f1 , f 2 ) v -ölçülebilirdir ve I (v) ye aittir.
24
(h) u ∈ L( X , Y ) , uv : Σ → Y σ -toplamsal ise f Ω da v -integrallenebilir olduğunda


f , Ω da uv -integrallenebilirdir. Bu durumda A ∈ M (Σ) için u  ∫ fdv  = ∫ fd (uv)
A
 A
olur. (Theorem 2.1.5 [11])
3.3. Teorem (Lebesgue Baskın Yakınsaklık Teoremi)
n∈
Her
için
f n , IK veya [ −∞, ∞ ]
üzerinde
değerli
v -ölçülebilir
ve
g : Ω → IK , Ω da v -integrallenebilir olsun. Her n için Ω da f n (t ) ≤ g (t ) v -hhy
alalım. f : Ω → IK ve Ω da f n (t ) → f (t ) v -hhy ise, f , f n , n ∈ , Ω da v integrallenebilirdir ve A ∈ M (Σ) için
∫ fdv
A
= lim ∫ f n dv
n
A
limiti düzgündür. Ayrıca
lim sup
∫
x ≤1 Ω
*
f n − f dv( x*v) =
0
olur (Theorem 2.1.7 [11]).
İspat
Tanımdan, genelliği bozmaksızın v -ölçülebilir fonksiyonlar burada da M (Σ)
( A)
ölçülebilir olsun. v=
∫ gdv, A ∈ M (Σ) olsun. Teorem 3.2 (b) den, v
M (Σ) de σ -
A
toplamsaldır. Hipotez ve Teorem 3.2 (g) den, Her n ∈  için f n , Ω da v integrallenebilirdir. Ω da f n → f v -hhy, f M (Σ) -ölçülebilir olduğu açıktır ve
böylece f v -ölçülebilirdir. Tanımdan f M (Σ) -ölçülebilir olsun. Ayrıca Ω da
25
f ≤ g v -hhy dir. O halde Teorem 3.2 (g) den f Ω da hemen hemen v integrallenebilirdir. Hipotezden
M ∈ M (Σ )
v ( M ) = 0 vardır.
g, Ω / M
de
sonludur ve t ∈ Ω / M için f n (t ) → f (t ) olur.
=
F
∞
 N( f
M)
n )  (Ω /=
∞
 N( f χ
n
Ω/ M
)
=
n 1=
n 1
olsun. F ∈ M (Σ) ve Ω da f n χ Ω / M → f χ Ω / M noktasaldır. (Proposition 1.1.13 [11])
dan v µ : M (Σ) → [ 0, ∞ ) kontrol ölçüsüne sahiptir. Bu yüzden, ε > 0 veridiğinde
δ > 0 vardır öyle ki µ ( A) < δ , v ∞ ( A) <
ε
3
sağlanır. Egoroff-Lusin teoreminden
µ ( N ) = 0 sağlayacak şekilde N ∈ M (Σ)  F vardır ve Fk ↑ F \N ile
( Fk )1
∞
⊂P
dizisi Fk üzerinde f n → f düzgün yakınsar. µ (F \N\ Fk ) ↓ 0, k0 vardır ve k ≥ k0
için µ (F \N\ Fk ) < δ olur. µ ( N ) = 0 , v ∞ ( N ) = 0 ve v ∞ ( M ) = 0 , Teorem 3.2 (c)
den v ∞ ( M ) = 0 bulunur. Fk0 da f n → f düzgün, n0 var öyle ki n ≥ n0 için
fn − f
Fk0
. v ∞ ( Fk0 ) <
ε
3
. A ∈ M (Σ) ve x* ≤ 1 için, (Proposition 4 [11]) den
*
x* ∫ f n dv − x* ∫ fdv =
∫ ( f n − f )d ( x v)
A
A
A
≤ ∫ f n − f d ( x *v )
A
≤
∫
f n − f d ( x *v ) +
∫
f n − f d ( x *v )
A ( Ω / Fk0 )
A Fk0
olur. (Proposition 8 [11]) den n ≥ n0 için
∫
A Fk0
f n − f d ( x *v ) ≤
fn − f
Fk0
.v( x*v)( Fk0 ) <
ε
3
26
olur, x* ≤ 1 için v( x*v)( Fk0 ) ≤ v ∞ ( Fk0 ) .
Teorem 3.2 (c) (i) den
∫
f n − f dv( x*v) ≤ 2
A ( Ω / Fk0 )
∫
g dv( x*v)
A ( F / N / Fk0 )


+2  ∫ g dv( x*v) + ∫ g dv( x*v) 


E M
 EN

≤ 2 v ∞ ( F / N / Fk0 ) + 2 v ∞ ( N ) + 2 v ∞ ( M )
<
2ε
3
v ∞ ( N ) v=
( M ) 0 dır. Sonuç olarak, n ≥ n0 ve her A ∈ M (Σ)
µ (F \N\ Fk ) < δ ve =
∞
için
∫ f dv − ∫ fdv
≤ sup ∫ f n − f dv( x*v) ≤ ε
n
A
x* ≤1 A
A
olur.
3.1. Sonuç (Lebesgue Sınırlı Yakınsaklık Teoremi)
Σ, S de σ -halkası olsun. f n , n ∈ , IK veya [ −∞, ∞ ] da değerli v -ölçülebilir ve K
pozitif sabit olsun öyleki her n için Ω da f n (t ) ≤ K v -hhy. f : Ω → IK ve Ω da
f n (t ) → f (t ) v -hhy ise, f , f n , n ∈  Ω da v -integrallenebilirdirler ve E ∈ S için
∫ fdv = lim ∫ f dv
A
n
n
A
dır, A ∈ S için limit düzgündür (Corollary 2.1.8 [11])
27
İspat
Σ =S σ -halkasıdır, Teorem 3.2. (e) nin son bölümünden sabit fonksiyonlar Ω da v integrallenebilirdir ve böylece (Theorem 2.1.7 [11]) dan sonuç sağlanır.
3.2. Sonuç
f Ω da v -integrallenebilir olsun. (φn ) ⊆ Iφ dizisi için Ω da φn (t ) → f (t ) v -hhy ve
φn (t ) ↑ f (t ) v -hhy dir. Her
(φn )
ve A ∈ M (Σ) için
∫ fdv = lim ∫ φ dv
A
n
n
limit
A
düzgündür. Sonuç olarak, A ∈ M (Σ) için

v ∞ ( A) = sup 


=sup 


:
(
),
da
(
)
1
-hhy
hdv
h
I
v
A
h
t
v
∈
≤

∫A

∫ hdv
A

: h ∈ I (v), A da h(t ) ≤ 1 

dır (Corollary 2.1.9 [11]).
İspat
(Proposition 1.1.18 [11]) dan (φn ) nin varlığı garantidir. İkinci sonuç (Theorem 2.1.7
[11]) a bağlıdır. Teorem 3.2 (a) nın son bölümünden ve Iφ ⊂ I (v) den

=
v ∞ ( A) sup 


≤ sup 


≤ sup 

∫ φ dv
A
∫ fdv
A
∫
A

: φ ∈ Iφ , φ ≤ χ A 


: f ∈ I (v), f ≤ χ A 


fdv : f ∈ I (v), Ω da f ≤ χ A v-hhy 

28
olur. Teorem 3.2 (a) nın son bölümünden ve şimdiki sonucun ikinci bölümünden, Ω
da f ≤ χ A v -hhy ile f ∈ I (v) için
∫ fdv ≤ v
∞
( A) dır. Böylece sonucun son kısmı
A
elde edilir.
3.3. Vektör Değerli Fonksiyonların Reel Değerli Ölçüye Göre İntegral
( Ω, Σ, µ )
sonlu ölçü uzayı, X vektör uzayı olmak üzere ϕ : Ω → X fonksiyonu için
n
ϕ = ∑ xi χ A olacak biçimde x1 ,..., xn ∈ X ve A1 ,..., An ∈ Σ varsa, ϕ ye vektör
i =1
i
değerli (veya X -değerli) basit fonksiyon denir (burada χ Ai , Ai nin karakteristik
0
fonksiyonudur). X Banach uzayı iken f : Ω → X fonksiyonu için lim ϕn − f =
µ -hhy olacak biçimde (ϕn ) vektör değerli basit fonksiyonlar dizisi varsa, f µ ölçülebilir fonksiyon; her x* ∈ X * için x* f µ -ölçülebilir fonksiyon oluyorsa, f
zayıf µ -ölçülebilir fonksiyon olarak adlandırılır.
3.4. Tanım (Bochner integrallenebilir fonksiyon)
f
0 olacak biçimde (ϕn ) vektör
µ -ölçülebilir fonksiyonu için lim ∫ ϕn − f d µ =
Ω
değerli basit fonksiyonlar dizisi varsa, f ye Bochner integrallenebilir fonksiyon
denir.
3.4. Teorem
f :Ω → X
olması için,
fonksiyonu µ -ölçülebilir fonksiyonunun Bochner integrallenebilir
∫
Ω
f d µ < ∞ olması gerekir ve yeter (Theorem 2 [7]).
29
nin Bochner integrali A∈ Σ iken
f
∫ fd µ = lim ∫ ϕ d µ
n
A
biçiminde tanımlanır.
A
Buradaki ϕ n ler tanımdaki şartı sağlayan vektör değerli basit fonksiyonlardır ve f
nin Bochner integrali (ϕn ) dizisinden bağımsızdır. f ve g Bochner integrallenebilir
fonksiyonlar olmak üzere, " f  g ⇔ f =
g µ -hhy" biçiminde tanımlanan bağıntı
denklik bağıntısıdır. Bu bağıntıya göre Bochner integrallenebilir fonksiyonların
(denklik sınıflarının) topluluğu L1 ( µ , X ) ile gösterilir. L1 ( µ , X ) vektör uzayı
f
1
= ∫ f dµ
Ω
normuyla donatıldığında Banach uzayıdır. E Banach örgüsü iken doğal µ -hhy
sıralamasıyla L1 ( µ , E ) Banach örgüsüdür. E -değerli esas sıra sınırlı ve µ ölçülebilir fonksiyonların (denklik sınıflarının) topluluğu da L∞ ( µ , E ) ile gösterilir.
f
∞
= ess sup f
normu ve doğal µ -hhy sıralamasıyla L∞ ( µ , E ) Banach örgüsüdür.
Ölçülebilir
olmayan
ancak
zayıf
integralinden bahsedilemez. Ayrıca,
ölçülebilir
f
olan
fonksiyonların
Bochner
integrallenebilir değilse f fonksiyonunun
integrali için doğrudan Bochner integral teorisini kullanmak mümkün değildir.
f : Ω → X zayıf µ -ölçülebilir fonksiyonu için x* ∈ X * iken x* f ∈ L1 ( µ ) oluyorsa,
her A∈ Σ için x* ∈ X * iken
*
*
x**
A ( x ) = ∫ x fd µ
A
*
olacak biçimde x**
A ∈ X vardır (2, Lemma1 [7]).
30
3.5. Tanım (Borel Ölçülebilir Fonksiyon, Güçlü Ölçülebilir Fonksiyon)
( Ω, Σ )
ölçülebilir uzay, X Banach uzay ve B(X), X in Borel altkümelerinin σ -
cebiri olsun (yani B(X), X in açık altkümelerinin ürettiği σ -cebiri). f : Ω → X Σ
ve B(X)’ e göre ölçülebilir ise f ye Borel ölçülebilir fonksiyon, f Borel ölçülebilir
ve
ayrılabilir görüntüye sahipse f ye güçlü ölçülebilir fonksiyon denir. Basit
fonksiyonun güçlü ölçülebilir olması için Borel ölçülebilir olması gerekir ve yeter.
• f Borel ölçülebilir ise x → f ( x) Σ -ölçülebilirdir.
• X ayrılabilir ise, her X -değerli Borel ölçülebilir fonksiyonu güçlü ölçülebilirdir.
Diğer ifadeyle, X ayrılabilir değil ve ( Ω, Σ ) =( X , B ( X ) ) ise Ω dan X özdeşlik
dönüşümleri Borel ölçülebilirdir, fakat güçlü ölçülebilir değildir.
3.1. Önerme
( Ω, Σ )
ölçülebilir uzay ve X Banach uzay olsun. Aşağıdakiler sağlanır.
(a) Ω dan X ’e Borel ölçülebiler fonksiyonların sınıfı noktasal limit altında
kapalıdır.
(b) Ω dan X ’e güçlü ölçülebiler fonksiyonların sınıfı noktasal limit altında
kapalıdır (Proposition E.1. [8]).
3.2. Önerme
( Ω, Σ )
ölçülebilir uzay, X Banach uzayı ve f : Ω → X güçlü ölçülebilir olsun. Her
x ∈ Ω ve her n için
31
f ( x) = lim f n ( x) ve f n ( x) ≤ f ( x)
n
olacak biçimde
( fn )
güçlü ölçülebilir basit fonksiyonlar dizisi vardır (Proposition
E.2 [8]).
İspat
Farzedelim ki f (Ω) X in sıfırdan farklı en az bir elemanını içersin. C f (Ω) nın
sayılabilir yoğun alt kümesi; C  , C nin elemanlarının rasyonel toplamlarının
kümesi ve ( yn ) C  nın sıralaması olsun. y1 = 0 alalım. Her y ∈ f (Ω) ve her ε > 0
için
ym ≤ y ve ym − y < ε
(3.1)
olacak biçimde ym terimi vardır. Her x ∈ Ω ve her pozitif n tamsayısı için X in
An ( x) altkümesini
{
An ( x) =y j : j ≤ n ve y j ≤ f ( x)
}
şeklinde tanımlayalım. y1 = 0 olduğundan An ( x) ≠ ∅ dir.
Şimdi ( f n ) dizisini oluşturalım. f n ( x) f ( x) e yakınsayan An ( x) in elemanı olsun.
f ( x) =
− y j inf
{ f ( x) − y
j
}
: y j ∈ An ( x)
(3.2)
An ( x) in birkaç y j elemanı, f n ( x) = y j0 olsun, j0 An ( x) e ait ve (3.2) yi sağlayan
y j için j nin en küçük değeri j0 olsun. Her n ve x için f n basit fonksiyon ve
32
f n ( x) ≤ f ( x) olduğu açıktır. { x ∈ X : f n ( x) =
y j } şeklinde f ( x) , y j
j = 1, 2,..., n
ve f ( x) − y j her f n güçlü ölçülebilir içeren küme tanımlayabiliriz. (3.1) den ( f n )
f ye noktasal yakınsar (yani ym ym ≤ f ( x) sağlar ve ym − f ( x) < ε ise her n ≥ m
için f n ( x) − f ( x) < ε olur).
Önerme 3.1 ve 3.2 nin sonuçlarını verelim. İlk sonuç Ω dan X e güçlü ölçülebilir
fonksiyondur ⇔
Borel (veya güçlü) ölçülebilir basit fonksiyonların limiti
noktasaladır. İkinci sonuç aşağıda verilmiştir.
3.3. Sonuç
( Ω, Σ )
ölçülebilir uzay ve X Banach uzayı olsun. Ω dan X e güçlü ölçülebilir
fonksiyonların kümesi vektör uzayıdır (Corollary E.3. [8]).
İspat
Farzedelim ki f ve g güçlü ölçülebilir, a ve b reel (veya kompleks) sayı olsun.
( fn )
f ye
( gn )
(Önerme 3.2).
g ye yakınsayan güçlü ölçülebilir basit fonksiyonlar olsun
{af n + bg n }
af + bg ye noktasal yakınsaktır, ve af n + bg n güçlü
ölçülebilirdir. (Önerme 3.1) den af + bg güçlü ölçülebilirdir.
Banach uzayında değerli fonksiyonların integraline dönelim. ( Ω, Σ, µ ) ölçü uzayı ve
X Banach uzayı olsun. f : Ω → X fonksiyonu güçlü ölçülebilir ve x → f ( x)
integrallenebilir ise f integrallenebilirdir (veya güçlü integrallenebilirdir, veya
Bochner integrallenebilirdir).
Fonksiyonların integrali aşağıdaki gibi tanımlanmıştır. Farzedelimki f : Ω → X
basit ve integrallenebilir fonksiyon olsun. a1 ,..., an f nin sıfırdan farklı değerleri
33
olsun, ve bu değerler A1 ,..., An kümelerine ait olsun. (Önerme 2.3.9 [12]) den
x → f ( x) reel değerli fonksiyonu her Ai için sonlu ölçüye sahiptir.
ifadesi f nin integralini verir ve
∫ fd µ < ∫
∫ fd µ
n
∑ a µ( A )
i
i =1
i
şeklinde yazılır.
f dµ
(3.3)
eşitsizliğini görmek kolaydır. f ve g basit integrallenebilir fonksiyonlar ve a ve b
reel (veya kompleks) sayılar ise, af + bg de basit integrallenebilir fonksiyondur.
∫ (af + bg )d µ =a ∫ fd µ + b ∫ gd µ
f
(3.4)
keyfi integrallenebilir fonksiyon olsun. Her x ∈ Ω için
sağlayacak şekilde ( f n ) dizisini seçelim ve
x → sup f n ( x)
f ( x) = lim f n ( x)
n
fonksiyonu da
n
integrallenebilirdir (Önerme 3.2). Reel değerli fonksiyonların baskın yakınsaklık
0 dır ve böylece lim ∫ ( f m − f n )d µ =
teoreminden lim ∫ ( f n − f )d µ =
0 olur. (3.3) ve
n
(3.4) den
m,n
{∫ f d µ}
n
X de Cauchy dizisidir ve yakınsaktır. f nin integrali (veya
Bochner integrali), yani
∫ fd µ , {∫ f d µ}
n
dizisinin limiti olarak tanımlıdır. ( ∫ fd µ
nin değeri ( f n ) nin seçimine bağlı değildir: ( f n ) nin özelliklerine sahip başka ( g n )
dizisi var ise, lim ∫ f n − g n d µ =
0 dır ve buradan lim ∫ ( f n − g n )d µ =
0 elde ederiz.
n
n
O halde lim ∫ f n d µ = lim ∫ g n d µ olur.)
n
n
Bochner integralin birkaç özelliğini verelim.
34
3.3. Önerme
(Ω, Σ, µ ) ölçü uzayı ve X Banach uzayı olsun. f , g : Ω → X integrallenebilir ve
a, b reel (veya kompleks) sayı olsun. af + bg integrallenebilirdir ve
∫ (af + bg )d µ = a ∫ fd µ + b ∫ gd µ
(3.5)
dır (Proposition E.4. [8]).
İspat
Sonuç
3.3’ten
ve
integrallenebilirdir.
fonksiyonların
(af + bg )( x) ≤ a f ( x) + b g ( x)
( fn )
dizisidir
f
ye,
öyle
( gn )
ki
g
eşitsizliğinden
af + bg
ye yakınsayan integrallenebilir
x → sup f n ( x)
n
ve
x → sup g n ( x)
n
integrallenebilirdir. af n + bg n fonksiyonu basit fonksiyondur ve integrallenebilirdir,
ve
∫ (af
n
+ bg n )d µ = a ∫ f n d µ + b ∫ g n d µ
(3.6)
sağlanır (3.4 den). Ayrıca x → sup (af n + bg n )( x) integrallenebilirdir ve integralin
n
tanımından (3.6) dan limit alırsak (3.5) i elde ederiz.
3.4. Önerme
(Ω, Σ, µ ) ölçü uzayı ve X Banach uzayı olsun. f : Ω → X
∫ fd µ ≤ ∫
f d µ dır (Proposition E.5. [8]).
integrallenebilir ise
35
İspat
f integrallenebilir fonksiyon, ( f n ) integrallenebilir fonksiyonların dizisi ve her
x ∈ Ω için sup f n ( x) ≤ f ( x) , f ( x) = lim f n ( x) sağlasın (Önerme 3.2). (3.3) den
n
n
∫ f dµ ≤ ∫
n
fn d µ ≤ ∫ f d µ
olur. O halde
∫ fd µ = lim ∫ f d µ
n
n
olur ve ispat elde edilir.
Baskın Yakınsaklık teoremini X -değerli fonksiyonlar için verelim.
3.5. Teorem
(Ω, Σ, µ ) ölçü uzayı ve X
Banach uzayı ve g : Ω → [ 0, ∞ ] integrallenebilir
fonksiyon olsun. f ( x) = lim f n ( x) ve f n ( x) < g ( x), hhh x, n = 1, 2,... olacak biçimde
n
f ve f1 , f 2 ,... Ω da X -değerli güçlü ölçülebilir fonksiyonları integrallenebilirdir
ve
∫ fd µ = lim ∫ f d µ
n
n
sağlanır (Theorem E.6. [8]).
İspat
f ve f1 , f 2 ,... integrallenebilir olsun. f n − f ≤ 2 g hhy sağlansın ve reel değerli
fonksiyonlar
için
Baskın
Yakınsaklık
teoreminden
lim ∫ ( f n − f )d µ =
0 olur. Önerme 3.3 ve Önerme 3.4’ten
n
(Teorem
2.4.4
∫ fd µ = lim ∫ f d µ
n
n
[8])
elde
edilir.
• L1 (Ω, Σ, µ , X ) , Ω üzerinde X değerli integrallenebilir fonksiyonların kümesi
olsun. (Önerme 3.3) den L1 (Ω, Σ, µ , X ) vektör uzayıdır. L1 (Ω, Σ, µ , X ) elemanlarının
36
denklik sınıfından L1 (Ω, Σ, µ , X ) vektör uzayı olduğu gösterilebilir ve
f
1
= ∫ f dµ
(3.7)
formülü L1 (Ω, Σ, µ , X ) de normdur ( (3.7) L1 (Ω, Σ, µ , X ) de yarınormdur).
L1 (Ω, Σ, µ , X ) nin . 1 altında tam olduğu gösterilerek de yapılabilir.
Şimdi Hahn-Banach teoremini verelim.
3.6. Teorem
X normlu lineer uzay, Y
X in lineer alt uzayı ve ϕ0 , Y de sürekli lineer
fonksiyonel olsun. X de ϕ sürekli lineer fonksiyoneli vardır öyleki ϕ = ϕ0 Y de
ϕ nin kısıtlamasıdır (Theorem E.7 [8]).
Hahn-Banach teoreminin sonucunu verelim:
3.4. Sonuç
X sıfırı içermeyen normlu lineer uzay olsun. Her y ∈ X için X de ϕ sürekli lineer
fonksiyonel vardır öyleki ϕ = 1 ve ϕ ( y ) = y dir (Corollary E.8 [8]).
İspat
y , X in sıfırdan farklı elemanı; Y y nin katlarını içeren X in altkümesi ve ϕ0 , Y
de ϕ0 (ty ) = t y
şeklinde tanımlı lineer fonksiyonel olsun. ϕ0 ,
ϕ0 = 1 ve
ϕ0 ( y ) = y sağlar, Teorem 3.5 den ϕ0 için ϕ fonksiyonelini elde ederiz. (Eğer
y = 0 , ϕ = 1 sağlayan ϕ keyfi lineer fonksiyoneli vardır.)
37
Teorem 3.5 ve Sonuç 3.1. den vektör değerli fonksiyonları çalışalım.
3.7. Teorem
(Ω, Σ) ölçülebilir uzay ve X Banach uzay olsun. f : Ω → X güçlü ölçülebilir
olması için gerek ve yeter şart (a) f (Ω) ayrılabilirdir, (b) X * da her ϕ için ϕ  f Σ
-ölçülebilir olmasıdır (Theorem E.9. [8]).
Bu teoremin ispatı için aşağıdaki lemmaya ihtiyacımız vardır.
3.1. Lemma
X ayrılabilir normlu lineer uzay olsun. X * ın elemanlarının {ϕ n } dizisi var öyle ki
her y ∈ X için
=
y sup
=
{ ϕn ( y) : n 1, 2,...}
(3.8)
dır (Lemma E.10. [8]).
İspat
X yalnızca sıfırı içermesin. X in yoğun altkümesine sahip
Sonuç 3.3 den her n için ϕ n = 1 ve ϕn ( yn ) = yn
{ yn }
dizisini seçelim.
sağlayacak şekilde ϕn ∈ X *
seçebiliriz. {ϕn } nin uygun dizi olduğunu kontrol edelim. Her y ∈ X için
sup { ϕ n (=
y ) : n 1, 2,...} ≤ y
olduğu açıktır (her ϕ n için ϕ n = 1 sağlanır). Keyfi y ∈ X için y ye yakınsayan
{ y n } dizisi bulabiliriz. Buradan
38
ϕ n ( y ) = ϕ n ( y − yn ) + ϕ n ( yn ) = ϕ n ( y − yn ) + yn
elde ederiz ve ϕn ( y − yn ) ≤ ϕn y − yn = y − yn den
y ≤ sup { ϕ n ( y ) : n =
1, 2,...}
elde edilir. O halde (3.8) eşitliği sağlanır.
Bu lemmadan sonra Teorem 3.7 nin ispatını verebiliriz.
İspat
 üzerindeki Banach uzayından ispat yapalım,  üzerindeki de benzeridir.
f güçlü ölçülebilir ise (a) ve (b) (Lemma 7.2.1 ve Önerme 2.6.1 [13]) den sağlanır.
f (a) ve (b) yi sağlasın. (a) f nin Borel ölçülebilir olduğunu göstermek için
yeterlidir. X 0 ,
f (Ω) yı içeren en küçük kapalı lineer altuzayı olsun. X 0
ayrılabilirdir. f nin Borel ölçülebilir olduğunu göstermek yeterlidir (Lemma 7.2.2.
[8]).
{ϕn } , ( X 0 )* da her
y ∈ X 0 için
=
y sup
=
{ ϕn ( y) : n 1, 2,...}
(3.9)
sağlayan dizi olsun (Lemma 3.1). X 0 da her sürekli lineer fonksiyonel X * ın bir
elemanının X 0 a kısıtlaması olduğundan (Teorem 3.5), (b) den dolayı her n için
ϕn  f Σ -ölçülebilirdir. B , X 0 da y0 merkezli r yarıçaplı kapalı yuvar ise,
39
f −1 ( B) =
{ x : ϕ ( f ( x)) − ϕ ( y ) ≤ r}
n
n
0
n
dir ve Σ ya aittir. X 0 da her açık yuvar kapalı yuvarların sayılabilir koleksiyonun
birleşimidir ve X 0 ın her açık altkümesi açık yuvarların sayılabilir koleksiyonunun
birleşimidir ( X 0 ayrılabilirdir), kapalı yuvarların koleksiyonu B( X 0 ). (Önerme 2.6.2
[12]) e göre f , Σ ve B( X 0 ) göre ölçülebilirdir.
3.5. Önerme
(Ω, Σ, µ ) ölçü uzayı, X Banach uzay ve f : Ω → X integrallenebilir olsun. Her
ϕ ∈ X * için
∫ (ϕ  f ) d µ = ϕ ( ∫ fd µ )
(3.10)
dır (Proposition E.11. [8]).
İspat
f
integrallenebilir olduğundan ϕ  f
nin integrallenebilir olduğunu görmek
kolaydır. f integrallenebilir fonksiyon ve A1 ,..., Ak kümelerindeki a1 ,..., ak sıfırdan
farklı değerler ise, (3.10) daki eşitliğin her iki tarafı
k
∑ ϕ (a ) µ ( A )
i =1
i
i
olur, yani (3.10)
basit fonksiyonlar için sağlanır. Şimdi keyfi f integrallenebilir fonksiyonu ve
{ fn }
basit fonksiyonların dizisi için x ∈ Ω iken f ( x) = lim f n ( x) ve sup f n ( x) ≤ f ( x)
n
n
olduğunu kabul edelim (Önerme 3.2). Teorem 3.2 den ∫ (ϕ  f n )d µ = ϕ
O halde (3.10) eşitliği sağlanır.
( ∫ f d µ ) olur.
n
40
3.8. Tanım (Dunford integrallenebilir fonksiyon ve Pettis integrallenebilir fonksiyon)
Her x* ∈ X * için x* f ∈ L1 ( µ ) şartını sağlayan f : Ω → X zayıf µ -ölçülebilir
fonksiyonuna Dunford integrallenebilir fonksiyon denir. f nin A∈ Σ üzerindeki
**
Dunford integrali yukarıdaki eşitliği ile verilen x**
elemanıdır. Her A∈ Σ
A ∈X
x**
A ∈ X oluyorsa, f ye Pettis integrallenebilir fonksiyon denir. Bu durumda f nin
A∈ Σ üzerindeki Pettis integrali her x* ∈ X * için
x* ( x A ) = ∫ x* fd µ
A
olacak biçimdeki x A ∈ X elemanıdır. Bu eleman ( P) − ∫ fd µ ile gösterilir.
A
Pettis integrallenebilir fonksiyonların (denklik sınıflarının) vektör uzayı


=
f sup  ∫ x* f d µ : x* ∈ X * , x* ≤ 1
Ω

biçiminde tanımlanan dönüşümle normlu uzaydır. Bu uzayın tamlayanı P( µ , X ) ile
gösterilir.
f bir λ pozitif ölçüsüne göre integrallenebilir skalar bir fonksiyon ise
µ : Σ → [ 0, ∞ ) ; µ ( E ) =∫ fd λ
E
biçiminde tanımlanan µ dönüşümü bir ölçüdür ve µ 1 ( E ) = ∫ f d λ olur. Bu durum
E
Pettis integrali kullanılarak vektör ölçüleri için verilebilir.
41
3.6. Önerme
λ , Σ σ -cebiri üzerinde sonlu pozitif ölçü olsun.
a) f : Ω → X λ ya göre Pettis integrallenebilir ise
µ : Σ → X ; µ ( E ) =∫ fd λ
E
biçiminde tanımlanan dönüşüm vektör ölçüsüdür ve bu dönüşümün yarıvaryasyonu
her E ∈ Σ için


=
µ ∞ ( E ) sup  ∫ ϕ f d λ : ϕ ∈ BX * 
E

olur.
b) f
λ ya göre Bochner integrallenebilir fonksiyon ise, µ sınırlı varyasyona
sahiptir ve her E ∈ Σ için
µ 1 (E) = ∫ f d µ
E
olur. Ayrıca
µ1= f
1
sağlanır (Proposition 5.4. [12]).
3.9. Tanım (Radon-Nikodym Özelliği)
f nin değer uzayı X Banach uzayı iken Radon-Nikodym teoremi sağlanırsa X
Banach uzayına Radon-Nikodym özelliğine sahiptir denir. Yani; Σ , Ω kümesinin
altkümelerinin σ -cebiri ve µ : Σ → X λ sonlu ölçüsüne göre mutlak sürekli, sınırlı
42
varyasyonlu vektör ölçüsü ise her E ∈ Σ için µ ( E ) = ∫ fd λ olacak biçimde
E
f : Ω → X λ -Bochner integrallenebilir fonksiyonu vardır.
3.3. Örnek
l1 uzayı Radon-Nikodym özelliğine sahiptir.
Σ , Ω kümesinin altkümelerinin σ -cebiri ve µ l1 de değerli Σ de vektör ölçüsü
olsun. ( µn ) skalar ölçülerin dizisi için µ ( E ) = ( µn ( E )) yazabiliriz. µ sınırlı
varyasyondur gerek ve yeter şart ( µn ) dizisi M (Σ) de mutlak toplamsaldır. (Burada
= µ (Ω) normu ile Σ de skalar ölçülerin Banach uzayıdır.) Her E
M (Σ ) , µ
ölçülebilir kümesi için
∞
µ 1 ( E ) = ∑ µn ( E )
n =1
dir. µ mutlak sürekli ise µn ölçüleri de mutlak süreklidir. O halde f n ∈ L1 (λ ) var
öyleki her n için d µn = f n d λ olur. µ mutlak sürekli ise µn ölçüleri de mutlak
süreklidir. Böylece f n ∈ L1 (λ ) var öyleki her n için d µn = f n d λ olur.
∞
fn d λ
∑∫ =
∞
∑µ
=
n 1=
n 1
Ω
olduğundan
∞
∑
n =1
n
<∞
f n (ω )
serisi hemen hemen heryerde yakınsaktır. Böylece
f : Ω → l1 , f (ω ) =( f n (ω )) biçiminde f
tanımlayabiliriz.
∞
fn d λ
∑∫ =
∞
∑µ
=
n 1=
n 1
Ω
n
<∞
Bochner integrallenebilir fonksiyonunu
43
olduğundan
∞
∑
n =1
f n (ω )
serisi hemen hemen her yerde yakınsaktır. Böylece
f : Ω → l1 , f (ω ) =( f n (ω )) biçiminde f
Bochner integrallenebilir fonksiyonunu
tanımlayabiliriz. Her E ∈ Σ için


=
µ ( E ) =
fnd λ 
∫
E

∫ fd λ
E
olduğundan
∞
fn d λ
∑∫ =
∞
∑µ
=
n 1=
n 1
Ω
n
<∞
olur.
3.4.Örnek
L1[0,1] uzayı Radon-Nikodym özelliğine sahip olmadığını görelim.
Σ [ 0,1] in Lebesgue ölçülebilir altkümelerin σ -cebiri olsun ve L1[0,1] de değer alan
µ ( E ) = χ E vektör ölçüsünü ele alalım. Her E ∈ Σ için µ 1 = λ ( E ) olduğundan µ λ
ya göre mutlak süreklidir. Ancak,
{χ E : E ∈ Σ}
olmadığından µ Bochner integrali ile verilemeyebilir.
kümesi L1[0,1] de kompakt
44
4. TENSÖR İNTEGRALLENEBİLİR FONKSİYONLAR
Bu bölümde farklı integral çeşidi olarak vektörel integral kavramına en çok uyan
vektör değerli fonksiyonların vektör ölçüsüne göre integral tanımı verilecektir. Böyle
fonksiyonlara tensör integrallenebilir fonksiyonlar diyeceğiz. Bu teori için ihtiyaç
duyulacak kavramlar tensör çarpımının ilgili konusundadır. İlk kesimde bu
kavramları hatırlatacağız.
4.1. Tensör Çarpımları
Tensör çarpımlarıyla ilgili daha fazla bilgiye sahip olmak için [3], [5] ve [7] e
bakılabilir.
vektör uzayları olmak üzere T : X × Y → Z
X ,Y , Z
( X ×Y , Z )
topluluğunu
(α T ) ( x, y ) = α T ( x, y )
b
olarak gösterelim.
işlemleri ile
( X ×Y , Z )
bilineer dönüşümlerinin
(T + S ) ( x, y ) =T ( x, y) + S ( x, y)
b
ve
vektör uzayıdır. X × Y üzerinde
tanımlanan bilineer fonksiyonellerin uzayını ( X × Y ) ile, bu uzay üzerindeki lineer
b
fonksiyonellerin uzayını da
(
x ⊗ y ∈ ( X ×Y )
)
b *
(( X × Y )
)
b *
elemanını f ∈ ( X × Y )
ile gösterelim. x ∈ X
b
iken
ve y ∈ Y için
f ( x, y )
( x ⊗ y)( f ) =
biçiminde
tanımlayalım. Bu durumda
( x1 + x2 ) ⊗ y
x ⊗ ( y1 + y2 )
α ( x ⊗ y)
=
=
x1 ⊗ y + x2 ⊗ y
x ⊗ y1 + x ⊗ y2
= (α x ) ⊗ y =x ⊗ (α y )
eşitlikleri sağlanır. x ∈ X ve y ∈ Y için x0 ≠ 0 ve y0 ≠ 0 iken x* ( x0 ) ≠ 0 ve
y* ( y0 ) ≠ 0 olacak biçimde x* ∈ X * ve
eşitliğiyle
tanımlanan
f ∈ ( X ×Y )
b
y* ∈ Y * alınırsa
için
( x0 ⊗ y0 ) ( f )=
f ( x, y ) = x * ( x ) y * ( y )
f ( x0 , y0 ) ≠ 0 ;
yani
45
x0 ⊗ y0 ≠ 0 olur.
(( X × Y ) )
b *
X ⊗ Y= sp { x ⊗ y : ( x, y ) ∈ X × Y }
uzayının
biçiminde tanımlanan
altuzayına X ve Y nin tensör çarpımı denir.
h : X × Y → X ⊗ Y ; h ( x, y ) = x ⊗ y
kanonik dönüşümünü göz önüne alalım.
ψ : L ( X ⊗ Y , Z ) → ( X × Y , Z ) ;ψ (T ) =
T h
b
dönüşümü yardımıyla L ( X ⊗ Y , Z ) ve
( X ⊗Y )
*
ve
( X ×Y )
b
eşyapılı olur.
( X ×Y , Z )
b
vektör uzayları; özel olarak
( x0 , y0 ) ∈ X × Y
ve
( f0 , g0 ) ∈ X * × Y *
için
sırasıyla X * × Y * ve X × Y üzerinde
φ( x , y ) ( f , g ) = f ( x0 ) g ( y0 ) ve ψ ( f
0
0
eşitlikleriyle
(X
ψ(f
*
φ( x , y )
0
× Y * )  ( X * × Y * ) ve
b
ψ(f
ve
0
*
0 , g0 )
( x, y ) = f 0 ( x ) g 0 ( y )
bilineer
0 , g0 )
( X ×Y )
b
fonksiyonellerini
 ( X × Y ) olduğundan φ( x0 , y0 ) ∈ ( X * ⊗ Y * ) ve
*
∈ ( X ⊗ Y ) alabiliriz. Diğer yandan x* ∈ X * ve y* ∈ Y * için
*
0 , g0 )
(( X × Y ) )  (( X
*
*
* b
*
⊗Y * )
) X
* *
*
tanımlayalım.
⊗Y *
olduğundan x* ⊗ y* ∈ X * ⊗ Y * dir. Her ( x, y ) ∈ X × Y için
x* ⊗ y* (φ( x , y ) )= φ( x , y ) ( x* , y* )= x* ( x) y* ( y ) = ψ ( x* , y* ) ( x, y )
*
46
olduğundan x* ⊗ y* ∈ ( X ⊗ Y ) olur. Böylece X * ⊗ Y * ⊆ ( X ⊗ Y ) elde edilir.
*
*
X ve Y Banach uzayları olmak üzere X ⊗ Y üzerinde
x⊗ y
α
x y ; x* ∈ X * , y * ∈ Y * ⇒ x* ⊗ y * ∈ ( X ⊗ Y ) ; x* ⊗ y *
≤
*
özelliklerini sağlayan ⋅
⋅
α
α
α*
≤
normuna uygun çapraznorm denir (burada ⋅
normunun fonksiyonel normudur).
x* y *
α*
normu,
X ⊗ Y üzerinde uygun çapraznormlardan
birisi
u ε=
sup
{ ( x ⊗ y ) (u)
*
biçiminde tanımlanır.
⋅ε≤ ⋅
α
}
: x* ∈ X * , y* ∈ Y * ; x* ≤ 1, y* ≤ 1
*
⋅
olduğundan ⋅
ε
X ⊗ Y üzerinde başka bir uygun çapraznorm iken
α
normu X ⊗ Y üzerinde en küçük uygun çapraznorm veya
injektif tensör norm olarak adlandırılır. Bu norma göre X ⊗ Y nin X ⊗ε Y ile
gösterilen tamlayanına X ve Y nin injektif tensör çarpımı denir. E ve F Banach
örgüleri olmak üzere, her =
u
n
∑x ⊗ y ∈E⊗F
i =1
i
i
için
n
Tu : E * → F ; Tu ( x* ) =
∑ x* ( xi ) yi
i =1
dönüşümleri yardımıyla
Ci = {u ∈ E ⊗ F : 0 ≤ x* ∈ E * ⇒ 0 ≤ T ( x* ) ∈ F }
biçiminde tanımlanan koniye injektif koni denir. Wittstock, E ⊗ F üzerinde pozitif
injektif tensör normu
47
{ {
}
=
u ε inf sup Tv ( x* ) : 0 ≤ x* ∈ E * , x* ≤ 1 : v ∈ Ci , v ± u ∈ Ci
}
biçiminde tanımlamıştır. Bu norma göre E ⊗ F nin E ⊗ ε F ile gösterilen tamlayanı,
Ci pozitif konisinin tanımladığı sıralamayla Banach örgüsüdür ve Wittstock injektif
tensör çarpımı olarak adlandırılır.
4.2. Vektör Değerli Fonksiyonların Vektör Değerli Ölçüye Göre İntegrali
X ve Y Banach uzayları, ( Ω, Σ ) ölçülebilir uzay, v : Σ → Y sınırlı ve sayılabilir
toplamsal ölçü, y* ∈ Y * , y* ≤ 1 iken v nin y*v kontrol ölçüsü (yani v ∞  y*v )
(
)
için Ω, Σ, y*v tam ölçü uzayı (yani A ⊆ E için y*v ( E ) = 0 ise, A∈ Σ ) olsun.
0 v -hhy olacak biçimde (ϕn ) X -değerli
f : Ω → X fonksiyonu için lim ϕ n − f =
basit fonksiyonlar dizisi varsa, f v-ölçülebilir fonksiyon; her x* ∈ X * için x* f
v ∞ -ölçülebilir fonksiyon oluyorsa,
f
zayıf v -ölçülebilir fonksiyon olarak
adlandırılır. f nin v -ölçülebilir olması için y*v -ölçülebilir olması gerekir ve yeter.
n
ϕ = ∑ xi χ A standart temsiliyle verilen X -değerli basit fonksiyonun integrali A∈ Σ
i
i =1
iken
dv
∫ ϕ=
A
n
∑ x ⊗ v( A  A )
i =1
i
i
biçiminde tanımlanır ve v nin toplamsallığından dolayı bu integral ϕ nin
temsilinden bağımsızdır. Ayrıca x* ∈ X * , y* ∈ Y * ; x* ≤ 1, y* ≤ 1 iken


 n

x* ⊗ y*  ∫ ϕ dv  =
x* ⊗ y*  ∑ xi ⊗ v ( A  Ai ) 
 i =1

A

48
=
n
∑x
*
i =1
=
⊗ y* ( xi ⊗ v ( A  Ai ) )
n
∑ x ( x ) y (v ( A  A ))
*
i =1
*
i
i
n
≤ ∑ x* ( xi ) y* ( v ( A  Ai ) )
i =1
n
≤ ∑ x* ( xi ) y*v ( A  Ai )
i =1
n
≤ ∑ xi y*v ( A  Ai )
i =1
= ∫ ϕ d y *v
A
olduğundan ∫ ϕ dv , X ⊗ε Y nin bir elemanı olarak ele alındığında
A
∫ ϕ dv
A
ε


≤ sup  ∫ ϕ d y*v : y* ∈ Y * , y* ≤ 1
A

olur. Bu durum bize Bochner integrallenebilmenin genelleştirilmişi olan tensör integrallenebilme tanımı için gerekli şartı verir.
4.1. Tanım (Tensör İntegrallenebilir Fonksiyon)
f


0
v -ölçülebilir fonksiyonu için lim sup  ∫ ϕn − f d y*v : y* ∈ Y * , y* ≤ 1 =
Ω

49
olacak biçimde
(ϕ n )
X -değerli basit fonksiyonlar dizisi varsa, f
ye tensör
integrallenebilir fonksiyon denir.
Bu tanımdaki (ϕn ) v -basit fonksiyonlar dizisi ile oluşturulan X ⊗ε Y içindeki


 ∫ ϕn dv  dizisi Cauchy dizisidir ve
A

∫ fdv = lim ∫ (ϕ )dv
n
A
(ϕ n )
f
nin tensör integrali
A∈ Σ
iken
olarak tanımlanan bu dizinin limitidir. f nin tensör integrali
A
dizisinden bağımsızdır. Gösterimi kolaylaştırmak için f : Ω → X v -ölçülebilir
fonksiyonu iken


N ( f ) sup  ∫ f d y*v :y* ∈ Y * 
=
Ω

tanımlamasını yapalım.
4.1. Teorem
f :Ω → X
fonksiyonu v -ölçülebilir fonksiyonunun tensör integrallenebilir olması
için, f nin v -integrallenebilir olması gerekir ve yeter (Theorem 1 [13]).
İspat
Gerek şartı ispatlayalım. f tensör integrallenebilir fonksiyon ve (φn ) basit fonksiyonların dizisi ve lim N ( f − φn ) =
0 olsun. Eğer φn (.) nin esas supremununu M n
n
ile gösterirsek
N (φn ) ≤ M n v ∞ (Ω)
50
olur ve sonuç olarak N ( f ) < ∞ dır. f
f ∈ ω − L1 (v)
dir. ( f ∈ ω − L1 (v)
v ile genelleştirilmiş integrale sahiptir, yani
uzayı
v -integrallenebilir fonksiyonların


=
f v sup  ∫ f d y*v : y* ∈ BY *  normu ile Banach uzayını temsil eder) O halde
Ω

f − φn
v
dir. O halde
≤ N ( f − φn )
(φ )
n
ω − L1 (v) de f ye yakınsar. Çünkü her φn ∈ L1 (v) ve L1 (v)
ω − L1 (v) nin kapalı alt uzayı olduğundan f
Yeter şartı ispatlayalım.
f
L1 (v) nin bir elemanıdır.
v -integrallenebilir olsun. v de
f
nin tanımsız
integrali sayılabilir toplamsal Y -değerli ölçüdür ve lim N ( f .χ E ) = 0 dır.
v ( E ) →0
(Sonuç B [13]) yi kullanırsak, sayılabilir değerli fonksiyonların
f − fn ≤
( fn )
dizisi
1
1
v ∞ -hhy dir. f n ≤ f + ve böylece (Sonuç 2 [13] ) den her n için
n
n
f n v -integrallenebilirdir. Özellikle
lim N ( f n .χ E ) = 0
v ( E ) →0
dır. i ≠ j iken En ,i  En , j = ∅ , En ,k ∈ Σ ve xn ,k ∈ X olmak üzere
∞
f n = ∑ xn ,k χ En ,k
k =1
olsun. Her n için yeteri kadar büyük pn seçilerek (4.1) eşitliğinden
(4.1)
51
∫
sup
y* ≤1
 En ,k
f n d y *v <
v ∞ (Ω)
n
k > pn
elde edilir. φn =
∑x
k ≤ pn
n,k
χE
n ,k
alırsak φn basit fonksiyondur ve
N ( f − φn ) ≤ N ( f − f n ) + N ( f n − φn ) ≤
2 v ∞ (Ω)
n
sağlanır.
4.1. Sonuç
v -ölçülebilir ve sınırlı ise f tensör integrallenebilirdir (Corollary 1 [13]).
f
4.2. Sonuç
f ve g iki v -ölçülebilir fonksiyonlar olsun. g tensör integrallenebilir ve f ≤ g
v∞
-hhy ise f tensör integrallenebilirdir (Corollary 2 [13]).
4.2. Teorem (Baskın Yakınsaklık Teoremi)
( fn )
bir
f
fonksiyonu için
v∞
-hhy yakınsayan tensör integrallenebilir
fonksiyonların dizisi olsun. Tensör integrallenebilir bir g fonksiyonu var ve
fn ≤ g
v∞
-hhy ise f tensör integrallenebilirdir ve E ∈ Σ iken
52
lim ∫ f n dv = ∫ fdv
n
E
E
olur. Buradaki limit E ∈ Σ ye göre düzgün limittir (Theorem 3 [13]).
İspat
v ∞ -hhy olduğunu not edelim. O halde Sonuç 4.2’den
f ≤ g
f
tensör
integrallenebilirdir. ε > 0 , her n için
E=
n
{ω ∈ Ω :
f (ω ) − f n (ω ) ≥ ε }
Her E ∈ Σ ve ( x* , y* ) ∈ BX * × BY * için
∫x (f − f
*
n
)dy*v ≤
E
∫
x* ( f − f n )dy*v +
∫
x* ( f − f n )dy*v
E  En
E / En
≤ ε v ∞ ( E / En ) + 2 µ g
≤ ε v ∞ (Ω) + 2 µ g
∞
∞
( E  En )
( En )
dir. Böylece
∫ fdv − ∫ f dv
n
E
≤ ε v ∞ (Ω) + 2 µ g ( En )
∞
E
olur. lim µ g ( En ) = 0 ve ε keyfi olduğundan sonuç sağlanır.
n
• f ve g tensör integrallenebilir fonksiyonlar olmak üzere, " f  g ⇔ f =
g v∞-
53
hhy" biçiminde tanımlanan bağıntı denklik bağıntısıdır. Bu bağıntıya göre tensör
integrallenebilir fonksiyonların (denklik sınıflarının) topluluğu L1 (v, X , Y ) ile
gösterilir.
4.3. Teorem


f 1 sup  ∫ f d y*v : y* ∈ Y * , y* ≤ 1
L1 (v, X ,=
Y) ,
Ω

normuyla
donatıldığında
Banach uzayıdır (Theorem 4 [13]).
İspat
( f n ) , L1 (v, X , Y ) de Cauchy dizisi ise ( f n ) her y* ∈ BY * için L1 ( y*v , X ) de Cauchy
dizisidir. f y* L1 ( y*v , X ) de ( f n ) nin limiti olsun.
v ∞  z *v sağlayan z * ∈ BY * bulalım. Ez* ∈ Σ kümesi vardır ve
( fn )
nin
( f ) alt
nk
dizisi için Ez* da
lim f nk (ω ) = f z* (ω )
k
vardır. E y*  Ez*
kümesinde f y* (ω ) = f z* (ω ) olur. Çünkü
(
)
y *v E y*  E z * = 0 ,
f z* ∈ L1 ( y*v , X ) ve f z* = f y* y*v -hhy dir. Böylece f z* ∈ L1 ( y*v , X ) , her y* ∈ BY *
için, ve lim N ( f z* − f n ) =
0 . f = f z* olsun.
n
Geriye f nin tensör integrallenebilir olduğunu göstermek kalır. Her f n tensör
integrallenebilirdir, o halde N ( f n − φn ) <
(φn ) dizisini bulabiliriz. Buradan
1
sağlayacak şekilde adım fonksiyonların
n
54
N ( f − φn ) ≤ N ( f − φn ) + N ( f n − φn ) < N ( f − φn ) +
1
n
olur. Böylece f tensör integrallenebilirdir.
4.4. Teorem
E sıra sürekli Banach örgüsü ise L1 (v, E , Y ) sıra sürekli Banach örgüsüdür (Theorem
1 [4]).
İspat
N (.) normu ve alışıldık sıralama ( f1 ≤ f 2 ω ∈ Ω için f1 (ω ) ≤ f 2 (ω ) v ∞ -hhy) ile
L1 (v, E , Y )
nin sıra sürekliliğini göstermek zordur. Bunun için aşağıdaki
karakterizasyonu kullanalım.
Banach örgünün sıra sürekli olması için her sıra sınırlı artan dizinin norm yakınsak
olması gerekir ve yeter (Proposition 1.a.8 [10]).
{ fn } ,
L1 (v, E , Y ) de sıra sınırlı artan
dizi olsun. Farzedelim ki 0 ≤ f n ≤ f n +1 ≤ g , g ∈ L1 (v, X , Y ) olsun.
f (ω ) = sup f n (ω )
n
alalım. X sıra tamdır ve
bilirdir ve
f ≤ g
{ fn }
artandır, f (ω ) = lim f n (ω ) ve böylece f v -ölçülen
v ∞ -hhy dir. (Sonuç 2 [12]) den g ∈ L1 (v, X , Y ) olduğundan
f ∈ L1 (v, X , Y ) dir. ε > 0 olsun.
f n (ω ) → f (ω ) noktasal yakınsaktır, Egoroff
teoreminden bir A kümesi var öyleki v ∞ ( A) < δ ve f n → f
Ω / A da düzgün
yakınsar. Yani; her ω ∈ Ω / A ve n ≥ n0 için f n (ω ) − f (ω ) < ε dır.
55


N ( f n − f ) ≤ sup  ∫ f n (ω ) − f (ω ) d y*v : y* ∈ BY * 
Ω / A



+ sup  ∫ f n (ω ) − f (ω ) d y*v : y* ∈ BY * 
A



≤ ε v (Ω / A) + sup  ∫ f n (ω ) − f (ω ) d y*v : y* ∈ BY * 
A


≤ ε v (Ω / A) + sup 

( f1 − f )

f n (ω ) − f (ω ) d y*v : y* ∈ BY * 

∫
A
tensör integrallenebilir olduğundan
φ ( A)
(Theorem 1 [12] ). Eğer=
∫
f1 − f
(4.2)
v -integrallenebilirdir
f1 (ω ) − f (ω ) dv ise φ  v ∞ (Theorem 2.2 [9] )
A
dir. Böylece v ∞ ( A) < δ , φ ( A) < δ sağlanır. Yani;


sup  ∫ f1 (ω ) − f (ω ) d y*v : y* ∈ BY *  < ε
A

olur. (4.2) den n ≥ n0 iken
N ( f n − f ) ≤ ε v ∞ (Ω / A) + ε ≤ ε v ∞ (Ω=
) + ε ε ( v ∞ (Ω) + 1)
olur. Böylece L1 (v, E , Y ) de
{ fn }
f ye yakınsaktır. O halde
L1 (v, E , Y ) sıra
süreklidir.
• E sıra sürekli norma sahip Banach örgüsü iken doğal v ∞ -hhy sıralamasıyla
L1 (v, E , Y ) sıra sürekli norma sahip Banach örgüsüdür. E -değerli esas sıra sınırlı ve
v -ölçülebilir fonksiyonların (denklik sınıflarının) topluluğu da L∞ (v, E , Y ) ile
56
gösterilir.
f
∞
= ess sup f
normu ve doğal v ∞ -hhy sıralamasıyla L∞ (v, E , Y )
Banach örgüsüdür.
4.3. Sonuç
Y =  ise L1 (v, E , Y ) = L1 (v, E ) dir. Böylece L1 (v, E ) sıra sürekli norma sahip
Banach örgüdür (sayfa 59 [6] ).
4.4. Sonuç
E =  ise L1 (v, E , Y ) = L1 (v) dir. Böylece L1 (v) sıra sürekli norma sahip Banach
örgüdür (sayfa 319 [6]).
57
5. SONUÇ VE ÖNERİLER
Bu tezde farklı integral çeşitleri ele alınıp özellikleri incelenmiştir.
v -integrallenebilir fonksiyonların L1 (v) uzayını ele alındı. L1 (v) nin bazı temel
sonuçlarını verildi ve Banach uzayı olduğunu belirttik. Ayrıca L1 (v) uzayı için
Lebesgue Baskın Yakınsaklık Teoreminden ve sonucundan da bahsedildi.
Diğer yandan, vektör değerli olan fonksiyon çeşitlerinden Bochner integrallenebilir
fonksiyonları incelendi. Bochner integrali için Baskın Yakınsaklık Teoremini, HahnBanach Teoremini ve bir sonucunu verildi. Ayrıca fonksiyonun değer uzayı Banach
uzayı iken hangi şartlar altında Radon-Nikodym özelliğine sahip olacağına da
değinildi.
Son olarak, tensör integralinin Baskın Yakınsaklık Teoremini sağladığını ve tensör
integrallenebilir fonksiyonlar uzayı
L1 (v, X , Y )
nin Banach uzayı olduğu
gösterilmiştir. Ayrıca X sıra sürekli Banach örgüsü olduğunda L1 (v, X , Y ) nin de
sıra sürekli Banach örgüsü olduğunun ispatı verildi.
Ölçü Teorisinde integral tanımının en genel formunun hem fonksiyonun, hem de
ölçünün vektör değerli olarak ele alındığında verilmesi ve özelliklerinin geliştirilmesi
üzerine yapılan çalışmalar oldukça yenidir. Reel anlamda bilinen kavram ve yapıların
bu anlamda genişletilmesi ilgili teoriye önemli katkılar sağlayacaktır. Biz de bundan
sonraki çalışmalarımızı bu konu üzerine yoğunlaştırmak niyetindeyiz.
58
KAYNAKLAR
1. Aliprantis, C.D., Burkinshaw, O., ‘‘Positive Operators’’, Academic Press,
London, 1-3, 45-46, 181-182 (1985).
2. Aliprantis, C.D., Burkinshaw, O., ‘‘Principles of Real Analysis ’’, 3rd edition,
Academic Press, Inc., San Diego, CA, 161-173, 254-261, 346-348 (1998).
3. Bu, Q., Buskes, G., Kusraev, A.G., “Bilinear Maps on Products of Vector Lattices:
A Survey.”, Positivity, Trends Math., Birkhäuser, Basel, 97–126 (2007).
4.Chakraborty, N. D., Basu, S., ‘‘On some properties of the space of tensör
integrable Functions’’, Anal. Math. 1:1-16, 33 (2007).
5.Cristescu, R., “Topological Vector Spaces”, Noordhoff International Publishing,
Leyden, 105-107 (1977).
6. Curbera, G. P., ‘‘Operators into L1 of a vector measure and applications to Banach
lattices’’, Math. Ann., 293:317-330(1992).
7. Diestel, J., Uhl, J.J., ‘‘Vector measures’’, Math. Surveys, no. 15, Amer. Math.
Soc., Providence, R.I., 1-6, 41-47, 61, 221-228 (1977).
8. Donald, L. C., ‘‘Measure Theory’’ , Birkhauser, Boston, 350-356 (1980).
9. Lewis, D. R., ‘‘Integration with respect to vector measures’’, Pacific J. Math. 33:
157-165 (1970).
10. Lındenstrauss, J., Tzafriri, L., ‘‘Classical Banach Spaces 2’’, Springer, BerlinHeidelberg-New York, 7-8 (1979).
11. Panchapagesan, T.V., ‘‘The Bartle Dunford Schwartz Integral’’, Birkhauser,
Boston, 18-26 (2000).
12. Ryan, R.A., ‘‘Introduction to Tensor Products of Banach Spaces’’, SpringerVerlag, London, 93-103 (2002).
13. Stefansson, G.F., ‘‘Integration in vector spaces’’, Illinois J. Math., 45(3):925938, (2001).
14. Zaanen, A.C., ‘’Riesz Spaces II’’, North-Holland Mathematical Library, 30.
North-Holland Publishing Co., Amsterdam, 651-686 (1983).
15. İnternet: Nagy, G., “Real Analysis”, http://www.math.ksu.edu/~nagy/real-an/307-sgn-meas.pdf (2013).
59
ÖZGEÇMİŞ
Kişisel Bilgiler
Soyadı, adı
: IŞIN, Mine
Uyruğu
: T.C.
Doğum Tarihi
: 08.07.1987
Doğum Yeri
: Havza
Medeni Hali
: Evli
Telefon
: 0 (312) 244 57 65
e-mail
: [email protected]
Eğitim
Derece
Eğitim Birimi
Tezsiz Yüksek Lisans
Kırıkkale Üniversitesi
2010
Lisans
Gazi Üniversitesi-Matematik Bölümü
2009
Lise
Mehmetçik Lisesi
2004
Mezuniyet Tarihi
İş Deneyimi
Yıl
2012-
Yer
Sarı Süleyman Çok Programlı Lisesi
Görev
Matematik Öğretmeni
Yabancı Dil
İngilizce
Sempozyum
M.Öztürk, C.Çevik, “Radon-Nikodym Property for Vector Valued Measures”, 1st
International Eurasian Conference on Mathematical Sciences and Applications, 0307 September 2012, Prishtine.