Document

BÖLÜM 6
ġANS DEĞĠġKENLERĠNĠN FONKSĠYONLARININ DAĞILIMI
Pek çok alanda tanımlanan ve kullanılan tesadüf değiĢkenlerin büyük bir kısmı bir baĢka
tesadüfü değiĢken ya da değiĢkenlerin fonksiyonları olabilir. Bu bölümde bir ya da daha fazla
Ģans değiĢkeninin fonksiyonu olan bir Ģans değiĢkenine ait olasılık ya da dağılım
fonksiyonunun bulunması ile ilgilenilecektir. Diğer bir deyiĢle, X1, X2,…,Xn rassal değiĢkenler
kümesi ve bunların ortak olasılık dağılımı ya da yoğunluğu f(X1, X2,…,Xn) verilmiĢken,
Y=g(X1, X2,…,Xn) gibi rassal bir değiĢkenin olasılık dağılımı ya da yoğunluğu veya Yj=gj(X1,
X2,…,Xn), j=1,…,k, gibi birden fazla rassal değiĢkenin ortak olasılık dağılımı ya da yoğunluğu
bulunmaya çalıĢacaktır. ġans değiĢkenlerinin fonksiyonlarının dağılıĢı, dağılıĢ teorisinin temel
aĢamalarından birisidir. Bu amaçla kullanılan üç temel teknik:
1. Kümülatif dağılım fonksiyonu tekniği
2. Moment türeten fonksiyon tekniği
3. Transformasyon tekniği
6.1 Kümülatif Dağılım Fonksiyonu Tekniği
Eğer
X1 , X 2 ,, X n
Y j  g j  X 1 , X 2 , , X n 
Ģans
değiĢkenlerinin
olmak üzere
ortak
Y1 , Y2 ,, Yk
dağılımı
F xi 
verilmiĢ
ise
Ģans değiĢkenlerinin ortak dağılımı
belirlenebilir. Ġlk olarak Y  g  X1, X 2 ,, X n  Ģeklinde tek bir Ģans değiĢkeni ele alınsın:
Fy  y   PrY  y  Prg x1, x2 ,, xn   y
olup bu olay her gerçel y değeri için,
Ay  x : g x1 , x2 ,, xn   y
Ģeklinde bir küme ile tanımlanabilir. Diğer bir ifade ile Y  y  ve x  Ay  olayları denktir. Bu
durumda,
Fy  y   PrY  y   Prg x1 , x2 ,, xn   y 
olasılığı eğer X sürekli bir Ģans değiĢkeni ise Ay kümesi üzerinden f x1 , x2 ,, xn  ortak
olasılık fonksiyonunun integrali ile ya da X kesikli Ģans değiĢkeni ise f x1 , x2 ,, xn  ortak
olasılık fonksiyonunun toplanması ile elde edilir. Bununla birlikte g x1 , x2 ,, xn   y  olayı
xL  X  xU 
ile tanımlanan bir denk olay ile de ifade edilebilir. Burada hem xL hem de xU
sınırları Y değiĢkenine bağımlıdır. Sürekli durum için;
Fy  y   PrY  y   Prg x1 , x2 ,, xn   y 


 Pr x  Ay  PrxL  X  xU 
x1U
x nU
x1 L
x nL
   f x , x ,, x dx dx

1
2
n
1
n
 FX i xiU   FX i xiL 
yazılabilir. Ġlk olarak sürekli tek değiĢkenli durum ele alınmıĢtır.
Eğer y  g x  artan fonksiyon ise ve ters fonksiyonu x  h y  ile tanımlanmıĢ ise
Fy  y   PrY  y   Prg x   y   Prh y   x 
h y 
 f xdx  F h y 

x

Eğer y  g x  azalan fonksiyon ise ve ters fonksiyonu x  h y  ile tanımlanmıĢ ise
Fy  y   PrY  y   Prg x   y   Prh y   x 


 f xdx  1  F h y 
x
h y 
Sürekli rassal değiĢkenlerden oluĢan bir fonksiyonun olasılık yoğunluğunu elde etmenin
yollarından biri önce dağılım fonksiyonunu bulup daha sonra türevini alarak,
f ( y) 
dF ( y)
dy
olasılık yoğunluğuna ulaĢmaktır.
Örnek: X sürekli bir Ģans değiĢkeni olsun. y  x 2 ile tanımlanan Ģans değiĢkeninin kümülatif
dağılım fonksiyonunu ve olasılık fonksiyonunu bulunuz.
Çözüm: Bu problemde n  k  1 değerini almıĢtır.
 

Fy  y   PrY  y  Pr x2  y  Pr  y  x  y
olasılıklar sol uç nokta baz alınarak
Fy  y   FX
 y  F  y 
X
Ģans değiĢkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu ise,
f y y 
  y  F  y 
d
FX
dy
 fX

X
 y  dyd  y   f  y  dyd  y 
1
2 y
X
 f  y  f  y 
X
X

Görüldüğü gibi Y Ģans değiĢkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu y  x 2 ’ nin monoton olduğu
aralıkların temsil ettiği iki parçanın toplamı olarak ifade edilmiĢtir.
Teorem: Z bir standart normal Ģans değiĢkeni olsun. Y  Z 2 Ģans değiĢkeni bir serbestlik
dereceli χ 2 dağılımına sahiptir.

 
İspat: Fy  y   PrY  y  Pr x2  y  Pr  y  x  y
ve simetri nedeniyle

Fy  y   2 Pr 0  x  y
2
2

2

2


1

y

e


1
 z2
2 dz
0
t
2
0
t

0
1
y
1
 y
e 2 dy
1
1
1 2 2 y
y e dy
2
1
1
1
  21 2
 
2
t

1
1
1  y
2 dy
y2 e
0
Olasılık yoğunluk fonksiyonunu bulmak için her iki tarafın türevi alınarak,
1
1
1
1 2 1  2 y
f y 
y e
 1  21 2
 
2
elde edilen bu sonuç   1 2 ve   2 olan bir gama dağılımı olup aynı zamanda bir serbestlik
dereceli ki-kare dağılımına özdeĢtir.
AĢağıda sürekli Ģans değiĢkenleri için çok değiĢkenli durum açıklanmıĢtır.
Teorem: X1, X2,…,Xn Ģans değiĢkenleri olmak üzere ortak olasılık yoğunluk fonksiyonları
f(x1, x2,…,xn) ise ve Y=g(xi) olarak tanımlanmıĢ ise,
Fy  y   PrY  y   Prg xi   y 
    f x1 , , x n dx1  dx n
Ay
Burada Ay  x : g xi   y .
Eğer Ģans değiĢkenlerinin sayısı birden fazla ise, Y1,Y2,…,Yk
fonksiyonu;
Fy  y1 ,  , y k   Pr Y1  y1 ;; Yk  y k 
olarak tanımlanır. Burada her bir y1,y2,…,yk için,
için ortak kümülatif dağılım
Y1  y1 ;; Yk
 y k   g1  X 1 ,, X n   y1 ;; g k  X 1 ,, X n   y k 
olayları denktir. Burada denkliğin sağındaki olay verilen gj(X1, X2,…,Xn) fonksiyonlarına ve
verilen X1, X2,…,Xn Ģans değiĢkenlerine göre tanımlanmıĢtır. X1, X2,…,Xn ortak dağılımı
bilindiği için g1  X 1 ,, X n   y1 ;; g k  X 1 ,, X n   yk  olayının olasılığı hesaplanabilir ve
sonuç olarak,
Fy  y1 ,  , yk 
belirlenebilir. Y1,Y2,…,Yk Ģans değiĢkenlerinin ortak dağılımını belirlemek için tanımlanan bu
teknik kümülatif dağılım fonksiyonu tekniği olarak adlandırılır.
Kümülatif dağılım fonksiyonu tekniği,
a. ġans değiĢkeninin maksimum ve minumumunun dağılımının bulunmasında,
b. Ġki Ģans değiĢkeninin toplam ve farklarının dağılımının bulunmasında
c. ġans değiĢkenlernin çarpım ve bölümlerinin dağılımının bulunmasında oldukça
faydalıdır.
6.1.1 ġans DeğiĢkeninin Minimum Ve Maksimum Dağılımı
X1, X2,…,Xn Ģans değiĢkenleri olsun. Bu Ģans değiĢkenleri üzerinde Y1  min X 1 ,, X n  ve
Yn  max X 1 ,, X n  Ģeklinde iki yeni Ģans değiĢkeni tanımlansın. Her bir Xi değeri S ile
tanımlanan bir Ģans deneyinin örnek uzayının bir fonksiyondur. Bu nedenle her bir eS için
Xi(e) bir gerçel sayıdır. Burada Yn bir Ģans değiĢkenidir. Diğer bir deyiĢle verilen bir e için,
tanımlanan Yn e   max X 1 e ,, X n e  Ģans değiĢkeni X 1 e , , X n e  gerçel sayıların en
büyüğüdür.
Amaç Y1 ve Yn değiĢkenlerinin dağılıĢının bulunmasıdır. Eğer yalnız ve yalnız tüm Xi
değerleri bir y değerinden küçük ya da eĢit ise Xi değerlerinin en büyüğü de bu y değerinden
küçük ya da eĢit olacağı için;
FYn  y   Pr Yn  y   Pr X 1  y;; X n  y 
yazılabilir. Eğer bütün Xi Ģans değiĢkenleri birbirinden bağımsız ise,
n
n
i 1
i 1
Pr X 1  y;; X n  y    Pr X i  y    FX i  y 
Eğer tüm Xi Ģans değiĢkenleri aynı kümülatif dağılıma sahip ise,
n
 F  y   F  y 
i 1
bulunur.
n
Xi
X
Teorem: Eğer X1,X2,…,Xn birbirinden bağımsız Ģans değiĢkenleri ise ve Yn  max X 1 ,, X n 
ise:
n
FYn  y    FX i  y  .
i 1
Eğer X1,X2,…,Xn kümülatif dağılım fonksiyonu FX  y  olan birbirinden bağımsız özdeĢ
dağılmıĢ ise,
FYn  y   FX  y 
n
olarak tanımlanır.
Çıkarım: Eğer X1,X2,…,Xn olasılık yoğunluk fonksiyonu fX ve kümülatif dağılım fonksiyonu
FX olan birbirinden bağımsız özdeĢ dağılmıĢ sürekli Ģans değiĢkenleri ise,
f Yn  y   nFX  y 
n 1
f X y
olarak tanımlanır.
Yukarıda açıklananlara benzer olarak,
FY1  y   Pr Y1  y   1  Pr Y1  y   1  Pr  X 1  y;; X n  y 
ve eğer X1,X2,…,Xn birbirinden bağımsız ise,
n
n
i 1
i 1


1  Pr X 1  y;; X n  y   1   Pr X i  y   1   1  FX i  y 
eğer özdeĢ dağılmıĢlar ise,
n


1   1  FX i  y   1  1  FX  y 
n
i 1
olarak tanımlanır.
Teorem: Eğer X1,X2,…,Xn birbirinden bağımsız Ģans değiĢkenleri ise ve Y1  min X 1 ,, X n 
ise:
n


FY1  y   1   1  FX i  y  .
i 1
Eğer X1,X2,…,Xn kümülatif dağılım fonksiyonu FX  y  olan birbirinden bağımsız özdeĢ
dağılmıĢ ise,
FY1  y   1  1  FX  y 
n
olarak tanımlanır.
Çıkarım: Eğer X1,X2,…,Xn olasılık yoğunluk fonksiyonu fX ve kümülatif dağılım fonksiyonu
FX olan birbirinden bağımsız özdeĢ dağılmıĢ sürekli Ģans değiĢkenleri ise,
f Y1  y   n1  FX  y 
n1
f X  y
olarak tanımlanır.
6.1.2 Ġki ġans DeğiĢkeninin Toplam Ve Farklarının Dağılımı
Teorem: Ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu f X ,Y  x, y  olan sürekli Ģans değiĢkenleri X ve Y
olsun. Ġki yeni Ģans değiĢkeni Z=X+Y ve V=X-Y olsun. Bu durumda,

f Z z  

 f x, z  xdx   f z  y, y dy
X ,Y
X ,Y




ve
f V v  
 f x, x  vdx   f v  y, y dy
X ,Y
X ,Y


İspat: Sadece ilk eĢitlik ispat edilecektir.
FZ z   PrZ  z   PrX  Y  z  
 f x, y dxdy
X ,Y
x y z
zx

    f X ,Y x, y dy dx
  


z

    f X ,Y x, u  x du dx
  


Burada y=u-x dönüĢümü yapılmıĢtır. ġimdi,
 
dFz  z  d  z  
f Z z  

    f X ,Y  x, u  x dxdu 
dz
dz  
 


 f z  y, y dy
X ,Y

Çıkarım: Eğer X ve Y birbirinden bağımsız sürekli Ģans değiĢkenleri ve Z=X+Y ise,
f Z z   f X Y z  



f Y z  x  f X x dx 

 f z  y  f  y dy
X
Y

6.2 DÖNÜġTÜRME (DEĞĠġKEN DEĞĠġTĠRME) TEKNĠĞĠ
ġans değiĢkenlerinin fonksiyonlarının dağılımlarını belirlemede kullanılabilecek bir diğer
yöntem dönüĢtürme (transformation) ya da değiĢken değiĢtirme (change of variables)
yöntemi olarak adlandırılır.
ġans değiĢkeni X’den Y=g(x) ‘e bir dönüĢüm gerçekleĢtirildiğinde dönüĢüme ait özelliklerin
Ģans değiĢkenlerinin örnek uzayları üzerindeki etkisinin dikkate alınması oldukça önemlidir.
En uygun yaklaĢım A={x: f(x)>0} ve B={y:y=g(x) bazı xA}Ģeklindedir. Burada X Ģans
değiĢkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu sadece A kümesi için pozitiftir, diğer durumlar
için 0 değerini alır. Böyle bir küme dağılımın tanım kümesi olarak adlandırılır. Bu terminoloji
herhangi bir negatif olmayan fonksiyon için kesikli ve sürekli Ģans değiĢkenlerinin olasılık
fonksiyonlarına da uygulanabilir.
Yöntem ilk olarak tek boyutlu durum açısından kesikli ve sürekli Ģans değiĢkenleri için ayrı
ayrı ele alınacak daha sonra çok boyutlu durum incelenecektir.
6.2.1 Kesikli ġans DeğiĢkenleri Ġçin DönüĢtürme Tekniği
Eğer X olasılık kütle fonksiyonu f(x) olan bir Ģans değiĢkeni ise X Ģans değiĢkeninin Y=g(x)
Ģeklindeki bir fonksiyonu da bir Ģans değiĢkenidir. Y Ģans değiĢkeni X’in bir fonksiyonu
olduğundan Y’nin olasılıksal davranıĢları X’e göre tanımlanabilir. Herhangi bir A kümesi için,
Pr  y  A  Pr g x   A
eĢitliğinden görüldüğü gibi Y’nin dağılımı f(x) ve g fonksiyonlarına bağımlıdır. Y=g(x)
eĢitliğinde g(x) fonksiyonu X’in orijinal örnek uzayı A’dan Ģans değiĢkeni Y’nin örnek uzayı
B’ye bir dönüĢüm,
g x  : A  B
tanımlar. Bu fonksiyonun ters fonksiyonu w(y)ise B uzayının alt kümelerinden A uzayının alt
kümelerine bir dönüĢüm;
w y  : B  A
tanımlar.
Konu basit bir örnek üzerinde açıklanmaya çalıĢılacaktır. X Ģans değiĢkeni Poisson
dağılımına;
f x  
e  x
x!
x=0,1,2,…
sahip olsun. ġans değiĢkeninin tanım kümesi:
A={x:x=0,1,2,…}
Yeni bir Ģans değiĢkeni Y=4X olarak tanımlansın. Amaç dönüĢtürme tekniği ile Y Ģans
değiĢkeninin olasılık kütle fonksiyonunun belirlenmesidir. Y=4X eĢitliği X değiĢkenini Y
değiĢkenine dönüĢtürmektedir ve A uzayından B={y:y=0,4,8,…} uzayına bir geçiĢ tanımlar.
B uzayı Y=4X eĢitliği (dönüşümü) dikkate alınarak A uzayındaki her bir noktanın
dönüĢtürülmesi ile elde edilir. Uygulanan dönüĢümde dikkat edilmesi gereken iki önemli
durum söz konusudur. Ġlki A uzayındaki her bir nokta B uzayındaki bir ve yalnız bir noktaya
dönüĢmektedir. Ġkincisi, ters fonksiyon dikkate alındığında B uzayındaki her bir nokta A
uzayındaki bir ve yalnız bir noktaya dönüĢmektedir. Diğer bir deyiĢle Y=4X dönüĢümü, A ve
B uzaylarının noktaları arasında bire bir iliĢki oluĢturacak Ģekilde tanımlanmıĢtır. A uzayını B
uzayına elemanları arasında bire bir iliĢki olacak Ģekilde dönüĢtüren her hangi bir y=u(x)
fonksiyonuna bire bir dönüşüm adı verilir. Bire bir dönüĢümlerde X değiĢkeni Y değiĢkeninin
tek değerli fonksiyonudur. Verilen örnek dikkate alındığında y=4x için ters fonksiyon
x=(1/4)y olup tek değerlidir. Problem Y=4X kesikli Ģans değiĢkeni için h(y) olasılık kütle
fonksiyonunun bulunmasıdır. Kesikli Ģans değiĢkeni için h(y)=Pr[Y=y]. A ve B uzayları
arasında bire bir iliĢki olduğundan Y=y ya da 4X=Y olayı ancak ve ancak X=(1/4)Y
oluĢtuğunda ortaya çıkabilir. Bu iki olay denk olaylardır ve aynı olasılığa sahiptirler:
h y   PrY  y   PrX  1 4y  
e  1 4  y
1 4y!
y=0,4,8,…
Elde edilen sonuçlar aĢağıdaki teorem ile özetlenmiĢtir.
Teorem: X kesikli Ģans değiĢkeni ve f(x) onun olasılık kütle fonksiyonu olmak üzere, yeni bir
Ģans değiĢkeni Y=g(x) bire bir dönüĢümünün üzerine tanımlanmıĢ olsun. DönüĢümün ters
fonksiyonu X=w(y) olmak üzere Y Ģans değiĢkenin olasılık kütle fonksiyonu:
h y   Pr Y  y   Pr X  w y   f w y  yB,
Burada B={y: h(y)>0}.
Bu olasılık dağılımı Kolmogorov Aksiyomlarını sağlamaktadır. Eğer Ģans değiĢkeni X kesikli
ise A sayılabilir elemanlıdır. Bu durumda Y=g(x) Ģans değiĢkeninin örnek uzayı olan
B={y:y=g(x), xA}’da sayılabilir elemanlıdır. Sonuç olarak Y bir kesikli Ģans değiĢkenidir.
Kesikli Ģans değiĢkenleri için, Y’nin olasılık fonksiyonunun bulunması oldukça basittir.
Yapılması gereken her bir yB için w(y) değerinin (yani x değerinin) belirlenmesi ve bu x
değerlerine ait olasılıkların toplanmasıdır.
6.2.2 Sürekli ġans DeğiĢkenleri Ġçin DönüĢtürme Tekniği
Sürekli Ģans değiĢkenleri için Y=g(x) Ģeklinde bire bir dönüĢüm özelliğine sahip en basit g(x)
fonksiyonu yapısı monoton fonksiyonlardır. Bu tip fonksiyonlara ait tanım aĢağıda verilmiĢtir.
Tanım: a ve b gerçel sayılar g(.) bir fonksiyon olsun. a>b olmak üzere, g(a)>g(b) ise
fonksiyon monoton artan ya da a<b olmak üzere, g(a)>g(b) ise fonksiyon monoton azalandır.
Eğer x→g(x) dönüĢümü monoton ise bu dönüĢüm X değiĢkeninin A uzayından Y değiĢkeninin
B uzayına bire bir ve örtendir. Diğer bir deyiĢle her bir x değeri için sadece bir tek y değeri
karĢılık gelir ve her bir y en fazla bir x değerinden gelir (birebir), ayrıca her bir yB için
g(x)=y eĢitliğini sağlayan bir xA vardır (örten). Sonuç olarak g dönüĢümü x ve y değerlerini
eĢsiz çiftler olarak belirler. Eğer g(.) monoton fonksiyon ise ters fonksiyonu w(.) tek
değerlidir. Diğer bir deyiĢle sadece ve sadece y=g(x) ise w(y)=x olur.
DeğiĢken dönüĢtürmeyi sürekli durumda uygulayabilmek için;
1) y=u(x) biçiminde verilen fonksiyonun türevinin alınabildiğini
2) x’ in f(x) ≠ 0 aralığında ki bütün değerleri için ya arttığını ya da azaldığını
böylelikle x=w(y) ile gösterilen ters fonksiyonunun ilgili bütün y değerleri için varolduğunu
ve u’(x) = 0 dıĢında türevinin alınabildiğini varsayacağız.
Önce y=u (x)’ in artan bir fonksiyon olduğu durumu kanıtlayalım.
X
y=u(x)
b
a
x
w(a)
w(b)
artan fonksiyon
Yandaki Ģekilde de görüldüğü gibi y a ile b arasında bir değer aldığında x de w(a) ile
w(b) arasında bir değer almak zorundadır.
P(a yb ) = P [(w (a) x  w(b)]
w(b )

=
f(x)d x
w( a )
b
=

f[ w(y)] w’(y) dy’ dur.
a
Burada tümlevde y=u(x)’ i x= w(y) ile değiĢtirdik. Tanım 3.4 e göre bu tümlev w(y)
var olduğu sürece Y’ nin olasılık yoğunluğunu verir, bunu da Ģöyle yazabiliriz.
g(y) = f[w(y)]w’(y)
y
b
a
w(b)
w(a)
x
azalan fonksiyon
P(a y b)
= P[w(b)  x  w(a)]
w( a )

=
. f(x) dx
w(b )
a
=

f [w(y)] w'(y).dy.
b
a
=-

f [w(y)].[w'(y)].dy
b
g(y)
= - f [w(y)].[w’(y)]
y=u(x) artan bir fonksiyon olduğu zaman +w'(y) =
dy
1
=
artı bir değer aldığında y
dy
dx
dx
= u(x) gibi azalan bir fonksiyon olduğu zaman –w'(y) artı değer aldığına göre durumu Ģöyle
birleĢtirip yazabiliriz:
g(y) = f [w (y)].w'(y)
Konu basit bir örnek üzerinde açıklanmaya çalıĢılacaktır. X sürekli Ģans değiĢkeni;
f x   2 x
0  x 1
dağılımına sahip olsun. ġans değiĢkeninin tanım kümesi; A={x:0<x<1} olup bu aralıkta
f(x)>0. Yeni Ģans değiĢkeni Y=8X3 dönüĢümü ile tanımlanmıĢ olsun. Bu dönüĢüm A kümesini
B={y:0<y<8} kümesine dönüĢtürüp bire bir olarak tanımlanmıĢtır. DönüĢümün bire bir olması
nedeni ile 0<a<b<8 eĢitsizliğini sağlayan her a ve b sabiti için a<y<b olayı ancak ve ancak,
1 23
a  x  1 2 3 b olayı gerçekleĢtiğinde ortaya çıkar. Sonuç olara;

Pra  y  b  Pr 1 23 a  x  1 23 b
3
b 2
3
a 2


 2 xdx
X Ģans değiĢkenine göre tanımlanan integral Y Ģans değiĢkenine göre yazılabilmesi için ilk
olarak ters fonksiyon x  w y   1 23 y ve daha sonra diferansiyel;
dx
1

dy 6 y 2 3
elde edilerek,
b
 3 y  1 

dy
Pr a  y  b   2
 2  6 y 2 3 
a 

b
1
dy
13
a 6y

Bulunan sonuç her 0<a<b<8 aralığı için geçerli olduğundan Y Ģans değiĢkenine ait olasılık
yoğunluk fonksiyonu integral içindeki integranda (integrali alınan fonksiyona) eĢittir:
h y  
Uygulanan
1
6y2 3
0  y  8.
yöntem
matematikte
belirli
integral
konusundaki
değiĢken
değiĢtirme
yönteminden baĢka bir Ģey değildir. Yöntem iki aĢamadan oluĢur:
1. Ġlk olarak verilen dönüĢüm için g x  : A  B görüntü kümesi B belirlenir ve
dönüĢümün bire bir olup olmadığı kontrol edilir.
2. Ters fonksiyon x=w(y) ve (dx/dy) türevi bulunarak g(y) fonksiyonu elde edilir.
Yöntem aĢağıdaki teorem ile özetlenmiĢtir.
Teorem: X Ģans değiĢkeninin sürekli ve olasılık yoğunluk fonksiyonun f(x) olduğu
varsayılsın. Y=g(x) dönüĢümünün A:{x:f(x)>0} kümesinden B={y:h(y)>0} kümesine, ters
fonksiyonu x=w(y) olan bire bir dönüĢüm tanımladığı varsayımı altında eğer [dw(y)/dy] türevi
B üzerinde sürekli ve sıfırdan farklı ise Y Ģans değiĢkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu:
h y   f w y 
d
w y 
dy
yB.
İspat: Y=g(x) dönüĢümü bire bir dönüĢüm ise monoton artan ya da monoton azalandır. Ġlk
olarak monoton artan olduğu varsayılsın. Bu durumda g(x)y koĢulu ancak ve ancak xw(y)
koĢulu ile gerçekleĢir ve dağılım fonksiyonu kullanılarak,
FY  y   Pr g x   y   Pr X  w y   FX w y 
olasılık fonksiyonu;
h y  
d
d
d
FX w y  
FX w y  w y 
dy
dw y 
dy
 f X w y 
d
w y 
dy
Burada monoton artan fonksiyon söz konusu olduğu için [dw(y)/dy]>0.
Ġkici olarak monoton azalan olduğu varsayılsın. Bu durumda g(x)y koĢulu ancak ve ancak
xw(y) koĢulu ile gerçekleĢir ve dağılım fonksiyonu kullanılarak,
FY  y   Pr g x   y   Pr X  w y   1  FX w y 
olasılık fonksiyonu;
h y  
d
d
d
FX w y   
FX w y  w y 
dy
dw y 
dy
 f X w y 
d
w y 
dy
Burada monoton azalan fonksiyon söz konusu olduğu için [dw(y)/dy]<0.
DönüĢüm için hesaplanan (dw(y)/dy) türevi dönüĢümün Jakobian’ı olarak adlandırılır ve
genellikle J ile gösterilir.
TEOREM 7.2
x1 ve x2 sürekli rassal değiĢkenlerin ortak olasılık yoğunluğunun (x1 ve x2)’deki değeri f(x1,
x2)olsun y1= u1 (x1,x2) ve y2= u2 (x1,x2) fonksiyonlarının hem x1’ e hem de x2’ ye göre türevi
alınabiliyorsa ve
f(x1,x2)≠d, sağlayan bütün x1 ve x2 değerlerinde birebir dönüĢtürme
gösteriyorsa, o zaman y1= u1 (x1,x2) ve y2= U2 (x1,x2) fonksiyonlarının, bu değerlerde x 1 ve x
2
için x1 = w1(y1,y2)
x2= w2(y1,y2) sonuçlarını veren çözümleri bulunmaktadır. Bunlara
karĢılık gelen y1 ve y2 değerleri için y1= u1 (x1,x2) ve y2= u2 (x1,x2)’ nin ortak olasılık
yoğunluğu Ģöyledir.
g(y1,y2)=f[w,(y1,y2),w2(y1,y2)].j
dx1
dy
J 1
dx 2
dy1
dx1
dy 2
diğer durumlarda g(y1,y2)=0’ dır.
dx 2
dy 2
Diyelim ki x1 ve x2 rassal değiĢkenlerin ortak dağılımı verilmiĢ olsun, biz y1= u1
(x1,x2) rassal değiĢkenlerin ortak olasılık dağılımını ya da olasılık yoğunluğunu bilmek
istiyoruz. Eğer x2 sabit tutulurken y ile x1 arasında ki iliĢki ya da x1 sabit tutulurken y ile x2
arasında ki iliĢki izin veriyorsa, y ile x2 ya da y ile x1’ in ortak dağılımını bulmak için kesikli
tek değiĢkenlerle de yaptıklarımızı yapabilir, daha sonra da y’ nin marjinal dağılımını elde
etmek için önceki rassal değiĢkenin değerlerini toplayabiliriz.
Sürekli durumda önce;
g ( y1 , x1)  f ( x1 , x 2 ).
dx1
dy
ya da
g ( x 1 , y )  f ( x1 , x 2 ).
dx 2
dy
Biçimlerinde yazılan dönüĢtürme formülleriyle teorem 7.1’ i kullanınız.
6.3 MOMENT TÜRETEN FONKSĠYON TEKNĠĞĠ
Ortak yoğunlukları f X i  x i  olarak tanımlanmıĢ, X1,X2,…,Xn Ģans değiĢkenleri ve verilen gj(X1,
X2,…,Xn), j=1,…,k fonksiyonları için Yj=gj(X1, X2,…,Xn) Ģans değiĢkenlerinin ortak dağılımının
bulunması probleminin çözümünde kullanılabilecek yöntemlerden biri de moment türeten
fonksiyon tekniğidir. Mevcut olması durumunda ilk olarak Y1,…,Yk Ģans değiĢkenlerinin ortak
moment türeten fonksiyonu,

M Y1 ,,Yk t1 ,, t k   E et1Y1 tkYk
   e

t g1  x1 ,, xn t k g k  x1 ,, xn 
f x1 ,, xn x1 ,, xn dx1 dxn
tanımlanır. Ġntegral iĢlemi uygulandıktan sonra, elde edilen t1,…,tk parametrelerine bağlı
fonksiyon, bilinen bir ortak dağılımın ortak moment türeten fonksiyonu olarak ortaya çıkmıĢ
ise Y1,…,Yk ortak dağılıĢı belirlenmiĢ olur çünkü moment türeten fonksiyon eĢsizdir ve
dağılımı belirler.
Bu metot k>1 için sınırlı kullanıma sahiptir çünkü sadece birkaç tane ortak moment türeten
fonksiyon tanınmaktadır. Moment türeten fonksiyon tekniğinin kullanıldığı en faydalı durum,
birbirinden bağımsız Ģans değiĢkenlerinin toplamlarının dağılımının bulunmasıdır.
Birbirinden Bağımsız ġans DeğiĢkenlerinin Toplamlarının Dağılımı
Teorem: Eğer X1,X2,…,Xn birbirinden bağımsız Ģans değiĢkenleri ise ve h>0 için –h<t<h
aralığında her birinin moment türeten fonksiyonu mevcut ise,
n
Y   Xi
i 1
Ģans değiĢkeni için,

M Y t   E e 
tanımlanır.
t
Xi
  M
i 1
 
İspat: M Y t   E e 
t
Xi
 n

 E  e tX i 
 i 1

n
 
  E e tX i
i 1
n
  M X i t 
i 1
n
Xi
t  ,
–h<t<h
n
Eğer
 M X i t  bilinen bir dağılıma ait moment türeten fonksiyon ise
i 1
n
X
i 1
i
Ģans
değiĢkeninin dağılımı bulunmuĢtur.
Örnek: ġans değiĢkeni Z ortalaması 0 varyansı 1 olan standart normal Ģans değiĢkeni ise Y=Z2
olmak üzere Y Ģans değiĢkeninin dağılımını bulunuz.
 
Çözüm: M Y t   E e ty

 e
1
tz 2
2

1

2

e
e
1
 z2
2
dz
1
 z 2 1 2t 
2
dz

Burada, normal dağılımdan,

e

1 x2
2 2
 2 

olduğu hatırlanarak,
M Y t  
1
2
2 1  2t 
 1 


 1  2t 
12
12
bulunur. Elde edilen moment türeten fonksiyon α=1/2, β=2 olan bir gama dağılıĢı diğer bir
ifade ile 1 serbestlik dereceli ki-kare dağılıĢının moment türeten fonksiyonu olduğundan Y
Ģans değiĢkeni 1 serbestlik dereceli ki-kare dağılımı gösterir.
Bazı durumlarda
kümesinin tanımlanması ve bu bölge üzerinden
fonksiyonunun integralinin alınması zor olabilir.
Bu sonuçlar aĢağıdaki teorem ile özetlenebilir.
Teorem: ġans değiĢkeni x’in kümülatif dağılım fonksiyonu
ve Y=y(x) ve örnek
uzayları χ ve γ olsun.
a) Eğer y örnek uzayı χ üzerinde artan fonksiyon ise
için.
b) Eğer y örnek uzayı χ üzerinde azalan bir fonksiyon ve x sürekli bir Ģans değiĢkeni ise;
için.
7.5 BEKLEM ÜRETEN FONKSİYON TEKNİĞİ
7.3 DÖNÜġTÜRME (DEĞĠġKEN DEĞĠġTĠRME) TEKNĠĞĠ
7.3.2 SÜREKLĠ TESADÜFĠ DEĞĠġKENLER ĠÇĠN
BĠR KESĠKLĠ ġANS DEĞĠġKENĠNĠN FONKSĠYONLARININ DAĞILIMI
KĠ-KARE DAĞILIMI
ġans değiĢkeni
, ortalamaları
ve varyansları
olan bağımsız normal Ģans değiĢkenleri
olsun. Burada
ġans değiĢkeninin dağılımı ile ilgileniyor ise
Olarak tanımlandığında u Ģans değiĢkeni için
yazılabilir. Moment türeten fonksiyon
tekniği kullanılarak u Ģans değiĢkeninin dağılıĢı belirlenebilir. ġans değiĢkeni
bir standart
normal dağılıĢa sahip olduğu için
Bu katlı integral, Ģans değiĢkenleri birbirinden bağımsız olduğu için
Ġntegrallerinin çarpımı olarak ifade edilebilir. Bu integralin değeri
bulunur. Elde edilen moment türeten fonksiyon parametreleri
bir gama dağılıĢının
olduğundan
olan
Moment türeten fonksiyonlardır. Gama dağılıĢının bu özel yapısı k serbestlik dereceli ki-kare
dağılımı olarak adlandırılır ve u değiĢkeni;
ġeklinde tanımlanır. Bu toplamdaki birbirinden bağımsız karelerin sayısı serbestlik derecesi
olarak ifade edilir ve bu olasılık dağılıĢının k parametresinin adıdır.
Teorem : Ortalaması 0 varyansı 1 olan bir normal dağılımdan alınan Ģans örneği
Ģans değiĢkeni n serbestlik dereceli bir ki-kare dağılımına
olsun. Bu durumda
sahiptir.
Teorem : (Cochran teoremi) eğer
birbirinden bağımsız
dereceli ki-kare Ģans değiĢkenleri ise onların toplamları
serbestlik derecesi
olur
yine bir
serbestlik
değiĢkeni olup