kesġklġ olasılık dağılımları

KESĠKLĠ OLASILIK DAĞILIMLARI
ġans DeğiĢkeni
Bir deneyin, sonuçlarına göre sayısal değerler alan değişkenlere, Ģans
değiĢkeni denir.
Şans değişkenleri; kesikli ve sürekli olmak üzere iki sınıfa ayrılmaktadır.
Kesikli Ģans değiĢkeni: Sadece sayılabilir değerler alan şans
değişkenlerdir.
Evdeki oda sayısı, yıllık okunan kitap sayısı, ağıldaki koyun sayısı.
Bu değişkenler, sayı ekseni üzerinde 3, 11, 24, 62
gibi tam sayısal değerler alırlar.
Sürekli Ģans değiĢkeni: Sayı ekseni üzerinde,
herhangi bir noktada yer alan değerleri alan
değişkenlerdir.
Günlük süt tüketimi (kg),
Dekara buğday verimi (kg/da),
Saatlik işgücü masrafı (TL/saat) gibi.
Olasılık Dağılımı
X gibi bir şans değişkeni için, X’in herbir değerinin olasılıklarını veren
tablo, grafik veya formüldür.
1) X’in tüm değerleri için olasılık: 0 ≤ x ≤ 1
2) Σp(X) = 1
Tablo olarak bir olasılık dağılımı:
X
-3
0
3
5
Σ
P(X)
0.2
0.3
0.4
0.1
1.0
Arazi büyüklüğüne iliĢkin gözlemler aşağıdaki gibi
olsun.
X
25 40 40 50 50 50 25 35
Verilerimizin önce basit bir gruplandırmasını yaptığımızda,
olasılık dağılımı da elde edilmiş olacaktır.
X
25
35
Frekans
2
1
Oransal frekans
0.250
0.125
40
2
0.250
50
Σ
3
8
0.375
1.000
Sıralı ve düzgün bir zar atıldığında,
herbir yüzün gelme olasılığı 1/6’dır.
Aşağıdaki grafikte herbir sütun, zarın bir
yüzünü göstermektedir.
P(X)
1/6
1
2
3
4
5
6
Kesikli ġans DeğiĢkeninin Beklenen Değeri ve Varyansı
Beklenen Değer
X gibi bir şans değişkeninin beklenin değeri veya aritmetik
ortalaması:
µ = Σxp(x),
Σp(x) = 1
formülüyle hesaplanır. Burada:
x : DeğiĢkene ait gözlem
p(x): Gözlemin olasılığı
Gözlemlerin olasılıkları toplamı birdir.
Burada, önceki slaytlarda ele aldığımız arazi büyüklüklerine
bakarak, beklenen değerini hesaplarsak;
X
Frekans
Oransal frekans p(x)
25
2
0.250
35
1
0.125
40
2
0.250
50
3
0.375
Σ
8
1.000
Şimdi formülü uygularsak: µ = Σxp(x),
25(0.250)+35(0.125)+40(0.250)+50(0.375)
6.250+4.375+10.000+18.750 = 39.375
x’in beklenen değeri 39.375’tir. Bu değer ayrıca aritmetik ortalamadır.
Kesikli ġans DeğiĢkeninin Varyansı
Kesikli şans değişkeninin varyansı, aşağıdaki formül ile
hesaplanır.
ĠĢletmelere ait süt sığırı adedi ve olasılığı aĢağıdaki
gibidir;
x
X2
p(x)
X2 (px)
2
4
0.25
1.00
3
6
5
4
N=169
9
36
25
16
0.10
0.45
0.05
0.15
0.90
16.20
1.25
2.40
1.00
21.75
Aritmetik ortalaması:
µ=2*(0,25)+3*(0,10)+6*(0,45)+5*(0,05)+4*(0,15)=4,35
σ2 = Σx2p(x) - µ2 = 21.75 – (4,35)2 = 2,8275
Varyansı 2,8275 olarak hesapladık. Eğer standart sapma da
bizden istenirse:
σ = √ σ2
= √ 1.7775 = 1,6815
Binomial DağılıĢ
Kesikli şans değişkenleri ile ilgili olarak incelenecek olan
ilk dağılış binomial dağılıştır.
n adet gözleme sahip, tesadüfi bir denemenin, birbirini
engelleyen iki sonucu olduğunu düşünelim.
Bu sonuçlardan birine “olumlu”, diğerine “olumsuz”
diyelim.
P, “olumlu”nun olasılığını göstersin. Bu durumda,
“olumsuz”un olasılığı, 1-p olur.
x gibi bir şans değişkeni ele alalım.
Eğer, deneyin sonucu olumlu ise, x, 1 değerini,
olumsuz ise 0 değerini alsın.
Bu durumda, x Ģans değiĢkeninin olasılık
fonksiyonu:
Px(1)= p
Px(0) = 1 –p
olur.
Bu dağılım, Bernoulli Dağılımı olarak da bilinmektedir.
Binomial DağılıĢ ile ilgili bazı örnekler
 Para: Yazı, tura
 Doğum: Kız, oğlan
 Yatırım: Başarılı, başarısız
 Ürün: Organik, organik değil
 Fotoğraf: Renkli, siyah-beyaz
 Yağış: Var, yok
 Arıza: Var, yok
 Sigara: İçiyor, içmiyor
 Verim: Yüksek, düşük
 Gelir: Yüksek, geçimlik
Binomial Olasılık Dağılımı
Binomial olasılık dağılımı aşağıdaki formül ile ifade edilir.
p(x) =nCxpx(1-p)n-x
x= 0, 1, 2, …..,n Burada:
n: Örnek hacmi (deneme sayısı)
x: n denemede başarılı durumların sayısı
p: Tek bir denemede başarılı durumun olasılığı
Binomial Olasılık Dağılımı
Hilesiz bir paranın 4 kez atılmasıyla (n=4), tura gelme
sayısına ilişkin sonuçlar ve bunlara ait olasılıkları tablo
halinde elde edelim.
[tura gelme olasılığı = 1/2 = 0.5, p = 0.5 ]
[yazı gelme olasılığı = 1 - 1/2 = 0.5, p = 0.5 ]
X
(Tura
sayısı)
p(x) = nCxpx(1-p)n-x
0
4C 0
= 4! / 0!(4-0)! = 1
1.0.50(1-0.5)4-0=1.1(0.5)4= 0.0625
1
4C 1
= 4! / 1!(4-1)! = 4
4.0.51(1-0.5)4-1= 4.0.5(0.5)3= 0.2500
2
4C 2
= 4! / 2!(4-2)! = 6
6.0.52(1-0.5)4-2= 6.0.25(0.5)2= 0.3750
3
4C 3
= 4! / 3!(4-3)! = 4
4.0.53(1-0.5)4-3= 4.0.125(0.5)1= 0.2500
4
4C 4
= 4! / 4!(4-4)! = 1
1.0.54(1-0.5)4-4= 1.0.0625(0.5)0= 0.0625
Düzgün bir para 3 kez atıldığında:
 1 kez yazı, 2 kez tura gelme olasılığı nedir?
 Deney sayısı n=3, yazı gelme sayısı x=1,
 Yazı gelme olasılığı = 1/2 (0.5) Bir kez
p(x=1)= 3C1p1(1-p)3-1
yazı
gelme
sayısı
İki kez
tura
gelme
sayısı
3!
=3
3C1 =
1!(3-1)!
p(x=1) = 3(0.5)1(0.5)2
p(x=1) =3(0.5)(0.25)
p(x=1) = 0.375 = %37.5
A marka traktörlerin bir yıl boyunca arıza yapma
olasılığı %10’dir. Bu traktörlerden 5 adet satan bir
satıcının:
Hiç arıza şikayetiyle karşılaşmama olasılığı nedir?
 n= 5, p=0.90 (arıza yapmama olasılığı), x=5
p(x=5) = 5C5p5(1-p)0 = 1(0.10)0(0.90)5
5!
5C5=
=1
5!(5-5)!
=1(0.90)5(0.10)0= 0.59049
= %59.05
Bir çiftçi ürettiği karpuzların 0.90’inin (%90) kırmızı ve
tatlı olduğunu bilmektedir. Bir yakını için seçeceği 10
karpuzdan:
Hepsinin de kırmızı ve tatlı olma olasılığı nedir?
n= 10, p= 0.90, x=10
p(x=10)= 10C10p10(1-p)0
p(x=10) = 1(0.90)10 (0.10)0=0.3487
Ġki tane ham, diğerlerinin kırmızı ve tatlı olma
olasılığı nedir?
n= 10, p= 0.90, x=8
p(x=8)= 10C8p8(1-p)2
p(x=8) = 45(0.90)8 (0.10)2=0.1937
Bir süt işletmesinde 0.5 kg’lık süt şişelemesi
yapılmaktadır. Şişelerin %4’ü 0.5 kg’dan fazla, %2’si
0.5 kg’dan az, %94’ü ise tam 0.5 kg doldurulmaktadır.
Alınan 5 örnekten:
2’sinin 0.5 kg’dan fazla olma olasılığı nedir?
n= 5, x=2, p= 0.04
p(x=2)= 5C2p2(1-p)5-2= 5C2(0.04)2(1-0.04)5-2=
= 10(0.0016)(0.884736) = 0.01415 (%1.4)
ÖDEV:
Bir mandırada 500 gramlık beyaz peynir üretilip
paketlenmektedir. Paketlenen peynirin %2’si 500
gramdan fazla, %3’ü 500 gramdan az, %95’i ise tam
500 gramlık paketlenmektedir.
Alınan 10 örnekten:
a)En az 3’ünün 500 gramdan az olma olasılığı
nedir?
b) En az 2’ünün 500 gramdan fazla olma olasılığı
nedir?