4. Ödev - 80.251.40.59

4. Ödev
(Ödev teslim tarihi 16 Temmuz 2012)
1.Bir X rasgele değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonu,
cxθ −1

f ( x;θ ) = 
 0

,
0 < x < 1 , θ ∈ Θ = (0, ∞)
,
d . y.
biçiminde olsun.
a) c sabitini belirleyiniz. Y = − ln X rasgele değişkeninin dağılımını bulunuz.
n
b) X 1 , X 2 ,..., X n bu dağılımdan bir örneklem olmak üzere, T = −∑ ln X i istatistiğinin
i =1
1
dağılımını ve E ( ) değerini bulunuz.
T
c) θ parametresi için yeterli ve tam istatistik bulunuz.
d) θ parametresinin, momentler ve en çok olabilirlik tahmin edicilerini bulunuz.
e) θ parametresi için düzgün en küçük varyanslı yansız tahmin edici bulunuz.
2. Kitle dağılımı aşağıdaki gibi olan kitlelerin ortalaması, varyansı ve standart sapması
için tahmin ediciler öneriniz. Yansız ve küçük varyanslı olanlar tercih edilmektedir.
(Gerekli açıklama ve ispatları yapınız.)
a)
b)
c)
d)
e)
Poisson dağılımı,
Üstel dağılım,
Normal dağılım,
Düzgün U (0,θ ) ,θ ∈ Θ = (0, ∞) dağılımı,
Đkinci momenti sonlu olan bir dağılım.
3. Ödev
(Ödev teslim tarihi 9 Temmuz 2012)
1. Belli bir tür elektronik parça için yıl olarak dayanma süresi θ ∈ Θ = (0, ∞) parametreli
1


üstel dağılıma  f ( x;θ ) = e− x /θ I (0,∞ ) ( x)  sahip olduğu bilinmektedir.
θ


Bu parçalar için:
a) ortalama dayanma süresi,
b) dayanma süresinin varyansı,
c) en az 10 yıl dayanma olasılığı
tahmin edilmek istensin. Yansız ve küçük varyanslı tahmin ediciler tercih edilmektedir.
Aşağıdaki gözlemlere dayalı olarak, sorulan değerleri tahmin ediniz.
12.2 , 16.8
8.2 , 11.0
,
,
6.5
2.0
, 7.0
, 0.5
,
,
10.3 ,
20.5
3.7
,
9.5 , 1.8
, 5.6 , 8.4
2. Belli bir tür pil için dayanma süresinin normal dağılıma sahip olduğu bilinmektedir. Bu
piller için:
a) ortalama dayanma süresi,
b) dayanma süresinin varyansı,
c) dayanma süresinin genişliği (dağılımın genişliği, range),
d) 60 saatten fazla dayananların oranı
tahmin edilmek istensin. Yansız ve küçük varyanslı tahmin ediciler tercih edilmektedir.
Aşağıdaki gözlemlere dayalı olarak, sorulan değerleri tahmin ediniz.
52 , 69
72 , 42
,
,
48.5
57
, 62.0
, 64
,
50 ,
54 ,
,
53
55
,
,
59.5 , 57 , 56 , 45
54.5 , 59.5 , 66 , 55 (saat)
3. Belli bir marka araba lastiklerinin bin km olarak hizmet uzunluğu ile ilgili,
100
88
102
99
78
,
,
,
,
,
79
92
89
79
92
,
,
,
,
,
107
105
105
102
95
, 92
, 104
, 92
, 92
, 103
,
,
,
,
,
85 ,
77 ,
85 ,
85 ,
77 ,
76
81
77
86
81
,
,
,
,
,
89
95
89
89
95
, 95
, 110
, 96
, 95
, 104
, 84
, 96
, 94
, 84
, 97
, 89
, 106
, 97
, 100
, 96
gözlemleri elde edilmiş olsun. Bu veriye dayanarak neler söyleyebilirsiniz?
2. Ödev
(Ödev teslim tarihi 2 Temmuz 2012)
1. N ( µ ,σ 2 ), µ ∈ R ,σ 2 ∈ (0, ∞) dağılımında,
a) µ
b) σ 2
c) σ
d) µ + 3σ
için birer yansız tahmin edici öneriniz (yansızlıklarını göstererek).
2. U (0,θ ) ,θ ∈ Θ = (0, ∞) dağılımında θ parametresi için,
T1 = 2 X n
n +1
T2 =
X (n)
n
T3 = X (1) + X ( n)
tahmin edicileri önerilmektedir. Bunların, θ parametresi için yansız birer tahmin edici
olduklarını gösteriniz. Aralarında en küçük varyanslı olanı bulunuz (3.Ders’e bakınız).
Daha küçük varyanslı başka bir tahmin edici varmıdır?
3. Bernoulli, Poisson ve Üstel dağılımların parametreleri için en küçük varyanslı yansız
tahmin edici bulunuz.
1. Ödev
(Ödev teslim tarihi 25 Haziran 2012)
1. X1, X 2 ,..., X n dördüncü momenti sonlu olan bir kitle dağılımından bir örneklem olsun.
n
∑ ( X i − X n )2
Sn2−1 =
i =1
n −1
istatistiğinin beklenen değerini ve varyansını bulunuz.
(Not: 1.Ders, Örneklem Momentleri konusuna bakınız.)
2.
X1, X 2 ,..., X n örneklemi’nin
alındığı dağılım (kitle dağılımı):
Normal Dağılım
2
N ( µ , σ ), µ ∈ R , σ 2 ∈ (0, ∞)
( µ , σ ) ∈ Θ = R × (0, ∞)
2
Aşağıda sorulanları ispatlayarak cevaplandırınız.
n
∑ Xi
Xn =
i =1
n
(n − 1) S n2−1
σ2
S n2−1 ∼ ?
S n−1 ∼ ?
Gamma Dağılımı
Gamma (α , β ) , α , β ∈ (0, ∞)
Xn ∼ ?
Üstel Dağılım
Üstel (θ ) , θ ∈ Θ = (0, ∞)
Xn ∼ ?
Poisson Dağılımı
Poisson(λ ) , λ ∈ Θ = (0, ∞)
Xn ∼ ?
∼?
∼?