( ii ) x

Analiz II
Çalışma Soruları-2
Son güncelleme: 04.04.2011
..
( I ) Aşağıdaki fonksiyonların (ilgili değişkenlere göre) türevlerini bulunuz.
⎛
1
1. ⎜⎜ x − 3
⎜⎝
x
.
.
2. An 2
(
3. e2 tan
4.
.
.
.
⎞⎟2
⎟⎟
⎠
sin x
7. 2cos πx
)
8. log 2 (sin π x)
.
.x
x − 1 + cot
.
9. 32
.
x
10. sec x
x
5. sin(et ) + esin t
11. arccos3 ( e x )
.
6. cos(tan x 2 )
(.II.) ( A ) (Bileşke fonksiyonun türevi)
1
2
, g ( x ) = cos x ⇒ ( f D g )′ ( x) = ? , ( g D f )′ ( ) = ?
π
x
1.
f ( x) =
2.
f ( x ) = x 2 , g ( x ) = Anx , h( x) =
.
x , k ( x) = sin x ⇒ ( f D g D h D k )′ ( x ) = ? ,
(h D g )′ (e) = ?
(B ) Aşağıda verilen f fonksiyonları için (türevlerin varlıklarının varsayımı altında)
f ′ leri, g ′ cinsinden ifade ediniz.
1.
f ( x) = e x g ( x)
3.
f ( x) = g ( x3 )
2.
f ( x ) = g ( g ( x ))
4.
f ( x ) = ( g ( x )) + e g ( x )
1
____________________
http://odev.110mb.com
3
(C ) Aşağıda verilen h fonksiyonları için (türevlerin varlıklarının varsayımı altında) h′
leri, f ′ ve g ′ cinsinden ifade ediniz.
f ( x) g ( x)
f ( x) − g ( x)
1. h( x) =
3. h( x) =
.
.
f ( x)
g ( x)
⎛
4. h( x) = f ⎜⎜⎜
⎜⎝
2. h( x) = f ( g (sin x))
.
1 ⎞⎟
⎟⎟
g ( x) ⎠⎟
(D ) (Zincir kuralı, Parametreye bağlı fonksiyonlarda türev)
y = 1 + An ( x 2 + 1) ⎫⎪
⎪⎪
θ
⎪⎪
x = e +θ
⎬ ⇒
⎪⎪
z = cos 2 θ
⎪⎪
θ = arcsin t
⎭⎪
.
1.
2.
d 2z
dy
dy
dz
=?
(0) = ? ,
=?,
=?,
dθ
dt
dx
dx 2
⎫⎪
dy
⎪
=?
⎬ ⇒
dx
y = 1− t ⎪⎪⎪⎭
x = 1− t
.
.
.
(III) Aşağıdaki fonksiyonların türevlerini bulunuz.
1.
( x)
x
3. 2 x
.
4. x(
2. xcos x
x
Anx )
x
(IV) ( A ) Aşağıdaki fonksiyonların n. mertebeden türevlerini bulunuz.
1.
.
4. xe x
x
2. cos x
5. e− kx
3. An ( x −1)
6. sin 2x
.
2
____________________
http://odev.110mb.com
( k sabit)
(B ) Leibniz Çarpım Kuralından yararlanarak h( x ) = e − x x 2 fonksiyonunun n.
mertebeden türevini bulunuz.
(.V.) ( A ) Aşağıdaki fonksiyonlara [0, 2] aralığında Ortalama Değer Teoremi uygulanabilir
mi? inceleyiniz, uygulanabilirse Teoremde sözü geçen sabiti bulunuz.
1.
⎧⎪.x 2 , x ≤ 1
f ( x ) = ⎪⎨
⎪⎪2 x. ,x > 1.
⎩
⎧⎪.x 2 , x ≤ 1
2. g ( x) = ⎪⎨
⎪⎪ x. ,x > 1.
⎩
⎧⎪
1
⎪⎪.
. , x ≠ 2...
3. ϕ ( x) = ⎨ ( x − 2) 2
⎪⎪
,x = 2
x.
⎪⎪⎩
4. h( x ) = x 3 − x
5. φ ( x ) = 2e− x
6. γ ( x) =
x
.
x +1
(B ) Aşağıdaki iddiaların doğru olduklarını gösteriniz (Ortalama Değer Teoreminden
yararlanarak)
⎛ π⎞
1. ∀x ∈ ⎜⎜0, ⎟⎟⎟ için tan x > x
⎜⎝ 2 ⎠
2. ∀a, b ∈ \ için . sin a − sin b. . ≤ . .a − b.
3. ∀x > 0 için
1 + x . < .1 +
.
x
2
4. ∀x > 0 için An (1 + x). ≤ .x .
.
3
____________________
http://odev.110mb.com
f ′( x) ≤ g ′( x) ” koşullarını sağlayan türevlenebilen
(C ) “ f (0) = g (0) ” ve “ ∀x ∈ \ için
.
.
f ve g fonksiyonları verilsin. Bu durumda (Genelleştirilmiş Ortalama Değer Teoreminden
yararlanarak) “ ∀x ≥ 0 için
f ( x) ≤ g ( x) ” olacağını gösteriniz.
.
.
(D ) Aşağıdaki fonksiyonlara verilen aralıklarda Rolle Teoremi uygulanabilir mi? inceleyiniz,
uygulanabilirse Teoremde sözü geçen sabiti bulunuz.
2
f ( x) = x 3 + 1 , [−1, 1 ]
1.
.
.
2. f ( x ) = x .x + 3 , [−3, 0 ]
.
.
3. f ( x ) = sin 2π x , [−1, 1 ]
.
.
(E ) 4 x3 −16 x + 7 = 0 denkleminin (0,1) aralığında bir kökünün var olduğunu Rolle
Teoreminden yararlanarak gösteriniz.
(F ) Aşağıdaki fonksiyonların türevlerinden yararlanarak, Artan-Azalan oldukları aralıkları
belirleyiniz.
1.
f ( x) = 2 x + 1
4.
f ( x) = x3 − 27 x + 10
2.
f ( x) = −x + 2
5.
f ( x) = x +
3.
f ( x) = x 2 − 4 x + 6
6.
f ( x ) = x − 2 sin x , (0,3π ) de
4
____________________
http://odev.110mb.com
1
x
Not: Yanıtlar-Yol göstermeler kontrol amaçlıdır, yazım hatası - eksiklikler vs.. olabilir..
kendi çözümlerinizle mutlaka karşılaştırınız..
Çalışma Soruları-2 (son güncelleme : 04.04.2011)
Yanıtlar - Yol Göstermeler I
⎛
1
⎜⎛
1. ⎜⎜⎜⎜ x − 3
⎜⎜⎝⎝⎜
x
.
.
.
′
⎞⎟2 ⎟⎞
⎛
⎛
1 ⎞⎛
1 ⎞′
1 ⎞⎛ 1
1 ⎞⎟⎟
⎟
+
⎟⎟ ⎟⎟ = 2 ⎜⎜ x − 3 ⎟⎟⎟⎜⎜ x − 3 ⎟⎟⎟ = 2 ⎜⎜ x − 3 ⎟⎟⎟⎜⎜⎜
⎟.
⎠ ⎟⎠
⎝⎜
⎝⎜
x ⎠⎝⎜
x⎠
x ⎠⎜⎝ 2 x 3 x 4 ⎟⎠
.
.
.
( An (
2
.
sin x
.
.
.
=
2.
.
.
))′ = 2(An (
sin x
.
1
1
+ x
2 x 3
−
4
3
′
An ( sin x )) = (cot x) An (
))(
.
.
.
sin x
)
=:A
(
A=
.
sin x
.
3.
(sin x)′
sin x = cos x = 1 cot x .
2sin x 2
sin x
)′ = 2
sin x
.
.
(1 + tan
′
.x ) e 2 tan . x =
(e2 tan .x )′ = 2(tan
2
.
.
=:B
(
B = 1 + tan 2
.
x
.
.
2
′ (1 + tan x )
x =
.
2 x
)( )
.
x
x ) e2 tan
x
.
.
′
⎛
⎞′
1
4. ⎜⎜ x − 1 + cot x ⎟⎟⎟ =
x − 1 + cot x =
⎜⎝
⎠
2 x − 1 + cot x .
.
(
.
.
)
.
(
.
)
.
=:C
⎛
⎞
⎜
1 + cot 2 x ⎟⎟⎟
⎜
=
⎜⎜1 +
⎟⎟
2 x − 1 + cot x ⎜⎜⎝ 4 x 1 + cot x ⎟⎠
1
(
C = 1−
(
1 + cot x
.
(
′
)
2 1 + cot x
.
)
−(1 + cot 2
= 1−
.
.
.
.
(
.
1
x)
2
2 x = 1 + 1 + cot x
.
2 1 + cot x
4 x 1 + cot x
(
.
.
.
)
.
.
.
1
____________________
http://odev.110mb.com
)
(
.
.
.
)
)
5.
(sin(et ) + esin t )′ = (sin(et ))′ + (esin t )′ = (et cos(et )) + ((cos t ) esin t )
6.
(cos(tan x2 ))′ = −(sin(tan x2 )) (tan x2 )′ = −2 x (sin(tan x2 )) (1+ tan 2 x2 ) .
7.
(2cos π x )′ = (cos π x)′ 2cos π x An2 = −π (sin π x) 2cos π x An2 .
.
.
.
.
.
.
π (cos π x )
(sin π x)′
8. (log 2 sin π x)′ =
log 2 e =
log 2 e = π (cot π x ) log 2 e .
sin π x
sin π x
.
.
.
(3 )′ = ( 2 )′ 3
2x
9.
2x
x
.
.
.
.
.
.
⎛ 1
⎞ x
A n3 = ⎜
2 x An 2 ⎟ 32 An3 .
⎝2 x
⎠
.
.
.
.
1 ⎞′
1
1
cos x )′ =
sin x = sec x tan x .
⎟ =−
2 (
cos x
cos 2 x
⎝ cos x ⎠
10.
( sec x )′ = ⎛⎜
11.
(
.
)
′
3e x (arccos 2 e x )
arccos3 ( e x ) = 3(arccos 2 e x ) (arccos e x )′ = −
2 e x (1 − e x )
=:D
.
.
.
D =−
.
ex
′
(e)
x
.
x
ex
.
=− 2 e =−
x
x
x
x
1− e
1− e
2 e (1 − e )
.
.
.
.
Yanıtlar - Yol Göstermeler II
Önbilgi 1. (Bileşke fonksiyonun türevi) ( f D g )′ ( x0 ) = f ′ ( g ( x0 )) g ′ ( x0 ) .
.
A1. f ( x) =
1
, g ( x ) = cos x ,
x
( f D g )′ ( x) = f ′ ( g ( x0 )) g ′ ( x) =
.
1
(− 2 ).(− sin x)
cosx
dikkat: g ′ ( x )=− sin x , f ′ ( x )=−
2
____________________
http://odev.110mb.com
= sec x tan x .
.
1
x2
Dikkat edilirse ( f D g ) ( x) = sec x dir. Dolayısıyla buradaki türev işlemi Soru I-9 daki gibidir.
⎛ 2 ⎞
2
2
( g D f )′ ( ) = g ′ ⎜⎜⎜ f ( )⎟⎟⎟ f ′( ) =
⎝ π ⎠
π
π
1
π
(− sin ).(−
)
2
⎛ 2 ⎞⎟2
⎜⎜ ⎟
⎝⎜ π ⎠⎟
.
dikkat: f ′ ( x )=−
A2. f ( x ) = x 2 , g ( x ) = Anx , h( x) =
.
1
x2
= (−1).(−
π2
π2
.
)=
4
4
, g ′ ( x )=− sin x
x , k ( x) = sin x ,
( f D g D h D k )′ ( x) = f ′ (( g D h D k )( x)) g ′ ((h D k )( x)) h′ (k ( x)) k ′ ( x) =
.
.
.
1
1
).(
).(cos x) = (cot x) An
= (2An sin x ).(
sin
2
si
n
x
x
.
.
dikkat: k ′ ( x )=cos x , h′ ( x )=
(
.
sin x
)
1
1
, g ′ ( x )= , f ′ ( x )=2 x
x
2 x
Dikkat edilirse ( f D g ) ( x) = An 2
(
.
)
sin x dir. Dolayısıyla buradaki türev işlemi Soru I-2 deki
gibidir.
(h D g )′ (e) = h′ ( g (e)) g ′ (e) =
.
1
1
(
).( )
e
2
ne A
=
.
1
.
2e
1
1
dikkat: g ′ ( x )= , h ′ ( x )=
x
2 x
′
B1. f ( x) = e x g ( x) ⇒ f ′( x) = (e x g ( x))
=
N
çarpımın türevinden
B2. f ( x) = g ( g ( x)) ⇒ f ′( x) = ( g D g )′ ( x)
e x g ( x) + e x g ′( x) = e x ⎡⎣ g ( x) + g ′( x)⎦⎤ .
=
N
g ′ ( g ( x )) g ′ ( x ) .
.
bileşke fonk. türevinden
′
B3. f ( x ) = g ( x 3 ) ⇒ f ′( x) = ( g D x3 ) ( x )
=
N
bileşke fonk. türevinden
3
____________________
http://odev.110mb.com
3x 2 g ′ ( x3 ) .
.
.
3
B4. f ( x) = ( g ( x)) + e g ( x ) ⇒
′
3
3 ′
2
′
f ′ ( x ) = ( g ( x ) ) + e g ( x ) = ( g ( x ) ) + (e g ( x ) ) = 3 ( g ( x ) ) g ′ ( x ) + g ′ ( x ) e g ( x ) .
(
) (
)
.
2
= g ′( x) ⎡⎢ 3( g ( x)) + e g ( x ) ⎤⎥ .
⎣
⎦
.
C1. h( x) =
.
.
f ( x) g ( x)
⇒
f ( x) − g ( x)
.
⎛ f ( x) g ( x) ⎟⎞′
( f ( x) g ( x))′ ( f ( x) − g ( x))−( f ( x) g ( x))( f ( x) − g ( x))′
=
h′( x) = ⎜⎜
⎟⎟
N
2
⎜⎝ f ( x) − g ( x) ⎟⎠ bölümün türevinden
( f ( x ) − g ( x ))
.
.
=
.
( f ′( x) g ( x) + f ( x) g ′( x))( f ( x) − g ( x))−( f ( x) g ( x))( f ′( x) − g ′( x))
.
2
( f ( x ) − g ( x ))
.
C2. h( x) = f ( g (sin x)) ⇒
h ′( x) = ( f ( g (sin x)))′
f ′ ( g (sin x)) g ′ (sin x).(sin x)′
=
N
.
bileşke fonk. türevinden
= (cos x) f ′ ( g (sin x)) g ′ (sin x) .
.
C3. h( x) =
⎛
h′( x) = ⎜⎜⎜
⎜⎝
.
.
.
f ( x)
⇒
g ( x)
⎛
⎞
⎛
⎞′
⎜⎜ f ′( x) g ( x) − f ( x) g ′( x) ⎟⎟
⎜⎜ f ( x) ⎟⎟
′
⎟
2
⎜⎝
⎜⎝ g ( x) ⎟⎟⎠
g ( x)
f ( x) ⎟⎞
⎠⎟ f ′( x) g ( x) − f ( x) g ′( x)
⎟⎟ =
=
=
.
g ( x) ⎟⎠
f ( x)
f ( x)
f ( x)
2
2
.
2
.
2 g ( x)
g ( x)
g ( x)
g ( x)
.
⎛
C4. h( x) = f ⎜⎜⎜
⎜⎝
.
.
.
.
.
1 ⎞⎟
⎟⎟ ⇒
g ( x) ⎠⎟
4
____________________
http://odev.110mb.com
.
⎛ ⎛
h′( x) = ⎜⎜⎜ f ⎜⎜⎜
⎝⎜ ⎝⎜
.
′
⎛
1 ⎞⎟⎟⎞⎟
⎟⎟⎟ = f ′ ⎜⎜
⎜
g ( x) ⎠⎟⎠⎟⎟
⎝⎜
1 ⎞⎟ ⎛⎜
⎟⎟ ⎜
g ( x) ⎠⎟ ⎝⎜⎜
.
.
.
′
⎛
1 ⎟⎞
⎟⎟ = f ′ ⎜⎜
⎜⎜
g ( x) ⎟⎠
⎝
⎛ 1 ⎟⎞′
⎜⎜
⎟
1 ⎞⎟ ⎜⎝ g ( x) ⎠⎟
⎟⎟
g ( x) ⎠⎟
1
2
.
g ( x)
.
.
.
⎛
= f ′ ⎜⎜⎜
⎜⎝
⎛
⎞
⎛
⎜⎜ g ′ ( x) ⎟⎟
1 ⎞⎟ ′
⎟ g ( x)
f ′ ⎜⎜⎜
⎜⎜− 2 ⎟⎟
⎜⎝ g ( x) ⎟⎟⎠
1 ⎟⎞ ⎜⎝ g ( x) ⎟⎠
⎟⎟
.
=−
g ( x) ⎟⎠
1
1
2
2
.
2 g ( x)
g ( x)
g ( x)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
Önbilgi 2. (Zincir kuralı, Parametreye bağlı fonksiyonlarda türev)
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪ verilsin. dy = ? , dy = ?
⎬
⎪
dt
dx
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
x = f (u )
y = g (u )
u = h( s )
s = j (t )
dy dy d u ds
=
=
dt du ds d t
.
dy dy du
=
=
dx du dx
.
.
dy
= du =
dx
.
du
d
d
d
= ( g (u )) (h(u )) ( j (t )) .
du
ds
dt
.
.
.
d
( g (u ))
du
.
d
( f (u ))
du
şeklinde bulunur.
y = 1 + An ( x 2 + 1) ⎫
⎪
⎪
⎪
θ
⎪
x = e +θ
⎪ veriliyor. Önbilgi-2 deki yöntemden yararlanacağız.
D1.
⎬
⎪
z = cos2 θ
⎪
⎪
⎪
⎪
θ = arcsin t
⎭
.
dy dy dx
d
d θ
=
= (1 + An ( x 2 + 1))
(e + θ )
d θ dx d θ dx
dθ
.
.
.
5
____________________
http://odev.110mb.com
2x
= 2
eθ + 1)
(
x +1
=
N
.
x=eθ +θ idi.
2(eθ + θ )(eθ + 1)
dy
2(e0 + 0)(e0 + 1)
⇒
(0)
=
= 2.
dθ
( eθ + θ ) 2 + 1
(e0 + 0)2 + 1
dy dy dx d θ 2(eθ + θ )(eθ +1) d
=
=
(arcsin t )
dt dx d θ dt
(eθ + θ ) 2 + 1 dt
.
.
.
= dy
dθ
=
2(eθ + θ )(eθ + 1)
( eθ + θ ) 2 + 1
1
.
1− t 2
.
2(earcsin t + arcsin t )(earcsin t + 1)
(earcsin t + arcsin t )2 + 1
θ =arcsin t idi.
=
N
1
.
1− t 2 .
dz
d
(cos 2 θ )
−2 cos θ sin θ
dz dz d θ
sin 2θ
=
= dθ = dθ
=
=− θ
.
θ
dx
d θ
dx d θ dx
+
+
e
1
e
1
(e + θ )
dθ
dθ
.
.
d ⎜⎛ − sin 2θ ⎟⎞
⎟
d z
d ⎜⎛ dz ⎟⎞ d ⎜⎛ − sin 2θ ⎟⎞ d θ ⎜⎜⎝ eθ + 1 ⎠⎟
= ⎜ ⎟= ⎜
⎟=
dx
dx 2 dx ⎜⎝ dx ⎠⎟ dx ⎜⎝ eθ + 1 ⎠⎟
dθ
2
−2 cos 2θ + (eθ +1)sin 2θ
−2 cos 2θ + (eθ +1) sin 2θ
(eθ + 1)2
=
=
.
eθ + 1
(eθ +1)3
⎫⎪
⎪
⎬ ⇒
y = 1− t ⎪⎪⎪⎭
x = 1− t
.
D2.
.
.
dy
dy dy dt
=
= dt =
dx dt dx dx .
dt
.
(1− t ) ′
d
1− t
2 1− t
dt
=
d
−1
1− t
dt
2 1− t
(
.
(
)
.
.
.
.
.
)
.
6
____________________
http://odev.110mb.com
.
=
N
türev işlemi yapılıp düzenlenirse.
.
1
2
.
1− t
.
t (1− t )
.
Yanıtlar - Yol Göstermeler III
′
Önbilgi 3. u = u ( x ) , v = v ( x ) olmak üzere, (u v ) = ?
y = u v diyelim
⇒
N
Any = Anu v = v Anu
⇒
N
y′
= (v Anu )′ = v ′Anu + v (Anu )′
y
.
.
her iki taraf için An alalım
.
şimdi her iki tarafın türevini alalım
.
⎛
⎞
⇒ y ′ = y ⎜⎜v ′Anu + v (Anu )′ ⎟⎟⎟
⎝
⎠
⎛
⎞
⇒ y ′ = u v ⎜⎜v ′Anu + v (Anu )′ ⎟⎟⎟ .
⎝
⎠
( * ) Kısaca formülize edersek: (u v )′ = u v (v Anu )′ .
.
.
.
⎛
1. ⎜⎜
⎝
′
( x ) ⎞⎟⎟⎟⎠
2.
3.
x
.
( xcos x )′
=
N
(.*.) dan
⎛
1 ⎞⎟
⎜⎜
x
⎟⎟
x⎜
x
2
⎟⎟ =
⎜
x ⎜ An x +
⎟
⎜⎜
x ⎟⎟⎟
⎜⎜
⎝
⎠⎟
( x ) ( x An x )′ = ( )
x
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
⎛
⎝
cos x
=
(cos x An x)′ = x cos x ⎜⎜⎜− sin x An x +
N x
.
.
(.*.) dan
(2 x )′ = (An 2) 2 x ( x x )′
x
x
.
( x)
.
.
⎞
⎜⎜⎝⎜ + An x ⎠⎟⎟⎟ .
2
.
cos x ⎟⎞
⎟.
x ⎟⎠
x
x
x x
=
N (An 2) 2 ( x ( x An x)′) = (An 2) 2 x (1 + An x)
x
.
x
.
(.*.) dan
4.
7
____________________
http://odev.110mb.com
.
x ⎛1
.
.
.
.
.
.
⎛ (Anx)x ⎞⎟′
(Anx)x
⎜x
=
x
⎟
⎜⎝
⎠⎟ (.*.N
) dan
⎡.(An x)x An x.⎤ ′ = x(Anx)x
⎢⎣
⎥⎦
.
.
⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
x ⎥
⎢
⎢. (An x)x ′ An x + (An x) .⎥
⎢
x ⎥⎥
⎢ ⎢
⎥
x
⎢ =(Anx)x ( x.Anx)′
⎥
⎢⎣ =(Anx) (1+Anx)
⎥⎦
(
.
.
x
⎛
(An x) ⎟⎟⎞
x
⎟.
⎜⎜(An x) (1 + An x) +
x ⎟⎟⎠
⎜⎝
(Anx)x ⎜⎜
=x
)
.
.
.
.
Yanıtlar - Yol Göstermeler IV
A1. f ( x ) =
.
x,
f ′( x ) =
1
, f ′′( x) = −
2 x
.
f ( n ) ( x) =
1.3.5...(2n − 3)
2n
1
.
x 2 n−1
.
.
A2.
⎛
dn
π⎞
(cos x) = cos ⎜⎜⎜ x + n ⎟⎟⎟ .
n
⎝
2⎠
dx
A3.
dn
(n −1)!
.
(An ( x −1)) = (−1)n−1
n
dx
( x −1) n
A4.
dn
xe x ) = e x ( x + n) .
n(
dx
A5.
d n −kx
e ) = (−1)n k n e−kx .
n(
dx
.
.
.
⎛
dn
π⎞
A6.
(sin 2 x) = 2n sin ⎜⎜⎜2 x + n ⎟⎟⎟ .
n
⎝
2⎠
dx
.
Önbilgi 4. Leibniz Çarpım Kuralı:
8
____________________
http://odev.110mb.com
1 1
1.3 1
, f ′′′( x) =
,…,
2.2 x3
2.2.2 x5
.
⎛n⎞
(n)
( f .g ) = f ( n) g + ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟⎟ f ( n−1) g ′ + ...
.
.
.
⎝1⎠
.
.
⎛n⎞
+ ⎜⎜ ⎟⎟⎟. f ( n−k ) g ( k ) + ... + f .g ( n )
⎜⎝ k ⎟⎠
.
.
.
n ⎛n⎞
= ∑ .⎜⎜ ⎟⎟⎟. f ( n−k ) g ( k ) .
⎜⎝ k ⎟⎠
.
.
.
k =0
B. f ( x ) = e− x , g ( x ) = x 2 diyelim ⇒ h( x ) = f ( x ).g ( x ) yani kısaca h = f .g .
Şimdi n.mertebeden türevleri belirleyelim:
f ′ = −e− x , f ′′ = e− x , …, f ( n ) = (−1) n e− x ,
g ′ = 2 x , g ′′ = 2 , g ′′′ = ... = g ( n ) = 0 .
Şimd Leibniz Çarpım Kuralını uygulayalım, burada g nin 3.mertebe ve bu mertebeden daha
büyük mertebeli türevlerinin sıfıra eşit olmasından ötürü toplam formülünde yalnızca
g , g ′, g ′′ terimlerinin kullanıldığı ifadeler ile ilgilenecegiz:
(n)
h ( n ) = ( f .g )
n ⎛n⎞
= ∑ .⎜⎜ ⎟⎟⎟. f ( n−k ) g ( k )
⎜ ⎟
k =0 ⎝ k ⎠
.
.
.
⎛n⎞
⎛n⎞
= f ( n ) g + ⎜⎜ ⎟⎟⎟ f ( n−1) g ′ + ⎜⎜ ⎟⎟⎟ f ( n−2) g ′′ + 0
⎜⎝ 1 ⎟⎠
⎜⎝ 2 ⎟⎠
.
.
.
.
.
.
.
.
.
= (−1) n e− x x 2 + n(−1) n−1 e− x (2 x) +
n(n −1)
(−1) n−2 e− x (2)
2
= (−1) n e− x ( x 2 − 2nx + n(n −1)) .
Yanıtlar - Yol Göstermeler V
Önbilgi 5. Bir [ a, b ] aralığında tanımlı gerçel değerli f ve g fonksiyonları ve bu
fonksiyonlarla ilgili aşağıdaki koşulları göz önüne alalım:
( f - H1) : f : [ a, b] kapalı aralığında SÜREKLİ.
( f - H2) : f : (a, b) açık aralığında TÜREVLENEBİLİR.
( f - H3) : f (a) = f (b) .
9
____________________
http://odev.110mb.com
Yazımda kolaylık olması açısından ( g - H1) ve ( g - H2) ile: sırasıyla, ( f - H1) ve ( f - H2)
de f yerine g yazılması ile elde edilen koşullar kastediliyor olacak.
..
( i ) (Rolle Toremi)
( f - H1) , ( f - H2) ve ( f - H3)
koşulları geçerli olsun.
⎫
⎪
⎪⇒
⎬
⎪
⎪
⎭
∃ c ∈ ( a , b ) , f ′ (c ) = 0 .
.
(.ii.) (Ortalama Değer Teoremi- kısaca ODT)
( f - H1) ve ( f - H2)
koşulları geçerli olsun.
⎫
⎪
⎪⇒
⎬
⎪
⎪
⎭
∃ c ∈ ( a, b ) , f ′ ( c ) =
.
f (b) − f (a )
.
b−a
( iii ) (Genelletirilmiş Ortalama Değer Teoremi- kısaca GODT)
.
.
⎫
⎪
⎪⇒
⎬
⎪
⎪
⎭
( f - H1) , ( f - H2) , ( g - H1) , ( g - H2)
koşulları geçerli olsun.
∃ c ∈ ( a, b ) ,
.
f ′ (c )
f (b ) − f ( a )
.
=
g ′ (c )
g (b ) − g ( a )
Not: Teoremde sağdaki rasyonel ifadenin paydasını daima sıfırdan farklı kılacak uygun koşulların da Teoremin
hipotezlerine eklenildiği düşünülmektedir.
(.iv.) (Artanlık-Azalanlık ile ilgili Teoremler (yeter koşullar))
( f - H2) geçerli olsun.
(.iv.) -T1. “ ∀x ∈ (a, b) için f ′( x) > 0 ” ⇒ f : (a, b) de (kesin) artandır.
.
.
(.iv.) -T2. “ ∀x ∈ (a, b) için f ′( x) < 0 ” ⇒ f : (a, b) de (kesin) azalandır.
.
A.
.
f ( x ) ve g ( x ) fonksiyonlarının x0 = 1 de süreklilik ve türevlenebilirlik özelliklerini
sağlayıp sağlamadıklarını Çalışma Sorusu 1-
10
____________________
http://odev.110mb.com
(V)(A) da incelemiştik. Bu sonuçlardan
yararlanacağız (Bu soruyu tekrardan inceleyiniz).
⎧⎪.x 2 , x ≤ 1
A1. f ( x ) = ⎪⎨
fonksiyonu x0 = 1 de sürekli değildir. 1 ∈ [0, 2] olduğu için de
⎪⎪2 x. ,x > 1.
⎩
ODT nin hipotezlerinden ( f - H1) koşulu sağlanmaz dolayısıyla f fonksiyonuna [0, 2] de
ODT uygulanamaz.
⎧⎪.x 2 , x ≤ 1
A2. g ( x) = ⎪⎨
fonksiyonu x0 = 1 de sürekli idi. Dolayısıyla fonksiyon [0, 2] de
⎪⎪ x. ,x > 1.
⎩
sürekli olacaktır ve ODT nin hipotezlerinden ( g - H1) sağlanacaktır. Ancak fonksiyon x0 = 1
de türevlenemediği ve 1 ∈ (0, 2) olduğu için ikinci hipotez ( g - H2) sağlanmaz. Dolayısıyla
g fonksiyonuna [0, 2] de ODT uygulanamaz.
⎧
1
⎪
⎪
. , x ≠ 2...
⎪.
. Dikkat edilirse ϕ ( x )
A3. ϕ ( x) = ⎨ ( x − 2) 2
⎪
⎪
,x = 2
⎪ x.
⎪
⎩
fonksiyonu \ de x0 = 2
haricindeki noktalarda türevlenebilirdir. ODT nin hipotezlerinden (ϕ - H2) yani “ ϕ :
(0, 2) açık aralığında türevlenebilir” koşulu sağlanır. Ancak fonksiyon x0 = 2 de sağdan
sürekli olmadığı için (çünkü incelenirse ϕ (2+) = ∞ ≠ 2 = ϕ (2) ), (ϕ - H1) yani “ ϕ : [0, 2]
kapalı aralığında sürekli” koşulu sağlanmaz. Dolayısıyla ϕ fonksiyonuna [0, 2] de ODT
uygulanamaz.
A4. h( x ) = x 3 − x bir polinom olduğundan \ de sürekli ve türevlenebilidir. Dolayısıyla
ODT nin her iki hipotezi de sağlanır. Böylece h fonksiyonuna [0, 2] de ODT uygulanabilir.
Şimdi Teoremde sözü geçen sabiti bulalım:
11
____________________
http://odev.110mb.com
∃ c ∈ (0, 2) , h ′(c) =
.
h(2) − h(0)
2−0
⎫⎪
⎪⎪
⎬
⎪⎪
⎪⎪⎭
⇒ .h′( x) = ( x3 − x)′ = 3 x 2 −1
⇒ .h ′(c) = 3c 2 −1
⇒.
h(2) − h(0) (23 − 2) − 0
=
=3
2−0
2
⇒ .3c 2 −1 = 3
⇒ .c = ±
2
.
3.
⇒ .c ∈ (0, 2) olacağından aranılan c =
A5. φ ( x ) = 2e− x
2
∈ (0, 2).
3.
bir polinom olduğundan \ de türevlenebilirdir ( φ ′( x ) = −2e− x ) ve
dolayısıyla süreklidir. O halde ODT nin her iki hipotezi de sağlanır. Böylece φ fonksiyonuna
[0, 2] de ODT uygulanabilir. Şimdi Teoremde sözü geçen sabiti bulalım.
∃ c ∈ (0, 2) , φ ′(c) =
.
φ (2) − φ (0)
2−0
⎫⎪
⎪⎪
⎬
⎪⎪
⎪⎪⎭
⇒ .φ ′( x) = −2e−x
⇒ .φ ′(c) = −2e−c
φ(2) − φ(0) 2e−2 − 2
⇒.
=
= e−2 −1
2−0
2
⇒ . − 2e−c = e−2 −1 ⇒ e−c =
1− e−2
2
⎛1− e−2 ⎞⎟
⎟⎟.
⇒ .c = −An ⎜⎜⎜
⎜⎝ 2 ⎠⎟
A6.
γ ( x) =
( γ ′( x ) =
x
x +1
1
2
( x + 1)
fonksiyonu
[0, 2] de sürekli ve (0, 2) de türevlenebilirdir
). O halde ODT nin her iki hipotezi de sağlanır. Böylece φ fonksiyonuna
[0, 2] de ODT uygulanabilir. Şimdi Teoremde sözü geçen sabiti bulalım.
12
____________________
http://odev.110mb.com
∃ c ∈ (0, 2) ,
.
φ ′ (c ) =
γ (2) − γ (0)
2−0
⎫
⎪
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⇒ .γ ′(c) =
1
2
(c +1)
2
−0
1
γ (2) − γ (0) 3
⇒.
=
=
2−0
2
3
1
1
⇒.
=
2
(c +1) 3
⇒ .c = −1 ± 3.
.
⇒ .c ∈ (0, 2) olacağından aranılan c = −1 + 3 ∈ (0, 2)..
.
⎛ π⎞
B1. “ ∀x ∈ ⎜⎜0, ⎟⎟⎟ için tan x > x “
⎜⎝ 2 ⎠
I.yol: f ( x ) := tan x fonksiyonuna [0, x ] aralığında (burada x <
“fonksiyon [0, x ] de sürekli ve f ′( x) = 1 + tan 2 x =
π
) ODT uygulayarak:
2
1
türevi (0, x) de mevcut (yani
cos 2 x
türevlenebilir) olduğundan ODT uygulanabilir”.
∃ c ∈ (0, x) ,
.
f ′ (c ) =
f ( x) − f (0)
x−0
⎫
⎪
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
π
2
⇒ .0 < c < x < ,
tan x − tan 0
1
=
x
− 0 cos 2 c
tan x
=
x
⇒.
>
N
çünkü daima cos x≤1
π
bu ve 0<.c.< özelliğinden.
2
. cos2 c.<.1
tan x
> 1 ⇒ . tan x > x..
x
.
.
.
.
⎛ π⎞
II.yol: g ( x) := ( tan x) − x fonksiyonun ⎜⎜0, ⎟⎟⎟ aralığında artan olduğunu göstererek:
⎜⎝ 2 ⎠
g ′( x) = tan 2 x
>
N
0
⇒ Önbilgi 5- (.iv.) -T1 den istenilen elde edilir.
π
x.< için tan x≠0 ve
2
gerçel bir sayının karesi
daima sıfırdan büyük olacağından
13
____________________
http://odev.110mb.com
1
B2. “ ∀a, b ∈ \ için . sin a − sin b. . ≤ . .a − b. “
I.durum: “ b > a olsun”. f ( x) := sin x fonksiyonuna [ a, b ] aralığında ODT uygulayalım:
“ f fonksiyonu \ de türevlenebilirdir ( f ′( x) = cos x ) dolayısıyla süreklidir (Böylece f in
[ a, b] de süreklik ve (a, b) de türevlenebilirlik özellikleri sağlanır) O halde bu fonksiyona
[ a, b] de ODT uygulanabilir”.
∃ c ∈ ( a, b ) ,
.
f (b) − f (a )
f ′ (c ) =
b−a
⎫
⎪
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⇒ . f ′(c) = cos c,
f (a) − f (b) sin b − sin a
=
b−a
b−a
sin b − sin a
⇒ . cos c =
b−a
⇒ . sin b − sin a = (cos c) (b − a ). ≤ .b − a
(daima) ≤.1
⇒ sin b − sin a. ≤ .b − a .
II.durum: “ a > b olsun”. sin a − sin b. ≤ .a − b elde edilir (yukarıdaki sonuçta a ve b nin yeri
değiştirilerek işlemler tekrarlanırsa bu sonucun elde edileceği açıktır).
II.durum: “ a = b olsun”. sin a − sin b = sin a − sin a = 0. = .a − b = b − a .
B3. “ ∀x > 0 için
f ( x ) := 1 + x
.
1 + x . < .1 +
.
x
“
2
fonksiyonuna [0, x ] aralığında ODT uygulayalım:
“ f fonksiyonu [0, x ] de sürekli ve (0, x) de türevlenebilirdir ( f ′( x) =
1
) O halde bu
2 1+ x
.
fonksiyona [0, x ] de ODT uygulanabilir”.
14
____________________
http://odev.110mb.com
∃ c ∈ (0, x) ,
.
f ( x) − f (0)
f ′ (c ) =
x−0
⎫
⎪
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⇒ . f ′ (c ) =
1
,
2 1+ c
.
1 + x −1
f ( x) − f (0)
=
x−0
x
1
1 + x −1
⇒.
=
x
2 1+ c
.
.
.
⇒.
2
(
)=
1 + x −1
.
x
1
1+ c
. < .1
.
( c∈(0, x) oldugundan daima) <.1
⇒
2
(
) <1 ⇒
1 + x −1
.
.
x
.
x
1 + x . < .1 + .
2
.
B4. “ ∀x > 0 için An (1 + x). ≤ .x “
.
f ( x ) := An (1 + x) fonksiyonuna [0, x ] aralığında ODT uygulayalım:
.
“ f fonksiyonu [0, x ] de sürekli ve (0, x) de türevlenebilirdir ( f ′( x) =
1
) O halde bu
1+ x
fonksiyona [0, x ] de ODT uygulanabilir”.
∃ c ∈ (0, x) ,
.
f ( x) − f (0)
f ′ (c ) =
x−0
⎫
⎪
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
1
,
1+ c
f ( x) − f (0) An (1 + x) − An 1 An (1 + x)
=
=
x−0
x
x
An (1 + x)
1
⇒.
=
1+ c
x
1
An (1 + x)
. < .1
⇒.
=
1N
+c
x
⇒ . f ′ (c ) =
.
.
.
.
.
( c∈(0, x) oldugundan daima) <.1
⇒
An (1 + x)
< 1 ⇒ An (1 + x). < .x.
x
.
,
15
____________________
http://odev.110mb.com
.
.
C.
⎫
⎪
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
f ve g türevlenebilir
..
( i ) f (0) = g (0) ,
(.ii.) ∀x ∈ \ , f ′( x) ≤ g ′( x)
.
.
⇒ . f , g fonksiyonuna [0, x ] aralığında
GODT uygulayalım.
" f , g fonksiyonları türevlenebilir olduğundan
[0, x ] de sürekli ve (0, x) de türevlenebilir olacaktır.
O halde GODT uygulanabilir."
∃ c ∈ (0, x) ,
.
f ′(c) f ( x) − f (0)
=
g ′(c) g ( x) − g (0)
.
f ′ (c )
f ( x) − f (0)
=
g ′(c) g ( x) − g (0)
≤
N 1
.
⇒ f ( x) − f (0) ≤ g ( x) − g (0)
.
.
(.ii.) den
..
( i ) den
f ( x) ≤ g ( x)
.
D1. f ( x) =
2
x3
.
+ 1 fonksiyonu [−1, 1 ] aralığında sürekli; “ f (−1) = f (1) = 2 ” . O halde
.
.
Önbilgi 5(i) den Teoremin iki hipotezi ( ( f - H1) ve ( f - H3) ) sağlanır. Ancak f ′( x) =
2
1
3x 3
( x ≠ 0 ) gözleminden fonksiyonun x0 = 0 ∈ [−1, 1 ] noktasında türevinin mevcut olmadığı
.
.
anlaşılır. Dolayısıyla Teoremin diğer hipotezi (yani ( f - H2) ) geçerli olmaz. Böylece f
fonksiyonuna [−1, 1 ] de Rolle Teoremi uygulanamaz.
.
D2.
.
f ( x ) = x .x + 3
fonksiyonu
türevlenebilir“ ( f ′( x ) = .x + 3 +
[−3, 0 ] aralığında sürekli; (−3, 0 ) aralığında
.
.
x
3x + 6
) ;
=
2 .x + 3 2 .x + 3
.
.
f (−3) = f (0) = 0 ” . O halde
Önbilgi 5(i) den Teoremin hipotezleri sağlanır. Böylece f fonksiyonuna [−6, 0 ] da Rolle
.
Teoremi uygulanabilir.
16
____________________
http://odev.110mb.com
.
Şimdi Teoremde sözü geçen sabiti bulalım.
}
∃ c ∈ (−3, 0 ) , f ′(c) = 0
.
.
.
3c + 6
=0
2 .c + 6
⇒ .c = −2..
⇒ . f ′ (c ) =
fonksiyonu [−1, 1 ] aralığında süreklidir (bunu durumu, (sin x) D (2π x)
D3. f ( x ) = sin 2π x
.
.
yazımından ve “sürekli fonksiyonların bileşke fonksiyonu da süreklidir” gerçeğinden
gözlemlemek mümkün);
(−1, 1 ) aralığında türevlenebilirdir“ ( f ′( x) = 2π cos 2π x ) ;
.
.
f (−1) = f (1) = 0 ” . O halde Önbilgi 5(i) den Teoremin hipotezleri sağlanır. Böylece f
fonksiyonuna [−1, 1 ] de Rolle Teoremi uygulanabilir. Şimdi Teoremde sözü geçen sabiti
.
.
bulalım.
}
∃ c ∈ (−1, 1 ) , f ′(c) = 0
.
.
.
⇒ . f ′(c) = 2π cos 2πc = 0
π
⇒ . cos 2πc = 0 ⇒ c = ± + 2πn..
2
⇒ .c ∈ (−1, 1 ) olacağından aranılan c ler :
.
.
1
3
n = 0, .n = ±1 için ⇒ c = , .c = ± ∈ (−1, 1 ).
4
4
.
.
E. f ( x ) fonksiyonunu türevi 4 x3 −16 x + 7 olacak şekilde seçelim, f ( x ) := x 4 − 8 x 2 + 7 x
.Bu fonksiyon [0,1] de süreklidir ve (0,1) de türevlenebilirdir üstelik “ f (0) = f (1) = 0 ”O
halde Önbilgi 5(i) den Teoremin hipotezleri sağlanır. Böylece f fonksiyonuna [0,1] de Rolle
Teoremi uygulanabilir. Teoremden ∃ c ∈ (0,1) , f ′(c ) = 4c3 −16c + 7 = 0 .
.
F. Önbilgi 5- (.iv.) den yararlanacağız.
F1. f ( x ) = 2 x + 1 ⇒ f ′( x) = 2 > 0
.
⇒
N
.
f : \ de artandır.
(.iv.)-T1 den
F2. f ( x ) = − x + 2 ⇒ f ′( x) = −1 < 0
.
.
⇒
N
(.iv.)-T2 den
17
____________________
http://odev.110mb.com
f : \ de azalandır.
⎧
⎪ f ′( x) = 2 x − 4 < 0., ∀x ∈ (−∞, −2)
F3. f ( x) = x 2 − 4 x + 6 ⇒ ⎨⎪
′
⎪
⎪
⎩ f ( x) = 2 x − 4 ≥ 0., ∀x ∈ (2, ∞)
..
.
..
.
⇒ . f : (−∞, −2) de azalan; (2, ∞) de artandır.
F4. f ( x) = x3 − 27 x + 10 ⇒ f ′( x ) = 3 x 2 − 27 = 3( x − 3)( x + 3)
x <−3
−3 < x < 3
x>3
f ′( x) in işareti
+
−
+
f ( x)
artan
azalan
artan
F5. f ( x ) = x +
1
1 ⎛ 1 ⎞⎛ 1 ⎞
⇒ f ′( x) = 1− 2 = ⎜⎜⎜1− ⎟⎟⎟⎜⎜⎜1 + ⎟⎟⎟
⎝ x ⎠⎝
x
x⎠
x
x <−1
−1 < x < 0
0 < x <1
x >1
1−
1
x
+
+
−
+
1+
1
x
+
−
+
+
f ′( x) in işareti
+
−
−
+
f ( x)
artan
azalan
azalan
artan
F6. f ( x ) = x − 2 sin x ⇒ f ′( x) = 1− 2 cos x
π
1
5π
7π
⇔
<x<
veya
< x < 3π
2
3
3
3
1
5π
7π
π
f ′( x) = 1− 2 cos x < 0 ⇔ cos x >
⇔ 0 < x < veya
< x < ..
2
3
3
3
f ′( x) = 1− 2 cos x > 0 ⇔ cos x <
.
.
.
.
.
.
.
.
(.iv.)-T1 ve T2 den
⎛ π 5π ⎞
⎛ 7π
⎞
f : ⎜⎜ , ⎟⎟⎟ ve ⎜⎜ ,3π ⎟⎟⎟ de artan ;
⎜⎝ 3 3 ⎠
⎜⎝ 3
⎠
18
____________________
http://odev.110mb.com
⎛ π ⎞⎟
⎛
⎞
⎜⎜0, ⎟ ve ⎜⎜ 5π , 7π ⎟⎟ de azalandır.
⎜⎝ 3 ⎠⎟
⎜⎝ 3 3 ⎠⎟