C:\Documents and Settings\Y\Des

Haliç Üniversitesi, Uygulamalı Matematik Bölümü
Math 103 Lineer Cebir Ödev Çözümü
3. Ödevin Çözümü
1. Sorunun Çözümü: Ben şu iki vektörü seçiyorum:
2
r 1 
1
r 2 
−1
3
a) Bu vektörlerin Euclidean iç çarpımı şöyledir:
⟨r1 , r 2    2 −1 
1
 −1
3
b) Bu vektörlerin W tarafından yaratılan iç çarpıma göre çarpımları da şöyledir:
⟨r1 , r 2    2 −1 
5 0
5 0
1
0
0
3
1
1
7
Değerlendirme: Çözümünüz soruda tarif edildiği gibi değerlendirilecektir.
2. Sorunun Çözümü: Ben şöyle bir matrisler seçtim:
1
M1 
0
M2 
−2 1
1
0
−1 1
Bu durumda
⟨M 1 , M 1   2  1  1  0  0  2  −2−2  1  1  11
‖M 1 ‖ 
⟨M 1 , M 1  
11
⟨M 2 , M 2   2  1  1  0  0  2  −1−1  1  1  5
‖M 2 ‖ 
⟨M 2 , M 2  
5
⟨M 1 , M 2   2  1  1  0  0  2  −2−1  1  1  7
Buradan
cos  
⟨M 1 , M 2 

‖M 1 ‖‖M 2 ‖
7

11 5
  arccos0. 94  20 ∘
buluruz. Dikkat ederseniz seçtiğim M 1 ve M 2 matrisleri birbirlerine benzediği için
aralarındaki açı da küçük çıktı.
Değerlendirme: ⟨M 1 , M 2  çarpımını alma ve ‖M 1 ‖ ve ‖M 2 ‖ değerlerini bulma
işlemi 1’er puan, açıyı hesaplamak 2 puandır. İşlem hatasından 1 puan kırılacaktır.
3. Sorunun Çözümü: Ben şu r 2 vektörünü şu şekilde seçtim:
−1
r 2 
1
Gram-Schmidt yöntemini iki adımda uygulayacağım.
1. Adım:


e 1  r1
‖r1 ‖
‖r1 ‖ 
22  62 
40  2 10
Bu durumda

e1 
1
2 10
2. Adım:

e2 

⟨r2 , e 1  

r 2 − ⟨r2 , 
e 1 e 1 
2
1
10

6
3
10

r 2 − ⟨r2 , 
e 1 e 1
 
‖r2 − ⟨r2 , e 1  e 1 ‖
1
10
−1 1
−1
1
−
2
10

3
10
1
10
2
10
− 65

3
10
2
5
Bu vektörün boyunu
 
‖r2 − ⟨r2 , e 1  e 1 ‖ 
olarak buluruz. Buradan da
−6
5
2

2
5
2

4
10

e2 

r 2 − ⟨r2 , 
e 1 e 1

 
‖r2 − ⟨r2 , e 1  e 1 ‖
1
− 65
4
10
2
5

−
3
10
1
10
bulunur.
Bulduğumuz vektörlerin birbirlerine ortogonal olup olmadığını kontrol edelim:
 
⟨e 1, e 2  
1
10
3
10
−
3
10
1
10
0
Buradan bu vektörlerin birbirlerine ortogonal olduğunu görmüş oluyoruz.
Değerlendirme: Birinci adım 1 puan ve ikinci adım 3 puandır. İşlem hatasından
1 puan kırılacaktır. Bu soruda yaptığınız işlemi şekil üzerinde göstermeniz de
gerekmektedir ve bu da 1 puandır. Ben ne yazık ki burada şekil çizemiyorum ancak bu
şekli derste pek çok defa çizmiştik.