Burç BAYRAK - Trakya Üniversitesi

T.C
TRAKYA ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
Burç BAYRAK
TRAKYA ÜNİVERSİTESİ
FEN FAKÜLTESİ
MATEMATİK BÖLÜMÜ
YÜKSEK LİSANS TEZİ
CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ
ANABİLİM DALI
T.C
TRAKYA ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
İKİLİ KUADRATİK FORMLAR VE YAPILARI
Burç BAYRAK
YÜKSEK LİSANS TEZİ
CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ ANABİLİM DALI
Tez Yöneticisi : Yrd. Doç. Dr. Fitnat KARAALİ TELCİ
2011
EDİRNE
i
ÖZET
İkili kuadratik formların yapılarını incelemeyi amaçlayan bu çalışmada izlenen
plan aşağıdaki biçimdedir;
I. Bölümde konuyla ilgili önbilgiler verilmiştir.
II. Bölümde ikili kuadratik formların tipleri ve kare çarpansız bir tamsayı olan
" d " nin sınıf sayısı incelenmiştir.
III. Bölümde kuadratik formların otomorfları üzerine çalışılmıştır.
IV. Bölümde pozitif belirli bir form ile temsil edilen bir tamsayının bölenleri ve
ikili kuadratik formlar için Mass formülü verilmiştir.
V. Bölümde 
ilişki incelenmiştir.
 d  cisminin sınıf sayısı ile ikili kuadratik formlar arasındaki
ii
ABSTRACT
The plan followed in this study, which aims to determine the structures of binary
quadratic forms, may be outlined as below.
In Chapter I, pertinent backgrounds which are related to issue are given.
In Chapter II, the types of binary quadratic forms and the class number of " d "
which is an integer of square free are determined.
In Chapter III, the automorphs of binary quadratic forms are given.
In Chapter IV, the divisions of an integer which are represented with a positive
definite form and Mass formula for binary quadratic forms are given.
In Chapter V, the relation between class number of the field 
quadratic forms are studied.
 d  and binary
iii
ÖNSÖZ
Tez çalışmam süresince yardımlarını esirgemeyen değerli hocalarım Yrd. Doç.
Dr. Fitnat KARAALİ TELCİ ile Prof. Dr. Hülya İŞCAN’ a ve maddi, manevi desteğiyle
yanımda olan aileme teşekkürlerimi sunarım.
Burç BAYRAK
İÇİNDEKİLER
ÖZET……………………………………………………………………………………..i
ABSTRACT……………………………………………………………………………..ii
ÖNSÖZ………………………………………………………………………………….iii
GİRİŞ…………………………………………………………………………………….1
I. BÖLÜM / TEMEL KAVRAMLAR ve GENEL BİLGİLER
1.1. Temel Kavramlar…………………………………………………………………..3
1.2. Genel Bilgiler……………………………………………………………………...6
II. BÖLÜM / KUADRATİK FORMLARIN TİPLERİ
2.1. Pozitif Belirli Formlar……………………………………………………………20
2.2. Belirsiz Formlar…………………………………………………………………..27
III. BÖLÜM / FORMLARIN OTOMORFLARI
3.1. Genel Bilgiler…………………………………………………………………….42
3.2. Pozitif Belirli Formların Otomorfları…………………………………………….52
3.3. Belirsiz Formların Otomorfları…………………………………………………...54
IV. BÖLÜM / POZİTİF BELİRLİ FORM İLE
TEMSİL EDİLEN BİR
SAYININ BÖLENLERİ ve KUADRATİK FORMLAR İÇİN MASS FORMÜLÜ
4.1. Pozitif Belirli Form İle Temsil Edilen Bir Sayının Bölenleri…………………….56
4.2. Kuadratik Formlar İçin Mass Formülü…………………………………………...65
V. BÖLÜM / KUADRATİK CİSİMLER ve KUADRATİK FORMLAR
ARASINDAKİ İLİŞKİ
Kuadratik Cisimler ve Kuadratik Formlar Arasındaki İlişki ……………...……….…..76
KAYNAKLAR…………………………………………………………………………83
ÖZGEÇMİŞ…………………………………………………………………………….84
1
GİRİŞ
Bu tez çalışmasında a, b, c ler ,  ya da  den seçilmek üzere ikinci
dereceden, iki değişkenli f  x, y   ax 2  bxy  cy 2 ikili kuadratik formlarının genel
yapılarının
incelenmesi
amaçlanmıştır.
İkili
kuadratik
formların
özellikleri
katsayılarının tamsayı, rasyonel sayı ve reel sayı olmasına bağlıdır.
İkili kuadratik formlar ilk olarak Fermat tarafından iki kare toplamı olarak
yazılabilen tamsayılar için çalışılmıştır. İkili kuadratik formlar ile Pell denklemleri
arsındaki bağlantı kurulduktan sonra bu formlar Pell denklemi olarak ele alınmıştır.
Lagrange’ ın 1773 yılındaki çalışmalarıyla gelişmeye başlayan kuadratik formlar teorisi
ilk olarak Legendre sayesinde belirli bir düzen içerisinde incelenmiştir. Lagrange’ ın
geliştirip Legendre’ ın sistematik bir biçimde incelediği kuadratik formlar teorisi Gauss
tarafından daha da geliştirilmiştir. Gauss’ un "Disquisitiones Arithmeticae" adlı
kitabında formlarda denklik, indirgeme ve bileşke problemleri üzerine çalışılmıştır.
Gauss’ un bu çalışmaları ikiden çok değişkeni olan kuadratik formların aritmetik teorisi
ile cebirsel sayılar teorisini güçlü bir şekilde etkilemiş, cebirsel sayılar teorisinde önemli
bir rol oynayan kuadratik cisimler yerine daha genel olan sayı cisimleri ile çalışılmıştır.
Sayı cisimlerinin yapılarının belirlenmesinde, ideal sınıfları grubunun mertebesi
olarak tanımlanan sınıf sayısının hesaplanması önemlidir. Ancak ideal sınıfları grubu
yardımı ile sınıf sayısı hesabı kolay olmadığından bir çok yöntem geliştirilmiştir. Bu
yöntemlerden biri de kuadratik Diophant denklemleri çözümlerinin elde edilmesidir.
d kare çarpansız bir tamsayı olmak üzere her kuadratik form, indirgenmiş bir
forma denk olup d diskriminantlı indirgenmiş formların sayısı sonlu olduğundan
indirgenmiş formların denklik sınıflarının sayısı da sonludur. Bununla birlikte 
 d
nin kesirsel idealleri ile d diskriminantlı kuadratik formlar arasında bire bir eşleme var
olduğundan indirgenmiş formların denklik sınıfları sayısı da 
 d
cisminin sınıf
sayısıdır.
İkili kuadratik formları ve genel yapılarını incelemeyi amaçlayan bu tez
çalışmasının I. Bölümünde; temel kavramlar, ikili kuadratik formlar ile ilgili genel
bilgiler ve sınıf sayısı tanımı verilmiştir.
2
Çalışmanın II. Bölümünde; pozitif belirli ve belirsiz tipteki formların özellikleri
incelenerek bu tipteki formlar yardımı ile cismin sınıf saısının hesaplama yöntemi
verilmiştir.
III. Bölümünde; ikili kuadratik formların otomorflarının genel özellikleri ve
pozitif belirli formlar ile belirsiz tipteki formların otomorflarına yer verilmiştir.
IV. Bölümünde; aşağıdaki makalelerden yararlanarak pozitif belirli form ile
temsil edilen bir tamsayının bölenleri ve ikili kuadratik formlar için Mass formülü
incelenmiştir.
William C. JAGY’ nin 2008 yılında yayınlanan makalesinde d  11 ve p asalı
özdeşlik formu ile temsil ediliyor iken np nin pirimitif formla öz temsili var ise n ninde
aynı pirimitif formla öz temsilinin var olduğunu göstermiştir.
John Paul COOK’ un 2010 yılında yayınlanan makalesinde d diskriminantlı
pozitif belirli f formuyla öz temsili olan n   nın aynı diskriminantlı tüm öz
temsillerinin sayısını tespit etmiştir. Ayrıca temsil ile öz temsil arasındaki ilişkiden
yaralanarak n   nın tüm temsillerinin sayısını bir formülle ifade etmiştir.
V. Bölümde; konuyla ilgili tanımlar verildikten sonra d kare çarpansız bir
tamsayı olmak üzere 
 d
kuadratik sayı cisminin kesirsel idealleriyle d
diskriminantlı formlar arasındaki ilişkiye yer verilmiştir.
3
1. BÖLÜM
TEMEL KAVRAMLAR VE GENEL BİLGİLER
1.1 Temel Kavramlar
Tanım 1.1.1 : F bir cisim ve S  F olsun. S , F deki işlemlerle bir cisim ise S
cismine F cisminin bir “alt cismi” denir.
Tanım 1.1.2 : F cismi bir K cisminin alt cismi ise K ya F cisminin bir
K
“genişlemesi” denir ve K
F
veya | ile gösterilir. Ayrıca K
bir cisim genişlemesi
F
F
ise K , F üzerinde bir vektör uzayı olarak düşünülebilir.
Tanım 1.1.3 : K
F
bir cisim genişlemesi ise BoyF K ya K cisminin F üzerindeki
“genişleme derecesi” denir ve
K : F 
ile gösterilir. Eğer
K : F   
ise K
F
genişlemesine “sonlu genişleme” denir.
Tanım 1.1.4 : K
F
bir cisim genişlemesi olsun. a  K için f  a   0 olacak şekilde
sıfırdan farklı bir f  x   F  x  polinomu varsa a ya F cismi üzerinde bir “cebirsel
elemandır” denir ve a ceb
F
ile gösterilir.
Tanım 1.1.5 : Bir kompleks sayı  üzerinde cebirsel ise “cebirsel sayı” olarak
adlandırılır.
Tanım 1.1.6 :  bir cebirsel sayı olsun. Eğer  ,  üzerinde cebirsel ise  ya
“cebirsel tamsayı” denir.
Tanım 1.1.7 : F üzerinde cebirsel olan bir   K yı kök kabul eden F  x  deki asal ve
monik polinoma a nın sağladığı “minimal polinom” denir. a nın sağladığı minimal
4
polinom
f  x   F  x  ise minimal polinomun derecesi
Irr  a, F   deg  f 
ile
gösterilir.
Teorem 1.1.8 : d kare çarpansız bir tamsayı ve k  
 d
nin cebirsel tamsayılar
kümesi d olsun.

d ; eğer d  2,3  mod 4  ise,

wd  1  d
; eğer d  1 mod 4  ise,

 2
olmak üzere d nin her elemanı x, y   için x  ywd şeklinde yazılabilir.
Sonuç 1.1.9 : d   x  ywd x, y   cebirsel tamsayılar kümesi
 : d  d  d
 a1  b1wd , a2  b2 wd    a1  a2   b1  b2  wd
ve
 : d  d  d
 a1  b1wd , a2  b2 wd   a1a2  b1.b2 wd
işlemleriyle 
 d  nin bir alt halkası olup bir tamlık bölgesi oluşturur.
Tanım 1.1.10 :

 d
cisminin cebirsel tamsayılar kümesi d ye 
 d
nin
“tamlık halkası” ve 1, wd  ye de d tamlık halkasının “tamlık tabanı” denir.
Tanım 1.1.11 : K bir cisim ve K   olsun.  K :    ise K ya bir “sayı cismi”
denir. Özel olarak  K :   2 ise K cismi “kuadratik sayı cismi” olarak adlandırılır.
Teorem 1.1.12 : K bir sayı cismi olsun. K     olacak şekilde uygun bir   K
vardır.
5
Teorem 1.1.13 : K bir sayı cismi olsun.  : K   ye bire bir homomorfizması vardır.
Teorem 1.1.14 :
 K :   n
K     bir sayı cismi ve
olsun. Bu durumda
i  1, 2,..., n için n tane farklı  i : K   gömme homomorfizması vardır ve  i ler 
nın eşlenikleri olmak üzere  i     i elemanı K nın  üzerindeki minimal
polinomunun köküdür.
Tanım 1.1.15 : K     bir sayı cismi ve  K :   n olsun. i  1, 2,..., n için  i ler
K nın gömme homomorfizmaları olmak üzere x  K için x in “normu” ve
“izi(trace)” sırasıyla
N :K ,
n
N  x    i  x 
i 1
n
Tr : K   ,
Tr  x     i  x 
i 1
biçiminde tanımlanır.
6
1.2 Genel Bilgiler
Genel olarak n değişkenli bir “kuadratik form”, 1  i, j  n için aij ler , 
ya da  den seçilmek üzere
n
n
 a x x
i 1 j 1
ij i
j
biçiminde ifade edilir. İki değişkenli bir kuadratik forma “binary (ikili) kuadratik
form” denir ve
f ( x, y )  ax 2  bxy  cy 2
biçiminde ifade edilir. f ( x, y) kuadratik formunun diskriminantı d  f   b2  4ac
biçiminde tanımlanır. Ayrıca diskriminantı d  f   b2  4ac olan f  x, y  formunun
daha kolay bir gösterimi de f  x, y   f  (a, b, c) biçimindedir. Eğer ebob  a, b, c   1
ise f formuna “pirimitif form” denir.
Bu tez çalışmasında ikili kuadratik formlar yerine form kavramı kullanılacaktır.
Teorem 1.2.1 : f ( x, y )  ax 2  bxy  cy 2 , d diskriminantlı, tam katsayılı ikili kuadratik
form olsun. Eğer d  0 ve d tam kare değilse a  0 , c  0 dır ve f ( x, y)  0
denkleminin tamsayılardaki tek çözümü x  y  0 dır.
Kanıt:
Eğer a  0 veya c  0 ise a.c  0 ve olacağından d nin
tam kare olmamasıyla çelişir.  a  0 ve c  0 dır.
( x0 , y0 )   2 , f ( x, y)  0 ın herhangi bir tamsayı çözümü olsun. Eğer y0  0 ise
f ( x0 , 0)  ax02 olur. a  0 olduğundan x0  0 elde edilir. Eğer x0  0 ise benzer
biçimde f (0, y0 )  cy02 ve c  0 olduğundan y0  0 bulunur. Bu durumda x0  y0  0
olduğunda f ( x0 , y0 )  0 bulunur.
x0  0 ve y0  0 olsun. f ( x, y )  ax 2  bxy  cy 2 binary kuadratik formundan
4af ( x, y )  4a 2 x 2  4abxy  4acy 2
4af ( x, y )  (2ax  by ) 2  b 2 y 2  4acy 2
4af ( x, y)  (2ax  by)2  y 2 (b2  4ac)
7
4af ( x, y )  (2ax  by ) 2  dy 2
ifadesi elde edilir. f ( x0 , y0 )  0 olduğundan (1.1)
(1.1)
ifadesinden (2ax0  by0 ) 2  dy02
bulunur. y0  0 ve d  0 olduğundan dy02  0 ve çarpanlara ayrılmanın tekliğinden d
nin tam kare olması gerekir. Buda d nin tamkare olmayışıyla çelişir.
 d  0 ve tam kare değilse a  0 , c  0 dır ve f ( x0 , y0 )  0 denkleminin tam
sayılardaki tek çözümü x  y  0 dır.
Tanım 1.2.2 : Bir f  x, y  kuadratik formu hem pozitif hem de negatif değerler
alabiliyorsa f ye “belirsiz(indefinite) form” denir. Eğer her x, y  için f  x, y   0
ise f
ye “pozitif yarı belirli (semidefinite) form” , her x, y  için f  x, y   0
ise f
ye
“ negatif yarı belirli (semidefinite) form” denir. Pozitif yarı belirli bir
form için f  x, y   0 denkleminin çözümü sadece x  y  0 ise “pozitif belirli form”
olarak adlandırılır. Benzer şekilde negatif yarı belirli bir form için
f  x, y   0
denkleminin çözümü sadece x  y  0 ise "negatif belirli form" olarak adlandırılır.
f  x, y   x 2  2 y 2 formu f 1,0   1 ve f  0,1  2 değerlerini aldığından belirsiz
formdur.
f ( x, y)  x 2  2 xy  y 2  ( x  y)2 formu her x, y  için f  x, y   0 olup f 1,1  0
olduğundan pozitif yarı belirli formdur.
f ( x, y )  x 2  y 2 formu pozitif belirli forma örnektir.
Bir kuadratik formun pozitif belirli, negatif belirli, yarı belirli veya belirsiz form olup
olmadığı diskrininanta bağlı olarak belirlenebilir.
Teorem 1.2.3 : f  x, y   ax 2  bxy  cy 2 , d diskriminantlı , tam katsayılı ikili kuadratik
form olsun. Eğer
i)
d > 0 ise f  x, y  belirsiz formdur.
ii )
d  0 ise f ( x, y ) yarı belirli formdur fakat belirli form değildir.
8
d < 0 ise a ve c aynı işaretli olup bunların işaretleri pozitif olması halinde
iii )
pozitif belirli, negatif olması halinde negatif belirlidir.
Eğer f pozitif belirli form ise  f negatif belirli form olup bunun terside
doğrudur. Bu yüzden belirli formların özelliklerini incelerken sadece pozitif belirli
formlarla çalışmak yeterlidir.
Kanıt :
f ( x, y )  ax 2  bxy  cy 2 kuadratik formunun diskriminantına d diyelim.
i ) d 0
olsun. Bu durumda
f (1, 0)  a ve f (b, 2a)  ad dir.
a  0 ise f 1,0   a ile f  b, 2a   ad ters işaretlidir.
Benzer şekilde
c  0 ise f  0,1  c ile f  2c, b   cd olduğundan yine ters işaretlidir.
Şu halde a  c  0 halini incelemek yeterlidir.
a  c  0 için d  b2  0, b  0 dır.
Bu hal için f 1,1  b ve f 1, 1  b olacağından f nin hem pozitif hem de negatif
değerlerinin olacağı anlaşılır.
ii ) d  0
olsun.
a  0 ise
4af ( x, y )  (2ax  by ) 2  dy 2
Eşitliğinden f nin sıfırdan farklı değerlerinin a ile aynı işaretli olduğu anlaşılır. Ayrıca
f (b, 2a)  ad  0 dır. a  0 kabul ettiğimizden f belirli değildir. Eğer c  0 ise
d  b 2  0 olacağından b  0 ve f ( x, y )  ax 2 olur ki f nin işareti a nın işareti ile
aynı olur. f (0,1)  0 olduğundan f yarı belirli ama belirli değildir.
iii )
d  0 olsun.
4af ( x, y )  (2ax  by ) 2  dy 2
eşitliğindeki 4af ( x, y ) nin önceki teoremden x  y  0 hariç her x, y  için pozitif
değerler aldığı anlaşılır.Şu halde pozitif belirlidir. Ayrıca
d  b2  4ac  4ac  b2  d  d  0
9
olduğundan a ile c aynı işaretlidir. Budurumda bu işaret pozitif ise pozitif belirli,
negatif ise negatif belirlidir.
Örnekler:
1)
f ( x, y )  x 2  3 y 2 formu için
f (1,0)  1 ve
f (0,1)  3 olduğundan ya da
d ( f )  d  12  0 olup teoremin  i  koşulundan f belirsiz bir formdur.
2) f ( x, y )  x 2  2 xy  y 2 formunda
her x, y   için f ( x, y )  0 olup f (1,1)  0
olduğundan ya da d ( f )  d  0 ve a  0 olduğundan teoremin  ii  koşulundan f
pozitif belirlidir.
3)
f ( x, y )  x 2  y 2 formunda her x, y   için
olup x  y  0 için f  x, y   0
olduğundan ya da d  f   d  4  0 ve x 2 nin katsayısı 1>0 olduğundan teoremin
 iii 
koşulundan f pozitif belirlidir.
Teorem 1.2.4 : d bir tam sayı olsun. Diskriminantı d olan bir kuadratik formun
mevcut olması için gerekli ve yeterli koşul d  0,1 mod 4  olmasıdır.
Kanıt:
2
 : Her b   için b  0,1 mod 4  olduğundan
d  b 2  4ac  0,1 mod 4  tür.
 : d   , d  0  mod 4  için
f  x, y   x 2 
d 2
d
y formunun diskriminantı d  f   4.1.
 d dir.
4
4
d   ve d  1 mod 4 
için
 d  1  2 formunun diskriminantı
f  x, y   x 2  xy  
y
 4 
 d 1 
d  f   1  4.1.  
  d olur.
 4 
Tanım 1.2.5 : a bir tam sayı, m  1 ve ebob  a, m   1 olsun. Eğer x 2  a (mod m)
kongrüansının çözümü varsa a ya “ m modülüne göre kuadratik rezidü”, çözümü
yoksa “ m modülüne göre non- kuadratik rezidü” denir.
10
a
Tanım 1.2.6 : p >2 , asal sayı olsun.   “Legendre sembolü”
 p
 1
a 
   1
 p 
 0
, x 2  a (mod p )
çözümü var ise
, x 2  a (mod p )
çözümü yok ise
, pa
ise
şeklinde tanımlanır.
Teorem 1.2.7 : p >2 , asal sayı olsun. O zaman
i)
p 1
a
2

a
(mod p)
 
p
 
ii )
 a   b   ab 
  .    
 p  p  p 
iii )
 a 2b   b 
 a2 
ebob  a, p   1 ise    1 ve 
 
 p   p
 p
iv )
p 1
 1 
1
2
   1 ve    (1)
p
p
 
 
dir.
Teorem 1.2.8 : (QUADRATIC RECIPROCITY )
p ve q farklı tek asal sayılar olsun
 p 1   q 1 
.

2  2 

 p  q 

  .    (1)
q
p
  
dir.
Teorem 1.2.9 : (Çin Kalan Teoremi)
r    , m1 , m2 ,..., mr ikişer ikişer aralarında asal pozitif tam sayılar ve b1 , b2 ,..., br
keyfi tam sayılar olsun.
x  b1 (mod m1 )
x  b2 (mod m2 )
……………
x  br (mod mr )
11
kongrüans sisteminin bir ortak çözümü var ve bu çözüm modülo m1.m2 .....mr de tektir.
Yani a ve b iki çözüm ise
a  b  mod m1.m2 .....mr  dir.
Teorem 1.2.10 : r    , m1 , m2 ,..., mr ikişer ikişer aralarında asal pozitif tam sayılar ve
m  m1.m2 .....mr olsun.
f ( x)  0(mod m)
kongrüansının çözümünün olması için gerek ve yeter koşul her i  1, 2,,, r için
f ( x)  0(mod mi )
kongrüansının bir çözümünün olmasıdır. Bu taktirde f  x   0  mod mi  nin çözüm
sayısı N  mi  ise f  x   0  mod m  kongrüansının çözüm sayısı
r
N (m)   N (mi ) dir.
i 1
Tanım 1.2.11 : f  x, y  bir kuadratik form ve n   için
f  x0 , y0   n olacak
biçimde bir  x0 , y0    2 varsa n ye f  x, y  “kuadratik formu ile temsil edilebilir”
denir. Burada ebob  x0 , y0   1 ise bu temsile “öz temsil(proper)” aksi taktirde “öz
olmayan temsil” adı verilir. Bununla birlikte ebob  x0 , y0   g ve f  x0 , y0   n olmak
üzere g 2 n olup n nin f  x, y  temsilleri
n
nin bir öz temsili olarak bulunabilir.
g2
Tanım 1.2.12 : f  x, y  kuadratik formunun diskriminantı olan d , bir tam kare ve n
nin f ile temsili varsa
4af  x, y   4an   2ax  by   dy 2
2


 2ax  by  d y . 2ax  by  d y
elde edilir. Bu biçimdeki yazılışa “dejenere hal” denir.

12
Teorem 1.2.13 : n  0 ve d tam sayıları verildiğinde n yi temsil eden bir d
diskriminantlı kuadratik formun mevcut olması için gerekli ve yeterli koşul
x 2  d  mod 4 n  kongrüansının bir çözümünün olmasıdır.
Kanıt:
2
: x  d mod(mod 4 n ) bir çözümü b olsun. Bu durumda
b 2  d (mod 4 n )  4 n b 2  d
 c    b2  d  4nc
 d  b2  4nc
dir.
Bu da f ( x, y )  nx 2  bxy  cy 2 formunun diskriminantıdır. Bununla birlikte f 1,0   n
olduğundan f  x, y  , n nin bir öz temsilidir.
: Diskriminantı d  b  4ac olan f  x, y   ax  bxy  cy  n formu n nin bir öz
2
2
2
temsili olsun.
Bu durumda  x0 , y0   2  f  x0 , y0   n ve ebob  x0 , y0   1 dir.
ebob  x0 , y0   1 olduğundan m1.m2  4 n , ebob  m1 , y0   ebob  m2 , y0   1
olacak biçimde m1 ve m2 tam sayıları bulunabilir. 4n in p asal kuvvetli çarpanlarının
çarpımı m1 ve m2 
4n
olsun. 4af ( x, y )  (2ax  by ) 2  dy 2 ifadesinden
m1
4af ( x0 , y0 )  (2ax0  by0 ) 2  dy0 2 olup 4an  0(mod m1 ) olduğundan
(2ax0  by0 ) 2  dy02 (mod m1 )
olduğundan
z0 , y0    m1 zo  y0 y0  1
2
2

(2ax0  by0 )2 y0  dy02 y0  d y0 y0

2
dir.
elde edilir. ebob  m1 , y0   1
Buradan
y0 y0  1(mod m1 )
ve
 d (mod m1 ) dir. Bu durumda u 2  d (mod m1 )
kongrüansının u1  (2ax0  by0 ) y0 biçiminde bir çözümü vardır. Benzer şekilde a ve
c yi ve ayrıca x ve y yi aralarında değiştirirsek u 2  d (mod m2 ) kongrüansınında
u2  (2cy0  bx0 ) x0
biçiminde bir çözümünün olduğunu görürüz. Çin Kalan
Teoreminden w  u1 (mod m1 ) ve w  u2 (mod m2 ) olacak şekilde bir w tam sayısı
13
bulunabilir. Böylece w2  u12  d (mod m1 ) ve
benzer biçimde w2  u22  d (mod m2 )
elde edilir. m1m2  4 n olduğundan kanıt tamamlanır.
Sonuç 1.2.14 : d  0 veya 1 mod 4  olsun. Eğer p tek asal sayı ise p yi temsil eden
d
d diskriminantlı ikili kuadratik formun var olması için gerekli ve yeterli koşul    1
 p
olmasıdır.
Kanıt:
d
2
   1 ise d , p modülüne göre karedir.( x  d (mod 4) kongrüansının çözümü
p
 
:
vardır.)
Hipotezden d ,
modül 4 e göre karedir. p tek olduğundan Çin Kalan
Teoreminden d , modül 4 p ye göre karedir. Teorem 1.2.13 den p , diskriminantı d
olan bir form ile temsil edilir.
: p yi temsil eden d diskriminantlı ikili kuadratik form varsa Teorem1.2.13 den d ,
 d 
4 p modülüne göre karedir. Buradan    1 dir.
 4p 
 d  d  d 
d

       1     1 bulunur.
 4p   2   p 
 p
2
Kuadratik Formların Denkliği
Formların denkliği 2  2 lik tam katsayılı GL2    veya SL2 () deki matrisler
yardımıyla verilir . Şimdi bu kümelere değinelim.

SL ()  M  

GL2 ()  M   22 det M  1 olup matrislerdeki çarpma işlemine göre bir gruptur ve
2
2
2

det M  1
kümesi de aynı çarpma işlemine göre
alt grubudur. Bu alt gruba “modüler grup” denir .
1 1
0 1
S
ve T  


0 1
1 0 
GL2 () nin bir
14
SL2 () nin üreteçleri olup
1 n 
2
Sn  
 ve T   I 2 x 2 dır.
0
1


Teorem 1.2.15: Tam katsayılı , +1 determinantlı 2 x 2 lik matrisler grubu SL2   
1 1
0 1
ve
S
T


1 0 
0 1


ile üretilmiş olup her M  SL2    matrisi k  ve ik , jk   olmak üzere
M  S i1T j1 S i2 T j2 ...S ik T
jk
olarak yazılabilir.
Kanıt:
M  SL2 () olsun. M , S ve T nin kuvvetleri ile birim oluncaya kadar soldan
çarpılırsa istenilen elde edilmiş olur. Şimdi S ve T nin kuvvetlerinin nasıl belirlendiğini
gösterelim.
M  SL2 () ise M , TM , T 2 M , T 3M

koşulunu sağlayan 

matrislerinden biri   0 ve


dır.
 
  0 ise
   n    n 
istenileni elde etmek için n yi      n  0 sağlıyacak biçimde
 
 

seçerek




matrisi S n ile çarpılır. Bu şekilde devam edilecek olursa sonunda sağ üst veya


sağ alt bileşenlerden biri sıfır olur.
 0 
    yı ifade etmemiz gerekirse T matrisi uygulanır. Determinant tanımından


    1 olduğu görülür.
 1 0
2
 1  yı ifade etmemiz gerekirse T uygulanır.


15
Bundan sonra birim elde edilinceye kadar T 3S  T
ile çarparsak istenen birim elde
edilmiş olur.
a b 
M 
  SL2    için
c d 
 c  d 
TM  
b 
a
 a b 
T 2M  

 c  d 
d
c
T 3M  

 a b 

olup bu matrisler arsında   0 ve    koşulunu sağlayan 

b  0 ve b  d
ise M ye
b  0 ve b  d
ise T 3M ye
b  0 ve b  d
ise TM ye
b  0 ve b  d
ise T 2 M ye eşittir.

matrisi
 
Örnek:
3 2
M 
  SL2    matrisini S ve T matrislerine bağlı olarak yazalım.
 2 1
 3 2  a b 
M 


 2 1  c d 
b  2  0 ve d  1 olup b  d olduğundan M ,    koşulunu sağlar.
 1 n   3 2  3  2n 2  n 
elde edilir. Burada    n  2  n ve
S nM  
.

1 
0 1   2 1  2
  1 dir. n yi
     n sağlıyacak şekilde seçersek 1  2  n  0 den n  2
 1 0 
 M ' matrisi elde edilir. M ' matrisi için b  0 ve
bulunur. Buradan S 2 M  

 2 1
'
'
b  d  1 olduğundan TM matrisi    koşulunu sağlar. M matrisini soldan T ile
çarparsak
16
0 1  1 0   2 1 
'
TM '  
 .  2 1   1 0 matrisi bulunur. TM matrisinde   0 olduğundan
1
0


 

n nin seçimi  dan bağımsızdır.
'
2  n 1
 0 1
''
''
olup n  2 için S 2TM  
S nTM '  

  M dir. M matrisi soldan T

1
0

1
0




matrisi ile çarpılırsa
0 1  0 1  1 0
TM ''  
.

  I 2 x 2 bulunur.
1 0   1 0 0 1 
T .M ''  T .S 2 .T .M '  T .S 2 .T .S 2 M  I 2 x 2 olup S , T  SL2    olduğundan tersleri
vardır ve M matrisi
M  S 2T 1S 2T 1
biçiminde ifade edilir. Formların denkliğini vermeden önce denklik kavramını ifade
ederken kullanılan fonksiyonları verelim.
 : GL2    
   x, y     x, y 

U 

fonksiyonu tanımlansın.

 

  U   

   x
.
  x   y,  x   y 
   y 
 fonksiyonu bire birdir.
Gerçektende
 1 

U1   1
,U 2   2

  1 1 
 2
2 
 GL2    için
 2 
U1  U 2  1  2 , 1  2 ,  1   2 , 1   2
 1 x  1 y  2 x  2 y,
 1 x  1 y   2 x   2 y
 1 x  1 y,  1 x  1 y    2 x  2 y,  2 x   2 y 
  U1    U 2 

Benzer şekilde U  


 GL2    için de
 
U : 2


2

 x, y   U  x, y   

   x
   y 
17
fonksiyonunun tanımlanabileceği açıktır.
Yukarıda tanımlanan


fonksiyonu

2
yardımıyla A  f   a, b, c  kuadratik form d  f   b  4ac olmak üzere
 : A  GL2     A
 f ,U 
    f ,U     det U  . f  U  
biçiminde bir fonksiyon tanımlanabilir. 
nin iyi tanımlılığını göstermek için
 f1 ,U1  ,  f2 ,U 2   A  GL2   alalım.
 f1 ,U1    f 2 ,U 2  
f1  f 2 ve U1  U 2
    f1 ,U1     det U1  . f1  U1  
  det U 2  . f 2  U 2       f 2 ,U 2  
dir.

U 


  22


için
(1.2)
f  U    f  ,   X 2   2  a  c   b      XY  f   ,   Y 2
formu elde edilir. Buradaki
X   x   y ve Y   x   y
biçiminde tanımlıdır. f
 U    A, B, C 
(1.3)
ile gösterilirse
A  a 2  b  c 2  f ( ,  )
B  2(a  c )  b(   )
(1.4)
C  a 2  b  c 2  f ( ,  )
ve
d '  B 2  4 AC      .d
2
(1.5)
olup d  d ' olması için gerekli ve yeterli koşul     1 olmasıdır.
det U  0 ise
   f ,U    X , Y    det U  . f  U  
biçimindedir.
(1.6)
18
Tanım 1.2.16 : f ( x, y )  ax 2  bxy  cy 2 ve g ( x, y)  AX 2  BXY  CY 2 iki kuadratik
form olsun.
1. f Rg  U  GL2       f ,U   g biçiminde tanımlanan R bir denklik bağıntısı
olup f formu g formuna “denktir” denir. Bir f formuna denk olan formların kümesi
de f nin “denklik sınıfı” olarak adlandırılır.
2. f  g  U  SL2       f ,U   g biçiminde tanımlanan  bir denklik bağıntısı
olup f formu g formuna “has denktir” denir. Bir f formuna has denk olan formların
kümesi de f nin “has denklik sınıfı” olarak adlandırılır.
3. f B g  U  GL2     det U  1 ve   f ,U   g biçiminde tanımlanan B bir
denklik bağıntısı olup f formu g formuna “has olmayan denktir” denir. Bir f
formuna has olmayan denk olan formların kümesi de f nin “has olmayan denklik
sınıfı” olarak adlandırılır.
Verilen bir d diskriminantlı f ( x, y )  ax 2  bxy  cy 2 kuadratik formu
a b 
2  ve X   x 
M f 
 y
b
 
c 
 2

(1.7)
olmak üzere
 f  x, y   X T M  f  X
biçiminde ifade edilir. Buradaki M  f  matrisine “ f kuadratik formunun matrisi”
denir.
Özellik:
d ( f )  d  b 2  4ac olmak üzere det( M ( f ))  
d( f )
dir.
4
Eğer f , f ' ne ve f ' de f '' denk ise
f den f ' ne
 x '  
 '  
 y  
   x
.
   y 
19
f ' den f '' ne
 x ''   
 ''   
 y  
ve
f
   x' 
.
   y ' 
den f '' ne
 x''   
 ''   
 y  
      x           x 
.
.

.
       y          y 
geçişleri vardır.
Teorem 1.2.17 : Denk kuadratik formların diskriminantları aynıdır.
Kanıt:
f
Rg
 M  GL2       f , M   g dir. Bu durumda
G  MT . M(
f) . M
sağlanır.

d g
d f 
 det  M  g    det  M T .M  f  .M   det  f   
4
4
Ancak teoremin tersi her zaman doğru değildir. Örneğin; f  x, y   2 x 2  y 2 ve
g  x, y    x 2  2 y 2 kuadratik formlarının diskrriminantları eşit olmasına rağmen denk
değildirler.
Teorem 1.2.18 : f ve g denk iki form olsun. Her n   için n nin f ile öz
temselleriyle n nin g ile öz temsilleri arasında 1-1 eşleme vardır.
20
II. BÖLÜM
KUADRATİK FORMLARIN TİPLERİ
2.1 Pozitif Belirli Formlar
Bu bölümdeki öncelikli amacımız d  0 diskriminantlı pozitif belirli formların
her bir denklik sınıfı için indirgenmiş formları belirlemektir.
Tanım 2.1.1 : f   a, b, c  , d diskriminantlı pozitif belirli bir form olsun. Eğer
b ac
(2.1)
ise f   a, b, c  formuna “indirgenmiş form” denir.
Önerme 2.1.2 : f   a, b, c  , d  0 diskriminantlı indirgenmiş bir form ise b  d
3
tür.
Kanıt :
4b2  4ac  b2  d  3b2  d
 b 2  d
3
 b  d
3
tür.
Teorem 2.1.3 : d  0 diskriminantlı indirgenmiş formların sayısı sonludur.
Kanıt :
Aynı diskriminantlı formlar için Önerme 2.1.2 den dolayı
kümesi  d
d
3
 b  d
3
mümkün olan b lerin
aralığındaki tamsayılar olup diskriminant korunduğundan
diskriminantlı indirgenmiş formlara ait b ler 4ac  b2  d
eşitliğini sağlar.
Bunedenle d  0 diskriminantlı indirgenmiş formların sayısı sonludur.
Teorem 2.1.4 : d diskriminantlı her f pozitif belirli formu aynı diskriminantlı bir
indirgenmiş forma denktir.
21
Kanıt :
f   a, b, c  , d diskriminantlı indirgenmemiş bir form olsun.
a) c  a ise ;
0 1
1  


matrisine karşılık gelen dönüşümler u   y , v  x   y olup
f  u, v   f   y, x   y    c, b  2c , a  b  c 2 
  a ', b ', c '
dir.
b '  a '  b  2c  c sağlayacak biçimde    seçildiğinde


(a, b, c)  c, b  2c , a  b  c 2   a ', b ', c ' 
formu elde edilir. Eğer a '  c ' ise f indirgenmiş olur. Aksi taktirde a '  c ' oluncaya
kadar işleme devam edilir.
b) a  c ancak b    a, a  ise b yi küçültmeden önce f formuna   0 için
0 1
' ' '
'
1   matris dönüşümü uygulanarak f   a, b, c    c, b, a   a , b c  f formu




elde edilir. f ' formuna
1  
0 1 


matrisene karşılık gelen u  x   y , v  y matris dönüşümleri uygulandığında

 
f '  u, v   a' , 2a'   b' , a'  2  b'   c'  a '' , b'' , c''

formu bulunur. a '  a '  2  a '   c ' olduğundan b'' , b'  2a 'b'  a ' olacak şekilde
seçildiğinde a'  a'  2  b'   c'  a''  c'' elde edilir. bundan sonra ilk durumda
0 1
olduğu gibi ard arda 
 matrisi uygulanarak indirgenmiş form elde edilir.
1  
22
Örnek : f  x, y    3,5, 4  formu aşağıdaki biçimde indirgenir.
0 1
5   3,3 olduğundan f indirgenmiş bir form değildir. f ye 
 matrisine
 1 1 
karşılık gelen u   y ve v  x  1 y dönüşümlerini uygulandığında

f  u, v   4,81  5, 412  51  3
formu
elde
81  5  3
edilir.
olacak

1 =1
şekilde
alındığında
f   3,5, 4    4,3, 2   f ' formu elde edilir. 2<4 olduğundan işleme devam edilir. Bu
0 1
durumda f ' ne 
 matrisi uygulandığında
1  2 

f '   4,3, 2   2, 4 2  3, 2 22  3 2  4

formu bulunur.  2  1 için f   3,5, 4    4,3, 2    2,1,3 indirgenmiş elde edilir.
Teorem 2.1.5 :
1)
 a, b, a    a, b, a 
2)
 a, a, c    a,  a, c 
formları dışında has denk olan birbirinden farklı indirgenmiş form yoktur.
Kanıt :
 a, b, c 
ve
 a , b, c 
'
' '
birbirine has denk iki indirgenmiş form ise (1.4) den
a '  a 2  b  c 2 olacak şekilde  ,   vardır. a '  c '  a olduğundan




a  a '  a 2  b  c 2  a  2   2  b  a  2   2  a   a 
a c
b a
elde edilir. Buradan  ,     0, 1 ,  1, 0  olmalıdır.
I.
Durum :   1 ,   0 ise
1  
0    SL2    matrisi ile


 a, b, c    a, b  2a , 
 a, b, c    a, b  2a , 
denk formları elde edilir.
  0 için b  2a  b  a dır.
 1  
ve 
  SL2    matrisi ile
0 
23
  1 için
b  2a  b  2a  a  2a  a  a
b a
dir. Budurumda
  1 için
b  2a   a olup b  2a   a sağlayan b  2a değeri  a olarak bulunur.   1
içinde benzer işlemler yapıldığında b  2a  a olduğu görülür. Buradan a  b ve
a  b için
II.
 a, a, c    a, a, c  elde edilir.
 0 
Durum :   0 ve   1 ise 
 olup determinanttan   1 olması
 1  


gerekir. Budurumda   1 için  a, b, c   c, b  2c , a  b  c 2 ve   1 için
 a, b, c    c, b  2c , a  b  c 2 
formuna denktir.   0 ise  a, b, c  ve  c, b, a  formlarının her ikiside indirgenmiştir.
 a, b, a    a, b, a 
Budurumda
 a, c, c    c, c, a 
olması
için
ac
olmalıdır.   1
ise
olup a  c ve c  a olduğundan  a, a, a    a, a, a  dır.
III. Durum :   1 ve   1 ise a  a '  a   a olduğundan a  a '  a  b  c dir.


Budurumda a ' , b' , c '   a, b, b  olup a  b olduğundan indirgenmiş formdur.
 a, 0, a 
formu T dönüşümü altında ve
 a, a, a 
formu  P ve  P 2
dönüşümleri altında kendine denktir.  P  T .S 
Teorem 2.1.6 :
d diskriminantlı her pozitif belirli form(Teorem 2.1.5 deki istisnai
durum hariç) bir tek indirgenmiş forma denktir.
Teorem 2.1.7 : Belirli bir diskriminant değeri için denklik sınıflarının sayısı sonludur.
Tanım 2.1.8 : d diskriminantlı f   a, b, c  formuna karşılık gelen ikinci dereceden
denklem ax2  bx  c  0 olup bu denklemin

köküne f formunun “esas kökü” denir.
b  d
2a
24
Pozitif belirli formları indirgemek için kullanılan diğer yöntem de aşağıdaki
biçimdedir.
a )
Re    1  b  a
2
elde etmek için S n veya S  n matrisine karşılık gelen
dönüşümler uygulanır.
b )   1  a  c elde etmek için T matrisine karşılık gelen dönüşümler uygulanır.
Gerekli ise işlemler tekrarlanır.
Örnek :
f   2, 3, 2 formu yukarıda verilen yöntemle aşağıdaki biçimde indirgenir.
1 n 
2<3 olduğundan S n  
 matrisine karşılık gelen u  x  ny , v  y dönüşümü
0 1 
uygulanmalıdır.

f  u, v   f  x  ny, y   2, 4n  3, 2n2  3n  2

formu elde edilir. n  1 için
f  x  y, y   g  x, y    2, 1,1
0 1
dir. 2>1 olduğundan T  
 matrisne karşılık
1 0 
gelen u   y ve v  x dönüşümleri g ye uygulanırsa
g   y, x   h  x, y   1,1, 2 
indirgenmiş formu elde edilir.
Tanım 2.1.9 : d negatif bir tamsayı olsun. d diskriminantlı, tam katsayılı, pirimitif
formların has denklik sınıflarının sayısına “ d nin sınıf sayısı” denir ve h  d  ile
gösterilir.
Örnek :
d  71 diskriminantlı formların kümesi üzerinde tanımlı has denklik
bağıntısına göre sınıf sayısı h  71 i bulmaya çalışalım.
d  71 diskriminantlı formların kümesi


A  f   a, b, c  kuadratik form d  b 2  4ac  71
olmak üzere f , g  A için
25
f  g  M  SL2       f , M   g  x, y 
biçiminde tanımlı  , A üzerinde bir denklik bağıntısı olduğundan A
bölüm kümesidir . A 

denklik sınıfı

 f  f  A kümesinin elemanları denklik sınıfları olup her bir
 f   g  A
f  g  biçiminde ifade edilir. Her kuadratik form aynı
diskriminantlı bir tek indirgenmiş forma denk olduğundan (Teorem 2.1.5 deki istisna
hariç) her bir denklik sınıfının temsilcisi indirgenmiş form olarak alındığında
birbirinden farklı indirgenmiş formların sayısı sınıf sayısını verecektir.
d   D  71  D  71 olup Önerme 2.1.2 den h   a, b, c  indirgenmiş formlarının b
leri için b  71
3
bir üst sınırdır. Budurumda aday b ler b  -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4
olarak bulunur. Ancak denk formların diskriminantları aynı olduğundan b ler
diskriminant formülünü de sağlamalıdır.
d  b2  4ac  4ac  b2  d  b2  D  b2  71
olup aday b ler arasından ancak
b  1, 3 dört ile bölünebilir.
b  1 için ;
4ac  12  71  72  ac  18 a, c  0 olduğundan çarpımı 18 i veren pozitif tam sayıları
için aday formlarımız belirlenmiş olur.
f1  1,1,18 
(indirgenmiş)
f 2   2, 1,9 
(indirgenmiş)
f3   3, 1, 6 
(indirgenmiş)
f 4   6, 1,3
(indirgenmemiş)
f5   9, 1, 2 
(indirgenmemiş)
f 6  18, 1,1
(indirgenmemiş)
 b  1 için farklı denklik sınıfları 1,1,18  ,  2, 1,9  ,  3, 1, 6  olup 5 tanedir.
Benzer şekilde b  3 için
4ac  32  71  80  ac  20
olup çarpımı 20 olan a ve c sayıları için aday
formlarımız
g1  1, 3, 20 
(indirgenmemiş)
26
g 2   2, 3,10 
(indirgenmemiş)
g3   4, 3,5 
(indirgenmiş)
g 4   5, 3, 4 
(indirgenmemiş)
g5  10, 3, 2 
(indirgenmemiş)
g6   20, 3,1
(indirgenmemiş)
b  3 için indirgenmiş formlar
 4, 3,5
olup 2 tanedir. Bu durumda
diskriminantlı indirgenmiş formların sayısı 7 olduğundan h  71  7 dir.
d  71
27
2.2 Belirsiz Formlar
Pozitif belirli formlarda verilen bir denklik sınıfı içinde aslında tek bir
indirgenmiş form olmasına rağmen d  0 diskriminantlı belirsiz formların denklik
sınıfları içinde birden fazla indirgenmiş form olabilir. Bu bölümde belirsiz formlardaki
indirgenmiş formların nasıl bulunacağını ve bu indirgenmiş formların devirlerini
açıklayacağız.
Tanım 2.2.1 :  a, b, c  , d  0 diskriminantlı belirsiz bir form olsun.
Eğer ;
0b d
ve
d b  2 a  d b
(2.2)
ise  a, b, c  formuna “indirgenmiştir” denir.
 a, b, c  ,
Önerme 2.2.2 :
d  0 diskriminantlı indirgenmiş belirsiz bir form ise
d  b  2 c  d  b dir.
Kanıt:
 a, b, c  ,
 a, b, c 
indirgenmiş bir form ise
d b  2 a 
d  0 diskriminantlı inidrgenmiş belirsiz bir form olsun.

d b
d b
.

d  b  2 a  d  b dir.

d b 
2a 2c
4ac

 2a  2c  d  b …..(*)
d b
d b
2a  d  b  2a 
 2a 
(*) ve (**) dan


d b .
2a 2c
D b

d b
d b
  2 a 2c
d b
 D  b  2c …..(**)
d  b  2c  d  b elde edilir.
Önerme 2.2.3 : d  0 diskriminantlı indirgenmiş formların sayısı sonludur.
Kanıt : indirgenmiş formlar için b katsayıları 0  b  d aralığından seçileceğinden
bu aralıktaki b lerin sayısı sonludur. Bununla birlikte diskriminant değeri bilindiğinden
28
d  D  b2  4ac  4ac  b2  D nin a ve c çarpanlarının sayısı da sonlu sayıdadır.
Bunedenle indirgenmiş formların sayısı sonludur.
Önerme 2.2.4 : Her belirsiz form aynı diskriminantlı bir indirgenmiş forma denktir.
Kanıt : f   a, b, c  , d  0 diskriminantlı indirgenmemiş belirsiz bir form olsun.
d  2 c  b  2c  d


olacak şekilde seçilen    için  a, b, c   c, b  2c , a  b  c 2 dır.
a  b  c 2  c ise bu işlem tekrarlanarak A  C ve
 A, B, C 
d  2 A  B  d sağlayan
indirgenmiş formu elde edilir. Bununla birlikte bir diğer yöntemde
d B. d B 4 A C
olduğundan ele alınan formun indirgenmiş olması için A  C ve
oluncaya kadar belirtilen işlem tekrarlanır. Budurumda
A  C iken
d B 2C
d B 2C
olduğunda
d B 2C
 2 A  d B
AC
olup buda 0  B  d olmasını gerektirir. Bu sebeple  A, B, C  formu indirgenmiş bir
formdur.
Örnek :
d  25 diskriminantlı f   2,1, 3 formunun indirgenmiş formu aşağıdaki
biçimde indirgenir.
0 1
2 a  4   4, 6  olduğundan f formu indirgenmemiştir. f formuna 
  SL2   
1  
matrisine karşılık gelen dönüşümler uygulanırsa
 2,1, 3             
denk formu elde edilir. Ancak 5  2 3  1  6  5 koşulunu sağlayan   
olmadığından işlemin devam edebilmesi için        3  3 sağlayan    ler
29
bulunup bu  lar için işleme devam edilmelidir. Bu koşulu sağlayan   ler -1,0 ve 1
dir.
1  1
 2,1, 3   3, 7, 2 
için
olup
0 1
1  '   SL2   

1

uygulandığında  3, 7, 2   2, 7  41' , 3  71'  21'
2
matris
dnüşümü
 formu elde edilir. Buradan
5  2 2  7  41'  5  1  7  41'  5
 6  41'  2  1  1'  3
2
2
olarak bulunur. Bu aralıktaki 1' nın tamsayı değeri 1'  1 olup
 2,1, 3   3, 7, 2    2,3, 2 
indirgenmiş formu elde edilir.
0 1
1  '   SL2   

2
 2  0 için
 2,1, 3   3, 1, 2 
uygulandığında
 3, 1, 2    2,1  4 2' , 3   2'  2 2' 
dir ve
matris dönüşümü
2
denk formu elde edilir. Ancak
'
'
5  2 2  1  4 2'  5 eşitsizliğini sağlayan  2'   yoktur. Bunedenle 3   2  2 2  2
2
sağlayan  2'   ler bulunmalıdır. Bu  2' ler -1,0 ve 1 olup
'
 2,1
 1 için  2,1, 3   3,1, 2    2, 3, 2    2,3, 2  indirgenmiş formu elde edilir.
'
 2,2
 0 için  2,1, 3   3, 1, 2    2,1, 3 formuna geri dönülür.
'
 2,3
1
için
 2,1, 3   3, 1, 2    2,5, 0 
denk formu bulunur ve bu form
indirgeme koşullarını sağlamadığından diğer köke geçilir.
 3  1 için
 2,1, 3   3,5, 0 
olup işlem sonlanır. Bu durumda  2,1, 3 formuna
denk  2,3, 2  indirgenmiş formu elde edilir.
Tanım 2.2.5 :
 a1, b1, c1 
b1  b2  0  mod 2 a2
durumda
ve
 a2 , b2 , c2 
iki belirsiz form olsun. Eğer c1  a2 ve
 ise  a1, b1, c1  ve  a2 , b2 , c2 
 a2 , b2 , c2 
formları “komşudur” denir.
Bu
formu  a1 , b1 , c1  formunun “sağ komşuluğu” ,  a1 , b1 , c1  formu
da  a2 , b2 , c2  formunun “sol komşuluğu” olarak adlandırılır.
30
Tanım 2.2.6 : Bir
formunun
f
f
ye denk olan
f0  f  f1  f 2  ...  f n  ...
biçimindeki sağ yada sol komşuluklarından biri yine
 f0  f , f1, f2 ,..., f n ,...
ye “ f formunun
f
nin kendisi ise
bir devridir” denir ve bir devirdeki
formların sayısıda o devrin “periyodu” olarak adlandırılır.
Teorem 2.2.7 :
Verilen bir d  0 diskriminant değeri için indirgenmiş formların
kümesi komşu formların devirlerinin bileşimi biçiminde yazılabir.
Kanıt :
f   a, b, c  formu
d  0 diskriminantlı indirgenmiş bir form olsun. f nin
ard arda sağ komşulukları alındığında bu komşuluklar arasında indirgenmiş formlarda
bulunur. İndirgenmiş formların sayısı sonlu olduğundan belli bir adımdan sonra ilk
indirgenmiş forma dönülür. Eğer daha fazla indirgenmiş form yoksa işlem tamamlanır
aksi taktirde seçtiğimiz forma geri dönülmediyse işlem tekrarlanır. Komşu formlar
1 
0


1 b1  b2 
2a2 

matris dönüşümü altında denk olup denkliğin geçiş özelliğinden bir devir içindeki tüm
formlar birbirine denktir.
Örnek :
d  25 diskriminantlı
 2,3, 2 
formunun indirgenmiş sağ komşuluklarını
bulunuz.
 2,3, 2    2, b2 , c2 
olacak şekilde 5  b2  5 aralığından
3  b2
  seçilirse b2  1
2.2
için  2,3, 2    2,1, 3 sağ komşuluğu elde edilir. Benzer işlemler yapılarak devam
edilirse
 2,3, 2   2,1, 3   3, 1, 2        2, 1,3  3,1, 2 
devri elde edilir.
Teorem 2.2.8 : İki indirgenmiş formun denk olması için gerekli ve yeterli koşul aynı
devirde olmalarıdır.
31
 k , kn, c 
Tanım 2.2.9 :
 a, b, a 
biçimindeki forma “ambiguous form” denir. Bununla birlikte
formunun denklik sınıfında ambiguous form olduğundan
 a, b, a 
formu
ambiguous form olarak görülebilir.
 a, b, a    a, b  2a, b  2a   b  2a, b  2a, a   b  2a, b  2a, a 
Tanım 2.2.10 :
 a, b, c 
formuna  a, b, c  formunun “tersi” denir ve bir ambiguous
form kendi tersine has denktir. b  ka için   k seçildiğinde
 a, b, c    c, b, a    a, b  2a , c  b  c 2    a, b, c  olduğu görülür.
Tanım 2.2.11 :
 a, b, c 
ve  c, b, a  formlarına “ilgili formlar” denir.
Önerme 2.2.12 : Bir devrin periyodu her zaman çifttir.
Kanıt :
 a, b, c 
 a, b, c 
, f indirgenmiş formunun devrindeki herhangi bir eleman olsun.
0 1
formuna 
 matrisine karşılık gelen matris dönüşümleri uygulandığında
1 0 
 a, b, c    c, b, a 
denk formu elde eldir.
 c, b, a 
formu
 a, b, c 
formunun sağ
komşuluğu olduğundan  a, b, c  formu f indirgenmiş formunun devrinde ise  c, b, a 
formu da aynı devirde olmak zorundadır. Bu nedenle f nin devrinin periyodu çifttir.
Önerme 2.2.13 :
f ' ve f aynı devirde olmayan iki ilgili form ise bu devirlerden
herhangi birinde bulunan bir formun ilgili formu diğer devirdedir. Böyle devirlere
“ilgili devir” denir.
Kanıt :
f   a, b, c  ve f '   c, b, a  farklı devirlerde bulunan iki ilgili form olsun.


b  b'  0  mod 2 c  olacak şekilde f   a, b, c  formunun c, b' , c ' biçiminde bir sağ
'
f '   c, b, a  formunun da b  b  0  mod 2 c 
komşuluğu vardır. Benzer şekilde


durumda  a , b , c    c , b , c  ve  c, b , c 
sağlayan bir a ' , b' , c sol komşuluğu vardır. Diskriminanttan a '  c ' olduğu görülür. Bu
'
'
'
'
'
'
formları ilgili formlardır. Bu şekilde devam
32
edildiğinde devirlerden herhangi birindeki bir formun ilgili formunun diğer devirde
olduğu görülür.
Önerme 2.2.14 : Tam olarak iki ambiguous form içeren bir devir kendisiyle ilgili bir
devirdir. Tersine kendisiyle igili bir devir tam olarak iki ambiguous form içerir.
Kanıt : f   a, b, c  ve f '   c, b, a 
kendi kendiyle ilgili olan bir devrin iki ilgili
formu ise Önerme 2.2.13 nin kanıtına benzer şekilde f nin sağ ve f ' nün sol
komşuluklarının
ilgili
formlar
olduğu
kolaylıkla
görülebilir.
nin
f
sağ
komşuluklarından ve f ' nün sol komşuluklarından ilerlenecek olursa devir uzunlukları
sonlu olduğu için sonlu bir adımdan sonra
f   a, b, c    c, b1, c1    c1, b2 , c2      ck 1, bk , ck    ck , bk 1, ck 1    
 cn1, bn , c    c, b, a  
f'
elde edilir. b  b1  b  bn  0  mod 2 c  olduğundan  c, b1 , c1  ve  cn1 , bn1 , c  formları
ilgili formlardır. Bu şekilde devam edilerek
 ck 1, bk , ck 
formu ile
 ck , bk 1, ck 1 
formlarının ilgili formlar olduğu görülür. bk  bk 1  bk  bk  2bk  0  mod 2 ck

olduğundan ck bk dır.
  ck , bk , ck 1  formu ambiguous formdur. Benzer şekilde f nin sol ve f ' nün sağ
komşuluklarından ilerlenecek olursa farklı bir ambiguous form elde edilir. Bu durumda
devir tamamlanmış olduğundan kendi kendiyle ilgili bir devirde iki ambiguous form
vardır.


Tersine a ' , b' , c ' iki ambiguous form içeren bir devrin herhangi bir elemanı olsun.
a ,b , c 
'
'
'
nin sağ komşulukları alınarak devam edildiğinde
a ,b , c 
'
'
nün sağ
'
komşuluklarından biri  a, ak , c  biçimindeki bir ambiguous formdur. Bu formun sağ
komşuluklarından biri  a, ak , c  ile ilgili  c, ak , a  formu olup  a, ak , c  formunun sol ,
 c, ak , a 
formunun da sağ komşuluğu alındığında





f  a ' , b ' , c '    a ''' , b''' , a   a, ak , c      c, ak , a   a, b '' , c ''

33

denkliği elde edilir. f nin diskriminantı d olmak üzere
b'' , b'''   için
d, d

aralığındaki
ak  b''  ak  b'''  0  mod 2 a  olduğundan b''  b''' olup diskriminant
formülünden a '''  c '' olduğu görülür. Bu durumda
 a , b , a    c , b , a    a, b , c 
'''
'''
''
''
''
''
denk ilgili formları elde edilir. Bu şekilde devam edilecek olursa sonlu bir adımdan

 

sonra a ' , b' , c'  c' , b' , a ' ilgili formu elde edilir. O halde f nin devri kendisiyle ilgili
bir devirdir.
Verilen bir belirsiz formun has denklik sınıfındaki indirgenmiş formları bulmak
için daha kullanışlı bir yöntem aşağıdaki biçimde verilir.
Tanım 2.2.15 : f   a, b, c  formu için   f    c, b, a  formuna f nin “normali” ve
 ya f nin “normalleştiricisi” denir. Daha açık olarak

 b
 sign  c  . 

2 c
s  s f   




 c b
  sign  c  . 
 ; c D

 2c 
(2.3)
 D b
sign  c  . 
 ; c D
2
c


olmak üzere


  f   c, b  2 sc, cs 2  bs  a dir.
Tam katsayılı formlar için
D ile  D  ’ nın yeri değiştirilebilir. Bununla birlikte


0 1 
Uf  

1 s  f  
matrisi için   f     f ,U f  olarak elde edilir.
Örnek : d  29 diskriminantlı f   5, 3, 1 formu indirgenmiş bir formdur.
 29  3 
  1 dir. Bu durumda
 2 1 
1  29 olduğundan s  s  f   sign  1 . 
34
  f    1,5,1 indirgenmiş formu elde edilir.   f  e bir kez daha  uygulandığında
 2  f   1,5, 1 indirgenmiş formu elde edilir. Buda belirsiz formların has denklik
sınıflarında birden fazla indirgenmiş formun olduğunu gösterir.
Bir denklik sınıfındaki indirgenmiş formların sayısı
Verilen bir f   a, b, c  indirgenmiş belirsiz formunun denklik sınıfındaki tüm
indirgenmiş formların sayısını bulmak için

1 0  
     a, b  c 
0 1 
  f    f ,

biçiminde bir  operatörü tanımlanır. Bu durumda


  f     f   c, b  2sc,  a  bs  cs 2

elde edilir. Bununla birlikte f ile   f  denktir ancak has denk olmaları gerekmez.
Önerme 2.2.16 :
a)
f ve   f

has denk ise f nin denklik sınıfı f nin has denklik snıfına eşittir.
b)
f ve   f

has olmayan denk ise f nin denklik sınıfı , birbirinden farklı f ve
  f  in has denklik sınıflarının bileşimidir.
Kanıt :
a)
f   a, b, c  ve   f  has denk iken g , f nin denklik sınıfındaki herhangi bir
form olsun.
g nin f ye has denk olduğu gösterilmelidir. Eğer g , f ye has olmayan denk ise
det U  1 olmak üzere
g    f ,U    det U . f  U    Ax 2  Bxy  Cy 2
olup g ,   f  ye has denktir. Gerçektende g , f ye has olmayan denk ise
  f ,U   g  U 1  GL2     det U 1  1 için f    g ,U 1  dir.

  f      g ,U 1 

35
olup g ,   f  ye has denktir .Ancak f ,   f  ye has denk olduğundan g , f ye has
denk olur ki buda g nin f ye has olmayan denk oluşuyla çelişir. O halde f ,   f  ye
has denk ise f nin denklik sınıfı f nin has denklik sınıfına eşittir.
b)
f ve   f

has olmayan denk olsun. Bu durumda f ve   f  nin has denklik
sınıfları farklıdır. Bununla birlikte   f  nin has denklik sınıfı f nin has olmayan
denklik sınıfına eşit olduğundan f nin denklik sınıfı f nin ve   f  nin has denklik
sınıflarının bileşimidir.
f tam katsayılı bir form olsun. f nin has ya da has olmayan denklik sınıfındaki
indirgenmiş formları bulmak için  i  f i dizisi ya da  i  f i dizisine göre daha
kullanışlı olan  i  f i dizisi kullanılır.
Örneğin ; f  1,3, 2  formunun

 i  f i  ci , bi  2s  fi  ci , ci s  fi   bi s  fi   ai
2

dönüşümü altındaki devri
1,3, 2 ,  2,1, 2 ,  2,3, 1 ,  1,3, 2 ,  2,1, 2  ,  2,3,1
iken
  i  f i 
 c , b  2s  f  c ,   a  b s  f   c s  f  
2
i
i
i
i
i
i
i
i
i
dönüşümü altındaki devri
1,3, 2  ,  2,1, 2  ,  2,3, 1 dir.
 i  f i ve  i  f i periyodik olup  i  f i in periyot uzunluğu  i  f i

nin periyot uzunluğunun iki katıdır. Bununla birlikte   f    i  f i

olduğundan
Önerme 2.2.16 den f nin has ve has olmayan denklik sınıfları eşittir.
Tanım 2.2.17 : d pozitif bir tamsayı olsun. d diskriminantlı, tam katsayılı, pirimitif
formların denklik sınıfları sayısına “ d nin sınıf sayısı” ve h  d  ile gösterilir.
36
Örnek : d  1173 diskriminantlı formların kümesi üzerinde tanımlanan denklik
bağıntısına göre sınıf sayısı h 1173 aşağıdaki gibi bulunur.
d  1173 diskriminantlı her f   a, b, c  indirgenmiş formu 0  b  1173  34.249
ve diskriminant formülünü sağlayacağından aday formlar için b ler
b  1,3,5,7,9,11,13,15,17,19, 21, 23, 25, 27, 29,31,33 olabilir.
b  1 için 4ac  d  b2  ac  293 (293 asal)
1,1, 293 ,  1,1, 293 ,  293,1, 1 ,  293,1,1
(indirgenmemiş)
b  3 için 4ac  d  b2  ac  291  3.97
1,3, 291 ,  1,3, 291 ,  291,3, 1 ,  291,3,1
(indirgenmemiş)
 3,3, 97  ,  3,3,97  , 97,3, 3 ,  97,3,3
(indirgenmemiş)
b  5 için 4ac  d  b2  ac  287  7.41
1,5, 287  ,  1,5, 287  ,  287,5, 1 ,  287,5,1
(indirgenmemiş)
 7,5, 41 ,  7,5, 41 ,  41,5, 7  ,  41,5,7 
(indirgenmemiş)
b  7 için 4ac  d  b2  ac  281 (281 asal)
1,7, 281 ,  1,7, 281 ,  281,7, 1 ,  281,7,1
(indirgenmemiş)
b  9 için 4ac  d  b2  ac  273  3.7.13
1,9, 273 ,  1,9, 273 ,  273,9, 1 ,  273,9,1
(indirgenmemiş)
 3,9, 91 ,  3,9,91 , 91,9, 3 ,  91,9,3
(indirgenmemiş)
 21,9 13 ,  21,9,13 , 13,9, 21 ,  13,9, 21
(indirgenmiş)
Benzer şekilde devam edilecek olursa b  17, 23,33 içinde indirgenmiş formlar elde
edilir. d  1173 diskriminantlı tüm indirgenmiş formlar
 21,9, 13 ,  21,9,13 , 13,9, 21 ,  13,9, 21 , 13,17, 17  ,  13,17,17  , 17,17, 13
 17,17,13 ,  7, 23, 23 ,  7, 23, 23 ,  23, 23, 7  ,  23, 23,7  , 1,33, 21 ,  1,33, 21
 21,33, 1 ,  21,33,1 ,  3,33, 7  ,  3,33,7  ,  7,33, 3 ,  7,33,3
37
olup bu indirgenmiş formlara  uygulanırsa
A ) 1,33, 21   21,9,13  13,17, 17    17,17,13  13,9, 21   21,33,1
B )  1,33, 21   21,9, 13   13,17,17   17,17, 13   13,9, 21   21,33, 1
C )  3,33, 7    7, 23, 23   23, 23, 7    7,33,3
D )  3,33,7    7, 23, 23   23, 23,7    7,33, 3
biçiminde devirler elde edilir. f ve   f  has denk olmadığından f nin denklik sınıfı
f ve   f  nin denklik sınıflarının bileşimidir. Bu durumda f nin denklik sınıfı,
f  1,33, 21 ile g   1,33, 21 kuadratik formlarının devirlerinin bileşimi olup
benzer şekilde diğer devirlerin bileşiminin de ayrı bir denklik sınıfı olduğu görülebilir.
d  1173 diskriminantlı tam katsayılı formlar kümesi üzerinde tanımlanan denklik
bağıntısına göre iki farklı denklik sınıfı olduğundan h 1173  2 olarak bulunur.
Tanım 2.2.18 : f tam katsayılı belirsiz bir form olsun.

i ) g , f ye has denk bir form olmak üzere f nin has devri  i  g 

i
dizisidir.
ii ) g   A, B, C  ve A  0 olmak üzere g , f ye has olmayan denk olsun. f nin devri
   g 
i
i
dizisidir.
Önerme 2.2.19 :
f tam katsayılı bir form ve
f
 f 0 , f1 , f 2 ,... fl 1  de f nin devri
olsun.
a)
f nin periyodu l tek ise f ve   f

nin has devri
 f0 ,  f1  , f2 ,  f3  ,..., fl 1,  f0  , f1,...,  fl 1 
dir. Bu durumda f nin denklik sınıfı f nin has denklik sınıfına eşittir.
b ) f nin periyodu l çift ise f nin has devri  f0 ,   f1  ,   f 2  ,...,   fl 1   ve   f  nin
has devri   f 0  , f1 , f 2 ,..., fl 1  dir. Ayrıca f nin denklik sınıfı; birbirinden farklı f
ve   f  nin has denklik sınıflarının bileşimidir.
38
Kanıt :
a)
tek
l
olsun.
1 0 
M 

0 1
olmak
üzere
 
olduğundan
M 2  I2x2

  f        f       f     l  l  f    l  f  dir. Bu nedenle f ve
l
l
  f    l has denktir. Önerme 2.2.16 den f nin denklik sınıfı f nin has denklik
sınıfına eşittir. f nin denklik sınıfında   f  de olduğundan i  1, 2,3,..., l  1 için fi ,
f nin has denklik sınıfında iken   fi  de f nin has denklik sınıfındadır. Buradan f
nin denklik sınıfı
 f0 ,  f1  , f2 ,  f3  ,..., fl 1,  f0  , f1,...,  fl 1  dır.
b ) l çift olsun. Bu durumda f   
l
 f    l  f  olup 0  i  l için

  f      l  f       fi ,U f
i

olduğundan f ,   f  ye has olmayan denktir. f ve   f  has olmayan denk
olduğundan Önerme 2.2.16 den f nin denklik sınıfı f ve   f  nin has denklik
sınıflarının bileşimidir. f
nin devri i  0,1, 2,..., l  1 için
 
i  0,1, 2,..., l  1 için ( )  fi     fi ,U fi
denktir. Bunedenle f nin has devri
  f  nin has devride
  f
i 1
   f 
i
olup her
olduğundan fi , fi 1 e has olmayan
 f0 ,  f1  ,  f2  ,...,  fl 1  dir. Benzer şekilde
  f0  , f1, f2 ,..., fl  olarak bulunur.
a  0 olmak üzere f   a, b, c  olsun. f nin
 f0 , f1, f 2 ,..., fl 1 
devri aşağıdaki
şekilde hesaplanır.
b  D 
f   a0 , b0 , c0   f 0 ve her i  0,1, 2,..., l  1 için si  s  fi    i
 olsun. Bu
 2 ci 
durumda


fi 1   ai 1 , bi 1 , ci 1   ci , bi  2si ci ,  ai  bi si  ci si2
olup fi 1 in diğer bir yazılışı

39
 0
fi 1    fi , 

  1
1 
,i  
s  fi   
dir. fi    f ,Ti  sağlayan
p
Ti   i
 qi
pi 1 
 GL2   
qi 1 
matrisini hesaplamak için T0  I 2 x 2 ve i  0 için pi  2  si pi 1  pi , qi  2  si qi 1  qi
rekürans bağıntıları tanımlanır.
d  73 diskriminantlı f  1, 7, 6  indirgenmiş formunun devri aşağıdaki
Örnek :
biçimde bulunur.
i
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
ai
1
6
2
3
4
4
3
2
6
1
bi
7
5
7
5
3
5
7
5
7
7
ci
6
2
3
4
4
3
2
6
1
6
pi
1
0
1
3
7
10
17
44
149
193
qi
0
1
1
4
9
13
22
57
193
250
si
1
3
2
1
1
2
3
1
7
Tablo 2.1
f nin periyodu 9 olduğundan Önerme 2.2.19 den f nin has devir uzunluğu 18 dir.
Önerme 2.2.20 : f , d  0 diskriminantlı indirgenmiş bir form olsun.
a ) i  2 için pi 1  pi  0 ve pi  2  2 pi
b ) i  2 için qi 1  qi  0 ve qi  2  2qi
c ) i  2 için pi 
 i  2  

2 
2
d ) i  2 için qi 
 i 1 

2 
2
40
e ) i  0 için pi  2 

D 1

f ) i  0 için qi 1 

D  1 dir.
i

i
Kanıt :
a ) f , d  0 diskriminantlı indirgenmiş bir form ise 1  s  f   D dir. p0  1 , p1  0
olup pi  2  si pi 1  pi rekürans bağıntısından i  0 için p2  s0 p1  p0  1 ve i  1 için
p3  s1 p2  p1  s1.1  0  s1 elde edilir.
i  2 için pi  2  si pi 1  pi  pi 1  pi  pi 1  0 dır. Buradan i  3 için pi  2  2 pi ve
si 1
i2
için
p4  s2 p3  p2  p3  p2  s1  1  2  2 p2
s2 1
s1 1
olduğundan
i2
için
pi  2  2 pi dir. Önermenin b ) şıkkı da benzer şekilde kanıtlanır.
 i  2  

2 
c ) i  2 için pi  2
doğru olduğu tüme varımla kanıtlanır.
n  2 için T  n  önermesi T  n  : pn 
k  2 için p2  1 
 2  2  

2 
2
 n  2  

2 
2
biçiminde tanımlamsın.
olduğundan T  2  doğrudur.
k   olmak üzere 2  k  n için T  k  önermesi doğru olsun. Bu durumda 2  k  n
için pk 
 k  2  

2 
2
sağlanır.
k  n için T  n  önermesinin doğru olduğu göstermelidir.
pn  2 pn2
1' den

T  n2 
doğru
 n  4  

2 
2.2
dir.
 n  4  n  4 olduğundan
n  4 çift ise n  4    
pn  pn2  2.2

2
2
 2 
n4
2
2
n2
2
elde
edilir.
n4
pn  2 pn2
1' den
n  4    n  4   n  5  n  5
 2   2 
2
2
tek ise bu durumda

T  n2
doğru
n 5
2.2 2

n 3
2 2

 n2 


2 2 
dir.
olup
41
 i  2 için pi 
e)
i0
 i  2  

2 
2
için pi  2 
dir. Önermenin d ) şıkkı da benzer şekilde kanıtlanır.


D 1
i
olduğunu da önermenin üçüncü ifadesinin kanıtına
benzer şekilde tüme varımla yapalır.
n  0 için T  n  önermesi T  n  : pn 2 
n  0 için p2  1 

n  1 için p3  s1 

D 1
0


D 1
n
olsun.
olduğundan T  0  doğrudur.
D  D  1 olduğundan T 1 doğrudur.
k   olmak üzere 2  k  n  1 için T  k  doğru olsun. Bu durumda 2  k  n  1 için
pk  2 


D 1
k
sağlanır.
k  n için T  n  : pn 2 
pn 2  sn pn1  pn

sn  D


D 1
n
nın doğru olduğunu göstermelidir.
D . pn1  pn  D .



D 1
n1

 D  D 1 .
 i  2 için pi 
 i  2  

2 
2



D 1

D 1
n2
n2
dir. Önermenin f ) şıkkı da benzer biçimde kanıtlanır.
42
III. BÖLÜM
FORMLARIN OTOMORFLARI
3.1 Genel Bilgiler
Bu bölümde bir f formuna uygulandığında onu değiştirmeyen GL2    deki
matrislere karşılık gelen dönüşümleri inceleyeceğiz.
Tanım 3.1.1 : f bir kuadratik form olmak üzere   f ,U   f sağlayan U  GL2   
matrisine “ f nin otomorfu”,   f ,U   f sağlayan U  SL2    matrisine de “ f nin
has otomorfu” denir.
Örnek : Herhangi bir f formu için   f , I 2 x 2     f ,  I 2 x 2   f olduğundan I 2 x 2 ve
 I 2 x 2 her formun otomorflarıdır. Bu otomorflara “ f nin aşikar otomorfları” denir.
Tanım 3.1.2 : f nin otomorflarının kümesi GL2    nin bir alt grubudur. Bu gruba “ f
nin otomorflar grubu” denir ve Aut  f  ile gösterilir.

Gerçekten de Aut  f   U  GL2      f ,U   f
 olup U  Aut  f   U  Aut  f 
     f ,U  ,U     f ,U   f
dir. Bu durumda U1,U 2  Aut  f     f ,U1.U 21
1
1
1
2
1
2
olduğundan Aut  f   GL2    dir.
Tanım 3.1.3 : f nin has otomorflarının kümesi de SL2    nin bir alt grubudur. Bu alt
gruba “ f
nin has otomorfları grubu” denir ve
I 2 x 2 ,  I 2 x 2  Aut   f
 olduğundan
f
Aut   f
 ile gösterilir.
nin has otomorflarının kümesi her zaman
I 2 x 2 ,  I 2 x 2 matrislerini içerir.
Tanım 3.1.4 : Eğer f nin otomorflar grubu sadece aşikar otomorflardan oluşuyorsa
bu otomorflar grubuna “ f nin aşikar otomorflar grubu” denir.
43


Tanım 3.1.5 : n reel sayısının f ile temsilleri  x, y  ve x ' , y ' olsun.
 x, y    x' , y '   U  Aut   f   U  x, y    x' , y ' 
biçiminde tanımlanan “  ” bir denklik bağıntısıdır.
Teorem 3.1.6 :
f   a, b, c  katsayıları tam sayı olmayan bir form olsun. Aut  f

aşikar değilse r. f tam katsayılı olacak şekilde pozitif bir r tam sayısı vardır.
Kanıt : U  Aut  f  olsun. (1.7) den M ( fU )  M  f   (det U ).U T .M ( f ).U dir.
det U   1 olarak alınırsa
U 
T
1
M  f   M  f U
(3.1)
elde edilir. U , (1.2) de tanımlanan matris olarak düşünüldüğünde
1  2a  b
M  f  .U  
2  2c  b
2a  b 
2c  b 
(3.2)
ve
2c  b 
2c  b 
(3.3)
a   c , b  a     , b  c    
(3.4)
U 
T 1
1  2a  b
.M  f   
2  2a  b
olduğu görülür. (3.1) , (3.2) ve (3.3) den
elde edilir.
U   I2x2
ise   0 veya   0 veya     0 dir.   0 ise (3.4) den
 a    ,     ,   dir. Benzer şekilde (3.4) ten   0 ise
 a, b, c    c     ,     ,   ve     0 ise  a, b, c    b      ,    ,   elde
 a , b, c  
edilir. det U  1 için kanıt benzer şekilde yapılır.
Sonuç 3.1.7 :
f ve g iki kuadratik form olsun. Eğer bir r    için g  rf ise
Aut  f   Aut  g  dir.
Kanıt : U  Aut  f  olsun. gU   rf U  r  fU   rf  g olduğundan U  Aut  g 
olup Aut  f   Aut  g  dir. Tersine V  Aut  g  olsun.
44
  g ,V     rf ,V   g    rf ,V   rf
 r  f ,V   rf
   f ,V   f dir.
Bu durumda V  Aut  f  olup Aut  g   Aut  f  elde edilir. Aut  f   Aut  g  ve
Aut  g   Aut  f  olduğundan Aut  f   Aut  g  dir.
Sonuç 3.1.7 den dolayı
pirimitif olmayan bir formun otomorf grubu ile o
formun pirimitif şeklinin otomorf grubu aynıdır.
Tanım 3.1.8 :
N , d   için x 2  dy 2  N Diophant denklemine “Fermat-Pell
denklemi” ya da kısaca “Pell denklemi” denir.
Teorem 3.1.9 : f   a, b, c  , d diskriminantlı pirimitif bir form olsun. M  SL2    ve
 x0 , y0   2 de
x 2  dy 2  4 Pell denkleminin bir çözümü olmak üzere
 x0  by0

M  Aut   f   M   2
 ay
0

Kanıt :

cy0 
 olmasıdır.
x0  by0 
2 
x0  by0 x0  by0
,
  ve det M  1 olduğunu göstermemiz gerekir.
2
2


x02  dy02  4  x02  b2  4ac y02  4
 x02  b2 y02  4ac  4
 x02  b2 y02  4 1  ac 
 4 x0 2  b 2 y02
 k    x 2  b2 y 2  4k elde edilir.
 x  by0   x0  by0 
  x0  by0 olduğu var sayılarak
x0 2  b 2 y0 2  4k   0

  k olup  
2
2



4 
  x0 2  by0 2 çelişkisi elde edilir. 
x  by0
x0  by0
  dir. Benzer işlemler 0
2
2
için
45
de
yapılırsa
det M 
x0  by0

2
olduğu
görülebilir.
Bununla
birlikte
x0  b 2 y02
x 2  dy02
 acy02  0
 1 dir. Bu nedenle
4
4
 x0  by0

M  2
 ay
0


cy0 
  SL2   
x0  by0 
2 
dir.
 r s
: M  
 , f nin has otomorfu olsun. f   M    f  x, y  olduğundan
m n
 a, b, c    ar 2  brm  cm 2  x 2   2ars   rn  sm  b  2cmn  xy


 as 2  bsn  cn 2 y 2 dir.
det M  rn  sm  1  rn  1  sm olup bu eşitlik b de yerine yazıldığında
b  2ars  1  2sm  b  2cmn  0  ars  bsm  cmn elde edilir. Bu durumda
a  ar 2  brm  cm2
0  ars  bsm  cmn
eşitlikleri bulunur. Birinci eşitlik s , ikinci eşitlik r ile çarpılıp taraf taraf toplanırsa
as  cm (*) eşitliği ve birinci eşitlik n ikinci eşitlik m ile çarpılırsa bm  a  n  r 
(**) eşitliği elde edilir. (*) ve (**) eşitliklerinden a cm ve a bm olup ebob  a, b, c   1
olduğundan a m dir.
a m  y0    m  ay0 dir . (*) dan as  cm  cay0  s  cy0 ve (**) dan
a  n  r   bm  bay0  n  r  by0 elde edilir. Böylece
 n  r 2   n  r 2  4nr
 b 2 y0 2  4nr
 b2 y02  4 1  sm 
 b 2 y0 2  4 1   cy0  ay0  

 b2 y02  4 1  acy02

46


 b2  4ac y02  4

d
n
x0  by0
2
ve
r
 x0 , y0   2 ,
 x0  by0

M  2
 ay
0

bulunur.
olmak
üzere
x0  by0
2
 n  r 2  dy02  4  x02  dy02  4
:
 dy0 2  4
x0  n  r
olup
olduğundan Pell denkleminin bir çözümüdür.
x 2  dy 2  4 Pell denkleminin bir çözümü olmak üzere

cy0 
  SL2   
x0  by0 
2 
olsun. M  Aut   f  olduğu gösterilmelidir.
  f , M   g   a1, b1, c1  olsun. Bu durumda

 
a
 x  by0 
 x  by0 
a1  a  0
 b 0
 ay0   ca 2 y02  x02  b2  4ac y02


2
2
4








a
a
x0 2  dy0 2  .4  a ve
4
4
x  by0 
 x  by0 
b1  2a  0
 cy0   b 1  2  cy0  ay0    2c  ay0   0

b
2
2




f ~ g olduğundan d  f   d  g  olup a1  a ve b1  b iken c1  c elde edilir.
 x0  by0
 2
M 
 ay
0


cy0 

  Aut  f  dir.
x0  by0 
2 
det M  1 olan A  GL2    matrisinin Aut  f  de olması için gerekli ve
yeterli koşul
 x0  by0
 2
M 
 ay
0

 x0 , y0   2 ,
x 2  dy 2  4 Pell denkleminin bir çözümü olmak üzere

cy0 
 olmasıdır. Kanıtı Teorem 3.1.9 a benzer şekilde yapılır.
x0  by0 
2 
47
Yukarıda tanımlanan M matrisini bundan sonra
 x  by

U  f , x, y    2
 ay


cy 

x  by 
2 
ile göstereceğiz.
Teorem 3.1.10 : f pirimitif bir form olsun.
1. x 2  dy 2  4 Pell denkleminin çözümlerini U  f , x, y   Aut  f  ye dönüştüren
dönüşüm 1-1 ve örtendir.
2.
Pell denkleminin çözümlerini U  f , x, y   Aut   f  ye dönüştüren
x 2  dy 2  4
dönüşüm 1-1 ve örtendir.
Kanıt :
B
 x , y   
0
2
0

x02  dy02  4 olmak üzere
h : B  Aut  f 
 x, y   h  x, y   U  f , x, y 
biçiminde bir h dönüşümü tanımlıyalım.
 x1, y1  ,  x2 , y2   B için  x1, y1    x2 , y2   x1  x2 , y1  y2
 x1  by1
 2
h  x1 , y1   U  f , x1 , y1   
 ay
1

 x2  by2
 2

 ay
2

olup

cy1 

x1  by1 
2 

cy2 
  U  f , x2 , y2   h  x2 , y2 
x2  by2 
2 
 h iyi tanımlıdır.
 x1, y1  ,  x2 , y2   B için h  x1, y1   h  x2 , y2   U  f , x1, y1   U  f , x2 , y2 
dir.
48
 x1  by1
 2
U  f , x1 , y1   U  f , x2 , y2   
 ay
1

  x  by2
cy1   2
2
 
x1  by1  
ay2
2  

cy2 

x2  by2 
2 
olup a  0
ve c  0 iken ebob  a, b, c   1 olduğundan b  1 olmalıdır. Bu durumda son eşitlikte
a  0 , c  0 ve b  1 yerine yazıldığında
 x1  y1
 2

 0

  x2  y2
  2

x1  y1  
0
2  
0



x2  y2 
2 
0
elde edilir. Matris eşitliğinden  x1, y1    x2 , y2  olduğu görülür.
a  0 olsun. Bu durumda ay1  ay2 olduğundan y1  y2 dir. y1  y2 olması durumunda
x1  by1 x2  by2
=
 x1  x2  b  y1  y2   x1  x2 elde edilir.
2
2
 h 1-1, dir.
U  Aut  f 
olsun.
 x0  by0

h  x0 , y0    2
 ay
0

Teorem
3.1.9
  x0 , y0   2  x02  dy02  4
den
için

cy0 
 dir.
x0  by0 
2 
 h örtendir.


Örnek : d  0  mod 4  olsun. Bu durumda f  1, 0, d 4 formu d diskriminantlı bir
formdur.  x0 , y0    2 , x 2  dy 2  4 Pell denkleminin bir çözümü ise Teorem 3.1.9
den
 x0
U  f , x0 , y0    2
 y0
dy0 
2
x0 
2 
dir. Tersine




 Aut  f 
 
49
ise  x0 , y0    2 ,   x 2  dy 2  4 Pell denkleminin bir çözümüdür.
Teorem 3.1.11 : Aynı diskriminantlı tüm pirimitif formların otomorflar grubu birbirine
izomorftur.
Kanıt : f ve g , d diskriminantlı tam katsayılı iki pirimitif form olsun. Bu durumda
Aut  f  ve Aut  g  aynı x 2  dy 2  4 Pell denkleminin çözümleri ile üretilir.  x, y 
  xa  ybd   xb  ay  
,
ve  a, b  x 2  dy 2  4 Pell denkleminin iki çözümü ise 
2
2 

ikilisi
de
x 2  dy 2  4



2
2
x 2  dy 2 a 2  db2
 xa  byd 
 xb  ay 
 4

 d
 
2
4


 2 
Pell
denkleminin
diğer
bir
çözümüdür.
olduğundan
Bu
durumda
  xa  ybd   xb  ay  
,

2
2  bir önceki teoremde tanımladığımız B kümesinin bir

elemanıdır. B üzerinde  işlemi
 x, y    a , b    
 xa  ybd 

2
,
 xb  ay 

2 
biçiminde tanımlansın.
  x1, y1  ,  x2 , y2  ,  a1, b1  ,  a2 , b2   B için
 x1, y1  ,  a1, b1    x2 , y2  ,  a2 , b2    x1, y1    x2 , y2 
ve  a1 , b1    a2 , b2 
  x1  x2 ve y1  y2  ve  a1  a2 ve b1  b2 
dir.
 x1, y1    a1, b1    
 x1a1  y1b1d 

2
,
 x1b1  a1 y1 

2 
  x a  y b d   x2b2  a2 y2  
 2 2 2 2
,
2
2 

  x2 , y2    a2 , b2 
olduğundan  iyi tanımlıdır.
  a1, b1  ,  a2 , b2  ,  a3 , b3   B için
 a1, b1    a2 , b2    a3 , b3    a1, b1    a2 , b2    a3 , b3 
50
olduğundan  işleminin birleşme özelliği vardır.
 x, y   B için  x, y    a, b    
 xa  ybd 
2



, xb  ay    x, y 
2
xb  ay
xa  ybd
y
 x ve
2
2
 xa  ybd  2 x ve xb  ay  2 y dir.
xa  ybd  2 x   x

xb  ay  2 y   y
yd  a   2 x 
.

x  b   2 y 
olup buradan
2x
a
yd

2 x  dy
2y x

x yd
x 2  dy 2
y x
2
2

x 2x
y 2y
 0 elde edilir.
 2, b 
x yd
y x
  x, y  ,  a, b   B için
 x, y    a , b    
 xa  ybd 
2

,
 xb  ay 

2 
  ax  byd   ay  xb  

,
2
2 

  a , b    x, y 
olduğundan  işlemi değişmeli olup   x, y   B için  a, b    2,0   B
  x, y    a, b    a, b    x, y    x, y  dir.
 işleminin etkisiz elemanı vardır.
 x, y   B için  x, y    a, b    
 xa  ybd 

2
,
 xb  ay 

 2,0
2   
  a, b     x,  y   B olup  işleminin ters elemanı vardır.
 B,  değişmeli gruptur.
Teorem 3.1.10 da tanımlanan h : B  Aut  f  , B ve Aut  f  grupları arasında 1-1 ve
örten bir fonksiyon olup  x, y  ,  s, t   B için
  xs  ytd   xt  sy  
h   x, y    s , t    h 
,
2
2 

51
  xs  ytd   xt  sy  
U  f ,
,
2
2 

  xs  ytd   xt  sy 

b

2
2

2



 xt  sy 

a

2
 x  yb

 2
 ay

  s  tb
cy  
2
.
x  yb  
at
2  


 xt  sy 
c

2

 xs  ytd    xt  sy  b 

2
2

2


ct 

s  tb 
2 
 U  f , x, y  .U  f , s, t 
 h  x, y  .h  s, t 
olduğundan grup izomorfizmasıdır. Bu nedenle A  Aut  f  dir. Benzer şekilde
A  Aut  g  olduğu da görülebilir.
 A  Aut  f
 ve
A  Aut  g  olduğundan Aut  f   Aut  g  dir.
Bu teoremin bir sonucu olarak aynı diskriminantlı iki formun otomorflarının
sayısının aynı olduğu söylenebilir.
52
3.2 Pozitif Belirli Formların Otomorfları
Bu bölümde tam katsayılı pozitif belirli formların otomorflarını tanımlıyacağız.
f   a, b, c  pozitif belirli bir form ve U  Aut  f  ise
f    f ,U  olup her
 x, y    2 için f  x, y   0 olduğundan f    f ,U  olması için
det U  1 olmalıdır.
Bu nedenle pozitif belirli formların otomorfları has otomorflardır. Önceki bölümde
verilen d diskriminantlı f   a, b, c  formunun otomorfları ile x 2  dy 2  4 Pell
denklemi arsındaki ilişkiden yararlanılarak pozitif belirli formların otomorfları tespit
edilebilir.
Örnek : Tam katsayılı -4 diskriminantlı pirimitif formların otomorflarını belirleyiniz.
Önceki teoremden tüm -4 diskriminantlı tam katsayılı pirimitif formların otomorflar
grubu birbirine izomorf olduğundan -4 diskriminantlı pozitif belirli form olarak
f  1, 0,1 formu alınabilir. Bu formun otomorfları x 2  4 y 2  4 Pell denkleminin
çözümleriyle elde edilip
 0, 1
x 2  4 y 2  4 denkleminin çözümleri sadece
 2, 0 
ve
olduğundan f nin otomorflar grubu
 1 0   0 1  
Aut  f    
, 

 0 1   1 0 
0 1
dir. Bu otomorflar grubu devirli olup dördüncü mertebeden T  
 matrisi ile
1 0 
üretilir.
Örnek : Tam katsayılı -3 diskriminantlı pirimtif formların otomorflarını belirleyiniz.
-3 diskriminantlı tüm pirimitif formların otomorflar grubu birbirine izomorf olduğundan
-3 diskriminantlı pozitif belirli form olarak f  1,1,1 formu alınabilir. Bu formun
otomorfları x 2  3 y 2  4 Pell denkleminin çözümleriyle elde edilip x 2  3 y 2  4
denkleminin çözümleri  1, 1 ve  2, 0  olduğundan f nin otomorflar grubu
 1 0 0 1  1 1  
Aut  f    
, 
, 

 0 1  1 1   1 0 
53
0 1
dir. Bu otomorflar grubu devirli grup olup altıncı mertebeden TS  
 ile
1 1 
üretilmiştir.
Teorem 3.2.1 : f , d  3, 4 olmak üzere d diskriminantlı pozitif belirli form ise f
nin otomorflar grubu aşikardır.
Kanıt : f pozitif belirli bir form ise d  0 olduğundan x 2  dy 2  4  x 2  d y 2  4
olup d  5 için x 2  d y 2  4 denkleminin tek çözümü  2, 0  dir. Bu nedenle f nin
otomorflarının grubu Aut  f    I 2 x 2  olduğundan aşikardır.
d diskriminantlı pozitif belirli f formunun otomorflarının sayısı “ w  f  ” ile
gösterilir ve diskriminant değerine göre
6,

w  f   4,
2,

değerlerini alır.
d  3
ise
d  4
ise
d  3, 4 ise
54
3.3 Belirsiz Formların Otomorfları
d  0 diskriminantlı f belirsiz formunun otomorflar grubunu Pell denklemi ile
bulmak oldukça zor olduğundan bu bölümde f nin otomorflar grubunu farklı bir
yöntemle belirleyeceğiz.
A  0 ve f 0   A, B, C  indirgenmiş form olmak üzere f 0    f ,U  sağlayan
U  GL2    olsun. f nin devrinin
 f0 , f1, f 2 ,..., fl 1 
olduğunu varsayalım. Tl ikinci
bölümde tanımlanan matris olmak üzere   f 0 , Tl   f 0 dir. Bu durumda Tl , f 0 ın
otomorfudur.
  f0 , Tl   f 0
1
   f ,UTl     f ,U     f ,UTU
 f
l
f0   f ,U 
U GL2   
olduğundan T  UTlU 1 , f nin otomorfudur. Bu otomorfa “ f nin temel otomorfu”
denir.
Önerme 3.3.1 :


T  T i i   devirli grubu sonsuz elemanlıdır ve l , f nin periyodu
olmak üzere det T    1 dir.
l
Kanıt : i   için T i  UTliU 1 ve
l 1  0
Tl   
i  0 1
1 
s  fi  
(3.5)
dir. (3.5) ve Önerme 2.2.19 den T nin ilk satır ve ilk sütunu pozitiftir. Bu da T i nin
ikinci satır ve ikinci sütununun artan bir dizi olmasını gerektirir. Bu nedenle i  0 için
T i ler birbirinden farklıdır. O halde T sonsuz elemanlı bir devirdir. Bununla birlikte
0
1

1 
l
nin determinantı -1 olup det T    1 dir.

s  fi  
55
Örnek : f  1, 7, 6  formunun temel otomorfu aşağıdaki biçimde bulunur.
f  1, 7, 6  formunun periyodu l  9 olup pi  2  si pi 1  pi ve qi  2  si qi 1  qi
rekürans bağıntılarından yararlanılarak
p
T  Tl   9
 q9
p10 
q10 
matrisi bulunmalıdır.
Rekürans bağıntılarından p9  193 , p10  1500 , q9  250 , q10  1943 olarak bulunur.
193 1500
9
Bu durumda T  
olup det T    1  1 dir.

 250 1943
Örnek : f  1,8, 3 formunun temel otomorfu aşağıdaki biçimde bulunur.
f  1,8, 3 formunun periyodu l  6 olup pi  2  si pi 1  pi ve qi  2  si qi 1  qi
p
rekürans bağıntılarından yararlanılarak T  Tl   6
 q6
p7 
q7 
matrisi bulunmalıdır.
Rekürans bağıntılarından p6  14 , p7  117 , q6  39 , q7  326 olarak bulunur. Bu
14 117 
6
durumda T  
olup det T    1  1 dir.

39 326 
Sonuç 3.3.2 : l , f   a, b, c  belirsiz formunun periyodu ve T de
f nin temel
otomorfu olsun. l tek ise k   için T 2k  Aut   f  ve T 2k 1  Aut  f  olup l çift ise
her k   için T k  Aut   f  dir.
Kanıt : l tek ise det T   1  1 dir. T  Aut  f  olup her k  için T k  Aut  f 
l
dir. Budurumda k  için det T 2k  1 ve det T 2k 1  1 olduğundan T 2k  Aut   f  ve
T 2 k 1  Aut  f  olarak bulunur. Benzer biçimde l çift ise det T   1  1 olup her
l
k  için det T k  1 olduğundan T k  Aut  f  dir.
56
IV. BÖLÜM
POZİTİF BELİRLİ FORM İLE TEMSİL EDİLEN BİR SAYININ BÖLENLERİ
VE KUADRATİK FORMLAR İÇİN MASS FORMÜLÜ
Bu bölümde d  11 diskriminantlı pozitif belirli bir formla temsil edilen bir
sayının asal çarpanlarından birinin de aynı formla temsil edilebileceğini ve n 
olmak üzere n yi temsil eden tüm d diskriminantlı formların sayısının nasıl
hesaplanacağını göstereceğiz.
4.1 Pozitif Belirli Form İle Temsil Edilen Bir Sayının Bölenleri
Tanım 4.1.1 : Aynı diskriminantlı iki pirimitif formu, diskriminantı aynı olan üçüncü
bir pirimitif forma dönüştüren ikili dönüşüme “bileşke” denir.
Bununla birlikte  ,     2 , r nin f   a, b, c  ile öz temsili ise    z  1
sağlayan  , z   var olduğundan f  f '   r , s, t  olacak biçimde s, t   vardır.
Örnek :
f   3, 2,1 formu d  8 diskriminantlı olup

temsilidir. f  f '   6, s, t  olması için M  
z
1,1   2 ,
6 nın bir öz
  1 1 
w

  SL2    olacak şekilde
 z w
z ,    bulunmalıdır. f 1, z   6  z  1 ve z  1 için det M  1 olduğundan   2
 1 1  
olarak bulunur. Bu durumda   f , 
    6,16,11 olur.
 1 2 
Teorem 4.1.2 :
f1   a1 , b1 , c1  ve
m  ebob  a,   ve n  ebob  m, a2 
(b  b )
f 2   a2 , b2 , c2  olmak üzere   1 2
2
,
olsun. Bununla birlikte a1 x   y  m nin x , y
çözümü ve z için
mz  x  b2  b1   c y  mod a2 

 1
n
n

 2 
çözümü verilsin.
f1 ve f 2 formlarının bileşkeleri, üçüncü katsayısı diskriminant
formülüyle hesaplanan
57
 a1a2 , b  2a z ,* 

1
n 
n2 1

formudur.
Örnek : d  8 diskriminantlı f1   3, 2,1 ve f 2   3, 4, 2  formlarının bileşkesini
bulunuz.

24
 1 , m  ebob  3, 1 , n  ebob 1,3 ve a1 x   y  m  3x  y  1 dir.
2
 x, y   1, 2  ,
3 x  y  1 denkleminin
bir
çözümü
olup
bu
değerler
için
z  5  1 mod 3 olarak bulunur. Eğer z  1 olarak alınırsa


f1  f 2  3.3 , 2  2.3.1,*   9,8,*
1
elde edilir ve buradan diskriminant formülünden * değerinin 2 olduğu görülebilir.
 a1 , b1 , c1 
Tanım 4.1.3 :
ve
 a2 , b2 , c2 
aynı diskriminantlı iki form olsun. Eğer
b b 

ebob  a1 , a2 , 1 2   1 ise bu iki forma “united formlar” denir.
2 

Önerme 4.1.4 :
 a1 , b1 , c1 
ve  a2 , b2 , c2  united formlar ise
 a1 , b1 , c1    a1 , B, a2C 
 a2 , b2 , c2    a2 , B, a1C 
olacak şekilde
 a1 , B, a2C 
ve  a2 , B, a1C  formları vardır.
Kanıt : Böyle bir B tamsayısının var olduğunu göstermek için
B  b1  mod 2a1 
B  b2  mod 2a2 
kongrüanslarından yararlanılır. İlk kongrüanstan 1   için B  b1  2a11 dir. İlk
kongrüanstan elde ettiğimiz B değerini ikinci kongrüansta yerine yazarsak
B  b1  2a11  b2  mod 2a2   2a2 |b1  2a11  b2
  2    b1  b2  2a11  2a2 2
58

elde edilir.
b1  b2
  a11  mod 2a2 
2
b1  b2
 a11  mod 2a2  kongrüansının çözülmesi için a1 ve a2 ’ nin en
2
büyük ortak böleninin
b1  b2
yi bölmesi gerekir.
2
b b
b b
d  b12  4a1c1  b22  4a2c2   1 2  .  1 2   a1c1  a2c2
 2  2 
olup
formlar
united
olduğundan
b b 

ebob  a1 , a2 , 1 2   1
2 

m|a1c1  a2c2

dir.
Buradan
ebob  a1, a2   m  1 ise
olduğu görülür. k  a1a2
m
m

b1 b2
2
m|
b1  b2
2
olsun. Yukarıdaki B değeri mod 2k ya göre teklikle
belirlidir. B  B0  mod 2k   t    B  B0  2kt olduğundan
B 2  B02  4 B0 kt  4k 2t  B0  d  mod 4k 
dır. Şimdi C   olmasını garanti etmek için B 2  B02  mod 4a1a2  olacak şekilde t  
seçilmelidir.
B 2  d  mod 4a1a2   4a1a2 |B 2  d
 s    B 2  d  4a1a2 s
B2  d
 4ks
ebob a1 , a2   m
4k


B2  d
 ms
4k
B02  4 B0 kt  4k 2t 2  d
 ms
B  B0  2 kt
4k


B02  d
  B0t  kt 2  ds
4k

d  B02
 B0t  kt 2  ds
4k
59
d  B02
 B0t  mod m 
mk
4k

elde edilir. B0  B  2kt olduğundan
d  B02
  olup B0 ın tanımından ve formların
4k
united oluşundan B0 modülo m ye göre tersinirdir.
Bu durumda
 d  B02  1
t 
B mod m 
 4k  0 


olup üçüncü katsayı da diskriminant
formülünden bulunur.
Örnek :  3, 2,1 ve  6,8,3 formlarının bileşkesi aşağıdaki biçimde bulunur.
28

ebob  3,6,
  1 olduğundan  3, 2,1 ve  6,8,3 formları united dir.
2 

m  ebob  3,6   3 , k  a1a2
m
 3.6  6 olup
3
B 2  B02  8  mod 24   B02  16  mod 24 
elde edilir. B0  4 olarak seçildiğinde
B0  4  1 mod 3 olduğundan t  2  mod 3 olarak bulunur. t  2 olarak seçilirse
B  B0  2kt  28 ve diskriminanttan a2C  6.11  C  11 olarak bulunur.
  a1, B, a2C    3, 28, 66  dır.
1 n 
0 1
Öte yandan  3, 28, 66  formuna S n  
ve T  

 matrislerine karşılık gelen
0 1 
1 0 
matris dönüşümleri uygulandığında  3, 28, 66  formunun  3, 2,1 formuna denk olduğu
görülebilir.
f1   a1 , B, a2C  ve f 2   a2 , B, a1C  iki united form ise
 x1 x2 


 X  1 0 0 C   x1 y2 
 Y   0 a a B  .  y x 
   1 2
 1 2


 y1 y2 
dönüşümü altında
a x
2
1 1

 
 Bx1 y1  a2Cy12 . a2 x22  Bx2 y2  a1Cy22  a1a2 X 2  BXY  CY 2

60
denklemi elde edilir. Burada X  x1 x2  Cy1 y2 , Y  a1 x1 y2  a2 y1 x2  By1 y2 olup f1 ve
f 2 formlarının bileşkesi f1  f 2   a1a2 , B, C  olarak tanımlanır.
f1   3, 28, 66 ve f 2   6, 28,33 united formlarının bileşkesi aşağıdaki
Örnek :
biçimde hesaplanır.
B  28 ,
C  11
olduğundan
f1  f 2  18, 28,11
olarak bulunur. Öte yandan
f1  x1 , y1   f1 1, 0   3 ve f 2  x2 , y2   f 2 1,1  67 için
X  x1x2  Cy1 y2  1.1  11.0.1  1
ve
Y  a1x1 y2  a2 y1x2  By1 y2  3.1.1  6.0.1  11.0  3
olduğundan f1 1, 0  . f 2 1,1  F 1,3  201 dir.
Teorem 4.1.5 : ebob  mn, d   1 ve mn nin d diskriminantlı bir f formuyla öz temsili
olsun. f formu, m yi öztemsil eden g ile n yi öztemsil eden h pirimitif formlarının
bileşkesidir.
Kanıt :
 mn,  ,  
formu göz önüne alınırsa d   2  4mn olup ebob  mn, d   1
olduğundan f ~  mn,  ,   dir. Bununla birlikte ebob  mn,    1  ebob  m,    1 ve
ebob  n,    1 olduğundan g   m,  , n  ve h   n,  , m  olarak tanımlandığında g
ve h formlarının pirimitif oldukları görülür. Bu durumda bileşke tanımından g  h ~ f
elde edilir.

Tanım 4.1.6 : d   olmak üzere d nin çift yada tek oluşuna göre sırasıyla 1, 0, d
4

 1  d  
ve 1,1,
4  formları d diskriminantlı formlar olup bu formlara “özdeşlik

formu” denir.
Önerme 4.1.7 :
d  11 ve p |d olmak üzere özdeşlik formu p asalını temsil
ediyorsa çift diskriminantlar için p  d , tek diskriminantlar için p  d dir.
4
61

d çift ise özdeşlik formu 1, 0, d
Kanıt :
4

olup D  d   için p asalının
4
özdeşlik formuyla bir temsili varsa bu durumda p  x 2  Dy 2 dir. y  0 iken p  x 2
olup buda p nin asal olmasıyla çelişir. d  11 olması D  3 olmasını gerektirdiğinden
y  0 için
p |d  4 D
p  x 2  Dy 2  D  3 dür. p , 2 den farklı bir asal olup
olduğundan p |D dir. Bu sebeple p  D olur ki buradan p  d
4
olarak bulunur. d
 1  d  
1  d    için p asalının özdeşlik
tek ise özdeşlik formu 1,1,
 olup k 
4
4


formuyla bir temsili varsa p  x 2  xy  ky 2 dir. d  11 olması k  3 olmasını
gerektirip y  0 için p  x 2 olduğundan y  0 olmalıdır. Bununla birlikte x  1 ve
y  2
x 2  xy  ky 2  4k  1
için
p  x 2  xy  ky 2 
 4k  1
4
 d
4
tür.
dir.
Ancak
Bu
nedenle
p , x, y  
olduğundan
p  x 2  xy  ky 2  k ve bununla birlikte p |4k  1   d dir.
k  1 mod 3 ise 4k  1  0  mod 3 dür. Bu yüzden 4k  1 in 1 den farklı mümkün olan
en küçük böleni 5 olup 4k  1 in kendinden farklı en büyük böleni
pk 
 4k  1
5
5
tir. Ancak
olduğundan p  4k  1   d dir.
k  7  mod 9  ise 4k  1  0  mod 9  dir. Burada 3 ve
Ancak
 4k  1
 4k  1 ,
3
4k  1 in bölenleridir.
 4k  1 , 3 ile bölündüğünden asal değildir.
3
 4k  1 , 3 ile bölünmez.  4k  1
3
3
k  1 mod 3 iken k  7  mod 9  ise
olacak şekilde t  
k  1
3
 4t  1
olsun. Bununla birlikte  3,3, t  1 formunu tanımlanırsa 3
ün 4t  1 ve bu nedenle t  1 i bölmediği açıktır. Öte yandan x  1 ve y  2 için
3 x 2  3 xy   t  1 y 2  4t  1 
 4k  1
3
k  4 olmalıdır. k  4 olduğunda
 4k  1
3
 ,
t
 k  1
3
ve
tür. k  3 için
 4k  1
3
  olduğundan
 3,3, 2  ~  2,1, 2 
özdeşlik değildir. k  4 için
k  7  mod 9 
den
k  10
olup
 3,3, t  1
62
indirgenmelidir ve bu nedenle özdeşlik formu değildir. Bu nedenle k  1 mod 3 ve
k  7  mod 9  ise
durumda
p
 4k  1
3
 4k  1
3
ün asal olması gerekiyorsa özdeşlikle temsil edilemez. Bu
olduğundan ya p  
4k  1
5
ya da p  4k  1 dir. p  k
olduğundan p  4k  1   d dir.
Teorem 4.1.8 : d  11 olmak üzere p asalının 1 ~ 1,*,* özdeşlik formuyla temsili
var olsun. Eğer np çarpımının da aynı d diskriminantlı bir f pirimitif formuyla öz
temsili var ise f , n nin öz temsilidir.
Kanıt :
I. Durum : d  0  mod p  ise
f ~  np, 1 ,  1 
ve
1 ~  p,  2 ,  2 
olacak şekilde 1,  2 ,  1,  2   vardır. Diskriminanttan dolayı  2  0  mod p  olup
1   2
2
 0  mod p  ise  2 yerine   2 alınarak
1   2
2
 0  mod p  olacak şekilde

   2    1 olacağından
düzenlenebilir. Bu durumda ebob  p, np, 1
2 

 p,  2 ,  2 
 np, 1,  1 
ve
formları uniteddir. Önerme 4.1.4 den
f ~  np, 1,  1  ~  np, B, pC 
ve
1 ~  p, 2 ,  2  ~  p, B, npC 
olacak şekilde B, C   vardır.

g  n, B, p 2C

f
pirimitif olduğundan ebob  n, B, C   1 dir.
formu tanımlanırsa B  0  mod p  ve gcd  n, B, C   1 olduğundan g
pirimitiftir.
1 ~  p, B, n  pC  
ile
63
g   n, B, p  pC  
kıyaslanırsa 1  g ~  np, B, pC  ~ f elde edilir.
1  g ~ f tir. Bu nedenle f ve g denk olup n , f nin bir öz temsilidir.
II. Durum : p |d ve d çift ise
f ~  np, 2 F , J 
ve
1 ~ 1, 0, p 
dir. Önerme 4.1.7 den çift d ler için d  4 p olduğundan 1 ~ 1, 0, p  dir. Bununla
birlikte I. Durumda açıklandığı üzere f ~  np, 1 ,  1  dir.
p |d  12  4np 1  s    12  4np 1  ps
 12  ps  4np 1
1   olduğundan k   için s  4k olarak seçilirse
12  4kp  4np 1  4  kp  np 1 
elde edilir. Bu durunda kp  np 1 tam kare olmalıdır. F   için kp  np 1  F 2 olarak
seçildiğinde
1  2F
olup
J
katsayısı
diskriminanttan
bulunabilir.
d  4 p  4 F 2  4npJ olduğundan p |F dir. Bu durumda E   için
f ~  np, 2 pE , J 
dir.
d  4 p  4 p 2 E 2  4npJ  4npJ  4 p  4 p 2 E 2

 4 pnJ  4 p 1  pE 2

 nJ  1  pE 2 elde edilir.
Buradan


1 ~  p, 0,1 ~  p, 2 pE,1  pE 2  ~  p, 2 pE, nJ 




nJ


olduğu
g   n, 2 pE , pJ  formunu tanımlarsak
1  g   p, 2 pE , nJ    n, 2 pE , pJ  ~  np, 2 pE , J  ~ f
elde edilir. f ~ g olduğundan f , n nin bir öz temsilidir.
görülür.
64
III. Durum : p |d ve d tek ise Önerme 4.1.7 den d   p ve
1 ~ 1,1, k 
f ~  np, F , J 
dir. F  0  mod p  olduğundan E   için f ~  np, pE , J  olup d nin tek olması E
nin tek olmasını gerektirir. Bununla birlikte d  p 2 E 2  4npJ   p  4nJ  1  pE 2
dir. k  
1 p
4
olmak üzere 1,1, k  özdeşlik formuna
 1 0
 2 1 


matris dönüşümü uygulandığında 1,1, k  ~  p,  p, k  formu elde edilir. E tek olmak
üzere
B  pE, C  J     p,  p, k  ~  p, pE, nJ 
dir.
g   n, pE , pJ 
formunu
tanımlarsak
1  g ~  p, pE , nJ    n, pE , pJ    np, pE , J  ~ f
elde edilir. f ~ g olduğundan f , n nin bir öz temsilidir.
Örnek : d  23 diskriminantlı f   2,1,3 formuyla temsil edilen 312 sayısının asal
bölenlerinden birinin yine f   2,1,3 formuyla temsil edilebileceğini gösterelim.
x  6 ve y  8 için f  6,8  312 olup Teorem 4.1.8 i kullanabilmek için f nin öz
temsil olması gerekir. ebob  6,8  2 olduğundan f , m  312  78 in öz temsilidir. m
4
nin asal çarpanlara ayrılışı m  78  2.3.13 olup p  2,3,13 için d  0  mod p 
olduğundan  ,    için 1 ~  p,  ,   dir. Bu durumda p asalının özdeşlik formuyla
bir temsili vardır. p  2 için teoremi uygularsak f , 39 un öz temsilidir. Benzer şekilde
3, özdeşlik formuyla temsil edilebileceğinden teoremin ifadesinden f , 13 ün öz
temsilidir. Bu durumda 13  2 x 2  xy  3 y 2 dir.
65
4.2 İkili Kuadratik Formlar İçin Mass Formülü
Teorem 4.2.1 : k    , f   a, b, c  , d  0 diskriminantlı pozitif belirli pirimitif bir
form ve  x, y    2 de k nın öz temsili olsun. f yi g  x, y   kx 2  lxy  my 2 formuna
x r
dönüştüren 
  SL2    matrisi için r , s   tek şekilde belirlidir. Bununla birlikte
 y s
0  l  2k için l 2  d  mod 4k  sağlayan l için d  l 2  4km olmak üzere tek bir m  
vardır.
Kanıt :
f , d 0
diskriminantlı pozitif belirli bir form iken k    nın f ile öz
temsili  x, y    2 olsun.  x, y    2 , k    nın f ile öz temsili ise d diskriminantlı
g  x, y   f  x, y  x 2  lxy  my 2 formu da g 1, 0   k olduğundan k nın öz temsilidir.
k , g formu ile temsil edildiğinden x 2  d  l 2  4km  l 2  mod 4k  kuadratik rezidü
olup genelliği bozmadan l , 0  l  2k
x r
U 
  SL2   
 y s
matrisi
f
yi
g
aralığında seçilebilir. Bununla birlikte
formuna dönüştüren bir matris ise
  f ,U    det U . f  x, y  X 2  lXY  f  r , s Y 2 
olduğundan
det U  xs  ry  1
olmalıdır. Bu nedenle det U  xs  ry  1 denklemini sağlayan  r , s    2 çözümleri
bulunmalıdır.
 r, s 
ve  r0 , s0  , xs  ry  1 denkleminin herhangi iki çözümü ise
xs  ry  1   s

xs0  r0 y  1  s0
r   x  1
.

r0   y  1
olduğundan
1 r
1 r0
r  r0
x

 r - r0   x  r  r0   x
s r rs0  r0 s



 0
s0 r0
s
s
y 0
s
s0
1
1
s  s0

 s - s0   y  s  s0   y
r rs0  r0 s



 0
r0
66
elde edilir. O halde  r0 , s0  , xs  ry  1 denkleminin bir çözümü ise diğer tüm
çözümleri  keyfi bir tamsayı olmak üzere
r  r0   x
formülü
ile
 r, s  ,
verilir.
,
xs  ry  1
s  s0   y
denkleminin
keyfi
bir
çözümü
ise
x r
U 
  SL2    matrisi f formunu g formuna dönüştürdüğünden
 y s
l  2axr  b  xs  yr   2cys
 2ax  r0   x   b  x  s0   y   y  r0   x    2cy  s0   y 

 2axr0  b  xs0  yr0   2cys0  2 ax 2  bxy  cy 2
 2axr0  b  xs0  yr0   2cys0  2 k

l0  2axr0  b  xs0  yr0   2cys0 
 l0  2 k
elde edilir.
0  l  2k
olmasını istediğimizden
0  l0  2 k  2k  0 
l0
 1
2k
sağlayan tekbir    vardır. Buyüzden 0  l  2k olmak üzere xs  ry  1 denklemini
sağlayan tekbir  r , s    2 olup diskriminanttan m katsayısı tek şekilde belirlidir.
f   a, b, c  , d  0 diskriminantlı pozitif belirli bir form ve  x, y    2 , n    nın bir
x r
öztemsili f olsun. f ye U  
  SL2    matrisine karşılık gelen dönüşüm
 y s
uygulanırsa
f    f ,U    n, B, C  formu elde edilebilir. Bu şekildeki formların
kümesi


x r
N    f ,U    n, B, C  U  
 SL2    , ebob  x, y   1, f  x, y   n 

 y s




1 m
 1 1


olarak tanımlanırsa    S m  
S


SL



 kümesinin elemanları



2
0 1 
 0 1




yardımıyla N kümesi üzerinde bir denklik bağıntısı tanımlanabilir. Bu bağıntı n nin f


ile öz temsilleri  x, y  ve x ' , y ' olmak üzere f1 , f 2  N için
 1 m  
f1 R f 2  m   için   f1 , 
   f2
 0 1  
67
biçiminde tanımlanır. R bağıntısı N kümesi üzerinde bir denklik bağıntısı olup N
R
bölüm kümesidir. Bununla birlikte yine  kümesi yardımıyla


 x a


K  U  
  22 det U  ebob  x, y  

 y b




1 m
kümesi üzerinde her U1 ,U 2  K için U1BU 2  m   için U1 
  U 2 biçiminde
0 1 
tanımlanan B bir denklik bağıntısıdır.
Önerme 4.2.2 : n nin f ile bir öztemsili olsun. n nin öztemsillerinin denklik
sınıflarını N
deki denklik sınıflarına götüren dönüşüm 1-1 ve örtendir.
R
Kanıt : n   olmak üzere n nin f ile öz temsillerinin kümesi
A
 x, y   
2

f  x, y   n, ebob  x, y   1 olup her  x, y  ,  s, u   A için
 x, y    s, u   V  Aut   f   V  x, y    s, u 
biçiminde tanımlanan ~ , A kümesi üzerinde bir denklik bağıntısı olup A
kümesidir. A
~
ile N
R
~
bölüm
arasında
 : A  N R


 x, y     x, y     f ,U     f ,U  
fonksiyonunu tanımlıyalım.
 x, y  ,  x' , y '   A için  x, y    x' , y '   V  Aut   f   V  x' , y '    x, y  dir.
Teorem 4.2.1 den
 x s  '  x'
U  
 ,U   '
y t
y
s' 
   f ,U    n, B, C  ve   f ,U '    n, B ' , C '  dir. Bununla
'
t
a b

birlikte V  
  Aut  f  ise
c d
68
a b   x'
VU  
. '
c d   y
r '   ax '  by '

s '   cx '  dy '
ar '  bs '   x ar '  bs ' 

olup U ile VU ' nün ilk
'
'
'
'
cr  ds   y cr  ds 
sütunları aynı olduğundan U   VU ' dır. Bu durumda V , f nin otomorfu olduğundan


   x, y      f ,U      f ,VU '      f ,V  ,U '     f ,U '     x ' , y ' 
dır.
  iyi tanımlıdır.
 n, B, C 
formunun f ye has denk olduğunu varsayalım. Bu durumda ilk sütunu  x, y 
olan U  SL2    için   f ,U    n, B, C  dir. U matrisinin ilk sütunu
 x, y 
ebob  x, y   1
dir.
olduğundan
f  x, y   n
ve

det U  1
olduğundan

  x, y   A    x, y     f ,U   olduğundan  örtendir.



 x, y   ,  x ' , y '   A için
~




   x, y      x' , y '     f ,U      f ,U ' 
   f ,U  R  f ,U ' 
1 m
m
'
 S m  
   için    f ,U  , S     f ,U 
0 1 
 1 m 
'
m
 S  m  
  için   f ,U      f ,U  , S
0 1 


 U ''  U ' S  m   için   f ,U     f ,U '' 
dir. Buradan
  f ,U     f ,U ''     f ,VU     f ,U '' 
V Aut   f 
   f ,V   f    f ,U ''U 1 
U SL2   
 V  U ''U 1
elde edilir. U 'BU '' olduğundan U '' matrisinin ilk sütunu
U '' ,U 1  K için
x , y 
'
'
dir. Ayrıca
69
 x'
V  U ''U 1   '
y
r ''   s r   x ' s  r '' y  x 'r + r'' x  
.


s ''  -y x   y ' s  s '' y  y 'r + s'' x   

olup
 


'
'

V  x, y    x   y,  x   y   x  xs  ry  , y  xs  ry     x, y  olduğundan

 


 

1
1

 x, y 
ile
 x , y  aynı denklik sınıfındandır. Bu nedenle  x, y    x' , y '  dir.
'
'
 1-1 dir.
Sonuç 4.2.3 :
f   a, b, c  , d  0 diskriminantlı pozitif belirli pirimitif bir form ve
k    nın f ile öz temsili olsun. Teorem 4.2.1 deki her l için k nın öz temsillerinin
sayısı tam olarak w  d  tanedir.


Kanıt : l   0, 2k  olmak üzere  x, y  ve x ' , y ' aynı n    nın f ile iki öz temsili
olsun.
 x r  '  x'
U  
 ,U   '
 y s
y
olduğunu
varsayalım.
V  U 'U 1  Aut   f
r' 
  SL2   
s' 
için
  f ,U     f ,U '    n, l , m 
  f ,U     f ,U '   f    f ,U 'U 1 
olup
 dir. V  x, y    x' , y '  olduğundan  x, y    x' , y '  dir. Bu nedenle
Teorem 4.2.1 deki koşulları sağlayan her l için k nın öz temsillerinin sayısı tam olarak
w  d  tanedir.
Teorem 4.2.4 : n , l  0 ve p asal olmak üzere p  n olsun.

x 2  n mod pl
kongrüansının çözüm sayısı
i ) p  2 , l  1 için 1
ii ) p  2 , l  2 , n  3  mod 4  için 0
iii ) p  2 , l  2 , n  1 mod 4  için 2
iv ) p  2 , l  2 , n  1 mod 8  için 0
v ) p  2 , l  2 , n  1 mod 8  için 4

70
n
vi ) p  2 için 1    dir.
 p
Kanıt :
i ) 2  n ise x 2  n  mod 2  nin tek çözümü x  1 mod 2  dir.
ii ) x2  n  mod 4 

x 2  3  mod 4  kongrüansının bir çözümü yoktur.

x 2  1 mod 4  kongrüansının mod 4 te 1, 3 olmak üzere iki
n3 mod 4 
iii ) x 2  n  mod 4 
n 1 mod 4 
farklı çözümü vardır.
iv )

p  2 , l  2 , 2  n ve n  1 mod 8  olsun. x 2  n mod 2l

kongrüansının bir
çözümünün olduğunu varsayalım. 2  n ve 2 asal olduğundan ebob  x,2   1 dir. Bu

nedenle x 2  n mod 2l

kongrüansının çözümü varsa x ler tek sayı olmalıdır.

n  1 mod 8  ve l  2 olmak üzere x 2  n mod 2l

kongrüansının tek x tamsayı

çözümleri var olduğundan özel olarak l  3 için x 2  n mod 23

kongrüansını da
çözümü vardır. Ancak her tek tamsayının karesi  1 mod 8  dir. Buda n  1 mod 8 

oluşuyla çelişir.  n  1 mod 8  , l  2 için x 2  n mod 2l

kongrüansının çözümü
yoktur.
v ) p  2 , l  2 ve n  1 mod 8  olsun. Genelliği bozmadan n ler 0  n  2l aralığından

seçilebilir. x 2  n mod 2l

kongrüansının çözülebilmesi için x ler tek tamsayı olması
gerektiğinden x0 bu kongrüansın bir çözümü ise 2  x0 dir. x ve x0 bu kongrüansın
herhangi iki çözümü olsun. Bu durumda
2l | x  x0  x  x0 
olup x ve x0 tek olduğundan hem x  x0 hemde x  x0 çifttir. Buradan
 x  x0  x  x0 
2l2  


 2  2 
elde edilir.
x  x0
x  x0
x  x0 x  x0
ve
yi birlikte bölmez.

 x olduğundan 2,
2
2
2
2
71
Bunedenle
2l  2 |

olup x   x0 mod 2l 1

x  x0
x  x0
ya da 2l 2 |
2
2
dir. Başka bir deyişle x0 ,


çözümü ise ya x0 ya da  x0 aynı zamanda x 2  n mod 2l 1
çözümüdür.

x 2  n mod 2l
Ayrıca

x  x0 mod 2l


x 2  n mod 2l kongrüansının bir


kongrüansının da bir
x  x0 mod 2l 1
iken

olacak
şekilde
 kongrüansının hiçbir çözümü yoktur ve

 

 n  mod 2  

x 2  n mod 2l
x2

l 1
sisteminin çözüm sayısı x 2  n mod 2l

kongrüansının çözüm sayısının yarısıdır. Bu
yüzden




x 2  n mod 24 

x 2  n mod 23 



sisteminin çözüm sayısı 2 olup x 2  n mod 24 kongrüansının çözüm sayısı 4 olarak
bulunur. Benzer şekilde




x 2  n mod 25 

x 2  n mod 24 



sisteminin de çözüm sayısı 2 olup x 2  n mod 25 kongrüansının da çözüm sayısı 4 tür.

Benzer şekilde devam edilecek olursa n  1 mod 8  olmak üzere x 2  n mod 2l

kongrüansının çözüm sayısının 4 olduğu görülür.
vi ) p  2 olsun.
n
a )    1 ise
 p

x 2  n mod pl

x 2  n  mod p 
kongrüansının bir çözümü yoktur. Bunedenle
kongrüansının da bir çözümü
kongrüansının çözüm sayısı
olmadığından

x 2  n mod pl

72
n
0  1    dir.
 p
n
b )    1 olsun. Genelliği bozmadan n , 0  n  pl aralığından seçilebilir. p  n
 p
olduğundan ebob  n, p   1 ya da ebob  n, p   m  1 dir. ebob  n, p   m  1 olması
durumunda m n ve m| p olup p asal ve m  1 olduğundan m  p dir. Bu ise p  n
olması ile çelişir. Bununla birlikte


x 2  n mod pl  pl |x 2  n
 k    x 2  n  p l k
 k    x 2  n  p l k
dır ve ebob  n, p   1 olması ebob  x, p   1 olmasını gerektirir. Bu durumda çözümler
0  x  p l aralığındaki ebob  x, p   1 sağlayan x ler arasındadır. x0 , x 2  n  mod p 
kongrüansının bir çözümü ise f  x   x 2  n olmak üzere f '  x0   2 x0  0  mod p 

olduğundan x 2  n  mod p  kongrüansının çözümleri x 2  n mod pl
şekilde genişletilebilir. Bunedenle
x 2  n  mod p 
nin iki çözümü olduğundan

 kongrüansının da iki çözümü vardır. O halde

 kongrüansının çözüm sayısı
x 2  n mod pl
x 2  n mod pl
 kongrüansına tek
n
  1 için
 p
p  2 ve 
n
2  1    dir.
 p
Teorem 4.2.5 : k  0 ve ebob  d , k   1 olsun.
x 2  d  mod 4k 
kongrüansının çözümlerinin sayısı, f ler k nın kare çarpansız bölenleri olmak üzere
d
2    dir.
f |k  f 
73
Kanıt : x0 , x 2  d  mod 4k  kongrüansının bir çözümü ise  x0  2k   x02  mod 4k 
2
olduğundan
x0  2k
x0  x0  2k  mod 2k 
da
diğer
olduğundan
bir
x0  x0  2k  mod 4k 
çözümdür.
x 2  d  mod 2k 
olup
kongrüansının çözüm sayısı
x 2  d  mod 4k  kongrüansının çözüm sayısının yarısıdır.  , 1 ,  2 ,...,  r   olmak
üzere k nın asal çarpanlara ayrılışı k  2 p11 . p22 ... prr ise   1 için x 2  d  mod 4k 
     


kongrüansının çözüm sayısı Teorem 1.2.10 dan N  8  .N p1 1 .N p2 2 ...N pr r olup
     


önceki teoremden N  8  .N p1 1 .N p2 2 ...N prr  4.N  p1  .N  p2  ...N  pr  dir. Bu
durumda x 2  d  mod 2k  kongrüansının çözüm sayısı 2.N  p1  .N  p2  ...N  pr  olarak
bulunur. Teorem 4.2.4 ten 2.N  p1  .N  p2  ...N  pr   2r 1 dir ve bu sayı k nın kare
çarpansız pozitif bölenlerinin sayısına eşittir.
d tek ise d  1 mod 4  olup ebob  d , k   1 olduğundan ebob  d ,4k   1 dir. 4k nın her

pl böleni için 4 4k olduğundan p  2 iken l  1 olup x 2  d mod pl

kongrüansının
çözümlerinin sayısı Teorem 4.2.4 ten
p  2 , l  2 için 2
  d 
p  2 , l  2 için 4  2. 1    
  p 
d
 dir.
 p
p  2 için 1  
Teorem 1.2.10 dan x 2  d  mod 4k  kongrüansının çözüm sayısı p , k nın asal çarpanı
ve f , k nın kare çarpansız böleni olmak üzere
  d 
d
2  1      2   
 p 
f |k  f 
p |k 
d çift
ise
d  0  mod 4 
olup
ebob  d , k   1
olduğundan
x 2  d  0  mod 4  kongrüansının iki çözümü olup l  0 ve
k
p l |k
tek
olmalıdır.
olmak üzere
74

x 2  d mod pl
d
 kongrüansının çözüm sayısı 1   p  dir. Bu durumda x
2
 d  mod 4k 
kongrüansının çözüm sayısı
  d 
d
2  1      2    dir.
 p 
f |k  f 
p |k 
Tanım 4.2.6 :
Aynı diskriminantlı pirimitif formların diskriminantına “temel
diskriminant” denir
Teorem 4.2.7 (Mass Formülü) :
d temel diskriminant , k    ve ebob  d , k   1 olsun. k nın d diskriminantlı
pozitif belirli formlarla temsillerinin sayısı Rd  k  sonludur ve bu sayı
d 
Rd  k   w  d    
n |k  n 
ile verilir.
Kanıt : l 2  d  mod 4k  sağlayan l lerin sayısı Teorem 4.2.5 den t ler k nın kare
çarpansız bölenleri olmak üzere
d 
2    dir.
t |k  t 
l0 , x 2  d  mod 4k  kongrüansının bir çözümü ise l0  2k da x 2  d  mod 4k  nın bir
çözümüdür. Ancak 0  l  2k için l lerin sayısı
d 
  t 
t |k
olarak bulunur. Bu şekildeki her l için k nın temsillerinin sayısı tam olarak w  d  tane
olup l lerin sayısı
d 
  t 
tane olduğundan k    nın d diskriminantlı pirimitif
t |k
formlarla temsillerinin sayısı
d 
wd    
t |k  t 
75
 x y
dir. Bununla birlikte ebob  x, y   g ve  x, y  , k nın öz olmayan temsili ise  ,  ,
g g
k
g2
nin öz temsilidir. Bu nedenle k nın her öz olmayan temsiline karşılık
ebob  x, y   g olmak üzere
 x y
k
nin bir  ,  öz temsili karşılık gelir. Bu durumda
2
g
g g
k
nin öz temsillerinin sayısı ebob  x, y   g olan k nın öz olmayan temsillerinin
g2
sayısına eşittir. Karesi k yı bölen g lerin sayısı
 d 
d 
  g2     g 
g 2 |k 
ve t ,

g 2 |k 

k
k
nin kare çarpansız böleni olmak üzere 2 nin öz temsillerinin sayısı
2
g
g
wd 
d 
k  t 
t|
g2
olup her pozitif tamsayı n  tg 2 biçiminde yazılabileceğinden k nın d diskriminantlı
pozitif belirli formlarla temsillerinin sayısı




 d  
d
 
Rd  k   w  d       .     
 g 2 |k  g    t | k2  t  
 g 0
 g

 w d . 
 d 
  tg 2 
g 2 | k tg 2|k 
g 0
d 
 2 w  d     dir.
n tg
nk  n 

76
V. BÖLÜM
KUADRATİK CİSİMLER VE KUADRATİK FORMLAR ARASINDAKİ İLİŞKİ
Sayı cisimlerinin yapılarının belirlenmesinde, ideal sınıfları grubunun mertebesi
olarak tanımlanan sınıf sayısının hesaplanması önemlidir. Bu bölümde d kare çarpansız
bir tamsayı olmak üzere 
 d
sayı cisminin kesirsel idealleriyle d diskriminantlı
kuadratik formlarlar arasındaki ilişkiyi vereceğiz.
Tanım 5.1 : A   kümesi k  
 d  kuadratik sayı cisminin bir alt kümesi olsun.
Eğer,
i)
a, b  A için a  b  A
ii )
a  A ve c d için a.c  A
iii )
0  r d için rA  d
koşulları gerçekleniyor ise A kümesine k cisminin bir “kesirsel ideali” denir.
Tanım 5.2 : R bir tamlık bölgesi ise I ve J , R nin sıfırdan farklı kesirsel idealleri
olmak üzere
I ∼ J  a, b  R için  a  I   b  J
biçiminde tanımlanan ∼ R nin sıfırdan farklı kesirsel ideallerinin kümesi üzerinde bir
denklik bağıntısıdır. ( Buradaki ( a ) notasyonu R nin esas idealini göstermektedir)
Tanım 5.3 : I  1 ,  2  , d nin bir ideali olsun. I idealinin normu
N I  
1 2  1 2
d
biçiminde tanımlanır.
d
diskriminantlı
i  1, 2,3,..., h  d 
temsilleri
için
zi , ai x 2  bi x  ci  0
denkleminin kökü olmak üzere

Qi  x, y   ai x 2  bi xy  ci y 2  ai  x  zi y  x  zi y

77
kuadratik formları farklı denklik sınıfındadır ve Qi formuna karşılık gelen kesirsel ideal
Ii    zi  biçiminde tanımlanır.
Önerme 5.4 : d kare çarpansız bir tamsayı olmak üzere
i) 
 d  nin tüm kesirsel idealleri I
idealerinden birine denktir.
i
ii ) i  1, 2,3,..., h  d  için birbirinden farklı herhangi iki denk Ii ideali yoktur.
Kanıt : i ) Genel olarak I ideali I  w1  w2  ...  wk  biçiminde yazılabilir ancak
   d  ; d  2,3  mod 4 
 

I  d   1  d 
 
 ; d  1 mod 4 
  2 
olduğundan k  2 olarak alınabilir. I   w1 , w2  kesirsel ideali w1 ile  w1 değiştirilerek


1
w1 w2  w1w2  0 olduğu varsayılabilir.
d
Eğer w1  0 ya da w2  0 ise I   w1 ya da I   w2  olduğundan I esas
idealdir.
w1 , w2  0 ise N  I   0 , I idealinin normu olmak üzere
Q I  x, y  

1
N I 
 xw1  yw2   xw1  yw2 
 N w  x
N I 
1
1
2


 Tr w1 w2 xy  N  w2 

dir. Her i için N  I  N  wi  ise x 2 ve y 2 nin katsayıları tamsayı olur. Bununla birlikte

N  w1  w2    w1  w2  . w1  w2


 w1 w1  w2 w2  w1 w2  w1w2

olduğundan N  I  N  w1  w2  ise xy nin katsayısı tamsayı olarak elde edilir. Q I nin
diskriminantı
1
N I 
2

 w w ww
1 2
 1 2
olup w1  w2 ideali için

2
 4  w1w2 

 w w  w1w2 
w1w2    1 2


N I  


2
78
w1
w1
w2
w2
2
 d : I  .
1
1
w w
 N  I  .d
2

olduğundan Q I formu d diskriminantlıdır. Bu durumda 


 SL2    için
 

   
  QI , 
   Qi  x, y 
   

olup w1  w2        zi   olduğu gösterilmelidir.

   
1 
  QI , 
 x   y  w1   x   y  w2 .  x   y  w1   x   y  w2 





N
I






olup
z


1
 


 w1   w2  x    w1   w2  y    w1   w2 x   w1   w2 y 


N I  

N  w1   w2 
 x  zy  . x  zy
N I 

 w1   w2
x

y
 w1   w2
dir.
Q I  Qi

olduğundan
z  zi
ya da
z  zi
ve
N  w1   w2   ai N  I   0 dir. Bu durumda  w1   w2  , d nin bir ideali olmak
üzere
I   w1   w2       w1   w2  
  w1   w2    z 
  w1   w2     zi  
olup I ideali Ii idealine denktir.
ii ) i, j 1, 2,..., h  d  için I i  I j olmak üzere I i ∼ I j olsun.
I i ∼ I j   ,   d     I i  I j    dir.
   Ii     1, zi     ,  zi   I j   
olup
   Ii
idealine karşılık getirilen kuadratik
form
Q  Ii 
    N   z  y
N    x 2  xyTr   zi
N   Ii 
i
2
79



N    N 1 x 2  xyTr  zi   N  zi  y 2
N    N  Ii 
N 1 x 2  xyTr  zi   N  zi  y 2

 Q I i  x, y 
N  Ii 
olarak bulunur. Benzer şekilde I j     1, z j        ,  z j      I i idealine karşılık
gelen kuadratik form da
Q I j 

    N  z  y
N    x 2  xyTr   zi
2
i
N   Ii 
 
N I j 
 
N 1 x 2  xyTr z j  N z j y 2
 Q I j  x, y 
dir.    I i  I j    eşitliğinden    Ii ile I j    ideallerine karşılık gelen formlar eşit
olup zi , Q I  x, y  formunun esas kökü olmak üzere zi  z j olarak bulunur. Bu durumda
i
I i  1, zi   1, z j   I j olur ki buda I i  I j oluşuyla çelişir.
 i  1, 2,3,..., h  d  için birbirinden farklı herhangi iki denk I i , I j ideali yoktur.
Örnek :
 1,33,21 formuna
 1,33,21 formunun esas kökü
Buradan
 1,33, 21
karşılık gelen ideal aşağıdaki biçimde bulunur.
 x 2  33x  21  0  zi 
formuna
karşılık
33  1173
dir.
2
gelen
kesirsel
ideal
 33  1173 
33  1173
I i    zi     
 olarak bulunur.
   1,
2
2


I   w1   w2     zi   olduğundan  1,33, 21 formuna karşılık gelen ideal ise


I  2  33  1173 
olarak elde edilir. Tersine N  I i   1 ve N  I   4 olduğundan Ii ve I ideallerine
karşılık
 33  1173 
 33  1173  2
N 1 x 2  xyTr 
 N
y
2
2




Q I i  x, y  
N  Ii 
80

x 2  33xy  21y 2
  1,33, 21
1
ve
  33  1173  
 33  1173  2
N  2  x 2  xyTr  2. 
N


y


2
2





Q I  x, y  
N I 

4 x 2  132 xy  84 y 2
  1,33, 21
4
formu getirilir.
Örnek :
d  23 diskriminantlı
 2,1,3
formuna karşılık gelen ideal aşağıdaki
biçimde hesaplanır.
 2,1,3
formuna
1  23i
dir. Bu nedenle  2,1,3
4
formunun esas kökü 2 x 2  x  3  0  zi 
karşılık
gelen
kesirsel
I i    zi   1,
ideal
1  23i

4
olup
I   w1   w2     zi   olduğundan  2,1,3 formuna karşılık gelen ideal ise


I  4  1  23i 
olarak bulunur. I i  1,
1
1  23i
 için N  I i   dir ve I i idealine karşılık gelen form
2
4
 1  23i 
 1  23i  2
N 1 x 2  xyTr 
 N
y
4
4




Q I i  x, y  
N  Ii 
 1 3
x 2  xy     y 2
 2 2

1
2
 2 x 2  xy  3 y 2
dir. Benzer şekilde I   4, 1  23i için N  I   8 dir ve I idealine karşılık gelen form
Q I  x, y  
 



N  4  x 2  xyTr 4. 1  23i  N 1  23i y 2
N I 
81

16 x 2  xy  8   24 y 2
8
 2 x 2  xy  3 y 2
olarak bulunur.
82
KAYNAKLAR
[1] Johannes BUCHMAN, Ulrich VOLLMER, Binary Quadratic Forms : An
Algorithmic Approach. Springer-Verlag Berlin, 2007
[2] D. A. BUELL, Binary Quadratic Forms : Classical Theory and Modern
Computations. Springer-Verlag New York Inc, 1989
[3] John Paul COOK, The Mass Formula for Binary Quadratic Forms, 2010
[4] F. ÇALLIALP, Sayılar Teorisi, İstanbul, 1999
[5] F. ÇALLIALP, Örneklerle Soyut Cebir,Birsen Yayınevi,2001
[6] William C. JAGY, Division and Binary Quadratic Forms, December 13, 2008
[7] I. NIVEN , H. S. ZUCKERMAN , H. L. MONTGOMERY : An Introduction to the
Theory of Numbers , John Willey and Sons , Inc. , 1991
[8] Robert C. RHOADES, Heegner Points and Geodesics In Their Many Guises, March
4, 2008
83
ÖZGEÇMİŞ
Adı Soyadı
: Burç BAYRAK
Doğum Yeri
: Malatya
Doğum Tarihi
: 07.08.1983
E-mail
: [email protected]
Eğitim Bilgileri
İlkokul
: Ressam Şefketdağ ilkokulu
Ortaokul
: Yunus Emre İlköğretim Okulu
Lise
: Ataköy Yabancı Dil Ağırlıklı Lisesi
Lisans
: Trakya Üniversitesi
Yabancı Dil
: İngilizce