{ } { } { }{} { } {}{ } { } , {} A , { } A { } { } { } { }

KÜMELER
Küme Kavramı
Çözüm:
İyi tanımlanmış birbirinden farklı nesneler topluluğuna küme
denir. Bir kümenin belirtilebilmesi için kümeyi oluşturan
nesnelerin herkes tarafından anlaşılması ve belli bir anlam
olması gerekir.
Kümeyi A ile gösterelim. A  S, A, K, R, Y dir.
Kümeyi oluşturan nesnelerin her birine kümenin elemanı
denir.
A kümesi 5 tane elemana sahip olduğundan sA   5 tir.
Kümelerde her eleman bir defa yazılır, tekrarlanmaz. Bunun
için üç tane A dan bir tane alındı.
Kümeler A,B,C,… gibi büyük harflerle gösterilir.
Örnek:
Bir x nesnesi bir A kümesine ait ise x  A biçiminde yazılır.

Çözüm:

   kümesinin elemanlarını yazalım
a  A , b  A , b  A , a , b  A olup sA   4
Bir kümedeki nesnelerin sayısına kümenin eleman sayısı
denir ve sA  ile gösterilir.
A  a , b, c, b , a , b
Örnek:

   kümesini eleman sayısını bulunuz.
B  a, b, c , a, b , c
Bir y nesnesi bir A kümesine ait değilse y  A biçiminde
yazılır.
2.

A  a, , Ali,9,10 kümesini göz önüne alalım.
Ortak Özellik Yöntemi
Kümenin elemanları belli bir özelliği sağlıyorsa, bu özelliğe
ortak özellik denir. Küme ortak olan bu özellikle gösterilebilir.
A kümesinin elemanlarından biri a dır. Bu durumda a  A
dır.
Örnek:
A kümesinin elemanları içinde 5 yoktur. Bu durumda 5  A
dır.


B  pazar, pazartesi, persembe kümesi verilsin.
A kümesi 5 tane elemana sahip olduğundan sA   5 tir.
B kümesinin elemanları arasında ortak olan özellik, her
birinin haftanın p ile başlayan günü olmasıdır. B kümesinin
elemanlarını x ile gösterirsek verilen küme,
Uyarı


B  x / x ,haftanin p ile baslayan günleri biçiminde yazılabilir.
Kümelerin elemanlarının yerini değiştirmek, kümeyi
değiştirmez. Kümede bir eleman bir defa yazılır.
Bu B kümesi “x lerden oluşur, öyle ki x, haftanın p ile
başlayan bir günüdür”
Kümelerin Gösterilişi
1.
Örnek:
Liste Yöntemi ile Gösterme
4’ten küçük doğal sayıların kümesini ortak özelliklerine göre,
Kümenin elemanları sıra önemli olmaksızın .......
biçimindeki parantezin içine, aralarına virgül konularak
yazılırsa, buna “liste biçiminde gösterme” denir.


A  x / x ,4' ten küçük dogal sayi veya


A  x / x  4 ve x  N şeklinde yazılabilir.
Örnek:
Bu A kümesi “x lerden oluşur, öyle ki x, 4’ten küçük ve x
doğal sayıdır”
“SAKARYA” sözcüğündeki harflerin oluşturduğu kümeyi liste
biçiminde yazalım.
1
Örnek:
Çözüm:



B  x / x ,tamsayi ve 0  x  10 kümesinin eleman sayısını
s B  3 tür.
bulalım.

 
a  B , b  B , b  A , a, b  A
Çözüm:
0 dan 10’a kadar olan tam sayılar 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
sayılarıdır.
Eşit Kümeler - Denk Kümeler
O halde sB   10 dur.
Aynı elemanlardan oluşan kümelere eşit kümeler denir. A
kümesi B kümesine eşit ise A  B biçiminde gösterilir.
Eleman sayıları eşit olan kümelere denk kümeler denir. A
kümesi B kümesine denk ise A  B biçiminde gösterilir.
Örnek:


A  x / x  Z ve 3x - 1  5 kümesinin eleman sayısını
bulalım.
Örnek:
Çözüm:
A  a, b, c ve B  b, c , a kümeleri aynı elemanlardan
oluştuğu için A  B dir.
3x  1  5  3x  6  x  2

 
A  x / x  Z ve 3x - 1  5  2 dir.
Örnek:
O halde sA   1 dir.




K  0,2,4,6,8 ve M  x / 0  x  9 ve x çift sayı kümeleri
veriliyor. M kümesi liste biçiminde yazılırsa,
3.
Venn Şeması İle Gösterim


M  0,2,4,6,8 olup K ile M kümeleri aynı elemanlardan
Kümenin bütün elemanları önlerine birer nokta konularak
kapalı bir eğri içine yazılır. Eğri herhangi bir şekilde olabilir;
elips, çember, dikdörtgen gibi.
oluştuğu için K  M dir.
Örnek:
M  x / 3x  6  12, x  N ve
Örnek:



Yandaki venn şemasına göre,
N  x /
2  A , 3  A , 8  A , 10  A


x 1
3


 1, x  N kümeleri veriliyor.
3x  6  12 ise 3 x  6 olup x  2 dir.
A kümesinin eleman sayısı,
O halde, M  2 elde edilir.
s A  4 tür.
x 1
Örnek:
3
   kümesini venn şeması ile gösterelim.
B  a, b, a, b
 1 ise x  1  3 olup x  2 dir.
O halde, N  2 elde edilir. M ile N kümeleri aynı
elemanlardan oluştuğu için M  N dir.
2
Örnek:
Boş Küme



A  x / x  3 ve x  Z , B  x / x2  9 ve x  Z

Hiçbir elemanı olmayan kümeye boş küme denir. Boş küme
  veya  şeklinde gösterilir.
kümelerini inceleyelim.
Mutlak değeri 3 ten küçük olan tam sayılar -2,-1,0,1,2
olduğundan A   2,1,0,1,2 dir.
Boş kümenin eleman sayısı sıfırdır. Boş kümenin eleman
sayısı doğal sayılar ile belirtilebildiğinden sonlu kümedir.
Karesi 9 dan küçük olan tamsayılar -2,-1,0,1,2 olduğundan
B   2,1,0,1,2 dir.
Örnek:

A ile B kümeleri aynı elemanlardan oluştuğu için A  B dir.
Çünkü hiçbir tam sayının karesi 4 ten büyük ve 8 den küçük
olamaz.
Örnek:


A  x / 4  x2  8 ve x dogal sayi kümesi boş kümedir.



D  1,7,5,2 x  1 ve E  3,1, y  1,5 kümeleri veriliyor.
Uyarı
D  E olduğuna göre x  y toplamı kaçtır?
Çözüm:
 ve 0 kümeleri boş küme değildir. Bu kümeler birer
elemana sahiptir.
D  E olduğuna göre D ile E kümeleri aynı elemanlardan
oluşmuştur. Buna göre
Alt Küme
2x  1  3 ve y  1  3 olmalıdır.
Bir A kümesinin bütün elemanları bir B kümesinin de
elemanı ise A kümesine B kümesinin alt kümesi denir.
A  B veya B  A biçiminde yazılır.
2x  1  3 ise 2x  4  x  2 dir.
y  1  3 ise y  4 tür.
Eğer A kümesi, B kümesinin alt kümesi değilse bu A  B
biçiminde yazılır.
O halde x  y  2  4  6 bulunur.
Örnek:
Sonlu Küme-Sonsuz Küme
 
Eleman sayısı bir doğal sayıya eşit olan kümeye sonlu küme
denir. Sonlu kümelerin eleman sayısı belirtilebilir.
A kümesinin her elemanı aynı zamanda
B kümesinin de elemanı ise
A  B dir. A ile B kümelerinin venn şeması ile gösterilişi
yandaki gibidir.
Örnek:
Sınıfınızdaki öğrencilerin kümesi sonlu kümedir.
Örnek:


M  x / x  50 ve x dogal sayi kümesi sonlu kümedir.

 
 
A  1,2,3,4,5 , B  3,4 ve C  4,5,6 kümelerini venn
şemasıyla göstererek inceleyelim.
Bir doğruyu oluşturan noktaların kümesi sonsuz kümedir.


verilsin.
Eleman sayısı belirtilemeyen kümelere sonsuz küme denir.
Sonsuz kümelerin eleman sayısı doğal sayılar ile
gösterilemez.


A  a, b ve B  b, c , a kümeleri

N  x / x2  0 ve x dogal sayi kümesi sonsuz kümedir.
3
Çözüm:
Örnek:
 
A  1,2,3 kümesinin bütün alt kümelerini yazalım.
BA , BC
Çözüm:
CB , CA
 
A  1,2,3 kümesinin alt kümeleri,
A B, B  C
0 elemanlı alt kümeler; A    ,
1
Örnek:
1 elemanlı alt kümeler; A  
1 , A  2 , A  3
2
A kümesi Almanca bilenlerin kümesi ve İ
kümesi İngilizce bilenlerin kümesini
göstermek üzere, yandaki şekle göre
İngilizce bilen herkes Almanca biliyor.
Fakat Almanca bilen herkes İngilizce
bilmiyor. Yani İ  A dır.Fakat A  İ dir.
3
4
2 elemanlı alt kümeler; A  1,2 , A  1,3 ,
5
6
A
7
 
 2,3
3 elemanlı alt kümeler; A  1,2,3 olmak üzere A
8
kümesinin 8 tane alt kümesi vardır.
Örnek:
      kümesi veriliyor.
A  1, 2 ,3,4, 5,6 , 5
Sonuç
Aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
1.
Boş küme her kümenin alt kümesidir.
I. sA   6
II.
2.
Her küme kendisinin alt kümesidir.
II. 
1 A
IV. 3,4  A
V.
2
, 5  A
5,6  A
Örnek:
VI. 5  A
   kümesinin bütün alt kümelerini yazalım.
B  1, 2
Çözüm:
Çözüm:
I.
II.
   kümesinin alt kümeleri,
B  1, 2

s A  6 doğrudur.
0 elemanlı alt kümeler; B  
5,6  A olması için 5,6  A olması gerekir.
5,6  A olduğundan 5,6  A yanlıştır.
1
1  B , B  2  B
1 elemanlı alt kümeler; B  
2
III. 1 A olduğundan 
1  A doğrudur.
3
2 elemanlı alt kümeler; B  1, 2  B  B olmak üzere
4
IV. 3,4  A olduğundan 3,4  A doğrudur.
V.
   B ,
B kümesinin 4 tane alt kümesi vardır.
2
, 5  A olduğundan 2
, 5  A
Alt Kümeye Ait Özellikler
doğrudur.
VI. 5  A olduğundan 5  A yanlıştır.
4
1.
A  B ve B  A ise A  B dir.
2.
A  B ve B  C ise A  C dir.
Çözüm:
n
3.
elemanlı bir kümenin alt küme sayısı 2 dir.
4.
n elemanlı bir kümenin r elemanlı alt kümelerinin sayısı
 
Alt kümelerde 3 elemanı olmayacağı için diğer
elemanlardan oluşan A  1,2,4,5 kümesinin elemanları ile
 n
n!
dir.
 

n  r !.r !
r
 
Örnek:
Örnek:
A  1,2,3,4 kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde
mutlaka 3 elemanı bulunur?
      kümesinin alt küme sayısını
B  1, 2,3,4 , 5,6 , 7,8
bulunuz.
Çözüm:
Çözüm:
Alt kümelerde 3 elemanı bulunacağı için diğer elemanlardan
      ise sB  4 olduğundan B
B  1, 2,3,4 , 5,6 , 7,8
oluşan A  1,2,4 kümesinin elemanları ile 2  8 tane
alt küme yazılabilir. Bu alt kümelerin hiç birinde 3 elemanı
bulunmaz. Bu alt kümeleri yazalım.
3
kümesinin alt küme sayısı,
2
4
4
 16 tane alt küme yazılabilir. Bu alt kümelerin hiç
birinde 3 elemanı bulunmaz.
2
C n, r  

 2.2.2.2  16 dır.
  , 
1 , 2 , 4 , 1,2 , 1,4, 2,4 , 1,2,4
Örnek:
Bu kümelerin her birine 3 elemanı eleman olarak eklenirse,
     kümesinin alt küme sayısını bulunuz. 3, 1,3 , 2,3, 4,3 , 1,2,3, 1,4,3, 2,4,3 ,
A  , a, b , c , dc
Çözüm:
1,2,4,3

s A  5 olduğundan A kümesinin alt küme sayısı,
alt kümeleri elde edilir. Bu 8 tane alt kümede mutlaka 3
elemanı bulunur.
5
2  2.2.2.2.2  32 dir.
Örnek:
Örnek:
Alt küme sayısı 64 olan kümenin eleman sayısını bulalım.
B  1,2, a, b kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde b
elemanı bulunmaz?
Çözüm:
Çözüm:
n
n elemanlı kümenin alt küme sayısı; 2 dir.
Alt kümelerde b elemanı olmayacağı için diğer
elemanlardan oluşan B  1,2, a kümesinin elemanları ile
n
n
6
64  2 olduğundan 2  2 eşitliğinden n  6 bulunur.
Demek ki küme 6 elemanlıdır.
Örnek:
Örnek:

3
 8 tane alt küme yazılabilir. Bu alt kümelerin hiç
birinde b elemanı bulunmaz.
2
Yasemin, Nazlı, Merve üç öğrencidir. Bu üç öğrenciden
içerisinde Yaseminin mutlaka bulunacağı kaç farklı seçim
yapılabilir?

A  1,2,3,4,5 kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde 3
elemanı bulunmaz?
5
Çözüm:
Çözüm:

Seçimlerde Yasemin mutlaka bulunacağı için diğer iki

s A  n ve s B  n  2 olsun.
2
öğrenci ile 2  4 farklı seçim yapılabilir. Bu seçimlerin hiç
birinde Yasemin yoktur. Bu seçimleri yazalım.
İki kümenin alt küme sayılarının toplamı 160 ise,
  , Nazlı , Merve , Nazlı, Merve
n
n2
n
n
2 2
 160  2  4.2  160
Bu seçimlerin her birine Yasemin eleman olarak eklenirse,
 5.2
Yase min, Nazlı, Yase min , Merve, Yase min
n
 160  2
n
 32
n
5
 2  2  n  5 tir.
seçimleri elde edilir. Bu 4 tane seçimde Yasemin mutlaka
bulunur.
Buna göre sA   n  5 ve sB  n  2  5  2  7 dir
Örnek:
 
s A  s B  5  7  12 bulunur.
4 elemanlı bir kümenin 2 elemanlı alt küme sayısı kaçtır?
Çözüm:
Örnek:
4 elemanlı bir küme B  1,2, a, b olsun. Bu kümenin 2
elemanlı olan bütün alt kümeleri,
A  a, b, c , d, e kümesinin 3 elemanlı alt kümelerinin kaç
tanesinde a elemanı bulunur?
1,2 , 1, a, 1, b, 2, a , 2, b , a, b olmak üzere 6
Çözüm:
tanedir.
3 elemanlı alt kümelerinin içinde a elemanı bulunacağına
göre b, c , d, e kümesinden iki eleman seçilmelidir.
Kısa yoldan 4 elemanlı 2 elemanlı alt kümeleri sayısı,
 
C 4,2 
4
  
2
4!
4  2!.2!

24
2.2
O halde,
 6 dır.
a, b, c , a, b, d , a, b, e, a, c, d , a, c, e, a, d, e
İçinde a elemanı bulunduran 3 elemanlı alt küme sayısı 6
dır.
Örnek:
7 elemanlı bir kümenin 3 elemanlı alt küme sayısı kaçtır?
Çözüm:
Ya da, b, c , d, e kümesinden iki elemanı seçilmesi ile 2
elemanlı alt küme sayısı aynıdır.
7 elemanlı 3 elemanlı alt kümeleri sayısı,
O halde,
 
C 7,3 
7
  
3
7!
7  3!.3!

7.6.5.4!
4!.6
  4 42! !.2!  24..13..22..11  6 bulunur.
C 4,2 
 35 tir.
Örnek:
Örnek:


A  1,2,3,4,5 kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde 5
İki kümenin alt küme sayılarının toplamı 160 tır. Bu iki
kümenin eleman sayıları farkı 2 ise, eleman sayıları toplamı
kaçtır?
elemanı bulunur?
6
Çözüm:

Örnek:



A  1,2,3,4,5 kümesinin alt kümelerinde 5 elemanının
A  1,2,3,4,5,6 kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde
bulunması istenildiğinden kümeden 5 elemanı alınırsa,
1,2,3,4 kümesi elde edilir.
hem 1 hem de 2 elemanı bulunur?
Çözüm:
4
Bu yeni kümenin alt küme sayısı 2  16 dır.
Alt kümelerde 1 ve 2 elemanı mutlaka bulunacağı için diğer
elemanlardan oluşan 3,4,5,6 kümesinin elemanları ile
O halde, 5 elemanını içinde bulunduran alt küme sayısı 16
dır.
 16 tane alt küme yazılabilir. Bu alt kümelerin hiç
birinde 1 ve 2 elemanı bulunmaz.
Örnek:
Bu kümelerin her birine 1 ve 2 elemanı eleman olarak
eklenirse, 16 tane alt kümede mutlaka 1 ve 2 elemanı
bulunur.

2

4
A  a, b, c , d, e kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde a
bulunur ve b bulunmaz?
Öz Alt Küme
Çözüm:

Bir kümenin kendisi hariç diğer bütün alt kümelerine öz alt
küme denir.

A  a, b, c , d, e kümesinin alt kümelerinde a elemanının
bulunması ve b elemanının bulunmaması istenildiğinden
kümeden a ve b elemanı alınırsa c , d, e kümesi elde edilir.
Örnek:

      a, b , a, c , b, c , a, b, c
, a , b , c ,
O halde a elemanını içinde bulundurup b elemanının içinde
bulundurmayan alt küme sayısı 8 dir.
kümelerinin her birisi A kümesinin alt kümeleridir.
Bunlardan,
Örnek:

 , a, b , c , a, b , a, c , b, c kümeleri A
kümesinin öz alt kümeleridirler.

A  1,2,3,4,5,6 kümesinin 4 elemanlı alt kümelerinin kaç
tanesinde 1 ve 2 elemanı bulunur?
Çözüm:


A  a, b, c kümesinde,
3
Bu yeni kümenin alt küme sayısı 2  8 dir.
Sonuç

n
A  1,2,3,4,5,6 kümesinin 4 elemanlı alt kümelerinde 1 ve
n elemanlı bir kümenin öz alt küme sayısı 2  1 dir.
2 elemanı bulunacağından diğer 2 eleman 3,4,5,6
kümesinden seçilmelidir.
Örnek:
O halde 3,4,5,6 kümesinden oluşturulabilecek 2 elemanlı
alt küme sayısı,
5
5 elemanlı bir kümenin 2  1  31 tane öz alt kümesi
vardır.
  4 42! !.2!  24..13..22..11  6 dır.
Örnek:
C 4,2 
63 tane öz alt kümesi bulunan bir küme kaç elemanlıdır?
7
Çözüm:
Çözüm:
Kümenin eleman sayısı n olsun. Bu durumda,
A kümesinin eleman sayısı sA   n olsun. Bu durumda,
n
n
n
6
2  1  63  2  64  2  2  n  6 bulunur.
n
n
n
n
2  2  1  1023  2  2  1024
Örnek:
 2.2
127 tane öz alt kümesi bulunan bir küme kaç elemanlıdır?
2
n
n
 1024  2
n
 512
9
 2  n  9 bulunur.
Çözüm:
Kümenin eleman sayısı n olsun.
Kuvvet Kümesi
Bu durumda,
Bir kümenin bütün alt kümelerini içine alan kümeye kuvvet
kümesi denir. Bir A kümesinin kuvvet kümesi P(A) ile
gösterilir.
n
n
n
7
2  1  127  2  128  2  2  n  7 bulunur.
Örnek:
Örnek:


A  a, b, c kümesinin bütün alt kümeleri,
     kümesinin öz alt küme sayısını
A  a, b, c , b , a, b
      a, b , a, c , b, c , a, b, c dir.
bulunuz.
, a , b , c ,
Çözüm:
A kümesinin kuvvet kümesi

s A  4 olduğundan A kümesinin öz alt küme sayısı,
         
 dir.
P A  , a , b , c , a, b , a, c , b, c , a, b, c
4
2  1  2.2.2.2  1  16  1  15 tir.
    2 3  8 dir.
sPA
Örnek:
Bir kümenin 33 tane öz alt kümesi olabilir mi?
Örnek:
Çözüm:
A nın kuvvet kümesinin eleman sayısı ile B nin kuvvet
kümesinin eleman sayısının toplamı 80 ise,
n
 
Kümenin 33 tane öz alt kümesi olsa idi, 2  1  33 olurdu.
s A  s B kaçtır?
n
n
2  1  33  2  34 olup 34 sayısı 2 nin kuvveti
olmadığı için bu mümkün değildir.
Çözüm:
O halde bir kümenin öz alt küme sayısı 33 olamaz.
A nın eleman sayısı sA   n ve B nin eleman sayısı

s B  m olsun.
Örnek:
n
A nın kuvvet kümesinin eleman sayısı, 2 dir.
Bir A kümesinin alt küme sayısı ile öz alt küme sayısı
toplamı 1023 ise, A kümesinin eleman sayısı kaçtır?
B nin kuvvet kümesinin eleman sayısı, 2
8
m
dir.
Bu durumda,
b.
  6 63! !.3!  20 dir.
n
m
2  2  80 olup bu eşitliğin sağlanabilmesi n  6 ve
m  4 ile mümkündür. O halde,
C 6,3 
 
c.
s A  s B  6  4  10 bulunur.
Örnek:
A nın kuvvet kümesinin alt küme sayısı 2
eleman sayısı kaçtır?
32
     
d.
A nın eleman sayısı sA   n olsun.
elemanları ile 2  32 tane alt küme yazılabilir. Bu alt
kümelerin hiç birinde a elemanı bulunmaz.
n
e.
A nın kuvvet kümesinin alt küme sayısı, 2
2
32
A kümesinin içinde a elemanı olmayan 4 elemanlı alt
kümelerini bulmak için a elemanı dışındaki diğer
elemanlardan oluşan b, c , d,1,2,3 kümesinin
5
A nın kuvvet kümesinin eleman sayısı sPA   2
2n
A kümesinin 3 ten az elemanlı alt kümeleri sayısı, 2
elemanlı alt kümeleri sayısı ile 1 elemanlı alt kümeleri
sayısı ile 0 elemanlı alt kümeleri sayısının toplamına
eşit olup bu toplam,
C 6,2  C 6,1  C 6,0  15  6  1  22 tanedir.
ise, A nın
Çözüm:
2
A kümesinin 3 elemanlı alt kümeleri sayısı,
32
ise
n
n
5
 2  32  2  2  n  5 tir.
A kümesinin 4 elemanlı alt kümelerinde 2 elemanı
mutlaka bulunacağına göre geriye kalan 3 eleman
a, b,c, d,1,3 kümesinden,
  5 53! !.3!  10 farklı alt küme oluşturulabilir.
C 5,3 
Örnek:
Bu kümelerin her birine 2 elemanı eleman olarak eklenirse,
A kümesinin içinde 2 bulunan 4 elemanlı alt kümeleri sayısı
10 olur.
   
A  a, b, c , d ,1,2,3 kümesi veriliyor. A kümesinin:
a.
Kaç tane alt kümesi ve öz alt kümesi vardır?
b.
3 elemanlı kaç tane alt kümesi vardır?
c.
3 ten az elemanlı kaç tane alt kümesi vardır?
kümelerinin kaç tanesinde,
d.
İçinde a elemanı olmayan kaç tane 4 elemanlı alt
kümesi vardır?
a.
4 ve 5 elemanlarından hiçbiri bulunmaz?
e.
İçinde 2 bulunan kaç tane 4 elemanlı alt kümesi vardır?
b.
4 ve 5 elemanlarından biri veya ikisi bulunur?
c.
4 ve 5 elemanlarından yalnız biri bulunur?
d.
4 ve 5 elemanlarından her ikisi de bulunur?
Örnek:

Çözüm:
a.

A  0,1,2,3,4,5 kümesi veriliyor. A kümesinin tüm alt

s A  6 olduğundan
Çözüm:
6
A kümesinin alt küme sayısı, 2  64 tür.
a.
6
A kümesinin öz alt küme sayısı, 2  1  64  1  63
tür.
A kümesinin 4 ve 5 elemanlarının bulunmadığı alt
kümeleri, 0,1,2,3 kümesinin alt kümeleri olup
2
9
4
 16 tanedir.
b.
c.
d.
6
A kümesinin 2  64 tane alt kümesi vardır, a
şıkkında bulduğumuz 16 tane alt küme çıkarılırsa,
istenilen duruma uyan 48 tane alt küme bulunmuş olur.
Yalnız 5 elemanının bulunduğu alt küme sayısı 16,
yalnız 4 elemanının bulunduğu alt küme sayısı 16
olduğundan 4 ve 5 elemanlarından yalnız birinin
bulunduğu alt küme sayısı
16 + 16 = 32
tanedir.
Hem 5 hem de 4 ün bulunduğu alt kümelerin sayısı 16
dır.
Çözüm:
Evrensel kümede olup A kümesinde olmayan elemanlar
2,4,6,8 dir. Buna göre A kümesinin tümleyeni,


'
A  2,4,6,8 dir.
Örnek:
E evrensel kümesi E  x / x  N ve x  20 ve


A  x / x  N ve x  10 kümesi veriliyor. Buna göre A
kümesinin tümleyenini bulunuz.
Evrensel Küme
Çözüm:
Üzerinde işlem yapılan bütün
kümeleri kapsayan en geniş
kümeye evrensel küme denir.
Evrensel küme E harfi ile gösterilir.

 

 

E  x / x  N ve x  20  0,1,2,3,...,18,19,20 dir.

A  x / x  N ve x  10  1,2,3,...,8,9 dur.
Evrensel kümede olup A kümesinde olmayan elemanlar
10,11,12,…,20 dir. Buna göre A kümesinin tümleyeni,

Bir A kümesi E evrensel kümesinin alt kümesi olsun.
Evrensel kümeye ait olup A kümesine ait olmayan
elemanların oluşturduğu kümeye A kümesinin tümleyeni
'
denir ve A ya da A ile gösterilir.


'
A  10,11,12,...,20 dir. Yani A kümesinin tümleyeni,
Bir Kümenin Tümleyeni


'
A  x / x  N ve 10  x  20 dir.
Örnek:
E evrensel kümesi E  x / x  N ve 0  x  9 ve

'
A  x / x  E ve x  A


A  2,4,6,7 kümesi veriliyor. Buna göre A kümesinin
Şekilde taralı bölge A kümesinin
'
tümleyeni olan A kümesidir.
Çözüm:
Şekilden de görüldüğü gibi A kümesi ile
tümleyeninin birleşimi E evrensel
kümeye eşittir.
E  x / x  N ve 0  x  9  1,2,3,4,5,6,7,8 dir.

'
Yani A  A  E dir. O halde sA   s A'  E dir.
Örnek:
E evrensel küme olmak üzere E  1,2,3,4,5,6,7,8 ve


tümleyenini bulunuz.
'
A  1,3,5,7 olduğuna göre A kümesini bulalım.


 


A  2,4,6,7 olduğuna göre evrensel kümede olup A
kümesinde olmayan elemanlar 1,3,5,8 dir.
Buna göre A kümesinin tümleyeni, A  1,3,5,8 dir.
'
Örnek:

A '  x / x  N ve

4  x  6 olduğuna göre A kümesini
E  x / x  N ve 0  x  9 ve
bulalım.
10
Çözüm:
Tümlemenin Özellikleri

 

E  x / x  N ve 0  x  9  0,1,2,..,8,9 dur.
'

I.
  
II.
Buna göre evrensel kümede olup A nın tümleyeninde
olmayan elemanlar,


A'
A  x / x  N ve 4  x  6  4,5,6 dır.

Bir kümenin tümleyeninin tümleyeni kendisidir.
Bir küme ile tümleyeninin kesişimi boş kümedir.
'
A  A   tur.
III. Boş kümenin tümleyeni evrensel kümedir.   E dir.


A  x/ x  N, 0  x  3 veya 7  x  9 dur.
'
IV. Evrensel kümenin tümleyeni boş kümedir. E   tur.
'
'
A  B ise B  A dir.
Örnek:
V.
A ve B kümeleri aynı evrensel kümenin alt kümeleri olmak
üzere sA   sB   13 ve sB  sA  17 olduğuna
Örnek:
göre sE  kaçtır?


 


E  0,1,2,3,4,5,6 , A  1, 2,3 , B  1,2,3,4,5
'
Çözüm:
'
kümeleri veriliyor. B  A olduğunu gösteriniz.
  
s A  s B   13 ve s B  s A  17 eşitliklerini taraf
tarafa toplayalım.

     

 
eleman A kümesinde olduğundan B kümesi A
kümesinin alt kümesidir. Bu durumda
     
s A  s A  s B  s B  30

Çözüm:
A  0,4,5,6 ve B  0,6 dır. B kümesindeki her
s A  s B  s B  s A  13  17
 
 A dır.
'
A  0,1,2,3,7,8,9
  
'
B  A dır. B  A ise A  B dir.

s E  s E  30  2.s E  30  s E  15 bulunur.
Örnek:
A ve B kümeleri aynı evrensel kümenin alt kümeleri olmak
üzere sA   sB  19 ve sB  sA  13 olduğuna
göre sE  kaçtır?
E evrensel kümesi reel sayılar kümesi olmak üzere
A  x/ x  R, x  2 kümesinin tümleyeninin bulalım.


Çözüm:
x  2 ise x  2 veya x  2 dir.
Çözüm:
  
Örnek:
  
s A  s B  19 ve s B  s A  13 eşitliklerini taraf
A kümesi ve A kümesi sayı doğrusunda koyu kalın çizgi ile
gösterilmiştir.
tarafa toplayalım.
     
s A  s B  s B  s A  19  13
     
s A  s A  s B  s B  32
 




Buna göre A  x / x  2 , x  R dir.
s E  s E  32  2.s E  32  s E  16 bulunur.
11
Örnek:
Çözüm:
E evrensel kümesi içinde verilen A, B ve C kümeleri için,
sA   sB   20 , sB   sA   24 ve sC   10
olduğuna göre sC  kaçtır?
 
A  B  b, c dir.
Çözüm:
  
  
s A  s B  20 ve s B  s A  24 eşitliklerini taraf
tarafa toplayalım.
Örnek:
     
s A  s B  s B  s A  20  24

     

 
kümesini liste biçiminde yazıp venn şemasında gösterelim.
s A  s A  s B  s B  44
 

A  a, b, c , d, e ve B  a, d kümeleri veriliyor. A  B

s E  s E  44  2.s E  44  s E  22 bulunur.
Çözüm:
   
 
s C  s E  s C  22  10  12 dir.
A  B  a, d  B dir.
B  A  A B  B
KÜMELERDE YAPILAN İŞLEMLER
Kümelerde Kesişim İşlemi
Uyarı
A ve B iki küme olmak üzere A ile B nin ortak elemanlarının
oluşturduğu kümeye A ile B kümelerinin kesişim kümesi
denir ve A  B şeklinde gösterilir.


A  B  x / x  A ve x  B dir.
A  B kümesinin eleman sayısının en fazla olduğu durum
A  B olduğu durumdur.
Örnek:
A  1, 2,3,5 ve B  0, 4,6 kümeleri veriliyor. A  B
kümesini bulalım.
Çözüm:
A ve B kümelerinin ortak elemanı olmadığından A  B  
dir. Bu örnekte olduğu gibi ortak elemanı olmayan kümelere
ayrık kümeler denir.
Örnek:
Örnek:
A  a, b, c , d ve B  b, c , e, f , g kümeleri veriliyor. A  B
kümesini liste biçiminde yazıp venn şemasında gösterelim.
sA   4 ve sB   5 olmak üzere A  B kümesinin alt
küme sayısı en az ve en fazla kaçtır?
Çözüm:
A  B kümesinin alt küme sayısının en az olması için
A  B   olmalıdır. Bu durumda


0
s A  B  0 olup alt küme sayısı en az 2  1 olur.
12
A  B kümesinin alt küme sayısı en fazla olması için
A  B olmalıdır. Buna göre A  B  A  B  A olup,

Çözüm:
 
s A  B  s A  4 olacağından A  B kümesinin alt

Kesişme İşlemi ile İlgili Özellikler
a.
Örnek:

kümesini liste biçiminde yazıp venn şemasında gösterelim.
Çözüm:
Tek kuvvet özelliği.
AA  A
c.


A  B  a, b, c , d, e  A dır.
Birleşme özelliği.
B  A  A B  A
A  B  C  A  B  C
d.
 

A  a, b, c , d, e ve B  a, d kümeleri veriliyor. A  B
Değişme özelliği.
A B  B  A
b.

A  B  a, b, c , d, e, f , g dir.
4
küme sayısı en fazla, 2  16 olur.
Yutan eleman özelliği.
Örnek:
A   


A  x / x  N ve 3  x  5 ve


B  x / x  N ve x 2  25 olduğuna göre A  B
Kümelerde Birleşme İşlemi
kümesini liste biçiminde yazalım.
A ile B iki küme olmak üzere. Bu iki kümedeki bütün
elemanlardan meydana gelen kümeye A ile B nin birleşim
kümesi denir ve A  B ile gösterilir.

Çözüm:
 

 
A  3,4,5 ve B  5 olup A  B  3,4,5 tir.

A  B  x / x  A veya x  B dir.
Uyarı
A  B kümesinin eleman sayısının en az olduğu durum
A  B olduğu durum, en fazla olduğu durum ise A ile B nin
ayrık, yani A  B   olduğu durumdur.
Örnek:

Örnek:


s A  4 ve s B  5 olmak üzere A  B kümesinin alt



A  a, b, c , d ve B  b, c , e, f , g kümeleri veriliyor.
A  B kümesini liste biçiminde yazıp venn şemasında
gösterelim.
küme sayısı en az ve en fazla kaçtır?
Çözüm:


s A  4 ve s B  5 ise A  B olduğunda A  B
kümesinin eleman sayısının en az,
13
A  B   olduğunda A  B kümesinin eleman sayısının
en fazla olur.

 
A  B  s A  B  s B  5 tir

4.
Birim eleman özelliği
A   A
5.
 
A  B    s A  B  s   0 dır.
De Morgan Kuralları

A  B  A  B

A  B  A  B
Buna göre 0  sA  B  5 olup, A  B kümesinin alt
5
0
küme sayısı en az 2  1 ve en fazla 2  32 dir.
6.
Örnek:
A  3,4,6,8,9 ve A  B  1,2,3,4,5,6,7,8,9 ise
yazılabilecek B kümesi kaç tanedir?
Çözüm:
7.



 
 

A  BC  A B  A C

A  B  C  A  C  B  C
Birleşimin kesişim üzerine dağılma özellikleri

A  BC  A B  A C


A  B  C  A  C  B  C

B kümesinin en az olma durumu A  B  




A  3,4,6,8,9 ve A  B  1,2,3,4,5,6,7,8,9 ise,

Kesişimin birleşim üzerine dağılma özellikleri

 
 

B  1,2,5,7 dir.
B kümesinin en fazla olma durumu A  B 
Örnek:
B  1,2,3,4,5,6,7,8,9 dir.
A  B  b, c , f


Bu durumda B kümesi,
1,2,5,7  B  1,2,3,4,5,6,7,8,9 olmalıdır. Bu şartın
sağlanabilmesi için 3,4,6,8,9 kümesinin alt kümeleri kadar
  ve A  C  a, b olduğuna göre
A  B  C  kümesini bulalım.
Çözüm:

5
O halde, yazılabilecek B kümesinin sayısı 2  32 dir.
 
 
 
A  B  C  A  B  A  C  a, b, c, f
B yazılabilir.

Örnek:




A  B  1,2,3,4 ve A  C  1,3,5,6 olduğuna göre
Birleşim İşlemi ile İlgili Özellikler
1.
Değişme özelliği.
A B  B  A
2.

Çözüm:

 
 
  
A  B  C  A  B  A  C  1,3
Tek kuvvet özelliği
AA  A
3.

A  B  C kümesini bulalım.
Birleşme özelliği.
A  B  C  A  B  C
14
İki Kümenin Birleşiminin Eleman Sayısı



s A  ab , s B bc





 

s  A  B

   

   
Örnek:

s A B  a  b  c  a  b  b  c b
30 kişilik bir sınıftaki öğrencilerden 18 tanesi İngilizce ve 20
tanesi de bilgisayar kursuna gitmektedir. Bu iki kurstan
hiçbirine gitmeyen öğrenci olmadığına göre, bu sınıfta hem
İngilizce hem de bilgisayar kursuna gidenlerin sayısını
bulalım.

s A  B  s A  s B  s A  B dir.
Örnek:






s A  B  30 , s A  12 , s A  B  5 ise s B
kaçtır?
Çözüm:

   

s A  B  s A  s B  s A  B ise,


30  12  s B  5  s B  23 bulunur.

Çözüm:
İngilizce kursuna gidenlerin kümesi İ, bilgisayar kursuna
gidenlerin kümesi B olsun. Hem İngilizce hem de bilgisayar
kursuna gidenlerin kümesi İ  B olur.
Sınıftaki öğrenciler, İngilizce veya bilgisayar kurslarından en
az birine katıldığına göre sİ  B   30 olur. Soruda
verilenlere göre, sİ   18 ve sB   20 dir. Buna göre,

    
 kümesinin eşitini bulalım.


Örnek:

ve A  B   olduğuna göre
sA  B  nin alabileceği en büyük değeri bulalım.
s A  7,
s


30  18  20  s İ  B  s İ  B  38  30  8 bulunur.
Çözüm:
A  A  B

s İ  B  s İ  s B  s İ  B olup,

Örnek:
A  A  B

 5  3  2  6 bulunur.
s A B  b


s A B  s A  s B  s A B
s A B  a  b  c

   2 ise sA  B  2 dir.
  A  A  B

 
 A  A  A  B


B 

4
Çözüm:




s A  B en küçük iken s A  B en büyük değeri alır.

 E A B  A B
A  B   olduğuna göre

Örnek:

s A  5 , s B  3 ve s  A  B


s A  B en az 1 olur.


   2 olduğuna göre
Buna göre,

A  B kümesinin eleman sayısı kaçtır?
Çözüm:

   


s A B  s A  s B  s A B
s A  B  7  4  1  10 olur.
A  B  A  B  A  B dir.
15

Örnek:
O halde
A ve B gibi iki kümeden A nın 2, B nin 1 elemanı A  B
kümesinin elemanı değildir. A  B kümesinin öz alt küme
sayısı 63 olduğuna göre A  B kümesinin eleman sayısını
bulalım.
5
8
2  Alt Kume Sayisi  2
 32  Alt Kume Sayisi  128 dir.
Çözüm:
5
8
2  1  Öz Alt Kume Sayisi  2  1
A  B kümesinin eleman sayısı n olsun. Öz alt küme
sayısı 63 olduğuna göre
 31  Öz Alt Kume Sayisi  127 dir
Buna göre A şıkkı yanlıştır.
n
n
n
6
2  1  63  2  64  2  2  n  6 olup
A  B kümesinin eleman sayısı 6
dır. O halde sA   2  6  8 ve
Örnek:
s B  1  6  7 dir. Buna göre,
Bir spor salonunda bulunan bütün sporcuların 8’i voleybol ve
futbol, 7’si voleybol ve basketbol, 4’ü futbol ve basketbol, 3’ü
hem voleybol hem futbol hem basketbol, 18’i voleybol, 15’i
basketbol oynamaktadır. Bütün sporcuların sayısı 35 olduğu
bilindiğine göre, sadece futbol oynayanların sayısını bulalım.


   


s A B  s A  s B  s A B

s A  B  8  7  6  9 olur.
Örnek:
sA   3 ve sB   5 ise aşağıdakilerden hangisi
kesinlikle yanlıştır?
a.
A  B kümesinin alt küme sayısı 16 dır.
b.
A  B kümesinin öz alt küme sayısı 31 dir.
c.
A  B kümesinin alt küme sayısı 64 tür.
d.
A  B kümesinin öz alt küme sayısı 127 dir.
e.
A  B kümesinin alt küme sayısı 256 dır.
Çözüm:
Voleybol oynayanların kümesini V, futbol oynayanların
kümesini F, basketbol oynayanların kümesini B ile
gösterelim.
Çözüme, üç kümenin de kesişiminin
eleman sayısı yazılarak başlanır.
Sonra ikişer ikişer kesişimlerinin
eleman sayıları, daha sonra her
kümenin eleman sayıları elde
edilecek şekilde boş kalan yerler
doldurulur.
Bütün sporcuların sayısı 35 olduğundan; sadece futbol
oynayanların sayısı 35  6  5  4  3  1  7  9
bulunur.
Çözüm:


s A  3 ve s B  5 ise A  B olduğunda A  B
kümesinin eleman sayısının en az olma durumu gerçekleşir.
A  B ise sA  B   5 tir.
A  B   olduğunda A  B kümesinin eleman sayısının
en fazla olma durumu gerçekleşir.
A  B   ise sA  B   3  5  8 dir.
Örnek:
1 den 300 e kadar (1 ve 300 dahil) olan doğal sayılardan
kaç tanesi 3 veya 5 ile bölünür?
Çözüm:
1 den 300 e kadar olan doğal sayılardan 3 ile bölünebilen
sayılar; A  3,6,9,...,300 olup bunların sayısı,
Demek ki,

300  3

3
5  s A  B  8 olur.
16

 1  100 tanedir. s A  100 dür.
1 den 300 e kadar olan doğal sayılardan 5 ile bölünebilen
sayılar; B  5,10,15,...,300 olup bunların sayısı,
300  5
5

 1  60 tanedir. s B  60 tır.
1 den 300 e kadar olan doğal sayılardan hem 3 ile hem de 5
ile bölünebilen sayılar; A  B  15,30,45,...,300 olup
bunların sayısı,
300  15
15


 1  20 tanedir. s A  B  20 dir.
O halde 1 den 300 e kadar (1 ve 300 dahil) olan doğal
sayılardan, 3 veya 5 ile bölünebilenlerin sayısı,

   


s A B  s A  s B  s A B

Örnek:


 
A  1,2,3,4,5 ve B  3,5,6 olduğuna göre A  B
kümesini bulalım.
Çözüm:
A kümesinde olup B kümesinde olmayan elemanlar
1, 2, 4 tür. Buna göre, A  B  1,2,4 tür.
Örnek:

s A  B  100  60  20  140 tanedir.

 
A  1,2,3,4,5 ve B  3,5,6 olduğuna göre B  A
kümesini bulalım.
Örnek:
Çözüm:
Bir sınıftaki öğrencilerden İngilizce bilenler İ, Almanca
bilenler A ve Fransızca bilenler ile gösterilerek aşağıdaki
şemada gösterilmiştir. Buna göre sınıftaki öğrencilerden,
B kümesinde olup A kümesinde olmayan eleman 6 dır Buna
göre, B  A  6 dır.

a.
Üç dil bilenlerin sayısı;
sİ  A  F   2 dir.
b.
Sadece bir dil bilenlerin sayısı;
14  8  7  29 dur.
A  1,2,3,4,5 ve C  3,5 olduğuna göre C  A
kümesini bulalım.
c.
En az bir dil bilenlerin sayısı;
Çözüm:
Örnek:
C kümesinde olup A kümesinde olmayan eleman yoktur.
Buna göre, C  A   dir.

s İ  A  F  40 tır
d.
En çok bir dil bilenlerin sayısı; 14  8  7  0  29 dur.
e.
En az iki dil bilenlerin sayısı; 5  3  1  2  11 dir
Örnek:


 
A  a, b, c , d, e ve A  B  a, b olduğuna göre A  B
kümesini bulalım.
Kümelerde Fark İşlemi
Çözüm:
A kümesinde olup B kümesinde olmayan elemanların
oluşturduğu kümeye A fark B kümesi denir ve A-B ile
gösterilir.

Yandaki şemayı inceleyerek,
A  B  A  A  B  olduğunu
görürüz. Buna göre,
A  B  c , d, e olur.

A  B  x / x  A ve x  B
17
Örnek:



        
 sA  F   sİ  A  F 
s İ  A  F  50  9  40 olur. Her üç dili de bilen öğrenci
sayısı x olsun. sİ  A  F  x olur.
Yandaki şemaya göre A  B ,
B  A , A  C , C  A , B  C ve
C  B kümelerini liste şeklinde
yazalım.
s İ A F  s İ  s A  s F  s İ A  s İF
41  21  20  19  9  7  8  x
41  60  24  x  x  5 bulunur.
Çözüm:
Şemadan A  a, b, c , d, k, B  c , f , k, e, g ve

Örnek:

C  d, k, e, h, n, m olup, buna göre,






 










s A  10 , s B  9 , s A  B  15 ise s A  B yi

A  B  a, b, d , B  A  e , f , g , A  C  a, b, c ,
bulalım.

C  A  e, h, n, m , B  C  c , f , g , C  B  d, h, n, m
Çözüm:
bulunur.
Örnek:
s A  B  x olsun.
A ve B iki kümedir. sA   2.sB  , sA  B   10 ve
A  B kümesinin alt kümelerinin sayısı 64 olduğuna göre B
kümesinin eleman sayısını bulalım.
Çözüm:

   
s A B  s A  s B  s A B

15  10  9  x  x  4 olur.
A  B kümesinin alt kümelerinin sayısı 64 olduğuna göre,
A  B nin eleman sayısı,
n
n
6
2  64  2  2  n  6 bulunur.
 
 



s A  B  10  x  10  4  6 bulunur.
Fark İşlemi ile İlgili Özellikler
s A  s A  B  s A  B  10  6  16 olur.
1.
E ile F ayrık kümeler ise E  F  E dir.
2.
A  B ise A  B   dir.
Örnek:
3.
A  B  A  B dir.
50 kişilik bir sınıfın öğrencilerinden 21 i İngilizce, 20 si
Almanca, 19u Fransızca biliyor. Bu sınıfta, 9 öğrenci
İngilizce ve Almanca, 7 öğrenci İngilizce ve Fransızca, 8
öğrenci Almanca ve Fransızca biliyor. 9 öğrenci de bu üç
dilden hiçbirini bilmiyor. Buna göre her üç dili bilen kaç
öğrenci olduğunu bulalım.
4.
E  A  A ve E  A  A dır.
5.
s A  B  s A  B  s B  A  s A  B dir.




s A  2.s B  2.s B  16  s B  8 dir.
Çözüm:
9 öğrenci hiçbir dili bilmediğinden,

 
 
 
Örnek:
A  B  A  B kümesinin eşitini bulalım.
18


Çözüm:
Örnek:
1.Yol:
s A  7 ve s A  B  15 olduğuna göre A  B nin
 


eleman sayısını bulalım.
A  B  A  B olduğu için,
Çözüm:
A  B  A  B  A  B  A  B


Yandaki şemada x, y , z, t
bulundukları bölgenin eleman
sayılarını göstermektedir.
 A  B  B  A  E  A olur.
2.Yol
Aşağıdaki şekilde 1. şekilde A  B kümesi, 2. şekilde
A  B kümesi, 3. şekilde A  B   A  B  kümesi taralı
olarak verilmiştir.
Soruda verilenlere göre,
sA   z  t  7 ,
s A  B  s  A  B





   x  z  t  15


s A  B  x olur. Buna göre
x  z  t  15  x  7  15  x  8 bulunur. O halde

Uyarı
Örnek:


s A  B  8 dir.
Buna göre, A  B  A  B  A dır.


  
olduğuna göre sB  nin değerini bulalım.

s A  B  33 , s A  B  2.s A  B  3.s B  A

Çözüm:

 




s A  B  s A  B  6 x ise,
Küme problemlerinin çözümünde aşağıdaki pratik şema
yöntemini kullanabiliriz.
Şemada x, y , z, t bulundukları bölgenin eleman sayılarını
göstermektedir. İngilizce bilenlerin kümesi İ, Almanca
bilenlerin kümesi A ve sınıftaki bütün öğrencilerin kümesi S
olsun.

Sadece İngilizce bilenlerin
sayısı, sİ  A   x tir.
s A  B  3 x ve s B  A  2 x olur.
Verilenlere uygun şema yanda
gösterilmiştir.


Sadece Almanca bilenlerin
sayısı, sA  İ   z dir.
s A  B  6x  3x  2x  11x
ise,
11x  33  x  3 tür.

s B  3 x  2 x  5 x  5.3  15 bulunur.
Almanca ve İngilizce bilenlerin sayısı, sİ  A   y dir.
İngilizce bilenlerin sayısı, sİ   x  y dir.
İngilizce bilmeyenlerin sayısı, sİ   z  t dir
İngilizce veya Almanca bilenlerin sayısı,


s İ  A  x  y  z dir.
19
İngilizce veya Almanca dillerinden en az birini bilenlerin
sayısı, sİ  A   x  y  z dir.
Bu sınıfta en çok bir dil bilenlerin sayısı, x  z  t dir.
topluluktakilerin sayısına eşittir. Buna göre bu topluluktaki
kişi sayısı,
4  2  6  1  3  4  2  22 dir.
Örnek:
Örnek:
Bir sınıfta; futbol veya basketbol oyunlarından sadece birini
oynayan 12, en az birini oynayan 18 ve en çok birini
oynayan 16 öğrenci vardır. Buna göre sınıfın mevcudu
kaçtır?
İngilizce ve Almanca dillerinden en az birini bilenlerin
oluşturduğu 13 kişilik bir grupta İngilizce bilenlerin hepsi
Almanca bilmektedir. Yalnız Almanca bilenlerin 8 kişi olduğu
bu grupta İngilizce bilenlerin kaç kişi olduklarını bulalım.
Çözüm:
Çözüm:
Verilenlere uygun şema yanda
verilmiştir.
Sadece bir oyun oynayanların
sayısı, x  z  12 dir.
En az bir oyun oynayanların
sayısı x  y  z  18 dir.
x  8  13  x  5 tir.
Buna göre bu grupta İngilizce bilenlerin
sayısı 5 tir.
En çok bir oyun oynayanların sayısı x  z  t  16 dır.
x  z  12 ve x  z  t  16 olduğuna göre,
12  t  16  t  16  12  4 bulunur. Buna göre sınıfın
Uyarı
Küme ile ilgili problem tipindeki soruların çözümünde
a.
Soru ifadesi en az, en çok, sadece gibi kelimeleri
içeriyorsa şema yapıp, değişkenler kullanılarak çözüme
gidilir.
Örnek:
b.
Almanca, İngilizce ve Fransızca dillerinden en az birini
bilenlerin oluşturduğu bir toplulukta; Almanca bilenlerin
sayısı 10, İngilizce bilenlerin sayısı 15, Fransızca bilenlerin
sayısı 10, Almanca ve İngilizce bilenlerin sayısı 5, İngilizce
ve Fransızca bilenlerin sayısı 7, Fransızca ve Almanca
bilenlerin sayısı 4, Üç dili de bilenlerin sayısı 3 tür. Buna
göre bu toplulukta kaç kişi vardır?
Soru ifadesinde kümelerin kesişimlerine ve
birleşimlerine ait bilgiler olumlu cümlelerle verilmişse,
kümeler şema ile gösterilir. Bilgiler sondan başa doğru
şemada yazılarak çözüme gidilir.
c.
b şıkkına uyan sorular ve kümelerin eleman sayıları
arasında bağıntılar verilen soruların çözümünde
formülden yararlanılır.
mevcudu, x  y  z  t  18  4  22 dir.
Çözüm:
Almanca bilenlerin sayısı 10, İngilizce
bilenlerin sayısı 15, Fransızca
bilenlerin sayısı 10, Almanca ve
İngilizce bilenlerin sayısı 5, İngilizce
ve Fransızca bilenlerin sayısı 7,
Fransızca ve Almanca bilenlerin
sayısı 4, Üç dili de bilenlerin sayısı 3
tür.
Verilen eleman sayılarını sondan başlayarak başa doğru
şemada belirtelim. Şemadaki sayılar bulundukları bölgelerin
eleman sayılarını göstermektedir. Bu sayıların toplamı
ÇÖZÜMLÜ SORULAR
1.

 
 

A  B  C  A  B  A  C eşitliğinin
doğruluğunu gösteriniz.
Çözüm:



A  BC  A  BC


 A  B  C
20
A  B  A  B

( De Morgan Kuralı)

 

6.

 

Çözüm:

 
 A  A  B  C (Tek Kuvvet Özel.)
 A  B  A  C (Birleşme Özelliği)

Alt küme sayısı ile öz alt küme sayısının toplamı 127
olan bir kümenin eleman sayısı kaçtır?
Bu kümenin eleman sayısı n olsun. Buna göre kümenin alt
 A  B  A  C bulunur.
n
n
küme sayısı 2 ve öz alt küme sayısı 2  1 dir.
2.
A  B kümesinin A  B kümesine eşit olduğunu
bulalım.
O halde,
n
n
n
n
2  2  1  127  2.2  128  2  64  n  6
Çözüm:
bulunur.
A  B  A  B olduğundan,
A  B  A  B  A  B  A  B bulunur.
3.
A  B  A  B ifadesini en sade biçimde yazalım.
A  a, b, c , d, e, f , g kümesinin, alt kümelerinden kaç
tanesinde c elemanı bulunur; e elemanı bulunmaz?
7.
Çözüm:
Çözüm:
e elemanını daha sonra yazmak için, c elemanını da hiç
yazmamak üzere, A kümesinden ayıralım.
A  B  A  B  A  B  B  A  E  A bulunur.
a, b, d, f , g kümesinin elemanları ile 2 5  32 tane alt
4.


B  x / 0  x  6 ve x  Z olduğuna göre A  B
A  x / - 6  x  4 ve x  Z ve
kümesini belirtelim.
Çözüm:
8.
Bir basamaklı asal sayılardan oluşan kümenin alt küme
sayısı kaçtır?
Çözüm:


A   6,5,4,3,2,1,0,1,2,3,4 ve

Bir basamaklı asal sayıların kümesi, A  2,3,5,7 dir.


B  0,1,2,3,4,5,6 olup,
s A  4 olduğundan alt küme sayısı, 2


A  B  A  B   6,5,4,3,2,1 dır.
5.
küme yazılabilir. Bu alt kümelerin her birine c elemanı
eklenir ve e elemanı eklenmezse istenen şartlarda 32 tane
alt küme yazılabilir.

 
 
9.
 16 dır.
A, A  B, B kümelerinin alt küme sayıları sırasıyla 64,
8, 32 olduğuna göre A  B kümesinin alt küme sayısı

kaçtır?
A  B  C  A  B  A  C olduğunu gösteriniz.
Çözüm:
Çözüm:

4


A  BC  A  BC



 A  B  C

 

 
A, A  B, B kümelerinin alt küme sayıları sırasıyla 64, 8, 32

olduğu için,
 A  B  A  C
 A B  A C


2
2
21
   64  2 6  sA   6 dır.
s A

s A B
  8  2 3  sA  B  3 tür.
2
   32  2 5  sA   5 tir.
Buna göre sA  B  nin en küçük değeri,
sB


   



s A  B  s A  s B  s A  B ise,
s A  B  6  5  3  8 dir. A  B kümesinin alt küme
sayısı,
2

s A  B  2.3  5  11 dir.
Buna göre,
12. sA   9 ve sB   5 olduğuna göre sA  B  nin
alabileceği en büyük değer kaçtır?
Çözüm:

s A B
  2 8  256 bulunur.


s A  B en büyük değerini B  A olduğunda alır. B  A
seçilirse,
10. sA  B  sA  B  sB  A  , sB   7 ve





 
s A  B  s B  5 olur.
s A  B  4 olduğuna göre s A  B kaçtır?
13. B  A olmak üzere sA   x  2 ve sB   x dir.
Çözüm:


s A  B nin alabileceği en büyük değer 5 olduğuna

   
  
sA  B  sA  B  sB  A   x olsun.
s A  B  s A  B ve s B  A  s B  A dır.
göre sA  B  kaçtır?
Çözüm:
 

s A  B  s A  B
  4
 
s B  x  4  7  x  3 tür.
B  A iken sA  B  en büyük olur. Ancak soruda B  A
verildiği için B  A nın eleman sayısı en az 1 olmalıdır.


s A  B nin alabileceği en büyük değer 5 olduğuna göre,
Buna göre,

x  1  5  x  6 dır.

s A  B  x  x  x  9 dur.
Buna göre,
11. sA   x  2 , sB   3x  1 , sA  B  2x  5 ve


A  B   olduğuna göre s A  B en az kaçtır?

bulunur.
14. sA   9 , sB   5 ve A  B   olduğuna göre,
Çözüm:

   
s A B  s A  s B  s A B

2x  5  x  2  3x  1  s A  B


s A  B nin alabileceği en büyük değer kaçtır?
Verilenlere göre,


s A  B  2x  3  2.6  3  15




Çözüm:



büyük olur.

s A  B  4 x  1  2x  5  2x  4 olur.


A  B   olduğu için s A  B  1 iken s A  B en
Verilenlere uygun şema yanda
verilmiştir.
Buna göre sA  B  nin
alabileceği en büyük değer,

A  B   ise s A  B  0 dır.
2x  4  0  x  2 dir. Buradan x, en az 3 tür.


s A  B  8  1  4  13 tür.
22
15. sA  B  9 , sA  B   x , sA   6 x ve
2



Çözüm:

s A  B  5 olduğuna göre s A  B kaçtır?
B  A ise A nın eleman sayısının
en çok olabilmesi için sB  A   1
olmalıdır.
Çözüm:

 

s A  B  s A  B  9 dur.

 



s A  B  8 olduğuna göre, s A  7 olur.

s A  B  s B  A  5 tir. Verilenlere uygun şema
yapılırsa,
A  B  A  C   , sB  C  8 ve

s A  B  C    5 olduğuna göre sA  kaçtır?


18.

2
2
s A  x  9  6x  x  9
2
 x  6x  9  0

 x3
2  0  x  3 tür.
Buna göre sA  B   9  x  5  14  3  23 olur.
2
2


Çözüm:
E evrensel küme ve sA   x olsun.
A  B  A  C  A  B  C   olacak şekilde
verilenlere uygun şema çizilirse,
s B  C  s  B  C
16. A ve B kümeleri için evrensel küme E olmak üzere
A  B  A  A  B 


kümesinin eşitini bulalım.




   x  5 tir.

s B  C  8 olduğundan,
Buradan, sA   x  3 bulunur.
A  B  A  A  B 



 

 

  

 A  B  A  A  B

 
 A  B  A  A  A  B
 A  B  E  A  B
19. A,B ve C kümeleri için evrensel küme E olmak üzere,
sA   sB   8 , sA   sB   10 , sC   5
  A  B  A  B

17. A ve B kümeleri için A  B , B  A , sA  B   8 ,

s A  B  2 olduğuna göre, A kümesinde en çok kaç
tane eleman olabilir?
olduğuna göre sC  kaçtır?

 A  B  B  A    A


x  5  8  x  8  5  3 olur.
Çözüm:


Çözüm:
  
  
s A  s B  8 ve s A  s B  10 eşitliğinin taraf
tarafa toplarsak,
     
s A  s B  s A  s B  8  10
     
 
s A  s A  s B  s B  18  s E  s E  18


 2.s E  18  s E  9 dur.
   
s C  s C  s E olduğundan,


s C  5  9  s C  9  5  4 bulunur.
23
20. A ve B kümeleri için evrensel küme E olmak üzere,
E  x / x  3k , x  12, k  N, A  3,6 ,
 
B  9,6 olduğuna göre A  B kümesini bulunuz.
Çözüm:
Çözüm:
A kümesindeki elemanlar 300 den küçük 4 ün katı olan
pozitif tam sayılardır.
B kümesindeki elemanlar 350 den küçük 6 nın katı olan
pozitif tam sayılardır.


E  0,3,6,9 olup verilenlere
uygun şema çizilirse,
Buna göre A  B  3
bulunur.
4 ile 6 nın e.k.o.k. u 12 olduğuna göre A  B kümesindeki
elemanlar 300 den küçük 12 nin katı olan pozitif tam
sayılardır.


A  B  x / x  12k , x  300, k  Z dir.
elemanlar 300 den küçük 12 nin katı olan pozitif tam
sayıları; 12,24,48,…,288 olup bunların sayısı
21. A ve B kümeleri için evrensel küme E olmak üzere
sA  B   3 , sA  B   30 ve sA   sB   47
288  12
olduğuna göre sE  kaçtır?
12

276
12
 1  23  1  24 olduğundan,

s A  B  24 tür.
Çözüm:
s A  B  s  A  B

1





   3

 kümeleri veriliyor.
23. A  x / x  3k , x  100, k  Z ve

B  x / x  5k , x  150, k  Z

sA  B   s A  B    30


Buna göre sA  B  kaçtır?
Çözüm:
Yandaki şemada verilenlere
göre,
s A  B


   30

ise,
A kümesinin elemanları 1,100 aralığındaki 3 ün katı olan
3,6,9,…,99 pozitif tam sayıları olup bunların sayısı,
99  3
x  z  3  30  x  z  27
3
1
96
33

 1  32  1  33 olduğundan, s A  33
tür.
 
s A  s B  47 ise,
 
x  y  y  z  47  x  z  2y  47  27  2y  47
B kümesinin elemanları 1,150 aralığındaki 5 in katı olan
5,10,15,…,150 pozitif tam sayıları olup bunların sayısı,
 2y  47  27  20  y  10 dur. Buna göre,
150  5
5

s E  x  y  z  3  27  10  3  40 tır.



 kümeleri veriliyor.
22. A  x / x  4k , x  300, k  Z ve
B  x / x  6k , x  350, k  Z
Buna göre sA  B  kaçtır?
1

145
5
 1  49  1  50 olduğundan,
s B  50 dir.
3 ile 5 in e.k.o.k. u 15 olduğuna göre A  B kümesindeki
elemanlar 1,100 aralığındaki 15 in katı olan 15,30,45,…,90
pozitif tam sayıları olup bunların sayısı,
90  15

15
1

75
5
 1  5  1  16 olduğundan,
s A  B  16 dır.
24
O halde,
Çözüm:

   


s A B  s A  s B  s A B

Verilenlere uygun şema yanda
verilmiştir. Şemadaki sayılar
bulundukları bölgenin eleman sayısını
göstermektedir. Buna göre kafilede,
s A  B  33  50  6  57 bulunur.
24. E evrensel küme olmak üzere sE   9 ,
sA  B   3 , sA  B   6 ve sB   4 olduğuna
göre, A kümesinin tümleyeni olan A kümesinin kaç
tane elemanı vardır?
Çözüm:


s F  B  V  8  6  3  5  3  4  3  32 kişi vardır.
26. A  Gözlüklüögrenciler , B  Ceketli ögrenciler ,

 

göre C  A   B  D kümesini bulunuz.
C  Erkek ögrenciler , D  Kiz ögrenciler olduğuna
Verilenlere uygun şema yanda
verilmiştir.
 
 

s B  s A  B  s B  A ise,


4  3  s B  A olup



 


 


s A B  s A B  s B  6  s A B  4
s A  B  6  4  2 bulunur.
 

9  6  s A  B







  ise,


C  A   B  D  Ceketli olmayan gözlüklüögrenciler
27. 30 kişilik bir sınıfta İngilizce kursuna giden 16 öğrenci,
Almanca kursuna gitmeyen 15 öğrenci ve hem İngilizce
hem de Almanca kursuna giden 5 öğrenci olduğuna
göre, sadece Almanca kursuna giden kaç öğrenci
vardır?
   s A  B   9  6  3 bulunur.


C  D  Gözlüklü erkek ögrenciler
B  D  Ceketli veya kiz ögrenciler
s B  A  4  3  1 bulunur.
s E  s A  B  s A  B
Çözüm:

Çözüm:
Verilenlere uygun şema yanda
verilmiştir. Şemadaki sayılar
bulundukları bölgenin eleman
sayısını göstermektedir.
Buna göre, sA   sB  A   s A  B    1  3  4



bulunur.
25. Futbol, basketbol ve voleybol oynayanlardan oluşan bir
sporcu kafilesinde futbol oynayanlar 22, basketbol
oynayanlar 16, voleybol oynayanlar 15, futbol ve
basketbol oynayanlar 9, futbol ve voleybol oynayanlar
8, basketbol ve voleybol oynayanlar 7, üç oyunu da
oynayanlar 3 kişidir. Buna göre bu kafilede kaç kişi
vardır?
Buna göre,
Sınıf mevcudu, x  y  z  t  30
İngilizce kursuna giden öğrenci sayısı, x  y  16
Almanca kursuna gitmeyen öğrenci sayısı, x  t  15
İngilizce ve Almanca kursuna giden öğrenci sayısı, y  5
tir.
25
x  y  16  x  5  16  x  11 dir.
x  t  15  11  t  15  t  4 tür.
x  y  z  t  30  16  z  4  30  z  30  20  10
Buna göre, sadece Almanca kursuna giden öğrenci sayısı,
z  10 dur.
n n
      n  5  3  8 dir.
5 3
30. A  a, b,1,2,3,4,5,6 kümesinin 4 elemanlı alt
kümelerinin kaç tanesinde a elemanı bulunur, ama b
elemanı bulunmaz?
Çözüm:
28. En az bir yabancı dil bilenlerin bulunduğu bir sınıfta,
Fransızca bilenlerin hepsi Almanca, Almanca bilenlerin
hepsi İngilizce bilmektedir. Almanca bilenler 9,
Fransızca bilmeyenler 8, Fransızca bilenlerle sadece
İngilizce bilenler toplamı 5 kişi olduğuna göre, bu
sınıfın mevcudu kaçtır?
Çözüm:
Yabancı dil bilmeyen olmadığı için F  A  İ kümesi
evrensel kümedir.
İstenen koşullara uygun 4 elemanlı alt kümeleri oluşturmak
için A kümesinden a ve b elemanlarını ayırıp kalan 6
elemanla üç elemanlı alt kümeler oluşturmalıyız. Oluşan alt
kümelerin hepsine a elemanını yazmalıyız. Buna göre 6
elemanlı 1,2,3,4,5,6 kümesinin 3 elemanlı alt kümelerinin
sayısı,
6
  
3
6!
6  3!.3! 
6.5.4
3!
 20 dir.
Fransızca bilenlerin hepsi Almanca,
Almanca bilenlerin hepsi İngilizce
bildiği için F  A  İ dir.
Bu durumda A kümesinin 4 elemanlı alt kümelerinin 20
tanesinde a bulunur, ama b bulunmaz.
Almanca bilenlerin sayısı, x  y  9
dur.
Fransızca bilenlerle sadece İngilizce bilenler toplamı,
x  z  5 tir.
31. Bir sınıfta matematik dersinde başarı gösterenlerin
sayısı sınıf mevcudunun % 80 i, matematik dersinden
3’ ün üzerinde not alanların sayısı, başarı gösterenlerin
sayısının % 20 sidir. Aynı sınıfta, fizik dersinde başarı
gösterenlerin sayısı sınıf mevcudunun % 90 ı dır. Bu
sınıfta fizik dersinde başarı gösterenlerden matematik
notu 3’ün üzerinde olanların sayısı, sınıf mevcudunun
en az yüzde kaçıdır?
Bu üç eşitliği taraf tarafa toplarsak,
Çözüm:
xyyzxz  985
Sınıfta 100 öğrenci bulunduğunu kabul edersek,
2x  2y  2z  22  x  y  z  11 dir.
Matematikte başarı gösterenlerin sayısı,
Fransızca bilmeyenlerin sayısı, y  z  8 dir.
Buna göre bu sınıfın mevcudu, x  y  z  11 kişidir.
29. n elemanlı bir kümenin 5 elemanlı alt kümelerinin
sayısı, 3 elemanlı alt kümelerinin sayısına eşittir. Buna
göre n kaçtır?
100.
 80 kişidir.
Matematikten 3’ün üzerinde not alan kişi sayısı,
80.
Çözüm:
n elemanlı bir kümenin 5 elemanlı alt kümelerinin sayısı, 3
80
100
20
100
 16 kişidir.
Fizik dersinde başarı gösterenlerin sayısı,
elemanlı alt kümelerinin sayısına eşit ise,
100.
26
90
100
 90 kişidir.
Fizik dersinde başarı gösterenlerden matematik notu 3’ün
üzerinde olanların sayısının en az olması için matematikten
3’ün üzerinde not alan 16 kişinin en çoğunun Fizikten
başarısız olmasını düşünmeliyiz. 100 kişilik sınıfta Fizikten
başarısız olan 10 kişi olduğuna göre matematikten 3’ün
üzerinde not alan 16 kişiden 10 tanesi Fizikten başarısız
olmuş olsa en az 16  10  6 kişi hem fizikten başarılı olup
hem de matematikten 3’ün üzerinde not almış olacaktır.
Buna göre istenen cevap % 6 dır.
32. Eleman sayıları farkı 3 olan iki kümenin alt küme
sayıları toplamı 72 olduğuna göre, bu iki kümenin
eleman sayıları toplamı kaçtır?
Çözüm:
x3
7!
7  3!.3!

7.6.5
6
 35 tanedir.
Bu 35 tane alt kümenin bazılarında hiç tek sayı yoktur
(Hepsi çift sayıdır). Bunların sayısı 2,4,6 kümesinin 3
elemanlı alt kümeleri sayısı kadardır.
3
   1 olduğuna göre,
3


A  1,2,3,4,5,6,7 kümesinin 3 elemanlı alt kümelerinin
35  1  34 tanesinde en az bir tek sayı vardır.
Bir kümenin eleman sayısı x + 3 ise diğer kümenin eleman
sayısı x tir. Alt küme sayıları toplamı 72 olduğuna göre,
2
7
  
3




35. A  x/ x  R, x  3 ve B  x/ x  R, x  5
olduğuna göre, A  B kümesini bulunuz.
x
3 x
x
 2  72  2 .2  2  72
Çözüm:
x
x
x
 8.2  2  72  9.2  72
x
3
x
3
2 82 2 2 x3
x  3 ise x  3 veya x  3 tür. Buna göre A kümesi
şekilde kalın koyu çizgi ile gösterilmiştir.
bulunur.
Buna göre iki kümenin eleman sayıları toplamı,
x  3  x  3  3  3  9 dur.
33. 4 elemanlı bir kümenin en az 3 elemanlı alt küme
sayısı kaçtır?
x  5 ise  5  x  5 tir. Buna göre A kümesi şekilde
kalın koyu çizgi ile gösterilmiştir.
Buna göre A  B kümesi koyu kalın çizgi ile şemada
gösterilmiştir.
Çözüm:
İstenen; 3 elemanlı ve 4 elemanlı alt kümelerin sayıları
toplamıdır. Buna göre,
4 4
      4   5 tir.
3 4
34. A  1,2,3,4,5,6,7 kümesinin 3 elemanlı alt
kümelerinden kaç tanesinde en az bir tane tek sayı
bulunur?
O halde

  
A  B   5,3  3,5 tir.
36. A kümesinin alt kümelerinden 4 tanesi aynı zamanda B
kümesinin de alt kümesidir. sA  B   4 ve




s A  B  3 olduğuna göre, s A  B kaçtır?
Çözüm:
7 elemanlı A kümesinin 3 elemanlı bütün alt kümeleri sayısı,
27
Çözüm:
Bu sonuç yukarıdaki eşitliklerde değerlendirilirse,
A kümesinin alt kümelerinden 4 tanesi aynı zamanda B
kümesinin de alt kümesi ise, A  B kümesinin alt küme
sayısı 4 tür. Buna göre,
2

2
  4  2 2  sA  B  2 dir.

 


s A B
2


 
 

s A  B  3 , s A  B  2 ve s B  A  4
38. A ve B kümeleri için evrensel küme


 



 
 
E  x/ x  N, x2  36 dir. A  1,3,4 ve B  2,4
olduğundan,
s A B  s A B  s A B  s B  A
   21  30  2 sB  32  sB  5 tir.
sB
Buna göre sA   sB  3  5  8 dir.

s A  B  s B  A  4 tür.

   21  6  2 sA   8  sA   3 tür.
s A
olduğuna göre A  B kümesini bulunuz.

s A  B  3  3  4  9 bulunur.
Çözüm:

 

 
E  0,1,2,3,4,5 olup A  1,3,4 ise A  0,2,5 tir.
37. A kümesinin alt kümelerinden 6 tanesi B kümesinin alt
kümesi değildir. B kümesinin alt kümelerinden 30
tanesi A kümesinin alt kümesi değildir. A  B
kümesinin alt kümelerinden 2 tanesi hem A kümesinin
hem de B kümesinin elemanı olduğuna göre
sA   sB  kaçtır?
 


B  2,4 ise B  0,1,3,5 tir. Buna göre
 
A  B  0,5 bulunur.
39. A ve B kümeleri için evrensel küme
Çözüm:


 
E  x/ x  Z , 2x - 1  33 tür. A  1,2 ve
 
A  B kümesinin alt kümeleri; hem A kümesinin hem de B
B  2,3 olduğuna göre A  B kümesini bulunuz.
kümesinin alt kümeleridir.
A kümesinin alt kümelerinden 6 tanesi B kümesinin alt
kümesi değilse, A kümesinin bütün alt kümeleri sayısından
A  B kümesinin alt kümeleri sayısı çıkarılırsa sonuç 6 dır.
Buna göre, 2
   2 sA  B  6 dır.
s A
B kümesinin alt kümelerinden 30 tanesi A kümesinin alt
kümesi değilse, B kümesinin bütün alt kümeleri sayısından
A  B kümesinin alt kümeleri sayısı çıkarılırsa sonuç 30
dur.
Buna göre, 2
   2 sA  B  30 dır.
sB
Çözüm:


 

B  2,3 ise B  1,4,5,6 tir. Buna göre
A  B  1,3,4,5,6 bulunur.

E  1,2,3,4,5,6 olup A  1,2 ise A  3,4,5,6 dır.
40. A   olmak üzere, öz alt küme sayısı n olan bir A
kümesinin eleman sayısı 2 katına çıkarılırsa öz alt
küme sayısı kaç katına çıkar?
Çözüm:

A  B kümesinin alt kümelerinden 2 tanesi hem A
s A  x olsun. A nın öz alt küme sayısı n ise,
kümesinin hem de B kümesinin elemanı olduğuna göre,
A  B kümesinin alt küme sayısı 2 dir.
x
x
2  1  n  2  n  1 dir.
O halde,
A kümesinin eleman sayısı 2 katına çıkarılırsa yani,
sA   2 x olursa öz alt küme sayısı,
2

s A B
  2  21  sA  B  1 dir.
28
2
2x

 1  2x
2

Çözüm:
2  1
1  n 1




 n  1  1 . n  1  1  n. n  2

Soruda verilenlere uygun şema aşağıdadır.
s A  B  s  A  B
    8



sA  B   s A  B    5



olur. Buna göre, öz alt küme sayısı n nin n + 2 katıdır.
41. A  a, b, c ve D  a, b, c , d, e, f , g kümeleri veriliyor.
A  B  D şartını sağlayan en çok kaç tane B kümesi
vardır?
x  y  5  8  x  y  3 tür. Buna göre,


s A  B  x  y  2  3  2  5 tir.
Çözüm:
A  B  D şartını sağlayan B kümesinin eleman sayısı en
çok D  A nın alt küme sayısına eşittir.




44. A ve B kümeleri için, sA   3.sB  4.sA  B ,




D  A  d, e, f , g ve s D  A  4 tür.
4
O halde istenen koşullara uygun 2  16 tane küme vardır.
42. E evrensel küme olmak üzere A  B  C  E , C  B ,
A  C   , sA  B   5 , sB   10 ve sC   12
olduğuna göre sC  kaçtır?
Çözüm:
 
 

s A  5 ve s B  21 olduğuna göre s A  B

A  a, b, c ve D  a, b, c , d, e, f , g olduğuna göre,

kaçtır?
Çözüm:

s A  B  3 x ve s  A  B






   y olsun. Buna göre,


s A  3.s B  4.s A  B olduğundan,


s A  12 x ve s B  4 x tir.
 
 

s A  s A  B  s A  B  12 x ise,
Verilenlere uygun şema
tanda verilmiştir. Şemadaki
sayılar bulunduğu bölgenin
eleman sayısını
göstermektedir.


s A  B  12 x  3 x  9x tir.
 
 
s C  x  y  5  12  x  y  7 dir.

Buna göre, sC   z  3 bulunur.
olduğuna göre sA  B  kaçtır?

sB  A   4 x  3x  x tir.
Verilenlere uygun şema yanda
verilmiştir.
s B  x  y  z  10  7  z  10  z  10  7  3 tür.
43. A ve B kümeleri için evrensel küme E olmak üzere
sA  B   8 , sA  B   5 ve sA  B   2
 
s B  s B  A  s A  B  4x
ise,
 
s A  x  y  5 ve
 
s B  9 x  y  21 eşitliklerinden x  2 ve y  3 bulunur.
Buna göre, sA  B  9 x  9.2  18 bulunur.
45. A ve B kümeleri için E evrensel küme olmak üzere,
sE   18 , sA  B   3 , sA  B   5 ve




s A  B  4 olduğuna göre, s B  A kaçtır?
29
Çözüm:
Çözüm:

sA  B   sA  B 

 


 

3
Bu topluluktaki genç ( yaşlı olmayan ) insanları G, yaşlı
insanları Y, hasta insanları H ve hasta olmayanları H ile
gösterelim. Bu kümeler aşağıdaki gibi olsun.
Bu toplulukta 12 insan hasta
ise, x  y  12 dir.
s A  B  s A  B  5
s B  A  s A  B  x
olsun.

s E  x  5  4  3  18  x  6 dır. O halde,


s B  A  6 bulunur.
Çözüm:
10 dan 99 a kadar olan doğal sayılardan 3 ile bölünebilen
sayılar; A  12,15,18,...,99 olup bunların
99  12
3

 1  30 tanedir. s A  30 dur.
10 dan 99 a kadar olan doğal sayılardan 4 ile bölünebilen
sayılar; B  12,16,20,...,96 olup bunların
sayısı,
96  12
4
Bu toplulukta 28 insan yaşlı veya hasta ise, x  y  t  28
dir.
x  y  t  28  12  t  28  t  16 olur.
46. 3 veya 4 ile tam bölünebilen iki basamaklı kaç tane
doğal sayı vardır?
sayısı,
Bu toplulukta 12 insan hasta
değilse, z  t  24 tür.
z  t  24  z  16  24  z  24  16  8 olur. Buna
göre, hasta olmayan gençlerin sayısı z  8 dir.
48. Bir sınıftaki öğrencilerin % 50 si matematikten, %60 ı
kimyadan başarılı ve % 20 si ise iki dersten de
başarılıdır. Sadece matematikten başarılı olan
öğrenciler 12 kişi olduğuna göre, iki dersten de başarılı
olan kaç öğrenci vardır?
Çözüm:
Bu sınıfın mevcudu sS   10 x olsun. Her iki dersten de
başarılı olanlar sınıfın % 20 si olduğuna göre,


s M  K  10 x.

 1  22 tanedir. s B  22 dir.
20
100
 2 x tir.
Matematikten başarılı olanlar sınıfın % 50 si ise,
10 dan 99 a kadar olan doğal sayılardan hem 3 ile hem de 4
ile bölünebilen sayılar; A  B  12,24,36,...,96 olup
bunların
sayısı,
96  12
12


 1  8 tanedir. s A  B  8 dir.
O halde 10 dan 99 a kadar (10 ve 99 dahil) olan doğal
sayılardan, 3 veya 4 ile bölünebilenlerin sayısı,

   


s A B  s A  s B  s A B
 
s M  10 x.
50
100
 5 x tir.
Kimyadan başarılı olanlar sınıfın % 60 ı ise,

s K  10 x.
60
100
 6 x tir.
Verilenlere uygun olarak şema düzenleyelim.

Sadece Matematikten başarılı
olanların sayısı 12 olduğundan,
3x  12  x  4 tür.
Buna göre, iki dersten de
başarılı olan öğrenci sayısı,
s A  B  30  22  8  44 tanedir.
47. Bir topluluktaki insanların 12 tanesi hasta, 24 tanesi
hasta değildir. Bu toplulukta yaşlı veya hasta olanların
sayısı 28 olduğuna göre, hasta olmayan gençlerin
sayısı kaçtır? (Gençlerin kümesi yaşlı olmayanların
kümesidir.)


s M  K  2 x  2.4  8 kişidir.
KONU BİTMİŞTİR.
30
31