Aralığın İç Noktasında Süreksizliğe Sahip Dirac Operatörünün

C.Ü. Fen-Edebiyat Fakültesi
Fen Bilimleri Dergisi (2005)Cilt 26 Sayı 1
Aralığın İç Noktasında Süreksizliğe Sahip Dirac Operatörünün
Spektral Özellikleri
R. Kh. AMİROV ve Y. GÜLDÜ
Cumhuriyet Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü
58140 Sivas
[email protected], [email protected]
Received:17.07.2006, Accepted: 06.09.2006
Özet: Bu çalışmada sonlu aralığın iç noktasında süreksizlik koşuluna sahip Dirac operatörü için spektral
verilerin özellikleri araştırılmıştır.
Anahtar kelimeler: Operatör, Spektrum, Dirac Operatör
Spectral Properties of Dirac Operator With Discontinuity Conditions
Inside an Interval
Abstract: We study properties of spectral datas for the Dirac operator on a finite interval with
discontinuity conditions inside the interval.
Key Words: Operator, Spectrum, Dirac Operator
1. Giriş
Dirac operatörü için [0, ∞ ) yarı ekseninde spektral fonksiyona göre ters problem
M. G. Gasimov ve B. M. Levitan[1] tarafından çözülmüştür. Bu çalışmada p(x) ve
q(x ) [0, ∞ ) yarı ekseninin her sonlu aralığında sürekli, reel fonksiyonlar ve
11
 0 1
 , Q(x) =
B = 
 −1 0
 p ( x) q ( x ) 
 y ( x, λ ) 
 , y ( x, λ ) =  1


 q ( x) − p ( x) 
 y 2 ( x, λ ) 
olmak üzere
B
dy
+ Q ( x ) y = λy , 0 < x < ∞
dx
y1 (0) = 0,
y 2 (π ) + Hy1 (π ) = 0
y1 (0) = 0 ,
y 2 (π ) + H 1 y1 (π ) = 0
(1.1)
(1.2)
H1 ≠ H
(1.2’)
 ϕ ( x, λ ) 
 , (1.1) denkleminin
sınır problemi ele alınmıştır. Bu takdirde ϕ ( x, λ ) =  1
 ϕ 2 ( x, λ ) 
ϕ1 (0, λ ) = 0 , ϕ 2 (0, λ ) = −1
(1.3)
başlangıç şartlarını sağlayan çözümü, monoton artan ρ (λ ) (−∞ < λ < ∞) fonksiyonu
(1.1), (1.2) probleminin spektral fonksiyonu ve her f ( x) ∈ L2 (0, ∞) fonksiyonu için
n
Fn (λ ) = ∫ f T ( x)ϕ ( x, λ )dx
0
olacak biçimde
∞
lim
n →∞
∫ {F (λ ) − F (λ )}
2
n
d ρ (λ ) = 0
−∞
olmak üzere
∞
∫f
0
∞
T
( x ) f ( x )dx = ∫ F 2 (λ )d ρ (λ )
(1.4)
−∞
Parseval eşitliğinin sağlandığı gösterilmiştir.
İki spektruma göre regüler Dirac operatörünün belirlenmesi problemi M. G.
Gasimov ve C. Cebiyev[2] tarafından yapılan çalışmada verilmiştir. Bu çalışmada
aşağıdaki önemli teoremler ispatlanmıştır:
Teorem 1.1:
{λn }∞− ∞
ve
{µ n }∞−∞
dizileri sırası ile (1.1), (1.2) ve (1.1) (1.2′)
problemlerinin özdeğerleri ise
αn =
H1 − H
µ n − λn
∞
∏
k = −∞
'
λk − λn
, (n = 0,m1,m2,K)
µn − µ k
dir.
12
(1.5)
Teorem 1.2: p(x) ve q(x ) , [0, π ] aralığında tanımlı reel fonksiyonlar ve k. mertebeden
türevleri L2 (0, π ) de olacak biçimde {λ n }− ∞ ve {µ n }−∞ dizileri sırası ile (1.1), (1.2) ve
∞
∞
(1.1) (1.2′) problemlerinin spektrumları olması için
1. {λ n } ve {µ n } sayılarının sıralı olması, yani
K < λ − n < µ − n < λ −n +1 < K < λ 0 < µ 0 < λ1 < K < λ n < µ n < λ n+1 < K
2. α ≠ β , 0 ≤ β , α ≤ π ve
∞
∑ α n,k
2
∞
,
n = −∞
∑β
n = −∞
λn = n −
α n,k
α
α α1
+
+ K + kk −−11 + k
n
π
n
n
µn = n −
β n,k
β
β β1
+
+ L kk −−11 + k
π
n
n
n
2
n,k
serileri yakınsak olmak üzere
asimptotik formüllerinin sağlanması gerek ve yeterdir.
2n mertebeli Dirac denklemler sistemi için ters saçılma problemi [3]
çalışmasında incelenmiştir.
Sonlu aralıkta
By ′( x) + Ω( x) y ( x ) = λy ( x) ,
0< x <π
(1.6)
Dirac diferansiyel denklemlerin kanonik sistemi ele alınsın.
y 2 (0) − hy1 (0) = 0
(1.7)
y 2 (π ) + Hy1 (π ) = 0
(1.8)
π 
sınır koşulları ve  , π  aralığının x = a iç noktasındaki
2 
y (a − 0) = Ay (a + 0)
(1.9)
süreksizlik koşulu ve (1.6) denklemi tarafından üretilen sınır değer problemi L ile
gösterilsin. Burada,
 0 1
 p ( x) q ( x ) 
 y ( x) 
 , Ω(x ) = 
 , y ( x) =  1 
B = 
 −1 0
 q ( x) − p ( x) 
 y 2 ( x) 
p(x) , q(x ) reel değerli ve p(x) , q(x ) ∈ L2 (0, π ) ,
0 
α
π 
 , a ∈  , π  ve
A = 
−1 
2 
0 α 
α > 0 , α ≠ 1 olan reel sayıdır.
Ayrıca (1.9) süreksizlik koşulundaki A matrisi için det A = 1 dir. Diğer taraftan
{
L operatörü, tanım kümesi D ( L) = y ( x) = ( y1 ( x)
13
y 2 ( x) ) : y1 ( x ), y 2 ( x );[0, a ), (a, π ]
T
aralıklarında y (a − 0) = Ay (a + 0) süreksizlik koşullarını sağlayan mutlak sürekli
fonksiyonlar, y 2 (0) − hy1 (0) = 0, y 2 (π ) + Hy1 (π ) = 0}
olan self-adjoint operatördür.
2. Karakteristik Fonksiyon ve Özellikleri
Ω( x ) ≡ 0 olduğu durumda L problemi L0 olarak gösterilsin. Ω( x ) ≡ 0 olduğu
durumda,
By ′ = λy
denkleminin
1
ϕ 0 (0, λ ) =  
h
başlangıç
koşullarını
ve
0 
α
 süreksizlik koşullarını sağlayan
ϕ 0 (a − 0) = Aϕ 0 (a + 0) , A = 
−1 
0 α 
 ϕ ( x, λ ) 
 çözümü,
ϕ 0 ( x, λ ) =  01
 ϕ 02 ( x, λ ) 
 − h sin λ x + cos λ x 

,
h
x
x
λ
+
λ
cos
sin



  − h sin λ x + cos λ x 
ϕ0 ( x, λ ) = α + 

  h cos λ x + sin λ x 

 1 0  cos λ (2a − x ) − h sin λ (2a − x ) 
+α − 

,

 0 −1 h cos λ (2a − x) + sin λ (2a − x ) 
0< x<a
a < x<π
şeklinde gösterime sahiptir.
∆ 0 (λ ) ile L0 probleminin karakteristik fonksiyonu gösterilecek olursa;
∆ 0 (λ ) = y 2 (π , λ ) + Hy1 (π , λ ) = 0 olduğundan
∆ 0 (λ ) = α + (h cos λπ + sin λπ ) + α − (− h cos λ (2a − π ) − sin λ (2a − π ))
+ H [α + (cos λπ − h sin λπ ) + α − (cos λ (2a − π ) − h sin λ (2a − π ))] = 0
olduğu açıktır.
Bu denklemin kökleri L0 probleminin özdeğerleridir. Burada n > 0 ise λ0n > 0 ,
n = 0 için λ00 = 0 ve n < 0 ise λ0n < 0 olarak kabul edilirse; n = 1,2, K için λ0−n = −λ0n
olduğu açıktır.
Aşağıdaki lemma doğrudur.
Lemma 2.1: inf λ0n − λ0m = β > 0 yani ∆0 (λ ) = 0 karakteristik denkleminin kökleri
ayrıktır.
14
{ } { } alt dizileri vardır,
{ }
İspat: Tersi kabul edilecek olursa, yani λ0n dizisinin λ0nk ve λˆn0k
öyleki λn0k ≠ λˆn0k ve k → ∞ iken λn0k , λˆn0k → ∞ ve ayrıca
lim λn0k − λˆn0k = 0
k →∞
dır. L2 (0, π ; R 2 ) uzayında L0 probleminin ϕ 0 ( x, λ0nk ) ve ϕ0 ( x, λˆn0k ) özfonksiyonlarının
ortogonallik koşulundan yararlanılırsa;
π
π
0 = ∫ ϕ 0 ( x, λ )ϕ 0 ( x, λˆn0k )dx = ∫ ϕ0 ( x, λn0k )ϕ0 ( x, λn0k )dx
0
nk
0
0
π
+ ∫ ϕ0 ( x, λn0k ) ϕ0 ( x, λˆn0k ) − ϕ0 ( x, λn0k )  dx


0
veya
a
π
0
a
0 = ∫ ϕ0 ( x, λn0k )ϕ0 ( x, λn0k )dx + ∫ ϕ0 ( x, λn0k )ϕ0 ( x, λn0k )dx
π
+ ∫ ϕ0 ( x, λn0k ) ϕ0 ( x, λˆn0k ) − ϕ0 ( x, λn0k )  dx


0
a
π
0
0
≥ ∫ ϕ0 ( x, λn0k )ϕ 0 ( x, λn0k )dx + ∫ ϕ0 ( x, λn0k ) ϕ 0 ( x, λˆn0k ) − ϕ 0 ( x, λn0k )  dx


a
=∫
0
(
 − h sin λn0k x + cos λn0k x 
− h sin λ x + cos λ x h cos λ x + sin λ x 
 dx
 h cos λn0 x + sin λn0 x 
k
k


0
nk
0
nk
0
nk
0
nk
)
π
+ ∫ ϕ0 ( x, λn0k ) ϕ0 ( x, λˆn0k ) − ϕ0 ( x, λn0k )  dx


0
a
π
0
0
= ∫ (h 2 + 1)dx + ∫ ϕ0 ( x, λn0k ) ϕ0 ( x, λˆn0k ) − ϕ0 ( x, λn0k )  dx


π
= (h + 1)a + ∫ ϕ0 ( x, λn0k ) ϕ0 ( x, λˆn0k ) − ϕ0 ( x, λn0k )  dx


0
2
olur. Burada <⋅,⋅> sembolü R 2 öklid uzayındaki iç çarpımı gösterir. Böylece
π
0 ≥ (h 2 + 1)a + ∫ ϕ0 ( x, λn0k ) ϕ0 ( x, λˆn0k ) − ϕ0 ( x, λn0k )  dx


0
eşitsizliği elde edilir.
15
(2.1)
ϕ 0 ( x, λ ) çözümünün ifadesinden görüldüğü gibi her x ∈ [0, π ] için x'e göre
düzgün olarak
lim ϕ0 ( x, λˆn0k ) − ϕ 0 ( x, λn0k )
k →∞
lim
k →∞
− h sin λˆn0k x + cos λˆn0k x + h sin λn0k x − cos λn0k x
h cos λn0k x + sin λn0k x − h cos λn0k x − sin λn0k x
R2
= lim (h 2 + 1)(sin λˆn0k x − sin λn0k x)2 + (h 2 + 1)(cos λˆn0k x − cos λn0k x) 2
k →∞
(λˆn0k − λn0k )
0
0
2
ˆ
= lim 2(h + 1) 1 − cos(λnk − λnk ) x = lim 2 (h + 1) sin
x=0
k →∞
k →∞
2
2
olur. Burada ⋅
(
R2
)
= < ⋅,⋅ > dir.
Bu nedenle (2.1) eşitsizliğinde k → ∞ iken limite geçilirse 0 > (h 2 + 1)a olduğu
elde edilir. Bu ise bir çelişkidir. Bu çelişki Lemma 2.1'in doğru olduğunu gösterir.
∆(λ ) , {λ n } ve {α n }'ler sırasıyla L probleminin karakteristik fonksiyonunu,
özdeğer dizisini ve normalleştirici sayılar dizisini göstersin.
 ϕ ( x, λ ) 
1
 fonksiyonu ile (1.6) denkleminin ϕ (0, λ ) =   başlangıç
ϕ ( x, λ ) =  1
 ϕ 2 ( x, λ ) 
h
koşullarını ve (1.9) süreksizlik koşullarını sağlayan çözümü gösterilsin.
− h + i
− h + i

 , F ( x, λ ) = Y ( x, λ )
f 0 ( x, λ ) = Y0 ( x, λ )
 1 + ih 
 1 + ih 
vektör çözümleri yardımı ile,
ϕ ( x, λ ) =
1
− h + i
 − h − i 
F ( x, λ ) − F ( x, λ ) 1 
 − Y ( x, λ )
 = Y ( x, λ ) 
= Y ( x, λ )
2i
2i 
 1 + ih 
 1 − ih 
h
ϕ 0 ( x, λ ) =
f 0 ( x, λ ) − f 0 ( x, λ ) 1 
1
− h + i
 − h − i 
 − Y0 ( x, λ )
  = Y0 ( x, λ ) 
= Y0 ( x, λ )
2i
2i 
h
 1 + ih 
 1 − ih  
yazılabilir.
x
Y ( x, λ ) = Y0 ( x, λ ) + ∫ K ( x, t )e − λBt dt
−x
gösteriminden yararlanılırsa,
x
ϕ ( x, λ ) = ϕ 0 ( x, λ ) +
∫ K ( x , t )e
−x
− λ Bt
1
  dt
 h
16
elde edilir. Böylece, ϕ ( x, λ ) matris çözümünün ϕ1 ( x, λ ) ve ϕ 2 ( x, λ ) bileşeni için
ϕ1 ( x, λ ) = ϕ 01 ( x, λ )
x
+ ∫ {K11 ( x, t )[cos λ t − h sin λ t ] + K12 ( x, t )[h cos λ t + sin λ t ]}dt
−x
ϕ 2 ( x, λ ) = ϕ 02 ( x, λ )
x
+ ∫ {K 21 ( x, t )[cos λt − h sin λ t ] + K 22 ( x, t )[h cos λt + sin λ t ]}dt
−x
olur. Buradan,
x
ϕ1 ( x, λ ) = ϕ 01 ( x, λ ) + ∫ [ K11 ( x, t ) + K11 ( x, −t )]cos λ tdt
0
x
x
0
0
+ ∫ [ K11 ( x, −t ) − K11 ( x, t )]h sin λ tdt + ∫ [ K12 ( x, t ) + K12 ( x, −t )]h cos λ tdt
x
+ ∫ [ K12 ( x, t ) − K12 ( x, −t )]sin λ tdt
0
veya
x ~
x ≈
0
0
ϕ1 ( x, λ ) = ϕ 01 ( x, λ ) + ∫ K 11 ( x, t ) cos λ tdt + ∫ K 11 ( x, t )h sin λ tdt
x
x ≈
~
+ ∫ K 12 ( x, t )h cos λ tdt + ∫ K 12 ( x, t ) sin λ tdt
0
0
yazılır. Burada
~
K 11 ( x, t ) = K 11 ( x, t ) + K 11 ( x,−t )
≈
K 11 ( x, t ) = K 11 ( x,−t ) − K 11 ( x, t )
~
K 12 ( x, t ) = K 12 ( x, t ) + K 12 ( x,−t )
≈
K 12 ( x, t ) = K 12 ( x, t ) − K 12 ( x,−t )
Benzer şekilde,
x
x
~
≈
ϕ 2 ( x, λ ) = ϕ 02 ( x, λ ) + ∫ {K 21 ( x, t ) cos λ tdt + ∫ {K 21 ( x, t )h sin λ tdt
0
0
x ~
x ≈
0
0
+ ∫ K 22 ( x, t )h cos λ tdt + ∫ K 22 ( x, t ) sin λ tdt
17
olur. Burada
~
K 21 ( x, t ) = K 21 ( x, t ) + K 21 ( x,−t )
≈
K 21 ( x, t ) = K 21 ( x, −t ) − K 21 ( x, t )
~
K 22 ( x, t ) = K 22 ( x, t ) + K 22 ( x,−t )
≈
K 22 ( x, t ) = K 22 ( x, t ) − K 22 ( x, −t )
2
2
~
≈
ve ayrıca  K ij ( x,⋅) 
ve  K ij ( x,⋅) 
∈ L2 (− x, x) dir.

 i , j =1

 i , j =1
Böylece L probleminin karakteristik denklemi
π ~
π ≈
0
0
∆(λ ) = ∆ 0 (λ ) + ∫ K 21 (π , t ) cos λtdt + ∫ K 21 (π , t )h sin λ tdt
π ~
π ≈
0
0
+ ∫ K 22 (π , t )h cos λ tdt + ∫ K 22 (π , t ) sin λtdt
π ≈
π ~
+ H  ∫ K 11 (π , t ) cos λtdt + ∫ K 11 (π , t )h sin λ tdt
0
0

+ ∫ K 12 (π , t )h cos λ tdt + ∫ K 12 (π , t )sin λ tdt  = 0
0
0

π ~
π ≈
şeklinde elde edilir. Burada ∆ 0 (λ ) = ϕ 02 (π , λ ) + Hϕ 01 (π , λ ) dır.
•
Lemma 2.1: L probleminin özdeğerleri basittir. Yani ∆(λ n ) ≠ 0 dır.
Bϕ ′( x, λ ) + Ω( x )ϕ ( x, λ ) = λϕ ( x, λ )
İspat:
•
•
•
B ϕ ′( x, λ ) + Ω ( x) ϕ ( x, λ ) = λ ϕ ( x, λ ) + ϕ ( x, λ )
•
olduğundan R 2 öklid uzayında 1.denklem ϕ ( x, λ ) , 2.denklem ise ϕ ( x, λ ) ile skaler
olarak çarpılır ve taraf tarafa çıkarılırsa,
•
•
B ϕ ′( x, λ )ϕ ( x, λ ) − Bϕ ′( x, λ ) ϕ ( x, λ ) = ϕ 2 ( x, λ ) olur. Yani,
•
•
< ϕ ( x, λ ),ϕ ( x, λ ) >=< B ϕ ′( x, λ ),ϕ ( x, λ ) > − < Bϕ ′( x, λ ), ϕ ( x, λ ) >
elde edilir. Bu son eşitlik [0, π ] aralığı üzerinde λ = λ n yazılarak integrallenirse ve
18
π
π
0
0
α n = ∫ ϕ 2 ( x, λn )dx = ∫ [ϕ12 ( x, λn ) + ϕ22 ( x, λn )]dx
olduğu gözönünde bulundurulursa,
π
π
0
0
•
•
α n = ∫ ϕ 2 ( x, λn )dx = ∫ [ϕ 2′ ( x, λn )ϕ1 ( x, λn ) − ϕ1′( x, λn )ϕ 2 ( x, λn )]dx
π
•
•
− ∫ [ϕ 2′ ( x, λn ) ϕ 1 ( x, λn ) − ϕ1′( x, λn ) ϕ 2 ( x, λn )]dx
0
•
π
π •
0
0
•
π
= ϕ 2 ( x, λn )ϕ1 ( x, λn ) − ∫ ϕ 2 ( x, λn )ϕ1′( x, λn )dx − ϕ 1 ( x, λn )ϕ 2 ( x, λn ) 0
π •
π
0
0
•
•
+ ∫ ϕ 1 ( x, λn )ϕ 2′ ( x, λn )dx − ∫ [ϕ 2′ ( x, λn ) ϕ 1 ( x, λn ) − ϕ1′( x, λn ) ϕ 2 ( x, λn )]dx
•
•
•
•
= ϕ 2 (π , λ n )ϕ1 (π , λ n ) − ϕ1 (π , λn )ϕ 2 (π , λ n ) − ϕ 2 (0, λ n )ϕ1 (0, λ n ) + ϕ1 (0, λn )ϕ 2 (0, λ n )
π
•
•
+ ∫ ϕ 1 ( x, λn )ϕ 2′ ( x, λn ) − ϕ 2 ( x, λn )ϕ1′( x, λn ) dx

0
π
•
•
− ∫ ϕ 2′ ( x, λn ) ϕ 1 ( x, λn ) − ϕ1′( x, λn ) ϕ 2 ( x, λn )  dx

0 
•
•
•
•
•
•
•
•
= ϕ 2 (π , λ n )ϕ1 (π , λ n ) − ϕ1 (π , λ n )ϕ 2 (π , λ n ) − ϕ 2 ( 0, λ n )ϕ1 (0, λ n ) + ϕ1 (0, λ n )ϕ 2 (0, λ n )
= ϕ 2 (π , λn )ϕ1 (π , λn ) − ϕ1 (π , λ n )ϕ 2 (π , λn )
= ϕ 2 (π , λ n )ϕ1 (π , λ n ) − ϕ1 (π , λ n )( − Hϕ1 (π , λ n ))
•
•
•
= ϕ1 (π , λ n )[ϕ 2 (π , λ n ) + H ϕ1 (π , λ n )] = ϕ1 (π , λ n ) ∆(λ n )
olur. Yani
•
α n = ∆(λ n )ϕ1 (π , λ n )
•
elde edilir. Buradan ∆(λ n ) ≠ 0 olduğu açıktır.
3. Özdeğerler ve Normalleştirici Sayıların Asimptotik İfadeleri
Lemma .3.1: L probleminin özdeğerleri için λ n = λ0n + ε n asimptotik eşitliği doğrudur.
Burada ε n ∈ l 2 dir.
19
İspat: δ yeterince küçük pozitif sayı olmak üzere (δ <<
β
)
2
β


Γn = λ : λ = λ0n + , n = 0,±1,±2, K
2


{
}
Gδ = λ : λ − λ0n ≥ δ , n = 0,±1,±2, K
olsun. ∆ 0 (λ ) sinüs tipli olduğundan, λ ∈ Gδ için ∆ 0 (λ ) > Cδ e
Cδ > 0 vardır[4]. Diğer taraftan
∆(λ ) = ϕ 2 (π , λ ) + Hϕ1 (π , λ )
ve
∆ 0 (λ ) = ϕ 02 (π , λ ) + Hϕ 01 (π , λ )
olduğundan
π ~
π ≈
0
0
∆(λ ) = ∆ 0 (λ ) + ∫ K 21 (π , t ) cos λtdt + ∫ K 21 (π , t )h sin λ tdt
π ~
π ≈
0
0
+ ∫ K 22 (π , t )h cos λ tdt + ∫ K 22 (π , t ) sin λtdt
π ≈
π ~
+ H  ∫ K 11 (π , t ) cos λtdt + ∫ K 11 (π , t )h sin λ tdt
0
0
π ~
π ≈

+ ∫ K 12 (π , t )h cos λ tdt + ∫ K 12 (π , t ) sin λ tdt 
0
0

yazılır.
lim e
− Im λ π
λ →∞
(∆(λ ) − ∆ 0 (λ ))
π ≈
π ~

K
(
π
,
t
)
cos
λ
tdt
+
K 21 (π , t )h sin λ tdt 
21

∫
∫
λ →∞
0
0

π ~
π ≈

+ ∫ K 22 (π , t )h cos λtdt + ∫ K 22 (π , t )sin λ tdt 
0
0

= lim e
+e
− Im λ π
− Im λ π
π ≈
π ~
H  ∫ K 11 (π , t ) cos λ tdt + ∫ K 11 (π , t )h sin λ tdt
0
0
π ~
π ≈

+ ∫ K 12 (π , t )h cos λ tdt + ∫ K 12 (π , t ) sin λ tdt  = 0
0
0

olur ([5] Lemma 1.3.1 'den).
20
Im λ π
olacak şekilde
Yani n 'nin yeterince büyük değerlerinde λ ∈ Γn için
∆ (λ ) − ∆ 0 (λ ) <
Cδ Im λ π
e
2
eşitsizliği sağlanır. Böylece n yeterince büyük doğal sayı olmak üzere λ ∈ Γn için
∆ 0 (λ ) > Cδ e Im λ π >
Cδ Im λ π
e
> ∆ (λ ) − ∆ 0 (λ )
2
eşitsizliği elde edilir.
Bu durumda Rouché teoremi uygulanırsa; n 'nin yeterince büyük değerlerinde
Γn yörüngesinin iç kısmında ∆ 0 (λ ) ve ∆ 0 (λ ) + {∆(λ ) − ∆ 0 (λ )} = ∆(λ ) fonksiyonlarının eşit sayıda sıfırları yani (2n + 1) sayıda λ − n ,K , λ0 ,K , λ n sıfırları vardır.
Benzer şekilde Rouché teoreminden yararlanarak; yeterince büyük n 'ler için
λ − λ0n < δ | dairelerinin herbirinde ∆(λ ) fonksiyonunun yalnızca bir sıfırı olduğu
gösterilir.
Bu durumda δ yeterince küçük pozitif sayı olduğundan, lim ε n = 0 olmak üzere
n →∞
λ n = λ0n + ε n yazılabilir.
λ n sayıları, ∆(λ ) karakteristik fonksiyonunun kökleri olduğundan,
π ~
π ≈
0
0
∆(λn ) = ∆ 0 (λn0 + ε n ) + ∫ K 21 (π , t ) cos(λn0 + ε n )tdt + ∫ K 21 (π , t )h sin(λn0 + ε n )tdt
π ~
π ≈
0
0
+ ∫ K 22 (π , t )h cos(λn0 + ε n )tdt + ∫ K 22 (π , t ) sin(λn0 + ε n )tdt
π ≈
π ~
+ H  ∫ K 11 (π , t ) cos(λn0 + ε n )tdt + ∫ K 11 (π , t )h sin(λn0 + ε n )tdt
0
0

+ ∫ K 12 (π , t )h cos(λ + ε n )tdt + ∫ K 12 (π , t ) sin(λn0 + ε n )tdt  = 0
0
0

π ~
0
n
π ≈
dır. Diğer taraftan,
•
•

∆ 0 (λ0n + ε n ) = ∆ 0 (λ0n )ε n + o(ε n ) =  ∆ 0 (λ0n ) + o(1) ε n


dir. Eğer ∆ 0 (λ0n + ε n ) ifadesi ∆(λ n ) ifadesinde yerine yazılırsa,
π
π
 ∆• (λ 0 ) + o(1)  ε + K~ (π , t ) cos(λ 0 + ε )tdt + K≈ (π , t )h sin(λ 0 + ε )tdt
 0 n
 n ∫ 21
n
n
n
n
∫0 21


0
21
π ~
π ≈
0
0
+ ∫ K 22 (π , t )h cos(λn0 + ε n )tdt + ∫ K 22 (π , t ) sin(λn0 + ε n )tdt
π ≈
π ~
+ H  ∫ K 11 (π , t ) cos(λn0 + ε n )tdt + ∫ K 11 (π , t )h sin(λn0 + ε n )tdt
0
0
π ~
π ≈

+ ∫ K 12 (π , t )h cos(λn0 + ε n )tdt + ∫ K 12 (π , t ) sin(λn0 + ε n )tdt  = 0
0
0

olur. ∆ 0 (λ ) fonksiyonu sinüs tipli olduğundan, tüm λ0n kökleri için N 1 , N 2 sabitleri
•
vardır öyle ki 0 < N 1 < ∆ 0 (λ0n ) < N 2 < ∞, n = 0,±1,±2, K dir [4]. Ayrıca [5, 7]
çalışmasından yararlanılırsa; sup hn ≤ M olmak üzere
n
λ0n = n + hn
elde edilir.
O halde
εn = −
π ≈
π ~
K
(
,
t
)
cos(
n
+
h
+
)
tdt
+
π
ε
21
∫
n
n
•
∫0 K 21 (π , t )h sin(n + hn + ε n )tdt
0

0
∆ 0 (λn ) + o(1)
1
π ~
π ≈
0
0
+ ∫ K 22 (π , t )h cos(n + hn + ε n )tdt + ∫ K 22 (π , t ) sin(n + hn + ε n )tdt
π ≈
π ~
+ H  ∫ K 11 (π , t ) cos(n + hn + ε n )tdt + ∫ K 11 (π , t )h sin(n + hn + ε n )tdt
0
0

+ ∫ K 12 (π , t )h cos(n + hn + ε n )tdt + ∫ K 12 (π , t ) sin(n + hn + ε n )tdt  
0
0
 
π ~
~
π ≈
≈
~
≈
≈
~
~
≈
K 11 (π ,⋅), K 11 (π ,⋅), K 12 (π ,⋅), K 12 (π ,⋅), K 21 (π ,⋅), K 21 (π ,⋅), K 22 (π ,⋅), K 22 (π ,⋅) ∈ L2 (0, π )
olduğundan, (3.1)'den [5, sayfa 66-67]'ye göre ε n ∈ l 2 olduğu elde edilir.
Lemma .3.2: L probleminin normalleştirici sayıları için α n = α n0 + δ n asimptotik
eşitliği geçerlidir. Burada δ n ∈ l 2 dir.
İspat:
π ~
π ≈
0
0
∆(λ ) = ∆ 0 (λ ) + ∫ K 21 (π , t ) cos λ tdt + ∫ K 21 (π , t )h sin λ tdt
22
π ~
π ≈
0
0
+ ∫ K 22 (π , t )h cos λ tdt + ∫ K 22 (π , t ) sin λ tdt
π ≈
π ~
+ H  ∫ K 11 (π , t ) cos λ tdt + ∫ K 11 (π , t )h sin λtdt
0
0
π ~
π ≈

+ ∫ K 12 (π , t )h cos λ tdt + ∫ K 12 (π , t ) sin λ tdt 
0
0

olduğundan
•
π
•
π
~
≈
∆(λn ) = ∆ 0 (λn ) − ∫ t K 21 (π , t ) sin λntdt + ∫ t K 21 (π , t )h cos λntdt
0
π
0
π
~
≈
− ∫ t K 22 (π , t )h sin λn tdt + ∫ t K 22 (π , t ) cos λntdt
0
0
π
≈
 π ~
+ H  − ∫ t K 11 (π , t ) sin λn tdt + ∫ t K 11 (π , t )h cos λntdt
0
 0
π
π
~
≈

− ∫ t K 12 (π , t )h sin λn tdt + ∫ t K 12 (π , t ) cos λn tdt 
0
0

yazılır.
π ~
π ≈
0
0
ϕ1 (π , λn ) = ϕ01 (π , λn ) + ∫ K 11 (π , t ) cos λn tdt + ∫ K 11 (π , t )h sin λntdt
π ~
π ≈
0
0
+ ∫ K 12 (π , t )h cos λn tdt + ∫ K 12 (π , t ) sin λn tdt
~
~
ve ϕ 01 (π , λ n ) = ϕ 01 (π , λ0n + ε n ) = ϕ 01 (π , λ0n ) + δ n , δ n ∈ l 2
olduğu açıktır.
•
•
•
••
•••
∆ 0 (λ n ) = ∆ 0 (λ0n + ε n ) = ∆ 0 (λ0n ) + ∆ 0 (λ0n )ε n + ∆ 0 (λ0n )
•
= ∆ 0 (λ0n ) + O(ε n )
ve
•
α n = ∆(λ n )ϕ1 (π , λ n )
olduğundan,
23
ε n2
+L
2!
π
•
~
≈
π
α n = ∆ 0 (λ n )ϕ1 (π , λ n ) +  ∫ −t K 21 (π , t ) sin λntdt + ∫ t K 21 (π , t )h cos λntdt
0
0
π
π
~
≈
− ∫ t K 22 (π , t )h sin λn tdt + ∫ t K 22 (π , t ) cos λntdt
0
0
π
≈
 π ~
+ H  − ∫ t K 11 (π , t ) sin λn tdt + ∫ t K 11 (π , t )h cos λntdt
0
 0
≈

− ∫ t K 12 (π , t )h sin λntdt + ∫ t K 12 (π , t ) cos λntdt  ϕ1 (π , λn )
0
0

π
π
~
veya
•
π ~
~
α n = [∆ 0 (λn ) + O(ε n )] ϕ01 (π , λ ) + δ n + ∫ K 11 (π , t ) cos λntdt
0
n
0
π ≈

+ ∫ K 11 (π , t )h sin λntdt + ∫ K 12 (π , t )h cos λn tdt + ∫ K 12 (π , t )sin λntdt 
0
0
0

π ≈
π ~
π
π
~
≈
~
π
 ∫ −t K 21 (π , t )sin λntdt + ∫ t K 21 (π , t )h cos λntdt − ∫ t K 22 (π , t )h sin λntdt
0
0
0
π
≈
 π ~
+ ∫ t K 22 (π , t ) cos λntdt + H  − ∫ t K 11 (π , t ) sin λntdt + ∫ t K 11 (π , t )h cos λntdt
0
0
 0
π
≈
π
π
~
≈

− ∫ t K 12 (π , t )h sin λn tdt + ∫ t K 12 (π , t ) cos λn tdt   ϕ1 (π , λn )
0
0
 
eşitliği alınır. Buradan,
π ~
α n = ∆ 0 (λ )ϕ01 (π , λ ) + ∆0 (λ ) δ n + ∆ 0 (λ )  ∫ K 11 (π , t ) cos λntdt
0
•
0
n
0
n
•
0
n
~
•
0
n
π ≈
π ~
π ≈

+ ∫ K 11 (π , t )h sin λntdt + ∫ K 12 (π , t )h cos λntdt + ∫ K 12 (π , t ) sin λntdt 
0
0
0

π ≈
π ~
+O(ε n )ϕ01 (π , λ ) + O(ε n ) δ n + O (ε n )  ∫ K 11 (π , t ) cos λntdt + ∫ K 11 (π , t )h sin λn tdt
0
0
π ~
π ≈

+ ∫ K 12 (π , t )h cos λn tdt + ∫ K 12 (π , t ) sin λntdt 
0
0

π
~
≈
π
+  ∫ −t K 21 (π , t ) sin λn tdt + ∫ t K 12 (π , t )h cos λn tdt
0
0
0
n
~
24
π
π
~
≈
− ∫ t K 22 (π , t )h sin λn tdt + ∫ t K 22 (π , t ) cos λn tdt
0
0
π
≈

+ H  − ∫ t K 11 (π , t ) sin λn tdt + ∫ t K 11 (π , t ) h cos λn tdt
0
 0
π
~
≈

− ∫ t K 12 (π , t )h sin λn tdt + ∫ t K 12 (π , t ) cos λn tdt   ϕ1 (π , λn )
0
0
 
π
π
~
olur. Böylece, Lemma 3.1 'de olduğu gibi
α n = α n0 + δ n , δ n ∈ l 2
olduğu açıktır.
Kaynaklar
[1]. M. G. Gasymov, and B. M. Levitan, 1966, The Inverse Problem for the Dirac
System, Dokl. Akad. Nauk SSR, 167, 967-970.
[2]. M. G. Gasymov, and T. T. Dzhabiev, 1975, On the Determination of the Dirac
System from Two Spectra, Transactions of the Summer School on Spectral Theory
Operator, Baku/ELM., pp. 46-71.
[3]. M. G. Gasymov, 1967, The Inverse Scattering Problem for a System of Dirac
Equations of Order 2n, Soviet Physics Dokl. 11, 676-678.
[4]. B. Ya. Levin, Entire Functions, Moscow University, Moscow (1971).
[5]. V. A. Marchenko, Sturm-Liouville Operators and Their Applications, Naukova
Dumka, Kiev (1977).
[6]. V. F. Zhdanovich, Formulas for the Zeros of Dirichlet Polynomials and
Quasipolynomials, Dokl. Akad. Nauk SSSR, 135, No.8, 1046-1049 (1960).
[7]. M. G. Krein and B. Ya. Levin, On Entire Almost Periodic Functions of Exponential
Type, Dokl. Akad. Nauk SSSR, 64, No.3, 285-287 (1948).
25