43 Isı Taşınımına Manyetik Alanın Etkisinin Sayısal

KSÜ. Fen ve Mühendislik Dergisi, 8(2)-2005
43
KSU. Journal of Science and Engineering 8(2)-2005
Isı Taşınımına Manyetik Alanın Etkisinin Sayısal İncelenmesi
Ziyaddin RACABOVADİLOĞLU, Kemal ATİK
Zonguldak Karaelmas Üniversitesi, Karabük Teknik Eğitim Fakültesi, Karabük
ÖZET: Elektromanyetik alan içerisinde kalan akışkanlar bu alandan etkilenmektedirler. Elektriksel iletkenliğine ve
manyetikleşme özelliğine bağlı olarak akışkanların debi ve akış hızları manyetik alanın etkisiyle değişmektedir. Bu
çalışmada ısı taşınımına manyetik alanın etkisi incelenmiştir. Çalışmanın teorik kısmında, akışkana etkiyen
elektromanyetik kuvveti içeren Navier-Stokes, süreklilik ve sıcaklık dağılım denklemleri borularda gerçekleşen
akışın incelenebilmesi amacıyla silindirik koordinat sisteminde yazılmıştır. Oluşturulan denklem sistemi; basınç
değişimi, akışkanın fiziksel özellikleri ve boru boyutunun sabit kaldığı kabul edilerek çözülmüştür. Silindirik
koordinat sisteminde yazılan denklem sisteminin çözümü sayısal metotla yapılarak manyetik alanın şiddetine ve
akışkanın diğer fiziksel özelliklerine bağlı olarak eksenel ve radyal yönlerdeki sıcaklık dağılımı ile Nusselt sayısı
hesaplanmıştır. Yapılan sayısal çözüm sonuçlarına göre; akış yönüne dik olarak yerleştirilen manyetik alanın şiddeti
artırıldığında akış hızı ve debide azalma olduğu, ısı geçişinin azaldığı, soğutulan bir akışkan için sıcaklık
dağılımında azalmalar olduğu görülmüştür. Reynolds sayısının artışıyla Nusselt sayısının azaldığı, manyetik alanın
artmasıyla da Nusselt sayısının arttığı tesbit edilmiştir. Bu çalışmadan elde edilen teorik sonuçlar, daha önce yapılan
analitik çözüm sonuçları ile karşılaştırıldığında birbiriyle uyum içinde olduğu görülmüştür.
Anahtar kelimeler: Manyetik alan, ısı taşınımı, sıcaklık dağılımı, borularda akış.
A Numeric Solution to the Effect of Magnetic Field on Heat Convection
ABSTRACT: The fluids inside an electromagnetic field are affected from this filed. The flow rate and velocity of
fluids with effect of magnetic field are changed according to electrical conductivity and magnetic properties. In this
study, the effect of magnetic field on heat convection is investigated. In theoretical section of the study, the NavierStokes equations, continuity and heat dispersion equations, which are composed of the electromagnetic forces
affecting to fluids, are written in cylindrical coordinate system in order to investigate the fluids in pipes. The
equations generated are solved in assumption of pressure variation, physical properties of fluids and the size of pipe
are constant. The equation system written in a cylindrical coordinate system is solved in numerical method in which
heat dispersion in axial and radial directions are subject to the intensity of magnetic field and other physical
properties of the fluids, and Nusselt number is calculated. According to the result of numerical solutions , it is seen
that the increase on the magnetic field intensity which is located perpendicular to flow way, causes a decrease flow
speed and flow rate, and also seen that heat convection and heat dispersion for a fluid that is cooled were lessened. It
is determined that while the Reynolds number increases, the Nusselt number decreases, and while magnetic field
increases, the Nusselt number increases. The theoretical results obtained from the study are covered with the results
obtained by analytical solutions.
Key words: Magnetic field, heat convection, temperature dispersion, flow on pipes.
GİRİŞ
Kütle taşınımı ile ısı iletimine elektrik ve manyetik
alan etkileri farklı bilim adamları tarafından
incelenmiştir (Tashtoush ve Al-Odat, 2003; Jı ve
Gardner, 1996). Akışkan olarak civa, galyum ve ergimiş
metaller kullanılmıştır. Genellikle deneyler kanalda
yapılmıştır. Manyetik alanın sabit basınç altındaki
akışkan hareketlerine etkileri incelenmiş ve zayıf
manyetik ve elektriksel özellikli akışkanların akış
hızlarının alan etkisiyle azaldığı görülmüştür. Zorlanmış
konveksiyon ile taşınan ısı miktarı, kullanılan akışkanın
akış hızı ile doğru orantılı olduğu ve bundan dolayı
manyetik alan etkisiyle taşınan ısı miktarının
artabileceği düşüncesi ile yola çıkılarak ısı taşınımına
manyetik alan etkileri incelenmiştir.
MATERYAL ve METOT
Şekil 1. de görüldüğü gibi; B şiddetli enine manyetik
alan içerisine yerleştirilen R yarıçaplı silindirik bakır
boruda viskoziteli akışkanın hareket ettiği kabul
edilmektedir. Boru girişindeki akışkanın sıcaklığı T0 ,
boru etrafındaki ortamın sıcaklığı ise Td
olsun.
Akışkanın fiziksel özelliklerinin sabit kalacaklarını
varsayarak akış hızının ve sıcaklığın radyal ve eksenel
yönlerde değişecekleri kabul edilmektedir. Viskozite
sabit kaldığında sıkıştırılamayan akışkan için hareket
denklemi (Navier-Stokes denklemi) ve akışın süreklilik
denklemi silindirik koordinat sisteminde aşağıdaki
denklemlere dönüşürler.
KSÜ. Fen ve Mühendislik Dergisi, 8(2)-2005
KSU. Journal of Science and Engineering 8(2)-2005
44
Burada, N =
∂P
,
∂z
m2 =
γB 2
η
olarak alınmıştır.
B
Bessel fonksiyonunun seriye açılımının ilk iki
terimini kullanarak (3) ifadesini
uz = −
θ
r
U0 = −
Şekil 1. Manyetik alan etkisinde kalan yatay boruda
koordinat sisteminin yerleştirilmesi.
Navier-Stokes denklemi:
2
∂ur
∂ur uϕ ∂ur
∂ur uϕ
1 ∂P
+ ur
+
+ uz
− = Fr −
+
ρ ∂r
∂t
∂r
r ∂ϕ
∂z
r
∂t
⎛ ∂ 2u
1 ∂ 2u z ∂ 2u 1 ∂u z ⎞⎟
+
+ν ⎜ 2z + 2
+
+ Fm.z
⎜ ∂r
r ∂ϕ 2 ∂z 2 r ∂r ⎟⎠
⎝
(1)
∂2T 1 ∂T N ⎛ I0 (m.r) ⎞ ∂T U0 ⎛⎜ r 2 ⎞⎟ ∂T
⎜
+
=
−1⎟ =
1−
∂r 2 r ∂r a.k1 ⎜⎝ I0 (m.R) ⎟⎠ ∂z a ⎜⎝ R2 ⎟⎠ ∂z
(2)
Burada, a =
Süreklilik denklemi:
Bu denklemler sıcaklığın denge denklemi olmadan da
çözülebilir. Bu durumda akış hızının da formülleri elde
edilir. Böylece, borunun uzunluğu boyunca hız dağılımı:
şeklinde olacaktır.
ile ifade edilir. Borudaki akışkanın sıcaklığının radyal
ve eksenel yönlerdeki dağılımına bakılacak olursa
silindirik koordinatta sıcaklık denklemi aşağıdaki gibi
ifade edilir:
(6)
güçlü olduğu düşünülerek
uϕ ∂u z
∂u z
∂u
∂u
1 ∂P
+ ur z +
+ u z z = Fz −
+
∂t
∂r
∂z
r ∂ϕ
ρ ∂z
N ⎛ I 0 (mr ) ⎞
⎜
− 1⎟
ηm 2 ⎜⎝ I o (mR ) ⎟⎠
(5)
∂ 2T
terimi de (6) nolu
∂z 2
eşitlikten atılsın. Akış hızının çok da büyük olmayacağı
ve dolayısı ile sıcaklık kaybı ile azalmayacağı
düşünülerek (6) nolu eşitlikten E li terim de yok edilsin.
Bu kabullerden sonra (6) nolu denklem aşağıdaki şekli
alacaktır.
⎛∂2uϕ 1 ∂2uϕ ∂2uϕ 1 ∂uϕ 2 ∂u uϕ ⎞
r
+
− ⎟+F
+ν ⎜ 2 + 2 2 + 2 +
⎜ ∂r r ∂ϕ ∂z r ∂r r2 ∂ϕ r2 ⎟ m.ϕ
⎝
⎠
uz =
2 NR 2
(4η + γB 2 R 2 )
Sıcaklığın kararlı olduğunu ve simetrikliğini dikkate
alarak (6) denkleminden t(zaman) ve ϕ ye göre türevli
terimleri çıkarılsın. Sonra sıcaklığın radyal yöndeki
değişiminin boru uzunluğu boyunca değişiminden çok
∂u u .u
∂uϕ uϕ ∂uϕ
1 ∂P
r ϕ
+
+uz ϕ +
+
= Fϕ −
∂r r ∂ϕ
∂z
ρ.r ∂ϕ
r
∂u r 1 ∂uϕ ∂u z u r
+
+
+
=0
∂r r ∂ϕ
∂z
r
(4)
⎛1 ∂ ⎛ ∂T⎞ 1 ∂2T ∂2T⎞
∂T ∂T uϕ ∂T ∂T E
+ur. +
+uz. =
+a.⎜ ⎜r ⎟+ 2 2 + 2 ⎟
∂r r ∂ϕ ∂z ρ.cp.J ⎜⎝r ∂r⎝ ∂r ⎠ r ∂ϕ ∂z ⎟⎠
∂t
⎛ ∂2u 1 ∂2u ∂2u 1 ∂ur 2∂uϕ ur ⎞
ν.⎜ 2r + 2 2r + 2r +
− 2 − 2 ⎟ + Fm.r
⎜ ∂r
r
r
∂
r
z
r .∂ϕ r ⎟⎠
∂
ϕ
∂
⎝
+ur
2 ⎞
⎛
⎜1 − r ⎟
⎜ R2 ⎟
⎝
⎠
şeklinde de yazmak mümkündür. İfadeden hız
dağılımının parabolik şekilde olduğu görülmektedir.
Burada, U 0 boru eksenindeki akış hızıdır ve
Z
∂uϕ
2 ⎞
⎛
⎜1 − r ⎟ = 2U 0
4η + γB 2 R 2 ⎜⎝ R 2 ⎟⎠
4 NR 2
(3)
λ
ρ cp
(7)
(m / s ) , λ - ısıl iletkenlik katsayısı ,
2
c p -özgül ısıdır.
Boru yüzeyi sıcaklığı (Td ) ve boru girişinde akışkanın
(T0 ) sıcaklıklarının sabit kalacaklarını varsayarak
aşağıdaki boyutsuz eşitlikleri yazılabiliriz:
z
T − Td
r
r1 =
=θ
(8)
z1 =
T0 − Td
R
R
Bu kabullerden sonra (7) denklemi,
KSÜ. Fen ve Mühendislik Dergisi, 8(2)-2005
1⎛
r 2 ⎞ ∂θ
1 ∂θ
1 ⎛ I (m.r ) ⎞ ∂θ
= ⎜⎜1 − 2 ⎟⎟
= ⎜⎜ 0
− 1⎟⎟
r1 ∂r1 a1 ⎝ I1 (m, R ) ⎠ ∂z1 a1 ⎝ R ⎠ ∂z1
(9)
denklemine dönüşecektir. Burada,
∂ 2θ
+
∂r12
a
2U 0 R
a1 =
(10)
Eşitlikleri sayısallaştırmada
denklemleri aşağıdadır.
d 2T
(11)
(11a)
z1 = 0 (r1 < 0) olduğunda θ = 1
Böylece, problem (9) denkleminin (11) sınır
şartlarında çözümüne indirgenmiş olacaktır.
Sayısal Çözüm
Elde edilen eşitliklerin çözümü sonlu fark
denklemleriyle yapılmıştır. Bu denklemlerle çözüm
iteratif olarak yapılmaktadır. Çözüm bölgesi Şekil 2 de
görüldüğü gibi küçük parçalara (sonlu farklar)
ayrılmakta, her bir nokta için diferansiyel denklemi
sağlaması istenmektedir (Aldaş ve Karadağ, 2001). Sınır
şartları başlangıçta belirlenmiş olup, çözümde bunlara
uyularak her bir nokta için hız ve sıcaklık
hesaplanmaktadır. Her iterasyon işleminde bir önceki
iterasyon sonuçları kullanılmakta; böylece gerçeğe daha
yakın değerler elde edilmektedir. Belirli tekrar
sayısından sonra sonuçlar değişmez olmakta, yani
gerçek değerlere ulaşılmış olup işlem bitirilmektedir.
Nusselt sayısının hesaplanmasında kullanılmak
üzere α ısı taşınım katsayısı; sayısal çözüm sonucu elde
edilen sıcaklık değerlerini kullanarak hesaplanmıştır
(Targ, 1950; Yüncü ve Kakaç, 1999; Aldaş ve Karadağ,
2001).
j
2
d 2T
dz
2
sonlu
fark
(12)
=
Ti + 1, j − 2Ti , j + Ti − 1, j
2 ∆r
(13)
=
Ti , j + 1 − 2Ti , j + Ti , j − 1
2∆z
(14)
Nusselt sayısının hesaplanmasında
r1 = 1 ( z1 > 0) olduğunda θ = 0
j-1
kullanılan
dT Ti + 1, j − Ti − 1, j
=
2∆r
dr
dr
elde edilir. Boru duvarının yakınındaki sıcaklığın duvar
sıcaklığına eşit olduğunu kabul edilerek , sınır şartları
aşağıdaki gibi yazılabilir.
r
KSU. Journal of Science and Engineering 8(2)-2005
45
j+1
i+1
i
i-1
z
Şekil 2. Çözüm bölgesinin sonlu parçalara ayrılması
α =−
Nu =
λ
⎛ ∂T ⎞
⎜
⎟
T − Td ⎝ ∂r ⎠ r = R
*
2αR
λ
(15)
(16)
Reynold sayısının hesaplanmasında
Re =
uD
ν
(17)
Denklemi kullanılmıştır.
Bu denklemlerin eşitlik (7) de yerine yazılmasıyla
elde edilen sayısal denklemler geliştirilen bir “Visual
Basic” programı yardımıyla bütün noktalar için sıcaklık
hesaplanmıştır. Hesaplamada kullanılan boru boyutları;
yarıçap R = 0.0025 m, uzunluk z = 0.0085 metredir.
Çözüm bölgesi boru ekseni ve yarıçap boyunca 100 er
eşit parçaya bölünmüş, böylece 100 x 100 = 10000
düğüm noktası olan ağ elde edilmiştir.
Kullanılan sınır şartları şu şekildedir: Başlangıç
kesitinde ve boru cidarlarında sıcaklık sabittir (Td ) .
Boru cidarında ısı geçişi olmamakta, yani sınırda
sıcaklık değişimi sıfırdır. Eksenel yönde kontrol
hacminin başlangıcında ve sonunda sıcaklık değişimi
komşu düğümle aynı alınmıştır. Akışkan olarak % 10
tuz içeren su kullanılmıştır. Sonuçlar değişmez oluncaya
kadar bu işleme devam edilmiştir. Yaklaşık 4000 tekrar
sonucunda bütün noktaların sıcaklığı sabit olmuş ve bu
değerler grafikleri çizilmek üzere bir dosyaya
kaydedilmiştir.
Yapılan
programın
sonuçlarının
doğruluğu;
literatürdeki analitik çözümlere uygunluğundan
anlaşılmıştır. Program önce manyetik alanın etkisi
olmadan çalıştırılarak, daha önce analitik çözüm
yapılmış olan çalışma ile aynı eksen takımları içerisinde
eşit sıcaklık profili elde edilmiştir (Targ, 1950). Daha
sonra manyetik alan etkisi ile çözüm yapılmış ve
literatürdeki analitik çözümle aynı sıcaklık değişimi
elde edilmiştir (Racabovadiloğlu, 2002). Şekil 3, Şekil 4
KSÜ. Fen ve Mühendislik Dergisi, 8(2)-2005
B=1
B=2
1,05
1
B=0
B=1
B=2
1
0,9
0,8
0,7
Boyutsuz Sıcaklık θ
ve Şekil 5 te boyutsuz θ sıcaklığının manyetik alan
şiddetine ve eksene göre değişimini gösteren grafikler
verilmiştir. Şekil 3 te boru ekseninde (r = 0), Şekil 4 te
yarıçap r = 0,0010 m için, Şekil 5 de yarıçap r = 0,0020
m için boyutsuz sıcaklığın farklı manyetik alan
şiddetlerinde (B = 0, B = 1 ve B = 2 Wb) akış ekseni
boyunca değişimleri gösterilmiştir.
B=0
KSU. Journal of Science and Engineering 8(2)-2005
46
0,6
0,5
0,4
0,3
Boyutsuz Sıcaklık θ
0,95
0,2
0,9
0,1
0,000
0,002
0,85
0,004
0,006
0,008
Boru Boyu
0,011
z
Şekil 5. r = 0,0020 için farklı manyetik alanlarda
boyutsuz sıcaklığın eksen boyunca değişimi
0,8
0,75
13
0,7
0,000
0,002
0,004
0,006
Boru Boyu
0,008
B=0
0,011
z
Şekil 3. r = 0 için farklı manyetik alanlarda boyutsuz
sıcaklığın eksen boyunca değişimi
B=1
B=2
11
Nu
B=0
B=1
12
10
B=2
1,05
9
1
8
Boyutsuz Sıcaklık θ
0,95
0,9
7
7,00
0,85
11,00
13,00
15,00
17,00
19,00
Re
0,8
Şekil 6. Nusselt sayısının Reynolds sayısına bağlı olarak
değişimi.
0,75
0,7
0,65
0,6
0,000
9,00
0,002
0,004
Boru Boyu
0,006
0,008
0,011
z
Şekil 4. r = 0,0010 için farklı manyetik alanlarda
boyutsuz sıcaklığın eksen boyunca değişimi
Grafiklerden de anlaşıldığı gibi, manyetik alan
etkisinin artması ile boyutsuz θ sıcaklığında azalma
olmaktadır. Boru ekseninde manyetik alan şiddeti B = 1
(Wb), olduğunda bu azalma % 2, B = 2 (Wb) olduğunda
% 9 a ulaşmıştır. Yarıçap r = 0,0010 için manyetik alan
şiddeti B = 1 (Wb), olduğunda bu azalma % 3, B = 2
(Wb) olduğunda % 11 e ulaşmıştır. Yarıçap r = 0,0020
için manyetik alan şiddeti B = 1 (Wb), olduğunda bu
azalma % 4, B = 2 (Wb) olduğunda % 14 e ulaşmıştır.
Bu sıcaklık değişimleri akışkanın hızında meydana
gelen azalma ile bağlantılıdır.
Şekil 6 da görüldüğü gibi, Reynolds sayısının
artmasıyla Nusselt sayısı azalmaktadır. Reynolds
sayısının 15 i geçmesiyle Nusselt sayısı 10 un altına
düşmekte ve borularda tam gelişmiş akış için verilen
Nu = 3.66 değerine doğru yaklaşmaktadır (Yüncü ve
Kakaç, 1999). Bu şekilden manyetik alanın artmasıyla
Nusselt sayısının arttığıda görülmektedir.
Şekil 7’ de eşit Reynolds sayıları için (Re = 14) farklı
manyetik alanlarda Nusselt sayıları çizilmiştir.
Manyetik alan şiddetinin artması ile Nusselt sayısında
artma meydana geldiği görülmektedir. Bu da daha önce
yapılmış analitik çözüm çalışmasına uymakta ve elde
edilen
sonuçların
doğruluğu
anlaşılmaktadır
(Racabovadiloğlu, 2002).
KSÜ. Fen ve Mühendislik Dergisi, 8(2)-2005
10
Re
t
Td
: Reynolds sayısı,
: Zaman (s),
: Boru duvarının sıcaklığı ( 0C ),
8
T0
: Boru eksenindeki sıcaklık( 0C ),
Nusselt
12
0
4
T*
: Akışkanın ortalama sıcaklığı ( C ),
u
: Akışkan akış hızı (m/s),
u r , uϕ , u z : Eksenel yönündeki hız bileşenleri (m/s)
2
α
6
0
0
1
Manyetik Alan Şiddeti
2
B [Wb]
Şekil 7. Nusselt sayısının Manyetik alan şiddetine bağlı
değişimi.
TARTIŞMA VE SONUÇ
Silindirik yatay bir boruda zorlanmış konveksiyon ile
ısı transferine manyetik alan etkisi incelenmiştir. Sayısal
çözüm sonunda borunun radyal ve eksenel yönlerdeki
akışkan sıcaklıkları, akışkan ve borunun fiziksel
parametrelerine, aynı zamanda etkiyen manyetik alanın
şiddetine bağlı olarak bulunmuştur. Akış yönüne dik
olarak
yerleştirilen
manyetik
alanın
şiddeti
artırıldığında, akış hızı ve debide azalma olduğu gibi
boyutsuz sıcaklık dağılımında da fark
edilebilir
azalmalar olduğu tespit edilmiştir. Boru ekseninde
manyetik alan şiddeti B = 1 (T) olduğunda bu azalma %
2 lere, B = 2 (T) olduğunda bu azalma % 8 e ulaşmıştır.
Manyetik alan şiddeti artırıldığında daha yüksek Nusselt
sayıları elde edilmekte; fakat Reynolds sayısının
artmasıyla Nusselt sayısı literatürde verilen değere
doğru azalmaktadır. Manyetik alan şiddeti B = 1 (Wb),
olduğunda Nusselt sayısındaki artma % 1, B = 2 (Wb)
olduğunda % 5 e ulaşmıştır. Aynı manyetik alan
şiddetinde Reynolds sayısının 9 dan 18 e çıkmasıyla
Nusselt sayısı % 15 azalmıştır. Analitik çözümle sayısal
çözüm sonuçlarının birbiriyle uyum içerisinde oldukları
görülmüştür.
SEMBOLLER
: Isı akımına dik sınır yüzey alanı (m2),
: Manyetik alan indüksiyonu (Wb),
: Akışkan özgül ısınma ısısı (kJ/kgK),
cp
A
B
E
F
g
I0
K
N
Nu
P
Q
qm
R
KSU. Journal of Science and Engineering 8(2)-2005
47
: Birim hacim için kinetik enerji (kg/m2s)
: Dış kuvvetler (N)
: Yerçekimi ivmesi (m/s2),
: Bessel Fonksiyonu
: Toplam ısı transferi katsayısı (W/m2K),
: Basınç artışı (N/m2),
: Nusselt sayısı,
: Basınç (N/m2),
: Toplam ısı akımı (W),
: Birim yüzeyden birim zamanda geçen ısı
geçişi (W/m2),
: Borunun yarıçapı (m),
: Yüzey ısı taşınım katsayısı ( W/m2K),
γ
:Akışkan
özgül
elektriksel
iletkenliği
(1/Ohm.m),
η
: Akışkan dinamik viskozitesi (kg.s/m2 ),
θ
: Boyutsuz sıcaklık,
λ
: Akışkan ısıl iletkenlik katsayısı (W/mK),
ν
: Kinematik viskozite (m2/s),
ρ
: Akışkan yoğunluğu (kg/m3),
ϕ , z, r : Silindirik sistemin koordinatları,
KAYNAKLAR
Aldaş, K., Karabulut, H. 2001. Yatay Bir Boru
Üzerindeki Laminer Film Yoğuşmasının Silindirik
ve Kartezyen Sınır Tabaka Denklemleriyle
Simülasyonu. Politeknik Dergisi, 4(2): 53-60
Jı, H.C., Gardner, R.A. 1996. Numerical Analysis of
Turbulent Pipe Flow in a Transverse Magnetic
Field. İnt. J. Heat Mass Transfer, 40(8): 1839-1851
Mihaylov, Y.U. 1990. Teploobmen v popereçnom
odnorodnom magnitnom pole, İzv, AN LSSR. No2
Nigam S.D., Singh S.N. 1991. Heat transfer by laminar
flow between parallel plates under acting of
transverse magnetic field, J. Of Mech. And Appl.,
Mathematics, 8, 65
Perlmutter, M., Siegel. R. 1990. Heat transfer to an
electrically conducting fluid flowing in a channel with
a transverse magnetic field, NASA TN, D-735
Racabovadiloğlu, Z. 2002. Isı Taşınımına Manyetik
Alanın Etkisi. Politeknik Dergisi, 5(4): 293 – 298
Targ, S.M.1951. Osnovniye Zadaçi Teori Laminarhıh
Teçeniy. Moskova, 420s.
Tastoush, B:, Al- Odat, M., 2004. Magnetic Field Effect
on Heat and Fluid Flow Over a Wavy Surface With a
Variable Heat Flux. J. Of Magnetism and Magnetic
Materials, 268(2004): 357-363
Yılmaz, T. Cihan, E. 1991. Değişik Kesit alanlı
Borularda Isı Transferinin Nümerik Hesaplanması.
Ç.Ü.Müh. Mim. Fak. Dergisi, 6(2): 101 – 114
Yüncü, H., Kakaç, S. 1999. Temel Isı Transferi. Bilim
Yayıncılık, Ankara.454s.
Zigel R. 1985. Vliyaniye magnitnogo polya na
konvektivnuyu teplootdaçu v kanale, obrazovannom
paralelnımi plastinami, Mekanika. No 5