Slayt 1 - KLU - TBMYO Elektrik

1
ALTERNATİF AKIMIN
DENKLEMİ
ALTERNATİF AKIM – Lineer ve Açısal Hız
Lineer ve Açısal Hız
Lineer hız 𝒗, lineer(doğrusal) yer değişiminin(𝒔) bu sürede geçen zamana oranı olarak
tanımlanır. Lineer hızın birimi 𝒎/𝒔 ‘dir. Doğru bir çizgide meydana gelen hareket için lineer
hız aşağıdaki gibi yazılır.
Lineer hız
𝒗=
𝒀𝒆𝒓 𝒅𝒆ğ𝒊ş𝒊𝒎𝒊
𝒁𝒂𝒎𝒂𝒏 𝒅𝒆ğ𝒊ş𝒊𝒎𝒊
=
𝒔
𝒕
(𝒎/𝒔)
Bir tekerleğin veya milin dönüş hızı genellikle dakikada
devir (d/d) veya saniyede devir sayısı (d/s) olarak ölçülür
ancak bu birimler tutarlı bir birim sisteminin parçası değildir.
SI sisteminde birim, bir saniyede döndürülen/dönülen açı
(rad/s) dır.
2
ELP-13104 Alternatif Akım Devre Analizi
Öğr.Gör. Volkan ERDEMİR
ALTERNATİF AKIM – Lineer ve Açısal Hız
Açısal Hız, bir merkez etrafındaki dönme hızını ifade eder. 𝝎 ile gösterilir ve zamana (𝒕)
göre açısal değişim (𝜽) olarak tanımlanır. Sabit bir hızda sabit bir eksen etrafında dönen bir
nesne için açısal hız aşağıdaki gibi yazılabilir.
Açısal hız
𝝎=
𝒀𝒆𝒓 𝒅𝒆ğ𝒊ş𝒊𝒎𝒊
𝑮𝒆ç𝒆𝒏 𝑺ü𝒓𝒆
=
𝜽
𝒕
(𝒓𝒂𝒅/𝒔)
Açısal hızın birimi, saniyede radyan (𝒓𝒂𝒅/𝒔) şeklindedir.
Saniyede 𝒏 devir hızda dönen cisim bir saniyede 𝟐𝝅𝒏 radyan
açısı yol alır, yani açısal hızı 𝝎 şu şekilde verilir:
Açısal hız
𝝎 = 𝟐𝝅. 𝒏 (𝒓𝒂𝒅/𝒔)
3
ELP-13104 Alternatif Akım Devre Analizi
Öğr.Gör. Volkan ERDEMİR
ALTERNATİF AKIM – Lineer ve Açısal Hız
Yer değişimi 𝒔 = 𝒓. 𝜽 denkleminde açı değişimi 𝜽 = 𝝎. 𝒕 yerine konulup 𝒔 = 𝒓. 𝝎. 𝒕
denklemi ile 𝒔 = 𝒗. 𝒕 denklemi eşitlenerek 𝒓. 𝝎. 𝒕 = 𝒗. 𝒕 ‘den açısal hız ile lineer hız
arasındaki ilişki aşağıdaki denklem şeklinde yazılır.
Lineer hız
𝑳𝒊𝒏𝒆𝒆𝒓 𝒉ı𝒛 = 𝑨çı𝒔𝒂𝒍 𝒉ı𝒛. 𝒀𝒂𝒓ıç𝒂𝒑
𝒗 = 𝝎. 𝒓
v
v

v
r


Dönüş
ekseni
S
r
r
 2 f
f=devir sayısı
Lineer ve Açısal hız
4
ELP-13104 Alternatif Akım Devre Analizi
Öğr.Gör. Volkan ERDEMİR
ALTERNATİF AKIM – Lineer ve Açısal Hız
𝟏𝟓𝟎𝟎
Örnek: 𝟓𝟒𝟎𝒎𝒎 çapa sahip bir çark
𝒅/𝒅 hızla dönmektedir. Çarkın açısal hızını ve
𝝅
çarkın kenarındaki bir noktanın lineer hızını hesaplayın.
Verilenler Çarkın çapı
𝒅 = 𝟓𝟒𝟎𝒎𝒎 = 𝟎, 𝟓𝟒𝒎
𝟏𝟓𝟎𝟎
𝒅/𝒅
𝝅
𝟏𝟓𝟎𝟎
𝒅/𝒔
𝟔𝟎.𝝅
Çarkın devir sayısı
𝒏=
Açısal hız
𝝎 = 𝟐𝝅. 𝒏 = 𝟐𝝅.
=
𝟏𝟓𝟎𝟎
𝟔𝟎.𝝅
𝝎 = 𝟓𝟎 𝒓𝒂𝒅/𝒔
Lineer hız
𝒏 = 𝟐𝝅. 𝒏 = 𝟓𝟎. 𝟎, 𝟐𝟕
𝒗 = 𝟏𝟑, 𝟓𝒎/𝒔
5
ELP-13104 Alternatif Akım Devre Analizi
Öğr.Gör. Volkan ERDEMİR
ALTERNATİF AKIM – Lineer ve Açısal Hız
Örnek: 𝟔𝟒, 𝟖𝒌𝒎/𝒉 hızla gitmekte olan bir araba 𝟔𝟎𝟎𝒎𝒎 tekerlek çapına sahiptir.
Tekerleklerin 𝒓𝒂𝒅/𝒔 ve 𝒅/𝒅 cinsinden açısal hızını bulunuz.
Verilenler Tekerlek çapı
𝒅 = 𝟔𝟎𝟎𝒎𝒎 = 𝟎, 𝟔𝟎𝒎
Tekerleğin lineer hızı
Açısal hız(rad/s)
𝒗 = 𝟔𝟒, 𝟖𝒅/𝒅 = 𝟔𝟒, 𝟖.
𝒗
𝒓
𝝎= =
𝟏𝟎𝟎𝟎
𝟑𝟔𝟎𝟎
⟹ 𝒗 = 𝟏𝟖𝒎/𝒔
𝟏𝟖
𝟎,𝟑
𝝎 = 𝟔𝟎𝒓𝒂𝒅/𝒔
Açısal hız
𝒏=
𝒏=
𝝎
𝟐𝝅
𝟔𝟎
𝟐𝝅
𝒅𝒆𝒗𝒊𝒓
𝟗, 𝟓𝟒𝟗
𝒔
=
= 𝟓𝟕𝟐, 𝟗𝟓𝟖 𝒅/𝒅
6
ELP-13104 Alternatif Akım Devre Analizi
Öğr.Gör. Volkan ERDEMİR
ALTERNATİF AKIM – Genel Tanımlar
Ani ve Maksimum Değerler
Ani ve Maksimum Değerler
• Alternatif akımın elde edilişi incelendiğinde iletkenin 90 ve 270’lik dönme
hareketinin sonunda maksimum emk’nın indüklendiği görülür.
• Alternatif akımın en büyük bu değerlerine Tepe Değeri ya da Maksimum Değer
denir.
• Maksimum değer emk’ı için Em, gerilim için Um ve akım için Im sembolleri kullanılır.
7
Alternatif akımın maksimum ve ani değerleri
ELP-13104 Alternatif Akım Devre Analizi
Öğr.Gör. Volkan ERDEMİR
ALTERNATİF AKIM – Genel Tanımlar
Ani ve Maksimum Değerler
• Alternatif akım, değeri zamanla değişen akımdır.
• Alternatif akımın herhangi bir andaki değerine Ani Değeri denir.
• Emk için ani değer e, gerilim için u ve akım için i ile gösterilir. Ani değerlerin en büyüğü
maksimum değerdir.
• Em değeri, iletkenin kuvvet çizgilerine dik hareket etmesi halinde indüklenen emk’dır.
• Emk manyetik alnın endüksiyonuna (B), iletkenin manyetik alan içindeki boyuna (l) ve
iletkenin hızına (v) bağlıdır.
𝑬𝒎 = 𝑩. 𝒍. 𝒗 (𝑽)
Em , indüklenen maksimum emk (volt)
B , manyetik endüksiyon (tesla)
l, İletkenin manyetik alan içindeki boyu (metre)
v , iletkenin hızı(m/s)
8
ELP-13104 Alternatif Akım Devre Analizi
Öğr.Gör. Volkan ERDEMİR
ALTERNATİF AKIM – Genel Tanımlar
Alternatif Akımın Denklemi
•
•
•
•
Alternatif Akımın Denklemi
Alternatif akım, alternatif gerilim ile beraber değişim gösterir.
Alternatif akım, zamanın bir fonksiyonu olarak aşağıdaki denklemler ile matematiksel
olarak açıklanabilir.
Emk’nın ani değeri,  açısının sinüsü ile değişir.
Emk’nın herhangi bir açı (α) değerindeki ani değeri;
𝒆 = 𝑬𝒎 . 𝒔𝒊𝒏𝜶
olarak yazılır.
9
ELP-13104 Alternatif Akım Devre Analizi
Öğr.Gör. Volkan ERDEMİR
ALTERNATİF AKIM – Genel Tanımlar - Alternatif Akımın Denklemi
Radyan ve Açısal Hız Kavramı
•
Açısal hız; bir cismin (iletkenin) dairesel bir yörünge üzerinde birim zamanda kat ettiği açı
cinsinden yoldur.
•
Açısal hız, ω ile gösterilir ve birimi radyan/saniye (rad/s) ’dir.
•
Radyan, bir dairede yarıçap uzunluğundaki yay parçasını gören merkez açıya eşit açı ölçme
𝟏𝟖𝟎
birimidir. 1 radyan 𝝅 ya da yaklaşık 57,2958° ‘dir (57°17′45″).
•
Radyan ile derece arasındaki dönüşüm aşağıdaki denklemde olduğu gibidir.
𝑫
𝟏𝟖𝟎
𝑹
=𝝅
𝝅 𝒓𝒂𝒅 = 𝟏𝟖𝟎°
𝟏 𝒓𝒂𝒅 = 𝟓𝟕, 𝟐𝟗𝟓°
•
Dairesel bir yörüngede meydana gelen hareketlerde açı
olarak Radyan (R) kullanılır.
•
Açısal hız ile frekansın ilişkisi 𝝎 =
ELP-13104 Alternatif Akım Devre Analizi
𝟐𝝅
𝑻
= 𝟐𝝅. 𝒇 (𝒓𝒂𝒅/𝒔) ‘dir.
Radyanın tanımının görsel ifadesi ve
π (pi) ile ilişkisi
Öğr.Gör. Volkan ERDEMİR
10
ALTERNATİF AKIM – Genel Tanımlar - Alternatif Akımın Denklemi
Radyan ve Açısal Hız Kavramı
•
Ani değer denkleminde  elektrik açısı yerine  açısal hızını kullanırsak 𝜶 = 𝝎. 𝒕 olduğundan
emk’nın herhangi bir t (zaman) anındaki ani değeri;
𝒆 = 𝑬𝒎 . 𝒔𝒊𝒏𝝎𝒕
‘dır.
Açısal hız yerine konularak
𝒆 = 𝑬𝒎 . 𝒔𝒊𝒏𝟐𝝅𝒇𝒕
yazılır.
e, emk’nın ani değeri(volt)
Em, emk’nın maksimum değeri(volt)
, açısal hız(radyan/saniye)
t , zaman(saniye)
Bu durumda alternatif akım ve gerilim denklemleri de;
𝒊 = 𝑰𝒎 . 𝒔𝒊𝒏𝝎𝒕 (Akım için ani değer denklemi)
𝒖 = 𝑼𝒎 . 𝒔𝒊𝒏𝝎𝒕
(Gerilim için ani değer denklemi)
11
ELP-13104 Alternatif Akım Devre Analizi
Öğr.Gör. Volkan ERDEMİR
ALTERNATİF AKIM – Ani Değer Denklemi
i, u
i, u
I m, U m
I m,U m
Pozitif
Maksimum
Pozitif
Maksimum
/4

3/2
Negatif
Maksimum
2
180°
270°
360°
 (°)
Negatif
Maksimum
I m,U m
Zaman değeri verilmiş
90°
 t (rad)
I m ,U m
𝒊 = 𝑰𝒎 . 𝒔𝒊𝒏𝝎𝒕=𝑰𝒎 . 𝒔𝒊𝒏𝟐𝝅𝒇𝒕
𝒖 = 𝑼𝒎 . 𝒔𝒊𝒏𝝎𝒕 = 𝑼𝒎 . 𝒔𝒊𝒏𝟐𝝅𝒇𝒕
Açı değeri verilmiş
Alternatif akımın ani değer denklemleri
ELP-13104 Alternatif Akım Devre Analizi
Öğr.Gör. Volkan ERDEMİR
𝒊 = 𝑰𝒎 . 𝒔𝒊𝒏α
𝒖 = 𝑼𝒎 . 𝒔𝒊𝒏α
12
ALTERNATİF AKIM – Hesap Makinesi Kullanımı1
*Hesap Makinesi Kullanımı:
Hesap makinesi (CASIO fx-82ES)
SHIFT
MODE
3
tuşlarına basılarak Dereceye ayarlanır. Bu
durumda hesap makinesi ekranında (D) simgesi görülür.
SHIFT
Hesap makinesinde (CASIO fx-82ES)
MODE
4
tuşlarına basılarak Radyana ayarlanır. Bu durumda hesap makinesi ekranında
(R) simgesi görülür.
Hesap Makinesine Reset Atma
SHIFT
9
3
=
=
13
ELP-13104 Alternatif Akım Devre Analizi
Öğr.Gör. Volkan ERDEMİR
ALTERNATİF AKIM – Hesap Makinesi Kullanımı2
𝑫
𝟏𝟖𝟎
Derece Radyan arasındaki ilişki
𝑹
=𝝅
Dereceyi Radyana dönüştürme:
𝝅
Verilen ifade 𝟏𝟖𝟎 ile çarpılarak sonuç elde edilir.
𝝅
𝝅
𝝅
𝟑𝟎° = 𝟔 𝒓𝒂𝒅 𝟒𝟓° = 𝟒 𝒓𝒂𝒅
𝟔𝟎° = 𝟑 𝒓𝒂𝒅
𝝅
𝟗𝟎° = 𝟐 𝒓𝒂𝒅 𝟏𝟖𝟎° = 𝝅 𝒓𝒂𝒅
Radyanı Dereceye dönüştürme:
Verilen ifade
𝝅
𝒓𝒂𝒅
𝟑
𝟏𝟖𝟎
𝝅
ile bölünerek sonuç elde edilir.
= 𝟔𝟎°
𝟑𝝅
𝒓𝒂𝒅
𝟒
= 𝟏𝟑𝟓°
𝟑𝝅
𝒓𝒂𝒅
𝟐
𝝅
𝒓𝒂𝒅
𝟒
ELP-13104 Alternatif Akım Devre Analizi
= 𝟐𝟕𝟎°
= 𝟒𝟓°
Öğr.Gör. Volkan ERDEMİR
14
ALTERNATİF AKIM – Alternatif Akımın Denklemi
Örnek1
Örnek1: Frekansı 50Hz olan bir alternatör maksimum değeri 170V olan alternatif bir emk
üretmektedir. Üretilen emk’nın denklemini yazarak, =30‘deki ani değerini ve t=0,002sn’deki ani değeri
bulunuz.
Verilenler
Um=170V
50Hz
=30‘
t=0,002sn
ÖNEMLİ NOT: Açı() değeri verilmiş olanlarda hesaplamalar DERECE de (D), Zaman(t) verilmiş
olanlarda hesaplamalar RADYAN da (R) yapılacaktır.
Açısal Hız
𝝎 = 𝟐. 𝝅. 𝒇 = 𝟐. 𝝅. 𝟓𝟎 = 𝟏𝟎𝟎. 𝝅 𝒓𝒂𝒅/𝒔𝒏
Gerilimin ani değer denklemi radyan çözümü için
𝒆 = 𝑬𝒎 . 𝒔𝒊𝒏𝝎𝒕 = 𝟏𝟕𝟎. 𝒔𝒊𝒏𝟏𝟎𝟎𝝅𝒕
Gerilimin ani değer denklemi derece çözümü için
𝒆 = 𝑬𝒎 . 𝒔𝒊𝒏𝜶
ELP-13104 Alternatif Akım Devre Analizi
15
Öğr.Gör. Volkan ERDEMİR
ALTERNATİF AKIM – Alternatif Akımın Denklemi
Örnek1 – Devam
 = 𝟑𝟎‘deki ani değeri için
𝒆 = 𝑬𝒎 . 𝒔𝒊𝒏𝜶 = 𝟏𝟕𝟎. 𝒔𝒊𝒏𝟑𝟎° = 𝟖𝟓𝑽 olur.
Çözüm için hesap makinesinde (CASIO fx-82ES) derecede işlem
1
7
0
X
sin
3
0
)
t = 0,002sn’deki ani değeri için radyan çözüm
𝒆 = 𝟏𝟕𝟎. 𝒔𝒊𝒏𝟏𝟎𝟎. 𝝅. 𝒕 = 𝟏𝟕𝟎. 𝒔𝒊𝒏 𝟏𝟎𝟎. 𝝅. 𝟎, 𝟎𝟎𝟐
𝒆 = 𝟏𝟕𝟎. 𝒔𝒊𝒏(𝟎, 𝟐. 𝝅)𝑹 = 𝟗𝟗, 𝟗𝟐𝟑𝑽
𝑹
Çözüm için hesap makinesinde (CASIO fx-82ES) radyanda işlem
1
7
0
X
sin
3
1
4
X
0
0
0
2
)
16
ELP-13104 Alternatif Akım Devre Analizi
Öğr.Gör. Volkan ERDEMİR
ALTERNATİF AKIM – Hesap Makinesi Kullanımı3
*Hesap Makinesi Kullanımı:
Sinüsü verilmiş olan ifadenin açısının derece cinsinden bulunması
SHIFT
sin
değer
)
Kosinüsü verilmiş olan ifadenin açısının derece cinsinden bulunması
SHIFT
cos
değer
)
Tanjant değeri verilmiş olan ifadenin açısının derece cinsinden
bulunması
SHIFT
tan
değer
)
17
ELP-13104 Alternatif Akım Devre Analizi
Öğr.Gör. Volkan ERDEMİR
ALTERNATİF AKIM – Hesap Makinesi Kullanımı4
*Hesap Makinesi Kullanımı:
Derece cinsinden açının Radyana dönüştürülmesi (Hesap makinesi
Radyanda olmalıdır)
değer
SHIFT
ANS
1
Radyan cinsinden açının Dereceye dönüştürülmesi (Hesap makinesi
Derecede olmalıdır)
değer
SHIFT
ANS
2
18
ELP-13104 Alternatif Akım Devre Analizi
Öğr.Gör. Volkan ERDEMİR
ALTERNATİF AKIM – Alternatif Akımın Denklemi
Örnek2
Örnek2: Maksimum değeri 10A olan bir alternatif akımın frekansı 50Hz ‘dir. Bu akımın
sıfırdan başlayıp 8A’lik ani değere ulaşması için geçecek zamanı bulunuz.
Verilenler
𝑰𝒎 = 𝟏𝟎𝑨
𝒇 = 𝟓𝟎𝑯𝒛
t anındaki ani değeri
𝒊 = 𝟏𝟎𝑨
Radyanlı çözüm için
𝒊 = 𝑰𝒎 . 𝒔𝒊𝒏𝝎𝒕 = 𝟏𝟎. 𝒔𝒊𝒏(𝟐. 𝝅. 𝟓𝟎. 𝒕)
𝒊 = 𝟏𝟎. 𝒔𝒊𝒏(𝟏𝟎𝟎. 𝝅. 𝒕) = 𝟏𝟎. 𝒔𝒊𝒏𝜶
Yukarıda yazılı eşitliğe göre 𝟏𝟎𝟎. 𝝅. 𝒕 = 𝜶 (𝒓𝒂𝒅/𝒔𝒏)
Derece çözüm için
𝟖 = 𝟏𝟎. 𝒔𝒊𝒏𝜶 ⇒ 𝒔𝒊𝒏𝜶 = 𝟎, 𝟖
Sinüsü 0,8 olan açı değeri hesap makinesi ile
𝒔𝒊𝒏𝜶 = 𝟎, 𝟖 ⇒ 𝜶 = 𝟓𝟑, 𝟏𝟑°
SHIFT
sin
ELP-13104 Alternatif Akım Devre Analizi
0
8
)
Öğr.Gör. Volkan ERDEMİR
19
ALTERNATİF AKIM – Genel Tanımlar
Açı değeri radyan cinsinden ifade edilirse;
𝜶 = 𝟓𝟑, 𝟏𝟑° ⇒ 𝜶 = 𝟎, 𝟗𝟐𝟕𝑹 olarak yazılır.
Buradan genel ani değer denklemi ile eşitlenerek;
𝟏𝟎𝟎. 𝛑. 𝒕 = 𝜶 ⇒ 𝟏𝟎𝟎𝝅. 𝒕 ⇒ 𝟎, 𝟗𝟐𝟕 ⇒ 𝒕 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟐𝟗𝟓𝒔𝒏
Çözüm için hesap makinesinde (CASIO fx-82ES) radyanda işlem
5
3
1
3
SHIFT
ANS
1
20
ELP-13104 Alternatif Akım Devre Analizi
Öğr.Gör. Volkan ERDEMİR
ALTERNATİF AKIM – Alternatif Akımın Denklemi
Örnek3
Örnek3: Frekansı 50Hz olan bir alternatif gerilimin maksimum değeri 120V ise bu gerilimin
denklemini bulunuz.
Verilenler
𝒇 = 𝟓𝟎𝑯𝒛
𝑼 = 𝟏𝟐𝟎𝑽
Gerilimin denklemi
𝒖 = 𝑼𝒎 . 𝒔𝒊𝒏𝝎𝒕 = 𝟏𝟐𝟎. 𝒔𝒊𝒏(𝟐𝝅. 𝟓𝟎. 𝒕)
𝒖 = 𝟏𝟐𝟎. 𝒔𝒊𝒏(𝟏𝟎𝟎. 𝝅. 𝒕)
i,u
Um=120V
t (s)
f=50Hz
T=0,02s
ELP-13104 Alternatif Akım Devre Analizi
Öğr.Gör. Volkan ERDEMİR
21
ALTERNATİF AKIM – Alternatif Akımın Denklemi
Örnek4
Örnek4: Maksimum değeri 100V, frekansı 50Hz olan alternatif gerilimin 1msn’deki ani
değerini hesaplayınız.
Verilenler
𝑼𝒎 = 𝟏𝟎𝟎𝑽
𝒇 = 𝟓𝟎𝑯𝒛
𝒕 = 𝟏𝒎𝒔
Gerilimin denklemi
𝒖 = 𝑼𝒎 𝒔𝒊𝒏𝝎𝒕 = 𝟏𝟎𝟎. 𝒔𝒊𝒏(𝟐. 𝝅. 𝟓𝟎. 𝒕)
𝒖 = 𝟏𝟎𝟎. 𝒔𝒊𝒏(𝟏𝟎𝟎. 𝝅. 𝒕)
t=1msn’deki ani değer (Radyan çözümü)
𝒖 = 𝟏𝟎𝟎. 𝒔𝒊𝒏(𝟏𝟎𝟎. 𝝅. 𝒕) = 𝟏𝟎𝟎. 𝒔𝒊𝒏 𝟏𝟎𝟎. 𝝅. 𝟎, 𝟎𝟎𝟏
𝒖 = 𝟏𝟎𝟎. 𝒔𝒊𝒏 𝟎, 𝟏. 𝝅 𝑹 = 𝟑𝟎, 𝟗𝟎𝟐𝑽
u
Um=100V
𝑹
Ut=30,902V
15ms
1ms
5ms
20ms
t (s)
10ms
f=50Hz
T=0,02s
22
ELP-13104 Alternatif Akım Devre Analizi
Öğr.Gör. Volkan ERDEMİR
ALTERNATİF AKIM – Genel Tanımlar
Çözüm için hesap makinesinde (CASIO fx-82ES) radyanda işlem
1
0
0
X
sin
2
X
0
X
SHIFT
0
X10
X
5
0
1
)
0
Çözüm için hesap makinesinde (CASIO fx-82ES) radyana almadan işlem
1
0
0
X
sin
0
(
0
2
0
X
1
SHIFT
)
X10
SHIFT
X
5
Ans
2
0
X
)
23
ELP-13104 Alternatif Akım Devre Analizi
Öğr.Gör. Volkan ERDEMİR
ALTERNATİF AKIM – Alternatif Akımın Denklemi
Örnek5
Örnek5: Maksimum değeri 10A olan bir sinüssel alternatif akımın frekansı 50Hz’dir. Akım
sıfırdan başlayarak 1/100sn ve 1/200sn’deki değerlerini bulunuz.
Akımın denklemi
𝒊 = 𝑰𝒎 𝒔𝒊𝒏𝝎𝒕 = 𝟏𝟎. 𝒔𝒊𝒏(𝟐. 𝝅. 𝟓𝟎. 𝒕)
𝒊 = 𝟏𝟎. 𝒔𝒊𝒏(𝟏𝟎𝟎. 𝝅. 𝒕)
t=1/100sn’deki ani değer
i2=10A
𝒊 = 𝟏𝟎. 𝒔𝒊𝒏 𝟏𝟎𝟎. 𝝅. 𝒕 = 𝟏𝟎𝟎. 𝒔𝒊𝒏
𝒊 = 𝟏𝟎. 𝒔𝒊𝒏 𝝅
𝑹
i
𝟏 𝑹
𝟏𝟎𝟎. 𝝅. 𝟏𝟎𝟎
= 𝟎𝑨 (Sıfırı kestiği nokta)
i1=0A
15ms
5ms
20ms
t (s)
10ms
f=50Hz
T=0,02s
24
ELP-13104 Alternatif Akım Devre Analizi
Öğr.Gör. Volkan ERDEMİR
ALTERNATİF AKIM – Alternatif Akımın Denklemi
Örnek6
Örnek6: Frekansı 50Hz olan bir alternatör, maksimum değeri 169,73V olan alternatif bir emk
üretmektedir. Üretilen emk’nın denklemini yazarak =135’deki ani değerini ve t=0,012sn’deki değerini
bulunuz.
Emk denklemi
𝒆 = 𝑬𝒎 𝒔𝒊𝒏𝜶 = 𝟏𝟔𝟗, 𝟕𝟑. 𝒔𝒊𝒏𝟏𝟑𝟓°
𝒆 = 𝑬𝒎 𝒔𝒊𝒏𝝎𝒕 = 𝟏𝟔𝟗, 𝟕𝟑. 𝒔𝒊𝒏𝟐𝝅. 𝟓𝟎. 𝒕
𝒆 = 𝟏𝟔𝟗, 𝟕𝟑. 𝒔𝒊𝒏𝟏𝟎𝟎𝝅𝒕
α=135°’deki ani değer
𝒆 = 𝟏𝟔𝟗, 𝟕𝟑. 𝒔𝒊𝒏𝟏𝟑𝟓° = 𝟏𝟐𝟎, 𝟎𝟏𝟕𝑽
t=0,012sn’deki ani değer
𝒆 = 𝟏𝟔𝟗, 𝟕𝟑. 𝒔𝒊𝒏𝟏𝟎𝟎𝝅𝒕 = 𝟏𝟔𝟗, 𝟕𝟑. 𝒔𝒊𝒏 𝟏𝟎𝟎. 𝝅. 𝟎, 𝟎𝟏𝟐
𝒆 = −𝟗𝟗, 𝟕𝟔𝟓𝑽
𝑹
25
ELP-13104 Alternatif Akım Devre Analizi
Öğr.Gör. Volkan ERDEMİR
ALTERNATİF AKIM – Alternatif Akımın Denklemi
Örnek6
i,u
i,u
Um=169,73V
Um=169,73V
u1=120,017V
270
360
0
90
t (s)
12ms 15ms
135 180
5ms
20ms
t (s)
10ms
u2=-99,765V
f=50Hz
T=0,02s
Sinyalin 𝜶 = 𝟏𝟑𝟓°’deki ani değeri
f=50Hz
T=0,02s
Sinyalin 𝐭 = 𝟏𝟐𝒎𝒔’deki ani değeri
26
ELP-13104 Alternatif Akım Devre Analizi
Öğr.Gör. Volkan ERDEMİR
ALTERNATİF AKIM – Alternatif Akımın Denklemi
Çalışma Soruları
Çalışma Soruları:
Örnek1: Çıkışından frekansı 1kHz ve maksimum değeri 7,5V olan alternatif gerilim
veren sinyal jeneratörünün geriliminin denklemini yazarak =30’ deki ani değerini ve
t=10msn’ deki değerini bulunuz.
Örnek2: Bir alternatörde üretilen 60Hz frekanslı sinüsoidal emk’in maksimum
değeri 100V’tur. Emk’in açısal hızını ve 0,005sn’deki ani değerini hesaplayınız.
Örnek3: Ani değer denklemi u = 150sin300t olan gerilimin 80V’luk ani değere
ulaşması için geçen süreyi bulunuz.
27
ELP-13104 Alternatif Akım Devre Analizi
Öğr.Gör. Volkan ERDEMİR
ALTERNATİF AKIMIN ORTALAMA VE ETKİN
DEĞERLERİ
28
ALTERNATİF AKIM – Ortalama ve Etkin Değerler
Ortalama Değer
•
Bir saykıldaki ani değerlerin ortalamasına alternatif akımın ortalama değeri denir.
•
Gerilimin ortalama değeri Uor ve akımın ortalama değeri Ior ile gösterilir.
•
Bir saykıldaki ani değerler toplanıp alınan ani değer sayısına bölünürse ortalama değer elde
edilir.
𝑼𝒐𝒓 =
𝑰𝒐𝒓 =
𝒖𝟏 +𝒖𝟐 +𝒖𝟑 +⋯+𝒖𝒏
𝒏
𝒊𝟏 +𝒊𝟐 +𝒊𝟑 +⋯+𝒊𝒏
𝒏
Gerilimin ortalama değeri
Akımın ortalama değeri
29
Alternatif akımın ortalama değeri
ELP-13104 Alternatif Akım Devre Analizi
Öğr.Gör. Volkan ERDEMİR
ALTERNATİF AKIM – Ortalama ve Etkin Değerler
𝑰𝒐𝒓 =
𝟎,𝟏𝟕𝟑𝟔+𝟎,𝟓+𝟎,𝟕𝟔𝟔+𝟎,𝟗𝟑𝟗𝟕+𝟏+𝟎,𝟗𝟑𝟗𝟕+𝟎,𝟕𝟔𝟔+𝟎,𝟓+𝟎,𝟏𝟕𝟑𝟔
𝟗
= 𝟎, 𝟔𝟑𝟗𝟖𝑨
Alternatif akımın yarı saykılı için sonsuz sayıda ani değer alınırsa ortalama değer;
𝟐/𝝅 = 𝟎, 𝟔𝟑𝟔. 𝑰𝒎 şeklinde elde edilir.
𝑰𝒐𝒓 = 𝟎, 𝟔𝟑𝟔. 𝑰𝒎 (Akımın ortalama değeri)
𝑼𝒐𝒓 = 𝟎, 𝟔𝟑𝟔. 𝑼𝒎 (Gerilimin ortalama değeri)
30
ELP-13104 Alternatif Akım Devre Analizi
Öğr.Gör. Volkan ERDEMİR
ALTERNATİF AKIM – Ortalama ve Etkin Değerler
Etkin Değer
•
Doğru akımın yaptığı işe eşit iş yapan alternatif akımın doğru akıma eş olan değerine etkin
değer adı verilir.
•
Doğru akımın yaptığı iş 𝑾 = 𝑰𝟐 𝑹𝒕 formülünden görüldüğü gibi akımın karesine bağlıdır.
•
Alternatif akımın yaptığı iş de ani değerlerin karesiyle ilgili olacaktır.
•
Alternatif akımın etkin değeri ani değerlerin karelerinin ortalamasının karekökü olarak
tanımlanır.
𝑰=
𝑼=
𝒊𝟐𝟏 +𝒊𝟐𝟐 +𝒊𝟐𝟑 +...+𝒊𝟐𝒏
(Akımın Etkin Değeri)
𝒏
𝒖𝟐𝟏 +𝒖𝟐𝟐 +𝒖𝟐𝟑 +...+𝒖𝟐𝒏
𝒏
(Gerilimin Etkin Değeri)
31
ELP-13104 Alternatif Akım Devre Analizi
Öğr.Gör. Volkan ERDEMİR
ALTERNATİF AKIM – Ortalama ve Etkin Değerler
Etkin değer hesabında ani değerlerin kareleri alındığından negatif ani değerlerin kareleri de
pozitif olur. Bu nedenle alternatif akımın bir saykılı için etkin değeri sıfır olmaz.
𝑰=
𝟎,𝟏𝟕𝟑𝟔𝟐 +𝟎,𝟓𝟐 +𝟎,𝟕𝟔𝟔𝟐 +𝟎,𝟗𝟑𝟗𝟕𝟐 +𝟏𝟐 +𝟎,𝟗𝟑𝟗𝟕𝟐 +𝟎,𝟕𝟔𝟔𝟐 +𝟎,𝟓𝟐 +𝟎,𝟏𝟕𝟑𝟔𝟐
𝟗
𝑰 = 𝟎, 𝟕𝟎𝟕𝟏𝑨 olarak elde edilir.
Alternatif akımın etkin değeri
ELP-13104 Alternatif Akım Devre Analizi
32
Öğr.Gör. Volkan ERDEMİR
ALTERNATİF AKIM – Ortalama ve Etkin Değerler
Eğer sonsuz sayıda ani değer alınırsa
𝟏
𝟐 = 𝟎, 𝟕𝟎𝟕
olarak elde edilir.
Buradan akımın ve gerilimin etkin değeri;
𝑰 = 𝟎, 𝟕𝟎𝟕. 𝑰𝒎 ve 𝑼 = 𝟎, 𝟕𝟎𝟕. 𝑼𝒎 olarak yazılır.
Önemli Not: Alternatif akımda voltmetre ve ampermetreler etkin değeri gösterirlerken
doğru akımda ortalama değeri gösterirler.
Herhangi bir dalga şekline ait ortalama ve etkin değer ifadeleri aşağıdaki formüllerle elde
edilebilir.
𝟏
𝑶𝒓𝒕𝒂𝒍𝒂𝒎𝒂 𝑫𝒆ğ𝒆𝒓
𝑰𝒐𝒓𝒕 = 𝑻
𝑬𝒕𝒌𝒊𝒏 𝑫𝒆ğ𝒆𝒓
𝑰=
𝑻
𝒊 𝒅𝒕
𝟎 (𝒕)
𝟏 𝑻 𝟐
𝒊 𝒅𝒕
𝑻 𝟎 (𝒕)
33
ELP-13104 Alternatif Akım Devre Analizi
Öğr.Gör. Volkan ERDEMİR
ALTERNATİF AKIM – Ortalama ve Etkin Değerler
Örnek: Maksimum değeri 12A olan akımın ortalama ve etkin değerini hesaplayınız.
Ortalama değer
𝑰𝒐𝒓𝒕 = 𝑰𝒎 . 𝟎, 𝟔𝟑𝟔 = 𝟏𝟐. 𝟎, 𝟔𝟑𝟔 = 𝟕, 𝟔𝟑𝟐𝑨
Etkin değer
𝐈 = 𝑰𝒎 . 𝟎, 𝟕𝟎𝟕 = 𝟏𝟐. 𝟎, 𝟕𝟎𝟕 = 𝟖, 𝟒𝟖𝟒𝑨
34
ELP-13104 Alternatif Akım Devre Analizi
Öğr.Gör. Volkan ERDEMİR
ALTERNATİF AKIM – Ortalama ve Etkin Değerler
Örnek: Şehir şebekesinin gerilimi 220V olduğuna göre;
a. Maksimum değeri;
b. Ortalama değeri bulunuz.
Önemli Hatırlatma: Soruda verilen 220V’luk gerilim değeri etkin değeri ifade eder.
Alternatif gerilimde gerilimin değeri etkin değer olarak verilir.
a) Maksimum değer
𝑼
𝟐𝟐𝟎
𝑼𝒎 = 𝟎,𝟕𝟎𝟕 = 𝟎,𝟕𝟎𝟕 = 𝟑𝟏𝟏, 𝟏𝟕𝟒𝑽
b) Ortalama değer
𝑼𝒐𝒓𝒕 = 𝑼𝒎 . 𝟎, 𝟔𝟑𝟔 = 𝟑𝟏𝟏, 𝟏𝟕𝟒. 𝟎, 𝟔𝟑𝟔 = 𝟏𝟗𝟕, 𝟗𝟎𝟕𝑽
35
ELP-13104 Alternatif Akım Devre Analizi
Öğr.Gör. Volkan ERDEMİR
ALTERNATİF AKIM – Ortalama ve Etkin Değerler
Çalışma Soruları
Örnek1: Etkin değeri 220V ve frekansı 50Hz olan alternatif gerilimin t=1msn’deki ani değerini
hesaplayınız.
Örnek2: Maksimum değeri 10A olan sinüssel alternatif akımın frekansı 50Hz’dir. Bu akımın
1/100sn ve 1/250sn’deki ani değerlerini hesaplayınız.
Örnek3: 𝒊 = 𝟏, 𝟖 𝐬𝐢𝐧 𝟑𝟏𝟒𝒕 şeklinde ani değer denklemine sahip olan akımın 1,2A’lik ani
değere ulaşması için geçen süreyi bulunuz.
Örnek4: Bir devrede direnç üzerinde düşen gerilim 56,56V olarak ölçülüyor. 50Hz’lik frekansa
sahip olan bu gerilimin 16,5msn’deki ani değerini bulunuz.
36
ELP-13104 Alternatif Akım Devre Analizi
Öğr.Gör. Volkan ERDEMİR
Deneysel Çalışma2
Çıkışından frekansı 1kHz ve maksimum değeri 10V olan alternatif gerilim veren
sinyal jeneratörünün geriliminin denklemini yazınız; etkin ve ortalama değerlerini bulunuz.
𝒇 = 𝟏𝒌𝑯𝒛
𝑼𝒎 = 𝟏𝟎𝑽
Hesaplamalar:
Sinyalin denklemi
𝒖 = 𝑼𝒎 . 𝒔𝒊𝒏𝝎𝒕 = 𝟏𝟎. 𝒔𝒊𝒏(𝟐. 𝝅. 𝟏𝟎𝟎𝟎. 𝒕)
𝒖 = 𝟏𝟎. 𝒔𝒊𝒏(𝟐𝟎𝟎𝟎. 𝝅. 𝒕)
Ortalama değer
𝑼𝒐𝒓𝒕 = 𝑼𝒎 . 𝟎, 𝟔𝟑𝟔 = 𝟏𝟎. 𝟎, 𝟔𝟑𝟔 = 𝟔, 𝟑𝟔𝑽
Etkin değer
𝑼 = 𝑼𝒎 . 𝟎, 𝟕𝟎𝟕 = 𝟏𝟎. 𝟎, 𝟕𝟎𝟕 = 𝟕, 𝟎𝟕𝑽
37
1.
2.
3.
4.
5.
Deneyin Yapılışı
Gerekli deney bağlantısını yapınız.
Sinyal jeneratöründen gerilimi, maksimum değeri 15V olacak şekilde ayarlayınız.
Osiloskop ekranından ekran görüntüsünü kaydediniz.
Osiloskop yardımıyla maksimum gerilimi, sinyalin periyodunu hesaplayınız.
Multimetre yardımıyla ortalama ve etkin değerleri ölçerek hesaplanan sonuçlarla
karşılaştırınız.
38
Deneyden elde edilen veriler
Giriş sinyalinin osiloskop ekran görüntüsü
Volts/div
Dikey
kare
Time/div
Yatay
kare
Etkin
değer
Hesaplanan
değer
Ölçülen
değer
Periyot
Frekans
Ortalama
değer
39
KAYNAKLAR
• YAĞIMLI, Mustafa; AKAR, Feyzi; Alternatif Akım Devreleri & Problem Çözümleri,
Beta Basım, Ekim 2004
• MARTI, İ. Baha; GÜVEN, M. Emin; COŞKUN, İsmail; Elektroteknik Cilt I, 1998
• MARTI, İ. Baha; GÜVEN, M. Emin; Elektroteknik Cilt II, 1998
• RIEDEL, Susan A; NILLSON, James W; Elektrik Devreleri, Palme Yayıncılık, Ankara
2015
• BIRD, John; Higher Engineering Mathematics 5. Edition, 2006
• www.wikipedia.org
40