ankara üniversitesi fen bilimleri enstitüsü doktora tezi yüzeylere dair

ANKARA ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
DOKTORA TEZİ
YÜZEYLERE DAİR BAZI DİFERENSİYEL GEOMETRİK EŞİTSİZLİKLER
Serpil KARAGÖZ
MATEMATİK ANABİLİM DALI
ANKARA
2007
Her hakkı saklıdır
ÖZET
Doktora Tezi
YÜZEYLERE DAİR BAZI DİFERENSİYEL
GEOMETRİK EŞİTSİZLİKLER
Serpil KARAGÖZ
Ankara Üniversitesi
Fen Bilimleri Enstitüsü
Matematik Ana Bilim Dalı
Danışman : Doç. Dr. M.Kemal SAĞEL
Bu tez, beş bölümden oluşmaktadır.Birinci bölümde, çalışmanın kapsamı ve amacı
belirtilmiştir.İkinci bölümde, çalışma için gerekli olan temel tanım ve teoremler
verilmiştir. Üçüncü bölümde, 4-boyutlu Öklid uzayına immersed edilmiş 2-boyutlu
manifoldun Gauss eğriliği ve ortalama eğriliğine dair eşitsizlikler
verilmiştir.Dördüncü bölümde, 6-boyutlu Öklid uzayına immersed edilmiş 4boyutlu manifoldun Gauss eğriliği ve Betti sayılarına dair eşitsizlikler
verilmiştir.Beşinci bölümde, Öklid uzayında elde edilen eşitsizliklerin 4-boyutlu
Lorentz uzayındaki karşılıkları verilmiştir.
2007, 51 Sayfa
Anahtar Kelimeler: Gauss eğriliği, ortalama eğrilik, birinci ve ikinci tipten α inci
eğrilikler, Betti sayıları, Lorentz uzayı, Öklid uzayı, Lipschitz-Killing eğriliği, total
mutlak eğrilik.
i
ABSTRACT
Ph. D.Thesis
SOME DIFFERENTIAL GEOMETRIC
INEQUALITIES FOR SURFACES
Serpil KARAGÖZ
Ankara University
Graduate School of Naturel and Applied
Sciences
Department of Mathematics
Supervisor: Assoc. Prof.Dr.M.Kemal.SAĞEL
This thesisis composed of five chapters.In the first chapter, the aim and content of
thesis are explained.In the second chapter, basic definitions and theorems are
given.In the third chapter, inequalities with related to Gauss curvature and mean
curvature of 2-dimensional manifold which is immersed into 4-dimensional
Euclidean space are given.In the fourth chapter, inequalities with related to Gauss
curvature and Betti numbers of 4- dimensional manifold which is immersed into 6dimensional Euclidean space are given.In the fifth chapter inequalities in the
euclidean space are obtained in the 4-dimensional Lorentz space.
2007, 51 pages
Key Words: Gauss curvature, mean curvature, the αth curvature of first
and second kind , Betti numbers, Lorentz space, Öklid space, LipschitzKilling curvature, total absolute curvature.
ii
TEŞEKKÜR
Bu çalışmayı hazırlarken değerli vakitlerini esirgemeden bana ayıran, her adımda
bilgisine başvurduğum sayın hocam Doç. Dr. M. Kemal SAĞEL’e, Prof. Dr. H.
Hilmi HACISALİHOĞLU ve Prof. Dr Erdoğan ESİN’e en derin saygı ve
teşekkürlerimi arz ederim.
Bu çalışmayı hazırlarken benden manevi desteklerini esirgemeyen aileme minnet ve
şükranlarımı sunarım.
Serpil KARAGÖZ
Ankara, Eylül 2007
iii
İÇİNDEKİLER
ÖZET…………………………………………………………………………..
ABSTRACT……………………………………………………………………
TEŞEKKÜR……………………………………………………………………
SİMGELER DİZİNİ…………………………………………………………..
1. GİRİŞ………………………………………………………………………..
2. TEMEL KAVRAMLAR
2.1 Lif Demetleri……………………………………………………………….
2.2 Gauss –Bonnet Formülü…………………………………………………..
2.3 Lipschitz-Killing Eğriliği………………………………………………….
2.4 Bir İmmersiyona Karşılık Gelen Lif Demetleri………………………….
2.5 Total Mutlak Eğrilik ……………………………………………………...
2.6 I. ve II. Tipten α inci Eğrilikler…………………………………………...
2.7 Riemann ve Lorentz Geometri……………………………………………
3. E4 UZAYINDA BAZI DİFERENSİYEL GEOMETRİK
EŞİTSİZLİKLER
3.1 E4 Uzayının Yapı Denklemleri……………………………………………
3.2 Negatif Gauss Eğrilikli Yüzeylerde Total Mutlak Eğriliğin
Hesaplanması……………………………………………………………………
3.3 E4 Uzayında II. Tipten Eğriliklere Dair Eşitsizlikler…………………….
3.4 Ortalama Eğriliğe Dair Eşitsizlikler………………………………………
4. E6 UZAYINDA BAZI DİFERENSİYEL GEOMETRİK
EŞİTSİZLİKLER
4.1 E6 Uzayının Yapı Denklemleri ve Şekil Operatörü………………………
4.2 Lipschitz-Killing Eğriliğinin Hesaplanması………………………………
4.3 Gauss Eğriliği G Pozitif ise Total Mutlak Eğriliğin Hesaplanması……...
4.4 Gauss Eğriliği G Negatif ise Total Mutlak Eğriliğin Hesaplanması…….
5. L4 UZAYINDA BAZI DİFERENSİYEL GEOMETRİK
EŞİTSİZLİKLER
5.1 L4 Uzayının Yapı Denklemleri ve Şekil Operatörü………………………
5.2 L4 Uzayında Lipschitz-Killing Eğriliğinin Hesaplanması………………..
5.3 L4 Uzayında Negatif Gauss Eğrilikli Yüzeylerde Total Mutlak Eğriliğin
Hesaplanması………………………………………………………………….....
KAYNAKLAR…………………………………………………………………...
ÖZGEÇMİŞ……………………………………………………………………...
iv
i
ii
iii
v
1
2
2
10
10
15
18
21
24
24
27
31
34
36
36
38
43
45
46
51
52
SİMGELER DİZİNİ
χ (M)
Euler karakteristiği
G
Gauss eğriliği
H
Ortalama eğrilik
En
n boyutlu öklit uzayı
K*
Total mutlak eğrilik
λα
İkinci tipten α inci eğrilik
g
Yüzeyin genusu
β(M2)
Betti sayıları toplamı
K
Lipschitz-Killing eğriliği
µα
Birinci tipten α inci eğrilik
II
İkinci temel form
Ln
n- boyutlu Lorentz uzayı
v
1.GİRİŞ
Bu çalışmada 2-boyutlu manifoldun 4-boyutlu Öklid uzayına immersiyonu
durumunda Gauss eğriliği G ve ortalama eğrilik H olan eşitsizliklerin, 4-boyutlu
manifoldun 6-boyutlu Öklid uzayına ve 2-boyutlu manifoldun 4-boyutlu Lorentz
uzayına immersiyonu durumundaki karşılıkları ile Lipschitz-Killing eğriliği ve total
mutlak eğriliği hesaplanacak ayrıca E6 ve L4 ‘ün yapı denklemleri elde edilecek ve
immersiyonun şekil operatörü hesaplanacaktır.
1
2.TEMEL KAVRAMLAR
2. 1 Lif Demetleri
Lif demetleri teorisi ve uygulamaları 1940’dan sonra matematiksel gelişmelerde
önemli rol almıştır. Bizim konumuzla ilgili bölüm ise diferensiyellenebilir
manifoldların tanjant demetleri ve çatı demetleridir. Daha genel olarak denilebilir ki
bir diferensiyellenebilir manifold üzerinde (r,s) tipindeki tensörler bir lif demeti
oluşturur (Willmore 1982).
Tanım 2. 1. 1: M bir manifold olmak üzere; pЄM noktasında m tane lineer bağımsız
tanjant vektör x1, x2 , . . . ,xm olsun. { p, x1, x2 , . . . ,xm}kümesine m-çatı denir. Bütün
p noktasındaki çatıların kümesi B ile gösterilirse B ye çatı demeti denir. pЄM deki
bütün ortonormal çatıların kümesine ise ortonormal çatı demeti denir
(Willmore 1982).
Tanım 2. 1. 2: £0 , En nin ortonormal çatı demeti, £0(M), M ⊂ En nin bütün
noktalarındaki ortonormal çatıların kümesi olsun. £0(M) ⊂ £0 olduğundan i: £0(M) → £0
inclusion dönüşümünden bahsedebiliriz. {X1, X2 , . . . ,Xn } M nin diferensiyellenebilir
n-ortonormal vektör alanlarını gösterirse C : M→ £0 ∀ mЄM dönüşümüne
C(m) = {m;X1(m), X2(m) , . . . ,Xn(m) }Є£0 lokal cross section denir
(Hacısalihoğlu 1980).
2. 2 Gauss-Bonnet Formülü
Global Riemann geometrisinin en temel sonuçlarından biri de Gauss-Bonnet formülüdür. Bu formül manifoldun Riemann yapısının eğriliğini bir integralle ifade eder.
Burada manifoldun Euler karakteristiği χ(M) ile gösterilmektedir. Gauss-Bonnet
formülü manifoldun diferensiyel geometrisi ve topolojisi arasında bir bağıntıdır.
2
Şimdi 2 boyutlu kapalı yüzeyler için Klasik Gauss-Bonnet teoremi verilecektir.
Teorem 2. 2. 1: M, 2 boyutlu kapalı yönlendirilebilen Riemann manifoldu olsun. χ(M)
Euler karakteristiğini, G Gauss eğriliğini, dA hacim elementini göstermek üzere;
∫ GdA = 2π χ(M)
dir.
(2.1)
M
İspat: M, 2 boyutlu yönlendirilebilen C∞ sınıfından Riemann yüzeyi olsun. M nin her P
noktasına e1 , e2 ortogonal birim vektör çifti belirli yönlendirmeyle verilsin. Pe1 e2 şekli
2-çatı diye adlandırılır. M nin P deki her v tanjant vektörü için
v = ∑ ui ei dir. Gösterim kolaylığı açısından
v = ui e i
i=1,2
(2.2)
olsun. Riemann geometrinin temel eşitlikleri
dP = ωiei
dei = ωijej
(2.3)
ωij + ωij = 0
olarak yazılabilir.
ωi ,(ei )bazının dual bazını veren 1-formlar ve ωij ler konneksiyon
formlarıdır.
Yapı denklemleri
dωi = ωj Λ ωji
dωij + ωik Λ ωjk = Ωij
(2.4)
Ωij + Ωji = 0 dır.
Ωij formları,(2.3) ün dış türevleri alınarak elde edilen denklem sistemini sağlar. Bianchi
özdeşlikleri olarak bilinen denklemler
ωj Λ Ωji = 0
dΩij - ωjk Λ Ωik + ωik Λ Ωjk = 0
(2.5)
dır.
Pe1 e2 çatısına,
ei*= aijej
ei = ajiej* ,
(2.6)
ile verilen ortogonal trasformasyon yapılmış olsun. Burada
3
( aij ) =
cos θ
− sin θ
sin θ
cos θ
olarak alınmıştır. ( aij ) ortogonal matristir ve θ, P nin koordinatlarının fonksiyonudur.
(2.2) ve (2.4) den
Ωij* = aik ajl Ωkl
(2.7)
dir.
Ω aşağıdaki gibi tanımlanırsa
4πΩ = - Є i1i2Ωi1i2
(2.8)
eğer ( i1 , i2) çift permütasyon ise Є i1i2 = +1 dır
eğer ( i1 , i2) tek permütasyon ise Є i1i2 = -1dır.
diğer durumlarda Є i1i2 = 0 dır. (2.7) den
4πΩ = - 2Ω12
= 2R1212 ω1 Λ ω2
G, M nin Gauss eğriliği olmak üzere.
2πΩ = - Gω1 Λ ω2
(2.9)
elde edilir
(2.7) ve (2.9) dan açıkca görülür ki
Ω ve hacim elementi dA = ω1 Λ ω2 çatı değişimi altında invaryanttır. Alternatif olarak
denilebilir ki Ω ve dA formları çatı demeti üzerinde tanımlı ve her bir lifte sabittir.
Gauss-Bonnet teoremini
∫−Ω =
χ(M)
(2.10)
M
olarak ifade edebiliriz.
M nin yerel koordinatlarını B ve bileşenleri ui olarak alırsak
ui ui = 1
(2.11)
dv = θ i ei
(2.12)
θ i = dui +uj ωji
(2.13)
4
(2.11) den ve ωji skew simetrik olduğundan
ui θ i = 0 dır. (2.13) ün türevi alınırsa
d θ i = duj Λ ωji + ujdωji
= θ jΛ ωji - ukωkj + uk( Ωki – ωkl Λ ωil )
d θ i = θ i Λ ωji + uj Ωji dır.
(2.14)
(2.6) çatısındaki bir değişim ui , θ i bileşenlerinde
ui*= aijuj, θ i* = aij θ
olmak üzere
(2.15)
1. dereceden Ф0 ve 2.dereceden ψ0 formlarının türevlerini hesaplarsak:
Ф0 = Є i1i2 ui1 θ i2
(2.16)
ψ0 = Є i1i2 Ωi2 i2
(2.17)
Birim tanjant demeti B üzerinde
tanımlı Ф0 ,ψ0
formları çatı değişimi altında
invaryanttırlar .
dФ0 = Є i1i2 dui1 Λ θ i2 + Є i1i2 ui1d θ i2
= Є i1i2 ( θ i1 Λ θ i2 - ujωji1 Λ θ i2 ) + Є i1i2 ui1( θ j Λ ωji2 + uj Ωji2 )
Є i1i2 θ i1 Λ θ i2+ Є i1i2 ui1uj Ωji2 = 2 θ 1 Λ θ 2 + u1uj Ωj2 – u2uj Ωj1 olduğundan
dФ0 = 2 θ 1 Λ θ 2 + ( u12 + u22 )Ω12
= 2 θ 1 Λ θ 2 + Ω12 dır.
(2.18)
(2.14) den θ 1 ve θ 2 lineer bağımlıdır. Christoffel sembollerini sıfırlayacak lokal
normal koordinatlar her zaman P noktasının bir komşuluğunda bulunabilir. P noktasında
ωji = 0 dır. Böylece aralarındaki ilişki
1
dФ0 = 2 dψ0 dır.
(2.19)
5
Artık M üzerinde sürekli birim tanjant vektör alanı tanımlanabilir öyle ki M nin bir tek
singülaritesi O dır. O noktasındaki vektör alanının indeksi, Euler karakteristiği, χ(M)
dir. Bu vektör alanı B de sınırı χZ olan bir V altmanifoldunu tanımlar. Z , O nok
tasından geçen birim tanjant vektörlerin oluşturduğu 1 boyutlu çemberdir. M üzerinde Ω
nin integrali, V üzerindeki integraline eşit olur. Stoke’s teoremi kullanılarak
1
1
χ
∫ Ω = ∫ Ω = - 4П ∫ Ψ 0 = - 2П ∫ dΦ 0 = - 2П ∫ Φ 0
M
V
V
V
dır.
(2.20)
Z
Fakat 1 -boyutlu birim kürenin hacim elementi Ф0 = u1 θ 2 - u2 θ 1 olduğundan
∫ Φ 0 = 2π dir. Buradan
Z
∫ − Ω = χ(M)
olduğundan
(2.21)
M
∫ GdA = 2π χ(M)
dir.
(2.22)
M
Bu farklı ispatın verilmesinin nedeni, benzer yöntem kullanarak n = 2p için GaussBonnet teoreminin
∫−Ω =
χ(M)
olarak ifade edilebileceğinin gösterilmesidir.
M
Mn, n = 2p boyutlu yönlendirilebilen Riemann manifoldu ve M nin her bir noktasında
yönlendirilmiş tanjant vektörlerin ortonormal çatısı e1, e2 , . . . en olsun.
i, j = 1, 2, . . . n
ve
1
Ω = (-1 )p22p πpp! Є i1 .
. . i2p
Ωi1i2 Ωi3i4. . . Ωi2p-1i2p
olması durumunda
6
(2.23)
∫−Ω =
χ(M) olduğu aşağıdaki şekilde gösterilebilir..
M
M üzerindeki birim tanjant uzayı, 2n -1 boyutlu bir manifold oluşturur. (2.11), (2.12),
(2.13) ,(2.14), (2.15) genel halde de sağlanır. Diferensiyel formlar
Фk = Є i1 . . . i2p ui1 θ i2 . . . θ i2p-2k Ωi2p-2k+1i2p-2k+2 . . . Ωi2p-1i2p
k = 0, 1, . . . , p-1
(2.24)
ve
Ψk = Є i1 . . . i2pΩi1 i2 θ i3 . . . θ i2p-2k Ωi2p-2k+1i2p-2k+2 . . . Ωi2p-1i2p
k = 0, 1, . . . , p-1
(2.25)
dir.
Фk derecesi 2p-1 ,Ψk derecesi 2p olan formlardır. Ayrıca Ψp-1 , Ω nın katıdır. Фk ve Ψk
M Riemann manifoldu üzerinde tanımlıdır.
dФk = Ψk-1 +
2p-2k-1
1(k+1)
Ψk , k = 0, 1, . . . , p-1 , Ψ-1 = 0
dФk = Є (i) dui1 θ i2 . . . θ i2p-2k Ωi2p-2k+1i2p-2k+2 . . . Ωi2p-1i2p
+ (2p – 2k – 1) Є (i)ui1d θ i2 θ i3 . . . θ i2p-2k Ωi2p-2k+1i2p-2k+2 . . . Ωi2p-1i2p
- k Є (i)ui1 θ i2 . . . θ i2p-2k dΩi2p-2k+1i2p-2k+2 . . . Ωi2p-1i2p
Є (i) , Є i1 . . . i2p nin kısaltılmışı olarak alınırsa ve dui ,d θ i ,dΩi değerleri yerine yazılırsa
dФk ifadesi ωij içeren ve içermeyen olmak üzere iki tip terimden oluşacaktır. ωij içermeyen terimlerin toplamı;
Ψk-1 + (2p – 2k – 1) Є (i)ui1 uj Ωjip θ i3 . . . θ i2p-2k Ωi2p-2k+1i2p-2k+2 . . . Ωi2p-1i2p dır.
(2.26)
Bu toplamın dФk ifadesiyle farkı, her teriminde ωij içerir. Bu farkın, normal koordinat
bazı seçilerek, herhangi bir P noktasında sıfır olduğu gösterilebilir.
Pk = Є (i) ui12 Ωi1i2 θ i3 . . . θ i2p-2k Ωi2p-2k+1i2p-2k+2 . . . Ωi2p-1i2p
∑k = Є (i) ui1ui3Ωi3i2 θ i3 . . . θ i2p-2k Ωi2p-2k+1i2p-2k+2 . . . Ωi2p-1i2p
Tk = Є (i) ui32 Ωi1i2 θ i3 . . . θ i2p-2k Ωi2p-2k+1i2p-2k+2 . . . Ωi2p-1i2p
7
(2.27)
Pk , ∑k ,Tk derecesi 2p olan formlardır.
Pk = Є (i) ( 1- ui22- ui32 - ... - ui2p2 )Ωi1i2 θ i3 . . . θ i2p-2k Ωi2p-2k+1i2p-2k+2 . . . Ωi2p-1i2p
= Ψk - Pk - 2(p – k – 1) Tk -2kPk
Ψk = 2( k + 1)Pk + 2(p – k – 1) Tk
(2.28)
∑k = Є (i) ui1Ωi3i2 (- ui1 θ i1 - ui2 θ i2- ui4 θ i4 - ... - ui2p θ i2p) θ i4 . . . θ i2p-2k Ωi2p-2k+1i2p-2k+2 . . .
Ωi2p-1i2p
= Tk - (2 k + 1) ∑k
Tk = 2( k + 1) ∑k
(2.29)
dФk = Ψk-1 + (2p – 2k -1 ){ Pk + 2( p - k – 1 ) ∑k} , k = 0, 1, . . . , p-1
2m+1(k+1)k ...(k-m+1)
p
(
−
1
)
∑
(2p-2k-1)(2p-2k+1) ... (2p-2k+2m-1) dФk – m
k
Ψk =
(2.30)
m =0
1
Ω = (-1)p 22pπpp! Ψp-1 = dИ
1
И =πp
p −1
(2.31)
1
∑ (−1) m+1 1.3...(2p-2m-1)m!2 p+m
Фm
dır.
(2.32)
m =0
2-boyutlu durumda olduğu gibi Mn üzerinde sürekli birim tanjant vektör alanı
tanımlanabilir öyle ki Mn
nin O noktası
tek singülaritesidir. Hopf ’s teoremi
kullanılarak O noktasındaki alanını indeksi, Euler Poincare karakteristiği χ(Mn) eşit
8
olur. Vektör alanı, M2n-1
de bir Vn alt manifoldu tanımlar. χZ bu alt manifoldun
sınırıdır. Z ise n-1 boyutlu, O dan geçen birim tanjant vektörlerin oluşturduğu döngüdür.
Mn
üzerinde Ω nin integrali, Vn üzerindeki integraline eşit olur. Stoke’s teoremi
kullanılarak
Ф0 = ( 2p-1)!
n
∑ (−1) i θ 1 . . . θ i-1 ui1 θ i+1 θ 1 . . . θ 2p olmak üzere
i =1
∫Ω = ∫Ω = χ∫
M
V
z
1
И = - χ 1.3...(2p-1)2p πp ∫ Φ 0 dır.
(2.33)
z
dV, 2p-1 boyutlu birim kürenin hacim elementini göstersin. Bu elementin çeşitli hiper
düzlemlere projeksiyonu
ui dV =(-1)i θ 1 . . . θ i-1 θ i* θ i+1 . . . θ 2p
(2.34)
( θ i*elemanı projeksiyon sonucu iptal edildi.)
ui ui =1
n
dV =
∑ (−1) i θ 1 . . . θ i-1 ui θ i+1 θ 1 . . . θ 2p dır.
i =1
Ф0 , 2p-1 boyutlu birim kürenin hacim elementinin (2p-1)! katıdır.
2πp
∫ Φ 0 = (2p-1)!(p-1)!
∫−Ω =
χ(Mn) dir (Willmore 1982).
M
9
2. 3 Lipschitz-Killing Eğriliği
Tanım 2. 3. 1: Mn , n boyutlu kompakt, yönlendirilebilir C∞ manifold ve f: Mn → En+N
C∞ dönüşüm olsun. Öyle ki f* birebir ( f dönüşümünün jacobian matrisi lokal
koordinatlarla ifade edildiğinde ∀mЄ Mn için rankı n’ ye eşit) f dönüşümüne bir
immersiyon denir. Ek olarak
eğer f de birebir ise dönüşüme immedding denir (Hacısalihoğlu( 1980).
Kompakt diferensiyellenebilir manifold Mn için f: Mn → En+N birebir dönüşümü her zaman vardır; öyle ki f(Mn) , En+N nin bir alt manifoldudur. İmmersiyon yapılmış
manifoldun her noktasına ve o noktadaki her doğrultuya bir reel sayı karşılık getirilerek
Lipschitz-Killing eğriliği ölçülür.
Birim normal demet üzerinde bu eğrilik modülünün integrali, immersiyonun total mutlak eğriliğini verir. Böylece total mutlak eğrilik ile manifoldun topolojik yapısı arasında
bir bağıntı kurulur (Willmore 1982).
2. 4 Bir İmmersiyona Karşılık Gelen Lif Demetleri
x ЄEn+N ve e1, e2 , . . . ,en+N yönlendirmesi En+N ile uyumlu x deki ortonormal vektörleri
göstersin. F(n ,N) , En+N nin (xe1, e2 , . . . ,en+N) şeklindeki tüm çatılarının uzayı olsun.
1
Bunlar 2 (n+N)(n+N+1) boyutlu diferensiyellenebilir bir manifold oluşturur.
1 ≤ i, j, k ≤ n ; n+1 ≤ r, s, t ≤ n+N ; 1 ≤ A, B, C ≤ n+N
En+N öklid metriği ile donatıldığından En+N üzerinde sıfır torsiyon ve sıfır eğrilikli tek
bir Riemann konneksiyonu vardır. Bu konneksiyon lokal olarak (eA) ortonormal bazı ve
dual baz (ὡA) ya bağlı 1-formların matrisi olarak ifade edilir. Bu formlar En+N de lokal
olarak düşünmek yerine F(n ,N) de global olarak ele alınır. Lif demeti terminolojisinde
ὡA , ὡAB formları En+N de asli demet çatılarının demet uzayı üzerinde tanımlanır. Rotas
yon grubu demet uzayına sağ ötelemeyle etki eder. Bu formlar Cartan denklemlerini
sağlar.
10
deA = ὡAB eB ; dὡA = ὡBΛὡBA
dp = ὡA eA
ὡAB + ὡBA = 0
; dὡAB = ὡACΛὡCB
Mn n-boyutlu, kopmakt, yönlendirilebilir, C∞ -manifold ve f: Mn → En+N
, Mn nin C∞
dönüşümü olsun.öyle ki; f* birebir örtendir yani f nin Jacobian matrisi, lokal
koordinatlar cinsinden ifade edildiğinde her noktası m ЄMn için rankı n dir.
f dönüşümü vektör değerli bir fonksiyon olarak ele alındığında m ЄMn , f(m) , f* da
En+N deki değerlerle birlikte lineer diferensiyel formdur. İmmersiyon özelliğinden
dolayı f nin değerleri t1, t2 , . . . ,tn tane lineer bağımsız vektörün lineer
kombinasyonudur. Bu lineer kombinasyona tanjant vektör dik ise normal vektör denir.
Mn nin En+N ne immersiyonu aşağıdaki vektör demetlerini verir.
1-) Bτ Birim tanjant demeti, Mn ⅹ En+N demet uzayının alt kümesi ve τ birim tanjant
vektör olmak üzere Bτ = {(m,τ) ; m ЄMn ve τ Єf(m)}olsun.
2-) Bυ Birim normal demeti, Mn ⅹ En+N demet uzayının alt kümesi ve υ birim normal
vektör olmak üzere Bυ = {(m, υ) ; m ЄMn ve υ Єf(m)}olsun.
3-) B demeti Mn ⅹ F(n,N) nin alt kümesi olduğunda
B = {(m, f(m)e1, e2 , . . . ,en ,en+1, . . . ,en+N); e1, e2 , . . . ,en f(m) de tanjant en+1, . . . ,en+N
normal vektörler olmak üzere
Ψ :B → Mn
(m, f(m)e1, e2 , . . . ,en ,en+1, . . . ,en+N) → m projeksiyonu
Ψτ :B → Bτ
Ψτ(m, f(m)e1, e2 , . . . ,en+N) = (m, en)
Ψυ:B → Bυ
Ψυ (m, f(m)e1, e2 , . . . ,en+N) = (m, en+N)
11
i: B → Mn ⅹ F(n,N) injeksiyon dönüşüm,
λ: Mn ⅹ F(n,N) → F(n,N) ikinci bileşene projeksiyon
B → Mn ⅹ F(n,N) → F(n,N) olmak üzere
ωA=( λi)*ὡA ωAB = ( λi)*ὡAB dir.
d ve Λ operatörleri ( λi)* ile değişmeli olduğundan ωA ve ωAB aşağıdaki bağıntıları verir.
dp = ωAeA
dωA = ωB Λ ωBA
dωAB = ωAC Λ ωCB
ωAB + ωBA = 0
ωr = 0 ; n+1 ≤ r ≤ n+N ; 1 ≤ i,j ≤ n
0=dωr = ωA Λ ωAr = ωi Λ ωir
ωir = Arijωj ⇒ ωi Λ Arijωj = 0 ; Arij = Arji
Özel olarak n = 1 ve N = 2 olması durumunda
boyF(n,N) = 6; boy Bυ = 2 ;boy Bτ =1 ;boy B = 2 dir. i,j = 1; r,s = 2,3 A,B,C = 1,2,3
dp = ω1e1 + ω2e2 + ω3e3 ; ω1= ω2 = 0
dp = ω1e1
dωA = -ωBA Λ ωB
dωA+ ωBA Λ ωB = 0
dω1 = 0
ω12 Λ ω1 = 0
ω13 Λ ω1 = 0
ω1r = Arijωj ; ω12= A211ω1 ve ω13 = A311ω1
dp = ω1e1 hacim elementi (ω1 = ds yay uzunluğu)
deA = ωBAeB
12
de1 = ω12e2 + ω13e3
de2 = ω21e1 + ω23e3
de3 = ω31e1 + ω32e2
de1 = ω13e3 ; ω12 = 0
ω13 = A311ds ; A311 = κ
ω23 = A321ω1
ω23 = -τ ds
dir. Burada e1 = t, e2 = b, e3 = n seçilirse; Serret-Frenet Formülleri elde
edilir.
Genel halde ise B demet uzayı B de diferensiyel formlar oluşturulmak için göz önüne
alınırsa ki bu formlar Ψ ve Ψυ dönüşümleri altında, Mn de ve Bυ deki diferensiyel
formların ters görüntüleridir.
Mn nin hacim elementi dV = ω1 Λ ω2 . . .Λ ωn ile ve Bυ nin hacim elementi dVΛdσN-1
olduğunda dσN-1 Bυ üzerinde N-1 dereceden formların lif üzerine kısıtlanması m ЄMn
noktasındaki birim normal vektörlerin oluşturduğu kürenin hacim elementidir.
den+N = ωn+NAeA normal parçası, ωn+Nrer N-1 dereceden formdur.
dσN-1= ωn+N,n+1 Λ ωn+N,n+2 Λ . . . Λωn+N,n+N-1
den+N = ωn+NeA olduğundan birim hiperkürenin En+N deki hacim elementi
d∑ = ὡn+N1 Λ ὡn+N2 Λ . . . Λὡn+N,n+N-1 dir.
Bu formun Bυ ye geri çekimi için ξ küresel dönüşümünün duali kullanılır.
ξ*( d∑ ) = ωn+N1 Λ ω n+N2 Λ . . . Λω n+N,n+N-1
ξ*( d∑ ) =(-1)ndet(An+Nij)ω1Λ ω2Λ . . . Λ ωn Λ ωn+N,n+1 Λ ωn+N,n+2 Λ . . . Λ ωn+N,n+N-1
ωn+Ni = (-1)An+Nij ωj
dVΛdσN-1 = ω1 Λ ω 2 Λ . . . ω nΛω n+N,n+N-1 Λ ωn+N,n+2 Λ . . . Λ ωn+N,n+N-1
G(m, υ) = (-1)ndet(An+Nij) olduğundan
G(m, υ) reel sayısına m noktasında immersiyonun Lipschitz-Killing Eğriliği denir.
G(m, υ), υ ye bağlıdır. m nin U koordinat komşuluğunda ěA: q → ěA:(q) ; qЄU
fonksiyonları ile verilen. Mn nin B deki lokal cross sectionı gözönüne alınırsa
13
eA(q), q üzerindeki lifde bir çatıdır.
eA = CABeB(q) dur. CAB determinantı +1 olan ortogonal bir matris ve ayrıca cir = 0 dır.
∑ Asij ωiω j = ∑
Csr Ārij ὡiὡj
r,i, j
i, j
Arij nin lokal cross sectiona kısıtlanmışı Ārij ve υ = en+N ; υ = ∑ υrěr ve
m noktasında
G(m, υ) =(-1)ndet(υr Ārij (m))
υ.d2m = υ.d[eAωA]
= υrder + υr ωAω Ar
= υr ὡiὡir
= ∑ υr Ārij ὡiὡj dir.
υ = en+N seçildiğinde
-dυ.dm = υ.d2m =∑ υr Ārij ὡiὡj olur. Böylece
G(m, υ), yüzeyin ikinci temel formunun determinantı olarak elde edilir.
Mn , En+1 e immersiyon yapılmış yönlendirilebilir hiperyüzey ise m ЄMn noktasında
υ(m) birim normal vektörü, diğer bir birim normal vektör tanımlar.
υ(m) = ∓ υ0(m)
G(m, υ(m)) = G(m, ∓ υ0(m)) = (∓1)n G(m) burada
n çift sayı ise G(m, υ(m)) En+1 in hiperyüzeyinin yönlendirmesinden bağımsızdır özel
olarak n = 2 için G(m), Gauss eğriliği K ya dönüşür (Willmore 1982).
14
2. 5 Total Mutlak Eğrilik
Tanım 2. 5. 1: Mn , n boyutlu kompakt, yönlendirilebilir C∞ manifold ve f: Mn → En+N
immersiyon olsun. mЄMn , cn+N-1 En+N deki hiperkürenin hacmini göstermek üzere; f(m)
deki birim normal vektör küresi üzerinde integral alınırsa
K*(m) = c
1
n+N-1
|G(m, υ)|dσN-1
⌠
⌡
K*(m), (Mn, f ,En+N) immersiyonunun m noktasında total mutlak eğriliği ve
τ (M , f ) = ⌠ K*(m)dV
⌡
Mn
değerine de, (Mn, f, En+N) immersiyonunun total mutlak eğriliği denir. 2-boyutlu
yönlendirilebilir kapalı E3 e immersiyon yapılmış yüzeylerde Lipschitz-Killing eğriliği,
Gauss eğriliği K’ya eşit olduğundan
1
τ (M2, f ) = 2π ⌠ |K|dS dir.
⌡
S
Ek olarak Mn , En+1 e immersiyon yapılmış hiperyüzey ise
τ (Mn, f ) = ⌠ |K|dV dir. (Willmore 1982)
⌡
Mn
15
Teorem 2. 5. 2: M kompakt kapalı C∞ yüzey ve f, M den E3 e immersiyon olsun χ(M)
yüzeyin Euler karakteristiği, K Gauss Eğriliği, dS hacim elementi olmak üzere
1
|K| dS ≥ 4 - χ(M) dir.
2π ⌠
⌡
M
İspat: M kompakt kapalı C∞ yüzey olsun.
f : M → E3 immersiyonu verilsin. Gauss-Bonnet Teoreminden
1
KdS = χ(M) dir
2π ⌠
⌡
M
1
1
χ(M) = 2π ⌠ KdS + 2π ⌠ KdS
⌡
⌡
K>0
K<0
τ (M, f ) = ⌠ |K|dS dir.
⌡
M
1
1
τ (M, f ) = 2π ⌠ |K|dS + 2π ⌠ |K|dS
⌡
⌡
K>0
K<0
1
1
= 2π ⌠ KdS - 2π ⌠ KdS
⌡
⌡
K>0
K<0
1
1
1
1
= 2π ⌠ KdS - ( 2π ⌠ K dS - 2π ⌠ KdS + 2π ⌠ KdS )
⌡
⌡
⌡
⌡
K>0
K>0
K>0
K<0
16
1
1
= π ⌠ KdS - χ(M) Gauss Bonnet Teoreminden π ⌠ KdS ≥ 4
⌡
⌡
K>0
K>0
τ (M , f ) ≥ 4 - χ(M)
⌠ |K|dS ≥ 4 - χ(M) (Willmore 1982)
⌡
M
Tanım 2. 5. 3: f : Mn → En+N proper immersiyon olsun. ( f(Mn) görüntüsü En+N nin bir
lineer alt manifoldu içinde değilse immersiyon properdır). Eğer f minimal total mutlak
eğriliğe sahip ise tight immersiyon olarak adlandırılır. (Willmore 1982)
τ = 4 - χ
ise her yönlendirilebilir yüzey
E3 uzayına tight olarak gömülür. M
yönlendirilebilir değilse,başka bir M manifoldu seçilirse , M nin total mutlak eğriliği M
üzerinde Lipschitz-Killing Eğriliğinin integralinin yarısı olarak tanımlanır.
Örneğin T2 torusu anchor halkası olarak E3 uzayına gömüldüğünde, birim küredeki
hemen hemen her nokta Gauss dönüşümü ile iki kez örtülür. χ(T2) = 0 olduğundan
|KdS|
τ = ⌠ 2π
⌡
T2
|KdS|
1
4 – 0 = ⌠ 2π ise 2π ⌠ |K|dS = 4 dir.
⌡
⌡
T2
T2
E3 deki eğriler için ( yani n = 1 N = 2 özel durumu ) c uzay eğrisi için;
1
τ = π ⌠ |κ|ds ≥ 2
⌡
c
17
olduğu bilinmektedir. E2 deki konveks kümenin sınırı için τ = 2 dir.Yani bir tight
immersiyon matematik anlamda konveksliğin doğal bir genellemesini verir. c eğrisi
tight olarak gömülürse düzlemde konveks bir eğriye dönüşür.
Ayrıca g yüzeyin genusunu yani yüzeydeki delik sayısını gösterirse biliyoruz ki; Euler
karakteristiği
χ(M) = 2 (1- g ) dir. Buradan
KdV = 2π χ(M) olduğundan
⌠
⌡
M
KdV = 2π 2 (1- g )
⌠ KdV + ⌠
⌡
⌡
K>0
K<0
4 π + ⌠ KdV ≤ 2π 2 (1- g )
⌡
K<0
KdV ≤ 4π - 4π g - 4π
⌠
⌡
K<0
KdV ≤ - 4π g elde edilir (Willmore 1982).
⌠
⌡
K<0
2. 6 I. ve II. Tipten α inci Eğrilikler
Tanım 2. 6. 1: Mn, n boyutlu yönlendirilmiş kapalı manifold olsun. x:Mn → En+N
immersiyonu verilsin ve F(Mn), F(En+N) sırasıyla Mn ve En+N nin yönlendirilmiş
ortonormal çatıları olsun. B kümesi b=(p,e1,e2,e3 ,…,en+N) elemanlarından oluşan bir
küme öyle ki;
(p, e1, e2, e3 ,…,en) Є F(Mn) ve (x(p), e1, e2, e3 ,…,en+N) Є F(En+N) olmak üzere
18
y: B → F( En+N) dönüşümünde
y(b) = ( x(p), e1, e2, e3 ,…,en+N) doğal olarak tanımlıdır.
BV, Mn nin En+N deki birim normal vektörleri gösterirse BV → Mn dönüşümü pЄMn
deki SpN-1demet küresini tanımlar. Diyelim ki u: BV → S0n+N-1 dönüşümünde En+N nin
orijininde e ye paralel birim vektör u(p,e) olsun . En+N nin yapı denklemleri
dx = ∑ŵAeA
deA= ∑ŵABeB
dŵA=∑ŵB ΛŵBA
dŵAB=∑ŵAC ΛŵCB
ŵAB +ŵBA = 0 dır. Burada
A,B,C = 1,2,…n+N ve ŵA,ŵAB F(En+N) çatısında 1-formlar ve wA , wAB ler ŵA , ŵAB
lerden B ye y dönüşümü ile indirgenmiş 1-formlar olsun.
r,s,t = n+1,…,n+N i,j,k = 1,2,3,…,n için
wr = 0 ; wri = ∑Arijwj ; Arij =Arji
dwi = ∑wj Λwji
dwAB =∑wAC ΛwCB dir.
Her (p,er) Є BV için birinci temel form I = dx .dx ve ikinci temel form II = der .dx dir.
Birinci temel forma göre ikinci temel formun k1(p,er),… ,kn(p,er) karakteristik
değerlerine Mn nin (p,er) ile eşlenen asli eğrilikleri denir. Hn(p,er), (p,er) ile eşlenen
h inci ortalama eğrilik aşağıdaki eşitlikle tanımlanır.
det (δij + t Arij
n
⎛n⎞
)= ∑ ⎜⎜ ⎟⎟ Hh(p,er)th burada t yerine ki
h =0
⎝h⎠
karakteristik değerleri
yazıldığında
⎛n⎞
⎜⎜ ⎟⎟ Hh=∑k1…kh , h = 1,2,3,…,n olduğu görülür. H0=1 dır. Hn(p,er), K(p,er) ile
⎝h⎠
19
gösterilir ve (p,er) de Lipschitz-Killing eğriliği diye adlandırılır.
x :M2 → E2+N immersiyonunu, B → F( E2+N) nin lokal cross sectionı olarak, p
noktasında (p, e1,e2,e3 ,…,e2+N) yi ve SpN-1demet küresinin her bir e vektörü için p nin bir
U komşuluğunda e = e2+N = ∑ξr er(p)
alınırsa ve Arij nin lokal cross sectiona
kısıtlanmışı Ārij ile gösterilse o zaman
A2+Nij = ∑ξr Ārij ve (p,e) de Lipschitz-Killing eğriliği
K(p,e) = det( ∑ξr Ārij )
= ( ∑ξr Ār11 )( ∑ξs Ās22 ) - ( ∑ξt Āt12 )2 olur.
(2.34)
Bu ise ξ3 ,…,ξ2+N nin quadratik ifadesidir. B → F(E2+N) nin Frenet cross sectionını
alırsak ortonormal bir çatı ile bu quadratik ifade
K(p,e) =
2+ N
∑
λr-2 ξr ξr
r =3
λ1 ≥ λ2 ≥… ≥ λN şekline dönüşür.
λα lar ikinci tipten α inci eğrilikler olarak adlandırılır.
Bu çatıya göre H1(p,eα+2) = µα(p) ler de birinci tipten α inci eğrilikler olarak
adlandırılır ve
w1rΛw2r= λr-2dV dV = w1Λw2 dir. r = 3,…,2+N
M2 nin E2+N de p noktasındaki Gauss Eğriliği G(p) ile gösterilirse
N
G(p) = ∑ λα(p)dir (Chen1970).
(2.35)
αr =1
20
2. 7 Riemann ve Lorentz Geometri
Bazı genel çalışmalardan sonra index ile belirlenen iki önemli geometri üzerinde
yoğunlaşacağız.
v = 0 olan Rieman geometrisi ve
v = 1 olan Lorentz geometrisi
g : VxV → R
(X,Y) → g (X,Y) metriği,
i) g (X ,Y) = g (Y, X) simetriktir.
ii) Bilineerdir.
iii) g (X , X) ≥ 0 ise
g (X , X) = 0 ancak ve ancak X = 0 ve ya
g (X , X) > 0 ancak ve ancak X = 0 Euclideandır.
iii)’ Her v Є V için
g (U , V ) = 0 iken U = 0 olması gerekiyorsa g’ye nondejenere denir.
W С V altuzayı alınırsa
WV = { ξ Є V | g (ξ , V ) = 0 , v Є V } bu alt uzaya V nin radikali ve ya null uzayı
denir.
Rad V = Null V = { ξ Є V | g (ξ , V ) = 0 , v Є V }
boy ( Rad V ) ifadesine g nin sıfırlık derecesi denir.
g nin derecesidir ancak ve ancak boy ( Rad V ) > 0
g non dejeneredir ancak ve ancak boy ( Rad V ) = 0
g (V , V ) > 0 ise metrik pozitif tanımlı,
g (V , V ) < 0 ise metrik negatif tanımlıdır denir.
g (V , V ) ≥ 0 ise metrik yarı pozitif tanımlıdır ve
g (V , V ) ≤ 0 ise metrik yarı negatif tanımlıdır denir.
W en büyük boyutlu alt uzay ise boy W = q ise ve g |W negatif tanımlı ise q, g nin
indeksi diye adlandırılır.
indV = q
21
V = χ(M) alırsak
ind χ(M) = 0 ise M; Riemann manifoldu
ind χ(M) ≥ 1 ise M; Semi-Riemann manifoldu
ind χ(M) = 1 ise M; Minskowski Uzayı
g ye de Minskowski Metriği denir.
ind χ(M) > 1 ise M Lorentz manifoldu olarak adlandırılır.
g ye de Lorentz Metriği denir.
g degenere ise M ye Light like denir (O’Neill 1983).
Tanım 2.7.1: Rn üzerinde Lorentz metriği < ,> I L olsun. Böylece { Rn , < ,>Ι L} çifti Ln
de n- boyutlu Lorentz uzayı olarak adlandırılır (O’Neill 1983).
Tanım 2.7.2: X = (x1 ,x2 ,…, xn ) , Y = (y1 ,y2 ,…, yn )
uzayında iç çarpım
Є Rn olsun. Lorentz
< , >IL: Rn x Rn → R
n-1
(X , Y) → < X,Y>IL = ∑xiyi – xnyn
i =1
olarak tanımlanır. Bu iç çarpım Rn de simetrik, bilineer, nondejenere metrik tensördür
ve Lorentz metriği diye adlandırılır (O’Neill 1983).
n = 4 için de Lorentz iç çarpımı
X = (x1 ,x2 ,x3 ,x4 ), Y = (y1 ,y2 ,y3 ,y4 ) Є R4 olsun. Lorentz iç çarpımı
< , >IL: R4 x R4 → R
(X , Y) → < X , Y> IL= x1y1 + x2y2 + x3y3 – x4y4 (O’Neill 1983).
Tanım 2.7.3: X = (x1 ,x2 ,…, xn ) Є Ln ise X in normu
‫׀׀‬X‫ ׀׀‬IL = I<X,X>I ,
Eğer < X,X> IL < 0 ise X timelike vektör
Eğer < X,X> IL > 0 ise X spacelike vektör
Eğer < X,X> IL = 0 ise null vektördür (O’Neill 1983).
22
Tanım 2.7.4: X,Y Є L3 olmak üzere Lorentz anlamında vektörel çarpım
*:L3 x L3→ L3
e 1 e2 - e 3
(X,Y)→X*Y =
x1
x2
x3
y1 y2
y3
dir.
(Tagos and Papontaniov 1988)
Tanım 2.7.5: En nin bir hiper yüzeyi M ve M nin birim normal vektör alanı N verilsin.
En de Riemann konneksiyonu D olmak üzere, her X Є χ(M) için S (X) =DXN şeklinde
tanımlı S dönüşümüne M üzerinde şekil operatörü veya M nin Weingarten dönüşümü
denir (Hicks 1974).
Tanım 2.7.6: E3 de bir yüzey M olsun. M nin P noktasındaki şekil operatörü S(P) olmak
üzere K: M→ R
P → K(P) = det S(P)
biçiminde tanımlanan fonksiyona M nin Gauss eğrilik fonksiyonu ve K(P) değerine de
M nin P noktasındaki Gauss eğriliği denir.
H: M→ R
1
P → H(P) = 2 İz S(P)
Biçiminde tanımlanan fonksiyona M nin Ortalama eğrilik fonksiyonu ve H(P) değerine
de M nin P noktasındaki Ortalama eğriliği denir (Boothy1975).
23
3. E4 UZAYINDA BAZI DİFERENSİYEL GEOMETRİK EŞİTSİZLİKLER
3.1 E4 Uzayının Yapı Denklemleri
M2, 2 boyutlu yönlendirilmiş kapalı yüzey, z: M2 → E4 immersiyon, F(M2), F(E4)
sırasıyla M2 ve E4 ün yönlendirilmiş ortonormal çatıları olsun.
B cümlesi b = (p,e1,e2,e3 ,e4) elemanlarından oluşan bir cümle öyle ki;
(p,e1,e2) Є F(M2) ve (z(p),e1,e2,e3 ,e4) Є F(E4) çatılarının yönlendirmesi E4 ile benzer
ayrıca ei ile dz(ei ) belirleniyor.
i = 1,2
ž: B → F(E4)
ž(p) = (z(p),e1,e2,e3 ,e4) doğal olarak tanımlıdır. E4 ün yapı denklemleri
dz = ὡAeA
dὡA = ὡA Λ ὡBA
deA = ὡABeB
dὡAB = ὡAC Λ ὡCB
ὡAB + ὡBA = 0
A, B, C = 1, 2, 3, 4 dir.
ὡA ve ὡAB ler F(E4) üzerinde 1-formlardır.
ωA ve ωAB ,B üzerinde ὡA ve ὡAB lerden ž: B → F(E4) ile indirgenmiş 1-formları
göstersin.
ω3 = ω4 = 0
ωi3 = A3i1ω1 + A3i2ω2
ωj4 = A4j1ω1 + A4j2ω2 i, j = 1,2 dir (Chen and Houh 1971).
3.2 Negatif Gauss Eğrilikli Yüzeylerde Total Mutlak Eğriliğin Hesaplanması
Teorem 3.2.1: M2, 2-boyutlu yönlendirilmiş kapalı yüzey ve p noktasındaki Gauss
eğriliği G(p) < 0, λ1 ikinci tipten 1 inci ve λ2 ikinci tipten 2 inci eğrilik olsun
U = { p Є M2; λ1(p) > 0 } V = { p Є M2; λ1(p) ≤ 0 }olarak tanımlayalım
24
p noktasında total mutlak eğrilik K*(p)
V üzerinde; K*(p) = - π G(p)
ve
(3.1)
U üzerinde ;K*(p) = (2α – π ) G(p) + 4 -λ1λ2
dir.
(3.2)
İspat:(2.35) den G(p) = λ1(p) + λ2(p) dir.
z: M2 → E4 immersiyon ve (p,e1,e2, ē3 , ē4), B → F(M2) nin lokal cross sectionı olsun.
İmmersiyonun şekil operatörü Arij
nin, lokal cross sectiona kısıtlanmışı Ārij
gösterilsin. r = 3, 4 için birim normal vektör
e = e4 = cos θ ē3 +sin θ ē4
ve A4ij = cos θ Ā3ij + sin θ Ā4ij de i, j =1, 2 için
A411 = cos θ Ā311 + sin θ Ā411
A412 = cos θ Ā312 + sin θ Ā412
A421 = cos θ Ā321 + sin θ Ā421
A422 = cos θ Ā322 + sin θ Ā422
(p,er) de Lipschitz-Killing eğriliği
cos θ Ā311 + sin θ Ā411
cos θ Ā312 + sin θ Ā412
cos θ Ā321 + sin θ Ā421
cos θ Ā322 + sin θ Ā422
K(p,e) = det (A4ij) =
= (cos θ Ā311 + sin θ Ā411) )(cos θ Ā322 + sin θ Ā422 ) – (cos θ Ā312 + sin θ Ā412 )2
= [Ā311 Ā322 – (Ā312 )2 ]cos2 θ +[Ā311Ā422 + Ā411 Ā322 - 2Ā312 Ā412 ] cos θ sin θ +
[Ā411 Ā422 – (Ā412)2]sin2 θ dir.
Ā311Ā422 + Ā411 Ā322 - 2Ā312 Ā412 = 0 olacak şeklinde seçilirse
K(p,e) = λ1(p) cos2 θ + λ2(p)sin2 θ dir
(3.3)
λ1 ≥λ2 ve
λ1(p) = det (Ā3ij)
λ2(p) = det (Ā4ij) dir.
V üzerinde λ1 ve λ2 negatif olacağından total eğrilik
25
ile
2π
K*(p) = ∫ | K ( p, e) | dθ
0
2π
∫
=
|λ1 cos 2θ + λ2 sin 2θ | dθ
0
2π
∫
=
-(λ1 cos 2θ + λ2 sin 2θ ) dθ
0
= - π( λ1 + λ2)
= - π G(p) dir.
U üzerinde λ1 pozitif olduğundan ve G(p) ≤ 0 durumu incelendiğinden λ2 negatifdir. Bu
ise |λ2 |≥|λ1 | gerektirir.Total mutlak eğrilik
2π
K*(p) = ∫ | K ( p, e) | dθ
0
2π
=
∫
|λ1 cos 2θ + λ2 sin 2θ | dθ
0
1
= 2
2π
∫
|(λ1 + λ2 ) +(λ1 - λ2 ) cos2θ | dθ
0
1
= 2 (λ1 - λ2 )
2π
∫
0
λ1 - λ2
| λ + λ + cos2θ | dθ
1
2
λ1 + λ2
П
cosα = - λ - λ
; 0 < α ≤ 2 olacak şekilde α açısı tanımlansın.
1
2
sinα =
2 -λ1 λ2
λ1 - λ1
26
1
K*(p) = 2 (λ1 - λ2 )
2π
∫
| cos2θ - cosα | dθ
0
π
= (λ1 - λ2 )
∫
| cost - cosα | dt
0
α
=(λ1 - λ2 )
∫
π
(cost - cosα ) dt - (λ1 - λ2 )
∫
( cost - cosα ) dt
α
0
K*(p) = (2α – π ) G(p) + 4 -λ1λ2 dir (Chen and Houh 1971).
3. 3 E4 Uzayında II. Tipten Eğriliklere Dair Eşitsizlikler
Teorem 3.3.1 M2, 2-boyutlu yönlendirilmiş kapalı yüzey ve p noktasındaki Gauss
eğriliği G(p) < 0, λ1 ikinci tipten 1 inci ve λ2 ikinci tipten 2 inci eğrilik, dV hacim
elementi olmak üzere
∫
U
1
-λ1λ2 dV ≥ 2π2 + 2
∫ |αG|dV
dir.
U
İspat:
∫K
*
M
∫K
*
dV =
U
dV + ∫ K* dV
V
= ∫ [(2α – π ) G+ 4 -λ1λ2 ] dV + ∫ - π G dV
U
V
= ∫ - πG dV +
U
=-π
∫
M
∫ - π G dV +2 ∫ αGdV + ∫ 4
V
U
U
GdV + 2 ∫ αGdV + ∫ 4 -λ1λ2 dV
U
U
Gauss-Bonnet Formülünden
∫
GdV = 2π χ(M2) g yüzeyin genusu ise
M
χ(M2) = 2 (1- g ) olduğunda
= 4π(1- g ) dir.
27
-λ1λ2 ] dV
Chern-Lashof bir sonucu olarak total eğrilik Betti sayılarının toplamı β(M2) den
büyüktür.
* ∫ K* dV ≥ cn+N -1β(M2)
eşitsizliğinden
M
β(M2) = 2 + 2g ve
ck =
1
2[Γ(2 )]k+1
k+1
Γ( 2 )
bilinen formülüyle hesaplanır (Chern and Lashof 1957).
k=5 alındığında c5 = 2π2
Bu ifadeler * eşitsizliğinde yerine konursa
∫
K* dV ≥2π2(2 + 2g)
∫
K* dV ≥4π2(1 + g) dir.
M
M
∫4
U
-λ1λ2 dV = ∫ K* dV + π
M
∫
M
GdV + 2 ∫ |αG|dV eşitliğinde elde edilen eşitsizlikler
U
yerine konursa
∫4
U
∫
U
-λ1λ2 dV ≥ 4π2(1 + g)+ π 4π(1- g ) + 2 ∫ |αG|dV
U
1
-λ1λ2 dV ≥ 2π2 + 2
∫ |αG|dV
(3.4)
U
eşitsizliği elde edilir.
Eğer eşitlik sağlanıyorsa M2 yüzeyine E4 de tightdır denir. Ancak eşitlik
4
tight
immersiyon olursa sağlanır ve yüzey E de konveks olur (Chen and Houh 1971).
28
Teorem 3. 3. 2: M2 kapalı yönlendirilebilir yüzey ve z: M2 → E4 immersiyon olsun.
Gauss eğriliği G ≤ 0 ise M2 nin E4 deki ortalama eğriliği H için
∫H
2
U
dV ≥ 4π 2 + ∫ [ αG + λ 2 ]dV dir.
(3.5)
U
Buradaki eşitlik M2 nin E4 de tight olması ve G nin, U üzerinde sıfıra denk olması
halinde geçerlidir.
İspat: (p, e1,e2, ē3, ē4) çatı ve ē4 e göre asli doğrultular e1,e2 olsun
Ārij matrisinin bileşenleri gösterim kolaylığı için aşağıdaki gibi seçilsin.
Ā311 = a
Ā312 = Ā 321 = c
Ā411 = d
Ā412 = Ā421 = 0
λ1 = ab − c 2
Ā 322 = b
Ā422 = e seçildiğinde
λ 2 = de olmak üzere ortalama eğrilik
4H2 = (a+b)2 + (d+e)2
4H2 = (a+b)2 + (d-e)2 + 4de
≥ 4ab + 4 de + 4de
≥ 8 abed + 4de
≥ 8 − λ1λ 2 + 4 λ2 (U üzerinde)
H2 ≥ − λ 1λ 2 + λ2 eşitsizliği elde edilir. ∫
U
bölüm 3.3’den biliyoruz. Öyle ise
∫H
U
2
dV ≥ 4π 2 + ∫ [ αG + λ 2 ]dV dir.
U
29
1
-λ1λ2 dV ≥ 2π2 + 2
∫ |αG|dV olduğunu
U
Eğer
∫H
U
2
dV ≥ 4π 2 + ∫ [ αG + γ 2 ]dV eşitliği olduğunda U üzerinde λ1 = - λ2 yani G ≡
U
0 olur (Chen and Houh 1971).
Teorem 3. 3. 3: M2 kapalı yönlendirilebilr yüzey z: M2 → E4 immersiyon olsun.
∫λ
2
dV ≥ 2π (π + g − 1) dir.
(3.6)
M
eşitlik ancak ve ancak M2, E4 de tight ve flat ise gerçeklenir (Chen and Houh 1971).
Lemma 3. 3. 4: M2 yüzeyinin E4 de bir immersiyonu z: M2 → E4 olsun. O zaman M2
nin her yerinde λ1λ 2 ≤ 0 olur.
İspat : Sp z(p) de bütün birim normal vektörlerin cümlesi olsun. p ∈ M2 ve é , Sp de
sabit nokta,
S *p = S p − {é} olarak alalım. O zaman Sp ve S *p üzerinde türevlenebilir olarak hareket
eder. Asli eğrilikler k1(e) ve k2(e), e1(e) ve e2(e) ye göre S *p üzerinde süreklidir. Şimdi
kabul edelim k1(e) ≠ 0 (bazı e ∈ S *p ) olsun.
S *p üzerinde k1 sürekli olduğundan ve k1(-e) = - k1(e) olduğundan S *p ın bazı
noktalarında k1 = 0 olduğunu görürüz.
Bu ise Lipschitz – Killing eğriliği K(p,e) = 0 (bazı e ∈ S *p için).
Buradan ve
K(p,e) = λ1(p) cos 2θ + λ2(p) sin 2θ ,
λ1(p) ≥ λ2(p) den
görürüz ki p noktasında λ1λ 2 ≤ 0 . Bu bütün p ∈ M2 noktaları için doğru olduğundan
ispat tamamlanır.
Şimdi Teorem 3.3.2 nin ispatına dönecek olursak
G(p) = λ1 ( p ) + λ 2 ( p ) den elde ederiz ki
30
V üzerinde λ 2 ≤ λ1 ≤ 0 ve
1
∫ − λ dV ≥ 2 ∫ GdV
2
den
V
V
∫ − λ dV ≥ ∫
2
M
1
GdV dir.
2 M∫
− λ1λ 2 dV −
u
Gauss Bonnet formülünden
1
αG dV olduğundan.
2 U∫
∫λ
2
dV ≥ 2π (π + g − 1) +
∫λ
2
dV ≥ 2π (π + g − 1) sonucu elde edilir.
M
M
Eğer eşitlik sağlanırsa M2 , E4 de tight olur. U üzerinde λ1 = −λ 2 ve V üzerinde
λ1 = λ 2 dir. Lemma 3.3.4 den görebiliriz ki V üzerinde λ1 = λ 2 = 0 dır. Bu da gösterir ki
M2 üzerinde Gauss eğriliği G sıfıra denk olur. Tersine eğer M2 , E4 de flat ve tight ise
g = 1 ve
∫λ
M
2
dV = ∫ λ1 dV = 2π 2 dir..
M
Theorem 3.3.2 in hipotezi altında
∫ λ dV ≥ 2π (π + 1 − g ) dır.
1
M
Buradaki eşitlik sadece ve sadece M2, E4 de tight ve flat ise sağlanır
(Chen and Houh 1971).
3. 4 Ortalama Eğriliğe Dair Eşitsizlikler
3. 4. I Teorem: M2 kapalı yönlendirilebilir yüzey z: M2 → E4 immersiyon olsun.
µ1 , µ2 birinci tipten eğrilikler olmak üzere
∫ (µ )
1
U
2
dV ≥ 2π 2 +
1
[ αG + G ]dV dir.
2 U∫
(3.7)
31
eşitlik sadece ve sadece M2 , E4 de tight ve G, U da sıfır ise sağlanır.
İspat: e1,e2 yi ē3 ye göre asli doğrultu olarak seçelim. O zaman Ā3ij aşağıdaki formda
verilir.
Ā311 = a
Ā312 = Ā321 = 0
Ā322 = b
( µ1 ) 2 =
∫ (µ )
1
U
2
1
(a + b) 2 ≥ ab = λ1 (U üzerinde)
4
dV ≥
1
1
1
(λ1 − λ 2 )dV + ∫ GdV ≥ ∫ − λ1λ 2 dV + ∫ GdV
∫
2U
2U
2U
U
eşitlik sağlanırsa ; U üzerinde λ1 = −λ 2 olur.
M2 , E4 de tightir ve U da G ≡ 0 dır.
Eğer M2 , E4 de flat torus ise ortalama eğrilik H için H2 = ( µ1 ) 2 + ( µ 2 ) 2 olduğundan
∫H
2
dV ≥ 2π 2 dir.
M
Eğer M2, E4 de genusu 2 olan yönlendirilmiş kapalı bir yüzey ve G ≤ 0 ise
∫H
2
dV ≥ 2π (π − 1) dir.
∫H
2
dV ≥ 2π 2 +
M
M
1
1
GdV ≥ 2π 2 + ∫ GdV = 2π (π − 1)
∫
2U
2M
Lemma 3.3.4 ve Gauss Bonnet formülüyle
∫λ
2
dV ≥ 4π ( g − 1) dir. Burada
∫λ
2
dV ≥ 2π 2 ,
M
g =1 olduğunda
M
32
∫λ
M
2
⎧2π (π + g − 1)........g = 2,3,4⎫
dV ⟩ ⎨
⎬ dir (Chen and Houh 1971).
⎩4π ( g − 1)..............g = 5,6,7 ⎭
33
4. E6 UZAYINDA BAZI DİFERENSİYEL GEOMETRİK EŞİTSİZLİKLER
4.1 E6 Uzayının Yapı Denklemleri ve Şekil Operatörü
Teorem 4.1.1: M4, 4 boyutlu yönlendirilmiş kapalı manifold , x : M4
→ E6
immersiyon ve F(M4), F(E6) sırasıyla M4 ve E6 nin yönlendirilmiş ortonormal çatıları
olsun. B cümlesinin elemanları b = (p,e1,e2,e3,e4,e5,e6) öyle ki; (p, e1, e2, e3 ,e4)Є F(M4)
ve (x(p), e1, e2, e3 ,e4,e5,e6) Є F(E6) olsun.
y: B → F( E6)
b → y(b) = ( x(p), e1, e2, e3 , e4,e5,e6) olarak tanımlansın.
ŵA,ŵAB
F(E6) çatısında 1-formlar ve wA , wAB ler ŵA , ŵAB lerden y dönüşümü
ile indirgenmiş 1-formları, (A6ij) immersiyonun şekil operatörü olmak üzere İkinci
temel form
II ( dp, dp ) = A611w12 + 2A621w1w2 + 2A614w1w4 + A622w22 + 2A623w2w3 + 2A624w2w4 +
A633w32 + 2A634w3w4 + A644w42
dır.
İspat: BV, M4 nin E6 deki birim normal vektörlerini gösterirse BV → M4 dönüşümü
p Є M4 deki Sp3 demet küresini tanımlar. Diyelim ki u: BV → S05 dönüşümünde E6 nın
orijininde e ye paralel birim vektör u(p,e) ise E6 nin yapı denklemleri
dx = ∑ŵAeA
deA= ∑ŵABeB
dŵA=∑ŵB ΛŵBA
dŵAB=∑ŵAC ΛŵCB
ŵAB +ŵBA = 0 dır.
A,B,C = 1,2,3,4,5,6
r = 5,6 i,j = 1,2,3,4 için
wr = 0
wri = ∑Arijwj Arij =Arji
dwi = ∑wj Λwji dwAB = ∑wAC ΛwCB açık olarak yazarsak
dw1 + w21 Λ w2 + w31 Λ w3 + w41 Λ w4 = 0
dw2 + w12 Λ w1 + w32 Λ w3 + w42 Λ w4 = 0
dw3 + w13 Λ w1 + w23 Λ w2 + w43 Λ w4 = 0
w15 Λ w1 + w25 Λ w2 + w35 Λ w3 + w45 Λ w4 = 0
34
w16 Λ w1 + w26 Λ w2 + w36 Λ w3 + w46 Λ w4 = 0 denklemleri elde edilir.
Diğer yandan wri = ∑Arijwj den
wi5 = A5i1w1 + A5i2w2 + A5i3w3 + A5i4w4
i = 1,...,4
wi6 = A6i1w1 + A6i2w2 + A6i3w3 + A6i4w4
II inci temel formu hesaplarsak
II ( dp, dp ) = < S(dp) , dp >
= < S(w1e1+w2e2 +w3e3 +w4e4+w5e5+w6e6 ),(w1e1+w2e2 +w3e3 +w4e4+w5e5+w6e6 )>
= < S(w1e1+w2e2 +w3e3 +w4e4),(w1e1+w2e2 +w3e3 +w4e4)>
S(e1) = De1 e6 = A611e1+ A621e2 + A631e3 + A641e4
S(e2) = De2 e6 = A612e1+ A622e2 + A632e3 + A642e4
S(e3) = De3 e6 = A613e1+ A623e2 + A633e3 + A643e4
S(e4) = De4 e6 = A614e1+ A624e2 + A634e3 + A644e4
İmmersiyonun şekil operatörü
S =
A611
A621 A631
A612
A622 A632 A642
A613 A623
A614
A641
A633 A643
A624 A634
, A6ij = A6ji
olarak elde edilir.
A644
w1S(e1) = ( A611e1+ A621e2 + A631e3 + A641e4 )w1
w2S(e2) = ( A612e1+ A622e2 + A632e3 + A642e4 )w2
w3S(e3) = ( A613e1+ A623e2 + A633e3 + A643e4 )w3
w4S(e4) = ( A614e1+ A624e2 + A634e3 + A644e4 )w4
II ( dp, dp ) = A611w12 + 2A621w1w2 + 2A614w1w4 + A622w22 + 2A623w2w3 + 2A624w2w4 +
A633w32 + 2A634w3w4 + A644w42
ikinci temel form olarak elde edilir.
35
4.2 E6 Uzayında Lipschitz-Killing Eğriliğinin Hesaplanması
Teorem 4.2.1: M4, 4 boyutlu yönlendirilmiş kapalı manifold, x :M4 → E6 immersiyon
olsun. λ1 ikinci tipten birinci, λ2 ikinci tipten ikinci eğriliği, e birim normal vektör
olmak üzere p noktasında Lipschitz-Killing eğriliği
K(p,e) = λ1(p) cos 4θ + λ2(p) sin 4θ
; λ1 ≥ λ2 dir.
İspat: İmmersiyonun şekil operatörü A6ij nin, lokal cross sectiona kısıtlanmışı Ā 6ij ile
gösterilsin o zaman
e birim normal vektörü için e = e6 = cosθē5 + sinθē6 alınırsa A6ij = cosθ Ā 5ij + sinθ Ā 6ij
olur ve Lipschitz-Killing eğriliği K(p,e) aşağıdaki şekilde hesaplanır.
K(p,e) = det(A6ij)
Dönüşüm yapılmadan determinant alınır ve sonra determinantın her terimi için
dönüşüm yapılırsa uygun bir seçim yapılarak sağ taraf cos2 θ ve sin 2θ nın quadratik
ifadesi haline gelir. Frenet cross sectionını alırsak ortonormal bir çatı ile bu quadratik
ifade
K(p,e) = λ1(p) cos 4θ + λ2(p) sin 4θ olur. λ1 ≥ λ2
λ1(p) = det(Ā5ij)
λ2(p) = det(Ā6ij) dir.
4.3 Gauss Eğriliği G Pozitif İse Total Mutlak Eğriliğin Hesaplanması
Teorem 4.3.1: M4, 4 boyutlu yönlendirilmiş kapalı manifold x : M4 → E6 immersiyonu
olsun,
G pozitif Gauss Eğriliğini, β(M4) Betti sayıları toplamını göstermek üzere
∫
M
4
G dV ≥ 3 π 2 β(M4)dir.
36
İspat: Total eğriliği hesaplayacak olursak
2π
K (p) = ∫ | K (p,e) | dθ
*
λ1 ve λ2 pozitif ise yani pozitif Gauss Eğriliği için
0
2π
=
∫
|λ1(p) cos 4θ + λ2(p) sin 4θ | dθ
0
2π
=
∫
(λ1(p) cos 4θ + λ2(p) sin 4θ ) dθ
0
3П
= 4 ( λ1(p) + λ2(p))
3П
= 4 G(p) dir.
∫
M
K* dV =
∫
M
3π
4 G dV
β(M4) Betti sayıları toplamını gösterirse Chern –Lashof un sonucu olarak
∫
K* dV ≥ π 3 β(M4) dir. Buradan
∫
3π
3
4
4 G dV ≥ π β(M )
∫
4
G dV ≥ 3 π 2 β(M4) eşitsizliği elde edilir.
M
M
M
37
4.4 Gauss Eğriliği G Negatif İse Total Mutlak Eğriliğin Hesaplanması
Teorem 4.4.1: M4, 4 boyutlu yönlendirilmiş kapalı manifold x : M4 → E6 immersiyonu
ile gömülürse, G(p) = λ1(p) + λ2(p) negatif Gauss Eğriliğini, β(M4) Betti sayıları
toplamını göstermek üzere λ1(p) < 0 ve λ2(p) <0
ise
∫
M
4
G dV ≤-3 π 2 β(M4)dir.
İspat: λ1(p) < 0 ve λ2(p) <0 ise G(p) < 0 dır. Negatif Gauss Eğriliği için
total mutlak eğrilik
2π
*
K (p) =
∫
| K (p,e) | dθ
0
2π
=
∫
|λ1 cos 4θ + λ2 sin 4θ | dθ
0
2π
=-
∫
(λ1 cos 4θ + λ2 sin 4θ ) dθ
0
3П
= - 4 ( λ1(p) + λ2(p) )
3П
= - 4 G(p) dir.
∫
K* dV =
M
∫
M
3П
- 4 G dV dir.
4
β(M ) Betti sayıları toplamını gösterirse Chern –Lashof un sonucu olarak
∫
K* dV ≥ π 3 β(M4) dir. Buradan
∫
3π
- 4 G dV ≥ π3 β(M4)
∫
4
G dV ≤-3 π 2 β(M4)dir.
M
M
M
38
Teorem 4.4.2: M4, 4 boyutlu yönlendirilmiş kapalı manifold x : M4 → E6 immersiyonu
ile gömülürse,
G(p) = λ1(p) + λ2(p) negatif Gauss Eğriliğini, β(M4) Betti sayıları toplamını göstermek
üzere λ1 (p) > 0 ve λ2(p) < 0 ise
4
[( -λ2 – λ1 ) -λ1λ2
∫
U
λ1-λ2
1 4
3
4
3
4
2 ]dV≥6 π β(M )+ 3π χ(M ) + 4
( λ1 + -λ2 )
∫
|αG |dV dir
U
İspat: λ1 (p) > 0 ve λ2(p) < 0 olduğunda
U = { p Є M4, λ1(p) > 0 } ve V = { p Є M4, λ1(p) < 0 } olarak tanımlayalım.
negatif Gauss Eğriliği için |λ2(p) | ≥ |λ1(p) | dir. Bu durumda
2π
∫
*
K (p) =
| K (p,e) | dθ
0
2π
∫
=
|λ1(p)cos 4θ + λ2(p) sin 4θ | dθ integralinin hesaplanması :
0
G(p) = λ1(p) + λ2(p) negatif Gauss eğriliği olmak üzere
2π
∫
*
K (p) =
| K (p,e) | dθ
0
2π
∫
=
|λ1(p) cos 4θ + λ2(p) sin 4θ | dθ
0
2π
=
∫
|a cos 2θ + b sin 2θ | |a cos 2θ – b sin 2θ | dθ
0
a = λ1 , b = -λ2 , b > a > 0 dır.
a cos 2θ + b sin 2θ ≥ 0 olduğundan
2π
K*(p) = ∫
(a cos 2θ + b sin 2θ ) |a cos 2θ – b sin 2θ | dθ
0
39
1
=2
2π
∫
(a cos 2θ + b sin 2θ ) |(a-b) + (a+b) cos2θ | dθ
0
2π
1
=2 (a+b)
a-b
(a cos 2θ + b sin 2θ ) | a+b + cos2θ | dθ
∫
0
a-b
П
cosα = - a + b ; 0 < α ≤ 2 olacak şekilde α açısı tanımlansın.
2 ab
sinα = a + b ; G(p) = λ1(p) + λ2(p) ; G(p) = a2- b2
2π
1
K*(p) = 2 (a+b)
∫
(a cos 2θ + b sin 2θ ) | cos2θ - cosα | dθ
0
4π
∫
t
t
(a cos 2 2 + b sin 22 ) | cost - cosα | dt
π
1
=4 (a+b) 4 ∫
t
t
(a cos 2 2 + b sin 22 ) | cost - cosα | dt
1
= 4 (a+b)
0
0
1
= 2 (a+b)
a2 - b2
= 2
=
a2 - b2
2
=
π
α
∫
0
∫
[(a+b) + (a-b) cost ] | cost - cosα | dt
0
a+b
[ a - b + cost ] | cost - cosα | dt
∫
0
a2 - b2
2
π
π
∫
0
1
[- cosα + cost ] | cost - cosα | dt
1
a2 - b2
[- cosα + cost ](cost – cosα)|dt - 2
3
3π
a2 + b2
K (p) = 2 αG(p) - 4 G(p) + 2( b – a ) ab (a + b)2
*
olarak bulunur.
40
π
∫
α
1
[- cosα + cost ](cost - cosα )dt
V = { p Є M4, λ1(p) < 0 } için
3П
K*(p) = - 4 G(p) dir.
∫
K* dV =
M
U
=∫
U
=∫
U
∫
M
2∫
U
∫
K* dV + ∫ K* dV
V
3
3П
a2 + b2
[ 2 αG - 4 G + 2( b – a ) ab (a + b)2 ]dV + ∫
3П
- 4 GdV
V
2
3П
3П
a + b2
3
- 4 GdV + ∫ - 4 GdV + ∫ [2( b–a ) ab (a + b)2 ]dV + 2
V
3П
3
K* dV = ∫ - 4 GdV + 2
M
U
∫
U
a2 + b2
αG dV + ∫ [2( b – a ) ab (a + b)2 ]dV
∫
αG dV
U
U
a2 + b2
3П
[( b – a ) ab (a + b)2 ]dV = ∫ K* dV + 4
M
∫
M
3
GdV - 2
∫
αG dV
U
Gauss-Bonnet Formülünden
∫
GdV = 8π 2 χ(M4) dır.
M
Chern-Lashof bir sonucu olarak total eğrilik Betti sayılarının toplamı β(M4) den
büyüktür. Bu durumda
∫
K* dV ≥ c7β(M4) ,
∫
1
K* dV ≥3 π4β(M4) dır.
M
M
1
c7 = 3 π4 alındığında
a2 + b2
1
3
2 ∫ [( b – a ) ab (a + b)2 ]dV ≥ 3 π4β(M4)+ 3π3 χ(M4) + 2
U
∫
U
a2 + b2
1
3
[( b – a ) ab (a + b)2 ]dV ≥ 6 π4β(M4)+ 3π3χ(M4) + 4
41
∫
U
∫
|αG |dV
U
|αG |dV bulunur.
a = λ1 , b = -λ2 olduğundan
∫
4
[( -λ2 – λ1 ) -λ1λ2
U
λ1-λ2
1 4
3
4
3
4
2 ]dV≥6 π β(M )+ 3π χ(M ) + 4
( λ1 + -λ2 )
dir.
42
∫
U
|αG |dV
5. L4 UZAYINDA BAZI DİFERENSİYEL GEOMETRİK EŞİTSİZLİKLER
5.1 L4 Uzayının Yapı Denklemleri ve Şekil Operatörü
Teorem 5.1.1: M2 iki boyutlu kapalı yönlendirilmiş yüzey
x: M2→L4
timelike immersiyon F(M2) ve F(L4) sırasıyla M2 ve L4 ün yönlendirilmiş ortonormal
çatıları olsun.B kümesi b = (p, l1, l2, l3, l4) elemanlarından oluşan bir küme öyle ki
(p, l1 l2 )Є F(M2)
(x(p), l1, l2, l3, l4)Є F(L4).
Çatının yönlendirmesi L4 ile benzer ve dx(li), li ile belirleniyor. Burada li ler birim
vektörler ve ayrıca l2 timelike vektördür.
y: B→ F(L4)
y(p) = (x(p), l1, l2, l3, l4) doğal olarak tanımlı, wA B üzerinde ŵA lerden y ile
indirgenmiş 1-formlar, (A4ij)immersiyonun şekil operatörü ise ikinci temel form
II(dp,dp) = A411w12+ 2 A421w1w2 + A422w22
dır.
İspat: M2 iki boyutlu kapalı yönlendirilmiş yüzey
x: M2→L4
timelike immersiyon F(M2) ve F(L4) sırasıyla M2 ve L4 ün yönlendirilmiş ortonormal
çatıları olsun. B kümesi b = (p, l1, l2, l3, l4) elemanlarından oluşan bir küme öyle ki
(p, l1 l2 )Є F(M2)
(x(p), l1, l2, l3, l4)Є F(L4).
43
Çatının yönlendirmesi L4 ile benzer ve dx(li), li ile belirleniyor. Burada li ler birim
vektörler ve ayrıca l2 timelike vektördür.
y: B→ F(L4)
y(p) = (x(p), l1, l2, l3, l4) doğal olarak tanımlı
A,B,C = 1,2,3,4
dx = ŵA lA
dŵAB = ŵACΛŵCB
dlA= ŵAB lB
ŵAB + ŵBA = 0
dŵA=ŵAΛŵBA
ŵA ve ŵAB ler F(L4) üzerinde 1-formlardır. wA ve wAB B üzerinde ŵA ve ŵAB lerden
y: B→ F(L4) ile indirgenmiş 1-formları göstersin.
w3 = w4 = 0
wi3 = A3i1 w1 + A3i2 w2
wj4 = A4j1 w1 + A4j2 w2 i,j=1,2
B→ F(M2) lokal cross sectionını ele alalım. (p, l1, l2, l’3, l’4) bu lokal cross sectionın
çatısı olsun. Arij nin lokal cross sectiona kısıtlanmışı Ārij ile gösterilsin. S immersiyonun
şekil operatörünü göstermek üzere. İkinci temel formu hesaplarsak
II(dp,dp) = <S(dp),dp>
= <S(w1l1 + w2l2 + w3l13 + w4l4), w1l1 + w2l2 + w3l13 + w4l4>
=<S(w1l1 + w2l2), w1l1 + w2l2 >
=< w1S(l1) + w2S(l2) , w1l1 + w2l2 >
= w12< S(l1), l1> + 2w1w2< S(l1), l2> + w22< S(l2), l2>
44
S(l1) = Dl1 l4 = A411 l1- A421 l2
S(l2) = Dl2 l4 = A412 l1- A422 l2
A411
- A421
A412
- A422
S=
< S(l1), l1> = < A411 l1- A421 l2, l1> = A411
< S(l1), l2> = < A411 l1- A421 l2, l2> = A421
< S(l2), l2> = < A412 l1- A422 l2 ,l2> = A422
II(dp,dp) = A411w12+ 2 A421w1w2 + A422w22
ikinci temel form olarak elde edilir.
5.2 L4 Uzayında Lipschitz- Killing Eğriliğinin Hesaplanması
Teorem 5.2.1: M2 iki boyutlu kapalı yönlendirilmiş yüzey, x:M2→L4 timelike
immersiyon, (A4ij) immersiyonun şekil operatörü, p noktasındaki Lipschitz-Killing
eğriliğini K(p,l) , birim normal vektör l ve λ1(p) = det(Ā3ij) , λ2(p) = det(Ā4ij). ikinci
tipten birinci ve ikinci eğrilikler olmak üzere
K(p,l) = - λ1(p)cos2 θ – λ2(p)sin2 θ dir.
İspat: l = l4 = cosθ Ǐ3 + sinθ Ǐ4 seçersek
A4ij = cosθ Ā3ij + sinθ Ā4ij i,j =1, 2
K(p,l) = det(A4ij) dir.
45
cosθ Ā311 + sinθ Ā411
-cosθ Ā312- sinθ Ā412
cosθ Ā312+ sinθ Ā412
-cosθ
K(p,l) =
Ā322 - sinθ Ā422
K(p,l) = - λ1(p)cos2 θ – λ2(p)sin2 θ olarak bulunur.
λ1(p) = det(Ā3ij)
λ2(p) = det(Ā4ij) dir.
λ1 , λ2 ikinci tipten α inci eğriliklerdir.
5.3 L4 Uzayında Negatif Gauss Eğrilikli Yüzeylerde Total Eğriliğin Hesaplanması
Teorem 5.3.1: M2 iki boyutlu kapalı yönlendirilmiş yüzey x:M2→L4 timelike
immersiyon olsun. G(p), p noktasındaki Gauss Eğriliğini, λ1, λ2 ikinci tipten birinci ve
ikinci eğrilikler ayrıca U = { p Є M2; λ1(p) > 0 } ve V = { p Є M2; λ1(p) ≤ 0 }olmak
üzere total mutlak eğrilik
K*(p) = - π G(p)
K*(p) = (2α – π ) G(p) + 4 -λ1λ2
;
V üzerinde
;
U üzerinde
dir.
İspat: V üzerinde λ1 ve λ2 negatif olacağından total eğrilik
2π
K*(p) = ∫ | K ( p, l ) | dθ
0
2π
=
∫
|-λ1 cos 2θ - λ2 sin 2θ | dθ
0
46
2π
∫
=
|-1||λ1 cos 2θ + λ2 sin 2θ | dθ
0
2π
∫
=
-(λ1 cos 2θ + λ2 sin 2θ ) dθ
0
= - π( λ1 + λ2)
= - π G(p) dir.
U üzerinde λ1 pozitif olduğundan ve G(p) ≤ 0 durumu incelendiğinden λ2 negatifdir. Bu
ise |λ2 |≥|λ1 | gerektirir. Total mutlak eğrilik
2π
K*(p) = ∫ | K ( p, l ) | dθ
0
2π
=
∫
|-λ1 cos 2θ - λ2 sin 2θ | dθ
0
2π
=
∫
|-1||λ1 cos 2θ + λ2 sin 2θ | dθ
0
2π
=
∫
|(λ1 + λ2 ) +(λ1 - λ2 ) cos2θ | dθ
0
1
= 2 (λ1 - λ2 )
2π
∫
0
λ1 - λ2
| λ + λ + cos2θ | dθ
1
2
λ1 + λ2
П
cosα = - λ - λ
; 0 < α ≤ 2 olacak şekilde α açısı tanımlansın.
1
2
sinα =
2 -λ1 λ2
λ1 - λ1
1
K*(p) = 2 (λ1 - λ2 )
2π
∫
| cos2θ - cosα | dθ
0
47
π
= (λ1 - λ2 )
∫
| cost - cosα | dt
0
α
=(λ1 - λ2 )
∫
π
(cost - cosα ) dt - (λ1 - λ2 )
∫
( cost - cosα ) dt
α
0
K*(p) = (2α – π ) G(p) + 4 -λ1λ2 dir.
Teorem 5.3.2: M2 kapalı yönlendirilebilir yüzey x: M2 →L4 timelike immersiyon
olsun.Gauss eğriliği G ≤ 0 ise M2 nin L4 deki ortalama eğriliği H için
H2dV ≥ 4π2 + ⌠ | αG | dV dir.
⌠
⌡
⌡
U
U
İspat: ( p, l1, l2, l’3, l’4) çatı l’4 e göre asli doğrultular l1ve l2 olsun.
Ārij matrisinin bileşenlerini gösterim kolaylığı açısından aşağıdaki gibi seçelim.
Ā311 = a
Ā411 = d
Ā312 = - c
Ā321 = c
Ā322 = - b
Ā422 = - e
a
-c
c
-b
d
0
0
-e
Ā412 = Ā421 = 0
Ā3ij =
Ā4ij =
λ1(p) = det(Ā3ij) = -ab + c2
λ2(p) = det(Ā4ij) = -de
ve λ1 ≥ λ2 olmak üzere
48
a
-c
0
0
c
-b
0
0
0
0
d
0
0
0
0
-e
S=
S matrisine göre ortalama eğriliği hesaplayacak olursak
H=
a-b+d-e
2
(a-b+d-e)2
H =
4
2
4H2 = (a-b)2 + (d-e)2 -2(a-b)(d-e)
= (a-b)2 + (d-e)2 -2( ad - ae - bd + be)
ad - ae - bd + be = 0 dır. Çünkü
Ā311 Ā411 + Ā322 Ā422 = Ā311 Ā422+ Ā322 Ā411= Ā312 Ā412 +Ā421 Ā312
Ā412 = Ā421= 0 dır.
4H2 = (a-b)2 + (d -e)2
4H2 ≥ 4|ab| + 4|de|
4H2 ≥ 8 |abde|
λ1 λ2 = (-ab + c2)(-de)
= abde -dec2
-λ1 λ2 = -abde + dec2
U = { pЄ M2 : λ1(p) > 0 } üzerinde
4H2 ≥ 8 |-λ1 λ2 |
H2 ≥ 2 |-λ1 λ2 |
, her iki tarafın U üzerinden integralini alacak olursak
49
ve
2
⌠ H dV ≥ 2⌡
⌠
⌡
U
U
olduğundan
|-λ1 λ2 | dV
,
⌠
⌡
U
H2 dV ≥ 4π2 + ⌠ | αG | dV dir
⌠
⌡
⌡
U
U
50
|-λ1 λ2 | dV
≥
1
2π2 + 2 ⌠ | αG | dV
⌡
U
KAYNAKLAR
Boothy, W.M.1975. An Introduction To Differentible Manifolds and Riemannian
Geometry, Academic Press, New York, San Francisco, Londan.
Chen, B. Y. and Houh, C. S. 1972. Some Differential Geometric Inequalities For
Surfaces in Euclidean Spaces. Tensor, N. S.Vol 23; 105- 108.
Chen, B. Y. 1970. On an Inequality of T. J. Willmore. AMS; 473- 479.
Chen, B. Y. 1970. On The Total Cuvature of Immersed Manifolds,I an Inequality of
Fenchel- Borsuk- Willmore. Amer. J. Math; 148- 162.
Chern, S. S. and Lashof, R. K. 1957. On The Total Curvature of Immersed Manifolds,
II. Amer. J. Math; 5- 12.
Hacısalihoğlu, H. H. 1980. Yüksek Diferensiyel Geometriye Giriş. Fırat Üniversitesi
Fen Fakültesi Yayınları, Türkiye.
Hicks, N. 1974 Notes On Differential Geometry. Von Nostrand Reinhold Company,
Londan.
O’Neill, B. 1983. Semi-Riemannian Geometry. Academic Press, Newyork, London.
Willmore, T.J. 1982. Total Curvature in Riemannian Geometry. Halsted
Pres, London
Tagos, G. and Papontaniov, B. 1988. On theRectilinear Congruences of Lorentz
Manifold Establishing An Area Preserving Representation.Tensör, N. S.
51
ÖZGEÇMİŞ
Adı Soyadı: Serpil KARAGÖZ
Doğum Yeri : Bolu
Doğum Tarihi: 06/05/1972
Medeni Hali : Bekar
Yabancı Dili : İngilizce
Eğitim Durumu (Kurum ve Yıl)
Lise: Bolu Atatürk Lisesi (1989)
Lisans : Marmara Üniversitesi Atatürk Eğitim Fakültesi (1994)
Yüksek Lisans: Marmara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Ana Bilim
Dalı (1997)
Çalıştığı Kurum/Kurumlar ve Yıl
Mahalli İdareler Behiye Baysal Anadolu Meslek Lisesi 1995-1997
Abant İzzet Baysal Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü 1997-…
52