KONU 8. ÖZDE˘GERLER˙IN KATI Tanım 8.1. λ = λ 0 özde˘gerine

¼
KONU 8. ÖZDEGERLER
I·N KATI
Tan¬m 8.1.
= 0 özde¼
gerine karş¬l¬k gelen lineer ba¼
g¬ms¬z özfonksiyonlar¬n say¬s¬na 0 özde¼
gerinin kat¬denir
Tan¬mdan P operatörünün özde¼
gerinin kat¬bir veya iki olur.
Teorem 8.2. = 0 say¬s¬n¬n P operatörünün iki katl¬özde¼
geri olmas¬için
gerek ve yeter koşul
( ;
0)
0
='( ;
0)
0
= 1;
( ;
0)
= '( ;
0)
=0
(8.1)
olmas¬d¬r.
I·spat. = 0 say¬s¬P operatörünün iki katl¬özde¼
geri, y1 (x; 0 ) ve y2 (x;
ise bu özde¼
gere karş¬l¬k gelen lineer ba¼
g¬ms¬z özfonksiyonlar olsun.
'(x;
0)
=
c1 y1 (x;
0)
+ c2 y2 (x;
0)
(x;
0)
=
c3 y1 (x;
0)
+ c4 y2 (x;
0)
0)
= c1 y1 ( ;
0)
+ c2 y2 ( ;
olur. S¬n¬r koşullar¬ndan
0
'( ;
0
0
= c1 y1 (0;
0
= ' (0;
( ;
0)
0
0
0)
+ c2 y2 (0;
0)
0)
0)
=
1
=
c3 y1 ( ;
0)
+ c4 y2 ( ;
=
c3 y1 (0;
0)
+ c4 y2 (0;
=
(0;
=
1
( ;
0)
0)
0)
0)
elde edilir. Yani
0
='( ;
0)
=1
olur.
'( ;
0
( ;
0)
0)
= c1 y 1 ( ;
0)
= c1 y1 (0;
0 ) + c2 y2 (0;
=
'(0;
=
0
0
0
= c3 y1 (0;
=
=
0)
0)
0)
= c3 y1 ( ;
0
+ c2 y 2 ( ;
(0;
0
1
0)
0)
0)
0
+ c4 y2 ( ;
0
+ c4 y2 (0;
0)
0)
0)
bulunur. Tersine (8:1) gerçeklensin. Bu durumda hem '(x; 0 ); hem de (x; 0 )
s¬n¬r koşullar¬n¬ gerçekledi¼
ginden ve lineer ba¼
g¬ms¬z oldu¼
gundan, '(x; 0 ) ve
(x; 0 ) fonksiyonlar¬ 0 özde¼
gerine karş¬l¬k gelen özfonksiyon olur, yani 0 ¬n
kat¬iki olur.
Al¬şt¬rma.
1) =
yeter koşul
0
say¬s¬n¬n A operatörünün iki katl¬ özde¼
geri olmas¬ için gerek ve
( ;
0)
0
='( ;
0)
=
1;
olmas¬d¬r. Bunu ispatlay¬n¬z.
2
0
( ;
0)
= '( ;
0)
=0