KONU 12. ÇARPMA OPERATÖRLER˙IN˙IN REZOLVENT˙I VE

KONU 12. ÇARPMA OPERATÖRLERI·NI·N REZOLVENTI· VE
SPEKTRUMU
B ile L2 (R) uzay¬nda ' fonksiyonuna çarpma operatörünü gösterelim, yani
Bf (x) = '(x)f (x); f 2 D(B)
ve
D(B) = ff : f 2 L2 (R); 'f 2 L2 (R)g
olsun.
Teorem 12.1. B operatörünün spektrumu çarpma fonksiyonunun de¼
ger
kümesi ile çak¬ş¬r, yani
(B) = R('):
I·spat. f 2 D(B) olmak üzere,
Bf
f =g
(12.1)
denklemini çözerek B operatörünün rezolvent kümesini ve rezolvent operatörünü bulal¬m. (12:1) denkleminden
'f
('
['(x)
f
= g
)f
= g
] f (x)
= g(x)
1
f (x) =
'(x)
g(x)
elde edilir. Sonuncu eşitlikten
(B) = f :
bulunur.
6= '(x)g = CnR(')
2 (B) için
R (B)f (x) =
olur, yani B operatörünün rezolventi
1
'(x)
1
'(x)
g(x)
fonksiyonuna çarpma operatörüdür.
Di¼
ger taraftan
(B) = Cn (B) = R(')
bulunur. Ayr¬ca
2 (B) için R (B) mevcut, s¬n¬rs¬z ve
D[R (B)] = L2 (R)
oldu¼
gundan
(B) =
1
c (B)
elde edilir.
Al¬şt¬rmalar.
1) L2 (R) uzay¬nda
T f (x) = x2 f (x); f 2 D(T )
operatörünün spektrumunu, sürekli spektrumunu, rezolvent kümesini ve rezolvent operatörünü bulunuz.
2). L2 (R) uzay¬nda
Kf (x) = sin xf (x); f 2 D(K)
operatörünün
a) D(K) tan¬m kümesini bulunuz.
b) K operatörünün spektrumunu,rezolvent kümesini ve rezolvent operatörünü
elde ediniz.
2