SINIR ŞARTLARININ BİRİNDE ÖZDEĞER

PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ
PAMUKKALE UNIVERSITY
MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ
ENGINEERING COLLEGE
MÜHENDİSLİK BİLİMLERİ DERGİSİ
JOURNAL
OF
ENGINEERING
SCIENCES
YIL
CİLT
SAYI
SAYFA
: 2002
:8
:2
: 219-226
SINIR ŞARTLARININ BİRİNDE ÖZDEĞER PARAMETRESİ
BULUNDURAN SÜREKSİZ STURM-LİOUVİLLE
PROBLEMİNİN ÖZFONKSİYONLARI
Oktay MUHTAROV*, Mahir KADAKAL** ve Fahrettin Ş. MUHTAROV***
*Gaziosmanpaşa Üniversitesi, Fen-Edebiyat Fakültesi, Matematik Bölümü, Tokat
**Ondokuz Mayıs Üniversitesi, Fen-Edebiyat Fakültesi, Matematik Bölümü, 55139-Kurupelit/Samsun
***Azerbaycan Bilimler Akademisi, Matematik ve Mekanik Enstitüsü, Bakü-Azerbeycan
Geliş Tarihi : 05.10.2001
ÖZET
Bu çalışmada, sınır şartlarının birinin katsayıları özdeğer parametresini lineer olarak içeren süreksiz katsayılı ve
ağırlıklı Sturm-Liouville probleminin rezolvent operatörü ve özfonksiyonlar sisteminin tamlık özellikleri yeni
bir yaklaşımla incelenmiştir. İncelenen problemin operatör-teorik yazılımı için L 2 [a , b] ⊕ C/ Hilbert uzayında
yeni eşdeğer iç çarpım ve uygun kendine eşlenik lineer operatör tanımlanmıştır. Ayrıca, φ( x, λ) ve χ( x , λ)
temel çözümleri özel bir yöntemle tanımlanmıştır.
Anahtar Kelimeler : Süreksiz Sturm-Liouville problemi, Özdeğer, Özfonksiyon, Rezolvent operatör
EIGENFUNCTIONS OF DISCONTINUOUS STURM-LIOUVILLE PROBLEM
CONTAINING EIGENVALUE PARAMETER IN THE ONE OF BOUNDARY
CONDITIONS
ABSTRACT
In this paper by using a new approach we investigate the resolvent operator and completeness of the system of
eigenfunctions of the Sturm-Liouville problem with discontinuous coefficients and weight, one of the boundary
conditions of which contained linear eigenparameter. For operator-theoretic formulation of the considered
problem we define a new equvalent inner product in the Hilbert space L 2 [a , b] ⊕ C/ and suitable selfadjoint
linear operator in it. Further, the basic solutions φ( x, λ) and χ( x , λ) are defined by the special procedure.
Key Words : Discontinuous Sturm-Liouville problem, Eigenvalue, Eigenfunctions, Resolvent operator
1. GİRİŞ
Bu çalışmada katsayıları sonlu [a , b] aralığının bir
a < b < c iç noktasında genel olarak süreksiz olan
{
diferensiyel
219
}
1
− (p( x )u ′)′ + q( x )u =
r(x )
λu , x ∈ [a , c) ∪ (c, b]
Tu :=
denkleminden,
uç
(1)
noktalardaki,
Sınır Şartlarının Birinde Özdeğer Parametresi Bulunduran Süreksiz Sturm-Liouville ..., O. Muhtarov, M. Kadakal, F. Ş. Muhtarov
u (a ) = 0
(2)
(λα1 + β1 )u (b) = (λα 2 + β2 )u′(b)
(3)
2. SINIR DEĞER GEÇİŞ
PROBLEMİNİN UYGUN HİLBERT
UZAYINDA ÖZDEĞER PROBLEMİ
BİÇİMİNDE İFADESİ
sınır şartlarından ve x = c süreksizlik noktasındaki
γ1u (c − 0) = δ1u (c + 0)
(4)
Eğer,
γ 2 u ′(c − 0) = δ 2 u ′(c + 0)
(5)
 (u ) b := β1u (b) − β 2 u ′(b)

(u )′b := α1u (b) − α 2 u ′(b)
geçiş şartlarından oluşan bir sınır değer problemini
inceleyeceğiz.
Burada;
λ
kompleks
α i , β i , γ i , δ i (i = 1, 2)
reel
(6)
gösterimlerinden
yararlanırsak,
1
u, v ∈ C [a , b] için,
parametredir;
sayılardır
ve
kolayca
ρ[u (b) v′(b) − u ′(b) v(b)] =
(u ) b ( v)′b − (u )′b ( v) b
β12 + β 22 > 0, γ12 + δ12 > 0, γ 22 + δ 22 > 0 doğal şartlarını
sağlıyorlar;
r, p, p′, q
ise
[a , c) ve (c, b]
aralıklarının her birinde sürekli olan ve x = c
noktasında sonlu sağ ve sol limit değerleri mevcut
olan reel değerli fonksiyonlardır. Ayrıca her
x ∈ [a , c) ∪ (c, b] için r ( x ) > 0, p( x ) > 0 olduğunu
kabul edeceğiz. Bu problemin (Walter, 1973)
anlamında
kendine
eşlenik
olması
için,
ρ : = α1β 2 − α 2β1 > 0 şartının sağlandığını da kabul
edeceğiz Walter (1973)’in makalesinde olduğu gibi,
eğer (1)-(5) problemi herhangi bir Hilbert uzayında
kendine eşlenik bir operatör için özdeğer problemine
indirgenebilirse, o halde bu probleme kendine
eşlenik problem diyeceğiz. (1)-(5) probleminin bazı
özel halleri (Walter, 1973; Fulton, 1977)
kaynaklarında farklı yöntemlerle incelenmiştir.
her
(7)
olduğunu gösterebiliriz. Şimdi
 F (x) 
F :=  1 , F1 ( x ) ∈ L 2 [a , b], F2 ∈ C/
 F2 
iki
bileşenli
elemanlarının
L 2 [a , b] ⊕ C/ lineer uzayında iki F, G ∈ L 2 [a , b] ⊕ C/
elemanın iç çarpımını,
b
∫
< F, G > p,r ,ρ := F1 ( x )G1 ( x )r ( x )dx +
(8)
a
p( b)
F2 G 2
ρ
b
formülü ile tanımlayalım (Burada
Matematik fiziğin bazı problemlerinde zaman
değişkenine göre kısmi türev sadece diferansiyel
denklemde değil aynı zamanda ‘sınır şartlarında’ da
ortaya çıkmaktadır. Böyle problemlere uygun olan
spektral problemlerde özdeğer parametresi sadece
diferansiyel denklemde değil sınır şartlarında da
bulunmaktadır (Langer, 1932; Tikhonov and
Samarskii, 1963). (4)-(5) biçimindeki ‘geçiş şartları’
ise farklı fiziksel ve mekanik özellikleri
bulunan cisimler arasındaki ısı ve madde iletimi
veya başka geçiş süreçlerinde ortaya çıkmaktadır
(Rasulov, 1967; Titeux and Yakubov, 1997;
Mukhtarov ve Demir, 1999).
c
b
∫ ∫ ∫
:= +
a
a
kabul
c
ediyoruz).
O halde,
(
H p, r ,ρ := L 2 [a , b] ⊕ C/ ,< •,• > p, r ,ρ
)
iç
çarpım
uzayının bir Hilbert uzayı olacağı açıktır. Bu uzayda
tanım
bölgesi
D(A) = F ∈ H p, r ,ρ F1 ,F1′
{
fonksiyonlarının her biri [a , c) ve (c, b] aralıklarının
her birinde mutlak süreklidirler; F1 (c ± o), F1′(c ± 0)
sonlu limit değerleri mevcuttur.
F1 (a ) = 0,γ1F1 (c − 0) = δ1F1 (c + 0), γ 2 F1′(c − 0) = δ 2 F1′(c + 0);F2 = (F1 )′b }
(9)
Mühendislik Bilimleri Dergisi 2002 8 (2) 219-226
220
Journal of Engineering Sciences 2002 8 (2) 219-226
Sınır Şartlarının Birinde Özdeğer Parametresi Bulunduran Süreksiz Sturm-Liouville ..., O. Muhtarov, M. Kadakal, F. Ş. Muhtarov
İspat. F, G ∈ D(A ) iki tane keyfi eleman olmak
üzere Lagrange formülünü (Naimark, 1967)
uygularsak,
olan A : H p,r ,ρ → H p,r ,ρ operatörünü,
 F ( x )   TF1 

A 1  := 
 (F1 )′b   − (F1 ) b 
(10)
b
< AF, G > p,r ,ρ =
∫ (TF )(x)G (x)r(x)dx +
1
1
a
c
eşitliği ile tanımlayalım. O halde (1)-(5) sınır değer
geçiş problemi,
b
= F1 ( x )(TG1 )( x )r ( x )dx + F1 ( x )(TG1 )( x )r ( x )dx +
∫
∫
a
c
+ p(c − 0) W (F1 , G1; c − 0 ) − p(a ) W (F1 , G1; a ) +


 u (x) 
 ∈ D(A) 
AU = λU U := 

 (u )′b 


(11)
+ p( b) W (F1 , G1 ; b ) − p(c + 0) W (F1 , G1; c + 0) −
′ 

p( b)
G1 b F1 b  +
= < F, G > p, r ,ρ −
ρ


+ {p(c − 0) W (F1 , G1; c − 0) − p(c + 0) W (F1 , G1; c + 0)} −
2. 1. Lemma
−
Eğer, δ1δ 2 p(c − 0) = γ1γ 2 p(c + 0) şartı sağlanıyorsa
A operatörü simetriktir.
{
p( b)
(F1 )b (G1 )′b − (F1 )′b (G1 )b
ρ
b
 c

p( b)
(F1 )′b ((− G1 )b ) −
=  F1 ( x )(TG1 )( x )r ( x )dx + F1 ( x )(TG1 )( x )r ( x )dx +
ρ
 a

c
∫
(
){
(
′

1
+ p(b)W (F , G ; b ) −  (F ) (G )
ρ
)

− (F )′ (G ) 

( )
′
p ( b)
(F1 )b G1 b
ρ
( )( )
operatör-denklem biçiminde yazılabilir. Böylece
(1)-(5) problemini bir Hilbert uzayında tanımlı olan
bir lineer operatör için özdeğer problemine
indirgemiş olduk.
∫
p( b)
(− (F1 ) b )(G1 )′ b
ρ
(
)}
}
(12)
− p(a ) W F1 , G1; a + p(c − a ) W F1 , G1; c − 0 − p(c + 0) W F1 , G1; c + 0 +
1

1
1 b
1 b
1 b
1 b

eşitliğini buluruz.
(
W(F1 , G1 ; x ) := F1 ( x )G1′ ( x ) − F1′( x )G1 ( x )
ile
)
W F1 , G 1 ; a = 0
Burada;
F1 , G1
fonksiyonlarının
(13)
(14)
eşitliği sağlanır. F1 , G1 fonksiyonlarının (4) ve (5)
geçiş şartlarını sağladığını ve lemmanın şartını
dikkate alırsak,
Wronskiyeni
gösterilmiştir. F1 ( x ) ve G1 ( x ) fonksiyonları (2) sınır
şartını sağladıkları için,
(
)
′


p(c − 0) W F1 , G1; c − 0 = p(c − 0) F1 (c − 0)G1 (c − 0) − F1′(c − 0)G1 (c − 0)


′

 δ
γγ
 δ
= 1 2 p(c + 0) 1 F1 (c + 0)  2 G1 (c + 0) −
δ1δ 2
 γ1

 γ2
′
δ
 δ
 
−  1 F1′(c + 0)  2 G1 (c + 0) 
 γ1
 γ2
 
(
= p(c + 0) W F1 , G1; c + 0
(15)
)
Mühendislik Bilimleri Dergisi 2002 8 (2) 219-226
221
Journal of Engineering Sciences 2002 8 (2) 219-226
Sınır Şartlarının Birinde Özdeğer Parametresi Bulunduran Süreksiz Sturm-Liouville ..., O. Muhtarov, M. Kadakal, F. Ş. Muhtarov
bulmuş oluruz. O halde (14) ve (15) eşitliklerini (12)
de yerine yazarak (7) eşitliğini de dikkate alırsak,
talep olunan
< AF; G > p, r , ρ =< F, AG > p, r , ρ
{
(16)
eşitliğini, yani A operatörünün simetrik olduğunu
elde ederiz.■
}
1
− (p( x ) U1 )′ + q ( x ) U1 − λU1 =
r(x )
F1 ( x ),x ∈ [a , c) ∪ (c, b]
(19)
U1 (a ) = 0
(20)
(β1U1 (b) − β2 U1′ (b) ) + λ(α1U1 (b) − α 2 U1′ (b)) = F2 (21)
2. 1. Sonuç
γ1U1 (c − 0) = δ1U1 (c + 0)
(22)
γ 2 U1′ (c − 0) = δ 2 U1′ (c + 0)
(23)
(1)-(5) probleminin bütün özdeğerleri reeldir.
Not : p( x ),q( x ) ver ( x ) reel değerli fonksiyonlar,
(2)-(5) şartlarının katsayıları reel sayılar ve bütün
özdeğerler reel olduğu için (1)-(5) probleminin
bütün özfonksiyonlarını reel değerli fonksiyonlar
olarak kabul edebiliriz.
sınır-değer-geçiş problemi şeklinde yazalım. İlk
önce aşağıdaki önemli lemmayı verelim.
3. 1. Lemma
2. 2. Sonuç
Herhangi [a1 , a 2 ] aralığında tanımlı ve reel değerli
r ( x ) ≠ 0,p( x ) ≠ 0 ve q( x ) fonksiyonları verilsin.
Eğer r ( x ) ve q( x ) fonksiyonları bu aralıkta sürekli,
p( x ) ise sürekli diferensiyellenebilir iseler, o halde
her tam f (λ) ve g(λ ) fonksiyonları için
λ 1 ve λ 2 (1.1)-(1.5) probleminin herhangi iki
farklı özdeğeri, u1 ( x )
özfonksiyonları ise
b
∫ u ( x )u
1
2 ( x ) r ( x )dx
=−
a
ve
u 2 (x)
ise uygun
p( b)
(u1 )′b (u 2 )′b
ρ
{
}
1
− (p( x )u ′)′ + q ( x )u = λu, x ∈ [a1 , a 2 ]
r(x)
(17)
eşitliği sağlanır.
diferensiyel denkleminin
İspat. A operatörü simetrik olduğu için, λ 1 ve λ 2
u (a i ) = f (λ ) , u′(a i ) = g (λ)
farklı
özdeğerlerine
uygun
 u1 ( x ) 
U1 = 
′ 
 (u1 ) b 
ve
(25)
( i = 1veya i = 2 ) başlangıç şartlarını sağlayan
u ( x , λ) çözümü bulunur ve bu çözüm fonksiyonu
 u 2 (x) 
U 2 = 
′  özelementleri H p, r , ρ uzayında
 (u 2 ) b 
ortogonal olacak, yani (17) eşitliği sağlanacaktır.■
her x ∈ [a1 , a 2 ] değeri için λ değişkeninin tam
fonksiyonudur. Bu lemma (Titchmarsh, 1962) ın
kitabındaki Teorem1.5 in ispatındaki yöntemle tam
benzer şekilde ispat edilir.
3. A OPERATÖRÜNÜN REZOLVENTİ
Şimdi bu lemmadan yararlanarak (1) diferensiyel
denkleminin iki tane φ( x, λ) ve χ( x , λ) çözümlerini
tanımlayacağız. [a , c] aralığında (1) diferansiyel
denkleminin
/ sayısının
Bu kesimde özdeğer olmayan her λ ∈ C
A
operatörünün
regüler değeri olduğunu
göstereceğiz ve ayrıca,
R (λ, A ) := (A − λI )−1
rezolvent operatörünü inceleyeceğiz. F ∈ H p, r , ρ
u (a ) = 0,u′(a ) = 1
(26)
başlangıç şartlarını sağlayan çözümünü φ1 ( x , λ) ile
gösterelim. φ1 ( x , λ) fonksiyonu tanımlandıktan
sonra [c, b] aralığında (1) diferensiyel denklemini
keyfi elemanı için
(A − λI)U = F
(24)
(18)
operatör denklemini onunla eşdeğer, homojen
olmayan
Mühendislik Bilimleri Dergisi 2002 8 (2) 219-226
222
Journal of Engineering Sciences 2002 8 (2) 219-226
Sınır Şartlarının Birinde Özdeğer Parametresi Bulunduran Süreksiz Sturm-Liouville ..., O. Muhtarov, M. Kadakal, F. Ş. Muhtarov
u ( c) =
γ1
γ
φ1 (0, λ) , u′(c) = 2 φ1′ (0, λ )
δ1
δ2
Aksini kabul edelim. O halde özdeğer olmayan en az
/ ve en az bir x 0 ∈ [a, c] için
bir λ 0 ∈ C
ω( x 0 , λ 0 ) = 0 olur. Bu halde ω1 ( x 0 , λ 0 ) = 0 olur.
Wronskiyenin iyi bilinen özelliğinden dolayı
(Naimark, 1967) bu durumda her x ∈ [a , c] için
ω( x , λ 0 ) = Wλ (φ1 , χ1; x ) = 0 olacaktır. O halde
φ1 ( x, λ 0 ) ve χ1 ( x , λ 0 ) lineer bağımlı olacak, yani
(27)
başlangıç
şartlarını
sağlayan
çözümünü
tanımlayabiliriz. Bu çözümü φ 2 ( x , λ ) ile gösterelim.
Benzer şekilde, [c, b] aralığında (1) diferansiyel
denkleminin
u (b) = α 2λ + β2 ,u′(b) = α1λ + β1
şekilde
χ1 ( x, λ 0 ) = k1φ1 ( x, λ 0 ) , x ∈ [a , c) olacak
k1 ≠ 0
sayısı
mevcuttur.
Buradan,
χ1 (a , λ 0 ) = k1φ1 (a , λ 0 ) = 0 elde edilir. Dolayısıyla,
χ(a , λ 0 ) = 0 olur. Böylece χ( x, λ 0 ) fonksiyonu (2)
sınır şartını da sağlamış olur. χ( x, λ 0 ) fonksiyonu
λ = λ 0 değeri için (1) denkleminin, (3) sınır şartını
ve (4), (5) geçiş şartlarını da sağladığından χ( x, λ 0 )
fonksiyonu λ = λ 0 için (1)-(5) probleminin çözümü
olur. Diğer taraftan χ( x , λ) fonksiyonunun tanımı
gereği χ(b, λ 0 ) = α 2 λ 0 + β 2 , χ′(b, λ 0 ) = α1λ 0 + β1
eşitlikleri sağlanır.
(28)
başlangıç şartlarını sağlayan çözümünü χ 2 ( x, λ ) ile
göstererek, bu çözümü tanımladıktan sonra [a , c]
aralığında (1) diferensiyel denkleminin
u (c ) =
δ1
δ
χ 2 (0, λ ) , u ′(c) = 2 χ′2 (0, λ)
γ1
γ2
(29)
başlangıç şartlarını sağlayan çözümünü χ1 ( x , λ)
ile
gösterelim.
3.
1.
Lemma
gereği
φi ( x, λ),χ i ( x, λ)(i = 1,2) fonksiyonları λ -nın tam
fonksiyonlarıdırlar. Bu fonksiyonların tanımları
gereği
 φ ( x , λ),x ∈ [a , c]
φ( x , λ ) :=  1
,χ( x, λ) :=
φ 2 ( x, λ),x ∈ [c, b]
ρ = α1β 2 − α 2β1 ≠ 0 olduğu için sonuncu iki
eşitlikten χ(b, λ 0 ) ve χ′(b, λ 0 ) sayılarının en az
birinin sıfırdan farklı olduğu elde edilir. Yani
χ( x , λ 0 ) ≠ 0 dır. O halde χ( x, λ 0 ) fonksiyonu
λ = λ 0 için (1)-(5) probleminin çözümüdür, yani
(30)
 χ1 ( x , λ),x ∈ [a , c]

χ 2 ( x, λ),x ∈ [c, b]
özfonksiyondur. Bu ise λ = λ 0 sayısının özdeğer
olmadığı varsayımı ile çelişkidir. Böylece özdeğer
olmayan her λ ∈ C/
ve her x ∈ [a , c) için
ω( x , λ) ≠ 0 olduğu ispat olunur. x ∈ (c, b] durumu
için de ispat tam benzer şekilde yapılabilir.■
φveχ
fonksiyonları
eşitlikleri ile tanımlı
[a , c) ∪ (c, b] de (1) denklemini ve (4), (5) geçiş
şartlarını sağlayacaklardır. Ayrıca φ( x, λ) çözümü
(2) sınır şartını, χ( x , λ) ise (3) sınır şartını
sağlayacaktır. Aşağıdaki;
Bu teoremden ve Wronskiyenin özelliklerinden
aşağıdaki sonuç elde edilir.
3. 1. Sonuç Özdeğer olmayan her λ ∈ C/ için
φ1 ( x , λ) , χ1 ( x , λ) fonksiyonları [a , c] aralığında,
φ 2 ( x , λ) , χ 2 ( x, λ ) fonksiyonları ise [c, b]
aralığında lineer bağımsızdırlar.
ωi := Wλ (φi , χi ; x ), i = 1,2
 ω ( x , λ ) , x ∈ [ a , c)
ω( x , λ ) := Wλ (φ, χ; x ) =  1
ω2 ( x, λ ), x ∈ (c, b]
3. 1. Sonuç gereği özdeğer olmayan her λ ∈ C/ için
(1) diferensiyel denkleminin genel çözümünü
gösterimlerinden de yararlanacağız.
3. 2. Lemma
Özdeğer
olmayan
her
λ ∈ C/
x ∈ [a , c) ∪ (c, b] için ω( x , λ) ≠ 0 dır.
ve
 C φ ( x , λ ) + D1χ1 ( x , λ) , x ∈ [a , c)
u ( x, λ) =  1 1
C 2φ2 ( x , λ) + D 2χ 2 ( x , λ) , x ∈ (c, b]
her
İspat. Önce özdeğer olmayan her λ ve her x ∈ [a , c)
için ω( x , λ) ≠ 0 olduğunu ispat edelim.
Mühendislik Bilimleri Dergisi 2002 8 (2) 219-226
(31)
biçiminde ifade edebiliriz; burada C1 ,D1 ,C 2 ,D 2
keyfi sabitlerdirler. O halde sabitin değişimi
yöntemini (Naimark, 1967) uygulayarak (19)
223
Journal of Engineering Sciences 2002 8 (2) 219-226
Sınır Şartlarının Birinde Özdeğer Parametresi Bulunduran Süreksiz Sturm-Liouville ..., O. Muhtarov, M. Kadakal, F. Ş. Muhtarov
homojen olmayan denkleminin genel çözümünü
x ∈ [a , c) için
c
D2 =
φ1 ( y, λ)
∫ ω ( y, λ) F ( y)dy
1
1
a
x
U1 ( x , λ) = χ1 ( x, λ)
a
c
+ φ1 ( x , λ)
φ1 ( y, λ )
∫ ω ( y, λ) F ( y)dy +
elde edilir. Ci ,Di sabitleri için bulduğumuz
değerleri (32) ve (33) ifadelerinde yerine yazarak
gerekli
düzenlemeleri
yaparsak,
(19)-(23)
probleminin çözümü için bütün [a , c) ∪ (c, b]
delinmiş aralığında
1
1
χ1 ( y, λ )
∫ ω ( y, λ) F ( y)dy +C φ (x, λ) + D χ (x, λ) (32)
1
x
1 1
1 1
1
biçiminde, x ∈ (c, b] için ise
x
U1 = χ ( x , λ )
x
φ ( y, λ)
U1 ( x , λ) = χ 2 ( x , λ) 2
F1 ( y)dy +
ω2 ( y, λ )
∫
b
∫
x
1
a
x
φ( x , λ )
c
+ φ2 (x, λ)
φ( y, λ )
∫ ω( y, λ) F ( y)dy +
χ 2 ( y, λ )
F1 ( y)dy +C 2 φ 2 ( x , λ ) + D 2 χ 2 ( x , λ ) (33)
ω 2 ( y, λ )
χ( y, λ )
F2
∫ ω( y, λ) F ( y)dy + ω (b, λ) φ(x, λ)
1
2
a
formülünü elde ederiz.
biçiminde ifade edebiliriz. (19) diferensiyel
denkleminin (32) ve (33) eşitlikleri ile verilmiş
genel çözümünü (20)-(23) şartlarında yerine yazarak
Ci ,Di sabitlerini bulabiliriz. (32) ifadesini (20) sınır
şartında yerine yazarsak D1χ(a , λ) = 0 eşitliğini elde
3. 1. Teorem
Özdeğer olmayan her λ ∈ C/ sayısı (9), (10)
eşitlikleri ile tanımlı olan A operatörünün regüler
R (λ, A ) : H p,r ,ρ → H p,r ,ρ
değeridir ve ayrıca
ederiz. λ özdeğer olmadığı için χ(a , λ ) ≠ 0 dır.
Dolayısıyla D1 = 0 dır. (33) ifadesini (21) sınır
F2
şartında yerine yazarsak, C 2 =
eşitliğini
ω2 (b, λ)
rezolvent operatörü kompakt operatördür.
İspat.
 χ( x, λ)φ( y, λ)
a ≤ y ≤ x ≤ b, x , y ≠ c
 ω( y, λ)
G1 ( x , y; λ) := 
φ( x , λ)χ( y, λ)

a ≤ x ≤ y ≤ b, x , y ≠ c
 ω( y, λ)
elde ederiz. D1 ve C 2 için bulduğumuz değerleri de
dikkate alarak (32) ve (33) ifadelerini (22) ve (23)
geçiş şartlarında yazarsak, C1 ve D 2 değerlerini
bulmak için aşağıdaki lineer denklem sistemini elde
ederiz.
gösteriminden
yararlanarak
sonuncu
b

φ ( y, λ )
 γ1φ1 (c, λ)C1 − δ1χ 2 (c, λ)D1 = − γ1χ1 (c, λ) 1
F1 ( y)dy +
ω1 ( y, λ)

a

b
F2
χ 2 ( y, λ )

(
c
,
)
F1 ( y)dy +δ1
+
δ
φ
λ
φ 2 (c, λ)
1
2

ω 2 ( y, λ )
ω 2 ( b, λ )

c

c
φ1 ( y, λ)

(
c
,
)
C
(
c
,
)
D
(
c
,
)
F1 ( y)dy +
γ
φ′
λ
−
δ
χ′
λ
=
−
γ
χ′
λ
2
1
1
2
2
2
2
1

ω1 ( y, λ)

a
b

F2
χ ( y, λ )

F1 ( y)dy +δ 2
+ δ 2φ′2 (c, λ) 2
φ′2 (c, λ)
ω2 ( y, λ)
ω2 (b, λ)

c

c
∫
∫
U1 ( x , λ) = G1 ( x , y; λ)F1 ( y)dy +
a
∫
biçiminde ifade edebiliriz.
rezolvent operatörü için
∫
formülü
F2
φ( x , λ)
ω(b, λ )
Buradan
R (λ, A )
 b

F2

φ( x, λ) 
G1 ( x, y; λ)F1 ( y)dy +


ω(b, λ)

R ( λ, A ) F =  b a


F2
′
′
(φ(•, λ) ) b 
 (G1 (•, y; λ) ) b F1 ( y)dy +


ω(b, λ)
a

∫
∫
∫
Bu sistemin determinantı −δ1δ 2ω2 (c, λ) ≠ 0 olduğu
için
bir
tek
çözümü
bulunur.
φi ( x, λ ),χi ( x, λ ) fonksiyonlarının tanımlarından
yararlanarak
sonuncu
denklem
sisteminden
formülü elde edilir.
~
Şimdi Bλ : L 2 [a , b] → L 2 [a , b] , Bλ : H p,r ,ρ → H p,r ,ρ
b
F2
χ 2 ( y, λ)
,
C1 =
F1 ( y)dy +
ω2 ( y, λ)
ω2 ( y, λ)
∫
ve C λ : H p,r ,ρ → H p,r ,ρ operatörlerini
c
Mühendislik Bilimleri Dergisi 2002 8 (2) 219-226
224
Journal of Engineering Sciences 2002 8 (2) 219-226
Sınır Şartlarının Birinde Özdeğer Parametresi Bulunduran Süreksiz Sturm-Liouville ..., O. Muhtarov, M. Kadakal, F. Ş. Muhtarov
(bak örneğin (Lang, 1983) A operatörü kendine
eşlenik olacaktır. ■
b
∫
Bλ F1 := G1 ( x , y; λ )F1 ( y)dy
a
Sonuç olarak, 3. 1. Teorem, 4. 1. Teorem ve İntegral
Denklemler teorisinden iyi bilinen Hilbert-Schmidt
Teoremi (Taylor, 1958) gereği aşağıdaki teorem elde
edilir (Glazman, 1965).
 Bλ F1 
~
Bλ F := 
′ 
 (Bλ F1 ) b 
F2


φ( x , λ) 

ω(b, λ )

C λ F := 
 F2

′
 ω(b, λ ) (φ(•, λ) ) b 


4. 2. Teorem
H p ,r ,ρ Hilbert uzayında (9), (10) eşitlikleri ile
Bλ operatörü L 2 [a , b] Hilbert uzayında kompakt
~
olduğu için (Titchmarsh, 1962), Bλ operatörü
Hilbert uzayında kompaktdır.
Cλ
H p, r ,ρ
tanımlı A operatörünün sayılabilir sayıda reel
özdeğeri mevcuttur, her özdeğerin cebirsel katı
sonludur, özdeğerler dizisi alttan sınırlıdır ve sonlu
yığılma noktası yoktur. Her özdeğer cebirsel
katı
sayıda
yazılmak
kaydı
ile,
λ 1 ≤ λ 2 ≤... biçiminde
özdeğerler dizisini
sıralayarak, uygun normlandırılmış öz elementler
 ϕ n (x )  

φ n := 
′  ,  φ n H p , r ,ρ = 1 n = 1, 2,... biçiminde
(
)
ϕ
b
 n 
Hilbert uzayında kompakt
gösterilmek üzere, her F ∈ H p, r , ρ elemanı için
eşitlikleri
ile
operatörünü
edebiliriz.
tanımlarsak, R (λ, A ) rezolvent
~
R (λ, A ) = B λ + C λ biçiminde ifade
operatörünün H p, r , ρ
∞
olduğu açıktır. Dolayısıyla özdeğer olmayan her
λ ∈ C/ için R (λ, A ) operatörü de H p, r , ρ uzayında
∑c φ
n n ,cn
n =1
kompakt olacaktır.■
=< F, φ n > H p ,r ,ρ
Fourier serisi H p ,r ,ρ
Hilbert uzayında F elemanına yakınsak olacaktır;
∞
4. ÖZFONKSİYONLAR SİSTEMİNİN
SERİSİNE AÇILIM
F=
∑ < F, φ
n
n =1
> H p , r ,ρ φ n
(34)
Bu teoremden aşağıdaki önemli sonuçlar elde edilir.
Önce aşağıdaki teoremi ispat edelim.
4. 1.Sonuç her f ∈ L 2 [a , b] fonksiyonu L 2 ([a , b], r )
Hilbert uzayında (1)-(5) sınır-değer- geçiş
{ϕn },n = 1,2,... öz fonksiyonlar
probleminin
4. 1. Teorem
(9) ve (10) eşitlikleri ile tanımlı A operatörü H p, r , ρ
sisteminin
İspat. A operatörünün (9) eşitliği ile verilmiş D(A)
tanım bölgesinin H p, r , ρ Hilbert uzayında her yerde
serisine açılır.
F ∈ H p,r ,ρ
( A − λ I) D( A ) = H p , r , ρ
 f (x) 

 0 
elemanını özel olarak F
almak
yeterlidir. (Burada L 2 ([a , b], r ) ve L 2 [a , b] Hilbert
uzaylarının lineer uzaylar olarak aynı olduğuna
dikkat etmek gerekir.)■
A − λI ve A + λI operatörlerinin her birinin değer
bölgeleri
bütün
uzayı
ile
H p, r , ρ Hilbert
yani
∑∫
İspat. Bu sonucun ispatı için (34) formülünde
yoğun olduğu açıktır. Ayrıca, 3.1.Teorem gereği A
operatörün en az bir regüler değeri mevcut olduğu
için, kapalı operatördür. Yine 3.1.Teorem gereği
Im λ ≠ 0 olacak şekilde her λ ∈ C/ sayısı için
çakışmaktadır,
b

 f ( y)ϕ ( y)r ( y)dy ϕ ( x )
n

 n
n =1  a

∞
f (x) =
Hilbert uzayında kendine eşleniktir.
ve
4.2. Sonuç her f ∈ L 2 [a , b] fonksiyonu için,
(A − λI)D(A) = H p, r , ρ eşitlikleri sağlanır. Ayrıca
2. 1. Lemma gereği A operatörü simetriktir. O halde
simetrik operatörlerin genişlemesi hakkında
Fonksiyonel Analizden iyi bilinen teorem gereği
∞
2
(ϕ )′b  = ρ
 n 
p( b)
n =1
∑
(35)
Mühendislik Bilimleri Dergisi 2002 8 (2) 219-226
225
Journal of Engineering Sciences 2002 8 (2) 219-226
Sınır Şartlarının Birinde Özdeğer Parametresi Bulunduran Süreksiz Sturm-Liouville ..., O. Muhtarov, M. Kadakal, F. Ş. Muhtarov
∞
∑
6. KAYNAKLAR
(ϕn )′b ϕn (x ) = 0
(36)
n =1
Fulton, C. T. 1977. Two-point Boundary Value
Problems With Eigenvalue Parameter Contained in
the Boundary Conditions, England. Proc. Roy. Soc.
Edin. 77A, 293-308.
eşitlikleri sağlanır.
İspat. (34) formülünü



< F, φ n > H p ,r ,ρ .ϕ n ( x ) 

 F1 ( x )   n = 0

 =  ∞

 F2  
′
< F, φ n > H p ,r ,ρ .(ϕ n ) b 

 n =0

Glazman, J. M. 1965. Direct Methods of Qualitative
Spectral Analysis. Jerusalem, Israel Program for
Scientific Translations.
∞
∑
(37)
Lang, S. 1983. Real Analysis. Addison-Wesley,
Reading, Mass.
 0
biçiminde yazalım. Bu formülde özel olarak F =  
1
 ∞ p( b )


(ϕn )′b .ϕn ( x ) 

ρ
0 
alırsak,   =  n = 0∞
 eşitliği, yani
2
p( b) 
1 
′


(ϕ )

 n b  
ρ
 n =0

(35) ve (36) eşitliklerini elde ederiz.■
Langer, R. E. 1932. A Problem in Diffusion or in the
Flow of Heat For A Solid in Contact With A Fluid,
Japan. Tohoku Math. J. 35 , 360-375.
∑
∑
Mukhtarov, O, Sh and Demir, H. 1999.
Coerciveness of the Discontinuous Initial-Boundary
Value Problem For Parabolic Equations, Israel.
İsrael Journal of Mathematics 114 , 239-252.
∑
4.3.
Sonuç
her
f ∈ L 2 [a , b]
Naimark, M. N. 1967. Linear Differential Operators.
Ungar, New York,USA.
için
Rasulov, M. L. 1967. Methods of Contour
Integration. North-Holland Pub. Comp. Amsterdam.

 f ( y)ϕ ( y)dy .(ϕ )′b = 0 eşitliği sağlanır.
n

 n
n =0  a

∞
b
∑∫
Taylor, A. E. 1958. Introduction to Functional
Analysis. John Wiley.
İspat. Bu sonucun ispatı için (37) formülünü
 f (x) 
 elemanı için yazmak yeterlidir.■
F = 
 0 
Tikhonov, A. N and Samarskii, A. A. 1963.
Equations of Mathematical Physics. Oxford and
New York, Pergamon, USA.
Titchmarsh, E. C. 1962. Eigenfunctions Expansion
Associated With Second Order Differential
Equations I 2 nd edn, Oxford Univ. Press, London.
5. SONUÇ
(Walter, 1973) makalesinde, sınır şartlarında
özdeğer parametresi bulunduran Sturm-Liouville
problemlerinin operatör-teorik yorumunu vererek,
özfonksiyonlar sisteminin serisine açılım teoremini
ispatlamıştır. Bu çalışmada uygun sonuçlar süreksiz
katsayılı ve geçiş şartları bulunduran problemler için
genelleştirilmiştir. Bunun için hem literatürde
bilinen (Fulton, 1977; Titchmarsh, 1962; Walter,
1973
kaynaklarına bak)
yöntemlerden
yararlanılmış,
hem
de
yeni
yaklaşımlar
geliştirilmiştir. İncelediğimiz (1)-(5) problemi
orjinaldir, bulunan sonuçlar ise yenidir.
Mühendislik Bilimleri Dergisi 2002 8 (2) 219-226
Titeux, I and Yakubov, Y. 1997. Completeness of
Root Functions For Thermal Conduction in a Strip
With
Piecewise
Continuous
Coefficients.
Mathematical Models and Methods in Applied
Sciences. Vol. 7, (7), 1035-1050.
Walter, J. 1973. Regular Eigenvalue Problems With
Eigenvalue Parameter in the Boundary Conditions.
Verlag. Math. Z. 133, 301-312.
226
Journal of Engineering Sciences 2002 8 (2) 219-226