trıgonometrık denklemler

TRİGONOMETRİK DENKLEMLER
Daha önceden Sin 2 x + Cos 2 x = 1 ifadesinin ∀x ∈ ℝ için gerçekleştiğini biliyoruz. Bu tür eşitliklere
Özdeşlik adını verdiğimizi biliyorsunuz.
Fakat ; Sinx = 0 ve tan x = 0 gibi eşitlikler ∀x ∈ ℝ için gerçekleşmez. İşte bu eşitlikler gibi içinde
trigonometrik ifadeler bulunan ve bazı özel değerler için sağlanan açık önermelere TRİGONOMETRİK
DENKLEMLER denir. Trigonometrik denklemi sağlayan değerlere DENKLEMİN KÖKLERİ, köklerin
oluşturduğu kümeye DENKLEMİN ÇÖZÜM KÜMESİ, çözüm kümesini bulma işlemine de DENKLEMİ
ÇÖZMEK denir.
A)
a ∈ [ -1 , 1] olmak üzere
SORU : cos x = 2 veya
CEVAP : a ∉ [ -1 , 1]
Cos x = a
cos x = -4,3 olursa ne olur ?
tipi denklemlerin çözüm kümesi ∅ olur.
ise Cos x = a
B
A’
tipi denklemler.
Denklemin [ 0 , 2π ] aralığında bir
kökü α ise diğer kökü - α veya
2π - α olur.
Cos x = cos α
α
α
0
A
x1 = ilk değer + k.2π
x2 = ikinci değer + k.2π
x1 = α + k.2π
x2 = (2π - α) + k.2π
B’
Ç = { x  x1 = α + k.2π , x2 = (2π - α) + k.2π , k∈ Z } olur.
Cos x = cos α
x1 = α + k.2π
x2 = ( 2π - α ) + k.2π
1
k∈ Z
SORULAR:
3
denkleminin çözüm kümesi nedir ?
2
1. Cosx =
x1 =
π
6
+ k.2π
x 2 = ( 2π -
π
Sağlayan İlk değer
ÇÖZÜM :
π
6
olduğundan ; cos x = cos
Ç = { x  x1 =
) + k.2π
6
[ 0 , 2π ] daki çözüm kümesi Ç = {
2. cosx = −
1
2
6
6
,
11.π
}
6
olur
denkleminin çözüm kümesi nedir ?
4. cos x = 0
denkleminin çözüm kümesi nedir ?
3
2
denkleminin çözüm kümesi nedir ?
π

6. cos 3x +  = cos x

6
denkleminin çözüm kümesi nedir ?
ÇÖZÜM :
π

π
 3x +  = x + k .2π 3x +
= 2π − x + k .2π


6
12
2x = −
x1 = −
π
6
π
12
+ k .2π
+ k .π
4 x = 2π −
6
+ k.2π , x2 =
denkleminin çözüm kümesi nedir ?
3 . cos x = -1
5. cosx = −
π
π
π
π
+ k .2π
6
11π k .π
x2 =
+
6
6
Sin g(x) = Cos f(x)
π

cos − g ( x )  = cos f ( x )
2

π

 2 − g ( x )  = f ( x ) + k .2π


π

 2 − g ( x )  = [2π − f ( x )] + k .2π


2
olur.
11.π
+ k.2π , k∈ Z }
6
π
3π 


7. sin 2 x +  = cos − x + 


2
2
çözüm kümesini bulunuz ?
π 
π 
3π 

cos −  2 x +   = cos − x + 

2
2
2 
3π 

cos(− x ) = cos − x + 

2
− 2x = − x +
3π
+ k .2π
2
− 2 x = 2π + x −
3π
+ k .2π
2
3π
x1 = −
− k .2π
2
−x=
B)
− 3x =
x2 = −
a ∈ [ -1 , 1] olmak üzere
SORU : sin x = 3 veya
Sin x = a
π
2
π
6
3π
+ k .2π
2
+ k .2π
−
k .2π
3
tipi denklemler.
cos x = -1,6 olursa ne olur ?
CEVAP : a ∉ [ -1 , 1]
tipi denklemlerin çözüm kümesi ∅ olur.
ise Sin x = a
B
A’
α
α
A
0
Denklemin [ 0 , 2π ] aralığında bir
kökü α ise diğer kökü - α veya
π - α olur.
Sin x = sin α
x1 = ilk değer + k.2π
x2 = ikinci değer + k.2π
x1 = α + k.2π
x2 = (π - α) + k.2π
B’
Ç = { x  x1 = α + k.2π , x2 = (π - α) + k.2π , k∈ Z } olur.
Sin x
= sin α
x1 = α + k.2π
x2 = ( π - α ) + k.2π
3
k∈ Z
SORULAR:
1. Sinx =
3
2
denkleminin çözüm kümesi nedir ?
ÇÖZÜM : Sağlayan İlk değer
π
x1 =
3
x2 = ( π -
+ k.2π
π
π
3
olduğundan ; sin x = sin
Ç = { x  x1 =
) + k.2π
3
[ 0 , 2π ] daki çözüm kümesi Ç = {
1
2
2. sin x = −
3.
sin x = 0
5.
sin x =
1
2
+ k.2π , x2 =
π 2π
3
,
}
3
olur.
2π
+ k.2 π , k∈ Z }
3
olur
denkleminin çözüm kümesi nedir ?
denkleminin çözüm kümesi nedir ?
denkleminin çözüm kümesi nedir ?
6. sin ( 2 x ) = sin( 3x )
ÇÖZÜM :
3
3
denkleminin çözüm kümesi nedir ?
sin x = 1
4.
π
π
denkleminin çözüm kümesi nedir ?
( 2 x ) = 3x + k .2π
2 x = π − 3x + k .2π
− x = k .2π
x1 = − k .2π
5x = π + k .2π
π k .2π
x2 = +
5
5
Sin f(x) = Cos g(x)
π

sin f ( x ) = sin  − g ( x ) 
2

π

f ( x ) =  − g ( x )  + k .2π
2


π

f ( x ) = π −  − g ( x )  + k .2π
2


π

7. sin 2 x −  = sin x

2
çözüm kümesini bulunuz ?
4
π
π


8. cos x +  = sin 2 x + 


6
3
çözüm kümesini bulunuz ?
π
π


9. cos 2 x +  = sin 5x + 


3
3
çözüm kümesini bulunuz ?
π

10. cos 3x +  = 0.9848

7
3x +
π
7
= α + 2π k , 3 x +
C)
a∈R
çözüm kümesini bulunuz ? ( 0,9848 = Cosα diyerek
π
7
= 2π − α + 2π k ) şeklinde de çözüm yapılabilir.)
olmak üzere
tipi denklemler.
Tan ek.
B
π+α
A’
tan x = a
Denklemin [ 0 , 2π ] aralığında bir
kökü α ise
Tan x = tan α
α
A
0
x1 = ilk değer + k .π
x1 = α + k . π
B’
Ç = { x  x = α + k .π
, k∈ Z } olur.
tan x = tan α
x = α + k.π
SORULAR:
1. tan x = 3 denkleminin çözüm kümesi nedir ?
tan x = tan
2. tan x = -1
3. tan x = −
π
3
x=
π
3
+ kπ
ise
π


Ç = x x = + kπ , k ∈ Z 
3


denkleminin çözüm kümesi nedir ?
3
3
denkleminin çözüm kümesi nedir ?
5
π

4. tan x = tan 3x + 

3
denkleminin çözüm kümesi nedir ?
CEVAP:
π
x = 3x +
π
− 2x =
x=−
D)
a∈R
π
6
3
+ k .π
+ k .π
3
−
k .π
2
cot x = a
olmak üzere
Bulunur.
tipi denklemler.
B
Denklemin [ 0 , 2π ] aralığında bir
kökü α ise
Cot x = cot α
cot ek.
π+α
A’
α
A
0
x1 = ilk değer + k .π
x1 = α + k . π
B’
Ç = { x  x = α + k .π
, k∈ Z } olur.
cot x = cot α
x = α + k.π
SORULAR:
1. cot x = 3 denkleminin çözüm kümesi nedir ?
cot x = cot
2. cot x = 0
π
x=
π
+ kπ
ise
6
6
denkleminin çözüm kümesi nedir ?
π


Ç =  x x = + kπ , k ∈ Z 
6


3
denkleminin çözüm kümesi nedir ?
3
π
π


4. cot  3x −  = cot  2 x + 
denkleminin çözüm kümesi nedir ?


6
3
3. cot x = −
6
CEVAP:
3x −
x=
x=
π
6
π
3
π
2
= 2x +
+
π
6
π
3
+ k .π
+ k .π
+ k .π
Bulunur.
tan f ( x ) = cot g ( x )
cot f ( x ) = tan g ( x )
π

tan f ( x ) = tan  − g ( x )
2

π

cot f ( x ) = cot  − g ( x ) 
2

π

f ( x ) =  − g ( x ) + k .π
2

π

f ( x ) =  − g ( x )  + k .π
2

π
π


5. tan 2 x +  = cot 3x − 


6
6
denkleminin çözüm kümesini bulunuz?
π
π 
π 

tan 2 x +  = tan  −  3x −  

6
6
2 
2x +
5x =
π

6. cot( 3x) = tan 2 x + 

6
π
6
π
2
=
π
2
− 3x +
+ k .π
π
6
+ k .π
x1 =
π
10
+
k .π
5
Bulunur.
denkleminin çözüm kümesini bulunuz?
7
KARMA ÖRNEK PROBLEMLER:
1. cot
x
x
+ 2 = − tan
2
2
2. Cos x + 2.sin2x = 1
3 . sin 2x. tan x +
denkleminin çözüm kümesini bulunuz?
denkleminin çözüm kümesini bulunuz?
2
−4 = 0
cos ecx
4. sin2x - cos2x + sin x = 0
5. cos4 x - sin22x = -3.sin4x
denkleminin çözüm kümesini bulunuz?
denkleminin çözüm kümesini bulunuz?
denkleminin çözüm kümesini bulunuz?
E. Cos x ve sin x ‘e göre Lineer Denklemler.
a, b, c ∈ R olmak üzere ;
a . sin x + b . cos x = c
biçimindeki denklemlere sin x ve cos x ‘ e göre lineer denklem denir.
1. ÇÖZÜMÜ:
a .sin x + b .cos x = c denkleminin her iki tarafını a ‘ ya bölelim.
b
c
b
sin x + .cos x =
‘’ tan α =
yazarsak ’’
a
a
a
c
sin x + tan α .cos x =
a
sin α
c
sin x +
.cos x =
cosα
a
c
sin x.cosα + sin α .cos x = .cosα
a
c
sin( x + α ) = .cosα
a
c
Elde edilen bu denklemin çözümünün olması için − 1 ≤ . cos α ≤ 1 olması gerekir.
a
2
2
2
Bu eşitsizlikte ancak a + b ≥ c olması ile gerçekleşir.
8
2.ÇÖZÜMÜ : Daha önceki derslerimizde ; cos x ve sin x ‘ i tan
x
cinsinden
2
yazmıştık.
x
2
cos x =
x
1 + tan 2
2
1 − tan 2
x
2
sin x =
x
1 + tan 2
2
2. tan
,
x 


2 x 
1 − tan 2 
 2. tan 2 
Bu durumda ; a.
 + b.
=c
2 x
2 x
1 + tan

1 + tan 

2

2
2
2
1 − t 
 2.t 
a
+ b.
=c
2
2
1 + t 
1 + t 
Nİ Çİ N ?
olur. tan
(
x
= t alınırsa,
2
)
(
⇒ a. 1 − t 2 + b.2.t 2 = c. 1 + t 2
)
(a + c ).t2 - 2.b.t - (a-c) = 0 elde edilir.Bu denklemin çözümünün olması için ,
∆ = (-2b)2 + 4.(a+c).(a-c) ≥ 0 ise a2 + b2 = c2 olmalıdır.
SORU: 3. sin x + 3. cos x = 3
bölelim. Cos x +
cos
x=
x1 =
3
π
6
π
2
cos x. cos
3 sin x = 3
Cos x +
π
3 = tan
3 olur.
π
buradan
3
3
3
=
+ sin
cos
π
π
3
π
alınırsa.
3
. sin x = 3. cos
π
π

cos x −  = cos
3
6

= 2.k .π +
+
π
π
sin
3
π
3

cos x −  =
3
2

π
sin
x−
3 .sin x =
π
3
π
6
+ 2.k .π
+ 2.k .π
3 ile
denklemini çözelim. Denklemin her iki tarafını
π
= 2π −
π
+ 2. k .π
3
6
11.π π
x=
+ + 2. k .π
6
3
π
13.π
x2 =
+ 2. k .π = + (k + 1).2.π
6
6
x−


π
π
Ç = x ∈ R x = + k .2π ∨ x = + k .2π , k ∈ Z 
2
6


Bulunur.
9
π
3
F. Cos x ve sin x ‘e göre Homojen Denklemler.
Bütün terimlerinin dereceleri aynı olan denklemlere ‘’HOMOJEN DENKLEMLER’’ denir. Buna göre ;
2x + 3y = o denklemi ‘’ 1. Dereceden 2 bilinmeyenli ‘’
x2 + 2x.y + 3.y2 = o denklemi ‘’ 2.dereceden 2 bilinmeyenli ‘’ homojen denklemdir.
Bir trigonometrik denklemde cos x =x ve sin x = y yazıldığı zaman bir homojen denklem elde ediliyor ise bu
denkleme ‘’homojen trigonometrik denklem ‘’ denir.
SORU: 3cosx - 2sinx = 0 ‘’ sin x ve cos x göre 1. dereceden homojen trigonometrik
denklem’’
cos2x + 4sinx.cosx + 5sin2x = 0
“sin x ve cos x göre 2. dereceden homojen trigonometrik denklem’’
Sin x ve cos x göre 1. dereceden homojen trigonometrik denklemler genel olarak
a . sin x + b . cos x = 0
( a ,b ∈ R ) biçimindedir.
Bu denklemler lineer denklem gibi çözülebilir. Ayrıca eşitliğin ikinci tarafının sıfır
,her iki tarafı cos x ‘ e bölünürse ;
a.
olmasından yaralanarak
sin x
+b = 0
cos x
a .tan x + b = 0
⇒
tan x = −
b
a
Elde edilir. Bu basit denklem
kolayca çözülür.
SORU: cos x + 3.sin x = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz ?
ÇÖZÜM :
sin x
=0
cos x
1
tan x =
3
1 + 3.
⇒
⇒
1 + 3.tan x = 0
x=
5.π
+ k .π
6
5.π

Ç =x ∈ R : x =
+ k .π ,
6

10

k ∈ Z

Sin x ve cos x göre 2. dereceden homojen trigonometrik denklemler genel olarak
a.cos2x + b . cos x . sin x +c.sin2x = 0
( a, b, c ∈ R )
biçimindedir.
Denklemin her iki tarafı cos2x ‘ e bölünürse ;
sin x
sin 2 x
+ c. 2 = 0
cos x
cos x
a + b.tan x + c.tan 2 x = 0
a + b.
( Cosx ≠ 0 )
Bu denklem tan x ‘ e göre ikinci dereceden bir denklemdir.
Bu denklemi nasıl çözebiliriz?
Tan x = u denilirse. Denklem
gibi çözülür.
c.u2 + b .u + a = 0
şekline dönüşür ve ikinci dereceden denklem
Bu tür denklemlerin çözümünde bir başka yol olarak ;
cos2 x =
1 + cos 2 x
,
2
sin 2 x =
1 − cos 2 x
2
cos x.sin x =
,
sin 2 x
2
değerleri yerlerine yazılırsa ;
a.cos2x + b.cosx.sinx +c.sin2x = 0
1 + cos 2 x
sin 2 x
1 − cos 2 x
+ b.
+ c.
=0
2
2
2
a + a.cos 2 x + b.sin 2 x + c − c.cos 2 x = 0
a.
(a − c ).cos 2 x + b.sin 2 x + (a + c ) = 0
Elde edilen bu denklem nasıl denklemdir ?
(lineer denklemdir. Lineer denklem
11
gibi çözülür. )
ALIŞTIRMALAR :
1.
(
)
3.cos2 x − 1 + 3 .cos x.sin x + sin 2 x = 0
çözüm kümesini bulunuz ?
Eşitliğin her iki tarafını cos2x ‘ e bölersek;
(
)
3 − 1 + 3 .tan x + tan 2 x = 0
(
)
t 2 − 1 + 3 .t + 3 = 0
t1 = 1
ve
alınırsa ,
( t − 1). (t − 3 ) = 0
⇒
t2 = 3
tan x = 3
⇒
tan x = 1
⇒
2. sin x + 3.cos x =
tan x = t
π


3

π
π


 Ç =  x ∈ R : x = + k .π , x = + k .π , k ∈ Z 
4
3



π

x = + k .π
4

x=
2
+ k .π
denkleminin çözüm kümesini araştıralım ?
(Her iki tarafı 2 ile bölelim. )
3. sin2x + sin6x = 2.sin4x
çözüm kümesini bulunuz ?
(Çarpımı toplama çevirelim )
4. tan x + tan2x = tan3x
denkleminin çözüm kümesini araştıralım ?
(tan3x = tan (x + 2x ) yazıp açalım )
5.
cosx.cos7x = cos3x.cos5x
denkleminin çözüm kümesini araştıralım ?
(Çarpımları toplama çevirelim)
6. sec x + tan x = 0
denkleminin çözüm kümesini araştıralım ?
(sec x ve tan x ‘ i sin x ve cos x cinsinden yazalım )
7. sin2x + sin x . cos x - cos2x = 1
denkleminin çözüm kümesini araştıralım ?
(Cos2x = 2.cos2x + 1 )
8.
sin3x + cos3x =
2 .cos2x
(Cos3x ‘ i sinüs cinsinden yazıp , toplamı çarpıma dönüştürelim.)
9.
4.cos2x = cotx
çözüm kümesini bulunuz ?
12
( cot x ‘ i
9.
sin x ve cos x
2.sinx = 1 + cosec x
cinsinden yazalım )
[ 0 , 2π ] aralığındaki çözüm kümesini bulunuz ?
(cosec x ‘i sin x cinsinden yazalım )
 1
10.  
 3
sin x
= 3cos 2 x
0 ≤ x ≤ 360°
arasındaki çözüm küme sin i bulunuz ?
( sin(π + x ) = - sin x ve cos2x = sin(90 - 2x ) kullanılacak )
GENEL SORULAR
1
8
1.
2cos 3 x =
2.
1
1
+
=8
2
cos x sin 2 x
3.
cos2x + cos2x = sin2x + sin2x
3
4. Sin 2 x = Cos 4
5.
[ 0 , 2π ]
aralığındaki çözüm kümesini bulunuz ?
denklemini sağlayan en küçük açı nedir ?
denklemini sağlayan en küçük açı nedir?
x
x
− Sin denkleminin ( 0, 2π ) aralığındaki en büyük kökü nedir ?
2
2
Cos 4 x − Sin 4 x
= 1 denkleminin çözüm kümesi ?
2 x
2 x
Cos − Sin
2
2
6. 2 Sin 2 x + 3Sin 2 x = 3 denkleminin çözüm kümesi ? 2 Sin 2 x + 3 Sin 2 x = 3( Sin 2 x + Cos 2 x) yazılıp
(
2 Sinx .Cosx
her iki tarafta Cos 2 x ' e bölünebilir veya Sin 2 x − 2 3Sinx.Cosx + 3.Cos 2 x = Sinx − 3Cosx
yazılabilir.
13
)
2
= 0 şeklinde de
Özel Sorular :
a
b
c
1 + Sin .Sin .Sin
2
2
2 = tan a .tan b .tan c olduğunu gösteriniz ?
1. a + b + c = π iken 4.
Sina + Sinb + Sinc
2
2
2
3
denkleminin çözüm kümesini bulunuz ?
4
x+ y
x− y
x+ y
x− y 1
Sinx + Siny = 2.Sin
.Cos
= 1 ise, Sin
.Cos
= dir.
2
2
2
2
2
3
1
3
Cosx.Cosy = − → ( Cos ( x + y ) + Cos ( x − y ) ) = −
4
2
4
3
Cos ( x + y ) + Cos ( x − y ) = − dir.
2
2. Sinx + Siny = 1 ve Cosx.Cosy = −
 x+ y 
1− 2 Sin 2 

 2 
 x− y 
2.Cos 2 

 2 
Yarım Açı
Buradan
Sin ( x + y ) = 2a
Cos ( x − y ) = 2b
dersek, a.b =
1
3
ve b 2 − a 2 = − olarak bulunur.
2
4
1
1
→ 4a 4 − 3a 3 − 1 = 0 → ( a 2 − 1)( 4a 2 + 1) = 0 bulunur. a 2 = − ( Sanal Kök var dır ) a = 1 ∨ a = −1
2a
4
bulunarak çözümü yapılır.
b=
14
Dosya adı:
Dizin:
Şablon:
Başlık:
11
Konu:
Yazar:
Anahtar Sözcük:
Açıklamalar:
Oluşturma Tarihi:
Düzeltme Sayısı:
Son Kayıt:
Son Kaydeden:
Düzenleme Süresi:
Son Yazdırma Tarihi:
En Son Tüm Yazdırmada
Sayfa Sayısı:
Sözcük Sayısı:
Karakter Sayısı:
TRIGONOMETRIK DENKLEMLER
C:\Users\TOLGA\Desktop\INTERNET\TRIGONOMETRI
C:\Users\TOLGA\AppData\Roaming\Microsoft\Templates\Normal.dotm
SÜRE
D E R S
N O T U
EGESU
09.01.2017 21:17:00
2
09.01.2017 21:17:00
TOLGA
1 Dakika
09.01.2017 21:18:00
14
1.640(yaklaşık)
9.349(yaklaşık)