Chapter 7 - Dr. Fehmi Bardak

Bölüm 7
Enerji
Giriş
Bir çok mekanik problemi Newton yasaları ile çözülebilir, ancak bu teknik bazı
problemlerin çözümünde yetersiz kalabilir yada çok zor bir yaklaşım halide
gelebilir.
Bu tür problemlerin çözümünde enerjiye bağlı çözümler çok daha kolay
olabilmektedir, hatta bazen tek yol olarak karşımıza çıkar.
Doğada karşımıza çıkan tüm problemlerin enerji ve enerji dönüşümleri ile bir
ilişkisi vardır.
Introduction
Sistem
Sistem den kastımız uzayın küçük bir bölümüdür.
• Bu bazen tek bir parçacık veya bir cisim de olabilir.
• Bazı durumlarda bir çok parçacığın oluşturduğu bir topluluk.
• Uzaydaki belirli bir bölge
• Zaman içerisinde değişen bir hareketli cisimler bütünü de olabilir.
Section 7.1
İş
Bir sistem üzerine yapılan iş, work (W), sistem üzerine ektiyen bir kuvvetin, F,
kuvvet yönünde yaptığı yerdeğiştirmenin, r, bir ölçütüdür. Bu durumda kuvvetin
büyüklüğü, yerdeğiştirme, ve aralarındaki açının kosinüs değeri, cos, ile çarpımı
olarak belirlenir.
 Burada hesaplanan mekanik enerji günlük anlamda kullandığımız enerji
kelimesi ile aynı anlamda değildir.
Section 7.2
İş dvm.
W = F r cos 
 Yerdeğiştirmeden kasıt, kuvvetin
uygulanmaya başladığı ilk
konumdan son konumuna kadar
olay yerdeğiştirmedir.
 Eğer cismin hareketi kuvvetin
herhangi bir bileşeni yönünde değil
ise, sistem üzerine iş yapıldığı
söylenemez.
Section 7.2
İş örnek
Yandaki sistem için üç faklı kuvvetin
etkidiğini görürüz. Bunlar dış kuvvet,F ,
Yerçekimi ve yüzeyin tepki kuvvetidir.
Yerçekimi ve normal kuvvetinin
yerdeğiştirmeye dik yönde olması
nedeni ile
cos  = cos 90° = 0
İş yapabilecek tek kuvvet dış kuvvettir.
Section 7.2
İş birimi
İş skaler bir büyüklük olup birimi joule, J, dür.
 1 joule = 1 newton . 1 meter = kg ∙ m² / s²
 J=N·m
Section 7.2
Değişken bir kuvvetin yaptığı iş
W = F Δ r cos θ,
Formülünü kullanarak işi
hesaplayabilmemiz için kuvvetin sabit
olması gerekir.
Değişken kuvvetler için integral hesabı
yapılması gerekir. Bunun ilk basamağı
küçük adımlarda yapılan işler toplamını
göz önünde bulundurmaktır.
xf
W   Fx x
xi
Section 7.4
Değişken bir kuvvetin yaptığı iş
Seçtiğimiz adımların küçüklüğünün limit
durumu
lim
x 0
xf
 F x  
x
xi
xf
xi
Fx dx
Böylelikle
xf
W   Fx dx
xi
Olarak ifade edilir. Bu işin bir boyutta bir
tanımıdır.
Section 7.4
Birden fazla kuvvet tarafından yapılan iş
Eğer üzerinde çalışılan sistem bir noltasal parçacık olarak modellenebiliyorsa,
Sistem üzerine yapılan iş, net kuvvetin yaptığı iş olacaktır.
W  W
ext

  F dx
xf
x
xi
Genel olarak bir cisme birden fazla kuvvetler etkiyor ise bu kuvvetlerin yönü
birbirinden farklılık gösterir. Bu durumda integral konum vektörü üzerinden
alınmalıdır.
W  W
ext

xf
xi
 Fdr
Section 7.4
Birden fazla kuvvet tarafından yapılan iş
Eğer sistem noktasal bir parçacık olarak modellenemiyor ise, toplam iş her bir
kuvvetin yaptığı işlerin toplamı olarak ifade edilmelidir.
Bu durumda toplam cebirsel bir toplama dönüşür. Çünkü iş skaler bir büyüklüktür.
W  W
ext

 F  d r 
forces
Section 7.4
Yayda depolanan / Yay tarafından yapılan Enerji
Sürtünmesiz bir yüzey
üzerinde hareket edebilecek
sabit yay sabitli bir sistemi göz
önünde bulundurursak.
Section 7.4
Yay sabiti (Hook Yasası)
Yaya uygulanan kuvvet
Fs = - kx
 x cismin denge konumuna olan uzaklığı
 k yay sabiti, sertliği ni ifade eden ve imal edildiği malzemenin özelliklerine bağlı
 Daha doğru olarak Hook yasasının vektörel ifadesi
Section 7.4
Fs  Fx ˆi  kx ˆi
Yay üzerinde yapılan iş
Ws   Fs  d r  
xf
xi
 kx ˆi   dx ˆi 
1 2

 kx  dx  kxmax
 xmax
2
0
Ws  
xf
xi
1 2 1 2

kx
dx

kxi  kxf
 
2
2
Yayın tam sıkışması durumunda depolanan
enerji
Herhangi bir sıkışma miktarı için harcanması
gereken iş, yada depolanacak enerji
Section 7.4
Kinetik enerji
Wext  
xf
xi
 F dx  
xf
xi
vf
Wext   mv dv
vi
1
1
mv f2  mv i2
2
2
 K f  K i  K
Wext 
Wext
Section 7.5
ma dx
İş Kinetik enerji teoremi
Wext = Kf – Ki = ΔK,
Bir sistem üzerine dış kuvvet tarafndan yapılan iş, sistemin kinetik enerji
değişimi kadardır.
Şu halde bir sistem üzerine iş yapılırsa sistemin sürati artar, yani iş pozitiftir.
Sistem iş yapıyor ise iş negatiftir ve sistemin sürati azalır.
Cismin yerdeğiştirmesi için dış kuvvet
tarafından yapılan iş kinetik enerji
değişimi kadar olacaktır.
Wext = K = ½ mvf2 – 0
Section 7.5
Potansiyel Enerji
Potansiyel enerji sistemin konfigürasyonu ile ilgilidir ve sistemi oluşturan
elementler arasındaki etkileşmelerin bir sonucudur. Sistemdeki kuvvetler iç
kuvvetlerdir. Bir yük çiftinin potansiyeli, yada bir pilin gerilimi bu tür bir enerjinin
sonucudur.
Section 7.6
Gravitasyonel Potansiyel Enerji
Sistem üzerine yapılan iş sistemin
enerjisindeki artış olarak yansımalıdır,
ve bu potansiyel enerji olarak bilinir.
 
Wext  Fapp   r
Wext  (mgˆj)   y f  y i  ˆj
r   y f  y i  ˆj
Wext  mgy f  mgy i
Section 7.6
Elastik Potansiyel Enerji
Us = ½ kx2
Bu enerji sistem içerisinde
gerek potansiyel enerji ve
gerekse kinetik enerji olarak
değişiklik gösterebilir.
(U = 0 when x = 0)
Elastik polansiyel enerji
daima pozitiftir çünkü
x2 daima pozitiftir.
Section 7.6
Korunumlu kuvvetler
Eğer bir kuvvet tarafından sistem üzerine yapılan iş gidilen yoldan bağımsız ise,
Kuvvet korunumludur denir.
Yerçekimi
Yay kuvveti
Gibi kuvvetler korunumlu kuvvetlere örnektir.
Bu durumda
Wiç (sistem tarafından yapılan iş)= - U
Korunumsuz kuvvetler
Korunumsuz kuvvetlerin sistem üzerinde bir etkisi durumunda sistemin mekanik
enerjisinde bir değişim meydana gelir.
Mekanik enerji kinetik ve potansiyel enerjilerin toplamıdır.
Emekanik = K + U
A-B aralığında kırmızı yolda yapılan iş
mavi yolda yapılan iş daha yüksektir.
Çünkü korunumsuz sürtünme kuvveti
sistemin potansiyel enerjisini kırmızı
yol boyunca daha çok azaltacaktır.
Section 7.7
Korunumlu kuvvetler ve Potansiyel enerji ilişkisi
Kuvvetin korunumlu olması durumunda sistemdeki potansiyel enerjinin negatif
türevi uygulanan kuvveti verir.
Fx  
dU
dx
Fs  
dUs
d 1

   kx 2   kx
dx
dx  2

Bu çıkarım üç boyutlu uzay için de genişletilebilir. Bu eşitlik kapalı sistemlerde
potansiyel enerji değişimlerine bağlı olarak sistem içi elemanlar arasında
etkileşmeleri belirlemede etkin olarak kullanılır.
Örneğin bir molekülde atomlar arası bağ uzunluğunu belirlemek için molekül için
elektrostatik potansiyel enerji hesaplanabilir, potansiyel enerjinin türevi bağ
kuvvetini verir, kuvvetin türevi de F=-kx olduğu düşünülerek bağ kuvvet sabitini
(k) verir. Yani atomlar arası etkileşmelerin şiddeti belirlenmiş olur.
Section 7.8
Enerji diyagramları ve Kararlı denge durumları
Bir sistemde kararlı denge durumu
potansiyel enerjinin minimum olduğu
durum olarak tanımlanır.
Harmonik osilatör potansiyeli
x = xmax ve x = -xmax noktaları dönme
noktaları olarak tanımlanır.
Section 7.9
Enerji diyagramları ve Kararsız denge durumları
Bir sistemde potansiyel enerjinin
maksimum olduğu durumlar ise
kararsız denge durumlarını ifade eder.
Nötral denge durumu
Potansiyel enerjinin göz önünde bulundurulduğu aralık boyunca sabit olduğu
durmlardır.
Section 7.9
Potansiyel enerji diyagramı örnekleri, Atom ve Moleküller
  12   6 
U ( x )  4       
 x  
 x 
Lenard Jones Potansiyeli
Potansiyel enerji diyagramı örnekleri, Kimyasal reaksiyonlar
Potansiyel enerji diyagramı örnekleri, Sönümlü Salımınlar