minkowski uzayında mekanik sistem uygulamaları

MĐNKOWSKĐ UZAYINDA MEKANĐK SĐSTEM UYGULAMALARI
Pamukkale Üniversitesi
Fen Bilimleri Enstitüsü
Yüksek Lisans Tezi
Matematik Anabilim Dalı
Bülent YILDIZ
Danışman: Yrd. Doç. Dr. Şevket CĐVELEK
Şubat, 2010
DENĐZLĐ
i
YÜKSEK LĐSANS TEZĐ TEZ ONAY FORMU
Bülent YILDIZ tarafından Yrd. Doç. Dr. Şevket CĐVELEK yönetiminde hazırlanan
“Minkowski Uzayında Mekanik Sistem Uygulamaları” başlıklı tez tarafımızdan
okunmuş, kapsamı ve niteliği açısından bir Yüksek Lisans Tezi olarak kabul edilmiştir.
Jüri Başkanı
Y. Doç. Dr. Cansel AYCAN
Y. Doç. Dr. Đsmet AYHAN
Jüri Üyesi
Jüri Üyesi
Pamukkale Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Yönetim Kurulu’nun 03/03/2010 tarih
ve 7/11. sayılı kararı ile onaylanmıştır.
Prof. Dr. Halil KARAHAN
Müdür
ii
TEŞEKKÜR
Bu çalışmanın her aşamasında bana destek olan ve beni yönlendiren değerli hocam
Yrd. Doç. Dr. Şevket CĐVELEK’e , desteğini hiç eksik etmeyen sevgili eşim Arzu
YILDIZ’a ve iş arkadaşlarıma teşekkürlerimi sunarım.
iii
Bu tezin tasarımı, hazırlanması, yürütülmesi, araştırılmalarının yapılması ve
bulguların analizlerinde bilimsel etiğe ve akademik kurallara özenle riayet edildiğini; bu
çalışmanın doğrudan birincil ürünü olmayan bulguların, verilerin ve materyallerin
bilimsel etiğe uygun olarak kaynak gösterildiğini ve alıntı yapılan çalışmalara
atfedildiğini beyan ederim.
Đmza
:
Öğrenci Adı Soyadı :
Bülent YILDIZ
iv
ÖZET
MĐNKOWSKĐ UZAYINDA MEKANĐK SĐSTEM UYGULAMALARI
YILDIZ, Bülent
Yüksek Lisans Tezi, Matematik ABD
Tez Yöneticisi: Yrd. Doç. Dr. Şevket CĐVELEK
Şubat 2010, 103 Sayfa
Bu çalışmanın ilk iki bölümünde Lorentz-Minkowski uzayı tanıtılmış olup daha
sonra bu uzayda eğriler ayrıntılı olarak anlatılmıştır. Üçüncü bölümde; Lagrange
Sistemleri diferansiyel geometrik kavramlarla ifade edilmiştir. Dördüncü bölümde ise;
Galile ve Minkowski uzay-zamanında klasik fizik kavramları verilmiştir. Beşinci
bölümde de, Hiperbolid üzerindeki geodezik örnekleri verilmiş ve serbest bir parçacığın
yörüngesi Lagrange denklemleri yardımıyla ifade edilmiştir.
Anahtar Kelimeler: Lorentz-Minkowski Uzay-zamanı, Lagrange Denklemleri
Y. Doç. Dr. Şevket CĐVELEK
Y. Doç. Dr. Cansel AYCAN
Y. Doç. Dr. Đsmet AYHAN
v
ABSTRACT
MECHANIC SYSTEM APPLICATIONS IN MINKOWSKI SPACE
YILDIZ, Bülent
M. Sc. Thesis in Mathematics
Supervisor: Yrd. Doç. Dr. Şevket CĐVELEK
February 2010, 103 Pages
Lorentz-Minkowski space is introduced in the first two sections of this thesis and
the following sections explain the curves in this space in detail. In the third section,
Lagrange systems are defined by differential geometric terms. Classical physical
concepts in Galileo and Minkowski spacetime are presented in the fourth section.
Geodesic examples are given and a free particules orbit is defined using Lagrange
equations in the fifth section.
Keywords: Lorentz-Minkowski space-time, Lagrange Equations
Assist. Prof. Şevket CĐVELEK
Assist. Prof. Cansel AYCAN
Assist. Prof. Đsmet AYHAN
vi
ĐÇĐNDEKĐLER
Sayfa
1. BÖLÜM : LORENTZ-MINKOWSKI UZAYI ........................................................... 1
1.1 Temel Açıklamalar .............................................................................................. 1
1.2 Time-like Vektörler ............................................................................................ 9
1.3 Lorentz Vektör Çarpımı ..................................................................................... 12
1.4 E 13 Đzometrileri ................................................................................................ 14
2. BÖLÜM : MĐNKOWSKĐ UZAYINDA EĞRĐLER .................................................. 21
2.1 Parametrize Eğriler ............................................................................................ 21
2.2 Eğrilik ve Burulma ............................................................................................ 27
2.3 Sabit Eğriliği Olan Düzlemsel Eğriler ............................................................... 34
2.4 E13 Helisler ve Bertrand eğrileri ....................................................................... 38
3. BÖLÜM : LAGRANGE SĐSTEMLERĐ ................................................................... 43
3.1 Lagrange Sistemleri ve Yaklaşık Tanjant Geometri ......................................... 43
3.2 Homojen Lagranjyenler .................................................................................. 49
3.3 Konneksiyonlar ve Lagranjyen Sistemler ....................................................... 51
3.4 Yarı Püskürtmeler ve Lagranjyen Sistemler ................................................... 58
3.5 Lagrange Dinamiklerinde Bir Ters Problemin Geometrik Yaklaşımı ............ 62
3.6 Legendre Transformasyonu ............................................................................ 66
4. BÖLÜM : KLASĐK MEKANĐK TEORĐLERĐ………........................................ 70
4.1 Galile Uzay-zamanında Hareket Prensipleri ..................................................... 70
4.1.1 Euler-Lagrange Denklemleri ................................................................... 70
4.1.2 Uzay-zaman Simetrileri ......................................................................... 71
4.1.2.a) Zaman Ötelemesi Altında Değişmezlik .................................... 71
4.1.2.b) Uzaysal Öteleme Altında Değişmezlik ................................... 72
4.1.2.c) Rotasyon Altında Değişmezlik ................................................. 72
4.1.2.d) Galile Dönüşümü Altında Değişmezlik ................................... 72
4.1.3 Lagranjyen ................................................................................................ 74
4.2 Simetri ve Korunum Kanunları ......................................................................... 74
4.2.1 Enerjinin Korunumu ................................................................................. 74
4.2.2 Noether Teoremi ...................................................................................... 75
4.2.3 Örnek: (Toplam lineer momentumun korunumu) ................................... 76
4.3 Hamiltonyen ..................................................................................................... 76
4.4 Poisson Parantezi ve Öteleme Operatörleri ...................................................... 77
4.4.1 Poisson Parantezi ..................................................................................... 77
4.4.2 Öteleme Operatörleri ............................................................................... 79
4.5 Minkowski Uzay-zamanında Hareket Prensipleri ............................................. 80
4.5.1 Minkowski Uzay-Zamanı ........................................................................ 80
4.5.2 Đzometriler ................................................................................................ 80
4.5.3 Tensörler .................................................................................................. 83
4.5.4 Serbest Bir Parçacığın Lagranjyeni ......................................................... 83
4.5.5 Enerji-Momentum 4-Vektörü .................................................................. 85
4.5.6 Serbest Bir Parçacık Grubu Đçin Lagranjyen ........................................... 86
4.6 Klasik Elektrodinamik ..................................................................................... 88
4.6.1 Maxwell Denklemleri ............................................................................. 88
vii
4.6.2 Lagranjyen Alan ..................................................................................... 89
4.6.3 Yüklü Parçacıkla Etkileşim .................................................................... 90
4.6.3.a) Lagranjyen ................................................................................ 90
4.6.3.b) Hareket Denklemleri ................................................................ 91
5. BÖLÜM: HĐPERBOLĐD UYGULAMASI .............................................................. 94
viii
ŞEKĐLLER DĐZĐNĐ
Sayfa
Şekil 1.1: Minkowski uzayının nedensel karakteri ......................................................... 3
Şekil 1.2: P space-like düzlemine ortogonal olan v vektörü, P’nin Öklid normal vektörü
→
n den daha büyük görünür. .......................................................................................... 10
Şekil 1.3: Boostların etkisiyle şekillenen bir nokta yörüngesi. Solda bir hiperbol, sağda
ise parabol elde edildiği görülür. ................................................................................... 21
Şekil 3.1 Diyagram değişmeli olacak biçimde bir Leg: TM → T * M dönüşümü vardır.
( τ M ve π M kanonik projeksiyonlardır.) ..................................................................... 70
Şekil 5.1 Hiperbolid ..................................................................................................... 100
Şekil 5.2 Hiperbolidin boğazında hareket eden top ..................................................... 101
Şekil 5.3 Paralel taşıma esnasında açı ve tanjant vektör değişmez. ............................ 102
Şekil 5.4 Space-Like geodezik .................................................................................... 104
Şekil 5.5: Burada nedensellik açısından kapalı
Time-like eğrilerde bir problem olabilir..................................................................... 105
Şekil 5.6 Light-Like geodezikler konformal dönüşümler altında korunurlar. ............. 106
1
1. BÖLÜM : LORENTZ-MĐNKOWSKĐ UZAYI
1.1 Temel Açıklamalar
R3
bilinen
vektör
yapısıyla
gerçel
bir
vektör
uzayı
olsun.
E1 (1,0,0 ), E 2 (0,1,0 ), E3 (0,0,1) olmak üzere, R 3 ün doğal bazı B = {E1 , E 2 , E3 } ile
gösterilir.
Bir vektörün B ‘ye göre koordinatları
gösterilebilir.
gösterilen
{e1 ,...., em }
vektör
( x, y , z )
ya da
(x1 , x2 , x3 )
sonlu bir vektör kümesi olmak üzere;
altuzayı,
ei
vektörlerinin
lineer
şeklinde
e1 ,....., em
bileşimleri
ile
ile,
< e1 ,....., em >= {∑ ai ei ; ai ∈ R,1 ≤ i ≤ m} şeklinde gösterilebilir.
Tanım 1.1.1.
u = (u1 , u 2 , u 3 ), v = (v1 , v 2 , v3 )
olmak
üzere
u , v = u1v1 + u 2 v 2 − u3v3
ile
tanımlanan metriğe Lorentz metriği ve bu metrikle tanımlanan E13 = ( R 3 , , ) metrik
uzayına Lorentz-Minkowski uzayı denir. Lorentz metriği non-dejeneredir ve indeksi 1
dir. Bu metrik şöyle de yazılabilir.
1 0 0 

u , v = u  0 1 0 v := u t Gv
 0 0 − 1


t
Vektör uzayı Öklid metriğini de destekler, burada kavramları karıştırmamak için
Öklid metriği , ε ile, E3 Öklid metrik uzayı ise ( R 3 , , ε ) ile gösterilecektir.
2
Bundan sonraki tanımlamaların ve sonuçların büyük çoğunluğu, Lorentz metriği
(
)
yardımıyla daha yüksek boyutlara yani E1n = R n , , uzayına genellenebilir.
Metriğin matrisi, 1 ve -1 rakamlarından oluşan köşegen matris olduğunda,
B = {e1 , e2 , e3 } ortonormal bazı düşünülürse, bu matris her zaman diag [1,1,−1] şeklinde
gösterilebilir. Genel olarak, verilmiş bir B bazı için, metrik katsayıları Gij = ei , e j ile
gösterilir.
Tanım 1.1.2.
v ∈ E13 vektörü;
1. v, v > 0 veya v = 0
ise space-like
2. v, v < 0 ise time-like
3. v, v = 0 ve v ≠ 0 ise light-like
olarak isimlendirilir. Ayrıca v = 0 vektörü; v, v = 0 denklemini sağlamasına rağmen
space-like olarak düşünülür.
{
}
C = ( x, y, z ) ∈ E13 ; x 2 + y 2 − z 2 = 0 − {(0,0,0 )} ile E13 uzayının ışık konisi yani, E13
uzayının light-like vektörlerinin kümesi tanımlanır.
{
}
τ = (x, y, z ) ∈ E13 ; x 2 + y 2 − z 2 < 0 kümesi Time-like vektörler topluluğunu gösterir.
τ
z
C ışık konisi
y
Space-like
x
Time-like
Light-like
Şekil 1.1: Minkowski uzayının nedensel karakteri.
3
Verilen bir U ⊂ R 3 bir alt vektör uzayı için, U üzerinde uyarlanmış (induced)
u , v u = u , v ; u , v ∈ U metriğini düşünelim: Eğer uyarlanmış metrik pozitif tanımlıysa,
U alt-uzayına space-like denir. Eğer metriğin indeksi 1 yani; non-dejenere bu uzay
time-like’dır ve metrik dejenere ve U ≠ {0} doğuruyorsa; o zaman bu uzay light-like
uzay olarak adlandırılır.
Bir vektör veya altuzayın nedensel karakteri; space-like, time-like veya light-like
olmasına bağlıdır. Herhangi bir altuzay yukarıda sayılan üç özellikten birine bağlıdır.
Örnek 1.1:
1. E1 ve E 2 vektörleri space-like ve E3 vektörü time-like olup; E 2 + E3 vektörü
light-like’dır.
2. E1 , E 2 düzlemi space-like’dır; E1 , E3 ve E 2 , E3 düzlemleri time-like’dır;
E1 , E 2 + E3 düzlemi light-like’dır.
3. E1 + E 2 + E3 vektörü space-like’dır fakat
E1 , E1 + E 2 + E3
düzlemi light-
like’dır.
4. E 2 + E3 vektörü light-like’dır, fakat E 2 + E3 , E3 düzlemi time-like’dır.
Eğer (V , g ) metrik uzayında, g metriği non-dejenere bir metrik ise;
U ⊥ = {v ∈ V , g (u , v) = 0, ∀u ∈ U }
ile gösterilen uzaya U ’nun ortogonal uzayı denir.
Lemma 1.1.3:
g non-dejenere metrik olmak üzere, (V , g ) bir metrik uzay olsun. Bu durumda
U ⊂ V bir altuzay olmak üzere;
( )
⊥
2. (U ⊥ ) = U
1. boy U ⊥ = boy (V ) − boy (U )
3. U non-dejenere bir altuzay ise U ⊥ da non-dejenere bir altuzaydır.
4
Đspat:
1. {e1 ,...., em } U’nun bir bazı olsun ve bu bazı V’nin B = {e1 ,...., en } bazı olana kadar
genişlettiğimizi varsayalım. Eğer,
n
n
i =1
i =1
u = ∑ xi ei ∈ U ⊥ ise; 0 =< ∑ xi ei , e j >= ∑ g ij xi = 0,.......1 ≤ j ≤ m
i
olur. Buradaki m tane denklem matrissel olarak ifade edilirse;
 g11

 ...
g
 1m
veya AX = 0,
... g n1  x1   0 
   
... ...  ...  =  ...
... g nm  x n   0 
A = ( g ij ) m × n . boy (V ) = n, boy (U ) = m, m ≤ n olduğuna göre A
matrisinin boyu m olur. (bu metriğin non-dejenere olması ile ilgilidir.). Sonuçta,
AX = 0 denkleminin çözümü (n–m) boyutlu altuzay oluşturur.
2. (U ⊥ ) ⊥ ⊂ U olduğuna göre boy (U ⊥ ) ⊥ = boy (U ) sonucuna varılır.
3. B = {e1 ,...., em } U ’nun ortonormal bir bazı olsun, yani g|U metriğinin matrisi 1
ve -1 den oluşan köşegen matris olsun. V’nin ortonormal bazını elde etmek için bu baz
genişletilirse, yani; B = {e1 ,...., en } boy (U ⊥ ) = n − m olduğuna göre,
{em +1 ,...., en }
U ⊥ nun bir bazıdır.
Şimdi altuzayların nedensel karakterlerine bağlı olan tanımları verilebilir.
Teorem 1.1.4.
1. v ∈ E13 olsun. v ancak ve ancak < v > ⊥ space-like (sır. Time-like) bir altuzay ise
time-like (sır. Space-like) vektördür. Bu yüzden E13 =< v > ⊕ < v > ⊥ yazılır.
2. U ⊂ V bir altuzay olsun. U ancak ve ancak U ⊥ time-like ise space-like’dır.
3. U ⊂ V bir altuzay olsun. U ancak ve ancak U ⊥ light-like ise light-like’dır.
5
Đspat:
1.” ⇒ ” v time-like bir vektör olsun; v vektörü E13 uzayına ait olup, B = {e1 , e2 , v}
ortonormal bazının bir parçası olarak yazılabilir. Bu durumda < v > ⊥ =< e1 , e2 > dir. Bu
ise space-like bir altuzaydır.
“ ⇐ ” < v > ⊥ space-like altuzay olsun; {e1 , e2 }, , |<v > ⊥ pozitif tanımlı bir metrik
iken, < v > ⊥ nin ortonormal bir bazı olsun. Bu durumda;
{e1 , e2 , v}
metriği
köşegenleşen bir bazdır. g11 = g 22 = 1 olduğuna göre, g 33 < 0 yani, v time-like bir
vektördür.
2. U time-like bir altuzay olsun. v ∈ U time-like bir vektör olsun. Bu durumda;
U ⊥ ⊂< v > ⊥ dir. < v > ⊥ space-like olduğuna göre, U ⊥ space-like’dır. Tersi benzer
şekilde (U ⊥ ) ⊥ = U olacaktır.
3. Bu madde yukarıdaki diğer iki maddenin doğal bir sonucudur.
Öklidyen uzay iyi bilindiğinde, time-like vektörlerin varlığı ve light-like vektörlerin,
diğer bir deyişle birbiriyle çarpıldıklarında birbirini yok eden vektörlerin varlığından
dolayı Lorentz-Minkowski uzayı bize bazı değişik sonuçlar verir.
Teorem 1.1.5.
1. u ve v iki light-like vektörleri, ancak ve ancak u , v = 0 ise lineer bağımlıdır.
2. Eğer u ve v , u , v = 0 koşulunu sağlayan iki time-like veya light-like vektör ise;
o zaman u,v light-like’dir.
3. U light-like bir altuzay ise, boy (U ∩ U ⊥ ) = 1 olur.
Đspat:
1. u ve v orantılıysa, bu ortogonal olduklarını gösterir. Farzedelim ki u,v ortogonal
olsun.
E13 =< E3 > ⊥ ⊕ < E3 >
ayrışımında,
u = w + x, v = w + y
u , v = 0 olduğundan ve her iki vektör de light-like olduğundan dolayı,
yazılabilir.
6
x, y + w, w + x, w + y, w = 0
x, x + w, w + 2 x, w = 0
y, y + w, w + 2 y, w = 0
yazılabilir. Bu üç eşitlik birleştirilirse; | x | 2 + | y | 2 −2 x, y = 0 eşitliği elde edilir, yani,
| x − y |2 = 0 .
Böylece;
x= y
olur,
çünkü
x− y
bir
space-like
vektördür
(x − y ∈< w > ⊥ ). Buradan u = v sonucu çıkar.
2. Eğer iki vektörde time-like ise, u, v ≠ 0 olup; < v > ⊥ space-like bir altuzay
olduğundan E13 =< v > ⊥ ⊕ < v > eşitliğini kullanarak, u = x + λv yazılır; bundan
dolayı; u, v = v, x + λ v, v = λ v, v dir. u, v = 0 olursa, λ = 0 ve u = x vektörü
space-like olurdu. Bu bir çelişkidir. Bundan dolayı; her iki vektör de light-like
olmalıdır.
3. u, v ∈ U ∩ U ⊥ ise; u, v = 0 olur. Buradan u ve v lineer bağımlıdırlar. Bu da;
dim(U ∩ U ⊥ ) ≤ 1 olduğunu kanıtlar. Boyut tam olarak; 0 ise, E13 = U ⊥ ⊕ U ve
bundan dolayı E13 ün herhangi bir vektörü light-like olacaktır.
Teorem 1.1.6:
U ⊂ E13 iki-boyutlu bir altuzay olsun. Bu durumda aşağıdaki önermeler denktir:
1. U time-like bir altuzaydır.
2. U iki lineer bağımsız light-like vektör içerir.
3. U time-like bir vektör içerir.
Đspat:
“ 1 ⇒ 2 ” {e1 , e2 , e3 } E13 ‘ün ortonormal bir bazı olsun. Bu durumda; e2 + e3 ve
e2 − e3 lineer bağımsız light-like vektörlerdir.
7
“ 2 ⇒ 3 ” u ve v iki lineer bağımsız light-like vektörlerse, u + v veya u − v time-like
vektördür. Çünkü; u ± v, u ± v = m2 u, v dir ve her iki vektörün time-like olmasına
bağlı olarak u, v ≠ 0 dır.
“ 3 ⇒ 1 ” v ∈ U time-like bir vektör olsun. Buradan U ⊥ ⊂< v > ⊥ , ve < v > ⊥ spacelike bir altuzay olur. Bundan dolayı U ⊥ space-like’dır, ve U time-like’dır.
Yukarıdaki sonuç, U’nun hiperdüzlem olduğunu gözönünde bulundurarak, isteğe
bağlı boyutlarda genellenebilir.
Teorem 1.1.7.
U ⊂ E13 bir altuzay olsun. Bu durumda aşağıdaki önermeler denktir:
1. U light-like bir altuzaydır.
2. U light-like bir vektör içerir ama hiç bir time-like vektör içermez.
3. U ∩ C = L − {0}, ve boy ( L) = 1 .
Đspat:
“ 1 ⇒ 2 ” U’daki metrik dejenere bir metrik olduğundan, light-like bir vektör vardır.
Teorem 1.1.6 ya göre hiçbir time-like vektör yoktur.
“ 2 ⇒ 3 ” Light-like vektörler var olduğuna göre; U ∩ C boş küme değildir. Teorem
1.1.6 yı kullanarak; eğer iki lineer bağımsız light-like vektör varsa; aynı zamanda timelike vektör de olacak. Buradan sadece bir light-like vektör olduğu görülür.
“ 3 ⇒ 1 ” Teorem 1.1.6 U’nun space-like ve time-like olmadığını söyler.
Teorem 1.1.8.
P düzlemi, E13 ‘ün bir düzlemi olsun. Öklid metriğiyle ortogonal bir vektör n ile
gösterilirse, n vektörü ancak ve ancak P düzlemi space-like (sır. time-like, light-like) ise
time-like’dir (sır. space-like, light-like).
8
Đspat:
P=
{(x, y, z ) ∈ R 3 ; ax + by + cz = 0}
şeklinde yazılabilir. Buradan, n vektörü,
(a, b, c ) vektörü ile orantılı demektir. P şu şekilde de yazılabilir.
{
}
P = ( x, y, z ) ∈ R 3 ; ax + by − (− c )z = 0 =< (a, b,−c ) > ⊥
Bu;
(a, b,−c )
vektörü P düzlemine ortogonal demek olur, n vektörü de P’ye
ortogonal idi yani; (a, b,−c ) ile n vektörlerinin nedensel karakteri ile aynıdır.
Tanım 1.1.9.
Verilen bir u ∈ E13 vektörü için u = |< u , u >| sayısına u’nun normu denir. u = 1
ise, bu vektöre birim denir. Buradan; u space-like (sır. Time-like) bir vektörse
u = < u, u > (sır. u = − < u, u > ) olur.
Teorem 1.1.10.
P =< v > ⊥ , v, v = −1 koşuluyla space-like bir düzlem ise | v |ε ≥ 1 dir.
Đspat:
P=
{(x, y, z ) ∈ R 3 ; ax + by + cz = 0},
Buradan, v, v = −1 olacak şekilde, v =
n = (a, b, c) ve a 2 + b 2 + c 2 = 1 yazılabilir.
( a , b , −c )
c2 − a2 − b2
seçersek, P =< v > ⊥ olur. v’nin
Öklid normunu hesaplayarak, aşağıdaki sonuç elde edilir:
| v |ε2 =
a 2 + b2 + c2
2
2
c −a −b
2
=
1
2
c − a2 − b2
≥1
Bu sonuç, space-like bir düzleme ortogonal bir vektör çizildiğinde onun öklidyen
büyüklüğü , neden öklid birim ortogonal vektörden büyük olduğunu açıklar.(Şekil 1.2)
9
vε ≥1
nε =1
n
v
P
Şekil 1.2: P space-like düzlemine ortogonal olan v vektörü, P’nin Öklid normal vektörü
→
n den daha büyük görünür.
1.2 Time-like vektörler
τ ile E13 ün time-like vektörler kümesi gösterilsin. Her bir u ∈ τ için, u’nun timelike konisi C (u ) = {v ∈ τ ; u , v < 0} şeklinde tanımlanır. u ∈ C (u ) olduğuna göre bu
küme boş küme değildir. Ayrıca; τ ; C (u ) ve C (−u ) nin ayrık bileşimidir. Eğer v ∈ τ
ise
u, v ≠ 0
olur, ve bu yüzden
v ∈ C (u )
veya
v ∈ C (−u )
olur. Dahası;
C (u ) ∩ C (−u ) = ∅ olur. Time-like konilerin bazı özellikleri şunlardır:
Teorem 1.2.1.
1. u ve v iki time-like vektör olmak üzere, u,v ancak ve ancak u , v < 0 ise aynı
time-like koni içinde yer alırlar.
2. C (u ) = C (v ) ancak ve ancak u ∈ C (v)
3. Time-like koniler yakınsak kümelerdir.
10
Đspat:
1.
u , v < 0 ise; u ∈ C (v) olur. Farzedelim ki u , v ∈ C ( w) olsun. Buradan
w, w = −1 olduğu kabul edilebilir. u = x + aw ve v = y + bw yazılırsa,
x, y ∈< w > ⊥ olur. < w > ⊥ space-like altuzay olduğuna göre;
| x, y |≤ x y olur ve u , v = −ab + x, y ≤ − ab + x y olur.
x, x < a 2 ve y, y < b 2 olduğundan u , v ≤ − ab + x y < 0 istenen sonuç çıkar.
2. u ∈ C (v) ise, u , v < 0 olur. Bu durumda v ∈ C (u ) anlamına gelir.
3. u , v ∈ C ( w) ve t ∈ [0,1] olduğu kabul edilirse,
tu + (1 − t )v, w = t u , w + (1 − t ) v, w < 0 , bu da; tu + (1 − t )v ∈ C ( w) demektir.
Teorem 1.2.2.
u ve v iki time-like vektör olsun. Bu halde;
u, v ≥ − u, u
− v, v
eşitsizliği
sadece u ve v vektörleri orantılı ise sağlanır. Her iki vektörün aynı time-like koni
üzerinde yer aldığı durumda u , v = − u v cosh ϕ denkleminden; ϕ ≥ 0 olan unik bir
sayı ortaya çıkar ki, bu ϕ sayısı u ve v arasındaki hiperbolik açının değeridir.
Đspat:
u ve v lineer bağımsız time-like vektörlerini düşünülürse, U =< u , v > time-like bir
düzlem olur. Teorem 1.1.6 ya göre a ve b üzerindeki eşitlik şu şekildedir:
au + bv, au + bv = a 2 u , u + b 2 v, v + 2ab u , v = 0
Buradan a ≠ 0 olur. Zira a = 0 olsaydı v light-like olurdu, halbuki v time-like’tır.
b = λ denirse; u , u + 2λ u , v + λ2 v, v = 0 denklemi elde edilir. Bu denklemin bir
a
çözümü vardır. Dolayısıyla denklemin diskriminantı pozitif olmalıdır. Yani;
∆ = 4 u, v
2
− 4 u , u v, v > 0 yani u , v
2
> u , u v, v
olmalıdır.
Denkleme göre ∆ > 0 ise u ve v lineer bağımsız, ∆ = 0 ise u ve v orantılıdır.
11
Teoremin ikinci kısmı için, şu yazılır:
< u, v > 2
≥1
(− < u , u >)(− < v, v >)
(1.1)
u ve v aynı time-like koni içinde ise, u , v < 0 olur ve (1.1) ifadesinden
− < u, v >
≥1
− < u , u > − < v, v >
olduğunu gösterir. Hiperbolik kosinüs fonksiyonu
cosh : [0, ∞ ) → [1, ∞ )
birebir
olduğundan burada unik bir sayı olup;
cosh ϕ =
− < u, v >
− < u , u > − < v, v >
olur.
Sonuç 1.2.3.
u,v time-like koni içinde yer alan iki time-like vektör ise, u + v ≥ u + v eşitliği
ancak ve ancak u ve v orantılı olursa sağlanır.
u = (0, cosh(t ), sinh(t )) ve v = (0,1,0) birim vektörleri için, u , v = cosh(t ) düzlemi
time-like olur, bu da 1’den büyük gelişigüzel bir değer ortaya çıkmasına yol açar. Buna
karşın; u ve v space-like düzlem ortaya çıkarırlarsa, P üzerindeki uyarlanmış metrik
pozitif olur ve buradan, Genel Cauchy-Schwarz eşitsizliği elde edilir. Buradaki u,v
spacelike vektörleri arasındaki açı u , v = u v cos θ ile verilebilir.
Bu bölümü time-like yönelim tanımıyla bitirelim. Öncelikle herhangi bir vektör
uzayında yönelim kavramını hatırlayalım. Bunun için, R 3 ün B ve B ′ bazlarının
değişim matrisinin determinantının pozitif olduğu, BRB ′ ile verilen R denklik
bağıntısını gözönüne alalım. R 3 ün yönelimleri olarak adlandırılan tam olarak iki
denklik sınıfı vardır. Bunlardan herhangi biri sabitlenirse R 3 bu yönelim ile
yönlendirilmiştir denir. Tam olarak R 3 yönlendirilmiş denildiğinde bunun anlamı
(R 3 , [B]) sıralı çiftidir. Böyle bir durumda
B ′ herhangi bir baz olmak üzere eğer
B ′ ∈ [B ] ise pozitif yönlü, aksi halde negatif yönlü denir.
12
R 3 metrik uzay olarak değil, vektör uzayı olarak tanımlandığından, Minkowski
uzayında yani E13 ’de, tekrar yönelimden bahsetmeye gerek yoktur. Tanıtılmak istenen
time-like yönelim, Lorentz metriği kullanıldığı için metrik bir kavramdır.
E13 de bütün ortonormal bazların kümesi ß yı gözönüne alalım. Eğer e3 ve e3′ aynı
time-like koni içindeyse yani e3 , e3′ < 0 ise B ~ B ′ ile denklik bağıntısı tanımlanır.
Time-like yönelimler olarak adlandırılan iki adet denklik sınıfı vardır. Dahası, herbir
denklik sınıfı; unik bir time-like koniyi belirler, diğer taraftan, bir time-like koni
verildiğinde, öyle bir unik time-like yönelim vardır ki bu yönelime ait olan tüm bazların
son vektörleri bu tür bir time-like koni içerisinde yer alır.
(
)
Yönelim sabitlendiğinde diğer bir deyişle bazı B ler için R 3 , [B ] sıralı ikilisi
gözönünde bulundurulduğunda E13 time-like yönlendirilmiştir denir.
Tanım 1.2.4.
E3 = (0,0,1) olsun. v time-like bir vektör olmak üzere, v ∈ C ( E3 ) ise, v, E3 < 0
yani v ileri-yönlenmiştir, v ∈ C (− E3 ) ise
v, E3 > 0 yani v geri-yönlenmiştir.
v = (v1 , v 2 , v3 ) vektörü v3 > 0 ise ileri yönlenmiş demeye eşdeğerdir. Her zaman E13
(
)
time-like koni C ( E3 ) ile yönlendirilir, yani, E13 , [Bu ] dir. Bu R 3 ün doğal bazıdır.
1.3 Lorentz Vektör Çarpımı
Vektör çarpımının tanımı, Öklid sistemindeki ile aynıdır.
Tanım 1.3.1.
u , v ∈ E13 ise; u ve v’nin Lorentz vektör çarpımı u × v ile gösterilen tek bir
vektörle tanımlanır.
13
Bu da şu eşitliği sağlar:
u × v, w = det (u , v, w)
(1.2)
u, v ve w vektörlerinin koordinatlarını kolonlara koyarak elde edilen matrisin
determinantı det(u , v, w) ile gösterilir.
Doğal bazın vektörlerinin bir tanesi w yerine konursa;
i
j
u × v = u1 u 2
v1 v2
−k
u3
v3
(1.3)
şu sonuca varılır.
Metriğin bilineerliği vektörün unikliğini ve varlığını garantiler. Böylece; Öklid
çarpımı u ×ε v ile gösterilirse, u × v vektörü u ×ε v nin
{z = 0}
düzlemine göre
yansıması olur.
Teorem 1.3.2.
Vektör çarpımı aşağıdaki özellikleri sağlar:
1. u × v = −v × u
2. u × v ; u ve v ye ortogonaldir.
3. u × v = 0 ancak ve ancak {u , v} orantılı ise sağlanır.
4. u × v ≠ 0 vektörü, ancak ve ancak P light-like olursa P =< u , v > düzleminde yer
alır.
14
1.4 E 13 Đzometrileri
Bu bölümde E 13 Minkowski uzayının izometrileri üzerinde durulacaktır. E13 ‘ün
bütün vektör izometrilerinin kümesini O1 (3) ile gösterelim. B ve B ′ iki ortonormal
baz ise, A koordinat değişimi matrisi; At GA = G eşitliğini sağlar. Bu;
O1 (3) = { A ∈ Gl (3, R); At GA = G } demektir.
Özellikle det( A) = ±1 dir. Bu da O1 (3) ün en azından iki bağlantılı öğesi olduğu
anlamına gelir. SO1 (3) ile determinantı 1 olan izometrilerin kümesini gösterilir. Bu
kümeye Özel Lorentz Grubu denir. Bu grup R 3 ün yönelimi kavramı ile ilgili olarak
ortaya çıkar. Tam olarak; doğal baz ile verilen yön sabitlenirse ve B ortonormal bazı
ancak ve ancak pozitif yönlendirilmiş ise B ∈ SO1 (3) demektir.
O1+ (3) = { A ∈ O1 (3); A timelike yönlüdür} şeklinde tanımlanan gruba Ortokron
grup denir. Verilen bir B ortonormal bazı ileri-yönelimli ise ve B ′ = AB sonucunda
elde edilen baz da ileri-yönelimli olursa A ‘ya time-like-yönelimli denir. Ortokron
grubun başka bir tanımı da O1+ (3) = { A ∈ O1 (3) ⇔ a33 > 0} şeklindedir. O1+ (3) kümesi
iki bileşeni olan bir gruptur. Bunlardan bir tanesi O1+ (3) ∩ SO1 (3) bir diğeri ise
O1+ (3) − O1+ (3) ∩ SO1 (3) dir.
Biz;
O1+ + (3) = SO1 (3) ∩ O1+ (3) = {A ∈ O1 (3); det( A) = 1,
A timelike yönlüdür}
şeklinde tanımlanan ve Özel Lorentz Ortokron grubu olarak isimlendirilen grupla
ilgileneceğiz. I ∈ O1+ + (3) dir. Topolojik bakımdan O1+ + (3) kompakt bir küme değildir.
Örneğin;
1

0
0 



0 cosh(t ) sinh(t ) ; t ∈ R 
0 sinh(t ) cosh(t )




alt kümesi sınırlı değildir.
15
Teorem 1.4.1
O1 (3) ün bağlı bileşenleri;
1. O1+ + (3) ,
2. O1+ − (3) = { A ∈ SO1 (3); a33 < 0} ,
3. O1− + (3) = { A ∈ O1+ (3); det( A) = −1} ,
4. O1− − (3) = { A ∈ O1 (3); det( A) = −1, a33 < 0} dir.
Eğer T1 =diag[1,1,-1] ve T2 =diag[1,-1,1] ile verilen izometriler ise, son üç bileşen
sırasıyla T1.T2 .O1+ + (3), T2 .O1+ + (3), T1.O1+ + (3) şeklinde ifade edilebilir.
E13 ün rijid hareketleri, bir vektör izometrisi ve E13 ün bir dönüşümünün
birleşimidir. Bundan sonra iki boyutlu E12 Lorentz-Minkowski uzayının izometrileri
üzerinde duralım. Bu sayede time-like yönelimi sağlayan veya sağlamayan izometrilerin
ayırt edilmesinin sebebi anlaşılır.
a b 
A=
 şeklinde verilmiş bir matris olsun.
c d 
A ∈ O1 (2) ise At GA = G olmalı;
a c  1 0  a b  1 0 
b d  0 − 1  c d  = 0 − 1



 

Bu matris çarpımından;
a 2 − c 2 = 1 : ab − cd = 0 : d 2 − b 2 = 1
eşitlikleri ortaya çıkar. Bu üç eşitliğin çözümlenmesinden dört ihtimal ortaya çıkar.
16
1. a = cosh(t ) ve c = sinh(t )
d = cosh(s ) ve b = sinh( s) ⇒ s = t
2. a = cosh(t ) ve c = sinh(t )
d = − cosh(s) ve b = sinh( s ) ⇒ s = −t
3. a = − cosh(t ) ve c = sinh(t )
d = cosh(s ) ve b = sinh( s) ⇒ s = −t
4. a = − cosh(t ) ve c = sinh(t )
d = − cosh(s) ve b = sinh( s ) ⇒ s = t
Sonuç olarak, dört çeşit izometri elde edilmiş olur. Yukarıdaki sıraya göre
izometriler şu şekilde sıralanır:
sinh(t ) 
 cosh(t ) sinh(t )   cosh(t )

, 

 sinh(t ) cosh(t )   − sinh(t ) − cosh(t ) 
 − cosh(t ) sinh(t )   − cosh(t ) sinh(t ) 

, 

 − sinh(t ) cosh(t )   sinh(t ) − cosh(t ) 
Bu
matrislerin
her
biri
sırasıyla
Teorem
1.4.1
deki
gösterim
ile,
O1+ + (2), O1− − (2), O1− + (2), O1+ − (2) kümelerine aittir. Bu izometriler ile E 2 (= R 2 ) nin
izometrileri arasındaki farkın ne olduğu görülebilir. At GA = G eşitliğini kullanarak,
x 2 + y 2 = 1 tipinde eşitlikler bulunur, bunun da çözümü x = cos θ ve y = sin θ
şeklindedir. Bu durum x 2 − y 2 = 1 durumundan farklıdır, burada x değerinin pozitif mi
negatif mi olduğuna bakmak gerekir.
Sabit bir L doğrusu bırakan, O1+ + (3) izometrilerine boost denir. Bu tip izometriler,
L’nin nedensel karakterine bağlı olarak, üç çeşide ayrılır.
1. L time-like’dır. L =< E3 > olsun.
A.E3 = E3
 a11 a12
⇒ a 21 a 22
 a31 a32
a13  0 0
a 23  0 = 0
a33  1 1
Buradan a13 = a 23 = 0, a33 = 1 olur.
17
 a11
G = A GA = G ⇒ a12
a13
t
a 21
a 22
a 23
a31  1 0 0   a11 a12
a32  0 1 0  a 21 a 22
a33  0 0 − 1 a31 a32
a13  1 0 0 
a 23  = 0 1 0 
a33  0 0 − 1
Buradan;
2
2
2
2
a31 = a32 = 0 : a11
+ a 21
= 1 : a11a12 + a 21a 22 = 0 : a12
+ a 22
=1
denklemleri çıkar. Denklemlerin çözümü yapılırsa A matrisi;
cos θ
A =  sin θ
 0
− sin θ
cos θ
0
0
0
1
gibi olur.
2. L space-like’dır. L =< E1 > olsun.
0
1

A = 0 cosh ϕ
0 sinh ϕ
0 
sinh ϕ 
cosh ϕ 
olur.
3. L light-like’dır. L =< E 2 + E3 > olsun.

 1
θ

θ2
A = − θ 1 −

2

θ2
− θ −
2


−θ 

θ2 
2 
θ2
1+

2 
olur.
Son olarak sıklıkla kullandığımız düzlemsel eğrilerden birini inceleyelim. Bu eğriler
tam olarak Öklid sistemindeki dairelerle aynı şekilde hareket ederler. Öklid dairesini
tanımlamanın bir yolu şudur:
18
G, L doğrusunu bırakan rotasyonların bir grubu ve p 0 ∉ L olsun. { A ⋅ p 0 ; A ∈ G}
kümesi, p0 noktasını içeren L’ye ortogonal düzlemde yer alan bir dairedir.
E13 Minkowski uzayında, doğrunun nedensel karakterine bağlı olarak, üç duruma
bakmak gerekir. G; L’ye ait boostların grubu olsun ve p0 ∉ L olsun. E13 ün bir
izometrisinden sonra, L aşağıdaki üç durumdan birine dahildir:
1. L time-like’dır. L =< E3 > olsun.

cos θ

G = Tθ =  sin θ

 0

− sin θ
cos θ
0

0


0; θ ∈ R 

1

Şimdi G grubuna göre bir p0 noktasının yörüngesine bakalım.
cos θ
 sin θ

 0
− sin θ
cos θ
0
0   x0   x 
0  y 0  =  y 
1   z 0   z 
Matris çarpımı yapılırsa;
x0 cos θ − y 0 sin θ = x
x0 sin θ + y 0 cos θ = y
z0 = z
çıkar. Đlk iki eşitliğin kareleri alınıp; taraf tarafa toplanırsa; x 2 + y 2 = x02 + y 02
sonucuna ulaşılır. Bu, {z = z 0 } düzleminde ve
x02 + y 02 yarıçaplı bir dairedir.
2. L space-like’dır. L =< E1 > olsun.

0
1


G = Tϕ = 0 cosh ϕ

0 sinh ϕ



sinh ϕ  
cosh ϕ  
0
p0 ‘ın yörüngesi y 2 − x 2 = y 02 − z 02 hiperbolünün, {x = x0 } düzleminde bir koludur.
19
3. L light-like’dır. L =< E 2 + E3 > olsun.



 1
θ


θ2

G = Tθ =  − θ 1 −

2


θ2

θ

−
−


2




−θ

2 
θ 

;θ ∈ R 
2 

θ2


1+

2 
Tθ ( E1 ) = E1 − θ ( E 2 + E3 ) olduğuna göre, G’nin < E1 , E 2 + E3 > düzlemini sabit
bıraktığı görülebilir. v, E 2 + E3 = 1 olacak şekilde E1 e ortogonal unik bir light-like
vektör v’yi alalım. Bu durumda, v = E 2 − E3 olur ve P = E1 , E 2 − E3 düzlemi göz
önüne alalım. A bir izometri olduğuna göre
A( E1 ) = E1 − θ ( E2 + E3 )
ve
A( E 2 − E3 ) light-like vektörü,
A( E 2 + E3 ) = E 2 + E3
‘e
ortogonaldir.
Buradan
v = E 2 − E3 olduğu görülür. A( P) = P demektir. {Tθ ( p 0 ) θ ∈ R} kümesi p 0 ∈ P iken,
P düzlemi içinde yer alan bir paraboldür, ve ekseni p0 boyunca E 2 − E3 e paraleldir.
(
Tθ ( x, y, z ) = x + 2 yθ , y − xθ − yθ 2 ,− y − xθ − yθ 2
olursa, Y = y +
) X = x + 2 yθ ve Y = y − xθ − yθ 2
x2
1 2
+
X ilişkisi elde edilir.
4y 4y
Şekil 1.3: Boostların etkisiyle şekillenen bir nokta yörüngesi. Solda bir hiperbol, sağda
ise parabol elde edildiği görülür.
20
Tam olarak yukarıdaki düzlemlerde yer aldıklarında, bu yörüngelerin daire, hipebol
ve parabol oldukları görülür. Örneğin, L =< (0,1,2) > time-like doğrusuna göre olan
rotasyonlar dikkate alınırsa; bir noktanın yörüngesi
P =< e1 (1,0,0),e 2 (0,2,1) >
düzlemine paralel bir düzlemde yer alan q + cos(t )e1 + sin(t )e2 yani afin bir elipstir.
Diğer durumlarda; sırasıyla afin hiperboller ve paraboller elde edilir.
21
2. BÖLÜM : MĐNKOWSKĐ UZAYINDA EĞRĐLER
Bu bölümde E13 deki eğriler için Frenet üçyüzlüsünün teorisi geliştirilecektir. Bu
bağlamda; Öklid ortamında neler olduğuna benzer sorular irdelenecektir. Örneğin;
eğriliği sabit olan bütün düzlemsel eğriler bulunacaktır. Ayrıca; bütün helisler ve
Bertrand eğrileri üzerinde durulacaktır.
I aralığı R de bir açık aralık olmak üzere; regüler bir α : I → R 3 eğrisi türevlenebilir
olsun. I ile ilgili olarak gözönünde bulundurulması gereken husus, α nın, uyarlanmış
metriği türevlenebilir geometrik kavrama dönüştürmesidir. Yapılması gereken E13 deki
Öklid eğrileri için yapılması gerekenle aynıdır. Bununla beraber; E13 de bir doğruya
sahip olabilen farklı nedensel karakterler bu incelemeyi daha da zorlaştıracaktır. Çünkü
her bir nedensel karakterin ayrıca değerlendirilmesi gerekmektedir.
Bu bölümde I; 0 ∈ I olacak şekilde bir açık aralık olsun. α : I ⊂ R → E13 nin
türevlenebilirliği tanımlanacaktır.
2.1 Parametrize Eğriler
Tanım 2.1.1.
α , E13 de bir eğri olsun. α ′(t ) space-like (sır. time-like,light-like) bir vektör ise, α
eğrisi t noktasında space-like’dir (sır. time-like,light-like) denir. α eğrisi ∀t ∈ I için
space-like (sır. time-like,light-like) ise α space-like’tır (sır. time-like,light-like) denir.
Eğri örneklerini göstermeden önce; genelde E13 ‘deki herhangi bir eğrinin yukarıdaki
tiplerden biri olmadığına dikkat etmek gerekir. Tabii ki, her t ∈ I için, α ′(t ) space-like,
time-like veya light-like olacaktır ama bu özellik her I aralığında geçerli olmaz.
22
(
)
Örneğin; α (t ) = cosh (t ), t 2 , sinh (t ) eğrisi düşünülürse; α ′(t ), α ′(t ) = 4t 2 − 1 elde
edilir. Böylelikle, eğri;
(− ∞,−1 2) ∪ (1 2 , ∞ ) aralığında space-like,
(1 2 ,1 2) aralığında time-like,
{1 2 ,1 2} noktalarında ise light-like’dir.
Space-like (veya time-like) koşulunun açık bir özellik olduğunu da burada
vurgulamak gerekir, yani, α : t 0 ∈ I noktasında space-like (veya time-like) iken, α ‘nın
aynı nedensel karaktere sahip olduğu (t 0 − δ , t 0 + δ ) aralığı vardır. t 0 ∈ I noktasında,
α ′(t 0 ), α ′(t 0 ) > 0 (< 0) ise, eğrinin sürekliliği t 0 civarında α ′(t 0 ), α ′(t ) > 0 (< 0)
olan bir aralığın varlığını gösterir.
Nedensel karakterin tanımını doğrulamanın bir yolu da şu şekildedir.
α : I → E13 türevlenebilir bir eğri olsun. ∀t ∈ I için
(dα )t : Tt I ≡ R → Tα (t )E13 ≡ R 3
ile gösterilen diferansiyel eşlemi gözönüne alalım. Bu;
(dα )t (s ) =
d
α (t + su ) = s.α ′(t ) veya (dα )t = α ′(t )
du |u = 0
∂
dir. Şimdi; (dα )t   = α ′(t ) olduğunu inceleyelim.
 ∂t 
α* ,
t
(m, n ) = (dα )t (m ), (dα )t (n )
>= mn α ′(t ), α ′(t ) ile tanımlanan R = Tt I da α
daki uyarlanmış metrik α * , yi gözönüne alalım.
∂
ile tanımlanan Tt I daki doğal
∂t
∂ ∂
baz gözönüne alınırsa, α * , t  ,  = α ′(t ), α ′(t ) olur.
 ∂t ∂t 
23
(Tt I ,α * , ) bir boyutlu metrik uzaydır. α nın t noktasındaki nedensel karakteri
(Tt I ,α * , ) metrik uzayının nedensel karakteri ile aynıdır. Yani;
α eğrisi t noktasında;
Uzay pozitif tanımlıysa, veya α ′(t ) = 0 ise space-like,
Uzay negatif tanımlıysa, time-like,
Uzay dejenere ise light-like olduğunu söylenir.
t 0 ∈ I noktasında α ' (t 0 ) ≠ 0 ise α eğrisi t 0 noktasında regüler denir. I açık
aralığında her bir t 0 için α ' (t 0 ) ≠ 0 ise o eğriye regüler denir.
E13 ’deki düzlemsel eğrilerden, yani, R 3 ’ün afin bir düzlemindeki eğrilerden, bazı
örnekler verelim. p, v ∈ R 3 ve r > 0 olsun.
1. α (t ) = p + tv doğrusu v ile aynı nedensel karaktere sahiptir.
2. α (t ) = p + r (cos(t ), sin (t ),0 ) dairesi space-like bir düzlemde space-like bir eğridir.
3. α (t ) = p + r (0, sinh (t ), cosh(t )) hiperbolü time-like bir düzlemde space-like’tır.
4. α (t ) = p + r (0, cosh(t ), sinh (t )) hiperbolü time-like bir düzlemde time-like’tır
Şimdi de düzlemsel eğrilerin örneklerini görelim:
1. α (t ) = (cos(t ), sin (t ), at ) a ≠ 0 helisi. Bu eğri bir Öklid helisidir.
2. α (t ) = (at , sinh (t ), cosh (t )) a ≠ 0
3. α (t ) = (at , cosh (t ), sinh (t )) a ≠ 0
Minkowski uzayındaki bir eğrinin nedensel karakteri eğrilerin regülerliği ve
topolojisi üzerinde etkilidir.
24
Teorem 2.1.2
Herhangi bir time-like veya light-like eğri regülerdir
Đspat:
α eğrisi time-like olsun. α (t ) = ( x(t ), y (t ), z (t )) yazalım. x,y,z fonksiyonları t’ye gore
türevlenebilir olsun. α ' (t ), α ' (t ) = x' (t )2 + y ' (t )2 − z ' (t )2 < 0 özellikle z ′(t ) ≠ 0 dır. Bu
da α eğrisinin regüler olduğu anlamına gelir.
α eğrisi light-like ise yine z ′(t ) ≠ 0 dır. Dolayısıyla eğri regülerdir. Çünkü z ′(t ) = 0
olsaydı x ′(t ) = y ′(t ) = 0 olurdu ve α ′(t ) = 0 olurdu. Bu ise eğrinin space-like olduğunu
gösterirdi.
Đspatın sonucu olarak t 0 civarlarında herhangi bir time-like veya light-like eğri lokal
olarak f ve g gibi düzgün fonksiyonlar için şu şekilde yazılabilir:
α (t ) = ( f (t ), g (t ), t ), t ∈ (t 0 − δ , t 0 + δ )
Space-like bir eğri için t 0 ∈ I ; δ > 0 şöyle ki;
α (t ) = ( f (t ), t , g (t )) veya α (t ) = (t , f (t ), g (t )) sonucuna varılır.
Nedensel karakter ile ilgili bir sonuçta şu şekildedir.
Teorem 2.1.3
α eğrisi E13 de P afin düzleminde yer alan kapalı bir eğri olsun.
1. α eğrisi space-like ise P space-like bir düzlemdir.
2. Eğri time-like veya light-like değildir.
25
Đspat:
1. Genelliği bozmadan P düzlemini bir vektör düzlemi kabul edelim ve
P = E 2 , E3
time-like düzlemini gözönüne alalım. Bu durumda α (t ) = (0, y (t ), z (t ))
olur. y : R → R olarak verilen eşlem t 0 a yakın bir noktada maksimuma ulaşır. Bu
durumda y ′(t 0 ) = 0 olur ve α ' (t ) = (0,0, z ' (t )) time-like bir vektördür.
P = E1 , E 2 + E3 light-like düzlemini gözönüne alalım. α (t ) = ( x(t ), y (t ), y (t )) olur.
t0 ,
x(t )
fonksiyonunun
maksimum
noktası
olsun.
Bu
durumda;
α ' (t 0 ) = (0, y ' (t 0 ), y ' (t 0 )) light-like bir vektördür: Çelişki, buradan P düzleminin spacelike olduğu ortaya çıkar.
2. α time-like bir eğri olsun. Bu durumda; space-like veya light-like düzlemlerde
time-like vektörler olmadığına göre, düzlem time-like olmak zorundadır. P = E 2 , E3
ise,
z (t )
fonksiyonunun maksimuma ulaştığı
t0
noktası α ' (t 0 ) = (0, y ' (t 0 ),0 )
denklemini sağlar: bu vektör space-like’dır. Bu bir çelişkidir. Benzer mantık light-like
eğriler için de yürütülebilir.
Sonuç 2.1.4
E13 ‘de time-like veya light-like olan kapalı eğriler yoktur.
Space-like olmayan düzlemlerde (kapalı olmayan) space-like olan eğrilerin olduğu
görülebilir. Örneğin α (s ) = (0, sinh (s ), cosh (s )) eğrisi, E 2 , E3
space-like bir eğridir. Benzer şekilde;
(
E1 , E 2 + E3
time-like düzleminde
light-like düzleminde yer alan
)
α (s ) = s, s 2 , s 2 eğrisi ise space-like’dır.
Buradan itibaren bahsedilen eğrilerin regüler olduğu kabul edilmiştir.
26
Lemma 2.1.5
α eğrisi space-like veya time-like olsun. Bu durumda α ′(s ) = 1 olacak şekilde bir
parametre değişimi vardır. Tam olarak; verilen bir t 0 noktasında δ ,∈> 0 ve
Φ : (− ∈,∈) → (t o − δ , t o + δ ) diffeomorfizmi vardır öyle ki β = α o Φ ile verilen
β : (− ∈,∈) → E13 eğrisi β ′(s ) = 1 özelliğini sağlar. Böyle bir durumda eğrinin yay
uzunluğu parametrelendirilmiştir denir.
Đspat:
Time-like eğriler için ispat yapılırasa; S : I → R eşlemini şu şekilde tanımlanır.
S (t ) = − ∫
t
t0
α ′(u ), α ′(u ) du
S ′(t 0 ) > 0 olduğundan, S : t = t 0 noktası civarında lokal bir diffeomorfizmdir.
Çünkü S (t 0 ) = 0 dır ve δ ,∈> 0 vardır S : (− ∈,∈) → (t o − δ , t o + δ ) diffeomorfizmdir.
Aranan eşlem Φ = S −1 dir.
Light-like eğriler için, α ′(t ) vektörü light-like’dir ve yay uzunluğunu tekrar
paremetrelerle ifade etmek işe yaramaz. Ama α ′(t ), α ′(t ) = 0 , ifadesinin türevi alınırsa
α ′′(t ), α ′(t ) = 0 eşitliği elde edilir. Farzedelim ki; α ′′(t ) ≠ 0 olsun. α ′′(t ) space-like bir
vektördür ve α ′′(t ) = 1 i elde etmek için α parametrelerle ifade edilebilir.
Lemma 2.1.6
α eğrisi E13 de light-like bir eğri olsun. Verilen β (s ) = α (Φ(s )),
β ′′(s ) = 1 ile α
eğrisinin yeniden parametrizesi vardır. α yay-uzunluğu rastgele-parametrizedir denir.
Đspat:
β (s ) = α (Φ(s )) , Φ bilinmeyen fonksiyondur. Bu ifadenin iki kez türevi alınırsa;
β ′′(s ) = Φ ′′(s )α ′(t ) + Φ ′(s )2 α ′′(t ) olur. Bu durumda; β ′′(s ), β ′′(s ) = Φ ′(s )4 | α ′′(t ) | 2 dir.
Böylece; Φ fonksiyonu; Φ ′(s ) =
çözümü olacak şekilde tanımlanır.
1
| α ′′(Φ(s )) |
, Φ(0 ) = t 0 diferansiyel denkleminin
27
2.2 Eğrilik ve Burulma
Bu bölüm bu konu için anahtar konumundadır. Regüler bir eğri verildiğinde; eğrinin
herhangi bir noktası için eğrinin geometrisini tanımlamak için gereken ortonormal baz
Frenet üçyüzlüsüyle ifade edilir. Bu bazın eğri boyunca değişimi, eğrinin ortam
uzayında nasıl deforme olduğu hakkında bilgi verir.
Eğrilerin en basit şekli doğrudur. p ∈ E13 ve v ≠ 0 iken, p noktası boyunca, v
vektörü yönündeki doğru α (t ) = p + tv şeklinde parametrelerle ifade edilir ve α ′′(s ) = 0
olur. Đvmenin katsayısı sıfırdır, doğrunun eğriliğinin sıfır olduğu söylenir.
Diğer taraftan, α eğrisi, herhangi bir s noktasında α ′′(s ) = 0 şartını sağlayan regüler
bir eğri olsun. Bazı v ≠ 0 vektörleri ve α (s ) = p + sv için α ′(s ) = v şartını sağlar. Bu da
α nın p noktasından geçen v vektörü yönündeki bir doğruyu parametrize ettiğini
gösterir. R 3 ‘de bir doğru verildiğinde, bu doğru başka parametrelerle de ifade
edilebilir. Örneğin α (s ) = s 3 E1 doğrusu < E1 > in parametrelerle ifade edilmesidir ve
α ′′(s ) = 0 eşitliğini sağlamaz.
Yay-uzunluğu veya sahte-yay-uzunluğu parametreleriyle ifade edilen regüler bir
eğri düşünelim. T (s ) = α ′(s ) vektörüne s noktasındaki teğet vektörü denir. Özellikle,
T (s ), T ' (s ) = 0 olur. T ′(s ) ≠ 0 olduğu ve her s noktası için T ′(s ) nin T (s ) e orantılı
olmadığı varsayılır. Bu da eğrinin doğru olmasını engeller.
Şimdi nedensel karakterlerine göre eğrilerin eğrilik burulma ve Frenet denklemlerini
bulalım.
2.2.1 Time-like durum
α eğrisi time-like bir eğri olsun. T ′(s ) ≠ 0 space-like vektörü, T (s ) den bağımsız
bir vektördür. α eğrisinin s noktasında eğriliği κ (s ) = T ′(s ) olarak tanımlanır.
N (s ) =
T ′(s ) α ′′(s )
=
ile Normal vektörü, B(s ) = T (s ) × N (s ) ile Binormal vektörü
κ (s ) α ′′(s )
tanımlanır. Buradan κ (s ) = T ′(s ), N (s ) yazılabilir.
28
B(s ) birim vektördür ve space-like’dır. Her s için, {T , N , B} E13 ün ortonormal bir
bazıdır ve buna α ’nın Frenet üç yüzlüsü denir. α nın s noktasındaki burulması
τ (s ) = N ′(s ), B(s ) şeklinde tanımlanır:
Frenet vektörlerinin türevlerinin, aynı Frenet bazına bağlı olarak ifade edilmesiyle
Frenet denklemleri elde edilir. Yani; T time-like, N ve B space-like vektörlerdir.
N ′ = aT + bN + cB
< N ′.T >= a < T , T > +b < N , T > + c < B, T >= −a
< N , T >′=< N ′, T > + < N , T ′ > ⇒ 0 = −a + < N , κN > ⇒ a = κ
< N ′.N >= a < T , N > +b < N , N > + c < B, N > ⇒ b = 0
< N ′.B >= a < T , B > +b < N , B > + c < B, B > ⇒ τ = c
N ′ = κT + τB
B ′ = aT + bN + cB
< B ′.T >= a < T , T > +b < N , T > +c < B, T >= −a
< B, T >′=< B, T ′ > + < B ′.T > ⇒ 0 = − a + < B, κN > ⇒ a = 0
< B ′, N >= a < T , N > +b < N , N > + c < B, N >, ⇒ b = −τ
< B ′, B >= a < T , B > +b < N , B > +c < B, B >, ⇒ c = 0
B ′ = −τN
 T '   0 κ 0  T 
  
 
Frenet denklemleri  N '  =  κ 0 τ  N  olur.
 B'   0 − τ 0  B 
  
 
2.2.2 Space-like durum
α space-like bir eğri olsun. T ′(s) in nedensel karakterine bağlı olarak üç olasılık
vardır:
1. T ′(s) vektörü space-like’dır.
κ ( s) =| T ′( s ) | , N ( s ) =
T ' (s)
ve B( s) = T ( s ) × N ( s )
κ ( s)
olarak yazılır. α nın burulması τ ( s ) = − N ' ( s), B( s ) ile tanımlanır.
29
T ve N space-like ve B ise time-like vektörlerdir.
N ′ = aT + bN + cB
< N ′.T >= a < T , T > +b < N , T > +c < B, T >= a
< N , T >′=< N ′, T > + < N , T ′ > 0 = a + < N , κN > ⇒ a = −κ
< N ′.N >= a < T , N > +b < N , N > + c < B, N >, ⇒ b = 0
< N ′.B >= a < T , B > +b < N , B > +c < B, B >, ⇒ τ = c
N ′ = −κT + τB
B ′ = aT + bN + cB
< B ′.T >= a < T , T > +b < N , T > + c < B, T >= a
< B, T >′=< B ′, T > + < B, T ′ > 0 = a + < B, κN > ⇒ a = 0
< B ′, N >= a < T , N > +b < N , N > +c < B, N > ⇒ b = τ
< B ′, B >= a < T , B > +b < N , B > +c < B, B > ⇒ c = 0
B ′ = τN
T'  0
  
Frenet denklemleri  N '  =  − κ
 B'   0
  
κ 0  T 
 
0 τ  N  olur.
τ 0  B 
2. T ′(s) vektörü time-like’dır.
κ ( s) = − < T ' ( s ), T ' ( s) > olduğunda N ( s ) =
T ' (s)
, B( s) = T ( s) × N ( s ) dir.
κ ( s)
α nın burulması τ ( s ) = N ' ( s ), B( s ) ile tanımlanır.
T space − like, N time − like ve B space − like vektörlerdir
N ′ = aT + bN + cB
< N ′.T >= a < T , T > +b < N , T > +c < B, T >= a
< N , T >′=< N ′, T > + < N , T ′ >= 0 ⇒ 0 = a + < N , κN > ⇒ a = κ
< N ′.N >= a < T , N > +b < N , N > +c < B, N > ⇒ b = 0
< N ′.B >= a < T , B > +b < N , B > +c < B, B > ⇒ τ = c
N ′ = κT + τB
30
B ′ = aT + bN + cB
< B ′.T >= a < T , T > +b < N , T > + c < B, T >= a
< B, T > ′=< B ′, T > + < B, T ′ > ⇒ 0 = a + < B, κN > ⇒ a = 0
< B ′, N >= a < T , N > +b < N , N > +c < B, N > ⇒ b = τ
< B ′, B >= a < T , B > +b < N , B > +c < B, B > ⇒ c = 0
B ′ = τN
Frenet denklemleri;
 T '   0 κ 0  T 
 
  
 N '  =  κ 0 τ  N 
 B'   0 τ 0  B 
 
  
olur.
3. T ′(s ) herhangi bir s için light-like’dır.
( T ′(s ) ≠ 0 olduğunu ve T (s ) ile orantılı olmadığını anımsayalım). Normal vektör;
N (s ) = T ′(s ) dir ve T (s ) ile lineer bağımsızdır. B unik (tek türlü) bir light-like vektör
olsun öyle ki N , B = 1 olup T’ye ortogonal olsun. B(s ) vektörü s noktasında α nın
binormal bir vektörüdür. T space-like, N light-like ve B light –like vektörlerdir.
N ′ = aT + bN + cB
< N ′.T >= a < T , T > +b < N , T > +c < B, T >= a
< N , T >′=< N ′, T > + < N , T ′ > ⇒ 0 = a + < N , κN > ⇒ a = 0
< N ′.N >= a < T , N > +b < N , N > +c < B, N > ⇒ c = 0
< N ′.B >= a < T , B > +b < N , B > +c < B, B > ⇒ τ = b
N ′ = τN
B ′ = aT + bN + cB
< B ′.T >= a < T , T > +b < N , T > +c < B, T >= a
< B, T >′=< B ′, T > + < B, T ′ > ⇒ 0 = a + < B, N > ⇒ a = −1
< B ′, N >= a < T , N > +b < N , N > + c < B, N > ⇒ c = −τ
< B ′, B >= a < T , B > +b < N , B > + c < B, B > ⇒ b = 0
B ′ = −T − τB
31
Frenet denklemleri;
 T '   0 1 0  T 
 
  
 N '  =  0 τ 0  N 
 B'   − 1 0 − τ  B 
 
  
olur.
τ fonksiyonuna eğrinin burulması denir. Eğrinin eğriliğinin bir tanımı yoktur.
2.2.3 Light-like durum
α sahte-yay-uzunluğu ile parametrize edilen light-like bir eğri olsun, yani, α ′′(s ) ,
space-like tipinde birim vektördür. T = α ′ teğet vektörü göz önünde bulundurulurak
normal vektörü N (s ) = T ′(s ) şeklinde tanımlanır. B binormal vektörü ise unik bir lightlike vektör olsun öyle ki T , B = 1 olup N’ye ortogonal olsun.
T light − like, N space − like ve B light − like vektörlerdir
N ′ = aT + bN + cB
< N ′.T >= a < T , T > +b < N , T > + c < B, T >= c
< N , T >′=< N ′, T > + < N , T ′ > ⇒ 0 = c + < N , N > c = −1
< N ′.N >= a < T , N > +b < N , N > + c < B, N > ⇒ b = 0
< N ′.B >= a < T , B > +b < N , B > + c < B, B > ⇒ τ = a
N ′ = τT − B
B ′ = aT + bN + cB
< B ′.T >= a < T , T > +b < N , T > +c < B, T >= c
< B, T >′=< B ′, T > + < B, T ′ > ⇒ 0 = c + < B, N > ⇒ c = 0
< B ′, N >= a < T , N > +b < N , N > +c < B, N > ⇒ b = −τ
< B ′, B >= a < T , B > +b < N , B > +c < B, B > ⇒ a = 0
B ′ = −τN
olup, Frenet vektörleri;
 T '  0 1
  
 N '  = τ 0
 B'   0 − τ
  
olur. τ fonksiyonu α nın burulmasıdır.
0  T 
 
− 1 N 
0  B 
32
α nın light-like, T ′ nün space-like olduğu durum gösterilmişti, eğrinin eğriliği
tanımlanmamıştır.
Bu bölümü eğrilerin genel teorisi üzerine bazı noktalara dikkat çekerek bitirelim.
Eğrilik kavramı ve burulmanın izometrik sabit olduğu gösterilebilir. Yani,
M : E13 → E13 , eşlemi E13 ün rijid hareketi iken β (s ) = M o α (s ) eğrisi gözönüne
alınırsa; buradan κ β (s ) = κ α (s ) ve τ β (s ) = ±τ α (s ) olur.
Benzer şekilde Öklid ortamında olduğu gibi, eğri, yay-uzunluğu parametrileri ile
ifade edilmediği durumda eğrilik ve burulmanın formülü bulunabilir. Đlk olarak; bu tip
eğriler için eğrilik ve burulmayı tanımlamamız gerekir.
β = α o α yay-uzunluğunun herhangi bir parametre ile ifade edilen şekli olsun.
κ α (t ) = κ β o Φ −1 ile eğrilik, benzer şekilde de burulma tanımlanır. Bu tanımlamanın
tekrar parametre ile ifade edilmesine bağlı olmadığı gösterilebilir. Örneğin; time-like
eğriler için aşağıdaki denklemler geçerlidir.
| α ′ |= v, T ′ = vκN , N ′ = v(κT + τB ), B ′ = −vτN
T = α ′ ⇒ α ′ = vT
v
α ′′ = v ′T + T ′v = v ′T + v 2κN
| α ′ × α ′′ |
α ′ × α ′′
⇒κ =
α ′ × α ′′ = v 3κB, ⇒ κ =
3
v B
| α ′ |3
α ′′′ = v ′′T + v ′(vκN ) + 2vv ′κN + v 2κ ′N + v 2κ (vκT + vτB )
α ′′′ = T (v ′′ + v 3κ 2 ) + N (3vv ′κ + v 2κ ′) + B(v 3κτ )
α ′ × α ′′, α ′′′ = v 6κ 2τB
τ=
α ′ × α ′′, α ′′′
(α ′ × α ′′) 2
, ⇒ τ =
det α ′, α ′′, α ′′′
| (α ′ × α ′′) |
Düzlemsel eğrilerden bahsederken, time-like eğriler için aşağıdaki sonuçlara varılır
ve bu sonuçlar Öklid düzlemsel eğrilerindeki sonuçlara benzerdir.
33
Teorem 2.2.4.
κ : I → R düzgün bir fonksiyon ve P time-like bir düzlem olsun. P düzleminde,
eğriliği κ olan unik bir space-like eğri vardır. Aynı sonuç, κ eğrilik fonksiyonu olduğu
durumda P düzleminde time-like bir eğrinin varlığını garantiler.
Đspat:
1. Genelliği kaybetmeden, P =< E1 , E3 > ve p0 = (0,0,0 ) olduğunu varsayalım.
α (0) = (0,0,0), α ′(0) = E1 ve κ α (s ) = κ (s ) eşitliğini sağlayan α space-like eğrisi
bulunabilir.
θ (s ) : I → R fonksiyonu olsun.
s
s
s
θ (s ) = ∫ κ (t )dt , ve x(s ) = ∫ cosh(θ (t ))dt , z (s ) = ∫ sinh (θ (t ))dt
0
0
0
α (s ) = ( x(s ), z (s )) aranan eğridir. Öncelikle; α (0) = (0,0 ) olur.
α ′(s ) = (cosh (θ (s )), sinh (θ (s )))
α ' ' (s ) = κ (s )(sinh (θ (s )), cosh(θ (s )))
α (s ) eğrisi α ′(s ) = (cosh (0 ), sinh (0 )) = (1,0 ) ile yay-uzunluğuna göre parametrize
edilen space-like bir eğridir. α (s ) nın eğriliği κ (s ) =| α ′′(s ) | dir.
2. Eğer E3 hızıyla başlayan time-like bir eğri aranırsa,
s
s
s
θ (s ) = ∫ κ (t )dt , ve x(s ) = ∫ sinh (θ (t ))dt , z (s ) = ∫ cosh(θ (t ))dt
0
olur.
0
0
34
2.3 Sabit Eğriliği Olan Düzlemsel Eğriler
Düzlemsel bir eğri gözönüne alalım, yani afin bir düzlemde yer alan E13 ’in bir
eğrisini düşünelim. Rijid bir hareketten sonra, bu düzlemin bir vektör düzlemi olduğu
kabul edilebilir. Bu bölümde sabit eğriliği olan düzlemsel eğriler incelenecektir.
Öncelikle Öklid düzlemindeki bir eğri Lorentz ortamına uyarlanabilir. α E 2 de, yayuzunluğu ile parametrik ifade edilmiş düzlemsel bir eğriyse ve v sabit birim yön ise,
T (s ) ve v arasındaki olan θ (s ) açısı cos(θ (s )) = T (s ), v şartını sağlar. α eğrisinin
eğriliğinin | θ ′(s ) | olduğu kanıtlanabilir.
Lorentz ortamında, açıdan bahsetmek gerekli olduğu halde, bu sonuç genişletilemez.
Bu sadece time-like eğriler için yapılabilir.
Teorem 2.3.1.
α yay-uzunluğu ile parametrik ifade edilmiş time-like bir düzlemde yer alan timelike bir eğri ve v ileriyi gösteren düzlemin birim sabit vektörü olmak üzere; Φ (s ) , T (s )
ve v arasındaki hiperbolik açı olsun. κ (s ) =| Φ ′(s ) | olur.
Đspat:
Genellemeyi kaybetmeden
P =< E 2 , E3 >
ve
v = (0, v2 , v3 ) ,
v3 > 0 . Şunu
anımsanırsa;
− cosh Φ(s ) = T (s ), v
Bu ifadenin türevi alınırsa şu elde edilir:
− Φ ′(s )sinh Φ (s ) = κ (s ) N (s ), v
{N, T } P’nin bazı olduğuna göre
v = aT + bN yazılabilir. a,b sabitlerini bulabilmek
için eşitliğin iki tarafını sırasıyla T ve N ile çarparız:
35
v, T = a T , T + b N , T ⇒ a = − v, T
v, N = a T , N + b N , N ⇒ b = v , N
v = v , N (s ) N (s ) − v , T (s ) T (s )
olarak bulunur. Bulunan eşitliğin her iki tarafı v ile çarpılırsa;
− 1 = v, N (s )
v, N (s )
2
2
− v, T (s )
2
= v , N (s )
= −1 + cosh (Φ (s ))2
2
− cosh (Φ(s ))2
⇒ v, N (s ) = ± sinh (Φ(s ))
Buradan | Φ ′(s ) |= κ (s ) sonucuna ulaşılır.
Aşağıda eğriliği sıfırdan farklı ve sabit olan düzlemsel eğriler üzerinde durulacaktır.
( eğrilik sıfır olursa, eğri doğru olur). Bu eğrilerin üzerinde çalışırken eğrilerin nedensel
karakteri ayırt edici olmalıdır. Bölüm 1 deki Eğrileri bir boost grubunun hareketleri
vasıtasıyla bir noktanın yörüngeleri olarak yeniden keşfedilebilir.
1. (Time-like durum) Eğriyi içeren düzlem time-like olmalıdır. Böylece;
P =< E 2 , E3 > olduğu kabul edilir. Böylece α (s ) = y (s )E 2 + z (s )E3 olur. Eğri yayuzunluğu ile parametrik ifade edilebildiğine göre;
α ′, α ′ = y ′(s )2 − z ′(s )2 = −1 Bu durumda;
z ′(s ) = cosh Φ (s ), y ′(s ) = sinh Φ(s ),
α nın eğriliğini şu şekilde hesaplanır:
κ (s ) =| α ′′(s ) |=| Φ ′(s ) |:= a dersek, Φ(s ) = as + b olur. Bu da şunu getirir;
y ′(s ) = sinh (as + b ) z ′(s ) = cosh(as + b )
Sonra; α (s ) =
1
(cosh(as + b )E2 + sinh (as + b )E3 )
a
Bu eğri P düzleminde bir Öklid hiperbolüdür.
36
2. (Space-like durum) Sabit eğriliği olan düzlemsel space-like eğriler bulunabilir.
(a) P =< E1 , E 2 > olduğu kabul edilirse, P üzerinde Lorentz metriği ile uyarlanmış
metrik Öklid metriği ile uyum sağlar. Böylece; eğriliğin göstergeleri her iki durumda
aynıdır. Yani α bir Öklid dairesidir.
(b) Düzlem time-like ise, {y = 0} ile verilen düzlem alınırsa, α (s ) = ( x(s ),0, z (s ))
olarak; α ′, α ′ = x ′(s )2 − z ′(s )2 = 1 yazılabilir. Böylece; θ ∈ R fonksiyonu vardır ve
şunu sağlar:
x ′(s ) = cosh(θ (s )) z ′(s ) = sinh (θ (s ))
1
a
Φ(s ) = as + b olarak düşünürsek;
1
a


α (s ) = ( x(s ), z (s )) =  sinh (as + b ), cosh (as + b ) =
1
(sinh (as + b ), cosh(as + b ))
a
Bu eğri bir Öklid hiperbolüdür.
(c) Düzlemin light-like olduğunu varsayalım. Bu durumda; bir eğrinin eğriliğinin
göstergesi yoktur. Rijid bir hareketten sonra; α eğrisini içeren düzlemin {y − z = 0}
olduğu kabul edilirse eğri α (s ) = ( x(s ), y (s ), y (s )) şeklinde yazılabilir., α yay-uzunluğu
ile parametrik ifade edilen, space-like bir eğri olduğuna göre: α ′, α ′ = x ′(s )2 = 1 .
x(s ) = s + c1 olur. T ′(s ) = (0, y ′′(s ), z ′′(s )) vektörü light-like olduğuna ve. düzlemde
tek bir light-like yön olduğuna göre; T ′(s) vektörü sabit bir vektör ile mesela,
v = (0,1,1) vektörüyle orantılıdır. Đntegral yardımı ile;
y ′′ = 1 ⇒ y ′ = s + c 2 ⇒ y =
s2
+ c 2 s + c3
2
 s2

+ c 2 s + c 3 (E 2 + E 3 )
 2



α (s ) = (s + c1 )E1 + 
 s2

= p 0 + sE1 + 
+ c 2 s (E 2 + E 3 )
 2



α , P düzleminde, ekseni light-like yöne paralel olan bir paraboldür.
37
3. (Light-like durum) α , P düzleminde yer alan light-like bir eğri olsun. P düzlemi
light-like ya da time-like olabilir.
(a) Düzlem light-like ise, P =< E1 , E 2 + E3 > olsun. α ′(s ) light-like olduğuna ve
sadece bir light-like yön olduğuna göre, bu durumda bazı türevlenebilir f fonksiyonları
için α ′(s ) = f (s )(E 2 + E3 ) olur. Böyle bir durumda; α düz bir çizgidir. Bu durumda
Frenet üç yüzlüsü dikkate alınmaz.
(b) Düzlem time-like ise, P =< E 2 , E3 > olsun. Sadece iki yön olduğuna ve her ikisi
de lineer bağımsız, yani, E 2 + E3 ve E 2 − E3 olduğuna göre ve α ′(s ) = f (s )(E 2 ± E3 )
olduğuna göre, v = 0 vektörünün light-like olmadığının kanıtı şunu gösterir: I
aralığında α ′(s ) = f (s )(E 2 + E3 ) veya α ′(s ) = f (s )(E 2 − E3 ) olur. Her durumda; eğri
düz bir çizgidir.
Buna benzer bir konu hatırlanacak olursa; α space-like ve N light-like olduğu
durumda, I aralığında τ = 0 ise eğrinin sabit bir eğriliği olduğu söylenebilir. Böylece
N ′(s ) = 0 . Đntegrasyon ile N (s ) = v nin space-like bir vektör olduğu durumda;
α ′(s ) = sv + w olur. Ama T , N = 0 olduğunda, her s için s + v, w = 0 : çelişki. Tek
olasılık v = 0 , yani, α nın düz bir çizgi olmasıdır.
Teorem 2.3.2.
E13 ün rijid bir hareketinden sonra; Öklid daireleri, hiperboller ve paraboller sabit
eğriliği(sıfır olmayan) olan düzlemsel eğrilerdir.
2.4 E13 Helisler ve Bertrand Eğrileri
Öklid uzayında; teğet doğrularının sabit yönde sabit açı yaptığı bir eğriye helis
denir. Bu yöne helisin ekseni denir. Lancret’e göre bir eğrinin helis olaması ancak ve
ancak τ
κ
nın sabit bir fonksiyon olmasıdır. Örneğin düzlemsel eğriler helistir.
Eğriliği ve burulması sabit olan helise silindirik helis denir.
38
Bu ifade Lorentz anlamında şu şekilde genişletilebilir. Vektörler arasında bir açıdan
bahsedilememesine rağmen; sabit bir v yönü için T , v fonksiyonu gözönüne alınabilir
ve bu fonksiyonun da sabit olduğu söylenebilir.
Tanım 2.4.1
E13 de helisler reguler eğrilerdir, öyle ki bazı sabit v ≠ 0 vektörleri için T (s ), v
fonksiyonu sabittir. v yönünde herhangi bir paralele de helis ekseni denir.
Eğrinin düzlemsel olmadığını düşünelim.
Teorem 2.4.2.
E13 de α eğrisi (time-like veya space-like) helis ise, τ
κ fonksiyonu sabittir.
Đspat:
Space-like ve time-like olan durumları ayıralım:
1. α space-like bir eğri olsun. Bu durumda üç olasılık vardır:
(a) T ′ space-like bir vektördür. T , v = sbt türevi alınırsa; κ N , v = 0 . Buradan,
N , v = 0 v = aT + bB olacak şekilde a, b fonksiyonları vardır. s ‘e göre türev ve
Frenet denklemlerini kullanarak şu elde edilir:
v = aT + bB
< v, T >= a ⇒< v, T ′ > + < v ′, T >= a ′ ⇒< v, κN >= a ′ = 0
< v, B >= b ⇒< v, B ′ > + < v ′, B >= b ′ ⇒< v, B >=< v,τN >= 0
a ′ = b′ = 0
v = aT + bB ⇒ v ′ = a ′T + aT ′ + b ′B + bB ′ = aκN + bτN
0 = aκ + bτ ⇒ τ = − b
κ
a
a ′ = b′ = 0, aκ + bτ = 0
sonucuna ulaşılmış olur.
(b) T ′ time-like bir vektör ise, ispat (a) dakine benzer olarak yapılır.
(c) T ′ light-like bir vektör olsun. Türev ve Frenet denklemleri ile:
39
v = aT + bB ⇒ v ′ = a ′T + a ( N ) + b′B + b(−T + τB) = 0
0 = (a ′ − b)T + aN + (b ′ − bτ ) B, bu da a = b = 0,
v=0
elde edilir ki bu çelişkidir.
2. α nın time-like olduğu durum ile α ve N nin her ikisinin space-like olduğu
durum benzerdir.
Bu teoremin tersini söylemek için, eğriliğin ve burulmanın ifadelerine ihtiyacımız
vardır. Bu nedenle;
Teorem 2.4.3.
α , time-like bir eğri olsun veya normal vektörü light-like olmayan space-like bir eğri
olsun. O zaman τ
κ sabit ise, α bir helisdir.
Đspat:
τ = cκ , c ∈ R olduğunu varsayalım. Sadece α ’nın time-like olduğu durum
incelenirse;. Vektör fonksiyonu şu şekilde tanımlanır: v(s ) = cT (s ) + B(s ) dir. Türev
alınırsa, v ′ = c ′T + cT ′ + B ′ = cκN + (−τ ) N = 0 olur. Buradan da v’nin sabit bir
fonksiyon olduğu görülür. Ayrıca; T , v = c = sabit olur, yani α bir helistir.
α , normal vektörü light-like olan space-like bir eğri olduğu durum veya α nın
light-like bir eğri olduğunda neler olduğu üzerinde düşünülebilir.
α nın normal vektörü light-like olan space-like bir eğri olduğunu düşünelim.
Herhangi bir düzlemsel eğrinin bir helis olduğunu gösterelim:
P =< E1 , E 2 + E3 > alınırsa; α ′(s ) bu düzleme ait olduğuna göre ve E 2 + E3 ∈ P ⊥
olduğuna göre; T (s ), E 2 + E3 = 0 olur.
Diğer yandan; α ,
v vektörü
T (s ), v = a eşitliğini sağlarsa, Frenet denklemleri kullanılarak,
v = aT + b(s )N (s ) şeklinde yazılabilir. Bu ifadenin türevi alınırsa,
40
b ′ + bτ + a = 0 elde edilir. Şimdi normal vektörü light-like olan space-like eğrinin helis
olduğunu görelim. b ′(s ) + b(s )τ (s ) + a = 0
denkleminin çözümü b = b(s ) olsun.
v(s ) = aT (s ) + b(s )N (s ) şeklinde tanımlanır.
v ′ = a ′T + aT ′ + b ′N + bN ′ = aN + b ′N + bτN = N (b ′ + bτ + a )
Bu fonksiyon v ′( s) = (b′ + bτ + a ) N = 0 olduğuna göre bir sabittir. Ayrıca
T , v = a , ve bu yüzden, α bir helisdir. Bu durumda; v vektörlerinin kümesi sonsuz bir
küme olduğu ortaya çıkar.
Şimdi bertrand eğrilerine bir göz atalım.
Öklid ortamında bir bertrand eğrisi öyle bir reguler eğridir ki, bu eğriyle eş
noktalarındaki teğetleri paralel olan başka bir β eğrisi vardır. β eğrisine α eş eğrisi
denir. Bu yüzden; düzlemsel eğriler Bertrand olur. τ ≠ 0 olduğu durumda, bir Bertrand
eğrisinin özelliği şu şekildedir:
α eğrisi, ancak ve ancak bazı A ve B sabitleri için Aκ + Bτ = 1 olduğu durumda bir
Bertrand eğrisidir.( Aκ + Bτ = 0 olursa, helis olur). κ ve τ nin sabit fonksiyonlar
olduğu silindirik helisler Bertrand Eğrilerine örnektir.
E13 de Bertrand eğrisinin tanımı aynı Öklid sistemindeki gibidir. Şimdi time-like
eğrileri gözönüne alalım.
Teorem 2.4.4.
α , E13 de time-like bir eğri olsun. α ’nın bir Bertrand eğrisi olaması için gerek ve
yeter şart A ve B gibi iki sabit olmak üzere; Aκ + Bτ = 1 olmasıdır.
Đspat:
“⇒” α bir Bertrand eğrisi ve β ise α nın eş eğrisi olsun. Bu durumda; β şu
şekilde parametrik ifade edilir:
41
β (s ) = α (s ) + λ (s )N (s ) Frenet denklemlerini kullanarak,
β ′(s ) = α ′(s ) + λ ′(s )N (s ) + λ (s )N ′(s )
β ′ = T + λ ′N + λ (τB + κT ) = (1 + λκ )T + λ ′N + λτB
β ′(s ) = (1 + λκ )T + λ ′N + λτB
elde edilir. Böylece; λ ′ = 0 , yani, λ sabit bir fonksiyondur.
β nin light-like bir vektör olduğunu kabul edelim. 1 + λκ = ±λτ olur ve sonuca
ulaşılır.
β nin non-dejenere eğri olduğu duruma bakalım. Örneğin, β bir space-like eğri
olsun. β nin normal yönünü bulalım. Bunun için; β yi yay-uzunluğu parametresiyle
ifade edelim.
γ (s ) = β (Φ (s )) . Bu durumda β nin normal yönü γ ′′(s ) şeklindedir. Şimdi;
γ ′(s ) = Φ ′(s )β ′(s ) ve γ ′′ = Φ ′′β ′ + Φ ′ 2 β ′′
γ ′, γ ′ = Φ ′β ′, Φ ′β ′ = 1 Φ ′ 2 β ′, β ′ = 1 ⇒ Φ ′ 2 =
1
′
β ,β′
γ ′, γ ′′ = Φ ′β ′, Φ ′′β ′ + Φ ′ 2 β ′′ = 0 Φ ′3 β ′, β ′′ + Φ ′Φ ′′ β ′, β ′ = 0
⇒ Φ ′ 2 β ′, β ′′ + Φ ′′ β ′, β ′ = 0 ⇒ Φ ′′ = −
β ′, β ′′
β ′, β ′′
=−
2
β ′, β ′ β ′, β ′
β ′, β ′
Bu durumda; γ ′′ nin α nın Frenet üç yüzlüsü cinsinden tanımı vardır. T ve B de
koordinatlar sıfırlanır.
42
Bu da şu anlama gelir:
2
(1 + λκ ) λκ (1 + λκ ) − λ ττ2
′
[λ τ
2 2
λτ
− (1 + λκ )
2
λκ ′(1 + λκ ) − λ2ττ ′
[λ τ
2 2
− (1 + λκ )
]
2 2
′
]
+
+
λκ ′
λ2τ 2 − (1 + λκ ) 2
λκ ′
λ2τ 2 − (1 + λκ ) 2
=0
=0
veya
λτ (λκ ′τ − τ ′ − λκτ ′) = 0
λ (1 + λκ )(λκ ′τ − τ ′ − λκτ ′) = 0
Bir noktada τ = 0 ise, τ ≡ 0 olur ve α düzlemsel bir eğridir. τ ≠ 0 , bu durumda,
'
κ 
1
λκ ′τ − τ ′ − λκτ ′ = 0 , bu da λ   = −  sonucunu getirir;
τ 
τ 
λκ 1
+ = b olacak şekilde bir b ∈ R gibi bir değer vardır. A = −λ ve B = b ise,
τ τ
teoremin bir kısmı ispatlanmış olur.
“⇐” A, B ∈ R
gibi
sabitler
için
Aκ + Bτ = 1
olsun.
β (s ) = α (s ) + AN (s ) şeklinde tanımlanan eğri α ‘nın eş eğrisi olur.
Bu
durumda
43
3. BÖLÜM : LAGRANGE SĐSTEMLERĐ
3.1. Lagrange Sistemleri ve Yaklaşık Tanjant Geometri
Bu bölümde; J yaklaşık tanjant yapısı kullanılarak; klasik mekanikte önemli bir yer
tutan Lagrange formülasyonu üzerinde durulacaktır.
Kabul edelim ki; M bir m-boyutlu manifold ve τ M : TM → M
kanonik
projeksiyonu ile birlikte TM, M’nin tanjant demeti olsun. TM, M konfigürasyon
manifoldunun konum-hız uzayı ve L : TM → R türevlenebilir fonksiyonu Lagrange
fonksiyonu olarak adlandırılır. TM üzerinde;
ω L = −dd J L
ile tanımlı kapalı 2-formunu göz önüne alalım. Bu durumda,
E L = CL − L
TM üzerinde L’ye birleşmiş enerji fonksiyonu olarak adlandırılır.
Teorem 3.1.1:
i J ω L = 0 ’dır.
Đspat: Aslında;
i J ω L = −i J dd J L = i J d J dL
= d J i J dL = d J2 L = 0
(dd J = −d J d )
(d J i J = i J d J )
i X ω L = dE L
(3.1.1)
eşitliğini göz önüne alındığında, o zaman (3.1.1) X üzerinde belli bir şart altında EulerLagrange hareket denklemleri veren bir denklem olduğu görülür.
44
Teorem 3.1.2:
(
)
TM üzerindeki herhangi bir q i , v i koordinat sistemi için ω L form, TM üzerinde
 ∂ 2L 
 Hessian matrisi maksimal ranka
bir simplektik formdur ancak ve ancak; 
 ∂v i ∂v j 
sahiptir.
Đspat:
ωL =
∂2 L
∂2 L
i
j
∧
+
dq
dq
dq i ∧ dv j
∂q j ∂v i
∂v i ∂v j
formunun m kez dış çarpımı;
 ∂2 L  1
m
ω L = ω L ∧...∧ω L = c det  i j  dq ∧...∧ dq m ∧ dv1 ∧...∧ dv m
 ∂v ∂v 
olup, burada c sıfır olmayan sabit fonksiyonudur. Böylece; ω L simplektik ise ancak ve
ancak ω m
L bir hacim elementidir, yani;
det(
∂2 L
∂v i ∂v j
)≠0
dır.
Eğer ω L simplektik ise, bu durumda L: TM → R lagrange fonksiyonu regüler
veya dejenere olmayan; aksi takdirde, L’nin tekil, irregüler veya dejenere olduğu
söylenebilir.
L’nin regüler olduğunu farz edelim. O zaman (3.1.1) denkleminin tek bir ξ çözümü
vardır. Yani, ω L simplektik olduğundan iξ ω L = dE L ' dir.
45
Teorem 3.1.3:
(3.1.1) ile verilen ξ vektör alanı bir yarı püskürtmedir. (yani ikinci mertebeden
diferansiyel denklemdir)
Đspat:
Teoremin ispatı için Jξ = C olduğunu göstermek yeterdir. Bunun için;
iC wL = −iC dd J L = iC d J dL
= i J dL − d J iC dL = d J L − d J (CL )
(dd J = −d J d )
(iC d J + d J iC = i J )
= d J ( L − CL) = −d J E L
= −i J dE L = −i J iξ ω L
= iξ i J ω L − i J iξ ω L = i Jξ ω L
dir. Böylece; Jξ = C olup, ω L simplektiktir. Eğer ξ , (3.1.1) ile verilen bir yarı
püskürtme ise, o zaman lokal olarak;
ξ = vi
∂
∂q
i
+ ξi
∂
∂v i
eşitliği yazılabilir. Ayrıca bu eşitlik yardımıyla, iξ ω L hesaplanacak olursa,
 ∂2 L

∂2 L
∂2 L
∂2 L j i
j
j i
iξ ω L =  i j v i −
v
−
ξ
dq
+
v dv

∂q j ∂v i
∂v i ∂v j 
∂v i ∂v j
 ∂q ∂v
olur. E L = v j
∂L
∂v j
(3.1.2)
− L olup,
 ∂2 L
∂L  i
∂2 L j i
j


dE L =  i j v − i  dq + i j v dv
∂q 
∂v ∂v
 ∂q ∂v
(3.1.3)
denklemi elde edilir. iξ ω L = dE L eşitliği gözönüne alınırsa, dq i ve dv i terimlerinin
katsayıları eşit olmalı. Buradan;
46
∂2 L
∂ 2 L i ∂L
j
v
+
ξ − i =0
∂q j ∂v i
∂v i ∂v j
∂q
,
1≤ i ≤ m
(3.1.4)
eşitliğine ulaşılır.
σ: R → M , ξ vektör alanın izi, yani σ& : R → TM , ξ 'nin bir integral eğrisi olsun.

dq i (t ) 
Eğer σ (t ) = q i (t ) ise, o zaman, σ& (t ) =  q i (t ),
olup, σ eğrisi;

dt 

( )
∂2 L
∂2 L
∂L
j
j
&
&&
q
+
q
−
= 0 , 1≤ i ≤ m
∂q j ∂q i
∂q& i ∂q& j
∂q i
eşitliğini gerçekler. Türevlerin zincir kuralı gereğince;
d  ∂L
dt  ∂q& i
 ∂L
−
= 0 , 1≤ i ≤ m
 ∂q i

(3.1.5)
eşitliğine ulaşılır. (3.1.5) eşitliği ile verilen denklemler Euler -Lagrange denklemleri
olarak bilinir.
Teorem 3.1.4:
Euler-Lagrange denklemlerinin çözümleri, ξ ’nin integral eğrileridir.
Tanım 3.1.5:
L: TM → R bir regüler lagranjyen olmak üzere; iξ ω L = dE L eşitliğini gerçekleyen
bir tek ξ yarı püskürtmesi vardır, ve buna Euler-Lagrange vektör alanı olarak
adlandırılır. Genellikle ξ L ile gösterilir.
Teorem 3.1.6: (Enerji korunumu yasası)
Lξ L E L = ξ L E L = 0 olduğundan, E L , ξ L ’nin integral eğrileri boyunca sabittir.
47
Örnek 3.1.7:
L: TR 2 → R lagrange fonksiyonu; L( x , y , u, v ) =
1 2
u − v2 − x2 − y2
2
[(
)
] şeklinde
tanımlansın. Bu durumda;
d J L = udx − vdy
ve
ω L = − dd J L = dx ∧ du − dy ∧ dv
1 0 
olup, L’nin Hessian matrisi, 
 dir.
0 − 1
Böylece, L regüler ve ω L , TR 2 üzerinde bir simplektik formdur. L için EulerLagrange vektör alanı da;
ξL = u
∂
∂
∂
∂
∂
∂
şeklinde olup, Jξ L = u + v
+v − x + y
=C
∂u
∂v
∂x
∂y
∂u
∂v
eşitliğini gerçekler. Ayrıca; tanımlanan bu L lagrange fonksiyonu için, Euler-lagrange
denklemleri;
d2x
d2y
= x (t )
dt 2
dt 2
= y(t )
şeklinde ifade edilir.
Tanım 3.1.8:
M n boyutlu bir manifold, F TM üzerinde bir türevlenebilir fonksiyon ve ρ , TM
üzerinde kuvvet alanı olarak adlandırılan yarı basit bir form ise bu durumda
M = ( M , F , ρ) üçlüsüne bir mekanik sistem denir.
Teorem 3.1.9:
M = ( M , F , ρ) bir mekanik sistem ve ω
F
= −dd F simplektik 2-form olsun. Bu
j
durumda F’nin enerji fonksiyonu E F = CF − F olmak üzere;
iξ ω F = dE F + ρ
(3.1.6)
denklemini gerçekleyen bir tek ξ yarı püskürtmesinin integral eğrileri, ρ = ρ i dq i
olmak üzere;
d  ∂F  ∂F

−
= −ρi 1 ≤ i ≤ m denklem sisteminin çözümleridir.
dt  ∂q& i  ∂q i
48
Đspat:
J ξ = C sonucu ve (3.1.6)’den;
∂2F
j
∂q ∂v
i
vj +
∂2F
i
∂v ∂v
j
ξi −
∂F
= −ρi
∂qi
,
1≤ i ≤ m
(3.1.7)
olup, eğer σ(t ) = (q i (t )) , ρ'nun bir izi ise, (3.1.7)'den;
d  ∂F  ∂F

−
= −ρ i
dt  ∂q& i  ∂q i
1≤ i ≤ m
(3.1.8)
eşitliği kolayca elde edilir.
Tanım 3.1.10:
Eğer ρ kuvvet alanı kapalı bir yarı basit form ise; bu durumda M = ( M , F , ρ)
mekanik sistemine korumalı sistem denir. Eğer, M = ( M , F , ρ) korumalı bir mekanik
sistem ise, o zaman;
Lξ ω F = di ξ ω F = d (dE F + p) = 0
denkleminden ρ kuvvet alanının kapalı olduğu,
ρ=dV için
Lξ ( E F + V ) = 0
olup, enerjinin de korunduğu sonucuna varılır.
Tanım 3.1.11:
M = ( M , F , ρ) korumalı bir mekanik sistem ise; ρ = τ *M (dU ) = d (U o τ M ) ile
tanımlı türevlenebilir bir U : M → R fonksiyonu varsa; bu mekanik sisteme Lagrange
mekanik sistemi denir.
49
Eğer L = F + U o TM şeklinde alınırsa; o zaman (3.1.6) ve (3.1.8) denklemlerinden,
iξ ω L = dE L
d  ∂L
dt  ∂q& i
 ∂L
−
= 0 , 1≤ i ≤ m
 ∂q i

eşitlikleri yazılabilir.
Sonuç 3.1.10:
Korumalı mekanik sistemler Lagranjyen sistemlerdir. ρ kuvvet alanı kapalı
olmayan yarı basit form ise, bu durumda mekanik sistem korumasız bir mekanik
sistemdir.
3.2. Homojen Lagranjyenler
Bu bölümde, homojen Lagranjyenler için Klein formülasyonunu geliştirilecektir.
Tanım 3.2.1:
Eğer L: TM → R Lagranjyen fonksiyonu 2. Dereceden homojen, yani CL = 2 L ise
o zaman L’ye homojen Lagranjyen denir.
Sonuç olarak; L bir homojen Lagranjyen ise, v i
fonksiyonu E L =L şekline dönüşür.
Teorem 3.2.2:
L homojen bir Lagranjyen olsun. O zaman;
1. ω L , 1. Dereceden homojendir.
2. Euler-Lagranjyen vektör alanı ξ L bir spraydır.
∂L
∂v i
= 2 L(q , v ) olup, enerji
50
Đspat:
1. Eğer, L homojen ise, o zaman ω L = −dd j L ve LC ω L = ω L yazılabilir. Yani,
ω L , 1. Dereceden homojendir.
2. iξ L ω L = dE L ve ω L simplektik olduğu için;
i[c,ξ L ]ω L = Lc iξ L ω L − iξ L Lc ω L = Lc dE L − iξ L ω L
= Lc dL − dE L = d ( Lc L) − dL = d (CL − L) = dE L
[
]
Buradan c,ξ L = ξ L olup, Euler-Lagrange vektör alanı ξ L bir spraydır.
Teorem 3.2.3:
F ve ρ k. dereceden homojen olmak üzere; M = ( M , F , ρ) bir mekanik sistem olsun.
O zaman iξ ω F = dE F + ρ denklemini gerçekleyen ξ bir yarı püskürtmedir.
Đspat:
i[c, ξ ]ω F = Lc iξ ω F − iξ Lc ω F
E F = CF − F = kF − F = (k − 1) F
Lc iξ ω F = Lc (dE F + ρ ) = d ( Lc E F ) + Lc ρ = k (k − 1)dF + kρ
Lc ω F = ( k − 1)ω F
iξ Lc ω F = (k − 1)iξ ω F = (k − 1)dE F + (k − 1) ρ = (k − 1) 2 dF + (k − 1) ρ
olup,
51
i[c, ξ]ωF = k (k − 1)dF + kρ − (k − 1) 2 dF − (k − 1)ρ
= (k − 1)dF + ρ = dE F + ρ = iξω F
olduğundan ω F simplektiktir. Yani, [ C, ξ] = ξ dir.
3.3 Konneksiyonlar ve Lagranjyen Sistemler
TM üzerinde ξ herhangi bir yarı püskürtme olsun. O zaman, her Y∈ TM vektör
alanı için; Γ(Y ) = −[ξ, JY ] + J [ξ, Y ] denklemini gerçekleyen Γ = − Lξ J endomorfizmi
TM’de bir konneksiyondur. Ayrıca;
h=
1
1
Id + Lξ J , v = Id − Lξ J
2
2
(
)
(
)
eşitlikleri sırasıyla Γ ' nın yatay ve dikey projektörleri olsun. Böylece her Z ∈ TM
tanjant vektörü yatay ve düşey bileşenlerine ayrılabilir ve
T (TM ) = Im h ⊗ Im v
( Boy Im h =
1
Boy (TM ) = m, BoyM = m) dir.
2
Bu ayrışımdan çıkan ilginç iki sonuç, aşağıdaki lemma ve Teoremle verilebilir.
Lemma 3.3.1:
N manifoldunda tanımlı Ω 2-form ve F (1,1) tipinde tensör alanı olsun. O zaman;
(X,Y)→(FΩ)(X,Y)=Ω(FX,Y)
eşitliği ile tanımlı Ω, N üzerinde (0,2) tipinden bir tensör alanıdır. Ayrıca X, N üzerinde
herhangi bir vektör alanı ise, o zaman;
L X ( F  Ω) = L X F  Ω + F  (L X Ω ) dır.
52
Teorem 3.3.2:
L TM üzerinde regüler bir Lagranjyen olsun. Bu durumda TM’nin her bir
noktasındaki tanjant uzaylarını ω L için birer Lagranjyen olacak şekilde düşey ve yatay
alt uzaylara ayıran TM’de tek bir Γ L konneksiyonu vardır.
Đspat:
L için Euler-lagranjyen vektör alanını ξ L ve simplektik 2-form ω L = −dd j L
olmak üzere; Lemma 3.3.1 ve Lξ L ω L = 0 kullanılarak;
Lξ L ( J  ω L ) = ( Lξ L J )  ω L
Ayrıca, Γ L = − Lξ L J 'den Lξ L ( J  ω L ) = −ΓL  ω L elde edilir. Ayrıca, i J ω L = 0
olduğu için, J ω L ve Lξ L ( J  ω L ) simetrik yani, i Γ L ω L = 0 olur. Böylece TM
üzerinde tanımlı tüm X ve Y vektör alanları için,
ω L (Γ L X , Y ) + ω L ( X , Γ LY ) = 0
denklemi elde edilir. Ayrıca Γ L 'nin
h=
1
1
( Id + Lξ L J ) , v = ( Id − Lξ L J )
2
2
yatay ve düşey projektörleri kullanılarak;
ω L (hX , Y ) + ω L ( X , hY ) = ω L ( X , Y )
ω L (vX , Y ) + ω L ( X , vY ) = ω L ( X , Y )
ω L (hX , Y ) − ω L ( X , vY ) = 0
ω L (hX , hY ) = ω L (vX , vY ) = 0
elde edilir.
53
Teorem 3.3.3:
L,
TM
üzerinde
regüler
bir
Lagranjyen
olsun.
Bu
durumda;
g ( JX , JY ) = −ω L ( JX , Y ) denklemi V (TM ) düşey demeti üzerinde bir g metriği
tanımlar.
Đspat:
1. g iyi tanımlı olup, eğer JX = JY ' olacak biçimde TM üzerindeki iki vektör alanı
Y ve Y ' ise, o zaman J (Y − Y ′ ) = 0 olup Y − Y ′ düşey vektör alanlarıdır. Böylece ;
ω L ( JX , Y ) = ω L ( JX , Y ' ) dir.
2. g simetriktir, yani;
g (JX , JY ) = −ω L ( JY , X ) = ω L ( X , JY ) = −ω L (JX , Y ) = g ( X , Y )
3. g dejenere değildir. Çünkü; TM üzerinde herhangi bir JY vektör alanı için
g ( JX , JY ) = 0 olup, ω L ( JX , Y ) = 0 ’dır. ω L dejenere olmadığından JX = 0 olur.
Ayrıca, TM'nin (q i , v i ) Lokal koordinatları yardımıyla;
 ∂ ∂ 
 ∂ ∂ 
∂2L
g  i , j  = −ωL  i , j  = i j
 ∂v ∂v 
 ∂v ∂v  ∂v ∂v
olur.
Böylece Γ , TM için herhangi bir konneksiyon ise, g TM üzerinde bir gΓ Riemann
metriği tanımlar. Ayrıca, (TM,F, g Γ ) yaklaşık Hermit yapısını göz önüne alınırsa;
aşağıdaki Teorem elde edilir.
Teorem 3.3.4:
KΓ , (TM,F, g Γ )’nın Köhler formu olsun. Bu durumda KΓ = iv ω L ’dir.
54
Đspat:
iv ω L ( X , Y ) = ω L (vX , Y ) + ω L ( X , vY ) = ω L (vX , Y ) − ω L (vY , X )
= − g Γ (vX , JY ) + g Γ (vY , JX ) = − g Γ ( X , JY ) + g Γ ( JX , Y ) = K Γ ( X , Y )
olur.
Teorem 3.3.5:
Eğer, L bir homojen Lagranjyen ise, o zaman, Euler-Lagrange denklemlerinin
çözüm eğrileri geodezikler olan, TM’de bir tek ΓL homojen konneksiyonu vardır.
Homojen olmayan Lagranjyenler göz önüne alındığında, TM'de tanımlı, ξ L yarısprayi ile birleştirilmiş bir konneksiyon oluşturulmak istenirse, O zaman ayrışım
teoreminden TM üzerinde tanımlı T o + ξ L* = 0 eşitliğini gerçekleyen yarıbasit bir T
vektör 1-formuna ihtiyaç duyulacaktır.
Teorem 3.3.3. de belirlenmiş V (TM ) üzerinde tanımlı g metriğini ele alalım. Yani;
g ( JX , JY ) = ω L ( JX , Y ) olsun. Eğer aşağıdaki denklem kurulursa;
(3.3.1)
Θ( X , Y ) = g (TX , JY )
o zaman;
Θ( JX , Y ) = g (TJX , JY ) = 0
Θ( X , JY ) = g (TX , JY ) = 0
sonuçları elde edilir. (Burada, Θ yarı-basit 2-formdur.)
Θ o (Y ) = (iξ L Θ)(Y ) = Θ(ξ L , Y ) = g (Tξ L , JY )
ω L (T o , Y ) = (iT o ω L )(Y )
Θ o = iT o ω L
(3.3.2)
Şimdi T, T o = −ξ L* gibi olmalıdır. Böylece (3.3.2); Θ o = −i * ω L olur.
ξ
L
55
Θ = (ic ω L ) γ ile tanımlı 2-formu göz önüne alalım. Burada γ , γ ( JX ) = 0
koşulunu gerçekleyen TM üzerinde bir 1-form ve simetrik çarpımı ifade eder.
Böylece; Θ (1) ve (2)’yi gerçekler. Eğer Θ ’nın potansiyeli oluşturulursa, o zaman;
Θ° = (icω L )°γ + γ °(ic ω L )
yani;
− iξ * ω L = (ic ω L )°γ + γ °(icω L )
L
denklemi elde edilir. Buradan,
(−iξ * ω L )° = 2(ic ω L )°γ °
L
1 (iξ L* ω L )°
1 ω L (ξ L* , ξ L )
γ° = −
=−
2 (ic ω L)°
2 ω L ( c, ξ L )
Buradan da;
γ=
*


1
 − i * ω + 1 ω L (ξ L , ξ L ) (i ω ) 
L
c
L

ω (c, ξ L )  ξ L
2 ω L ( c, ξ L )

(3.3.3)
eşitliği elde edilir.
Teorem 3.3.6:
L, TM üzerinde bir regüler Lagranjyen olsun. Bu durumda L için Euler-Lagrange
denklemlerinin çözümleri, TM’de Γ ’nın eğrileri olan bir tek kanonik Γ konneksiyonu
vardır. Bu konneksiyon; ΓL = ΓL + T = − Lξ L J + T denklemi ile verilir. Buradaki T
(3.3.1) ve (3.3.3) ile tanımlanmıştır.
56
Tanım 3.3.7:
Eğer iΓ ω L = 0 ise Γ basittir denir.
Teorem 3.3.8:
Γ ’nın basit olması için ⇔
K Γ Köhler formunun ω L ile uyumlu olması gerekir.
Đspat:
Teorem 3.3.4’ten KΓ = iv ω L olup, v, Γ ’nın düşey projektörüdür. Böylece;
K Γ = ivω L =i 1
2
(I − Γ )
1
2
1
2
1
2
ω L = i I ω L − iΓ ω L = ω L − iΓ ω L
olur.
KΓ = ω L olması için ⇔ iΓ ω L = 0 ’dır.
Şimdi, E L = CL − L ’nin L regüler lagranjyen ile birleştirilmiş enerji fonksiyonu
olduğunu kabul edelim.
Tanım 3.3.9:
Eğer d h E L = 0 ise, Γ koruyucudur denir. (h, Γ ’nın yatay projektörüdür.)
Đspat:
d h E L = 0 olması, E L ’nin Γ ’ya göre yatay eğriler boyunca sabit olduğu sonucunu
doğurur. Yani;
d h E L = i h dE L = h* (dE L )
olup,
(d h L )(Z ) = (dE L )(hZ ) = (hZ )E L
dir.
57
Teorem 3.3.10:
Γ basit olsun. O zaman, Γ değişmelidir ancak ve ancak ξ L nin ξ yarı püskürtmesi
ile birleşmelidir.
Đspat:
Γ basit olsun. O zaman, KΓ = ω L eşitliği yazılabilir. Böylece, ξ yatay
olduğundan;
(iξ ω L )( X ) = ω L (ξ , X ) = K Γ (ξ , X ) = g Γ (Jξ , X ) − g Γ (ξ , JX ) = g Γ (C, X )
denklemleri yazılabilir. Bu denklemlerden de:
(iξ ω L )( X ) = g Γ (C , vX ) = g Γ (C, JFX )
(v = JF )
= g (C , JFX ) = −ω L (ξ , JX ) = −(iC ω L )(FX ) = −(i F iC ω L )( X )
olup,
i ξ ω L = −i F i C ω L
eşitliği elde edilir. Teorem 1.1.3 e göre iC ω L = −d j E L olduğundan;
iξ ω L = i F d j E L = i F i j dE L = i jF dE L = iv dE L = d v E L
eşitliği elde edilir. Fakat dE L = d h E L + d v E L ( Id = h + v ) olup, d h E L = 0 ise o
zaman iξ ω L = dE L dir . Başka bir deyişle ξ = ξ L ⇔ d h E L = 0 dır.
Teorem 3.3.11:
L homojen bir Lagranjyen olsun. Bu durumda torsiyonu sıfır olan bir tek korumalı
konneksiyon vardır.
58
Đspat:
L homojen olduğundan E L = L ’dir. ξ L bir püskürtme ve Γ L = − Lξ L J olup ξ L
ile birleştirilmiş bir yarı püskürtme konneksiyondur. Yani Γ L basittir. Bundan dolayı
Γ L korumalıdır. Şimdi Γ sıfır torsiyonlu korumalı bir konneksiyon olsun. Bu durumda;
[ih , d j ] = ih d j + d j ih = d j
d h L = 0 denklemlerinden faydalanarak,
ihω L = −ih dd j L = ih d j dL = d j ih dL + d j dL = d j dL= −dd j L = ω L
olur, böylece;
1
1
i Γ ω L = i2 h − Id ω L = ih ω L − ω L = 0
2
2
olur.
Uyarı 3.3.12:
Eğer L, M üzerinde tanımlı bir g Riemann metriği ile belirlenen kinetik enerji ise, o
zaman Teorem 3.3.11 Riemann geometrisinin temel teoremidir.
3.4 Yarı Püskürtmeler ve Lagranjyen Sistemler
Yukarıdaki sonuçlardan, klasik mekanikteki Lagranjyen formülasyonun aslında bir
simplektik yapı için de geliştirilebileceği görüldü. Bununla birlikte bu formülasyon
Lagranjyen fonksiyonun seçimine direk olarak bağlıdır. Bu Hamiltonyen durumundan
özel bir farklılık gösterir. Hamiltonyen durumu olduğu yerde bir asıl simplektik yapı,
Hamiltonyen fonksiyon seçiminden bağımsız verilen bir konfigürasyon manifoldun
kotanjant demeti üzerinde kanonik bir şekilde belirlenir.
Birinci mertebeden diferansiyel denklemler (vektör olanları) simplektik yapı ile
Hamiltonyen fonksiyonları ile ilgilidir. Şimdi Lagranjyen sistemler ile ikinci
mertebeden Diferansiyel denklemler(semi-sprays)(yarı-püskürtmeler) ile ilgili bazı
sonuçları inceleyelim.
59
ξ TM üzerinde bir keyfi yarı püskürtme olsun. O zaman ξ tarafından tanımlanan
konneksiyon Γ = − L ξ J ile ifade edilsin. Bu durumda; ξ = vi
 ∂  ∂
∂ξ j ∂
=
Γ
+
,
 ∂q i  ∂q i ∂qi ∂v j


X H = Xi
∂
∂q i
−
∂
i ∂
olmak üzere;
+
ξ
∂vi
∂qi
 ∂ 
∂
Γ
=−
i
∂v i
 ∂v 
1 i ∂ξ j ∂
X
2
∂q i ∂v j
(3.4.1)
olup, X, M üzerinde bir vektör alanıdır. (3.4.1) kullanarak;
[ξ, X ν ] = [v i ∂∂q i + ξi ∂∂v i , X j ∂v∂ j ]
= −Xi
i
i
∂
∂
j ∂X
j ∂ξ
+
v
−
X
i
j
i
j
∂q
∂q ∂v
∂v ∂v i
= −2 X
i
∂
∂
∂q
i
−X
j ∂ξ
i
j
∂
∂v ∂v
i
+X
i
∂
∂q
i
+v
j ∂X
i
∂
j
∂v ∂v i
= −2 X H + X C
olup,
[ξ , X ν ] = − X H − ( X H − X C )
eşitliğinden
XH − XC,
[ξ, X ν ] ’nin
düşey
bileşenleridir.
Teorem 3.4.1:
ω TM üzerinde tanımlı bir 2-form olsun. O zaman
1. Lξ ω = 0
2. Her Ζ ∈TM noktasındaki düşey alt uzayı ω ve iY dω 'ya göre Lagranjyen ve Y
keyfi bir yatay vektör alanı olup ω kapalıdır.
60
Đspat :
dω (Χ, Υ , Ζ ) = Χω (Υ , Ζ ) − Υω (Χ, Ζ ) + Ζω (Χ, Ζ )
= −ω ([Χ, Υ ], Ζ ) + ω ([Χ, Ζ], Υ ) − ω (Χ, [Υ , Ζ])
(
)
ifadesinden; dω Χ v , Υ v , Ζ v = 0 olup,
(
)
(
)
= dω (hW , Υ v , Ζ v )
= (Đ hW dω )(Υ v , Ζ v )
dω W , Υ v , Ζ v = dω hW + vW , Υ v , Ζ v
=0
olur. Şimdi
(Lξ dω )(Χ, Υ, Ζ) = ξdω (Χ, Υ, Ζ) − dω ([ξ , Χ], Υ, Ζ)
− dω (Χ, [ξ , Υ ], Ζ ) − dω (Χ, Υ , [ξ , Ζ])
Böylece 1. den;
ξ dω ( Χ H , Υ v , Ζ v ) = 0
([
)
]
(
(
)
[
dω ξ, Χ H , Υ v , Ζ v + dω Χ H , [ξ, Υ ], Ζ v + dω Χ H , Υ v ξ, Ζ v
]) = 0
denklemleri elde edilir. Đkinci denklemdeki birinci terimde iki dikey yükseltme
[
] [
]
olduğundan, sıfıra eşit olup, ξ, Υ v ve ξ, Z v ' nin bileşenleri;
[ξ, Υ ]= −Υ − (Υ
v
H
[ξ, Ζ ]= −Ζ − (Ζ
v
H
H
H
− ΥC
− ΖC
)
)
şeklinde elde edilir. Böylece;
(
)
(
dω Χ H , Υ H , Ζ v = dω Χ H , Ζ H Υ v
olup,
)
61
(
)
(
)
(
)
= −dω (Ζ H , Υ H , Χ v ) = dω (Υ H , Ζ H , Χ v )
= dω (Υ H , Χ H , Ζ v ) = − dω (Χ H , Υ H , Ζ v )
dω Χ H , Υ H , Ζ v = dω Χ H , Ζ H , Υ v = − dω Ζ H , Χ H , Υ v
denkleminden;
(
)
dω Χ H , Υ H , Ζ v = 0
elde edilir.
[ ])
(
(
Böylece; Ζ H − Ζ C düşey olup, dω Χ H , Υ H , ξ , Ζ v = −dω Χ H , Υ H , Ζ H
)
ve (1)
eşitliği kullanılarak;
(
)
(
[
dω Χ H , Υ H , Z v için; dω Χ H , Υ H , ξ, Ζ v
]) = 0
denklemine ulaşılır.
Teorem 3.4.2:
ω Teorem 3.4.1 gerçekleyen bir form olsun. J TM üzerinde kanonik yaklaşık tanjant
yapı olmak üzere, ω = −dd j K olacak biçimde TM 'nin bir açık altcümlesi üzerinde
tanımlı bir C ∞ K fonksiyonu vardır.
Teorem 3.4.3:
TM üzerinde tanımlı bir ξ yarı püskürtmesinin (regüler) bir Euler-Lagrange vektör
alanı olması için gerek ve yeter şart Teorem 3.4.1 'in (1) ve (2) koşullarını gerçekleyen
TM üzerinde bir ω 2- formu vardır.
Teorem 3.4.4:
(L X J ) o J = J , J o (L X J ) = − J
(3.4.2)
denklemini gerçekleyen TM üzerinde bir X vektör alanı, TM nin bir (q i , v i ) lokal
koordinat sistemine göre;
62
(
)
∂
∂
X = v i + λ (q )
+ X i (q, v )
i
∂q
∂v i
∂
bileşenlerine sahip olup, X aynı zamanda, λi (q ) i ∈ χ( M ) 'ye iz düşürülebilir bir yarı
∂q
püskürtmedir.
Şimdi, bir J integral tanjant yapısına bağlı olarak; W 2m-boyutlu bir manifold ve γ,
(3.4.2) eşitliğini gerçekleyen W üzerinde bir vektör alanı olsun.
Tanım 3.4.5:
Eğer ω, W üzerinde bir simplektik form olmak üzere;
1. her z ∈W için ω z ye göre TzW 'nin (ImJ)z altuzayları birer lagranjyen,
2. Lγ ω = 0
koşulları gerçekleniyorsa, γ'ya bir regüler Lagranjyen dinamik sistem denir. Eğer γ,
bir integrallenebilir dinamik sistem ise o zaman; L lagrange fonksiyonu için;
ω = − dd J L
( )
iγ ω = dΕ L , Ε L = J γ L − L
eşitlikleri daima gerçeklenir.
3.5. Lagrange Dinamiklerinde Bir Ters Problemin Geometrik Yaklaşımı
Bu bölümde Teorem 3.4.2. 'nin Mekanikteki eski bir problemin bir geometrik
uygulamasını verdiği gösterilecektir. Helmholtz tarafından ortaya atılan; "TM üzerinde
verilen bir ξ yarı püskürtme için, ξ 'yi bir Euler-Lagrange vektör alanı yapan bir
L Lagrange fonksiyonunu bulmak mümkün müdür?" problemi Lagrange
dinamiklerinin ters sonuç problemi olarak bilinir. Bu problemin çözümü ise, Helmholtz
şartları olarak bilinen ve bir (α ij (q , q& ) ) matrisinin belirlenebilmesi ile mümkündür.
63
Eğer (q , q& ) lokal koordinatlarına bağlı olarak Euler-Lagrange denklemlerini
geliştirirsek o zaman;
gij q&& j + hi = 0
olup, burada gij ve hi , ( q k , q& k ) lokal koordinatlarına bağlı fonksiyonlar olup,
gij =
∂2 L
∂q& i ∂q& j
dir.
Đkinci mertebeden bir diferansiyel denklem sisteminin türevlenebilmesi için
Lagranjyenin matrisi self adjoint olmalıdır. Self adjointlik şartları incelenirse;
q&&i = f i (q , q& )
şeklindeki ikinci mertebeden diferansiyel denklemlerini gözönüne alalım. O zaman
Lagrange'nin türevlenebilmesinden, ( gij ) matrisi regüler bir matristir yani;
g ıj q&& j − g ij f i = 0
olup sef adjointtir. Buradaki f i fonksiyonlarının gerçeklediği şartları ise
det( gij ) ≠ 0
(3.5.1)
gij = g ji
(3.5.2)
∂gij
&k
∂q
=
∂gik
(3.5.3)
∂q& j
d
1 ∂f k
1 ∂f k
g ij +
g ik +
g kj = 0
dt
2 ∂q& j
2 ∂q& i
 d  ∂f k
g ik  
 dt  ∂q& j
 
k
l
k 
  k

 − 2 ∂f − 1 ∂f ∂f  = g ik  d  df

 dt  ∂q& i
∂q j 2 ∂q& i ∂q& l 

 
(3.5.4)
k
l
k 

 − 2 ∂f − 1 ∂f ∂f 

∂q i 2 ∂q& i ∂q& l 

(3.5.5)
şeklinde olacaktır. Bu ise (3.5.1)-(3.5.5) denklemlerinin yeniden elde edilebileceğini,
yani;
64
ξ = vi
∂
∂
+ fi i
∂q
∂v
i
olacak şekilde bir ξ yarı püskürtmesi için Γ = − Lξ J , ξ ile belirlenmiş bir konneksiyon
olur. Böylece; yatay dağılım ( Γ ’ya göre)
Di =
j
∂
 1  ∂f
+  
∂qi  2  ∂v i
 ∂

 ∂v j


∂ 
ile gerilir. Eğer  Di ,Vi = i  ’nin dual bazı θ i , ηi
∂v 

{
θ i = dq i
i
 1  ∂f
 2  ∂v j
η i = − 

,
} ise o zaman;
 j
dq + dv i


şeklinde olup, ξ ile bu 1-formlarının Lie türevleri de aşağıdaki gibidir.
i
 1  ∂f
Lξ θ i =  
 2  ∂v j
 j
θ + η i


(3.5.6)
( )( )
1
1
Lξ η i = − γ ijθ j +   θf i ∂v j n
j
2
2
(3.5.7)
burada;
 ∂f i
 ∂v j

γ ij = ξ 
  1  ∂f i
 −  
  2  ∂v j


  ∂f i
 − 2
  ∂q j
 




olup, Teorem 3.4.2.'nin koşullarını gerçekleyen ω formu; ω = aij θ i ∧ θ j + gij θ i ∧ η j
ile lokal olarak ifade edilebilir. Burada aij + a ji = 0 olup, eğer (3.5.6) ve (3.5.7)
kullanılırsa aşağıdaki denklemlere varılır.
65

 ∂f k
Lξ ω =  ξ aij + aik 
 ∂v j



( )

 1
 − g ik γ kj θ i ∧ θ j +
 2



k

 k
 2a + ξ g + 1 g ∂f + 1 g  ∂f
ij
ik
kj 
i
 ij
2
∂v j 2
 ∂v

( )
 i
 θ ∧ θ j + g ijη i ∧ η j


Lξ ω = 0 olduğundan;
gij = g ji ve aij = 0 olup,
1
2
ξ (g ij ) + g ik
∂f k
∂v j
+
1
∂f k
g kj
=0
2
∂v i
gik γ kj = gik γ ik
eşitlikleri yazılabilir. Böylece, ω = gij ηi ∧ η
j
maksimal ranka sahip(( gij ) regüler)
yani; det( gij ) ≠ 0 olur.
Sonuç olarak; dω = 0 dan (3.5.3) şartı elde edilir. dω içindeki θ i ∧ η j ∧ η k
 ∂gij 
terimlerin katsayıları  k  olup,
 ∂v 
∂gij
∂v
k
=
∂gik
∂v j
koşulunu gerçekler. Böylece,
∂gij
∂g jk ∂gij
=
= k
∂v k
∂v i
∂v
Teorem 3.4.2. yi gerçekleyen ω'nın self-adjointlik şartına denktir.
66
3.6. Legendre Transformasyonu
L: TM → R bir lagranjyen ve α L = d J L 1-form olmak üzere; α L ,
αL =
∂L
∂v i
dq i
şeklinde lokal olarak ifade edilir.
Böylece, α L , TM üzerinde bir yarı basit 1-formdur.
Teorem 3.6.1:
Leg
TM
T*M
πM
τM
M
Şekil 3.1 Diyagram değişmeli olacak biçimde bir Leg: TM → T * M dönüşümü vardır.
( τ M ve π M kanonik projeksiyonlardır.)
(
) (
Lokal olarak; Leg: q i , v i → q i , pi
)
olup, pi =
∂L
∂v i
ve λ M , T * M üzerinde
Liouville formu olmak üzere;
Leg *λ Μ = α L olur.
Böylece,
ω L = − dλ M ,
ω L = −dd J L olmak üzere;
Leg *ω Μ = ω L
eşitliği elde edilir.
T* M
üzerinde
kanonik
simplektik
form
olup,
67
Teorem 3.6.2:
Aşağıdaki önermeler denktir.
1. L regüler bir Lagranjyendir.
2. ω L , TM üzerinde bir simplektik formdur.
3. Leg: TM → T * M bir lokal diffeomorfizmdir.
Tanım 3.6.3:
Teorem 3.6.2.'nin koşullarını gerçekleyen Leg dönüşümüne L tarafından belirlenen
Legendre transformasyonu denir.
σ: R → M M de bir eğri ve σ& : R → TM de TM'de nın doğal prolangasyonu olsun.
O zaman σ boyunca;
dq i
, σ& (t ) = (q i (t )), q& i (t )) olmak üzere;
v =
dt
i
pi =
∂L
∂q& i
elde edilir. Böylece σ& boyunca,
∂L
∂L
Leg: q i , q& i → (q i , i ) olup,
= pi 1 ≤ i ≤ m momentum olarak adlandırılır.
∂q&
∂q& i
(
)
Genel olarak regüler bir Lagrange tarafında belirlenmiş Legendre transformasyonu,
global olarak bir diffeomorfizm değildir. Eğer Legendre transformasyonu global olarak
bir diffeomorfizm ise o zaman L Lagrange fonksiyonu hiperregüler olarak adlandırılır.
π M o Leg = τ M olup Leg’in bir global diffeomorfizm olması için gerek ve yeter
şart τ M : TM → M ’nin her bir life kısıtlanmışı birebirdir.
68
L regüler olsun. E L = CL − L L’nin enerjisi olmak üzere iξL ω L = dE L denklemini
ele alalım.
Bu durumda T * M üzerinde tanımlı bir ξ = TLeg o ξ L o Leg −1 vektör alanı için;
iξ ω M = d ( E L o Leg −1 )
iξ ω M = i ξ (( Leg −1 ) * ω L ) = ( Leg −1 ) * (iξ L ω L )
( Leg −1 ) * (dE L ) = d ( E L o Leg −1 )
eşitlikleri gerçeklenir.
Teorem 3.6.4:
Eğer γ , ξ L ’nin bir integral eğrisi ise, γ = Leg o σ , ξ ’nin bir integral eğrisi olup,
π M o γ = τ M o σ eşitliğini gerçekler./16/
Regüler bir L Lagrange'nin enerji fonksiyonu hiperregüler olmak üzere, T * M
üzerinde E L o Leg −1 ile tanımlı E L enerji fonksiyonuna L' nin yerini tutan Hamilton
enerjisi olarak adlandırılıp, H ile gösterilirler. Leg Legendre dönüşümü, bir regüler
Lagrange formülasyonundan bir Hamilton formülasyonuna geçmeye izin verir. Böylece
yukarıdaki ξ vektör alanı, Η = Ε L o Leg −1 Hamilton enerji fonksiyonunun Hamilton
vektör alanı olarak bilinir. Ayrıca hiperregülerlik durumunun klasik mekanikteki
Hamilton ve Lagrange formülasyonları arasındaki bağıntıyı verdiği görülür.
L: TM → R ’nin bir Lagrange fonksiyonu olduğunu kabul edelim. Bu durumda her
v ∈ Tx M tanjant vektörü için;
ϕ v : Tx M → Tv (Tx M ) ve ϕ *v : T * x M → Tv* (Tx M )
dönüşümlerini tanımlayalım. Lx : Tx M → R L’nin Tx M ’ye kısıtlanmaşı olmak üzere;
Leg L : TM → T * M dönüşümü; Leg L (v ) = (ϕ *v ) −1 (dL x (v )) ile tanımlansın. Böylece
(q i , v i ) ve (q i , pi ) sırası ile TM ve T*M lokal koordinatlar olmak üzere;
69
 ∂ 
 ∂ 
ϕ v  i  =  i 
 ∂q  x  ∂q  v
(3.6.1)
ile verilen ϕ v bir izomorfizmdir. Ayrıca;
ϕ *v  dq i
( ) x  = (dq i ) v
(3.6.2)

∂L 
olup, (3.6.1) ve (3.6.2) 'ten her biri LegL q i , v i =  q i , i  yani, LegL ile Leg aynı

∂v 
(
)
anda gerçeklenir. Bu durum literatürde LegL için Leg'nin lifli türevi olarak geçmektedir.
Örnek 3.6.5:
M üzerinde bir g Riemann metriğine bağlı kinetik enerji fonksiyonu L olmak üzere;
L( v ) =
1
g ( v , v ) , v ∈ Tx M olup, (q i , v i ) lokal koordinatları için;
2 x
1
L q i , v i = gij v i v j
2
(
)
elde edilir. Böylece E L = L olup, L regülerdir yani;
(
) (
∂2 L
∂v i ∂v j
= gij
)
Legendre transformasyonu Leg q i , v i = q i , gij v j şeklinde tanımlanır.
Leg (v ) ∈ Tx* M
kotanjant vektörü için; < u, Leg (v ) >= g x (u, v ) , ∀u ∈ Tx M
ile
tanımlanan Leg: TM → T * M bir global diffeomorfizmdir.
Aynı durum, L = L + V o τ M eşitliği ile tanımlı L: TM → R lagrange fonksiyonu
için de geçerlidir. Burada L, M üzerinde bir g Riemann metriğinin kinetik enerji
fonksiyonu ve V : M → R potansiyel enerji fonksiyonudur.
70
4. BÖLÜM: KLASĐK MEKANĐK TEORĐLERĐ
4.1 Galile Uzay-zamanında Hareket Prensipleri
4.1.1 Euler-Lagrange Denklemleri:
Bir mikroskopik sistemin durumu, sistemin parçalarının hızları ve konumları
tarafından tekil olarak belirlenir. (Hareket denklemleri zamana göre 2. derecedir)
L = L(q, q& , t ) Lagranjyen,
{q} = { qi }
,
{q& } = { q&i }
sırasıyla genelleştirilmiş
koordinatlar ve hız olmak üzere sistemin S hareketi
t2
S=
∫ Ldt
şeklinde tanımlanır.
t1
En küçük hareket prensibine göre δ S = 0 olur. Einstein’in kısa notasyonu
kullanılırsa,
t2
t2
t1
t1
 ∂L
∂L

t2
 ∂L
∂L

δ S = ∫ δ L dt = ∫ dt  δ q + δ q&  = ∫ dt 
δ qi +
δ q& i 
∂q&
∂q&i
 ∂q

 ∂qi

δ q& i =
t1
d
δ qi , t = t1 veya t = t 2 iken δ qi = 0
dt
eşitlikleri kullanılarak,
t2
∫ dt
t1
t
t
2
∂L
∂L d
∂L t 2 2  d ∂L 
 δ qi
δ q&i = ∫ dt
δ qi =
− dt 
∂q&i
∂q&i dt
∂q&i t1 ∫  dt ∂q&i 
t1
t1
t2
t
2
 d ∂L 
 d ∂L 


δq
= − ∫ dt 
δ qi = − ∫ dt 

dt ∂q&i 
dt ∂q& 


t1
t1
olur. Buradan,
71
t2
 ∂L
d ∂L 
δ S = ∫ dt 
−
 δ qi = 0
∂qi dt ∂q& i 

t1
δ qi ler bağımsız olduklarından Euler-Lagrange denklemleri olarak adlandırılan
∂L d ∂L
−
=0
∂qi dt ∂q& i
(4.1.1)
denklemler elde edilir. q = {qi } koordinatlarına bağlı olarak p = {pi } genelleştirilmiş
∂L
momentumu pi =
∂q& i
veya
p=
∂L
şeklinde tanımlanır. L = T − V için, T ve V
∂q&
sistemin kinetik ve potansiyel enerjisi olmak üzere; (4.1.1) denkleminde Newton’un 2.
Kanunu elde edilir.
∂ pi
∂ p ∂L
∂L
∂V
∂V
=
=−
= f i veya
=
=−
= f .
dt
∂qi
∂qi
dt ∂q
∂q
Burada f genelleştirilmiş kuvveti göstermektedir.
4.1.2 Uzay-zaman ve Simetriler
4.1.2.a) Zaman Ötelemesi Altında Değişmezlik
g (t ) bir boyutlu metrik tensör ve t zaman manifoldunun lineer ölçüsü olmak üzere
yani dτ t ve t + dt arasındaki mesafe olacak şekilde Galile zamanı dτ 2 = g (t ) dt 2
şeklinde tanımlanan metriğe sahiptir. Açıkça eğer zaman koordinatı olarak t
kullanılırsa, metrik tensör g (τ ) = 1 şartını sağlayan sabit bir skaler olacaktır.
t koordinatı g (t ) = 1 şartı ile birlikte gerçek zaman olarak adlandırılır. t’nin gerçek
zaman olup olmadığını anlamak için Newton’un 1. yasası kullanılabilir.
Tanıma göre serbest bir parçacığın lagranjyeni tüm t gerçek zamanları için aynı
olmalıdır. Yani L(x, x&, t + t ′) = L( x, x&, t ) = L( x, x& )
Başka bir deyişle L zaman ötelemesi altında değişmezdir.
72
4.1.2.b) Uzaysal Öteleme Altında Değişmezlik
Galile uzay-zamanında bahsedilen uzay öklidyendir. Bu nedenle, kartezyen
koordinatlar gözönüne alınırsa tüm x değerleri için metrik tensör sabit bir tensör alanıdır
ve g ( x) = I şartını sağlar.
Açıkça g metriği uzaysal öteleme altında değişmezdir x → x + x0 .
Bu yüzden, Öklidyen uzay homojendir. Sabit bir düzlemde, serbest bir parçacığın
Lagranjyeni her noktada aynı olmalıdır. Yani
L( x, x& ) = L( x + x′, x& ) = L( x& ) ↔ x sabit düzlem
4.1.2.c) Rotasyon Altında Değişmezlik
Önceki konuda belirtildiği gibi g Öklidyen metrik tensörü, uzaysal dönüşüm altında
değişmez olduğu belirtilmişti. Buradan öklidyen uzayın izotropik olduğu söylenebilir.
Sabit bir düzlemde serbest bir parçacık için Lagranjyen herhangi bir rotasyon altında
değişmez olmalıdır. Yani;
R rotasyonel operatör ve x& = x& .x& olmak üzere L(Rx& ) = L( x& ) = L( x& )
4.1.2.d) Galile Dönüşümü Altında Değişmezlik
S ve S ′ sistemlerinin koordinatları v izafi hızla bağlantılı olarak Galile dönüşümleri
ile aşağıdaki gibidir.
(4.1.2)
x ′ = x − vt t ′ = t
Özellikle, eğer S, Newton’un 1. yasasını sağlayan eylemsiz bir sistem ise S ′ de
eylemsiz bir sistemdir. Böylece, Newton fiziği Galile dönüşümü altında değişmezdir.
Serbest bir parçacık için X =
1 2
x& iken L ( x& ) = L ( X ) olur.
2
73
∂X
∂ 1 
=  x& 2  = x&
∂x& ∂x&  2 
yardımıyla, Euler-Lagrange denklemleri
0=
d  ∂L  d  ∂X dL  d  dL 
 = 
 =  x&

dt  ∂x&  dt  ∂x& dX  dt  dX 
(4.1.3)
olur. Buradan,
d  dL 
∂  dL 
d 2L

 = &x& 
 = &x& x&
dt  dX 
∂x&  dX 
dX 2
çıkar. (4.1.3) denklemi kullanılarak,
d  dL 
dL
d 2L
 dL 
0 = &x&
+ x& (&x& x& )
 + x& 
 = &x&
dt  dX 
dX
 dX 
dX 2
elde edilir.
Galile dönüşümü altında (4.1.2) denklemleri;
x& → x& ′ = x& − v
X
→
X′=
&x& → &x&′ = &x&
1
(x& − v )(x& − v ) = X − x&v + 1 v 2
2
2
haline gelir. (4.1.4) denklemi değişmez kalırsa;
d 2L
dX
2
dL
= sabit ≡ m
dX
=0
Buradan,
L=
olur.
1 2
mx& + c
2
(4.1.4)
74
4.1.3 Lagranjyen
Özet olarak serbest bir parçacığın lagranjyeni veya kinetik enerjisi galile uzayzamanı tarafından kararlı hale getirilir. Benzer şekilde birbirine etkisi olmayan parçalar
sisteminin lagranjyeni tüm parçaların kinetik enerjilerinin toplamı olmalıdır.
Eğer parçalar bir V ({xi }; {x&i }) potansiyeli yardımıyla;
({
}
)
Uzaysal öteleme altında değişmezlik V = V xi − x j ; {x&i } olmasını gerektirir.
({
}{
Galile dönüşümü altında değişmezlik V xi − x j ; x&i − x& j
}) olmasını gerektirir.
Rotasyon altında değişmezlik V’nin sadece aşağıdaki gibi bir rotasyonel skalere
bağlı olmasını gerektirir:
(xi − x j )(xk − xl ), [(xi − x j )× (xk − xl )]. (x&m − x&n )
rij = x j − xi
kabul edilirse
1
mi x&i2 + V rij ; { r&kl
2
i
L=∑
({
}}) yazılır.
Bununla beraber, buradaki V(x), “küçük” sistemimiz tarafından etkilenmeyen
dinamiklere sahip “Büyük” bir sistem tarafından desteklenen bir dış potansiyel olarak
düşünülmelidir.
Böylece; spacetime simetrileri küçük sistem tarafından korunmamakla birlikte,
simetriler birleşik izole sistem tarafından korunmaktadır.
4.2 Simetri ve Korunum Kanunları
4.2.1 Enerjinin Korunumu:
Zaman ötelemesi altında değişmezlik bize L = L(q, q& ) veya
söyler. Buradan,
∂L
= 0 olduğunu
∂t
75
dL dqi ∂L dq&i ∂L
∂L
∂L
∂L
∂L
=
+
= q&i
+ q&&i
= q&
+ &q&
dt
dt ∂qi
dt ∂q& i
∂qi
∂q& i
∂q
∂q&
q = {qi } ve q& = {q&i } sistemin gerçek yörüngeleri olduğunda,
Euler-Lagrange
denklemlerini sağlarlar Yani,
dL
d  ∂L
= q&i 
dt
dt  ∂q& i
E = q& i
 dq& i ∂L
d  ∂L 
 +

=  q& i
 dt ∂q&i dt  ∂q& i 
∂L
∂L
− L = q&
−L
&
∂qi
∂q&
(4.2.1)
denkleminden faydalanılarak aşağıdaki denkleme ulaşılır.
 dE
d  ∂L
 q& i
− L  =
=0
dt  ∂q& i
 dt
(4.2.2)
E ifadesine sistemin enerjisi adı verilir. Böylece (4.2.2) denklemi, zaman
ötelemesinin değişmezliğinden dolayı, izole bir sisteminin enerjinin korunduğunu
gösterir.
4.2.2 Noether Teoremi
Sonsuz küçük koordinat ötelemesi düşünülürse f = f (q, q& , t ) ve ε → 0 olmak üzere,
qi → qi + ε f i
için q&i → q& i + ε f&i veya q → q + ε f ve q& → q& + ε f& ,
yazılabilir. Buradan Lagranjyen
 ∂L
∂L
L q + ε f , q& + ε f& , t = L (q, q& , t ) + ε 
f +
∂q&
 ∂q
(
)

f&  + O ε 2

( )
şeklinde ifade edilebilir.
(
)
L q + ε f , q& + ε f& , t − L (q, q& , t )
dL
= lim
=0
dε ε → 0
ε
şartları altında L değişmezdir denir.
 ∂L

∂L &

f +
f = 0 
∂q&
 ∂q

76
Euler-Lagrange denklemlerini kullanarak; Noether teoremi olarak bilinen;
d  ∂L 
∂L & d  ∂L  d
  f +
f = 
f  = ( p. f ) = 0
dt  ∂q& 
∂q&
dt  ∂q&  dt
⇒
∂L
f = p f = F = sabit
∂q&
denklemi elde edilir.
4.2.3 Örnek: (Toplam lineer momentumun korunumu)
Bir sistemin parçaları için, x j → x j + ε a uzaysal ötelemesini düşünelim. (j
parçacık indisi ve a sabit bir vektör) Burada x& j değişmez olduğu görülebilir. Eğer L bu
öteleme altında değişmez ise Noether teoremi bize
∑ a.p j = a.P = sabit
sonucunu
j
verir. Yani L uzaysal öteleme altında değişmez olduğunda toplam momentum
P = ∑ j p j korunur.
4.3 Hamiltonyen
Lagrange formüllerine göre sistemin durumu
formüllerinde p =
(q, q& )
ile belirlenir. Hamilton
∂L
olmak üzere (q, p) tarafından belirlenir. H (q, p) Hamiltonyeni
∂q&
Legendre dönüşümü ile L(q, q& ) lagranjyeninden elde edilir.
H (q, p ) =
∂L
q& − L(q, q& ) = p.q& − L(q, q& )
∂q&
(4.3.1)
H bütün (q, p) değerleri için tanımlıdır. Tersi olarak (4.2.1) denkleminde geçen E
sadece sistemin gerçek yörüngesi üzerinde tanımlıdır.
dL =
∂L
∂L
∂L
dq +
dq& =
dq + pdq&
∂q
∂q&
∂q
(4.1.1) ve (4.1.2) denklemleri kullanılarak;
(4.3.2)
77
dH = q& dp + pdq& − dL = q&dp + pdq& −
∂L
∂L
dq − pdq& = q& dp −
dq
∂q
∂q
(4.3.3)
denklemi elde edilir.
Gerçekten de H fonksiyonu (q, p) bağımsız değişkenlerine bağlıdır. Şimdi,
dH =
q& =
∂H
∂H
dp +
dq denklemi ile (4.1.3) denkleminin eşitliğinden faydalanarak
∂p
∂q
∂H
∂p
∂H
∂L d ∂L
=−
=
= − p&
∂p
∂q dt ∂q&
elde edilir. Bu denklemler Hamilton denklemleri olarak bilinir.
4.4 Poisson Parantezi ve Öteleme Operatörleri
4.4.1 Poisson Parantezi
Newton mekaniği alanının ötesinde yeni teorilerin dizaynında çok önemli olan
Lagranjyen ve
Hamiltonyen formülleri,
klasik mekanikte
kullanılan önemli
matematiksel özellikler ortaya çıkarmıştır.
A (q, p) rastgele fonksiyonunu düşünelim. Fonksiyonun zaman göre türevi alınırsa,
Poisson
parantezi,
(q, p)
koordinatlarında,
{A, B}P
=
∂A ∂B ∂A ∂B
−
∂q ∂p ∂p ∂q
şeklinde
tanımlanır ve {A, B}P ile gösterildiği düşünülürse;
dA(q, p ) ∂A
∂A
∂A ∂H ∂A ∂H
=
q& +
p& =
−
= {A, H }P
dt
∂q ∂p ∂p ∂q
∂q
∂p
yazılabilir.
(4.4.1)
78
Sadece
(q, p)
koordinatları
uygulanabileceğinden
(4.4.1)
için
sistemin
denkleminde
gerçek
yörüngeleri
hamiltonyen
üstünde
denklemlerinden
yararlanılmıştır.
H yardımıyla aşağıdaki lineer diferansiyel operatör tanımlanabilir.
 ∂H ∂ ∂H ∂ 

−
H = i{H , }P = i
 ∂q ∂p ∂p ∂q 
(4.4.2)
Bu tüm (q, p) değerleri için geçerlidir ve i faktörü kuantum mekaniği ile sadece
daha yakın benzerlikler için dahil edilir. (4.4.1) denklemi aşağıdaki şekilde de ifade
edilebilir.
dA
dA
= iHA veya i
= −HA
dt
dt
(q, p)
(4.4.3)
yi sağlamak sistemin [q (t ), p (t )] gerçek yörüngesi üzerindedir, yoğunluk
fonksiyonunu kullanırız:
ρ (q, p, t ) = δ [q − q (t )]δ [p − p (t )] = ∏ δ [q − q (t )]δ [p − p (t )]
i
→ A (t ) = A[q (t ), p (t )] = ∫ dq ∫ dp ρ (q, p, t ) A (q, p )
buradan, (4.4.1) aşağıdaki gibi olur.
dA
∂ρ (q, p, t )
= ∫ dq ∫ dp
A(q, p ) = iHA = ∫ dq ∫ dp ρ (q, p, t ) [iHA (q, p )]
dt
∂t
dA
= dq dp iH (ρA) − ∫ dq ∫ dp (iHρ )A
dt ∫ ∫
Şimdi,
 ∂H ∂ρA ∂H ∂ρA 

−
∂p
∂p ∂q 
∫ dq ∫ dp iH (ρA) = −∫ dq ∫ dp  ∂q
= − ∫ dq ∫ dp
∂  ∂ρA  ∂  ∂ρA 
H
 − H
=0
∂q 
∂p  ∂q  ∂q 
Son eşitlik içerisindeki tüm terimler bir yüzey integralidir. ve sonucu 0 dır.
(4.4.4)
79
Buradan (4.4.4) denklemi
dA
∂ρ
= ∫ dq ∫ dp A = − ∫ dq ∫ dp (iHρ )A haline gelir.
dt
∂t
Bu denklem herhangi bir A fonksiyonu için geçerlidir.
∂ρ
∂ρ
= −iHρ → i
= Hρ
∂t
∂t
Bu denklem Liouville denklemi olarak isimlendirilir.
4.4.2 Öteleme Operatörleri
A (n ) (0 ) ile A(t ) fonksiyonunun t = 0 noktasında zamana göre n. dereceden türevi
A(t ) = exp (itH )A(0 ) =
gösterilsin.
şeklinde formal çözümü olan i
∞
∞
n =0
n=0
n
1
t
n
∑ n!(itH ) A(0) = ∑ n! A(n ) (0) (taylor serisi)
dA
= −HA denklemi (4.4.1) denkleminden ayrılmalıdır.
dt
Burada exp(it H ) ile A yı zaman içinde t kadar öteleyen zamansal öteleme
operatörü gösterilir. Burada H ise zaman öteleme üretecidir.
Benzer şekilde, P uzaysal öteleme üreteci iken exp(ia P ) uzaysal öteleme operatörü
yardımıyla f (x ) fonksiyonunu a kadar f (x + a ) ya ötelenebilir.
Taylor serisinden yararlanılırak,
f (x + a ) =
P = −i
∞
n
∞
1  ∂ 
1
(
)
a
f
x
=


∑ n!  ∂x 
∑ n!(ia..P )n f (x )
n =0
n=0
∂
elde edilir. 3 boyutlu öklidyen uzaydaki N parçacıklı bir sistem için bu
∂x
denklem,
N
∂
= i{P , }P
∂
x
j
j =1
P = −i ∑
şeklinde genelleştirilebilir. Aynı şekilde x j “a” kadar yer değiştirirse x j + a olur.
(4.4.2) de bahsedildiği üzere, P total lineer momentum olmak üzere; P = i{P, } p için
80
N  ∂P
N  ∂P
∂P ∂ 
∂
∂ 
Pα = i ∑  α
− α
= −i ∑  α
 ∂x j ∂p j ∂p j ∂x j 
 ∂p j ∂x j 
j =1
j =1


N 
∂ N
= −i ∑ 
p
 ∂p j ∑ kα
j =1
k =1
N
 ∂
∂

= −i ∑
 ∂x j
∂x
j =1 jα

şeklinde yazılabilir.
4.5 Minkowski Uzay-zamanında Hareket Prensipleri
4.5.1 Minkowski Uzay-Zamanı
Rölativistik uzay-zamanlar bir metrikle beraber 4 boyutlu uzaylardır. Manifold
üzerinde iki nokta arasındaki uzaklığa gerçek zaman aralığı denir ve ∆τ ile gösterilir.
Sonsuz küçük bölünmeler için g bir metrik tensör olmak üzere,
dτ 2 = g µν ( x ) dx µ dxν
µ ,ν = 1,2,3,0
yazılır. Minkowski uzayı, içinde bir çeşit eylemsiz kartezyen koordinat sistemi
barındıran bir uzay olarak tanımlanır öyle ki metriği aşağıdaki gibidir.
 −1 µ =ν = 0

g µν ( x ) = η µν = 1 µ = ν = 1,2,3 ∀x
 0 µ ≠ν

Eğer g µν ( x ) = η µν olusa zaman t =
x0
şekliden tanımlanır. Burada c ışık hızıdır.
c
Uzaysal öteleme 3 boyutlu x = x i vektörü ile verilir. Genel olarak, bir koordinat
sistemi, g metriğinin değişmediği bir öteleme tarafından sabit bir kartezyen koordinat
sisteminden elde edilebiliyorsa sabittir denir
4.5.2 Đzometriler
Simetri dönüşümü yapıldığında g değişmiyorsa bu dönüşüme izometri denir. Şimdi
metrik tensörü farklı koordinat sistemlerinde tanımlarını görelim.
81
(g )µν = g µν
(g ′)µν = g µ ′ν ′
(Λ )µν
= Λνµ ′ =
∂x µ
∂xν ′
(ΛT )µν = Λνµ ′
µ′
(Λ−1 )µν = Λνµ ′ = ∂∂xxν
 T −1 
= Λνµ′
 (Λ ) 


µν
olmak üzere;
ds 2 = g µν dx µ dxν = g µ ′ν ′ dx µ ′ dxν ′ = g µ ′ν ′ Λµµ′ Λνν ′ dx µ dxν
→ g µν = g µ ′ν ′ Λµµ′ Λνν ′
veya g µ ′ν ′ = Λµµ′ Λνν ′ g µν
Yukarıdaki ifade matris formatında da yazılabilir.
( )−1 g ′ Λ−1
g ′ = ΛT g Λ ⇒ g = ΛT
Λ izometri ↔ g ve g ′ aynı fonksiyonel yapıdadır. Đzometriler sabit bir sistemi bir
başka sabit sisteme çevirir.
Đzometri örnekleri
a) Ötelemeler: a sabit bir vektör olmak üzere ötelemeler x µ ′ = x µ + a µ
formundadır.
Buradan dx µ ′ = dx µ için
ds 2 = g µν dx µ dxν = g µν dx µ ′ dxν ′ ≡ g µ ′ν ′ dx µ ′ dxν ′ ⇒ g µν = g µ ′ν ′ olur.
b) Lorentz Dönüşümü:
Đzometrik dönüşümlere Lorentz dönüşümü denir. Bu dönüşümlerin grubuna
Lorentz grubu denir ve aşağıdaki gibi ifade edilir.
82
x µ ′ = Λµµ′ x µ
det Λµµ′ = 1 gerçek Lorentz grubu
det Λµµ′ = −1 sanal Lorentz grubu
x1 koordinatı etrafında θ açısı kadar dönüş
1

0
Λ=
0

0

0
0
1
0
0 cos θ
0 − sin θ
0 

0 
sin θ 

cos θ 
x1 koordinatı boyunca v vektörü kadar boost
 cosh α

 − sinh α
Λ=
0

 0

− sinh α
cosh α
0
0
Burada sinh α = γβ
0
0
1
0
0

0
0

1 
cosh α = γ
β=
ν
c
γ=
1
1− β
2
kabul edilmiştir.
c) Poincare Dönüşümü:
Hem ötelemeleri hemde ortogonal dönüşümleri içeren Đzometrilere Poincare
dönüşümleri denir. Bu dönüşümler poincare grubu adıyla bir grup oluştururlar ve
aşağıdaki gibi ifade edilirler.
x µ ′ = Λµµ′ x µ + a µ ′
det Λµµ′ = 1 gerçek Poincare grubu
det Λµµ′ = −1 sanal Poincare grubu
Poincare grubu Minkowski uzayı için aynı zamanda bir izometri grubudur.
83
4.5.3 Tensörler
f (x ) ; x µ kartezyen koordinatlarında tanımlı skaler bir fonksiyon olsun.
Poincare dönüşümü ile x µ ′ = Λµµ′ x µ + a µ ′
dx µ ′ = Λµµ′ dx µ
∂µ′ f ≡
∂f
∂x
µ′
= Λµµ ′
∂f
∂x
µ
= Λµµ ′ ∂ µ f
olur.
V µ , 4 bileşenli ve dönüşümler dx µ ile aynı olduğundan Kontravaryant 4-vektör
denir. Aynı şekilde Vµ 4 bileşenli olduğundan ve ∂ µ f ’ye benzediğinden kovaryant
4-vektör denir.
Nesnemiz m,n indisler olmak üzere dönüşümü aşağıdaki gibiyse karışık 4-tensör
denir ya da m. Dereceden kontravaryant n. Dereceden kovaryant 4-tensör denir.
ν′ µ
µ
v ′ ,....v n′
ν′
T 1
= Λ 1 LΛ m Λ 1 LΛ n
µ1′ ,....µ n′
ν1
ν m µ1′
µ n′
Son olarak, bütün tensör indislerinin kısaltması Tüm Lorentz dönüşümleri altında
değişmez Lorentz skaleridir. Yani η µν U µ V ν
4.5.4 Serbest Bir Parçacığın Lagranjyeni
Bir parçacığın hareketi τ gerçek zaman olmak üzere minkowski uzayında bir
x µ (τ ) yoluyla tanımlanır. Eğer τ skaler olursa, yolun tanjantı → x& µ =
dx µ
4-vektör
dτ
olur ve buna 4-hız denir.
Rölativite prensibi tüm koordinat sistemlerinde aynı metrik tensöre sahip olması için
izole bir sistemin denklemlerine ihtiyaç duyar. Başka bir deyişle hepsi tüm izometrik
(Poincare) dönüşümler altında değişmezdir.
84
Bu, hareketin Lorentz skaleri olması ve ötelenebilir şekilde değişmez kalması
1
durumunda sağlanır. Buradan , serbest bir parçacık için, X = η µν x& µ x&ν iken,
2
(
)
S 0 = ∫ dτ L η µν x& µ x&ν = ∫ dτ L( X )
Olur. Aynı şekilde,
∂L
∂x
∂X
&µ
∂x
d
dτ
=
1
2
∂
&µ
x
µ
=0
∂L
&µ
∂x
(4.5.1)
=
∂X ∂L
∂x& µ ∂X
(ηαβ x&α x& β ) = 12 (ηαβ δ µα x& β + ηαβ x&α δ µβ ) = 12 (η µβ x& β + ηαµβ x&α ) = x& µ
2
 dL0  dX d L0
=


 dX  dτ dX 2
Euler-lagrange denklemlerinden yaralanarak
d
dτ
 dL0

 dx& µ
 d  µ dL0 
dL
d  dL0 
 =
 x&
 = &x&µ 0 + x& µ


dX 
dX
dτ  dX 
 dτ 
= &x&µ
dL0
dX d 2 L0
+ x& µ
=0
dX
dτ dX 2
(4.5.2)
sonucuna varılır.
Galile uzayında, L( X ) fonksiyonu ancak bu fonksiyonun Galile dönüşümü altında
değişmez olması halinde belirlenir.
Burada, benzer Lorentz değişmezliği zaten bizim X seçimimizden etkilenir.
Parçacığın gerçek yörüngesi üstünde
önemsizdir. Yani (4.5.2) denklemi &x&µ
X =
1 2
c olduğu için
2
L( X )
aslında
dL
dL
= 0 haline döner. Bu nedenle
≠0
dX
dX
olduğu sürece hareketin denklemi herzaman &x&µ = 0 olur.
85
Đşlemleri basitleştirmek için m parçacığın kütlesi olmak üzere:
1
L = −mX = − mη µν x& µ x&ν
2
(4.5.3)
Eksi işareti L’ye, göreli olmayan doğru bir limit vermek için konulmuştur. yani,
v= v =
(
1
dx
iken L = − c 2 − v 2
2
dt
)
olur.
4.5.5 Enerji-Momentum 4-Vektörü
x µ ye karşılık gelen p µ = −
∂L
∂x& µ
kanonik momentuma enerji-momentum 4-vektör
veya 4-momentum denir. kartezyen koordinatlarda,
η = (η µν ) = diag (1,−1,−1,−1)
(4.5.4)
Serbest bir parçacık için,
pµ = −
∂L
∂x& µ
= mη µν x&ν = m(c,− x& )
Ötelemelere karşı korunur. Kanonik momentumlar tanıma göre 1-formlardır yani
kovaryant vektörlerdir. Bunlara karşılık gelen kontravaryant vektörler ise;
p µ = η µν pν = mx& µ = m(c, x& )
Yukarıda η µν ile η µν birbirinin tersidir. η µσ ησν = δνµ (4.5.4) denklemine göre
η µν = η µν olur. Parçacığın hızı ve koordinatları (ct, x1 , x 2 , x 3 ) = (ct, x ) , u =
denkleminden ;
dτ
u2 1
= 1−
≡
dt
c2 γ
dx µ
dt dx µ
4-hız: x& µ =
=
= γ (c, u )
dτ
dτ dt
dx
dt
86
(
)
4-momentum: p µ ≡ p 0 , p = mx& µ = γ m(c, u )
Serbest bir parçacık korunduğu için, zaman bileşeni ile E enerjisi arasında ilişki
kurulabilir ve p 0 =
E
olmak üzere;
c
(
)
p µ p µ = m 2η µν x& µ x&ν = m 2γ 2 c 2 − u 2 = m 2 c 2
yazılabilir.
4.5.6 Serbest Bir Parçacık Grubu Đçin Lagranjyen
Birbirini etkilemeyen N parçacıklı bir sistem için (4.5.1-4.5.3) denklemlerini
N
genellersek S = − ∑ dτ i
i =1
1
mi n µν x&iµ x&νi olur.
2
Galile uzayında, Parçacık yoğunluğu “n” ve geçerli yoğunluk “j” aşağıdaki gibi
tanımlanır.
n(t , x ) = ∑ δ 3 ( x − xi (t ))
(4.5.5)
i
dxi (t ) 3
δ ( x − xi (t ))
dt
i
j (t , x ) = ∑
.(4.5.6)
Bunlar süreklilik denlemini sağlarlar.
∂n
+ ∇. j = 0
∂t
dx 0
=c
dt
kullanılarak
birleştirilebilir.
(4.5.7)
(4.5.5-4.5.6)
denklemleri
tekil
bir
4-vektör
içinde
87
dxiµ (t ) 3
δ ( x − xi (t ))
dt
i
j µ ( x ) = (cn(x ), j (x )) = ∑
Bu gerçekten bir 4-vektördür ve yeniden düzenlenirse aşağıdaki gibi görülür.
j µ ( x ) = c ∑ dτ i
i
dxiµ (τ i ) 4
δ (x − xi (τ i ))
dτ i
(4.5.7) denkleminden
∂µ jµ = 0
çıkar. Bu denklemi sağlayan A 4-akım
korunumludur denir.
Benzer şekilde, A miktarında bir değerin parçacıklarca taşınmasıyla ilgili akım
j Aµ (x ) = c ∑ dτ i Ai
i
dxiµ (τ i ) 4
δ ( x − xi (τ i )) şeklinde tanımlanır.
dτ i
A elektrik şarjı olarak düşünülürse elektromanyetik akım elde edilir. A 4momentum olarak düşünülürse enerji-momentum gerilim tensörü elde edilmiş olur.
T µν (x ) = c ∑ ∫ dτ i mi
i
dx µ (τ i ) dxν (τ i ) 4
δ ( x − xi (τ i ))
dτ i
dτ i
T nin simetrik ( Tµν = Tνµ ) ve korunumlu ( ∂ν T µν = 0 ) olduğu kolayca görülebilir.
Serbest parçacıklar sisteminin enerji ve momentum korunumu ifadesinden dolayı T
korunumludur demek basittir.
Đdeal akışkanın yoğunluğu uzaysal olarak sabit ve parçacıklarının ortalama hızı sıfır
olan bir durgun yüzeyi vardır.
( )
T = T µν = diag (ρ , p, p, p ) . Burada ρ enerji yoğunluğunu ve p ise basıncı ifade
etmektedir.
88
4.6 Klasik Elektrodinamik
4.6.1 Maxwell Denklemleri
Heaviside-lorentz içindeki mikroskobik Maxwell denklemlerini düşünelim.
Gauss Yasası:
∇E = ρe
(4.6.1)
Kutup yok:
∇B = 0
(4.6.2)
Faraday Yasası:
∇× E +
1 ∂B
=0
c ∂t
(4.6.3)
Ampere Yasası:
∇× B −
1 ∂E 1
= je
c ∂t c
(4.6.4)
Bazı geçerli birleşmiş teoriler, manyetik uçların varlığını kabul etsede,bu iddialar
henüz
deneylerle
desteklenmemiştir.
Homojen
denklem
(4.6.2-4.6.3);
(φ , A)
potansiyalleri kullanılarak sağlanabilir:
E = −∇φ −
1 ∂A
c ∂t
B = ∇× A
4-vektör A µ = (φ , A) ile Aµ = (φ , A) kullanarak, 4-tensor anti-simetrik alan gücü
aşağıdaki gibi tanımlanabilir.
Fµν = ∂ µ Aν − ∂ν Aµ
F µν = ∂ µ Aν − ∂ν A µ
Kartezyen Koordinatlarında;
 ∂
∂
∂ µ = 
,
0
i
 ∂x ∂x
 1
 =  ∂ ,∂
 c t t
 
 1 ∂

=

  c ∂t , ∇ 
 

1 ∂

∂ µ = 
,−∇ 
 c ∂t

F µν = − F νµ
F µµ = − F µµ = 0
89
F0j =
1 ∂A j ∂φ
+
= −E j
j
c ∂t
∂x
F ij = −
∂A j
∂x
i
∂Ai
+
∂x
j
= −ε ijk
∂A j
∂x
i
= −ε ijk B k
Son 2 denklem tensor denklemi değildir. Öyleyse,
 0

 E1
µν
F= F
= 2
E
 E3

( )
− E1
0
B3
− E2
− B3
0
− B2
B1
− E 3 
B2 

− B1 
0 
(4.6.1-4.6.4) denklemleri birleştirilirse;
∂ µ F µν =
1 µ
je
c
olur. Burada;
j eµ = (cρ e , je ) ile 4-akım yoğunluğu gösterilmektedir.
4.6.2 Lagranjyen Alan
Maxwell denklmeleri enküçük hareket prensibinden türetilebilir. Aµ (x ) 4-vektörü
için; L Lagranjyen yoğunluk olmak üzere aşağıdaki denklem yazılabilir.
S = ∫ dt L = ∫ dt ∫ d 3 x L =
1 4
d xL
c∫
1
1
L ( x ) = − Fµν ( x )F µν ( x ) − jeµ (x )Aµ ( x )
4
c
∂L
1
= − jeµ
∂Aµ
c
(4.6.5)
90
∂Fαβ
∂Aµ
(
∂Fαβ
=0
(
∂ ∂ µ Aν
∂ Fαβ F αβ
(
∂ ∂ µ Aν
)
) = δαµ δ βν − δαν δ βµ
) = η αγ η βδ ∂(Fαβ Fγδ )
(
∂ ∂ µ Aν
[(
)
)
(
= η αγ η βδ δ αµ δ νβ − δ αν δ βµ Fγδ + Fαβ δ γµ δ δν − δ γν δ δµ
(
)
(
= η µγ ηνδ − ηνγ η µδ Fγδ + Fαβ η αµ η βν − η αν η βµ
)]
)
= F µν − F νµ + F µν − F νµ = 4 F µν
Euler-Lagrange denklemleri kullanılarak;
∂L
∂L
− ∂µ
=0
∂Aν
∂ ∂ µ Aν
(
−
)
1 ν
j e + ∂ µ F µν = 0
c
istenen denklem elde edilir.
4.6.3 Yüklü Parçacıkla Etkileşim
4.6.3.a) Lagranjyen
Bir parçacığın q şarjı için, akım yoğunluğu:
1 µ
j e ( x ) = cq ∫ dτ x& µ (τ )δ 4 ( x − x(τ ))
c
olup; Buradan;
1
c
2
∫d
4
q 4
d x ∫ dτ x& µ (τ ) δ 4 ( x − x(τ )) Aµ ( x )
∫
c
q
= − ∫ dτ x& µ (τ ) Aµ [x (τ )]
c
xjeµ ( x )Aµ ( x ) = −
91
(4.5.1) ve (4.6.5) denklemleri birleştirilerek, elektromanyetik alana maruz kalan
yüklü bir parçacığın hareketi;
1
L = − mη µν x& µ x&ν
2
L=−
Lint = −
1
Fµν (x )F µν ( x )
4c
q µ
x& Aµ ( x )
c
Lint = −
1 µ
je ( x )Aµ ( x ) olmak üzere
c
S = ∫ dτ L + ∫ d 4 x Lint + ∫ d 4 x L = ∫ dτ L + ∫ dτ Lint + ∫ d 4 x L
şeklinde olacaktır.
4.6.3.b) Hareket Denklemleri
Dinamik değişkenler, x µ (τ ) ve A µ (x ) ‘dir ve A µ (x ) ‘teki x terimi için 2 tanım
bulunmaktadır.
A µ (x ) dinamik bir değişken gibi davranırken x; L and Lint içerisinde sadece bir
değişkendir. Ancak, A µ (x ) Lint ’teki gibi bir parçacık üzerinde potansiyel olarak
işlediğinde, x dinamik bir değişken olarak işlem görür. Benzer bir yorumlama j eµ (x ) ‘e
de uygundur.
Bir dinamik değişkenin varyasyonlarında, tüm diğerleri sabit olarak alınmalıdır.
Bu durumda, parçacık serbestlik derecesi için x µ (τ ) , δA µ = 0 olarak belirlenir,
böylece δ L = 0 ve
δ S = ∫ dτδ (L + Lint )
q
 1

= ∫ dτ δ  − mηµν x& µ x& ν − x& µ Aµ ( x )
c
 2


q
q
∂A

= − ∫ dτ mηµν x& ν + Aµ ( x ) δx& µ + x& ν ν
c
c

∂x µ

 d 
q
∂A
 q
= − ∫ dτ− mηµν x& ν + Aµ ( x ) + x& ν ν
c
 c
∂x µ
 dτ 

δx µ 

 µ
 δx

92
mηµν &x&ν +
q &
q ∂A
Aµ − x& ν ν = 0
c
c
∂x µ
olur. Şimdi, A& µ =
dAµ
dτ
=
(4.6.6)
dxν ∂Aµ
= x&ν ∂ν Aµ (4.6.6)’dan;
dτ ∂xν
q ν
q
x& ∂ µ Aν − ∂ν Aµ = x&ν Fµν
c
c
q ν
⇒ m&x&µ = x& Fµν
c
q
q
q
m&x&µ = x&ν Fνµ = x&ν F µν = ηνσ x& σ F µν
c
c
c
(
mη µν &x&ν =
)
veya
 0
 c&t& 

 1
 &x&  q  E 1
m 2  =  2
&x&
c E
 3
 &x& 
 E3
 

(
− E1
0
B3
− E2
− B3
0
− B2
B1
E x&


− E 3  ct& 
 
 1

3
2
2
3
2  x&1
B   q  cE t& + B x& − B x& 
 2  =  2
3 1
1 3
− B1  x&  c  cE t& − B x& + B x& 
 cE 3t& + B 2 x&1 − B1 x& 2 
 3
0  x& 


)
olup; E = E1 , E 2 , E 3 3 boyutlu öklidyen vektör. Buradan;
dt
t& =
=γ =
dτ
x& =
dx
= γu
dτ
1
1−
&t& = dγ = γ dγ
dτ
dt
u2
u=
dx
dt
c2
&x& =
d
(γu ) = γ dp
dτ
m dt
p = m γu
için,
dγ 

 mcγ 
dt 

Eu

 
 dp1 
2 dγ
 1

γ
3
 dt  q  cE + B u 2 − B 2u 3   mc
dt

2  = γ
2
3 1
1 3⇒ 
 γ dp  c  cE − B u + B u   dp
 cE 3 + B 2u1 − B1u 2   dt
 dt 



3 
dp
 γ

 dt 

Eu




 = q
1
 E + u × B


c



93
x µ ‘e karşılık gelen kanonik momentler ise,
pµ = −
∂
&µ
∂x
(L + Lint ) = mη µν x&ν
⇒
p µ = mx& µ +
olur.
q µ
A
c
+
q
Aµ
c
94
5. BÖLÜM : HĐPERBOLĐD UYGULAMASI
X2
Xx0
3
X1
Şekil 5.1 Hiperbolid Negatif eğriliğe sahip bir uzay
x1 = Cosh (a ).Cos (θ );
x 2 = Cosh (a ).Sin(θ );
x3 = Sinh (a );
denklemleri parametrik olarak x12 + x 22 − x32 = 1 denkleminin çözümüdür.
Buradan uyarlanmış metrik elde edilebilir.
95
dx1 = Sinh (a ).Cos (θ )da − Cosh (a ).Sin(θ )dθ ;
dx 2 = Sinh (a ).Sin(θ )da + Cosh (a ).Cos (θ )dθ ;
dx3 = Cosh (a ) da;
ds 2 = dx12 + dx22 − dx32
=
(
)
1
− 2da 2 + dθ2 + dθ2 cosh[2a ]
2
− ∞ < a < ∞,
0 < θ < 2π
a ve q ile uzayın koordinatlarını göstermektedir. Metrik üç boyutlu Lorentz
metriğidir. Bu metrik yardımıyla eğrinin uzunluğu hesaplanabilir. Yüzey üzerindeki bir
eğri t parametresine bağlı olarak verilen koordinat fonksiyonları tarafından belirlenir.
Bu durumda; eğri üzerindeki t A noktası ile t B noktası arasındaki yayın uzunluğu
aşağıdaki integral vasıtasıyla hesaplanabilir.
tB
l AB =
∫
tA
2
2
2
 dx 
 dx1 
 dx 

 +  2  −  3  dt
 dt 
 dt 
 dt 
Bu değere gravitasyonel alan denir.
Şekil 5.2 Hiperbolidin boğazında hareket eden top
Bükümlü uzaydaki doğru ile düz uzaydaki doğrular birbirinden farklıdır. Örneğin
şekildeki hiperbolidin boğazının içinde hareket eden topun takip ettiği görülen kırmızı
96
çizgi bir doğrudur (geodezik). Diğer taraftan uzay-zaman, içinde hareket eden maddenin
ağırlığı tarafından bükülür.
Eğrilerin geodezikleri küçük deformasyonlar karşısında değişmezler. Geodezikler
vektörlerimize paralel taşıma yaptığımız eğrilerdir.
X P1
q
X P2
P1
q
P2
Şekil 5.3 Paralel taşıma esnasında açı ve tanjant vektör değişmez.
Hiperbolid üzerinde 3 tip geodezik vardır:
1. ds 2 < 0 Time-like geodezik: Kütleli bir parçacık için evren çizgisi
(worldline) olabilir.
2. ds 2 > 0 Space-like geodezik: Herhangi bir parçacık takip edilemez. Çünkü
ışıktan hızlı hareket etmektedir.
3. ds 2 = 0 Light-like geodezik: Foton benzeri kütleli bir parçacık için evren
çizgisi olabilir.
τ gerçek zaman aralığı olmak üzere uyarlanmış metriğe göre dτ = − ds 2 ve
s = ∫ dτ = l yazılabilir. Buradan uzunluk,
l=∫
2
  da  2
2  dθ  

− −   + cosh a 
 dt integrali vasıtasıyla hesaplanır.
  dt 
dt  



97
l=∫
2
2
 da 
2  dθ 
  − cosh a 
 dt ≡ ∫ L dt
 dt 
 dt 
δl =∫
1
L
δ L dt = 0 ⇒ δ L = 0
Buradan L = a& 2 − cosh 2 a θ& 2 sıradan bir mekanik problemin Lagranjyeni yerine
düşünülebilir.
Euler-Lagrange denklemleri:
(
)
0 = ∂t
∂L ∂L
−
= ∂ t − 2 cosh 2 a θ&
∂θ& ∂θ
0 = ∂t
∂L ∂L
−
= 2 ∂ t − ∂ t a& + cosh a sinh a θ&
∂a& ∂a
(
)
Yukarıdaki denklemlerin 1.si, q ‘nın periyodik bir değişken olduğunu gösterir ve bu
denklemin çözümü yapılacak olursa,
cosh 2 a θ& = p = sabit olur.
Time-like ve light-like durumlarında p değeri, geodezik üzerindeki parçacığın
enerjisini ifade eder.
1 ; space − like
dx µ dxν

2
2
2
L = g µν
= a& − cosh a θ& = k =  0 ; light − like
ds ds
− 1 ; time − like

Bu bölümlenmeden direkt olarak yörüngelerin denklemlerini elde edebiliriz:
a& 2 = cosh 2 a θ& 2 + k
2
p2
 da dθ 
2
+k

 = cosh a
 dθ dt 
cosh 4 a
2
p2
p2
 da 
= cosh 2 a
+k


 dθ  cosh 4 a
cosh 4 a
98
da
=
dθ
p 2 cosh 2 a + k cosh 4 a
p
Yörüngelerin diferansiyel denklemini elde etmek için bu model, daha gerçekçi olan
4 boyutlu modellere uyarlanabilir.
Genelde bu uyarlama 3 tip geodezik ailesi verir.
1. Space-like tipi geodezikler:
tan θ = p
sinh a
p 2 + cosh 2 a
x1
x2
x3
Şekil 5.4: Space-Like geodezik
Hiperbolid üzerindeki bu eğriler space-like tipindedir. − ∞ dan + ∞ a gerilir. Bu
eğriler hiperbolidin boğazının etrafında bir miktar dönerler fakat asla tam tur atamazlar.
99
2. Time-like tipi geodezikler:
tan θ = p
sinh a
p 2 − cosh 2 a
X
x22
Xx0
3
xX11
Şekil 5.5: Burada nedensellik açısından kapalı Time-like eğrilerde bir problem olabilir.
Bunlar hiperbolid üzerindedirler ve hiperbolidin boğazının etrafında dönebilirler.
Fakat asla sonsuzluğa uzanmazlar. Bu eğriler hareketin ilk integrali tarafından da
sınıflandırılabilirler. Burada E enerjisinden yararlanılabilir.
3. Light-like tipi geodezikler
tanh
a
θ
= tan + α
2
2
100
X
x22
X
x11
Xx30
Şekil 5.6: Light-Like geodezikler konformal dönüşümler altında korunurlar.
Hiperbolid üzerindeki bu eğriler doğrudurlar ve açısı α kadar döndürülen hareketin
ilk integrali tarafından tanımlanırlar.
101
KAYNAKLAR
Chinea D., De Leon., M., Marrero, J.C., The Constant Algorithm for Time-Dependent
Lagrangians, Ms Classification 58F05, 70H35, 53C15, Spain(1991).
Civelek, Ş., Yaklaşık Tanjant ve Kotanjant Demette Tanımlı Lagranjyen ve Hamiltonyein k.
Mertebeden Yükseltilmişleri, Altınoluk Matematik Günleri, Balıkesir Univ., (1996)
Civelek, Ş., The Lifts of Lagrange and Hamilton Equations to The Extended Vektör Bundles,
Math. Comp. Appl., vol. 1, No. 1, pp. 21-28, (1996)
De Andres., L.C., De Leon., M., Rodrugues, P.R.., Connections on Tangent Bundles of
Higher Order Associated to Regular Lagrangians, Geometriae Dedicata vol. 39, pp. 17-28,
(1991).
De Leon., M., Marrero, J.C., Time Dependent Linear Lagrangians: The Inverse Problem,
Symmetries and Constants of Motion, Ms Classification Primary 58F05, Secondary 70H35,
Spain(1991).
De Leon., M., Rodrugues, P.R.., Second-Order Differential equations and nonconservative Lagrangian Mechanics, J. Phys. A: Math. Gen. 20, pp. 5393-5396, UK, (1987).
De Leon., M., Rodrugues, P.R.., Generalized Clasical Mechanics and Field Theory , North
Holland Amsterdam Math. Studies 112, 1985.
De Leon., M., Rodrugues, P.R.., Methods of Differential Geometry in Analytical
Mechanics, North Holland Amsterdam Math.Studies 159, 1989.
De Leon., M., Rodrugues, P.R. (1988), Degenerate Lagrangian Systems and Their
Associated Dynamics, Rendiconti di Math. Serie VII Vol. 8, Roma, pp 105-130.
FRE, P. (06-Oct-2007), http://personalpages.to.infn.it/~fre/PPT/virgolect.ppt,
102
Hazar, M., Yaklaşık Tanjant Manifoldlar ve Mekanik Sistemler, Yüksek Lisans Tezi, PAU
Fen Bilimleri Enstitüsü, Mat. ABD. (1998)
Lopez, R., (2008) Differential Geometry of Curves and Surfaces in Lorentz Minkowski
Space, IME-USP, Brasil, 1-28
Özar, M., Klasik Mekanikteki Mekanik Sistemlerin Bilgisayar Programlama Đle
Modellenmesi, Yüksek Lisans Tezi, PAU Fen Bilimleri Enstitüsü, Mat. ABD. (2007)
Popp K., (2000) Non-Smooth Mechanical Systems, J. Appl. Maths., 5:765-772
Rızaoğlu, E. ve Sünel, N., (2002) Klasik Mekanik, Seçkin Yayıncılık, Ankara, 570s
Udwadia, F. E. and Kalaba, R. E., (1992) A New Perspective On Constrained Motion,
Proc. Roy. Soc., 439:407-410
Udwadia, F. E. and Kalaba, R. E., (1996) Analytical Dynamics: A New Approach,
Cambridge University Press, New York, 272p
Udwadia, F. E., (2000) Fundamental Principles of Lagrangian Dynamics: Mechanical
Systems with Non-ideal, Holonomic and Nonholonomic Constraints, J. Maths.
Analysis and Appl., 251:341-345
Wonk, C. .K., (25-Nov-2009), http://ckw.phys.ncku.edu.tw/public/pub/Notes/
TheoreticalPhysics/pdf/3._ClassicalPhysics.pdf, (Nov-2009 ) (Nov-2009)
103
ÖZGEÇMĐŞ
Bülent YILDIZ
15.11.1972 tarihinde Đzmir’in Kiraz ilçesinde doğdu. Đlköğrenimini Ödemiş Atatürk
Đlkokulu’nda, orta ve lise eğitimini Ödemiş Ortaokulu ve Lisesi’nde tamamladı. 1989
yılında girdiği ĐTÜ Matematik Mühendisliği bölümünden 1994 yılında mezun oldu.
1995 yılında Pamukkale Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim
dalında yüksek lisans eğitimine başladı. 1996 yılında T.C. Başbakanlık’ta mühendis
olarak göreve başladı. Halen çalışmaya devam etmektedir.