1- TÜREV.qxp - Murat Matematik

BÖLÜM 5
TÜREV ALMA KURALLARI
~ Türevin Tanýmý
~ Saðdan ve Soldan Türev
~ Türevin Süreklilikle Ýliþkisi
~ Türev Alma Kurallarý
~ Özel Tanýmlý Fonksiyonlarýn Türevi
~ Alýþtýrmalar 1
~ Test 1
~ Türevde Zincir Kuralý
~ Bileþke ve Ters Fonksiyonun Türevi
~ Trigonometrik Fonksiyonun Türevi
~ Ters Trigonometrik Fonksiyonun Türevi
~ Alýþtýrmalar 2
~ Test 2
~ Kapalý Fonksiyonun Türevi
~ Parametrik Fonksiyon Türevi
~ Logaritmik Fonksiyon Türevi
~ Üstel Fonksiyon Türevi
~ Yüksek Mertebeden Türev
~ Diferansiyel Kavramý
~ Alýþtýrmalar 3
~ Test 3
~ Karma Test 1 - 2 - 3
~ ÖSYM Sorularý
Ýsterdim ki...
Kavgayý bir aðacýn yapraðýna yazmak isterdim,
Sonbahar gelince yapraklar kurusun diye...
Öfkeyi bir bulutun üstüne yazmak isterdim;
Yaðmur yaðsýn bulut yok olsun diye...
Nefreti karlarýn üstüne yazmak isterdim;
Güneþ açsýn, karlar erisin diye...
Dostluðu ve sevgiyi yeni doðan bebeklerin yüreðine yazmak isterdim;
Onlar büyüsün, dünyayý sarsýn diye...
Türev
Günün birinde birkaç fonksiyon bir kafede oturmuþ, sýfýra ne kadar hýzla
yakýnsadýklarý gibi konular üzerinde tartýþýyorlarmýþ. Derken içlerinden biri kapýya
bakarak aniden, baðýrmýþ, “Dikkat türev geliyor!” Hepsi apar topar sandalyelerinin
altýna saklanmýþlar, ancak ex hiç istifini bozmamýþ. Türev aðýr adýmlarla içeri girmiþ
ve tek baþýna oturan fonksiyonu görüp “sen benden korkmuyor musun?” demiþ.
Hayýr, ben ex’im diye yanýtlamýþ kendine güvenen bir tavýrla. “Yaa” demiþ türev. “Peki
benim x’e göre türev alacaðýmý kim söyledi?”
Türev Alma Kurallarý
1. TÜREVÝN TANIMI
fý (2) = l i m
x →2
f : A → R,
y = f(x) fonksiyonu a ∈ A’da
2x 2 − 3 − 5
x −2
x →2
= lim
sürekli olmak üzere,
lim
x →a
f(x) − f(a)
x−a
2(x 2 − 4)
x →2 x − 2
= lim
limiti bir reel sayýya eþitse; bu deðere f(x)
fonksiyonunun x = a noktasýndaki türevi
denir. y = f(x) fonksiyonunun x = a noktasýndaki türevi
ý
f (a) veya
df
(a) ,
dx
dy
dx x =a
= lim
x →2
ý
O halde f (2) = 8 bulunur.
Örnek 2
f : R → R ve f(x) = 3x 2 + 1 fonksiyonunun
herhangi bir x deðeri için türevini tanýmdan yararlanarak bulunuz.
Türev alma iþlemi deðiþik biçimde þöyle
ifade edilebilir.
h > 0 olmak üzere;
Çözüm
x =a +h
⇔
x −a =h
x →a
⇔
(x − a) → 0 olur.
⇔
h → 0
fý (x) = lim
olur.
h→ 0
f(x + h) − f(x)
h
3(x + h)2 + 1 − (3x 2 + 1)
h
h→ 0
= lim
olur.
Burada f(x) fonksiyonunun x = a noktasýn-
3x 2 + 6xh + 3h2 + 1 − 3x 2 − 1
h
h→ 0
daki türevi,
= lim
x→a
f(x) − f(a)
f(a + h) − f(a)
= lim
x−a
h
h→ 0
6xh + 3h2
h
h→ 0
= lim
Eðer yukarýdaki limit bir reel sayý deðerine
eþit deðilse fonksiyonun x = a noktasýnda
türevi yoktur denir.
= lim
h→ 0
Buna göre, f(x) fonksiyonunun herhangi bir
x deðeri için türevi,
h (6x + 3h)
h
= lim (6x + 3h) = 6x + 3 ⋅ 0 = 6x
h→ 0
f(x + h) − f(x)
fý (x) = lim
h
h→ 0
ý
O halde f (x) = 6x bulunur.
þeklinde gösterilmektedir.
Örnek 3
f : R + → R ve f(x) = ñx fonksiyonunun herhangi bir x deðeri için türevini tanýmdan
yararlanarak bulunuz.
Örnek 1
f : R → R ve f(x) = 2x 2 − 3 fonksiyonunun
x = 2 noktasýndaki türevini bulunuz.
Çözüm
f ý (x) = lim
h →0
Çözüm
f(x) = 2x 2 − 3
f(2) =
(x − 2)
x →2
d
’e türev alma oparatörü denir.
dx
fý (a) = lim
2(x − 2) (x + 2)
= l i m 2(x + 2) = 2(2 + 2) = 8
sembollerinden
biri ile gösterilir.
Burada
f(x) − f(2)
x −2
2⋅(2) 2
f(x + h) − f(x)
h
x +h − x
h
h →0
= lim
− 3 = 5
151
Türev Alma Kurallarý
= lim
h ⋅( x + h + x )
h→ 0 h ⋅ ( x + h +
h→ 0
=
fý (x) =
x)
1
i)
x +h + x
1
x + 0 + x)
1
2 x
A ⊂ R, a ∈ A, f : A → R ye tanýmlý f(x)
fonksiyonu verilsin.
x +h−x
= lim
= lim
2. SAÐDAN VE SOLDAN TÜREV
( x + h − x ) ⋅( x + h + x )
h→ 0
=
1
f(x) − f(a)
x−a
x →a
lim
limitinin bir reel sayý deðeri varsa buna
f(x) in x = a noktasýndaki saðdan türevi
ý
denir ve f (a + ) þeklinde gösterilir.
2 x
dir.
ii)
f : R + → R ve f(x) = sinx fonksiyonunun
herhangi bir x deðeri için türevini tanýmdan yararlanarak bulunuz.
x → a−
ý
f(x + h) − f(x)
h
h →0
ý
Limitte olduðu gibi saðdan ve soldan
türevler özel tanýmlý fonksiyonlarda uygulanýr.
= lim
sin(x + h) − sin x
h
= lim
sin x ⋅ cosh + sinh⋅ cos x − sin x
h
Örnek 5
⎧⎪ x − 1 , x < 1
f(x) = ⎨ 2
⎪⎩ x − 1 , x ≥ 1
⎛ sin x(cosh − 1) sinh.cos x ⎞
= lim ⎜
+
⎟
h
h
h →0 ⎝
⎠
= sin x ⋅ lim
cosh − 1
sinh
+ cos x ⋅ lim
h
h→ 0 h
= sin x ⋅ lim
(cosh − 1).(cosh + 1)
+ cos x
h(cosh + 1)
h→ 0
ý
f (a + ) = f (a − ) = f (a) dýr.
f ý (x) = lim
h→ 0
f(x) − f(a)
x−a
x = a noktasýnda f(x) in saðdan ve soldan
türevleri birbirine eþit ise fonksiyonun bu
noktada türevi vardýr denir.
Çözüm
h →0
lim
limitinin bir reel sayý deðeri varsa bu
deðere f(x) in x = a noktasýndaki soldan
ý
türevi denir ve f (a − ) þeklinde gösterilir.
Örnek 4
h →0
+
fonksiyonunun x = 1 noktasýndaki türevi
nedir?
Çözüm
f(x) − f(1)
x 2 −1 − 0
= lim
x −1
x −1
x →1+
x→ 1+
f ý (1+ ) = lim
− sin2 h
+ cos x
h→0 h(1 + cosh)
= sin x ⋅ lim
(x − 1) (x + 1)
= lim (x + 1) = 2
(x − 1)
x →1
x→ 1+
= lim
+
⎛ sinh sinh ⎞
= − sin x ⋅ lim ⎜
⋅
⎟ + cos x
h→0 ⎝ h 1 + cosh ⎠
f ý (1− ) = lim
x →1−
f(x) − f(1)
x −1 − 0
= lim
=1
−
x −1
x −1
x →1
= − sin x ⋅ (1⋅ 0) + cos x = cos x bulunur.
ý
ý
f (1 + ) ≠ f (1 − ) olduðundan f(x) fonksiyonunun x = 1 noktasýnda türevi yoktur.
ý
O halde, f(x) = sinx ise f (x) = cosx dir.
152
Türev Alma Kurallarý
Örnek 6
f : R → R ye tanýmlý,
⎪⎧ x 2 ,
f(x) = ⎨
⎪⎩2x ,
Çözüm f(2) = 6
f ý (2 + ) = lim
x≤0
x →2 +
x>0
x2 + x − 6
x −2
x →2 +
= lim
fonksiyonunun x o = 0 noktasýnda türevi
nedir?
Çözüm
= lim
f ý (0 + ) = lim
x →0 +
f(x) − f(2)
x −2
x →2 +
f(x) − f(0)
2x − 0
= lim
= 2 dir.
x −0
x
x→ 0 +
f ý (2 − ) = lim
x →2 −
f(x) − f(0)
x2 − 0
= lim
x −0
x
x →0 −
x→ 0 −
f ý (0 − ) = lim
(x + 3)(x − 2)
(x − 2)
= 5 bulunur.
f(x) − f(2)
x −2
2x 2 − 2 − 6
x −2
x →2 −
= lim
= lim x = 0 bulunur.
x →0 −
= lim
x →2 −
x = 0 noktasýnda saðdan ve soldan türevleri farklý olduðundan f(x) in bu noktada
türevi yoktur, fakat fonksiyon x = 0 noktasýnda süreklidir.
ý
2(x − 2) (x + 2)
(x − 2)
= 8 bulunur.
ý
f (2 + ) ≠ f (2 − ) olduðundan f(x) in x = 2 noktasýnda türevi yoktur.
Burada, f(x) fonksiyonunun x = 2 noktasýnda sürekli olduðuna dikkat ediniz.
Örnek 7
f : R → R ye tanýmlý,
Sürekli olan her fonksiyon ayný noktada
türevlenemeyebilir.
⎧ x + 1 , x ≠ 1 için
f(x) = ⎨
⎩ 2 , x = 1 için
3. TÜREVÝN SÜREKLÝLÝK ÝLE ÝLÝÞKÝSÝ
fonksiyonunun x o = 1 noktasýnda türevi
nedir?
Teorem:
Çözüm
f(x) − f(1)
fý (1+ ) = f ý (1− ) = lim
x →1 x − 1
f : [a, b] → R ve c ∈ [a, b] olsun. Eðer
f(x) fonksiyonu x = c noktasýnda türevi
varsa bu noktada süreklidir.
x + 1− 2
x −1
= lim
=1
x →1 x − 1
x→1 x −1
= lim
Ýspat :
olduðundan f(x) fonksiyonu x = 1 noktasýný
da türevi vardýr ve f (1) = 1 dir.
f(x) in x = c noktasýnda türevi olduðundan,
h(x) =
lim f(x) = lim f(x) = lim (x +1) = 2 = f(1)
+
x →1
x →1−
x →1
f(x) − f(c)
x −c
(x ≠ c) alýnýrsa,
lim h(x) = f ý(c) dir. Buradan,
olduðundan f(x) fonksiyonu x o = 1 noktasýnda süreklidir.
x→c
= lim f(c) + lim f(x − c) ⋅ h(x)
lim −f(x)
f(x)
f(c)x →
= c(x − c)x→
⋅ h(x)
c
x →c
Örnek 8
f(x) = f(c)
+ (x
⋅ h(x)
limc)f(x
= f(c)
+ −
− c) ⋅ lim h(x)
⎧ x2 + x , x ≥ 2
⎪
⎪
f(x) = ⎨
6 , x =2
⎪ 2
, x<2
⎪
⎩ 2x − 2
x →c
x→ c
her iki tarafýn limitini alalým.
= f(c) + 0 ⋅ h(c)
= f(c)
fonksiyonunun x = 2 noktasýnda türevi
var mýdýr?
lim f(x) = f(c)
x →c
153
bulunur.
Türev Alma Kurallarý
Örnek 9
Bu da f(x) fonksiyonunun x = c noktasýnda
sürekli olduðunu gösterir.
x2 + 3
Bu teoremden þu sonuçlar çýkartýlabilir.
f(x) =
Sonuç 1 :
fonksiyonunun türevsiz olduðu noktalarý
bulunuz.
f(x) fonksiyonu herhangi bir x o noktasýnda
sürekli deðilse o noktada türevlenemez.
y
x − x − 12
Çözüm
f(x) fonksiyonu süreksiz olduðu noktalarda
türevi yoktur. Bundan dolayý fonksiyonun
tanýmsýz olduðu noktalarý bulalým.
y
f(x)
3
2
f(x)
x
1
2
x = 1 de f(x) süreksiz
x = 1 de türevi yok
x 2 − x −12 = 0
x
(x − 4)(x + 3) = 0
x = 2 de f(x) süreksiz
x = 2 de türevi yok
x − 4 = 0
x + 3 = 0
x = 4
x = −3
bulunur.
O halde f(x) fonksiyonu x = 4 ve x = −3
apsisli noktalarda süreksiz, dolayýsýyla bu
noktalarda türevi yoktur.
Gerçekten yukarýda verilen noktalarda
teðetlerin çizilemediðini veya teðet çizildiðinde bu teðetlerin farklý olduðu görülür.
Sonuç 2 :
Örnek 10
f(x) fonksiyonu x o noktasýnda sürekli olsa
bile bu noktada türevi olmayabilir.
f(x) =
y
fonksiyonunun türevsiz olduðu noktalarýn
5
apsisleri toplamý
ise a nýn deðeri kaç4
týr?
f(x)
x
4
d1
2
1
+
ax − 3 2ax + 1
Çözüm
f(x) in süreksiz olduðu noktalarda türevinin
olmadýðýný biliyoruz.
d2
x = 4 noktasýnýn solunda artan saðýnda
azalan veya saðdan teðet d 1 soldan teðet
d 2 olup d 1 ≠ d 2 olduðundan fonksiyon x = 4
noktasýndaki saðdan ve soldan türevleri
farklýdýr, dolayýsýyla o noktada fonksiyonun
türevi yoktur.
Buna göre;
ax − 3 = 0
3
x1 =
a
2ax + 1 = 0
1
x2 = −
2a
türevsiz olduðu noktalarýn toplamý;
Yukarýdaki örneði inceleyiniz.
x1 + x 2 =
Uyarý:
3 1
6 −1 5
−
=
=
a 2a
2a
2a
Buradan,
5
5
=
⇒ a=2
2a 4
Bir fonksiyon sürekli olup, türevi olmadýðý
noktalara kýrýlma noktasý denir.
154
bulunur.
olur.
Türev Alma Kurallarý
xn + n.xn−1 ⋅ h + ... + hn − x n
h
h→ 0
4. TÜREV ALMA KURALLARI
= lim
Türevin tanýmýný kullanarak bir fonksiyonun
türevini almak uzun iþlemler gerektirebilir.
Bundan dolayý bir fonksiyonun türevini kýsa
yoldan bulmamýzý saðlayacak kurallarý
göreceðiz.
1)
n.xn−1 ⋅ h + ... + hn
h
h→ 0
= lim
h [ n.x n−1 + ... + hn−1 ]
h
h→ 0
= lim
Sabit fonksiyonun türevi :
= n.xn−1 + 0 + ... + 0
f : R → R,
= n.xn−1
f(x) = c,
c ∈ R olmak üzere,
ý
dýr.
f(x) = c ise f (x) = 0
fý (x) = n . x n−1
bulunur.
Sabitin türevi sýfýrdýr.
Ýspat :
Örnek 2
f(x) − f(c)
c −c
= lim
h
h→ 0
h→ 0 h
fý (x) = lim
0
= lim 0 = 0 dýr.
h→ 0 h h→ 0
= lim
⇒ f (x) = 3x 2
~ f(x) = 5x 4
⇒ f (x) = 5⋅4⋅x 3 = 20x 3
~
Örnek 1
~ f(x) = 3
⇒ f ý (x) = 0
dy
=0
dx
dy
ý
=0
~ f(t) = x 2 + k ⇒ f (t) =
dt
Bir polinomum türevi :
n ∈ R − {0}, f : R → R, f(x) = x n
ý
f(x) = x n ise f (x) = n ⋅ x n−− 1
dir.
Ýspat :
3)
n
f(x + h) − f(x)
(x + h) − x
= lim
h
h
h →0
h→ 0
f ý (x) = lim
y=
1
x2
ý
= x −2
⇒ yý = −2 ⋅ x− 2− 1 = −
3
ý
~ f(x) = t 2 + 3 ⇒ f (x) =
2)
ý
~ f(x) = x 3
n
3
2
x3
1
3 2 −1 3 2
⋅x
= ⋅x
2
2
~ y = x2
⇒ yý =
2 5
~ y =a x
⇒
dy
= a2 ⋅ 5x 4
dx
2 5
~ y =a x
⇒
dy
= 2a ⋅ x 5
da
2 3
~ y = t ⋅x
⇒
dy
= 2t ⋅ x 3
dt
3 2
~ y = x ⋅t
⇒
dy
=0
dc
~ y = a.x
⇒
dy
=a
dx
~ y = t.x
⇒
dy
=x
dt
Fonksiyonlarýn toplamýnýn veya farkýnýn
türevi :
f ve g türevlenebilen iki fonksiyon olmak
üzere,
(n )xn + (1n )xn −1 ⋅ h + ... + (nn )hn − xn
= lim 0
h
h→ 0
F(x) = f(x) ∓ g(x) ⇒ F ý (x) = f ý (x) ∓ g ý(x)
155
Türev Alma Kurallarý
Ýspat :
Fý (x) = lim
Örnek 6
[f(x + h) ∓ g(x + h) ]− [f(x) ∓ g(x) ]
f(x) = x3 − 2x ve g(x) = x2 + x olduðuna göre,
ý
(f + g) (2) nin eþiti nedir?
h
h→ 0
f(x + h) − f(x) ∓ g(x + h) − g(x)
h
h→ 0
= lim
Çözüm
f(x + h) − f(x)
g(x + h) − g(x)
∓ lim
h
h
h→ 0
h→ 0
fý (x) = 3x 2 − 2 ⇒
= lim
gý (x) = 2x + 1
= f ý (x) ∓ gý (x) bulunur.
f ý (2) = 3 ⋅ 2 2 − 2 = 10
⇒ gý (2) = 2 ⋅ 2 + 1 = 5
(f + g)ý (2) = f ý (2) + gý (2)
= 10 + 5 = 15
bulunur.
Örnek 3
ý
~
f(x) = x3 − 2x2 + 4x − 1 ⇒ f (x) = 3x2 − 4x + 4 − 0
~
f(x) = cx 3 − kx + t ⇒ f (x) = 3cx 2 − k + 0
~
ý
f(x) = x a − x b ⇒ f (x) = ax a−1 − bx b−1
~
y = kx t + x ⇒
~
dy
= ab x b −1 + 0
y = ax b + t 3 ⇒
dx
ý
4) Ýki fonksiyonun çarpýmýnýn türevi :
f ve g fonksiyonlarý (a, b) aralýðýnda türevlenebilen iki fonksiyon ise f⋅g fonksiyonu
da ayný aralýkta türevlenebilir.
dy
= k t x t −1 + 1
dx
F(x) = f(x) . g(x)
Fý (x) = f ý (x) ⋅ g(x) + f(x) ⋅g ý(x)
(f ⋅ g)(x + h) − (f ⋅ g)(x)
h
h→ 0
(f ⋅ g)ý (x) = lim
Örnek 4
3
ý
f(x) = x 2 − x 2 + 2x ise f (1) in eþiti nedir?
= lim
h→ 0
Çözüm
3
3 2 −1
ý
− 2x + 2
f (x) = ⋅ x
= lim
h→ 0
2
1
3
3
f ý (1) = ⋅ (1) 2 − 2 ⋅1 + 2 =
2
2
bulunur.
= lim
h→ 0
f(x + h) ⋅ g(x + h) − f(x) ⋅ g(x + h) + f(x) ⋅ g(x + h) − f(x) ⋅ g(x)
h
[f(x + h) − f(x)] ⋅ g(x + h) + [ g(x + h) − g(x)] ⋅ f(x)
h
[f(x + h) − f(x)]
Ýspat:
h
⋅ g(x + h) + lim
h→ 0
g(x + h) − g(x)
h
⋅ f(x)
= f ý (x) ⋅ g(x ) + gý (x) ⋅ f(x) bulunur.
Örnek 5
ý
f(x) = ax 2 − 2x − 3 ve f (1) = 6 ise a nýn eþiti
kaçtýr?
Çözüm
Uyarý :
~ f(x) = c⋅g(x)
ý
ý
ý
~ f(x) = [g(x)] 2 ⇒ f (x) = 2⋅g(x)⋅g (x)
f ý (x) = 2ax − 2 ⇒ f ý (1) = 2a ⋅1 − 2 = 6
ý
~ f(x) = [g(x)] 3 ⇒ f (x) = 3⋅[g(x)] 2 ⋅g′′ (x)
⇒ 2a = 8
⇒ a=4
ý
⇒ f (x) = c⋅g (x)
ý
ý
~ f(x) = [g(x)] n ⇒ f (x) = n⋅[g(x)] n−1 ⋅g (x)
bulunur.
156
Türev Alma Kurallarý
Örnek 7
~ y = 3(x −
2) 2
1
⎡⎛ f(x + h) − f(x) ⎞
= lim
⋅ ⎢⎜
⎟ g(x)
h
h→0 g(x + h) ⋅ g(x) ⎣⎝
⎠
ý
⇒ y = 3⋅2(x − 2)
⎤
⎛ g(x + h) − g(x) ⎞
−⎜
⎟ f(x)⎥
h
⎝
⎠
⎦
ý
~ y = x(x 2 + 3) ⇒ y = 1⋅(x 2 + 3) + 2x⋅x
= 3x 2 + 3
ý
~ y = (x 3 − 1)⋅(2x 2 − 3x) ise y eþiti nedir?
1
= lim
ý
y = 3x 2 ⋅(2x 2 − 3x) + (4x − 3)⋅(x 3 − 1)
[
g(x + h) − g(x)
h
h→ 0
h (x) =
− 1)(3 −
+
(−2x)⋅(x 3
⎡ f ý (x) ⋅ g(x) − g ý (x) ⋅ f (x) ⎤
⎦
h→ 0 g(x) 2 ⎣
Çözüm
x2)
1
= lim
ý
h(x) = (x 3 − x)(3 − x 2 ) ise h (2) nin eþiti
nedir?
(3x 2
]
f (x + h) − f (x)
⋅ g(x)
h
− f (x) ⋅ lim
Örnek 8
ý
⋅ lim
h→ 0 g(x) 2 h→ 0
=
− x)
[
]
f ý (x) ⋅ g(x) − g ý (x) ⋅ f (x)
dir.
[g(x)]2
ý
h (2) = (3⋅2 2 − 1)(3 − 2 2 ) + (−2)⋅2⋅(2 3 − 2)
ý
h (2) = 11⋅(−1) + (− 4)⋅6
Örnek 9
ý
h (2) = −11 − 24 = −35 dir.
5)
~
f(x) =
x2 + 1
x+3
⇒ f ý (x) =
~
f(x) =
1
x
⇒ f ý (x) =
~
f(x) =
~
f(x) =
Ýki fonksiyonun bölümününün türevi :
f ve g, (a, b) aralýðýnda türevlenebilen iki
f
fonksiyon ve g(x) ≠ 0 ise
fonksiyonu da
g
ayný aralýkta türevlenebilir.
f(x)
g(x)
F(x) =
⇒ F ý (x) =
f ý (x) ⋅ g(x) − g ý (x) ⋅ f(x)
2
[g(x)]
3
x
4
⇒ f ý (x) =
3x − 1
2
x +1
f ý (x) =
2x ⋅ (x + 3) − 1⋅ (x 2 + 1)
(x + 3)2
0 ⋅ x − 1⋅ 1
x2
0 ⋅ x 4 − 4x 3 ⋅ 3
4 2
(x )
=−
=−
1
x2
12
x5
+ 3x 2 ise f (x) in eþiti nedir?
ý
3 ⋅ (x 2 + 1) − 2x ⋅ (3x − 1)
(x 2 + 1)2
+ 6x
Ýspat :
⎛f⎞
⎛f⎞
⎜ ⎟ (x + h) − ⎜ ⎟ (x)
g
⎝g⎠
Fý (x) = lim ⎝ ⎠
h
h→ 0
Uyarý:
f(x + h) f(x)
−
g(x + h) g(x)
= lim
h
h→ 0
= lim
h→ 0
f(x + h) ⋅ g(x) − g(x + h) ⋅ f(x)
g(x + h) ⋅ g(x) ⋅ h
~
y=
~
y=
ax + b
cx + d
⇒ yý =
[f (x + h) − f (x)]⋅ g(x) − f (x) [g(x +h) −g(x) ]
g(x + h) ⋅ g(x) ⋅ h
157
ad − bc
(cx + d)2
mx 2 + nx + t
Bu ifadenin pay kýsmýna f(x)⋅g(x) ifadesini
bir çýkartýp bir de eklediðimizde,
= lim
h→0
⇒ yý =
ax 2 + bx + c
⇒ yý =
dir.
a b 2
a c
b c
x +2
x+
m n
m t
n t
(mx 2 + nx + t)2
(an − bm)x 2 + 2(at − cm)x + (bt − cn)
(mx 2 + nx + t)2
Özel Tanýmlý Fonksiyonlarýn Türevi
Örnek 10
f(x) =
4x 2 − 6x + 2
x →1+
ý
ise f (1) in deðeri kaçtýr?
6x 2 − 9x + 5
= lim (x + 2) = 1 + 2 = 3
x →1+
Çözüm
4 −6
f ý (x) =
x2 + x − 2
(x + 2)(x − 1)
= lim
+
x −1
(x − 1)
x →1
= lim
6 −9
x2 + 2
4 2
6 5
x+
2
fý (1 ) = lim
_
x →1
−9 5
2
(6x + 9x + 5)
x3 + 1− 2
(x − 1)(x 2 + x + 1)
= lim
_
x −1
(x − 1)
x →1
= lim
ý
f (x) =
fý ( x ) =
ý
f (1) =
_
x →1
( −36 + 36)x 2 + 2(20 − 12)x + ( −30 + 18)
(6x 2 − 9x + 5)2
= lim (x 2 + x + 1) = 12 + 1 + 1 = 3
_
x →1
16x − 12
_
⇒ fý (1+ ) = f ý (1 ) = 3
(6x 2 − 9x + 5)2
16 ⋅ 1 − 12
(6 ⋅ 12 − 9 ⋅ 1 + 5)2
=
4
22
=1
bulunur.
Örnek 2
⎧ 2x 2 − x , x > 2
⎪
⎪
f(x) = ⎨
6 , x =2
⎪
⎪⎩ x 3 − 2 , x < 2
Özel tanýmlý fonksiyonlar her yerde sürekli
deðildir. Dolayýsýyla süreksiz olduðu yerde
türevlenemezler.
f(x) fonksiyonunun x = 2 noktasýndaki
türevi varsa bulunuz.
Fonksiyonun verilen bir noktada türevinin
olabilmesi için,
ii)
olduðundan
fý (1) = 3 bulunur.
5. ÖZEL TANIMLI FONKSÝYONLARIN
TÜREVLERÝ
i)
f(x) − f(1)
, f(1) = 2
x −1
_
−6 2
Çözüm
f(x) fonksiyonu x = 2 noktasýnda sürekli
olduðundan türevine bakýlabilir.
fonksiyon verilen noktada sürekli olmalý
fý (2+ ) = lim
x →2+
fonksiyon verilen noktada saðdan ve
soldan türevleri birbirine eþit olmalýdýr.
f(x) − f(2)
ve f(2) = 6 olduðundan,
x −2
2x 2 − x − 6
(2x + 3)(x − 2)
= lim
+
+
x
−
2
(x − 2)
→
x
2
x →2
= lim
= lim (2x + 3) = 2.2 + 3 = 7
A)
x → 2+
PARÇALI FONKSÝYONUN TÜREVÝ
_
fý (2 ) = lim
x →2
Örnek 1
2
⎪⎧ x + x , x ≥ 1
f(x) = ⎨
3
⎪⎩ x + 1 , x < 1
= lim
x →2
f(x) fonksiyonunun x = 1 noktasýnda
türevi varsa bulunuz.
Çözüm
f(x) fonksiyonu x = 1 noktasýnda sürekli
olduðundan türevlenebilir. O halde,
f ý (1+ ) = lim
x →1+
_
_
= lim
x →2
_
f(x) − f(2)
x−2
x3 − 2 − 6
x 3 − 23
= lim
_ x −2
x −2
x →2
(x − 2)(x 2 + 2x + 4)
(x − 2)
= lim (x 2 + 2x + 4) = 2 2 + 2.2 + 4 = 12
x →2
ý
_
ý
_
O halde f (2 + ) ≠ f (2 ) olduðundan f(x) in
x = 2 noktasýnda türevi yoktur.
f(x) − f(1)
ve f(1) = 2 olduðundan,
x −1
158
Özel Tanýmlý Fonksiyonlarýn Türevi
B)
Örnek 4
MUTLAKDEÐER FONKSÝYONUN TÜREVÝ
g : A → R,
a ∈ A,
f(x) = |3x _ x 3 | fonksiyonunun x =1 ve
x = 3 noktalarýndaki türevini bulunuz.
f(x) = |g(x)|
g(a) ≠ 0
olmak üzere;
Çözüm
x = 1 için 3x _ x 3 > 0 olduðundan
⎧−gý (x) , g(a) < 0 ise
⎪
yý = fý (x) = ⎨
⎪⎩ gý (x) , g(a) > 0 ise
f(x) = 3x _ x 3
ý
f (x) = 3 _ 3x 2
ý
f (1) = 3 _ 3 . 1 2 = 0
x = 3 için 3x _ x 3 < 0 olduðundan
~ g(a) = 0 için f(x) in x = a noktasýndaki saðdan ve soldan türevleri eþit ise
fonksiyonun x = a noktasýnda türevi
vardýr, aksi takdirde türevi yoktur.
f(x) = _ 3x + x 3
ý
f (x) = _ 3 + 3x 2
ý
f (3) = _ 3 + 3 . 3 2 = 24
Örnek 5
~ mutlak deðer fonksiyonun içi tamkare
ise mutlak deðerin içini sýfýr yapan noktada saðdan ve soldan türevleri genelde
eþit çýkacaktýr.
f(x) = |x 3 _ 4x 2 + 4x|
fonksiyonunun x = 2 noktasýndaki türevini bulunuz.
Çözüm
x = 2 için f(2) = |2 3 _ 4.2 2 + 4.2|
Örnek 3
= |0| = 0
f(x) = |x _ 3|
fonksiyonunun
bulunuz.
türevinin
fý (2) = lim
kuralýný
x →2
| x 3 − 4x 2 + 4x | − 0
x →2
x −2
= lim
Çözüm
f(x) in x _ 3 = 0 ise x = 3 noktasýndaki
türevine bakalým.
| x |.|(x − 2)2 |
x →2
x −2
= lim
⎧⎪ x − 3 , x > 3
f(x) = ⎨
⎪⎩− x + 3 , x < 3
ý
x > 3 ise
f (x) = 1
ý
= lim | x |.(x − 2) = 0
x →2
ý
bulunur.
f(x) =| x 3 − 4x + 4x | = | x |.|(x − 2) 2 |
+
ve f (3 ) = 1
_
ý
ý
f (x) = _ 1 ve f (3 ) = _ 1
x < 3 ise
ý
f(x) − f(2)
x −2
olduðundan x = 2 nin saðýnda ve solunda
fonksiyon ayný deðeri alacaðýndan x = 2
için saðdan ve soldan türevler daima birbirine eþittir.
_
f (3 + ) ≠ f (3 ) olduðundan x = 3 de türevi
yoktur.
1 , x > 3 ise
⎧
⎪⎪
f (x) = ⎨yoktur , x = 3 ise
⎪
− 1 , x < 3 ise
⎪⎩
Örnek 6
ý
f : R → [ _ 1, 1] ve f(x) = |cosx|
π
ve x = π noktalarýn3
daki türevlerini bulunuz.
fonksiyonunun x =
Uyarý :
Mutlak deðer fonksiyonu türevi alýnacak
noktada önce tanýmlanýr, sonra türevi alýnýr.
Daha sonra verilen nokta türevde yerine
yazýlýr.
Çözüm
~
x=
π
3
için cosx > 0 olduðundan
f(x) = cosx
159
ý
f (x) = _ sinx
Özel Tanýmlý Fonksiyonlarýn Türevi
f(x) = Sgn(g(x))
π
3
⎛π⎞
f ý ⎜ ⎟ = − sin = −
3
2
⎝3⎠
~
0, g(a) ≠ 0 ise
⎧⎪
f ý (a) = ⎨
⎪⎩yoktur, g(a) = 0 ise
x = π için cosx < 0 olduðundan
f(x) = _ cosx
ý
f (x) = sinx
ise,
ise
Ýþaret fonksiyonu iþaret deðiþtirdiði noktada sýçrama yaptýðýndan süreksizdir dolayýsýyla türevlenemez.
ý
f (π) = sinπ = 0
Örnek 7
Örnek 9
f : IR → IR , f(x) = |x 3 _ 9|+ x 2
f(x) = Sgn(x 2 _ x _ 6)
fonksiyonunun türevsiz olduðu noktalarý
bulunuz.
ýý
fonksiyonu verildiðine göre f (2) kaçtýr?
Çözüm
Çözüm
x = 2 için mutlakdeðerin içi negatif
f(x) = _ x 3 + 9 + x 2
ýý
f (x) = _ 6x + 2
ý
f (x) = _ 3x 2 + 2x
x2 _ x _ 6 = 0
(x _ 2)(x + 3) = 0
x = 2 ve x = _ 3
ýý
f (2) = _ 6.2 + 2 = _ 10
_
3
Örnek 8
+
f(x) = |x 2 _ 4|
fonksiyonunun x = 2 noktasýnda türevini
bulunuz.
2
_
+
y
Çözüm
_
3
x = 2 noktasý mutlakdeðerin içini sýfýr
yapan bir deðer olduðundan kritik noktadýr.
x
2
f(x) fonksiyonu x = 2 ve x = _ 3 de iþaret
deðiþtiriyor. Grafikte görüldüðü gibi fonksiyon bu noktalarda sýçrama yapmýþtýr.
Dolayýsýyla süreksizdir. O halde türevi yoktur.
x = 2 için saðdan ve soldan türevler farklý
_
ý
ý
olacaðýndan f (2 + ) ≠ f (2 ) dýr. Dolayýsýyla
bu noktada f(x) in türevi yoktur.
x = 2 noktasýnýn dýþýndaki noktalarda
türevleri vardýr.
Örnek 10
C)
ÝÞARET FONKSÝYONUNUN TÜREVÝ
f(x) = x 3 + Sgn(x 2 _ 2x)
fonksiyonunun x = 1 ve x = 3 noktalarýndaki türevlerini bulunuz.
g : A → R, a ∈ A, f(x) = Sgn(g(x))
Çözüm
fonksiyonu verilsin. Eðer f(x) = Sgn(g(x))
fonksiyonu,
x = 1 ve x = 3 için x 2 _ x ≠ 0 dýr.
O halde bu noktalar f(x) in kritik noktasý
(iþaret deðiþtirdiði) noktalar deðildir.
x = 1 için f(x) = x 3 _ 1
ý
ý
f (x) = 3x 2
f (1) = 3.1 2 = 3
~ x = a noktasýnda sürekli ise bu nokta
da türevi vardýr ve bu türev sýfýrdýr.
(sabitin türevi sýfýr olduðundan)
x = 3 için f(x) = x 3 + 1
ý
f (x) = 3x 2
bulunur.
~ x = a noktasýnda f(x) sürekli deðilse bu
noktada türevi yoktur.
160
ý
f (3) = 3.3 2 = 27
Özel Tanýmlý Fonksiyonlarýn Türevi
Örnek 11
~ Eðer g(a) ∈ Z ise f(x) in x = a noktasýnda sürekli olup olmadýðýna bakýlýr.
Eðer fonksiyon sürekli ise ayný noktada
saðdan ve soldan türevine bakýlýr.
Fonksiyon sürekli deðilse türevi yoktur.
f(x) = (x _ 2). Sgn(x _ 2)
fonksiyonunun x = 2 noktasýnda türevi
var mýdýr?
Çözüm
i)
x = 2 de f(x) sürekli midir?
Örnek 12
lim f(x) = lim [(x − 2)Sgn(x − 2) ] = (2 − 2).1 = 0
x → 2+
f(x) =
x →2 +
Çözüm
x →2 −
x = 2 için f(2) = 0 olduðundan bu noktada f(x) süreklidir.
ii)
O halde f(x) in x = 2 noktasýnda saðdan
ve soldan türevlerine bakalým.
x → 2−
ý
+
ý
x=
1
1
5
için 3. + 1 = ∉ Z olduðundan f(x) in
2
2
2
x=
1
2
noktasýnda türevi vardýr ve bu türev
⎛ 1⎞
f ý ⎜ ⎟ = 0 dýr.
⎝2⎠
+
f ý (2 − ) = lim
1
nok2
sýfýrdýr.
f(x) − f(2)
(x − 2).1 − 0
f (2 ) = lim
= lim
=1
x −2
x −2
x → 2+
x →2 +
ý
fonksiyonunun x =
tasýndaki türevini bulunuz.
lim f(x) = lim [(x − 2)Sgn(x − 2) ] = (2 − 2).( −1) = 0
x → 2−
3x + 1
Örnek 13
f(x) − f(2)
(x − 2).( −1) − 0
= lim
= −1
−
x−2
x−2
x →2
f(x) =
_
f (2 ) ≠ f (2 ) olduðundan f(x) in x = 2 noktasýnda türevi yoktur.
x+2
fonksiyonunun x = 3 noktasýnda varsa
türevini bulunuz.
Çözüm
x = 3 için 3 + 2 = 5 ∈ Z ise f(x) in x = 3
noktasýnda sürekli olup olmadýðýna bakalým.
Uyarý :
Yukarýdaki örnekte de görüldüðü gibi
fonksiyon iþaret deðiþtirdiði (kritik) noktada sürekli ise bu noktada türevinin olup
olmadýðýný anlamak için saðdan ve soldan
türevine bakýlýr.
lim f(x) = lim
x + 2 = 3,1 + 2 = 5
lim f(x) = lim
x + 2 = 2,9 + 2 = 4
x →3+
O halde fonksiyonun sürekli olduðu kritik
noktada türevi olmayabilir.
x →3−
x →3 +
x →3 −
O halde f(x) fonksiyonu x = 3 noktasýnda
sürekli olmadýðýndan dolayý türevi yoktur.
Fonksiyonlar sürekli olduðu bütün noktalarda türevlenemiyebilir.
Örnek 14
D)
TAMDEÐER FONKSÝYONUNUN TÜREVÝ
f(x) = x 2 − 4x + 4
g : A → R, a ∈ A, f(x) = g(x)
fonksiyonu veriliyor.
fonksiyonunun x = 2 noktasýnda varsa
türevini bulunuz.
Çözüm
~ Eðer g(a) ∉ Z ise f(x) in x = a noktasýnda türevi vardýr ve bu türev sýfýrdýr.
(sabit sayýnýn türevi sýfýr olduðundan)
x = 2 için 2 2 _ 4.2 + 4 = 0 ∈ Z olduðundan f(x) x = 2 noktasýnda sürekli olup
olmadýðýna bakalým.
161
Özel Tanýmlý Fonksiyonlarýn Türevi
lim f(x) = lim (x − 2) 2 = lim 0 = 0
x → 2+
x →2 +
x=
x →2 +
f(x) = x _ 1 ise,
lim f(x) = lim (x − 2) 2 = lim 0 = 0
x →2
_
x →2
_
x →2
_
⎛ 1⎞
f ý (x) = 1 ⇒ f ý ⎜ − ⎟ = 1 bulunur.
⎝ 2⎠
olduðundan f(x) x = 2 noktasýnda süreklidir. O halde fonksiyonun bu noktada saðdan ve soldan türevlerine bakalým.
f(x) − f(2)
= lim
x −2
x →2 +
f ý (2 + ) = lim
x →2 +
= lim
x → 2+
Örnek 17
(x − 2)2 − 0
f : R → R, f(x) = x . |x| +
x −2
0
= lim 0 = 0
x − 2 x →2 +
f ý (2 − ) = lim
x →2 −
ý
_
ý
f (2) = 0
. sgn(x)
⎛3⎞
fý ⎜ ⎟ ’nin
⎝2⎠
Çözüm
x=
0
= lim
= lim 0 = 0
x → 2− x − 2
x →2 −
ý
x
fonksiyonu verildiðine göre,
deðeri kaçtýr?
(x − 2)2 − 0
f(x) − f(2)
= lim
x −2
x −2
x →2 −
f (2 + ) = f (2 )
−1
için f(x) = 2x _ x + ( _ 1) = x _ 1
2
3
de
2
f(x) = x.x + 1.1
f(x) = x 2 + 1 dir.
f ý (x) = 2x
dýr.
3
⎛3⎞
⇒ f ý ⎜ ⎟ = 2. = 3
2
2
⎝ ⎠
bulunur.
Örnek 15
f : [ _ 3, 5] → R,
f(x) =
3x
+3
2
Örnek 18
fonksiyonunun türevsiz olduðu noktalarýn kümesini bulunuz.
f(x) = x 2 + 3x + x 2 − 6x + 9
fonksiyonunun x = 3 noktasýndaki türevi kaçtýr?
Çözüm
3x
+ 3 ifadesini tamsayý
[ 3, 5] aralýðýnda
2
_
Çözüm
yapan x noktalarýnýn kümesini bulmalýyýz.
x = 3 için
Bunun için x’e verilecek sayýlarýn 2 ile
bölünmesi gerekiyor.
olup tamdeðerin içi kare olduðundan
fonksiyon bu noktada süreklidir, dolayýsýyla türevlenebilir.
Bu sayýlar { _ 2, 0, 2, 4} dür.
x = 3 için f(x) = x 2 + 3x + 0
Örnek 16
ý
f (x) = 2x + 3
f : R → R, f(x) = 2x + |x| + sgnx
Uyarý :
Çözüm
f(x) = g(x)
−1
de özel tanýmlý fonksiyonlarý taným2
−1
2
fonksiyonu
0 ,
⎧
f ý (a) = ⎨
yoktur
,
⎩
lýyalým, sonra türevlerini alalým.
x=
ý
f (3) = 2.3 + 3 = 9
bulunur.
⎛ 1⎞
fonksiyonu verildiðine göre fý ⎜ − ⎟ kaçtýr?
⎝ 2⎠
x=
(x − 3)2 = 0 ∈ Z
de fonksiyon süreklidir.
g(a) ∉ Z
g(a) ∈ Z
Bazý istisnalar hariç bu formül kullanýlabilir.
162
ALIÞTIRMALAR 1
Türev Alma Kurallarý - Özel Tanýmlý Fonk. Türevi
1. f(x) = x2 _ x olduðuna göre,
6. f(x) = |x2 _ 9|+ sgn(x3 _ x)
f(x + h) − f(x)
h
h →0
lim
fonksiyonunun türevsiz olduðu noktalarýn
apsislerini bulunuz.
Cevap : {−3, 3, 0, 1, −1}
ifadesinin sonucu nedir?
Cevap : 2x _ 1
2. f(x) = x2 + ax ve
f(x) − f(3)
= 20
x →3
x −3
lim
7. f(x) = x3 + ax2 _ 3x + 2 fonksiyonu için
ý
f(1) = f (2) olduðuna göre, a’nýn deðeri kaçtýr?
olduðuna göre,
Cevap : _ 3
a nýn deðeri kaçtýr?
Cevap : 14
8. f(x) = a2 + 3k olduðuna göre,
3. f(x) = x3 _ 2x olduðuna göre,
f(x) − f(2)
x −2
x →2
lim
dy
dx
kaçtýr?
Cevap : 0
ifadesinin sonucu kaçtýr?
Cevap : 10
4.
⎧
⎪2x − 1, x > 3 ise
f(x) = ⎨ 2
⎪
⎩ x − 4, x ≤ 3 ise
9. f(a) = a2k + 3x olduðuna göre,
ý
ý
dy
da
kaçtýr?
Cevap : 2ak
_
fonksiyonu tanýmlandýðýna göre, f (3+) + f (3 )
nin eþiti kaçtýr?
Cevap : 8
5.
⎧
⎪ x 2 − 1, x ≥ 2 ise
f(x) = ⎨
⎪
⎩2x − 1, x < 2 ise
10. f(x) = x3 + 5x2 _ 4x + 3 olduðuna göre,
dy
= fý (x) kaçtýr?
dx
fonksiyonunun x = 2 noktasýndaki türevini
bulunuz.
Cevap : yoktur.
Cevap : 3x2 + 10x _ 4
163
ALIÞTIRMALAR 1
Türev Alma Kurallarý - Özel Tanýmlý Fonk. Türevi
11. f(m) = m3 _ 2m + 5 olduðuna göre,
16. f(x) = x + 3 + 5x + 3 olduðuna göre,
d
f(m) = f ý (m) = ?
dm
⎛6⎞
fý ⎜ ⎟ in deðeri kaçtýr?
⎝5⎠
Cevap : 3m2 _ 2
Cevap : 5
12. f(x) = (x2 _ 3x)5 olduðuna göre,
17. f(x) = |3x _ x2| + x3 olduðuna göre,
ý
f (x) i bulunuz.
f (2) + f (_1) kaçtýr?
ý
ý
Cevap : 5(x2 _ 3x)4 . (2x _ 3)
Cevap : 9
13. f(x) = 2x3 _ x + 1 olduðuna göre,
18. f(x) = x2 . sgn(x _ 2) +
f(3+h) − f(3)
ifadesinin deðeri kaçtýr?
h→ 0
h
lim
x −1
3
olduðuna göre,
ý
f (5) in deðeri kaçtýr?
Cevap : 53
_
14. f(x) = (2 x) .
(x2
Cevap : 10
19. f(x) =
+ 2) olduðuna göre,
ýý
x2 + 1
Sgn(x − 2)
olduðuna göre,
f (3) ün deðeri kaçtýr?
ý
f (3) ün deðeri kaçtýr?
Cevap : _14
Cevap : 6
20. f(x) = Sgn(2x _ 3) , g(x) = (2x _ 3)5
15. f(x) = (x2 _ x) , g(x) = 2x _ 1 olduðuna göre,
d ⎡f⎤
⎢ ⎥ (2) kaçtýr?
dx ⎣ g ⎦
ý
olduðuna göre, (f.g) (2) nin deðeri kaçtýr?
Cevap :
5
9
Cevap : 10
164
TEST 1
Türev Alma Kurallarý - Özel Tanýmlý Fonk. Türevi
1. f(x) = 3x2 _ 2 fonksiyonu verildiðine göre;
6. Aþaðýdaki grafiklerden hangisinin x = xo nok-
lim
x →c
tasýnda türevi vardýr?
f(x) − f(c)
ifadesinin deðeri kaçtýr?
x −c
A) 6x2
B) 6
C) 6c
D) 3xc
A)
y
y
B)
C)
E) 0
x
xo
D)
x
xo
y
E)
2. f(x) = 3x2.t _ x.t2 fonksiyonu verildiðine göre;
dy
dt
B) 3x2 _ t2
_
D) 6x 2x.t
E)
x
xo
y
xo
x
xo
nin eþiti aþaðýdakilerden hangisidir?
A) 6x.t _ t2
y
x
C) 6x _ 2t
3x2 _
2t.x
7.
(ax + h)2 − (ax)2
h
h→0
lim
ifadesinin deðeri aþaðýdakilerden hangisidir?
A) 1
3. f(x) =
lim
h →0
A) 0
x3 _
B) a
C) ax
D) 2ax
E) 2a2x2
2x + 3 fonksiyonu verildiðine göre;
f(1 + h) − f(1)
ifadesinin deðeri kaçtýr?
h
B) 1
C) 2
D) 3
E) 5
8.
f(x) =
x
x2 − 1
+
ax − 1 2ax + 4
fonksiyonunun türevsiz olduðu noktalarýnýn ap1
ise, a’nýn deðeri kaçtýr?
5
B) 4
C) 3
D) 2
E) 1
sisler toplamý −
A) 5
4. f : R → R, f(x) = x2 _ ax + 2 fonksiyonu için
ý
f (3) = 2 olduðuna göre, a’nýn deðeri kaçtýr?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
9.
E) 5
⎧⎪ x 2 − 2x + 6, x > 2
f(x) = ⎨
2
x≤2
⎪⎩ x + x,
fonksiyonu verildiðine göre,
_
ý
ý
f (2+) + f (2 ) eþiti kaçtýr?
A) 3
5.
⎪⎧ x 2 + 3 , x > 1
f(x) = ⎨
⎪⎩2x + c , x ≤ 1
⎧
⎪x
10. f(x) = ⎨
C) 0
D) _1
C) 5
D) 6
E) 7
fonksiyonu veriliyor.
ý
Buna göre f (1) in deðeri kaçtýr?
göre, c’nin deðeri kaçtýr?
B) 1
3
, x ≤1
⎪⎩3x , x > 1
fonksiyonu x = 1 noktasýnda türevi olduðuna
A) 2
B) 4
A) Yoktur.
E) _2
165
B) 3
C) 2
D) 1
E) 0
Türev Alma Kurallarý - Özel Tanýmlý Fonk. Türevi
TEST 1
11. f(x) = x3.(3 _ x2) fonksiyonu verildiðine göre,
16. f(x) = |x2 _ 4| + Sgn(x _ 2) + x
ý
f (x) in deðerini bulunuz.
A) 9x
_ 3
x
B)
D)
3x2 _
ý
fonksiyonu verildiðine göre, f (2+) nin deðeri
9x2 _ 5x4
4x4
E)
C)
9x2 _ 3x4
kaçtýr?
3x2 _ x4
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
12. f : R _ {2} → R,
f(x) =
2x n
fonksiyonunun x = 1 noktasýndaki
x −2
17. f(x) = |x2 + 3x _ 4| + x _ 3
ý
fonksiyonu verildiðine göre, f (2) nin deðeri
türevi _12 ise, n nin deðeri kaçtýr?
A) 2
B) 4
C) 5
kaçtýr?
D) 6
E) 7
A) 3
B) 4
C) 6
D) 7
E) 8
1
13. f(x) = x 3 + 3 fonksiyonu verildiðine göre,
18. f(x) = |x3 _ 3| _ x2 + 3x
fonksiyonunun x = _1 noktasýndaki türevi
ý
f (8) in deðeri kaçtýr?
A)
3
24
B)
1
16
C)
1
12
D)
1
6
E)
kaçtýr?
5
12
A) 8
14. f(x) = x2 _ x + 2 fonksiyonu için,
ý
B) 0
C) 1
D) 2
C) 2
D) 0
E) Yoktur.
19. f(x) = |3 _ x2| + x.Sgn(x _ 2) + x + 2
ý
f(1) + f (2) = f (x) denkleminin kökü kaçtýr?
A) _1
B) 3
2
E) 3
ý
fonksiyonu verildiðine göre, f (3) ün deðeri kaçtýr?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
15. f(x) = x2 _ x fonksiyonu veriliyor.
Buna göre d ⎡ f 2 (x)⎤ eºiti kaçtýr?
⎦
dx ⎣
A) 4x3 _ 6x2 + 2x
B) 2x3 _ 3x2 + x
C) x3 _ x2 + x
D) 4x3 _ 3x2 + 2
20. f(x) = x 2 + x2 _ 4x + 1 fonksiyonu veriliyor.
ý
Buna göre, f (0) ýn deðeri kaçtýr?
E) 4x3 _ 6x2 + 2
A) _4
B) _2
C) _1
D) 2
E) Yoktur.
Cevaplar: 1-C 2-E 3-B 4-D 5-A 6-D 7-D 8-A 9-E 10-A 11-B 12-C 13-C 14-E 15-A 16-E 17-E 18-C 19-E 20-A
166
Türev Alma Kurallarý
6. TÜREVDE ZÝNCÝR KURALI
fý (x) =
y = f(u) ⎫
⎪
dy dy du dx
u = g(x) ⎬ ise,
=
.
.
dt du dx dt
⎪
x = h(t) ⎭
(
1 3
. x − 2x
2
3x 2 − 2
=
(
2. x 3 − 2x
þeklinde türev alýnýr.
1
−1
2 .(3x 2
)
1
2
)
− 2)
3x 2 − 2
=
2 x 3 − 2x
Uyarý :
Genelde iç içe fonksiyonlarýn türevlerinin
daha kolay bir þekilde alýnmasýnda kullanýlýr.
Köklü ifadelerin türevi alýnýrken iç içe
fonksiyonlar gibi düþünebiliriz, yani kökün
derecesi üstel biçimde yazýlarak türevde
zincir kuralý uygulanýr.
Örnek 1
Örnek 4
y = u7
⎫⎪
dy
in eºiti kaçtýr?
⎬ ise,
3
2
dx
u = x + x − 2 ⎭⎪
dy
in eºiti kaçtýr?
dx
3
f(x) = x 2 + x 2 + 3x − 5 ise,
dy dy du
=
.
dx du dx
Çözüm
(
f(x) = x 2 + x 2 + 3x − 5
= 7.u6 .(3x 2 + 2x)
= 7.(x 3 + x 2 − 2)6 (3x 2 + 2x)
fý (x) = 2x +
Bu tür fonksiyonlar,
f(x) = (x 3 + x 2 _ 2) 7 þeklinde karþýmýza
çýkabilir. Bu durumda üste göre türev sonrada içinin türevi çarpý olarak yazýlýr.
= 2x +
= 2x +
ý
f (x) = 7.(x 3 + x 2 _ 2) 6 .(3x 2 + 2x) dir.
1
3
)
1
−1
3
.(2x
(
)
(
)
1 2
. x + 3x − 5
3
1 2
. x + 3x − 5
3
−
2
3
+ 3)
.(2x + 3)
2x + 3
3.3
(x 2 + 3x − 5) 2
Bu örneklerden sonra aþaðýdaki sonuçlarý
verebiliriz:
Örnek 2
f(x) =
5
2
8
(x − 2x)
ise,
dy
in eºiti kaçtýr?
dx
u, x’e baðlý bir fonksiyon olmak üzere,
uý
f(x) = u ise, f ý (x) =
Çözüm
f(x) =
5
(x 2 − 2x)8
2
= 5(x − 2x)
−8
2 u
uý
f(x) = 3 u ise, f ý (x) =
þeklinde yazýlýr ve türev alýnýrsa,
3
3. u2
f ý (x) = 5. − 8(x 2 − 2x) −8 −1.(2x − 2)
=
−40.(2x − 2)
bulunur.
(x 2 − 2x)9
f(x) = x 3 − 2x
fonksiyonunun türevini bulunuz.
çözüm
3
(
3
f(x) = x − 2x = x − 2x
)
p
p. up −q
Örnek 5
∗
y= x
⇒
yý =
∗
y = x2 + x
⇒
yý =
∗
y=3x
⇒
yý =
∗
y = x2 − x
⇒
yý =
Örnek 3
1
2
q.uý
p
f(x) = uq ise, f ý (x) =
olur.
167
3
1
2 x
2x + 1
2 x2 + x
1
3 2
3. x
2x − 1
3.3 (x 2 − x)2
Türev Alma Kurallarý
Örnek 3
BÝLEÞKE FONKSÝYONUN TÜREVÝ
x < 0 olmak üzere,
f(x 2 _ 3x) = 3x 2 _ 2x + 1 ise,
F : A → R, a o ∈ A’da türevlenebilen bir
fonksiyon olsun. Eðer taným kümesi f(A)
olan bir g fonksiyonunda y o = f(x o ) ∈ f(A)
da türevlenebiliyor ise bu taktirde (gof)(x)
fonksiyonu da x o noktasýnda türevlenebilir
ve bu türev;
ý
f (4) ün deðeri kaçtýr?
Çözüm
ý
f (x 2 _ 3x) . (2x _ 3) = 6x _ 2
Ayrýca x 2 _ 3x = 4 olmalýdýr. Buradan,
x 2 _ 3x _ 4 = 0 ise (x + 1)(x _ 4) = 0
x = _ 1 ve x = 4 bulunur. x < 0 olduðundan
x = _ 1 i türevde yerine yazalým.
ý
(fog)ý (x) = ⎣⎡f(g(x)) ⎦⎤ = f ý (g(x)) . g ý (x)
x = _ 1 için,
Örnek 1
2x 2 _
ý
f [( _ 1) 2 _ 3( _ 1)](2.( _ 1) _ 3) = 6.( _ 1) _ 2
x2
f(x)=
3x ve g(x)=
+ 2 ise,
y = (fog)(x) bileþke fonksiyonunun türevini bulunuz.
ý
f (4).( _ 5) = _ 8
ý
f (4) =
8
bulunur.
5
Çözüm
Örnek 4
yý = fý (g(x)) . gý (x)
ý
f(x) = g(x 2 _ x) , g (6) = 5 ise
= ⎡ (4x − 3)o(x 2 + 2) ⎤ .2x
⎣
⎦
ý
f (3) ün deðeri kaçtýr?
2
= ⎡ 4(x + 2) − 3 ⎤ .2x
⎣
⎦
Çözüm
= ⎡ 4x 2 + 8 − 3 ⎤ .2x
⎣
⎦
3
= 8x + 10x
ý
ý
f (x) = g (x 2 _ x).(2x _ 1)
bulunur.
ý
ý
f (3) = g (3 2 _ 3).(2.3 _ 1)
ý
= g (6) . 5 = 5.5 = 25 bulunur.
Örnek 2
Örnek 5
f(2x _ 1) =
x2 _
f(x)=
x , g(x)= x 3 + 2x fonksiyonlarý
verilsin, h(x) = (fog)(x) in türevi nedir?
fý (2x − 1).2 =
ý
= [2(x 3 + 2x) _ 1] . (3x 2 + 2)
fý (2.2 − 1).2 =
= 6x 5 + 16x 3 _ 3x 2 + 8x _ 2
fý (3).2 =
II. Yol :
fog(x) = f(g(x)) = g(x) 2 _ g(x)
=
+
(x 2 + 1)2
x = 2 için,
= [2g(x) _ 1] . (3x 2 + 2)
2x) 2 _
(x 3
ise, f (3) ün eþiti kaçtýr?
3.(x 2 + 1) − 2x.3x
ý
h(x) = (fog) (x) = f (g(x)) . g (x) dir.
(x 3
ý
x +1
Çözüm
Çözüm
ý
3x
2
3.(22 + 1) − 6.2 2
(22 + 1)2
15 − 24
25
f ý (3) = −
+ 2x)
9
50
bulunur.
= x 6 + 4x 4 + 4x 2 _ x 3 _ 2x ise
ý
(fog) (x) = 6x 5 + 16x 3 _ 3x 2 + 8x _ 2
Örnek 6
[f(x)] 2 = x 2 .f(x) + 6 ve f(3) = 1 ise,
þeklinde de bileþke fonksiyonunun türevi
alýnabilir.
ý
f (3) ün deðeri kaçtýr?
168
Türev Alma Kurallarý
x 2 + 4x = _ 3
x 2 + 4x + 3 = 0 ise (x+1)(x+3) = 0
buradan
x = _ 1 ve x = _ 3 bulunur.
Taným kümesi [ _ 2, ∞) olduðunda x = _ 3
olamaz. O halde x o = _ 1 dir, x o = _ 1 için
y o = _ 3 dür.
Çözüm
Eþitliðin her iki tarafýn türevini alalým.
ý
ý
2.f(x).f (x) = 2x.f(x) + f (x).x 2
ý
ý
2.f(3).f (3) = 2.3.f(3) + f (3).3 2
ý
ý
2.1.f (3) = 6.1 + f (3).9
ý
2.f (3) = 6 + 9 . f′(3)
−7.f ý (3) = 6
⇒ f ý (3) = −
6
bulunur.
7
ý
f(x) = x 2 + 4x
f (x) = 2x + 4
ý
f ( _ 1) = 2
_ ý
Bu taktirde (f 1 ) ( _ 3) =
TERS FONKSÝYONUN TÜREVÝ
1
2 bulunur.
y = x 2 + 4x ise,
y = x 2 + 4x + 4 _ 4
tersine
_
f 1 (x) = _ 2 + óx+4
y = (x+2) 2 _ 4
_
y o ∈ B ise, f 1 (y o ) = x o ∈ A dýr.
_
f 1 (y) = _ 2 + óy+4
y + 4 = (x+2) 2
óx+4 = x+2
Bu taktirde f fonksiyonu x o ∈ A noktasýnda
_
türevli ve f′(x o ) ≠ 0 ise f 1 fonksiyonu da
x o ’ýn f altýndaki görüntüsü olan y o noktasýnda türevlidir ve bu türev,
(f −1)ý (yo ) =
f ( −1)
=
II. Yol:
Önce verilen fonksiyonunun tersini bulup
sonra türevini alalým.
A, B ⊂ R ve f : A → B bire-bir ve örten
_
fonksiyon olsun. Bu taktirde f 1 : B → A’ya
ters fonksiyonu vardýr.
x o ∈ A ise, f(x o ) = y o ∈ B dir.
1
ý
_
(f −1)ý (y) =
2 +óy+4 = x
1
2 y+4
_
y o = 3 için,
1
(f −1)ý ( −3) =
ý
f (x o )
1
2 −3 + 4
=
1
2
bulunur.
_
Bu kural yardýmýyla f 1 ters fonksiyonu
_
bulunmadan f 1 in türevi bulunabilir. Eðer
f fonksiyonunun tersi kolayca bulunabiliyorsa fonksiyonunun önce tersini bulur,
sonra türevini alýrýz.
Örnek 2
f : R → R, f(x) = x 3 _ 2x olduðuna göre,
_ ý
(f 1 ) (4) in deðeri kaçtýr?
Çözüm
y o = 4 için, x 3 _ 2x = 4 denkleminden x o = 2
bulunur. Bu taktirde
Örnek 1
_ ý
(f 1 ) (4) =
[ _ 2, ∞) → [ _ 4, ∞), f(x) = x 2 + 4x
_
verildiðine göre, f 1 fonksiyonunun y o = _ 3
noktasýndaki türevini bulunuz.
1
ý
f (2)
=
1
10 bulunur.
Örnek 3
f : R _ {1} → R _ {3} ,
Çözüm
f fonksiyonu bire-bir ve örten olduðundan
tersi vardýr. Fakat bu fonksiyonun tersini
bulmak zor olabilir, biz fonksiyonun tersini
bulmadan yukarýdaki formül yardýmýyla
tersinin türevini bulalým.
Önce bu fonksiyonda x yerine hangi sayý
yazýlarak y o = _ 3 deðeri bulunmuþtur, bunu
araþtýralým.
f(x) =
3x − 2
fonksiyonu veriliyor.
x −1
_ ý
(f 1 ) (2) in deðeri kaçtýr?
Çözüm
I. Yol : Fonksiyonunun tersini almak kolaysa önce tersi alýnýr daha sonra da türevi
bulunabilir.
169
Türev Alma Kurallarý
f(x) =
3x − 2
x −1
(f −1)ý (x) =
(f −1)ý (2) =
=
3x
f ý (0) =
y = f(u)
(x − 3)2
u = u(x) olmak üzere,
1.(2 − 3) − 1.(2 − 2)
1. f(x) = sinu ⇒ f ý (x) = cosu . u ý
(2 − 3)2
−1 − 0
=
( −1)2
2. f(x) = cosu ⇒ f ý (x) = − sinu . u ý
−1
= −1
1
3. f(x) = tanu ⇒
3x − 2
=2
x −1
_
2
cos u
= u ý sec 2 u
4. f(x) = cotanu ⇒
2 ise x = 0 bulunur.
−uý
f ý (x) = −(1 + cotan 2 u).u ý =
sin2 u
3.(x − 1) − 1(3x − 2)
= −u ý cosec 2 u
(x − 1)2
−3 + 2
( −1)2
(f −1)ý (2) =
=
1
ý
f (0)
1
= −1
−1
=
1
= −1 bulunur.
−1
Örnek 4
f : [3, ∞) → R,
f(x) =
x −3 + 2
fonksiyonu veriliyor.
_ ý
(f 1 ) (4) ün deðeri kaçtýr?
Çözüm
I. Yol :
y o = 4 için x o deðerini bulalým.
4 =
x −3
2 =
x −3
fý (x) =
uý
f ý (x) = (1 + tan 2 u).u ý =
2 = 2x
f ý (x) =
7. TRÝGONOMETRÝK
FONKSÝYONLARIN TÜREVLERÝ
x −2
x −3
1.(x − 3) − 1.(x − 2)
II. Yol :
y o = 2 ise
_
f −1(x) =
ise,
~
y = sinñx ise y = cosñx .
~
y = cos(3x + 1) ise y = −sin(3x + 1).3
~
y = cos(sinx) ise y = −sin(sinx).cosx
~
y = sin 2 x
~
y = cos 3 x ise y = 3cos 2 x.(−sinx)
~
y = tan3x ise y = (1 + tan 2 3x).3
~
y = cotan(sinx) ise
⇒ f ý (7) =
1
2 7 −3
=
~
1
4
x −3
ý
1
2 x
ý
ý
ý
ise y = 2sinx.cosx = sin2x
ý
ý
ý
y = tan 3 x ise y = 3 tan 2 x.(1 + tan 2 x)
ý
f(x) = x 2 .sinx ise f (x) in eþiti kaçtýr?
Çözüm
Çarpýmýn türevini uygulayalým.
ý
f (x) = 2x.sinx + cosx.x 2
= 2x.sinx + x 2 .cosx dir.
+ 2
Örnek 2
ý
f(x) = tan 3 x + tanx 2 ise f (x) kaçtýr?
x −3
(y _ 2) 2 = x _ 3
ý
Örnek 1
1
II. Yol :
Verilen fonksiyonun önce tersini bulup
sonra türevini alalým.
y _2 =
y = sin(2x − 3) ise y = cos(2x − 3).2
ý
1
=
=4
(f ) (4) =
fý (7) 1
4
f(x) =
~
y = −[1+cotan 2 (sinx)].cosx
4 = x _ 3 ise, x o = 7
1
−1 ý
y = sinx ise y = cosx.1
+ 2
2 x −3
ý
~
Çözüm
_
f 1 (x) = (x _ 2) 2 + 3
f(x) = (tanx) 3 + tan(x 2 )
ý
f (x) = 3(tanx) 2 . (1 + tan 2x) + (1 + tan 2x 2).2x
_ ý
(f 1 ) (x) = 2(x _ 2) dir.
_ ý
(f 1 ) (4) = 2(4 _ 2) = 2.2 = 4
bulunur.
170
Türev Alma Kurallarý
Örnek 3
TERS TRÝGONOMETRÝK
FONKSÝYONLARIN TÜREVLERÝ
⎛ sin x ⎞
ý
f(x) = tan ⎜
⎟ ise, f (x) kaçtýr?
⎝ x2 ⎠
Çözüm
1.
⎡
⎛ sin x ⎞⎤ ⎡ cos x.x 2 − 2x.sin x ⎤
fý (x) = ⎢1 + tan2 ⎜
.⎢
⎥
2 ⎟⎥
⎢⎣
(x 2 )2
⎝ x ⎠⎥⎦ ⎣⎢
⎦⎥
f(x) = y = arcsinx fonksiyonu
⎡ π π⎤
f :[ −1, 1] → ⎢ − , ⎥ ve f(x) = arcsin x dir.
⎣ 2 2⎦
⎡
⎛ sin x ⎞⎤ ⎡ x.cos x − 2 sin x ⎤
fý (x) = ⎢1 + tan2 ⎜
⎟⎥ . ⎢
⎥
⎢⎣
x3
⎝ x 2 ⎠⎥⎦ ⎣
⎦
f(x) = arcsinx ⇔ x = siny dir.
f ý (x) =
Örnek 4
ý
f : R → R, f(3x + 4) = sinax ve f (4) = 2
ise, a nýn deðeri kaçtýr?
=
Çözüm
dy
1
1
1
=
=
=
dx
d
dx
cosy
(siny)
dy
dy
1
2
1 − sin y
=
1
1− x2
ý
f (3x + 4).3 = cosax.a
bu türevde x = 0 deðerini yerine koyalým.
(sin 2 y + cos 2 y = 1 ise cosy =
olduðuna dikkat ediniz.)
1 − sin2 y
ý
f (3.0 + 4) . 3 = cos(a.0).a
ý
f (4) . 3 = cos0.a
2 . 3 = 1 .a ⇒ a = 6 bulunur.
f(x) = arc sin x ⇒ f ý (x) =
2.
Örnek 5
1
1− x 2
dir.
f(x) = arccosx fonksiyonu
f(x) = arccosx ⇔ x = cosy
ý
f(x) = sin 3 (tanx) ise f (x) kaçtýr?
Çözüm
f ý (x) =
f(x) = [sin(tanx)] 3
ý
f (x) = 3.[sin(tanx)] 2 .cos(tanx).(1 + tan 2 x)
þeklinde bulunur.
=
dy
1
1
1
=
=
=
d
dx dx
− siny
(cosy)
dy
dy
−1
1 − cos 2 y
x = cosy yi yerine yazarsak
Örnek 6
f(x) = sin 2 3x ise,
f(x) = arc cos x ⇒ f ý (x) =
⎛ π ⎞
f ý ⎜ ⎟ nin deðeri kaçtýr?
⎝ 12 ⎠
Çözüm
3.
ý
f (x) = 2.sin3x.cos3x.3
ý
f (x) = 3.sin6x bulunur.
= 3.1 = 3 bulunur.
dir.
dy
1
1
1
=
=
=
2
2
d
dx
(tany) 1 + tan y 1 + x
dy
f(x) = arc tan x ⇒ f ý (x) =
171
1− x2
f(x) = arc tanx fonksiyonu
f(x) = arc tanx ⇔ x = tany
f ý (x) =
π
⎛ π ⎞
⎛ π ⎞
f ý ⎜ ⎟ = 3.sin ⎜ 6. ⎟ = 3.sin
2
⎝ 12 ⎠
⎝ 12 ⎠
−1
1
1+ x2
dir.
Türev Alma Kurallarý
4.
Örnek 3
f(x) = arc cotanx fonksiyonu
Çözüm
dy
1
1
1
f (x) =
=
=
=
d
dx dx
−
(1
+
cot
an 2y)
(cot any)
dy dy
ý
=
−1
1+ x2
⇒ f ý (x) =
1
( x) = 2 x =
f (x) =
2
1+ x 2
1+ ( x )
ý
1
ý
dir.
f(x) = arc cot anx
ý
f(x) = arctanñx ise, f (x) kaçtýr?
f(x) = arc cotanx ⇔ x = cotany
x (1 + x)
dir.
−1
1+ x2
Örnek 4
ý
f(x) = arctan(1 − x 2 ) ise, f (x) kaçtýr?
u = g(x) þeklinde x’e baðlý bir fonksiyon ve
ý
u’nun herhangi bir x noktasýndaki türevi u
olsun. Bu taktirde;
Çözüm
f ý (x) =
(1 − x 2 )ý
=
2 2
1 + (1 − x )
−2x
dir.
1 + (1 − x 2 )2
d
uý
(arcsinu) =
dx
1 − u2
−uý
d
(arccosu) =
dx
1 − u2
Örnek 5
d
uý
(arc tanu) =
dx
1 + u2
Çözüm
fý (x) =
ý
−u
d
(arc cotanu) =
dx
1 + u2
arcsin(x 2 +1)
=
1 + cos 2 x
sin x
1 + cos 2 x
ise
(x 2 + 1)ý
1 − (x 2 + 1)2
=
dir.
ý
f(x) = arccotan(tanx) ise, f (x) kaçtýr?
ý
f (x) kaçtýr?
Çözüm
Çözüm
f ý (x) =
−1.(cos x)ý
Örnek 6
Örnek 1
f(x) =
ý
f(x) = arccotan(cosx) ise, f (x) kaçtýr?
f ý (x) =
2x
−1.(tan x)ý
1 + tan2 x
=
−1.(1 + tan 2 x)
1 + tan2 x
1 − (x 2 + 1) 2
Örnek 7
f(x) = arccos(sinx 2 ), 0 < x <
ý
f (x) kaçtýr?
Örnek 2
π
f(x) = arccos(sinx) , 0 < x <
2
ý
f (x) kaçtýr?
ise
fý (x) =
−(sin x)ý
2
1 − sin x
=
− cos x
2
cos x
=
π
2
Çözüm
Çözüm
f ý (x) =
= −1 dir.
− cos x
= −1
|cos x |
=
172
−1.(sinx 2 )ý
1 − (sin x 2 )2
−2x.cos x 2
cos2 x 2
=
=
−1.cos x 2.2x
1 − sin 2 x 2
−2x.cos x 2
cos x 2
= −2x
ise
Türev Alma Kurallarý
Örnek 8
fý (x) =
ý
f(x) = arctanó1+x ise f (x) kaçtýr?
Çözüm
1
fý (x) =
( 1 + x )ý
2
1+ ( 1+ x )
=
2. 1 − x
⎛ 3⎞
fý ⎜
=
⎜ 2 ⎟⎟
⎝
⎠
1
2 1+ x
=
1 + 1 + x 2 1 + x (2 + x)
bulunur.
=
Örnek 9
(1 − x 2 )ý
−
ý
f(x) = sin(arctanx) ise f (x) kaçtýr?
2
−
=
−2x
2. 1 − x
3
2
⎛ 3⎞
1− ⎜
⎜ 2 ⎟⎟
⎝
⎠
−x
=
2
1−x2
3
2
=
3
1−
4
−
2
3
3
−
2 =
2 = − 3 . 2 = − 3 bulunur.
1
2 1
1
2
4
Çözüm
y = sinu
⎫
⎪ dy dy du
=
.
⎬
u = arctan x ⎪
⎭ dx du dx
Örnek 11
ý
f(x) = sinx.arctanx ise, f (x) kaçtýr?
Zincir kuralýný uygulayalým.
Çözüm
dy
1
1
= cosu.
= cos(arctan x).
2
dx
1+ x
1+ x2
Çarpýmýn türevini alalým,
ý
f (x) = cosx . arctanx +
bunu daha kýsa yazmak gerekirse,
x = tanu
u = arctanx
ý
f (x) = cosx . arctanx −
Bu oraný bir dik üçgende gösterelim.
ó1+x2
cosu =
x
1
1+ x2
u
1
y = sinu ⇒ yý = cosu . u ý
= cosu .
1
1+ x
2
=
1
1+ x
2
.
1
1+ x2
bulunur.
Örnek 10
⎛ 3⎞
f(x) = cos(arcsinx) ise fý ⎜
kaçtýr?
⎜ 2 ⎟⎟
⎝
⎠
Çözüm
f(x) = cos(arcsinx) = cosu
u = arcsinx ⇔ x = sinu
1
x
u
ó1−x2
Bu düzenlenmiþ
alalým.
f(x) = cosu = 1 − x 2 dir.
fonksiyonun
türevini
173
1
1+ x2
sin x
1+ x2
. (−sinx)
dir.
ALIÞTIRMALAR 2
Türevde Zincir Kuralý-Bileþke Fonk.-Ters Fonk.-Trigonometrik Fonk.Türevi
df
kaçtýr?
dx
1. f(x) = (x2 − 3x)10 ise,
7.
f(x) = x 2 + 3x
fonksiyonu verildiðine göre,
ý
f (1) in deðeri kaçtýr?
Cevap: 10(x2 − 3x)9.(2x − 3)
Cevap:
d ⎡ 3
(x + 1)5 + 3 ⎤
⎦
dx ⎣
2.
5
4
eþiti kaçtýr?
8.
Cevap: 5(x3 + 1)4.3x2
f(x) = 7 + x
fonksiyonu verildiðine göre,
ý
f (4) ün deðeri kaçtýr?
Cevap:
1
24
3. f(3x − 1) = x3 − x + 1
ý
fonksiyonu verildiðine göre, f (5) in deðeri
kaçtýr?
9. f(x) = 4px −
11
Cevap:
3
p2
x
ý
ise, f (p) kaçtýr?
Cevap: 2
4. x > 0 olmak üzere,
f(x3 − 3x) = x2 + 3x + 2 fonksiyonu veriliyor.
ý
Buna göre f (2) + f(2) toplamý kaçtýr?
_
10. f(x) = x3 − 1 ise, (f 1)ý(7) kaçtýr?
Cevap:
115
9
Cevap:
1
12
5. f[(x2 + g(x)] = x2 + 8x fonksiyonu ve
ý
11. f : [3, ∞) → [−9 , ∞), f(x) = x2 − 6x ise,
f (1) = 2, g(1) = 0 deðerleri verildiðine göre,
_ ý
−8) nin deðeri kaçtýr?
(f 1) (−
ý
g (1) in deðeri kaçtýr?
Cevap: 3
Cevap :
6. h(x) = f( x 2 ) + f 2( x ) , f(1) = 3 ve fý (1) = 2 ise,
1
2
12. f : [−3, ∞) → R, f(x) = x + 3 + 2 ise,
_ ý
(f 1) (5) nin deðeri kaçtýr?
ý
h (1) in deðeri kaçtýr?
Cevap: 16
Cevap : 6
174
Türevde Zincir Kuralý-Bileþke Fonk.-Ters Fonk.-Trigonometrik Fonk.Türevi
ALIÞTIRMALAR 2
13.
d
dx
⎡ 1 − sin2 x ⎤
⎢
⎥
⎣⎢ cos x ⎦⎥
19. 0 < x <
eþiti kaçtýr?
π
olmak üzere, f(sin2x) = x − tanx ise,
2
⎛ 1⎞
fý ⎜ ⎟ nin deðeri kaçtýr?
⎝2⎠
Cevap : −sinx
Cevap : −1
π
14. f(x) = sin3(2x) ise, fý ⎛⎜ ⎞⎟ nýn deðeri kaçtýr?
⎝6⎠
20. f(x) = x.arctanx ise, fý(1) in deðeri kaçtýr?
9
Cevap :
4
Cevap :
π+2
4
π
15. f(x) = tan(cotanx) ise, fý ⎛⎜ ⎞⎟ nýn deðeri kaçtýr?
⎝2⎠
Cevap : −1
21. f(x) = arctan x
ý
ise, f (4) ün deðeri kaçtýr?
Cevap :
16. d ⎡sin2 (cos x) ⎤
⎣
⎦
dx
1
20
eþiti kaçtýr?
Cevap : sin(2cosx).(−sinx)
22.
2
17. d ⎡⎣x.sin x ⎤⎦ eþiti kaçtýr?
2
d
⎡arc sin 2x ⎦⎤
dx ⎣
eþiti kaçtýr?
Cevap :
dx
2
1 − 4x 2
Cevap : 2cosx −x.sinx
23.
18. f(x) = 2.sin2x + cos2x ise,
d
⎡arc tan(sin x)⎤⎦ eþiti kaçtýr?
dx ⎣
ý
f (x) in deðeri kaçtýr?
Cevap :
Cevap : 0
175
cos x
1 + sin2 x
TEST 2
Türevde Zincir Kuralý - Bileþke Fonk. - Trigonometrik Fonk.Türevi
1. f(x) = (3x2 _ 2x)10
6. f(x2 + 3x) = x3 + 2x + 3 fonksiyonu veriliyor.
fonksiyonunun x = 1 noktasýndaki türevi
kaçtýr?
A) 48
B) 40
C) 10
D) 1
ý
Buna göre, f (4) ün deðeri kaçtýr?
A) 1
E) 0
h →0
f(1 + h) − f(1)
h
A) 30
B) 60
D) 90
A) 2
8. f(1) = 3,
ý
B)
x
3
4
C)
D) 5
lim
x →1
f(x) − 3
=6
x −1
ve h(x) = x3.f(x) ise,
5
6
D)
19
12
E)
A) 3
25
12
B) 6
C) 15
3
B) 3
9. g(2) = 4, gý (2) = 6 ve f(x) =
C)
1
3
D)
1
6
E)
1
9
A) 0
1
3
D)
8
3
E)
E) 20
g(x)
þeklinde vex
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
10. f : R → R, f(x) = x3 − x fonksiyonu verildiðine
fonksiyonunun x = 5 noktasýndaki türevi
kaçtýr?
C)
D) 18
rildiðine göre, f(x) fonksiyonunun x = 2 noktasýndaki türevi kaçtýr?
5. f(x) = 2x − 1 + 3
B) 3
E) 6
ý
fonksiyonunun x = 9 noktasýndaki türevi
kaçtýr?
A) 2
C) 4
h (1) in deðeri kaçtýr?
4. f(x) = 3 −
x
A) 9
B) 3
E) 120
f (4) ün deðeri kaçtýr?
1
2
E) 6
ý
3. f(x) = x 2 − 7 + x fonksiyonu verildiðine göre,
A)
D) 5
ise, f (1) in deðeri kaçtýr?
ifadesinin deðeri kaçtýr?
C) 70
C) 3
7. f(2x + 1) = x.g(x2 + 1) fonksiyonu ve g(1) = 6
2. f : R → R, f(x) = 2x 30 + 5 ise,
lim
B) 2
_ ý
göre, (f 1) (6) nýn deðeri kaçtýr?
10
3
A) 11
176
B) 6
C) 2
D)
1
6
E)
1
11
Türevde Zincir Kuralý - Bileþke Fonk. - Trigonometrik Fonk.Türevi
TEST 2
11. f : [−3, ∞) → R,
f(x) = óx+3 fonksiyonu verildiðine göre,
16. f(x) = tanx − x fonksiyonunun x =
_
ý
ý
f (1) + (f 1) (2) ifadesinin deðeri kaçtýr?
A)
1
4
B) 4
C)
15
4
D)
17
4
tasýndaki türevi kaçtýr?
A) 0
19
4
E)
(f
1)ý (0)
A)
B)
1
12
C)
1
24
D)
1
26
E)
D) 3
E) 4
dx
ýn deðeri kaçtýr?
1
4
C) 2
17. d ⎡ x 3 .sin x ⎤ eþiti kaçtýr?
⎣
⎦
12. f(x) = 2x3 − 16 fonksiyonu verildiðine göre,
_
B) 1
π
nok3
1
30
A) 3x2cosx
B) x3cosx
C) x2(sinx+cosx)
D) 3x2sinx
E) x2(3sinx+x.cosx)
13. f(x) = sin3x + tanx
fonksiyonunun x =
noktasýndaki türevi kaçtýr?
3 2
A) 2 −
2
2
B)
2
2
D) 1 +
2
π
4
18. a > 0, f(x) = arc cos
3 2
C)
2
x
a
fonksiyonu veriliyor.
fý ( 3 ) = −1 ise, a nýn deðeri kaçtýr?
2
E) 1 −
2
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
D) 14
E) 16
14. f(x) = cos2x − 2cos2x fonksiyonu verildiðine
d
3
=?
19. dx ⎡⎣⎢(2 − sin x ) ⎤⎦⎥
x =π
ý ⎛π⎞
göre, f ⎜ ⎟ nýn deðeri kaçtýr?
⎝6⎠
A) −1
B) 0
C) 1
D) 2
A) 3
E) 2ñ3
⎦
A) cos2x
D) sinx.cosx
B) 2cosx
C) 12
20. f(x) = cos(arc sinx) fonksiyonu verildiðine göre,
2
15. d ⎡sin2 x ⎤ eþiti kaçtýr?
dx 2 ⎣
B) 4
⎛ 1⎞
fý ⎜ ⎟ nin deðeri kaçtýr?
⎝2⎠
C) sin2x
A) −
E) 2cos2x
3
3
B) −
3
2
C) − 3
D)
1
3
E)
3
3
Cevaplar: 1-B 2-B 3-D 4-E 5-C 6-A 7-B 8-C 9-C 10-E 11-D 12-C 13-A 14-B 15-E 16-D 17-E 18-B 19-C 20-A
177
Maksimum Minimum
Problemleri
İ:K
The End…
Grafik Çizimleri
e)
f(x) in türevine bakýlýr; yani fonksiyonun
birinci türevi alýnýp sýfýra eþitlenir, varsa
kökler bulunur, bulunan bu kökler fonksiyonda yerine yazýlarak y deðerleri elde
edilir. Bu deðerler fonksiyonun maksimum
veya minimum deðerlerini verir.
f)
Deðiþim tablosu yapýlýr. Yukarýdaki tüm bilgiler tabloya aktarýlýr, türevin iþareti incelenir, fonksiyonun maksimum ve minimum
noktalarý belirlenir. Bu bilgilerin tamamý
koordinat düzlemine aktarýlarak grafik
çizilmiþ olur.
4. GRAFÝK ÇÝZÝMLERÝ
1.
POLÝNOM FONKSÝYONLARIN GRAFÝKLERÝ
f(x) = a n x n + a n−1 x n−1 + a n−2 x n−2 + ... +
a1x + ao
þeklindeki polinom fonksiyonunun grafiðini
çizerken aþaðýdaki yollar izlenir.
a)
f(x) in taným kümesi bulunur.
Yani bu fonksiyonlar ∀x ∈ R için tanýmlýdýr.
b)
c)
Örnek 1
f(x) in eksenleri kestiði noktalar bulunur.
f : R → R,
x = 0 için oy eksenini kestiði nokta,
fonksiyonunun grafiðini çiziniz.
f(x) = x 2 − 2x − 3
y = 0 için ox eksenini kestiði nokta bulunur.
Çözüm
y = 0 için bir x deðeri bulunamýyorsa fonksiyonun ox eksenini kesmediði anlaþýlýr.
a)
Taným kümesi tüm reel sayýlardýr.
b)
Eksenleri kestiði noktalar;
Fonksiyonun geliþ ve gidiþ yönüne bakýlýr.
lim (an x n + ...)
x→±∞
x = 0 için y = −3
limiti hesaplanýr, bulunan
y = 0 için x 2 − 2x − 3 = 0
deðerler eðrinin uç noktalarýnýn hangi bölgede olduðunu gösterir.
c)
y
(x + 1)(x − 3) = 0 ise, x 1 = −1 , x 2 = 3
Fonksiyonun uç noktalarý,
x → +∞ için y → +∞
I. bölge
x → −∞ için y → +∞
II. bölge
II. bölge
I. bölge
d)
Çift katlý kök yoktur.
(− , +)
(+ , +)
e)
Türevine bakalým.
ý
f (x) = 2x − 2 = 0 ise x = 1 bulunur.
x
(− , −)
(+ , −)
III. bölge
IV. bölge
x = 1 ⇒ f(1) = 1 − 2 − 3 = −4
f)
Deðiþim tablosunu inceleyelim.
x
x → +∞ için y → +∞ ise I. bölge
−∞
ý
f (x)
x → −∞ için y → +∞ ise II. bölge
x → −∞ için y → −∞ ise III. bölge
f(x) −∞
x → +∞ için y → −∞ ise IV. bölge
0
−1
−
−
0
3
+
−
−3
olduðu anlaþýlýr.
−4
1
3
−1
f(x) in tam kareli bir çarpaný, veya baþka
bir deyiþle y = 0 için çift katlý bir kökü
varsa bu kökte grafik ox eksenine teðettir,
tek katlý kökünde grafik ox eksenini keser.
−3
−4
247
+∞
+
0
y
Bu iþlemleri yaparken f(x) in derecesinin
tek veya çift olduðuna dikkat edilmesi
gerekir.
d)
1
x
+∞
Grafik Çizimleri
Not :
Uyarý :
Polinom fonksiyonun grafiði verilirse
denklemi þöyle olur:
I)
Parabolün eksenleri
kestiði noktalar verilmiþ ise denklem,
Fonksiyonun derecesi, tepe noktasý sayýsýndan bir fazla olduðuna dikkat ediniz.
y
Örnek 2
f(x)
f(x) = (x − 2) 2 (x + 1)
y = a(x + 1).(x − 2)
þeklinde yazýlýp
x = 0
için
y = −1
yazýlarak
Çözüm
−1
deðeri denklemde yeyerine
fonksiyonunun grafiðini çiziniz.
x
2
−1
1.
f(x) bir polinom olduðundan ∀x ∈ R için
tanýmlýdýr.
2.
Eksenleri kestiði noktalar,
a
bilmeyeni bulunur.
x = 0 için y = 4 , A(0, 4)
y = 0 için (x − 2) 2 (x+1) = 0
II)
Parabolün oy eksenini kestiði nokta ve
tepe noktasý verilmiþ
ise denklemi,
⇓
y
x 1 = x 2 = 2, x 3 = −1 bulunur.
f(x)
y = a(x − 1) 2 − 2
3.
1
þeklinde yazýlýp (0, −1)
noktasý denklemde
x
−1
−2
yerine yazýlarak a
(0, 3)
x → +∞ için y → +∞
I. bölge
x → −∞ için y → −∞
III. bölge
Fonksiyonun (x − 2) 2 çarpaný tamkare olduðundan eðri x = 2 apsisli noktada x
eksenine teðettir.
5.
Türevine bakalým.
f(x) = (x − 2) 2 (x + 1) ise
y
ý
f (x) = 2(x − 2)(x + 1) + 1 (x − 2) 2 = 0
f(x)
(x − 2) [( 2x + 2) + x − 2] = 0
(x − 2) (3x) = 0
3
þeklinde yazýlýr.
Fonksiyonun uç noktalarý,
4.
deðeri bulunur.
III) Parabol ox eksenine
teðet ise denklemi,
y = a(x − 2) 2
noktasý denk-
x = 2 , x = 0
x
2
6.
lemde yerine yazýlarak a deðeri bulunur.
−∞
ý
þeklinde yazýlýr.
(0, 3) noktasý denk-
y
y
+
0
2
+
−
4
+∞
0
+∞
f(x) = (x − 2) 2 (x + 1)
f(x)
3
−∞
0
−1
+
y
IV) Yanda görülen þekildeki gibi bir grafik
verildiðinde denklemi,
türevin kökleridir.
Deðiþim tablosu ve grafik,
x
y = a(x+4)(x−2) 2
⇓
f(0) = (0 − 2) 2 (0 + 1) = 4 ise f(0) = 4
−4
2
f(2) = (2 − 2) 2 (2 + 1) = 0 ise f(0) = 0
x
lemde yerine yazýla-
f(x) = (x − 2) 2 (x + 1)
rak a deðeri bulunur.
Fonksiyonunun grafiði aþaðýdaki gibidir.
248
Grafik Çizimleri
Örnek 4
y
f(x) = (x 2 − 1) 2
4
fonksiyonunun grafiðini çiziniz.
Çözüm
−1
x
2
1.
f(x) fonksiyonu her yerde tanýmlýdýr.
2.
Eksenleri kestiði noktalar,
x = 0 için y = 1
y = 0 için (x 2 − 1) 2 = 0
Örnek 3
f(x) = x 3 − 2x 2 + x − 2
(x − 1) 2 . (x + 1) 2 = 0 ise
fonksiyonunun grafiðini çiziniz.
x1 = x2 = 1
x 3 = x 4 = −1 dir.
Çözüm
1.
f(x) fonksiyonu ∀x ∈ R için tanýmlýdýr.
2.
Eksenleri kestiði noktalar,
3.
Fonksiyonun uç noktalarýna bakalým,
x = 0 için y = −2
x → +∞ için y → +∞
I. bölge
y = 0 için x 3 − 2x 2 + x − 2 = 0
x → −∞ için y → +∞
II. bölge
x 2 (x − 2) + x − 2 = 0
(x − 2).(x 2 + 1) = 0
4.
x − 2 = 0 veya x 2 + 1 = 0 ise Çk = {2} dir.
3.
Fonksiyonun uç noktalarý,
x → +∞ için y → +∞
I. bölge
x → −∞ için y → −∞
III. bölge
4.
Fonksiyonda çift katlý kök yok.
5.
Türevine bakalým.
Yani grafik x = 1 ve x = −1 de ox eksenine
teðettir.
5.
ý
f (x) = 2(x 2 − 1) . 2x
ý
f (x) = 3x2 − 4x + 1 = 0 ⇒ (3x − 1)(x − 1) = 0
x
−1
x
−1
yý
y
+
−∞
ise
1
+
−2
2
50
27
max
−2
min
x1 = 0
x
+∞
+
−
2.(x − 1)(x + 1) . 2x = 0 ise
1
, x = 1
3
x =
1
3
0
−∞
Türevine bakalým.
f(x) = (x 2 − 1) 2 ise
f(x) = x 3 − 2x 2 + x − 2 ise
3x
f(x) = (x − 1) 2 = (x − 1) 2 . (x + 1) 2 olduðundan fonksiyonun iki tane tam kareli kökü
vardýr.
fý (x)
+
0
−∞
f(x)
+∞
+
0
Y.min
y
1
+
−
1
Y.max
+∞
0
Y.min
+∞
y
1
3
− 50
27
−2
0
−1
−
+∞
x = 1 ve x = −1 bulunur.
1
1
2
x
−1
249
1
x
Grafik Çizimleri
Örnek 5
y
ASÝMPTOTLAR
2
x
3
−2
Asimptotlar fonksiyona sonsuzda teðet
olan doðru ve eðrilerdir.
Asimptotlar kesirli ve köklü fonksiyonlarda
vardýr.
Asimptotlar kendi özelliðine göre ad alýr.
Yukarýda grafiði verilen fonksiyonun
denklemini bulunuz.
~
Düþey bir doðrudan oluþan asimptota
düþey asimptot,
~
Yatay bir doðrudan
yatay asimptot,
~
Eðik bir doðrudan oluþan asimptota eðik
asimptot,
~
Bir eðriden oluþan asimptota eðri asimptot denir.
A)
DÜÞEY ASÝMPTOT
Çözüm
Verilen grafiðin denklemi x = −2 de ox
eksenine teðet ve x = 3 den geçtiðine göre,
f(x) = a.(x + 2) 2 . (x − 3) þeklinde ifade
edebiliriz. Bu fonksiyon oy eksenini 2
ordinatlý noktada kestiðine göre, (0, 2)
noktasý denklemi saðlar.
2 = a.(0 + 2) 2 . (0 − 3)
1
2 = a.4.(−3) ise a = −
dýr.
6
f(x) =
Buna göre, f(x) = −
1
(x + 2) 2 . (x − 3) olarak
6
asimptota
P(x)
kesirli fonksiyonunda paydayý
Q(x)
sýfýr yapan x deðerlerine düþey asimptot
denir.
bulunur.
Örnek 6
oluþan
Yani;
y
f(x) =
f(x)
P(x)
(x − a)(x − b)
fonksiyonunun paydasýný sýfýra eþitlersek
(x − a).(x − b) = 0
x
ax 3
denkleminden
bulunur.
x = a,
x = b
deðerleri
Burada a ve b noktalarýndaki limitler ±∞
gider.
bx 2
Yukarýdaki grafik f(x) =
+
− 9x + c
fonksiyonunun grafiði olduðuna göre, a, b,
c nin iþaretlerini bulunuz.
y
y
Çözüm
~
x = 0 için y = c ise c < 0 dýr.
Çünkü grafik oy eksenini negatif bölgede
kesmektedir.
a
x
b
Grafikten de görüldüðü gibi köklerin üçü de
pozitiftir. Buna göre,
~
~
c
x1 . x2 . x3 = − > 0 ⇒
a
−( −9)
> 0
a
lim f(x) = ± ∞ ve lim f(x) = ± ∞ dýr.
olduðundan a > 0 dýr.
−b
x1 + x2 + x3 =
> 0 ve a > 0
a
x →∞
lim f(x) = + ∞ ve
x → a+
olduðundan −b > 0 ise b < 0 dýr.
lim f(x) = − ∞ ve
x → a−
O halde a > 0, b < 0 , c < 0 dýr.
250
x →b
lim f(x) = − ∞
x → b+
lim f(x) = + ∞
x → b−
x
Grafik Çizimleri
Grafik hiçbir zaman düþey asimptotu
kesmez, ancak düþey asimptota sonsuzda teðet olur.
f(x) =
1)
x2 + x − 6 = 0
02
−2 +3
P(x)
kesirli fonksiyonu verildiðinde
Q(x)
x = 2 , x = −3
x 2 + 2x
lim
x → −3
Düþey asimptot grafiði parçalar yani düþey
asimptot sayýsý n tane ise grafik n+1
parçadan oluþmaktadýr.
2
x + x −6
= ± ∞ , lim
x →2
x=2
x 2 + 2x
x2 + x − 6
= ±∞
Uyarý :
f(x) =
P(x)
kesirli fonksiyonunda Q(x) = 0
Q(x)
denkleminin kökleri P(x) = 0 denkleminin
kökü deðilse düþey asimptotturlar.
Eðer Q(x) = 0 denkleminin kökü, P(x) = 0
denkleminin de kökü ise, bu noktada f(x) in
sað ve sol limitlerine bakýlýr bu limitlerden
en az biri ± ∞ ise o kök düþey asimptottur.
Kesirli fonksiyonlarýn paydasý (x − a) 2 gibi
tam kare ise x = a düþey asimptottur ve
x = a da eðrinin (±∞)’a atýlmýþ bir ekstremumu vardýr.
(Aklýmýzda kalmasý için biz buna x = a
da bir baca vardýr diyeceðiz.)
y
x = −3
düþey asimptotlardýr.
Q(x) = 0 denkleminin kökleri düþey asimptotlarý verir.
Yukarýdaki f(x) fonksiyonunun x = a ve
x = b þeklinde iki düþey asimptotu olduðundan grafiðin üç parçaya ayrýlacaðýný
söyleyebiliriz.
3)
x
(x − 2)(x + 3) = 0
Q(x) = 0 denkleminin kökleri yoksa, fonksiyonun düþey asimptotlarý da yoktur.
2)
y
Çözüm
Not :
Örnek 2
y
f(x) =
x 3 − 2x 2 + x − 2
x2 − 4
eðrisinin düþey asimptotlarýný bulunuz.
x
x
Çözüm
Paydayý sýfýra eþitleyelim,
x2 − 4 = 0 ⇒ x = 2
x = a da −∞ ’a
atýlmýþ bir ekstremum
(baca) vardýr.
Bunlarýn düþey asimptot olabilmesi için bu
noktalardaki limitlerin ± ∞’a gitmesi gerekir.
x = a de +∞ ’a
atýlmýþ bir ekstremum
(baca) vardýr.
lim
x →2
lim
x →2
x 3 − 2x 2 + x − 2
x2 − 4
→
0
0
3x 2 − 4x + 1 3.2 2 − 4.2 + 1 5
=
=
2x
2.2
4
olduðundan x = 2 düþey asimptot deðildir.
Örnek 1
f(x) =
x = −2 bulunur.
2
x + 2x
lim
x2 + x − 6
x →−2
eðrisinin düþey asimptotlarýný bulunuz.
x 3 − 2x 2 + x − 2
2
x −4
=
−8 − 8 − 2 − 2 −20
=
=±∞
0
0
olduðundan x = −2 düþey asimptottur.
251
Grafik Çizimleri
Örnek 3
f(x) =
y
y
x+2
x 2 + ax + 4
eðrisinin düþey asimptotu yoksa a nýn
deðeri kaçtýr?
x
x
Çözüm
Eðrinin paydasýndaki x 2 + ax + 4 = 0 denkleminin reel kökünün olmamasý gerekir.
Bunun için Δ = b 2 − 4.a.c = a 2 − 4.1.4 < 0
olmalý a 2 < 16 her iki tarafýn karekökünü
alýrsak, |a| < 4 olur, burdan −4 < a < 4
bulunur.
B)
Uyarý :
Eðri düþey asimptotu kesmez. Fakat
yatay asimtot eðri ve eðik asimtotlarý
kesebilir. Fonksiyonla asimtot denklemi
ortak çözüldüðünde bu kesim noktalarý
bulunur.
YATAY ASÝMPTOT
Örnek 4
P(x)
f(x) =
kesirli fonksiyonunda
Q(x)
lim f(x) = lim
x → ±∞
x→±∞
f(x) =
P(x)
= a ise
Q(x)
5x − x 3
eðrisinin yatay asimtotunu bulunuz.
Çözüm
y = a doðrusuna yatay asimptot denir.
lim
Bu kesirli fonksiyonda;
i)
3x 3 + 2x 2 + 5
3x 3 + 2x 2 + 5
5x − x 3
x →∞
= −3
olduðundan y = −3 yatay asimtottur.
Payýn derecesi paydanýn derecesinden
büyükse,
y
P(x)
ax p + ......
= lim
=∞
x → ± ∞ Q(x)
x → ± ∞ bx q + ......
lim
x
olduðundan yatay asimptot yoktur (eðik
veya eðri asimtot vardýr.)
−3
ii)
Payýn derecesi paydanýn derecesine eþitse
eþit dereceli terimlerin önündeki katsayýlarýn oraný limitin deðeridir.
Örnek 5
p
P(x)
ax + ...... a
= lim
=
b
x → ± ∞ Q(x)
x → ± ∞ bx q + ......
lim
olduðundan
iii)
y=
y = −3
f(x) =
a
yatay asimptottur.
b
2x − 1
3+ x
eðrisinin yatay asimtotlarýný bulunuz.
Çözüm
lim
Paydanýn derecesi payýn derecesinden
daha büyükse,
x →∞
2x − 1
= 2 olduðundan
3+x
y = 2 yatay asimptottur.
P(x)
ax p + ......
= lim
=0
x → ± ∞ Q(x)
x → ± ∞ bx q + ......
lim
lim
x → −∞
olduðundan y = 0 yani x ekseni yatay
asimptottur.
2x − 1
= −2 olduðundan
3−x
y = −2 de yatay asimptottur.
252
Grafik Çizimleri
Örnek 6
f(x) =
Buna göre;
2
x + 3x
x+2
2a − b = 0 dýr. Buradan 2a = b dir.
f(x) =
eðrisinin yatay asimtotunu bulunuz.
Çözüm
lim
x → ±∞
x 2 + 3x
= ±∞
x+2
lim
x →∞
bx + c
x
olur.
bx + c
= b ise y = b
x
yatay asimptottur dolasýyla
olduðundan verilen eðrinin yatay asimptotu yoktur.
b = 3; 2a = b ise a =
f(x) = 5 x
3
a 2 3 1 1
=
= . =
b 3 2 3 2
eðrisinin yatay asimptotunu bulunuz.
Burada
Örnek 7
lim 5 x = 5 ∞ = ∞ ,
x →∞
x → −∞
1
5
∞
=
bulunur.
a
oraný sorulduðundan b 'yi bulma −
b
a 1
dan 2a = b eºitliðinden = bulunabilir.
b 2
Çözüm
lim 5 x = 5 −∞ =
3
2
1
=0
∞
Not :
f(x) = (2a − b)x + b +
olduðundan y = 0 doðrusu yatay asimptottur.
c
eðrisinde
x
y = (2a − b)x + b ifadesi yatay asimptota
özdeþtir.
Örnek 8
(2a − b)x + b = 3 eþitliðinden
1/ x
f(x) = e
2a − b = 0 ve b = 3
eðrisinin yatay asimptotunu bulunuz.
a =
Çözüm
lim e1/ x = e1/ ∞ = eo = 1
3
2
, b = 3
bulunur.
x →∞
lim e1/ x = e1/ −∞ =
x → −∞
1
1/ ∞
e
=
1
o
e
=
1
=1
1
Örnek 10
olduðundan y = 1 yatay asimptottur.
f(x) = (m − 1)x + n + 1 −
fonksiyonunun yatay asimptotu −2 ise,
Örnek 9
c
f(x) =(2a − b)x + b +
x
asimptotu 3 ise,
m + n nin deðeri kaçtýr?
eðrisinin yatay
Çözüm
⎛ x+2−2⎞
f(x) = (m − 1)x + n + 1 − ⎜
⎟
⎝ x+2 ⎠
a
nin deðeri kaçtýr?
b
Çözüm
f(x) =
2
(2a − b)x + bx + c
x
x
x+2
y = (m − 1)x + n + 1 − 1 +
haline getirilir.
2
x+2
y = (m − 1)x + n yatay asimptottur.
Burada yatay asimptotun reel bir sayý olabilmesi için pay ve paydanýn dereceleri eþit
olmalýdýr.
(m − 1)x + n = 0x − 2
m = 1 ve n = −2
bulunur.
253
eþitliðinden
olup, m + n = −1
Grafik Çizimleri
C)
Örnek 12
EÐÝK VE EÐRÝ ASÝMPTOTLAR
f(x) =
P(x)
kesirli fonksiyonunda payýn dereQ(x)
fonksiyonunun eðri asimptotunu bulunuz.
cesi paydanýn derecesinden bir derece
büyük ise eðik, daha fazla dereceden
büyükse eðri asimptot vardýr.
Çözüm
x 3 +2x 2 −x
x+2 ⎫ x 3 +2x 2 −x
⎪
= x 2 −1 +
⎬
3
2
2
− x ±2x x −1 ⎪
x 2 −1
⎭
0−x
olduðundan
y = f(x) eðrisi için,
lim
x →∞
lim
x → −∞
f(x) − K(x) = 0
x 3 + 2x 2 − x
x+2
f(x) =
veya
x +2
y = x 2 − 1 eðri asimptottur.
±x ±2
f(x) − K(x) = 0
2
2
y
olacak þekilde bir K(x) polinomu varsa
buna f(x) eðrisinin bir eðri veya eðik
asimptotu denir.
−1
Bu asimptot K(x) = mx + n þeklinde ise
eðik, K(x) = mx 2 + nx + t þeklinde ise eðri
asimptot adýný alýr.
f(x) =
P(x)
R(x)
= K(x) +
Q(x)
Q(x)
Uyarý :
y = f(x) fonksiyonunun y = mx + n biçiminde bir eðik asimptotu varsa
Örnek 11
x 2 − 3x + 5
x −2
m1 = lim
x →∞
Çözüm
x−2 ⎫
⎪
⎬
2
− x ± 2x x−1 ⎪
⎭
−x + 5
±x ±2
x 2 −3x+5
x−2
=x−1+
m2 = lim
x → −∞
3
x →±∞
f(x)
, n2 = lim [ f(x) − m 2 x ]
x
x → −∞
þeklinde bulunur.
x −2
olduðundan
y = x − 1 eðik asimptottur.
Örnek 13
3
lim
f(x)
, n1 = lim [ f(x) − m1x ]
x
x→∞
veya
eðrisinin varsa asimptotunu bulunuz.
x 2 −3x+5
x
−1
þeklinde yazýlarak K(x) elde edilir.
f(x) =
1
f(x) − k(x) = lim
x →±∞
x −1 +
f(x) =
3
− (x − 1)
x −2
x 2 − 2x
eðrisinin asimptotlarýný bulunuz.
3
= lim
= 0 dýr.
x →±∞ x − 2
Çözüm
i)
y
1
Düþey asimptot
x 2 − 2x = 0 ise x 1 = 0 ve x 2 = 2 dir.
y=x−1
−1
x3 + 1
ii)
x
lim
x →∞
x3 + 1
x 2 − 2x
=∞
olduðundan yatay asimptotu yoktur.
254
Grafik Çizimleri
iii)
i)
Eðik asimptotunu bulalým.
x3
+1
2x 2
+1
2x 2
± 4x
x+2
b
2a
ifadesi eðik asimptottur. Bu asimptot
b ⎞
⎛
x → ∞ için y = a ⎜ x +
⎟
2a ⎠
⎝
x3 + 1
2
x →∞
= a. x+
4x + 1
f(x) =
lim f(x) = lim ax 2 + bx +c
x →∞
x 2 −2x
− x 3 ± 2x 2
−
a > 0 ise
x − 2x
= x+2+
4x + 1
b ⎞
⎛
x → − ∞ için y = − a ⎜ x +
⎟ dýr.
2a ⎠
⎝
x 2 − 2x
olduðundan y = x + 2 eðik asimptottur.
ii)
KÖKLÜ FONKSÝYONLARIN ASÝMPTOTLARI
x→±∞
x →∞
x →∞
limiti hesaplanamaz, çünkü kökün içi x → ∞
için negatiftir.
f(x) = x 2 − 2x + 4 þeklindeki irasyonel fonksiyonlarýn eðik asimptotlarýný araþtýralým.
lim
a < 0 ise lim f(x) = lim ax 2 + bx +c
iii)
f(x) = lim ax 2 + bx +c + px + q
x →∞
x 2 − 2x + 1 + 3
fonksiyonunun yatay asimptotu
2
= lim
(x − 1) + 3
= lim
⎡
3 ⎤
(x − 1)2 . ⎢1 +
⎥
2
⎣⎢ (x − 1) ⎦⎥
x→±∞
x→±∞
y= a x+
⎛
3
= lim ⎜ x − 1 . 1 +
x→±∞ ⎜
−
(x
1)2
⎝
= lim
x − 1 . lim
= lim
3
x − 1 . 1+
∞
= lim
x −1
x→±∞
x→±∞
x→±∞
x → ±∞
1+
b
+ px + q
2a
dir.
Bu da yukarýdakiler gibi elde edilir.
⎞
⎟
⎟
⎠
Örnek 14
f(x) = x 2 − 4x + 1
3
(x − 1)2
fonksiyonunun asimptotunu bulunuz.
Çözüm
Bunu da yukarýdaki formülün çýkýþýný kullanarak yapalým.
f(x) = x 2 − 4x + 4 − 4 + 1 = (x − 2) 2 − 3
olduðundan eðik asimptotlar
⎡
3 ⎤
3
= (x − 2)2 . ⎢1 −
⎥ = x − 2 . 1−
2
(x − 2)2
⎣⎢ (x − 2) ⎦⎥
x → ∞ için y = x − 1
x → −∞ için y = −x + 1 doðrularýdýr.
x → ∞ için karekökün limiti 1 olacaðýndan
Uyarý :
eðik asimptot y = |x − 2| dir.
f(x) = ax 2 + bx +c þeklindeki fonksiyonlarýn eðik asimptotlarý kýsaca þöyle
bulunur.
x → +∞ için y 1 = x − 2 ve
x → −∞ için y 2 = −x + 2
255
bulunur.
Grafik Çizimleri
Örnek 15
ax − b = 0 ⇒ x = b
a
2
f(x) = 3x − 1 + 4x − 8x + 7
fonksiyonunun eðik asimptotlarýný bulunuz.
Yatay asimptotu
Çözüm
x →∞
3
a
⇒ y=
3
a
⎛b 3⎞
Asiptotlarýn kýsým noktasý A ⎜ , ⎟
⎝a a⎠
Bunu da elde ettiðimiz formülden yapalým.
y = 3x − 1 + 4 x +
lim y =
−8
2.4
y = x + 1 doðrusu üzerinde ise
3 b
3 b+a
= + 1 ise
=
⇒ a + b = 3 bulunur.
a a
a
a
y = 3x − 1 + 2 . |x − 1|
y 1 = 3x − 1 + 2x − 2 = 5x − 3
y 2 = 3x − 1 − 2x + 2 = x + 1
dir.
Örnek 18
f(x) =
Örnek 16
x 2 − bx + 4
x+c
eðrisinin simetri merkezi (2, −3) noktasý
olduðuna göre, b − c nin deðeri kaçtýr?
y = x + 3 + x 2 − 4x − 5
eðrisinin asimptotlarý hangi noktada
kesiþir?
Çözüm
Fonksiyonun simetri merkezi asimptotlarýn
kesim noktasý olduðuna göre;
Çözüm
Fonksiyonun asimptotlarýný bulup, bunlarý
ortak çözerek kesim noktasýný ortaya çýkartalým.
−4
y= x+3+ 1 x+
2 .1
y 1 = x + 3 + x − 2 = 2x + 1
y2 = x + 3 − x + 2 = 5
~
x + c = 0 ⇒ x = −c düþey asimptot olup
x = 2 verilmiþtir. Buna göre x = −c = 2 ise
c = −2 bulunur.
~
Eðik Asimptot
x 2 − bx + 4
y 1 = y 2 ⇒ 5 = 2x + 1 ⇒ x = 2 , y = 5
Asimptotlarýn kesim noktasý (2, 5) dir.
−
x2±
cx
−(b+c) x + 4
⎫ ise y = x − (b + c)
⎪
⎬
x−(b+c) ⎪
eðik asimptottur.
⎭
x+c
± (b + c) x + c (b + c)
4 + c (b + c)
Uyarý :
Asimptotlarýn kesim
Bir fonksiyonun simetri merkezi asimptotlarýn kesim noktasýdýr.
y
noktasý A(2, −3)
2
y = x − (b + c)
asimptotu üzerinde
Örnek 17
olduðundan,
3x + 2
y=
ax − b
y=
(2, −3)
−3 = 2 − (b + c)
b + c = 5 bulunur.
eðrisinin simetri merkezi y = x + 1 doðrusu
üzerinde ise a + b nin deðeri kaçtýr?
Çözüm
−3
b − 2 = 5 ise b = 7
Buna göre;
3x + 2 eðrisinin düþey asimptotu
ax − b
b − c = 7 − (−2) = 7 + 2 = 9
256
bulunur.
x
Grafik Çizimleri
5.
KESÝRLÝ FONKSÝYONLARIN GRAFÝKLERÝ
Bir f(x) fonksiyonunun grafiðini çizmek için
aþaðýdaki yollar sýrasýyla izlenir.
1.
f(x) in tanýmlý olduðu aralýk bulunur, fonksiyon trigonometrik ise peryodu tespit
edilir.
2.
f(x) fonksiyonunun asimptotlarý bulunur.
3.
f(x) fonksiyonunun eksenleri kestiði noktalar bulunur.
Deðiþim tablosu yapýlarak artan ve azalan
olduðu aralýklar tesbit edilir. Bütün bilgiler
bu deðiþim tablosu üzerine yazýlýr ve bu bilgiler ýþýðýnda grafik çizilir.
Örnek 1
y=
1
fonksiyonunun grafiðini çiziniz.
x −2
Çözüm
i)
f(x) = y nin taným kümesi R − {2} dir.
ii) x − 2 = 0 ise x = 2 düþey asimptot
~ x = 0 için y = f(0), A[0, f(0)] noktasý
fonksiyonun y eksenini kestiði noktadýr.
~ y = 0 için f(x) = 0, B(x, 0) noktasý
fonksiyonun x eksenini kestiði noktadýr.
4.
ý
Türevine bakýlýr yani f (x) = 0 denklemi
çözülerek eðrinin ekstremum noktalarý
bulunur.
lim
x →∞
Fonksiyon kesirli ise pay, kesirsiz ise
çarpanlarýndan biri tam kare ise tam karenin kökünde grafik x eksenine teðettir.
1
1
=
=0 , y=0
x −2 ∞
doðrusu yani x ekseni yatay asimptottur.
iii)
Eksenleri kestiði noktalar
x = 0 için y = −
y
1
2
1⎞
⎛
A ⎜ 0, − ⎟ noktasý
2⎠
⎝
y eksenini kestiði noktadýr.
y = 0 için 0 =
f(x) = (x − 1) 2 (.....)
x
1
iv)
Deðiþim tablosunu inceleyelim.
f ý (x) =
−2
x
0.1 − 1.1
2
(x − 2)
=
−1
(x − 2)2
=0
olduðundan denklemin kökü yoktur. Dolayýsýyla fonksiyon her yerde azalandýr.
(x + 2) (.....)
f(x) =
(............)
x
0
−∞
ý
y
Eðer kesirli fonksiyonun paydasýnda tam
kareli terim varsa tamkarenin kökünde
fonksiyon ±∞’a atýlmýþ bir ekstremumu
vardýr.
y
⇒ 0 ≠ 1 yani
eðri x eksenini kesmez.
y
2
1
x −2
y
2
−
0
−
1
2
+∞
−
−∞ +∞
0
bu incelemelerden sonra grafiði rahatlýkla
çizebiliriz.
y
y
x
2
2
x
2
f(x) =
1
2
(............)
(x − 2)2
257
x
Grafik Çizimleri
Örnek 2
Örnek 3
y = f(x) =
2
x +3
y = f(x) =
x2 − 1
fonksiyonunun grafiðini çiziniz.
i)
f(x) in taným kümesi R − {−1, 1} dir.
ii)
x2 − 1 = 0
x = 1
ve
Çözüm
x = −1
i)
f(x) in taným kümesi R − {1} dir.
ii)
(x − 1) 2 = 0
x2 + 3
x → ±∞
x2 − 1
x → ±∞
=1
lim f(x) =
x→±∞
y = 1 yatay asimptottur.
iii)
iii)
x = 0 için y = −3 , A(0, −3)
için
x2 + 3 = 0
denkleminin
eðrinin x eksenini kestiði noktalardýr.
iv)
artan, azalan aralýklarý bulalým.
f (x) =
(x 2 − 1)2
ý
1
denkleminden x = 1 bulunur.
dýr.
0
−1
+
x
1
−
+∞ −∞
+∞
−∞
yý
1
−1
−
3
+
−
+∞
+
−
−∞ +∞
−3
1
1
0
lim f(x) = −∞
x →1 −
bu deðiþim tablosundan yararlanarak f(x)
in grafiðini çizelim.
−∞ −∞
,
0
1
lim f(x) = −∞
x →1 +
bu deðiþim tablosundan yararlanýlarak
grafiði çizelim.
y
y
1
1
1
−1
=0
2(x − 1)(4) = 0 ⇒ 8(x − 1) = 0
=0
y
y
(x − 1)4
2(x − 1)[ x 2 − 2x + 1 − x 2 + 2x + 3] = 0
(x 2 − 1)2
+
y
(2x − 2)(x − 1) 2 − 2(x − 1)(x 2 − 2x − 3)
2(x − 1) 3 − 2 (x − 1)(x 2 − 2x − 3) = 0
2x 3 − 2x − 2x 3 − 6x
−∞
Deðiþim tablosu;
f(x) =
2x(x 2 − 1) − 2x(x 2 + 3)
ise −8x = 0 ⇒ x = 0
x
−3
= −3 , A(0, − 3)
1
(x + 1)(x − 3) = 0 ⇒ x = −1, x = 3
Bunun için türevinin iþaretini inceleyerek
ý
=1
y = 0 için x 2 − 2x − 3 = 0
Deðiþim tablosunu inceleyelim.
f (x) =
(x − 1)2
Eksenleri kestiði noktalar
kesmez.
ý
x 2 − 2x − 3
x = 0 için y =
kökü yoktur. Dolayýsýyla eðri x eksenini
iv)
x1 = x2 = 1
yatay asimptottur.
Eksenleri kestiði noktalar
y = 0
ise
düþey asimptottur.
düþey asimptotlardýr.
lim f(x) = lim
(x − 1)2
fonksiyonunun deðiþimini inceleyip grafiðini çiziniz.
Çözüm
ise
x 2 − 2x − 3
x
1
−1
−3
−3
258
x
3
Grafik Çizimleri
Örnek 4
f(x) =
Bu bilgiler ýþýðý altýnda grafik aþaðýdaki
gibidir.
2
x −x+4
x −1
y
fonksiyonunun deðiþimini inceleyip grafiðini çiziniz.
5
Çözüm
i)
f(x) in taným kümesi R − {1} dir.
ii)
x − 1 = 0
ise
lim f(x) = lim
x →∞
x→∞
−1
1
x
3
x = 1 düþey asimptottur.
−3
x2 − x + 4
=∞
x −1
olduðundan yatay asimptot yoktur.
O halde eðik asimptotu araþtýralým.
x2− x + 4
− x2± x
4
iii)
x − 1 ⎫ x2− x + 4
4
⎪
= x +
⎬
x
x −1
x −1
⎪⎭
y = x eðik asimptottur.
Örnek 5
f(x) =
Eksenleri kestiði noktalar
fonksiyonunun deðiþimini inceleyip grafiðini çiziniz.
x = 0 için y = − 4 , A(0, −4)
y = 0 için
x2 − x + 4
= 0 ise
x −1
x2 − x + 4 = 0
denkleminin kökleri olmadýðýndan eðri
eksenini kesmez.
iv)
Çözüm
i)
x
f (x) =
(2x − 1)(x − 1) − 1(x 2 − x + 4)
(x − 1)2
f(x) in taným kümesi
x −2
≥ 0 olmalý
x+2
Deðiþim tablosu;
ý
x−2
x+2
x
=0
−∞
x − 2
x+2
2
−2
+
−
+∞
+
2x 2 − 3x + 1 − x 2 + x − 4 = 0
x 2 − 2x − 3 = 0
denklemini çözelim.
T.k = {−∞ < x < −2} ∪ {2 ≤ x < +∞} dir.
(x + 1)(x − 3) = 0
(x + 1) = 0
⇒
x 1 = −1 ise y = −3
(x − 3) = 0
⇒
x2 = 3
x
−∞
ý
+
y
y
1
−1
−∞
−
−3
ii)
ise y = 5
3
−∞ +∞
x = 0 için y = −1 ∈ R olduðundan eðri oy
eksenini kesmez.
+∞
y = 0 için
+
−
5
x →1 +
x →1 +
lim f(x) = lim
x →1 −
x →1 −
x −2
= 0 ise x = 2 dir.
x+2
+∞
iii)
lim f(x) = lim
Eksenleri kestiði noktalar
x + 2 = 0 ise x = −2 düþey asimptottur.
2
x −x+4
= +∞
x −1
lim f(x) = lim
x→±∞
x2 − x + 4
= −∞
x −1
x→±∞
x−2
= 1 ise y = 1
x+2
yatay asimptottur.
iv)
259
Deðiþim tablosunu inceleyelim.
Grafik Çizimleri
Örnek 6
ý
1.(x + 2) − 1.(x − 2)
⎛ x −2⎞
⎜
⎟
x+2⎠
(x + 2)2
f ý (x) = ⎝
=
x −2
x −2
2.
2.
x+2
x+2
=
4
(x + 2)2
(x + 2)
Çözüm
1
.
x −2
x+2
2.
i)
f(x) in taným kümesi R dir.
ii)
Asimptot yoktur.
iii)
Eksenleri kestiði noktalar
x = 0 için f(0) = y = 3 o = 1
2
2
f(x) = 3 x fonksiyonunun grafiðini çiziniz.
x −2
x+2
= 0 ⇒ 2 ≠ 0 olduðundan
oy eksenini A(0, 1) noktasýnda keser.
iv)
Türevine bakalým.
ý
f (x) = 3 x . ln 3
türevin kökü yoktur. Türev daima pozitif
olduðundan f(x) daima artan bir fonksiyondur.
x
−∞
yý
y
2
−2
+
1
ý
∀x∈R için f (x) = 3 x . ln 3 ≠ 0 olduðundan
türevin kökü yoktur.
x
+∞
yý
+
−
0
+∞
−∞
+
+∞
+
+
+
+
y
1
fonksiyon her yerde artandýr.
lim f(x) =
x → − 2−
x −2
= +∞
x+2
lim
x → −2 −
Buna göre f(x) = 3 x grafiði;
y = 3x
y
y
1
−2
1
2
x
x
þeklinde çizilir.
260
TEST 5
1.
Grafik Çizimleri
2x − 3
x+3
y=
6.
asimptotlarýnýn kesim noktasý aþaðýdakilerden
hangisidir?
A) (−2, 3)
B) (2, 1)
D) (−3, 2)
2.
f(x) =
C) (2, −3)
A) 3
E) (2, 8)
1
2
C)
2
3
D)
3
2
E) −
7.
1
2
B)
1
2
C) 1
D) 2
f(x) =
ax + b
2x − 6
eðrisinin asimptotlarýnýn kesim noktasý
g(x) =
E) 3
1 2
x − 3x + 6 eðrisinin minimum noktasý2
na eþit ise, a nýn deðeri kaçtýr?
B) 3
C) 2
D)
x 2 + mx − n
x −a
y=
eðrisinin eðik asimptotu ile y = 3x − 9 doðrusu ox
ekseni üzerinde kesiþiyorsa, m + a nýn deðeri
kaçtýr?
A) 7
B) 5
C) −3
D) −7
8.
f(x) =
f(x) =
1
3
B)
1
2
C) 2
5
2
D) 3
E) 4
y
9.
fonksiyonunun eðri asimptotunun ox eksenini
kestiði noktalarýn apsisler toplamý kaçtýr?
B)
E) 1
x+4
−(m − x)
x 3 − 4x 2 + 3x + 5
x −2
7
3
3
2
eðrisinin asimptotlarýnýn kesim noktasý (3, n) ise,
m + n nin deðeri kaçtýr?
E) −9
A)
C) 3
D) 2
3
E) 1
2
x
4
3
5.
3
2
x 2 − 5x + 4
A) 4
A)
B)
ax 2 + 2x + c
y=
A) −
4.
2x 2 − 3x − 35
fonksiyonunun düþey asimptot deðerlerinin aritmetik ortalamasý yatay asimptot deðerine eþitse,
m’nin deðeri kaçtýr?
fonksiyonunun yatay ve düþey asimptotlarýnýn
geometrik ortalamasýnýn 2 olmasý için a ne
olmalýdýr?
3.
mx 2 + 6x − 10
f(x) = ax +
x −2
x −b
Yukarýdaki grafik hangi fonksiyona aittir?
eðrisinin eðik asimptotu ile düþey asimptotu
y = (x − 1)2 + 2 parabolünün tepe noktasýnda
kesistiðine göre, a + b’nin deðeri kaçtýr?
1
A) −
2
B) 0
2
1
C)
2
D) 1
A) y =
3x − 2
x −2
D) y =
E) 2
261
B) y =
x−4
3x + 2
3x − 4
x +2
E) y =
C) y =
3x − 4
x −2
3x + 4
6x − 4
Grafik Çizimleri
TEST 5
10. Yandaki grafik
13. Yandaki grafiðin
y
y
fonksiyonu
hangi fonksiyona aittir?
x
1
−1
A) y = (x + 1)(x − 1)2
⎛ x +m⎞
y=⎜
⎟
⎝ x +n ⎠
B) y = (1 − x)2(x + 1)2
A) (3/2, 2)
E) y = 1/2.(x − 1)(x + 1)2
C) (−1, 2)
E) (−2, 2)
y
verilen fonksiyonun denklemi aþaðýda1
2
x 2 − 3x + 2
B) y =
x2
x 2 − 2x + 1
C) y =
x
E) y =
kilerden han-
x
1
1
gisi olabilir?
x 2 − 2x + 3
x2
3
2
x
2
A) y = x (x − 2)
B) y = x2 (x − 2)
C) y = x2 (2 − x)
D) y = x3 (2 − x)
E) y = x3 (x − 2)
x −2
D) y =
x −1
15. y =
x2 − 3
x
x2 + 1
fonksiyonunun grafiði aþaðýdaki-
lerden hangisidir?
x2 + 1
A)
B)
y
y
y
12. Grafiði yanda
verilen eðrinin
1
denklemi aþa-
C)
−1
x2
B) x (y 2 − 1) = y 2 + 1
x −1
y2
D) x =
2
y −1
E) y =
1
x
x
1
hangisidir?
2
−1
x
ðýdakilerden
C) x =
x
2
B) (1, −2)
14. Yanda grafiði
y
yona aittir?
A) y =
1
D) (2, −2)
hangi fonksi-
A) y =
−2
olduðuna göre (m, n) nin deðeri nedir?
C) y = 2/3.(x − 1)(x + 1)2 D) y = (1 − x)(x + 1)2
11. Yandaki grafik
1
2
−1
y2 − 1
D)
y
E)
2
1
−1
x
1
y
y
y
x
1
−1
2
x −1
Cevaplar: 1-D 2-D 3-C 4-D 5-E 6-D 7-B 8-E 9-E 10-D 11-A 12-C 13-E 14-D 15-B
262
x
x
TÜREV VE UYGULAMALARI
TÜREV VE UYGULAMALARI
YILLAR
ÖSS /
ÖSS-I
ÖYS /
ÖSS-II
1966 1967 1968 1969 1971 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 2006 2007
4
3
4
4
1
1
3
3
4
1
3
3
1
1
4
1
5
2
4
1
2
3
4
4
3
3
6
3
3
6
4
5
4
4
TÜREV VE UYGULAMALARI
a- TÜREVİN TANIMI
b- TÜREV ALMA KURALLARI
c- L'HOSPİTAL KURALI
d- BİR FONKSİYONUN EXTREMUM NOKTALARI
e- MAKSİMUM VE MİNUMUM PROBLEMLERİ
f- DONÜM NOKTASI
g- FONKSİYONLARIN GRAFİKLERİ
BÖLÜM
24
369
DEĞİŞMEYEN MATEMATİK SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ
5.
Türevin Tanımı
y = f(x) fonksiyonu
1 1
+ = 1 olarak tanımlı
x y
olduğuna göre f'(2)değeri kaçtır?
1. Soru Tipi:
1.
A) −
Gerçek sayılar kümesi üzerinde, tanımlı ve
türevlenebilir bir f fonksiyonu için
3
2
B) − 1
C) −
2
3
D)
2
3
E)
3
2
(1989 - ÖYS)
f(x+y) = f (x)+f (y)+ xy
lim
x →0
f(h)
=3
h
A) 2
olduğuna göre, f'(1) kaçtır?
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
(2007 - ÖSS - II)
2.
6.
f(x) = 2x2 +3
olduğuna göre lim f(1 + h) − f(1) değeri kaçtır?
A) 0
B) 2
f' (0) = 0
h
x →0
f(x) = (x −1)2 (2x−t)
olduğuna göre, t kaçtır?
C) 3
D) 4
E) 5
A) 4
B) 2
C) 0
3.
w w w. t e s l i m o z d e m i r. c o m
(1993 - ÖYS)
f(x) = etanx olduğuna göre,
⎛ π⎞
f(x) − f ⎜ ⎟
⎝ 4⎠
lim
π
π
x→
x−
4
4
değeri aşağıdakilerden hangisidir?
A) − e
−
3
2
1
B) e
3
−1
E) −4
(1991 - ÖYS)
7.
P (x) polinom fonksiyonunun türevi P'(x) ve
P(x) −P'(x) =2x2 +3x−1
olduğuna göre, P(x) in katsayılarının toplamı
kaçtır?
C) −e −1
E)3e 2
D)2e
D) −2
A) 11
B) 12
C) 13
D) 14
E) 15
(2006 - ÖSS - II)
(1996 - ÖYS)
Türev Alma Kuralları
4.
3y −3yx −2x = 0
dy
olduğuna göre,
aşağıdakilerden hangidx
sine eşittir?
3y − 2
A)
3−y
3y + 2
B)
3 − 3x
D)
3x + 2
3y
x −2
C)
3 +x
E)
3x − 2
1 − 3y
(1997 - ÖYS)
370
8.
f(3x −5) = 2x2+x −1
olduğuna göre f'(1) kaçtır?
A) 10
B) 12
C) 14
D) 16
E) 18
(1993 - ÖYS)
TÜREV VE UYGULAMALARI
9.
y=
4x 2 − 6x + 2
6x 2 − 9x + 5
13.
fonksiyonunun türevi aşağı
dakilerden hangisidir?
A) y'=
C) y ' =
−72x 2 + 16x − 12
B) y ' =
(6x 2 − 9x + 5) 2
2
72x + 16x − 18
E) y ' =
A) − π 3
16x −12
B) − π
(6x 2 −9x +5) 2
D) y ' =
(6x 2 − 9x + 5) 2
⎛π
⎞
⎛ π⎞
f(x) = tg ⎜ cos x ⎟ ise,f ' ⎜ ⎟ ün değeri ne olur?
⎝2
⎠
⎝ 3⎠
3
2
C) π
D) π 3
3
2
E) 2 π 3
−16x −12
(1975)
(6x 2 −9x +5) 2
−72x 2 + 8x − 12
(6x 2 − 9x + 5) 2
(1968)
14. f(x) = cos x fonksiyonu
π
f( ) − f(0)
şartını sağlayan u sayısı aşağı
f '(u) = 2
π
2
2. Soru Tipi:
dakilerden hangisidir?
10. x = 6 sin 3t
A) arccos
y = 6 cos2 3t
π
2
B) −arccos
denklemleri ile verilen y = f(x) fonksiyonun,
x = 3 apsisli noktadaki türevinin değeri
kaçtır?
1
B) −
2
C)0
1
D)
2
3
E)
2
(1995 - ÖYS)
11.
x = t 3 + 3t ⎫⎪
d2 y
⎬ olursa,t =1 için 2 nin değeri ne olur?
3
dx
y = t − 3t ⎪⎭
A) − 1
1
C)
6
B)0
D)1
π
2
2
π
D) arcsin
C) arccos
E) −arcsin
2
π
2
π
(1977)
altın nokta yayınları ©
A) − 1
⎡ π⎤
⎢0, 2 ⎥ aralığı veriliyor
⎣
⎦
15.
0<y<
π
olmak üzere,
2
y = arcsin
x
x2 + 1
fonksiyonunun x = 1 nok
tasındaki türevinin değeri kaçtır?
(arcsin θ = sin-1θ)
A) − 1
B)
−1
2
C) 0
D)
E)6
1
2
E) 1
(1998 - ÖYS)
(1975)
12. y = cotg x fonksiyonunun türevi aşağıdaki
ifadelerden hangisidir?
A) y ' = tgx
B) y ' = − tgx
D) y ' =
1
2
sin x
C) y ' = −
E) y ' =
1
2
16. f(x) = ln (x2 −2x+7) fonksiyonunun türevi
hangisidir?
A) 2x − 2
sin x
1
D)
2
cos x
(1969)
1
B) (x 2 − 2x + 7)
2
2
x 2 − 2x + 7
2
2x − 2
C)
E)
2x − 2
x 2 − 2x + 7
(1974)
371
DEĞİŞMEYEN MATEMATİK SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ
17.
d
(ln(cosc)) aşağıdakilerden hangisidir?
dx
A) − tan x
B) − sec x
1
D) −
sin x
21.
e− x
d2
dx 2
(x 3e x ) in kısaltılmışı aşağıdakilerden
hangisidir?
C) −cot x
1
E)
cos x
(1992 - ÖYS)
A) x3+3x2+3x
B) x3+3x2+6x
C) x3 +3x2+9x
D) x3+6x2+6x
E) x3+9x2+3x
(1990 - ÖYS)
18. f(x) = ln(3x −1)
4. Soru Tipi:
olduğuna göre f-1(0) + (f-1)' (0) kaçtır?
A) −2
B) −1
C) 0
D) 1
E) 2
(1994 - ÖYS)
22. f(x) = | 3x −2 | fonksiyonunun x0 =
2
apsisli nok
3
w w w. t e s l i m o z d e m i r. c o m
tasında, türevinin değerini, varsa bulunuz?
19. f(x) = ln (3cos5x)
olduğuna göre, f ' ⎛⎜ 3 π ⎞⎟ kaçtır?
⎝ 10 ⎠
A) 2 ln3
B) 5 ln 3
D) 2 ln 5
A) 3
B)−3
C) 0
D) 1
E) Türevi yoktur
(1971)
C) ln5
E) ln 15
(1995 - ÖYS)
23. f: x→f(x) = | sinx | fonksiyonunun x = 0 için
türevi aşağıdakilerden hangisidir?
A) 1
B) −1
C) 0
D) ±1
E) x = 0 için türev yoktur.
(1973)
3. Soru Tipi:
20.
d2
dx 2
(sin23x) aşağıdakilerden hangisidir?
A) 18sin 6x
B) 18cos 6x
C) 6(sin3x + cos 3x)
D) 6(sin3x − cos3x)
E) 6cos2 3x
(1992 - ÖYS)
372
24. f(x) = |x3 −8| −x2 olduğuna göre f'' ( −1) in
değeri nedir?
A) −8
B) −4
C) −2
D) 2
E) 4
(1978)
TÜREV VE UYGULAMALARI
B) 3
C) 4
D) 5
her noktada türevli bir fonksiyon ve
f'(1) =3 olduğuna göre,
f(x) = |2 −x| +2 olduğuna göre, f(1) + f'(3) ün
değeri nedir?
A) 2
→
29. f :
→
25. f :
lim
h→ 0
E) 6
(1988 - ÖYS)
f(1 + 2h) − (1 − 3h)
h
A) 15
B) 12
C) 9
D) 6
E) 3
(2006 - ÖSS - II)
Teğet ve Normal Denklemleri
L'Hospital Kuralı
6. Soru Tipi:
5. Soru Tipi:
26.
2cos x − 1
lim
değeri nedir?
π tan x − 3
x→
3
B) −
3
2
C) −
D) 2 3
3
4
E) 4 3
(1988 - ÖYS)
27.
lim
x →1
x cos( πx) + 1
değeri nedir?
x −1
1
B)
2
A) 1
C)0
altın nokta yayınları ©
A) − 2 3
30. Yandaki şekilde
y = f(x) eğrisinin bir
parçası ile bu eğrinin
A(2,3) noktasındaki
tegeti verilmiştir.
Teğetin denklemi
y = x+1 ve
g(x)= f(x)(x2−5) ise
A) 7
B) 8
y=f(x)
3
A=(2,3)
2
1
x
1
g'(x) türev fonksiyonunun x = 2 için
değeri nedir?
C) 9
2
D) 10
E) 11
(1980)
31.
1
D) −
2
y
y
E) −1
M(3,2)
2
(1989 − ÖYS)
-3
0
1
y=f(x)
x
3
2
Şekildeki doğrusu, y = f(x) fonksiyonunun
grafiğinin M (3, 2) noktasındaki teğetidir.
28.
lim
ln x
x →1
x2 − 1
A) −
1
2
h (x ) =
B) − 1
C)0
f (x )
olduğuna göre, h'(3) ün değeri
x
nedir? (h'(x), h (x) in türevidir.)
değeri kaçtır?
D)
1
2
E)1
(1991 - ÖYS)
A)
2
9
B) -
5
9
C) -
1
9
D)
1
3
E)
4
3
(1981 - ÖYS)
373
DEĞİŞMEYEN MATEMATİK SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ
32.
35. Gerçel sayılar kümesi üzerinde, tanımlı ve
türevlenebilir bir f fonksiyonu için f(0) = f' (0) = 4
olduğuna göre,
y
g(x) = f(x.f(x)) ile tanımlanan g fonksiyonu
için g'(0) kaçtır?
(2,1)
2
1
A) 0
y
4
D) 12
D) −
C) 2
E) 16
(2007 - ÖSS - II )
Yukarıdaki eğri f (x) fonksiyonuna aittir.
f (x )
g (x ) =
olduğuna göre g (x) fonksix
yonunun x = 2 noktasındaki teğetinin eğimi
kaçtır?
B) 1
C) 8
f(x)
2
A) 0
B) 4
1
2
E) −
Fonksiyona Verilen Bir Noktadan Teğet Olma
1
4
7. Soru Tipi:
(1985 - ÖYS)
33.
36. y < 0 olmak üzere x2 + y2 = 9 çemberinin
y
x = 3 noktasındaki teğetinin eğimi kaçtır?
1
2
3
y=f(x)
3
x
0
-1
A)
A(3,-1)
Yukarıdaki grafikte, A(3, −1) noktası
f(x) fonksiyonunun yerel minimum noktası
ve h (x ) =
f (x )
olduğuna göre,
x
h'(3) ün değeri kaçtır?
(
w w w. t e s l i m o z d e m i r. c o m
1
1
2
B)
B)
1
3
D) 2
C)
1
2
E) 3
(1993 - ÖYS)
37. Denklemi f(x) = sin (cos5x) olan eğrinin x =
noktasındaki normalinin eğimi kaçtır?
A) −
h ' (x )
) ifadesinin türevi
h (x )
A) -1
1
6
4
5
B) −
1
5
C)
1
5
D)
2
5
E)
π
10
4
5
(1993 - ÖYS)
1
3
C)
D)
1
4
E)
1
9
(1998 - ÖYS)
34.
y
f(x)
4
A
38.
1
y = x 2 − 3x + 4
2
eğrisinin hangi noktadaki
teğetinin eğimi m = −
-3
o
1
x
⎛ 2 20 ⎞
A) ⎜ ; ⎟
⎝3 9 ⎠
d
Şekildeki d doğrusu, f(x) fonksiyonunun
grafiğine A noktasında teğettir.
−3) kaçtır?
h(x) = x.f(x) olduğuna göre, h'(−
A) -4
B) -2
C) 0
D) 2
E) 7
(2006 - ÖSS - II)
374
1
olur?
3
⎛ 1 55 ⎞
B) ⎜ ; ⎟
⎝ 3 18 ⎠
⎛ 8 −4 ⎞
D) ⎜ ; ⎟
⎝3 9 ⎠
⎛4 8 ⎞
C) ⎜ ; ⎟
⎝3 9 ⎠
⎛ 2 56 ⎞
E) ⎜ − ; ⎟
⎝ 3 9 ⎠
(1968)
TÜREV VE UYGULAMALARI
⎛ 2 4⎞
39. y = x3 + ax2 + b fonksiyonunun grafiği,
apsisi −4 olan noktada x eksenine teğet
olduğuna göre, b nin değeri kaçtır?
A) 30
B) 24
C) 16
D) −32
43. y = x2 parabolünün üzerindeki A ⎜⎝ , ⎟⎠ nok3 9
tasından çizilen teğetin üzerinde değme noktasından itibaren | AB | = 1 birim olacak şekilde
bir B noktası alınıyor.
E) −48
B nin ve A nın ordinatları farkı kaçtır?
(1998- ÖYS)
A)
5
2
B)
2
5
C)
4
3
D)
3
5
E)
4
5
(1985 - ÖYS)
8. Soru Tipi:
40. y = x3 −3x + 2 eğrisi üzerinde hangi noktadaki teğet OX eksenlerine paraleldir?
A) (1, −1)
B) (1, 0)
C) (−1, 1)
D) (0, −1)
E) (−1,0)
44. a > 0 olmak üzere, y =
(1967)
x3
fonksiyonunun
x
x = a ve x = −a noktalarındaki teğetleri için
aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) Birbirine diktir.
41.
y=
x 2 − ax − 5
fonksiyonunun gösterdiği
x−7
eğrinin, apsisi x = −1 olan noktasındaki
3
teğetinin y = 4 x doğrusuna paralel olması
için a nın alacağı değer, aşağıdaki sayılardan hangisidir?
A) −
68
7
B) − 4
C) 3
D) 4
E)
68
7
altın nokta yayınları ©
B) Birbirine paraleldir.
C) 30° lik bir açıyla kesişir.
D) x ekseni üzerinde sabit bir noktada kesişir.
E) y ekseni üzerinde sabit bir noktada kesişir.
(1990 - ÖYS)
9. Soru Tipi:
(1968)
45. x2 + y2 = 5 dairesinin y = 2x + n doğrusuna
teğet olması için n aşağıdakilerden hangisi
olmalıdır?
A) ±1
B) ±2
C) ±3
D) ±4
E) ±5
(1967)
42.
den
ye,
2
f : x → f(x)=x −2x+3
2
g : x → g(x) = ax + bx + 1 fonksiyonları veriliyor. Bu fonksiyonların grafiklerinde aynı
apsisli noktalardaki teğetlerin birbirine paralel olması için (a, b) ikilisi ne olmalıdır?
A) (1, -2)
B) (2, 3)
D) (2, 1)
C) (-1, 1)
E) (1, 2)
(1981 - ÖYS)
46. Denklemi y =
x2
olan parabol, a nın hangi
a
değeri için, denklemi x − y = 1 olan doğruya
teğettir?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
(1989 - ÖYS)
375
DEĞİŞMEYEN MATEMATİK SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ
y
47.
51. y = x2 +2x+2 parabolünün y = −2x+1 doğrusuna en yakın noktası aşağıdakilerden hangisidir?
A) (2, 1)
B) (2, −2)
C) −2, −2)
T
1
2
x
45°
E) (−2, 2)
D) (1, 2)
0
A
( 1967 )
-1
2
Şekildeki parabolün denklemi y = ax + bx + c
dir. AT doğrusu bu parabolün A noktasındaki
teğeti olduğuna göre,
a + b + c toplamının değeri nedir?
A) − 2
B) −
1
2
C) 0
D)
2
3
52. y =
4
fonksiyonunun başlangıç noktasına en
x
yakın olan noktasının başlangıç noktasına
uzaklığı kaç birimdir?
E) 1
A) 8
(1982 - ÖYS)
B) 4
C) 2
D) 4 2
E) 2 2
(1990 - ÖYS)
48. x2 +y2 = 25 dairesinin A(5;0) noktasındaki
teğetinin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) x −y = 5
B) x +y = 5
C) y −5 = 0
E) x −y = 0
D) x −5 = 0
( 1966 )
w w w. t e s l i m o z d e m i r. c o m
10. Soru Tipi:
53. Yandaki şekilde
2
y = x fonksiyonunun grafiği ile
A(3, 0) noktası
verilmiştir.
Grafiğin A ya en
yakın noktası
P olduğuna göre
|AP| uzaklığı kaç
birimdir?
A) 1
B) 2
y
y=x
P(x,y)
0
C) 3
A(3,0)
D) 2
49. Üzerindeki (4;1) noktasından
x2 + y2 − 4x + 2y −3 = 0 çemberine çizilen
teğetinin denklemi aşağıdakilerden hangisidir.
A) 2x+y −5=0
B) x −y −3 = 0
C) x −2y −5 = 0
D) x+y −6 = 0
2
E) 5
(ÖYS − 1983)
E) x+y −5 = 0
( 1966 )
Ekstremum Noktalar
11. Soru Tipi:
50. y2 = 2x2 −x3 eğrisinin apsisi x = 1 ve odinatı
y = 1 olan noktasındaki teğetinin denklemi
aşağıdakilerden hangisidir?
A) x+2y = 0
B) x −2y+1 = 0
C) 2x −3y +1 = 0
D) x −2y+3 = 0
E) −x+2y+1 = 0
A) 0
B) − 1
C) −
1
4
D) −
1
8
E) −3
( 1975 )
( 1969 )
376
54. y = x2 − | x2 −x | in [0,3] aralığındaki en
küçük değeri nedir?
TÜREV VE UYGULAMALARI
60. Denklemi f(x) =
55. y = (cos x+5) (7−cos x) ifadesinin en büyük
değeri nedir?
A) 48
B) 42
C) 40
D) 36
x 2 + mx
olan fonksiyonun
x−1
x = 3 noktasında ekstremum noktasının
olması için m kaç olmalıdır?
E) 35
A) 2
( 1976 )
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
(1994 - ÖYS)
56. f(x) = x3 −3x +8 fonksiyonunun [−1, 2]
aralığında alabileceği en küçük değer kaçtır?
A) −1
B) 6
C) 8
D)10
E) 12
61. m, n ∈ R olmak üzere f : R → R fonksiyonu
(1990 - ÖYS)
1
f(x) = x 3 − mx 2 + nx ile tanımlıdır.
3
f fonksiyonunun x1 = 2 ve x2 = 3 noktasında
yerel ekstremumu olduğuna göre, n −m
farkı kaçtır?
⎡ π⎤
A) 2
B) 2
C) 3
D) 5
E) 6
(1995 - ÖYS)
y=
x 2 − mx + 10
fonksiyonunun, x = 1 için bir
x−3
maksimum olduğuna göre m, aşağıdakilerden hangi değeri alır?
A) 5
B) 4
C) 3
B) 4
C)
7
2
D) 2
C) 2
E)
7
5
y = x2 −2ax + a eğrilerinin ekstremum noktalarının geometrik yeri aşağıdakilerden
hangisidir?
A) y = −x2 +2x
B) y = −x2 +x
C) y =x2 −2x
D) y =x2 +x
E) y = x2 +2x
E) 1
59. f(x) = x3 −3ax2 +2x −1 fonksiyonunda f'(x) in
yerel (bağıl ) minimum değerinin −1 olması
için a nın pozitif değeri aşağıdakilerden
hangisi olmalıdır?
B) 1
9
2
(1996 - ÖYS)
(1998 - ÖYS)
( 1974 )
A) 0
D)
62. a bir parametre (değişken) olmak üzere,
12. Soru Tipi:
58.
A) − 1
altın nokta yayınları ©
57. y = sin x+2 cos x in ⎢0, ⎥ aralığında aldığı
⎣ 2⎦
en büyük değer kaçtır?
D) 3
E) 4
(1983 - ÖYS)
63. f(x) = x2 −7x + 14 parabolü üzerindeki bir noktanın koordinatları toplamının alabileceği en
küçük değer kaçtır?
A) 10
B) 8
C) 6
D) 5
E) 3
(1996 - ÖYS)
377
DEĞİŞMEYEN MATEMATİK SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ
67.
13. Soru Tipi:
64.
D
y
A(6,3)
F
O
A
.
x
E
B) 3 5
C) 2 3
D) 5
E4
A) 1200
(1991 - ÖYS)
E
[BF] ⊥ [AB]
[OE] ⊥ [OF]
|OA| = 8 birim
|OB| = 27 birim
A
.
8
O
α
⎛ ∧ ⎞
m ⎜ F OB ⎟ = α
⎝
⎠
.
27
B
Yukarıda verilenlere göre, tan α nın hangi
değeri için |OE| + |OF| toplamı en küçüktür?
A) 3
B) 2
C)
2
3
D)
3
4
.B
B) 1250
C) 2300
D) 2350
E) 2400
15. Soru Tipi:
O∈[AB] üzerinde
[AE] ⊥ [AB]
F
.
(1997 - ÖYS)
w w w. t e s l i m o z d e m i r. c o m
65.
.C
Dikdörtgen biçimindeki bir bahçenin [AD] kena−
rının tümü ile [AB] kenarının yarısına şekildeki
gibi duvar örülmüş; kenarlarının geriye kalan
kısmına bir sıra tel çekilmiştir.
Kullanılan telin uzunluğu 120 metre olduğu
2
na göre, bahçenin alanı en fazla kaç m olabilir?
Köşesi A(6, 3) olan şekildeki dik açının kenar−
ları koordinat eksenlerini E ve F de kesmektedir.
Buna göre, |EF| nin en küçük değeri kaçtır?
A) 2 5
.
68. Yandaki x2+y2 = 25
çemberin üzerinde alınan bir P noktasından
(x>0, y>0 bölgesinde)
P
eksenlere paralel çizi- R
lerek elde edilen
a
PQOR dikdörtgeninin
O
Q
alanının maksimum
olması için α nın değeri ne olmalıdır?
A)
5π
12
B)
π
3
C)
π
12
D)
π
6
E) 1
E)
π
4
( 1977 )
(1992 - ÖYS)
Maksimum Minimum Problemleri
14. Soru Tipi:
66. Şekildeki gibi dikdörtgen
biçiminde ve bir kenarında duvar bulunan bir
bahçenin üç kenarına bir
sıra tel çekilmiştir.
Duvar
.
.
.
Kullanılan telin uzunluğu 80 m olduğuna
2
göre, bahçenin alanı en fazla kaç m olabilir?
A) 800
B) 1000
C) 1200
D) 1400
E) 2000
(1987 - ÖYS)
378
69. Bir kenarı y = 4
doğrusu, diğer
kenarı y ekseni ve
bir köşesi de y = x2
eğrisi üzerinde
değişen dikdörtgenlerin en büyük alanlısının alanı ne olur?
A)
16
3
9
B)
D)
14
5
16
2
9
C)
16
9
E) 3 6
( 1977 )
TÜREV VE UYGULAMALARI
70. A ve B noktaları Ox ekseni üzerinde, C ve D
noktaları ise y = 3 −x2 parabolü üzerinde pozitif
ordinatlı noktalar olmak üzere şekildeki ABCD
dikdörtgenleri oluşturuluyor.
y
73.
P
.
H
O
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
(2007 - ÖSS - II)
A) 12
71.
B) 9
C) 8
.
N
.
O
D) 6
E) 4
P
.K
A
4
Yukarıdaki şekilde merkezi O, yarıçapı
|OA| = |OB| = 4 cm olan dörtte bir çember yayı
üzerindeki bir N noktasından yarıçaplara inen
dikme ayakları K ve L dir.
Buna göre, OKNL dikdörtgeninin en büyük
2
alanı kaç cm dir?
A) 2
x
B
B) 3
y
74.
C) 2 3
D) 6
E) 8
altın nokta yayınları ©
4
x
(1993 - ÖYS)
B
L
y=
Denklemi y = x olan şekildeki parabolün A ve
P noktalarının x ekseni üzerindeki dik izdüşümleri sırasıyla B(36, 0) ve H(x, 0) dır.
HBP üçgeninin alanı, x in hangi değeri için
en büyüktür?
Bu dikdörtgenlerden alanı en büyük olanın
alanı kaç birim karedir?
A) 2
A
5
O
Şekildeki P(x , y ) noktası, denklemi
1 1
y = x(5 − x) olan parabol üzerindedir.
x in hangi değeri için x + y maksimum1
1
1
dur?
A) 2,50
B) 2,75
C) 3,00
(1996 - ÖYS)
E) 4,00
Dönüm Noktası
75. Denklemi y= x3 +ax2 +(a+7)x −1 olan eğrinin
dönüm (büküm) noktasının apsisi 1 ise ordinatı kaçtr?
y
3
D) 3,25
(1989 - ÖYS)
16. Soru Tipi:
72.
x
B
A) -2
B) -1
C) 0
D) 1
E) 2
(1993 - ÖYS)
.
O
A(x,0)
2
3
x
2
Şekilde, denklemi x + y = 9 olan dörtte bir
çemberin B noktasının x ekseni üzerindeki dik
izdüşümü A (x, 0) noktasıdır.
Buna göre, OAB üçgeninin alanı x in hangi
değeri için en büyüktür?
A)
3 2
2
B
3 2
4
C)
3 3
4
D) 1
E) 2
(1994 - ÖYS)
76. y = x3 + bx2 +cx −1 fonksiyonunda apsisi x=1
olan nokta dönüm (büküm) noktasıdır?
Fonsiyonun bu noktadaki teğetinin eğimi 1
olduğuna göre c nin değeri kaçtır?
A) 5
B) 4
C) 3
D) 2
E) 1
(1983 - ÖYS)
379
DEĞİŞMEYEN MATEMATİK SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ
77. a ≠ 0 olmak üzere, y = ax3 + bx2 + cx+ d fonksiyonu ile ilgili olarak,
81. k nın hangi aralıktaki değerleri için y =
fonksiyonu daima eksilendir (azalandır)?
I. Büküm (Dönüm) noktası vardır.
A) − ∞ < k < −2
C) − 1 < k < 1
II. Yerel minimum noktası vardır.
III. Yerek maksimum noktası vardır.
B) − 2 < k < −1
D) 1 < k < 2
E) 0 < k < 2
Yargılarından hangisi doğrudur?
A) Yalnız I
B) Yalnız II
D) I ve II
kx + 1
x+k
(1996 - ÖYS)
C) Yalnız III
E) II ve III
(1998 - ÖYS)
19. Soru Tipi:
82. f(x), 0 < x < ∞ için azalan bir fonksiyon
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi aynı
aralıkta artan bir fonksiyondur?
A) f(x) −x
B) f(x2)
C) x −f(x)
Artan ve Azalan Fonksiyonlar
E) [f(x)]3
D) 2f(x)
17. Soru Tipi:
(1983 - ÖYS)
78. Aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi daima
artandır?
1
B) y =
(x − 1)2
D) y =
x
x +1
x −1
2
C) y =
x −1
x +2
E) y = x 2 − 3x + 2
x2 − 1
( 1974 )
79.
2x 3 x 2
−
+ 5 fonksiyonu aşağıdakilerden
f(x) =
3
2
hangisinde azalandır?
⎛ −3
⎞
A) ⎜ , − 1⎟
⎝ 2
⎠
−1 ⎞
⎛
B) ⎜ −1, ⎟
⎝
2⎠
⎛ 1⎞
D) ⎜ 0, ⎟
⎝ 2⎠
⎛ −1 ⎞
C) ⎜ ,0 ⎟
⎝2 ⎠
⎛1 3⎞
E) ⎜ , ⎟
⎝2 2⎠
(2006 - ÖSS - II)
w w w. t e s l i m o z d e m i r. c o m
A) y =
83. f (x) fonksiyonu (a, b) aralığında pozitif
olarak tanımlı ve artan ise aşağıdakilerden
hangisi aynı aralıkta azalandır?
A) 2f(x)
B)
D) f 2(x)
1
f(x)
C) f 3(x)
E)
−1
f 2 (x)
(1985 - ÖYS)
84. 0 < a < b ve ∀ x ∈ [a, b] için f'(x) > 0 olduğuna göre ∀ x ∈ [a,b] için aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?
A) f (x) = f(b)
B) f (x) > f(b)
C) f (x) < 0
D) f (x) >0
E) f (x) > f (a)
(1986 - ÖYS)
18. Soru Tipi:
80. f : R→ R
f (x) = x3 + 6x2 + kx veriliyor.
f(x) fonksiyonu (−∞, +∞) aralığında artan
olduğuna göre, k için aşağıdakilerden
hangisi doğrudur?
A) k = −7
B) k = −1
C) k < −2
D) k < 6
E) k > 12
(1997 - ÖYS)
380
85. f ve g bir l aralığında türevli olan fonksiyonlardır. Bu fonksiyonlar için aşağıdaki bağıntılardan hangisi sağlanırsa g(x) . f(x) çarpımı
l aralığında artandır?
A) f'(x) > g(x)
B) f(x) . g(x) > f'(x) . g(x)
C) f'(x) . f(x)> −f(x) . g'(x)
D) f(x) . g'(x) > f'(x) . g(x)
E) f(x) . g(x) > −f'(x) . g'(x)
(1987 - ÖYS)
TÜREV VE UYGULAMALARI
20 Soru Tipi:
86.
21 Soru Tipi:
y
88.
y
y'=f(x)
-3 -2
-1
0
x
1
x
y'=f'(x)
f'(x)
Yukarıdaki eğriler, y=f(x) fonksiyonu ile
bunun türevlerinin grafikleridir. Bu grafiklerden yararlanarak aşağıdakilerden hangisi
söylenemez?
A) y' = 0 olduğu noktalarda (y) nin minimumu ya da
Yukarıdaki eğri, f(x) fonksiyonunun f'(x)
türevinin eğrisidir. Buna göre aşağıdakilerden hangisi f(x) fonksiyonunun ekstremum
(yerel maksimum, minimum) noktalarından
birinin apsisidir?
B) 0
C) -1
D) -2
maksimumu vardır.
E) -3
(1988 - ÖYS)
altın nokta yayınları ©
A) 1
y'''=f'''(x)
B) y'' = 0 olduğu bir noktalarda (y') nin maksimumu
vardır.
C) y nin minimum, maksimum noktalarında y'' = 0 dır.
D) y'' > 0 olduğu bölgelerde y' artandır.
E) y''' < 0 olduğu bölgelerde y'' eksilendir.
( 1976 )
89. Aşağıda, her noktada türevlenebilir bir f fonksiyonunun türevinin (f' nün) gafiği verilmiştir.
87.
y
y=f'(x)
-3
-1 0
1
4
6
x
Yukarıdaki verilere uygun olarak alınacak
her f fonksiyonu için aşağıdakilerden
hangisi kesinlikle doğrudur?
A) −2 < x< −1 aralığında artandır?
Türevinin grafiği yukarıda verilen f fonksiyonu, hangi x değeri için maksimum değerini alır?
B) 0 < x <3 aralığında azalandır?
A) -3
E) x = −3 te bir yerel maksimumu vardır.
B) -1
C) 1
D) 4
E) 6
(1984 - ÖYS)
C) x =1 de bir yerel maksimumu vardır.
D) x =−1 de bir yerel maksimumu vardır.
( 2007 - ÖSS - II )
381
DEĞİŞMEYEN MATEMATİK SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ
y
90. Yandaki şekil
3. dereceden bir
2
f(x) polinomunun
1
grafiği olduğuna
göre, aşağıdakiler1
-2 -1
den hangisi
yanlıştır?
A) x = − 2 için f (x) = 0 dır.
93.
Yandaki eğri
aşağıdaki
fonksiyonlardan hangisinin
grafiği olabilir?
y
3
x
-4
x
2
1
(x −2 )2 (x +4 )
16
3
2
D) y = (x + 2 ) . (x −4 )
4
A) y = 3 (x − 2 ) (x + 4 )
2
B) x = − 2 için f' (x) = 0 dır.
C) x = 0 için f (x) = 2 dir.
C) y =
D) x = 1 için f (x) = 0 dır.
E) x = − 1 için f' (x) < 0 dır.
(1984 - ÖYS)
B) y =
4
(x + 2 )2 (x − 4 )
3
3
E) y =
(x − 2 )2 (x + 4 )
16
(1983 - ÖYS)
Grafikler
y
94.
22. Soru Tipi:
1
91.
A) y = x 3 − 1
C) y = −x 2 + 2x + 1
−2x + 2
E) y =
x+2
B) y = x 2 −2x +1
x −1
D) y =
x +1
w w w. t e s l i m o z d e m i r. c o m
Yukarıda grafiği çizili olan fonksiyon aşağıdakilerden hangisidir?
O
x
1
Aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi şekildeki
eğrinin karşılığıdır.
A) y =
x −1
x +1
B) y =
D) y =
x −1
x
x
x −1
C) y =
E) y =
x
x +1
x +1
x −1
( 1966 )
(1969)
95.
y
92.
1
x
O
Şekildeki grafik, aşağıdaki fonksiyonların
hangisine ait olabilir?
Grafiği verilen fonksiyon aşağıdakilerden
hangisidir?
A) y = x3 (2−x)
B) y = x (x−2)
C) y =
x2
(2−x)
E) y =x3 (x−2)
D) y = x (x+2)
x −1
x
D) y =
B) y =
x +1
x −1
x +1
x
E) y =
C) y =
x −1
x +1
x
x −1
(1997 - ÖYS)
( 1976 )
382
A) y =
TÜREV VE UYGULAMALARI
y
96.
23 Soru Tipi:
1
-1
0
2
x
3
99. y = (1 −x) (x+3)2 fonksiyonun grafiği aşağıdakilerden hangisi olabilir?
3/4
A)
B)
y
A) y =
x + x −3
B) y =
(x − 2)2
x 2 − 2x − 3
C) y =
2 (x + 2 )
D) y =
E) y =
y
9
x
-3
Şekildeki grafik aşağıdaki fonksiyonlardan
hangisine ait olabilir?
2
C)
y
1
2
x
x
x − 2x − 3
(x − 2 )2
-1
3
(x + 2)2
D)
x 2 − 3x − 2
E)
y
(x − 2)2
3
(1996 - ÖYS)
3
-1
-9
x 2 − x −3
y
9
x
-1
y
x
π
2π
-1
Yukarıda grafiği çizilmiş olan fonksiyonun
aşağıdakilerden hangisidir?
A) y = cosx
B) y = sin x
C) y = tg x
D) sec x
altın nokta yayınları ©
1
x
1
-3
97.
( 1976 )
100. y =
2x − 6
fonksiyonunun grafiği aşağıdakiler
x+2
den hangisidir?
A)
B)
y
y
E) cotg x
2
x
( 1968 )
-2
0
x
3
-3
C)
98.
y
y
y
1
2
-1
1
x
x
-1
1
-3
y
3
-3
x
2
3
x
-3
-3
-1
Yukarıdaki eğrilerden bir y = −x4 +ax2 +b
fonksiyonunun grafiği olduğuna göre a ve b
ne olmalıdır?
A) a = 2 , b = 1
B) a = −2 , b =−1
C) a = 2 , b = −1
D)
D) a = −2 , b = 1
y
E)
4
2
-6 -3
x
E) a = −1 , b =1
(1976 - ÖYS)
( 1969 )
383
DEĞİŞMEYEN MATEMATİK SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ
101. y =
x 2 + 2x
104. y =
fonksiyonunun grafiği aşağı
2
x + 2x + 1
eğrinin y eksenini +8 de kesmesi ve y = x−1
dakilerden hangisidir?
y
A)
y
B)
1
x
-2
y
1
C)
D)
A) 4
x
0
B) 2
D) −2
C) 0
E) −4
( 1978 )
y
1
0
-2
doğrusunu eğik asimptot kabul etmesi için
a nın değeri ne olmalıdır?
1
0
-2
x 2 − ax − 8
fonksiyonunun gösterdiği
x −b
x
x
1
105.
y
E)
x
-1
1
x
2
0
102. y = (x + 3 )(x − 1) fonksiyonunun grafiği
2
(x − 2 )
aşağıdakilerden hangisi olabilir?
y
y
B)
A)
-3
x
1 2
y
C)
1
-1
D)
-2 -1
3
2 3
y
2
x
x
1
-3
x
3
y
-6
Grafiği verilen fonksiyon y =(x+1)2(x−1)(ax+6)
olduğuna göre a nın değeri nedir?
A) −6
B) −3
C) −2
E) 2
106. y = x3 +px2 +qx+r eğrisi için aşağıdakilerden
hangisi yanlış olabilir?
C) y =
1 2
D) 1
(1981 - ÖYS )
A) x eksenini keser
E)
-3
w w w. t e s l i m o z d e m i r. c o m
(1981 - ÖYS )
x3
B) y eksenini keser
D) y =x doğrusunu keser
eğrisini keser
E) y = x2 eğrisini keser
x
( 1978 )
(1985 - ÖYS)
103. y =
a
fonksiyonunun gösterdiği eğrinin
2x − 1
B(1 ;1) noktasından geçmesi için a ne
olmalıdır?
A) ∞
B) 2
C) 1
D) −1
E) 0
( 1966 )
384
107. y =
x2
eğrisi ile y =mx doğrusunun, A(−1,−2)
x +1
nooktasına göre simetrik iki noktada kesişebilmesi için, m nin değeri ne olmalıdır?
A) 1
B)
1
2
C)
3
2
D)
4
5
E) 2
( 1981 )
TÜREV VE UYGULAMALARI
f (x ) = (x − 1) . (2x − t )
2
6.
(
24. BÖLÜMÜN ÇÖZÜMLERİ
)
f (x ) = x 2 − 2x + 1 . (2x − t )
3
= 2 x − t x − 4x 2 + 2 t x + 2x − t
1.
2
= 2 x 3 − (t + 4 )x 2 + 2x (t + 1 ) − t
f(h)
= 3 ⇒ f '(0) = 3 olur
x →0 h
lim
⇒ f ' (x ) = 6x 2 − (2t + 8 )x + 2t + 2
⇒ f " (x ) = 12x − (2t + 8 )
f(x+y)=f(x ) +f(y)+xy
ifadesini x'e göre türev alırsak;
f'(x+y)=f'(x ) + y olur.
x = 0, y = 1 için
f'(1) = f'(0)+1
= 3+1
=4
⇒ f " (0 ) = −2t − 8 = 0
⇒
7.
t =− 4
P (x ) polinomu 2.dereceden olmal ýdýr.
P (x ) = ax 2 + bx + c alýnýrsa,
P ' (x ) = 2ax + b olur.
2.
P (x ) − P ' (x ) = 2x 2 + 3x − 1
f(1 + h) − f(1)
= f '(1) dir.
h→ 0
h
f(x) = 2x 2 + 3 ⇒ f '(x) = 4x
⇒ f '(1) = 4
im
ax 2 + bx + c − 2ax − b = 2x 2 + 3x −1
a x 2 + ( b − 2a )x + c − b = 2x 2 + 3x −1
2
3
1
a = 2, b = 7, c = 6 olur.
3.
⎛ π⎞
f(x) − f ⎜ ⎟
⎝ 4⎠
⎛ π⎞
= f ' ⎜ ⎟ tür.
im
π
⎝ 4⎠
π
x→
x−
4
4
f(x) = e tan x ⇒ f '(x) = e tan x (1 + tan 2x)
π
tan ⎛
π⎞
⎛ π⎞
f ' ⎜ ⎟ = e 4 ⎜1 + tan 2 ⎟
⎝ 4⎠
⎝
4⎠
= 2e
altın nokta yayınları ©
P (x ) = 2x 2 + 7x + 6 polinomunun
katsayýlarý toplamý 2 +7 +6 = 15 tir.
8.
f (3x − 5 ) = 2x 2 + x − 1
x → 2, f (1) = 2.2 2 + 2 −1 = 9
f (3x − 5 ) = 2x 2 + x − 1
⇒ 3.f ' (3x − 5 ) = 4x + 1
x → 2, 3 f ' (1) = 9 ⇒ f ' (1 ) = 3
4.
f ' (1) + f (1) = 3 + 9 = 12
3y − 3yx − 2x = 0
F'
⇒ y'= − x
F' y
=−
−3y − 2 3y + 2
=
3 − 3x 3 − 3x
9.
5.
1 1
1
1
+ = 1 ⇒ = 1−
x y
y
x
1 x −1
=
y
x
x
y=
x −1
−1
−1
1
⇒ f '(2) = 2 = 1
y =
(x − 1) 2
1
y=
f(x)
f '(x).g'(x) − g'(x).f(x)
⇒ y' =
g(x)
g(x)2
y=
4x 2 6x + 2
6x 2 − 9x + 5
(8x − 6)(6x 2 − 9x + 5) − (12x −9)(4x
⇒ y'=
(6x 2 − 9x + 5) 2
2
−6x +2)
gerekli düzenlemeler yapılırsa
y'=
16x − 12
(6x 2 − 9x + 5) 2
olur.
385
DEĞİŞMEYEN MATEMATİK SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ
10.
15.
cos2 3t + sin 2 3t = 1 ⇒ cos 2 3t = 1 − sin 2 3t
(
2
2
⇒ y = 6 cos 3t = 6. 1 − sin 3t
)
x
⇒ x = 3 için
3
y ' = −1 olur.
3
2
11. x = t 3t ⎪⎫ ⇒ dy = 3t − 3 olur.
2
3 ⎬
d2 y
16.
3t + 3
↓
y'
⎛ 3t 2 − 3 ⎞
⎜ 2
⎟
⎝ 3t + 3 ⎠
'
dy '
=⇒
olur.
dx
3t 2 + 3
6t(3t 2 + 3) − 6t(3t 2 −3)
=
olur.
2
dx
(3t 2 + 3) 2. (3t 2 + 3)
=
t = 1 için ise
6.6 − 6.0
62.6
12. y = cotx ⇒ y ' = −
1
sin 2 x
=
6 .6
2
6 .6
=
17.
(
olur.
π
2
π
π
f '(x) = − sin x.(1 + tg 2( .(cosx ) )
2
2
π
π
π
π
π
t '( ) = − .sin (1 + tg 2( .(sin ) )
3
2
3
2
3
π 3
π
(1 + tg 2 )
=− .
2 2
4
3π
3π
.(1 + 1) = −
olur.
=−
4
2
13. f(x) = tg( cos x) ⇒
(
18.
f −1 (0 ) = a ⇒ f (a ) = 0
⇒ n (3a − 1) = 0
⇒ 3a − 1 = 1
2
⇒a=
3
'
1
(0 ) = 2 tür.
⎛ ⎞
f '⎜ ⎟
⎝ 3⎠
(f )
−1
f ' (x ) =
3
⎛ 2⎞
⇒ f'⎜ ⎟ =
⎝3 ⎠
3x − 1
3
=3
2
3⋅ −1
3
O halde,
(f )(0) = 31 olur.
−1 '
İstenen toplam ise,
−1 '
π
14. f '(x) = cos x ⇒ ⎪⎨f( 2 ) = cos( 2) = 0
⎪⎩f(0) = cos(0) = 1
f(x) = cos x ⇒ f '(x) = −sin x
π
f( ) − f(0)
2
π
2
π
cos( ) − cos(0)
2
2
2
= − ⇒sinu =
π
π
π
2
2
2
sinu = ⇒ arcsin =u.olur.
π
π
− sinu =
386
)
d
− sin x
( n(cos x ) )= cos x = − tan x
dx
−1
f (u) = cosu ⇒ f '(u) = −sinu =
2
f '(x) = n(x 2 − 2x + 7) ⇒
2x − 2
f '(x) = 2
olur.
x − 2x + 7
(f )(0) + (f )(0 ) = 32 + 31 = 1
⎧ π
)
1. x 2 + 1 − x (2x )
1
6
w w w. t e s l i m o z d e m i r. c o m
dx 2
d2 y
2
⋅
x +1
⎛ x ⎞
1− ⎜ 2
⎝ x + 1⎟⎠
1
2−2
x = 1 için y ' =
⋅
=0
4
1
1−
4
⇒ y' = −
dx
x
x2 + 1
1
⇒ y' =
⎛ ⎛ x⎞ 2⎞
x2
⇒ y = 6 ⎜1 − ⎜ ⎟ ⎟ ⇒ y = 6 −
6
⎝ ⎝ 6⎠ ⎠
y = t 3t ⎪⎭
y = arc sin
19.
(
f (x ) = ln 3 cos5x
)
= cos5x . n3
⇒ f ' (x ) = − 5 sin 5x. n3
3π
⎛ 3π ⎞
⇒ f ' ⎜ ⎟ = −5 sin
⋅ n3
⎝ 10 ⎠
2
= −5. (−1) . n3 = 5 n3
2
TÜREV VE UYGULAMALARI
20.
d2
dx
2
d
(2sin3x.cos3x.3)
dx
(sin 2 3x) =
26.
d
(3 sin6x) = 3.6.cos 6x
dx
= 18cos 6x
=
im
2cos x − 1 0
= belirsizliði
tan x − 3 0
im
2cos x − 1
−2sin x
= im
tanx − 3 x → π 1 + tan 2x
π
x→
3
π
x→
3
3
π
3
−2sin
−2 ⋅
− 3
3
2
=
=
=
2
4
2 π
1+ 3
1 + tan
3
( )
21.
(f(x).e )= [f(x) + f '(x) ].e
x '
x
tir.
2
d
(x 3.e x )
dx 2
d
= e − x . ⎡(x 3 + 3x 2)e x ⎤
⎦
dx ⎣
= e − x .(x 3 + 3x 2 + 3x 2 + 6x)e x
e− x.
27.
= x 3 + 6x 2 + 6x
x.cos (πx ) + 1 0
=
x −1
0
1.cos (πx ) − x. π sin (πx )
= im
x →1
1
= cos π − π sin π = −1
im
x →1
0
−1
f '(
2+
) =3
3
f '(
2−
) = −3
3
3 ≠ −3 olduğundan bu noktada türev yoktur.
23.
⎧sin x x ≥ 0
sin x = ⎨
⎩ − sin x x < 0
f '(0 + ) = cos0 = 1
⎪⎫
⎬ 1 ≠ −1 olduğundan
f '(0 − ) = − cos0 = −1⎪⎭
altın nokta yayınları ©
22.
2
⎧
⎪⎪3x − 2 x > 3
3x − 2 = ⎨
2
⎪2 − 3x
x<
⎪⎩
3
28.
= im
x →1
nx
2
x −1
1
x
2x
=
0
0
x2 − 1
= im
x →1
x2
2
2 x −1
0
= =0
1
x = 0 noktasında türev yoktur.
29.
24.
im
x →1
x=−1 için fonksiyonu tanımlayalım.
f (x) =8 −x3 −x2 olur.
f (1 + 2h ) − f (1 − 3h ) 0
=
h
0
2.f ' (1 + 2h ) + 3.f ' (1 − 3h )
= im
h→ 0
1
= 2 f ' (1) + 3f ' (1) =5 f '(1) = 15
im
h→ 0
f'(x) = −3x2 −2x
3
f''(x) = − 6x −2
f''(−1) = 6−2 = 4 olur.
30.
25.
f(1) = 2 − 1 + 2 = 3
x = 3 için f (x) = 2 − x + 2
= −2 + x + 2
=x
⇒ f '(x) = 1 ve f '(3) = 1 olur.
f(1) + f '(3) = 3 + 1 = 4
g(x) = f(x)(x 2 − 5)
g'(x) = f '(x).(x 2 − 5) +2xf(x)
g'(2) = f '(2) . ( −1) + 4.f(2)
m T demektir.
= 1.( −1) + 4.3
= −1 + 12 = 11
387
DEĞİŞMEYEN MATEMATİK SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ
31.
35.
l
M(3,2)
α
-3
y=f(x)
2 1
= tür.
6 3
f (x )
f ' (x ).x − f (x )
⇒ h' (x ) =
h (x ) =
x
x2
1
f ' (3 ).3 − f (3 ) 3 ⋅ 3 − 2
=
h' (3 ) =
9
9
1
=−
9
36.
=
h (x ) =
h' (x ) =
f ' (x ).x − f (x ).1
x2
0.2 − 1
=
4
1
=−
4
⇒ y =− 6
f (x )
x
f ' (x ).x − f (x ).1
1
2
mN = −
1
dur.
⎛ π⎞
f '⎜ ⎟
⎝ 10 ⎠
f ' (x ) = cos (cos5x ). (−5 ).sin5x
w w w. t e s l i m o z d e m i r. c o m
33.
=
x = 3 için 3 + y 2 = 9 ⇒ y 2 = 6
F '
2x
x
3
=− =−
y' = − x = −
Fy '
2y
y
− 6
37.
f (x )
⇒ g' (x )
x
f ' (2 ).2 − f (2 )
g' (2 ) =
4
)
g'(0) = f(0).f '(0)
g'(0) = 4.4
= 16
f ' (3 ) = m = tan α =
32. g' (x ) =
g'(x) = (f(x) + x.f '(x) ).f ' (x.f(x) )
g'(0) = (f(0)+0.f(0) ).f '(0.f(0 )
2
2
.
3
g(x) = f (x.f(x) )
π⎞
π
⎛ π⎞
⎛
f ' ⎜ ⎟ = cos ⎜ cos ⎟ . (−5 )sin =1. (−5 ).1 = −5
⎝ 10 ⎠
⎝
2⎠
2
mN = −
38.
x2
3f ' (3 ) − f (3 ) 3.0 − (−1 ) 1
h' (3 ) =
=
=
9
9
9
34.
y=f(x)
4
1
1
=
−5 5
1 2
1
x − 3x + 4 ⇒ f '(x 0) = − demektir.
2
3
f '(x) = x − 3
1
1
f '(x 0 ) = x 0 − 3 = −
x 0 =3 −
3
3
8
x 0 = olur.
3
bu değeri fonksiyonda yerine yazarsak y0 bulunur.
Ama şıklara bakıldığında
8
olan sadece D şıkkı vardır.
x0 =
3
y=
4
.
-3
3
α
1
1
39.
d
md = f ' (−3 )
h (x ) = x ⋅ f (x )
4
= −tan α = − = −1
4
⇒ h' (x ) = 1.f (x ) + x ⋅f ' (x )
⇒ h' (−3 ) = f (−3 ) − 3.f ' (−3 ) = 4 − 3. (−1 ) = 7
388
mT = 0 dýr.
f ' (−4 ) = 0 ve f (−4 ) = 0 olmalýdýr.
f ' (x ) = 3x 2 + 2ax
⇒ f ' (−4 ) = 48 − 8a = 0
⇒a=6
f (−4 ) = 0 ⇒ − 64 + 16.a + b = 0
↓
6
⇒ b = −32
TÜREV VE UYGULAMALARI
40.
44.
⎯→
Teğetler Ox e paralel olduğuna göre eğim 0 dır.
dolayısı ile f'(x0)=0 olmalı
x3
=x2
x
⇒ y ' = 2x
⇒ mT = 2a
x = a > 0 için
y=
f'(x0)=0 3x02 −3=0
x3
= −x 2
−x
⇒ y ' = −2x
⇒ mT = −2 (−a ) = 2a
x0=±1 olur.
x=1 için
y=13-3.1+2
x = −a < 0 için y =
den y= 0 olur.
bu da (1,0) noktası olur.
Eğimler aynı olduğundan paraleldirler.
41.
x 2 − ax − 5
fonksiyonuna x = −1 noktasında
x −7
3
çizilen teğet y = x doğrusuna paralel ise
4
3
'
demektir.
f ( −1) =
4
(2x − a).(x − 7) − (x 2 − ax − 5)
f '(x) =
olur.
(x − 7)2
( −2 − a).( −8) − (1 + a − 5) 3
f '( −1) =
=
4
( −8)2
y=
45. x2 + y2 = 5
dairesi
y = 2x + n doğrusuna teğet
ise, ortak çözümü Δ = 0 dır.
y2 = −x2 + 5
(2 x+n ) 2+x 2 − 5 = 0 olur.
16 + 8a − 1 − a + 5 3
20 + 7a 3
20 + 7a
= ⇒
=
⇒
=3
64
4
16
64
4
4x 2 + 4nx+n 2 + x 2 − 5 =0
5x 2 + 4nx + n 2 − 5 = 0
altın nokta yayınları ©
16
7a + 20 = 48
7a = 28
a = 4olur.
42. mT = f ' (x ) = g' (x )olmalý
⇒ 2x − 2 = 2ax + b
⇒ 2 = 2a ve − 2 = b
⇒ (a,b ) = (1, −2 )
2
⎛ b⎞
Δ ' = ⎜ ⎟ − ac = 0 olmalı (yarım delta)
⎝ 2⎠
4n2 − 5(n 2 − 5) = 0
4n2 − 5n 2 + 25 = 0
n2 = 25 ⇒ n = ∓ 5olur.
46.
43.
y = x2
⇒ y ' = 2x
2 4
⇒ mT = 2. = ⋅
3 3
B (a,b ) olsun n = ?
y=
→ n= ?
n = 4k ve m
⇒
4
9
2
a−
3
⇒ y' =
2x
=1
a
a
2
Değme noktasının apsisi a olup denklemlerde
2
yerine yazılırsa,
4
=
3
2
=m
= 3k alýnabilir.
2
AB = 1
x2
a
⇒x=
b−
m AB = m T
y = x − 1 ⇒ m T = 1 dir.
2
4⎞
2⎞
⎛
⎛
⇒ ⎜b − ⎟ + ⎜a − ⎟ = 1
⎝
⎝
9⎠
3⎠
⇒ 16k 2 + 9k 2 = 1
1
4
b − = 4k
⇒k=
5
9
4
n = 4k =
5
⎛ a⎞
⎜⎝ ⎟⎠
a
2
= −1
a
2
a a
⇒ = −1
4 2
⇒ a = 2a − 4
⇒a=4
(Bu soruyu türev kullanmadan, parabol bilgileri
ile de çözebiliriz.)
389
DEĞİŞMEYEN MATEMATİK SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ
⎛ 1⎞
47. m AT = tan 45 = f ' ⎜⎝ 2 ⎟⎠
50.
y 2 − 2x 2 + x 3 = 0
(1,1) noktasý
−4x + 3x 2
f '(x, y) = −
2y
−4 + 3
−1 1
f '(1, 1) = m T = −
=−
=
2
2 2
y − y 0 = m.(x − x 0)
1
y − 1= (x − 1)
2
⇒ 2y − 2 = x − 1
⇒ − 2 y + x = 0 olur.
⎛ 1⎞
1= f '⎜ ⎟
⎝ 2⎠
f (x ) = ax 2 + bx + c ⇒ f ' (x ) = 2ax + b
⎛ 1⎞
⇒ f '⎜ ⎟ = a + b
⎝ 2⎠
⇒ 1= a + b
f (0 ) = c = −1 olduðundan
a + b + c = 1 − 1 = 0 olur.
51.
y = x2 +2x+2 parabolünün y = -2 x+1 doğrusuna paralel tegetinin P değme noktası parabolün y = -2x+1
doğrusuna en yakın noktasıdır. Bu nedenle,
y' = 2x+2
48. (5, 0 ) noktası biliniyor şimdi eğimi bulalım.
x2 + y2 −25 = 0
2x
2y
x
mT → −
y
5
mT = − = − ∞
0
mT ⇒ −
→
dolayısıyla y paralel bir doğru olmalı
w w w. t e s l i m o z d e m i r. c o m
2x +2 = −2 buradan x = −2 bulunur.
x = −2 değeri y = x2 +2x+ 2 denkleminde kullanılırsa
y =2 bulunur. Aradığımız nokta P (−2, 2 ) olur.
52.
⎛ 4⎞
⎜⎝ x, ⎟⎠ noktasının orijine uzaklığı,
x
A = x2 +
16
x2
dir.
'
32
⎛ 2 16 ⎞
⎜⎝ x + 2 ⎟⎠ = 2x − 3 = 0
x
x
32
⇒ 2x = 3
x
⇒ 2x 4 = 32 ⇒ x = 2
A = 22 +
16
22
= 4 + 4 =2 2
49. Verilen nokta (4, 1)
fonksiyon x 2 + y 2 4x + 2y − 3 =0
2x − 4
f '(x, y) = −
2y + 2
8− 4
4
mT = −
= − = −1
2+2
4
mT = − 1
şimdi eğimi ve bir noktası bilinen doğru denkleminden
( )
P (x, y ) = P x, x 2
AP =
(x − 3 )2 + (x 2 − 0 )
2
S = x 2 − 6x + 9 + x 4
(x
4
)
+ x 2 − 6x + 9 ' = 0
3
⇒ 4x + 2x − 6 = 0
y −y1= m. (x −x1)
y −1 = −1 (x −4) ⇒ y −1 = − x +4
y + x −5 = 0
390
53.
⇒ 2x 3 + x − 3 = 0
⇒ x =1
S = 1− 6 + 9 +1 = 5
TÜREV VE UYGULAMALARI
54.
y = x 2 − x 2 − x in [0,3 ] ⇒ x 2 − x =0 ⇒ x(x −1) =0 ⇒
58.
f(x) =
x1 = 0; x 2 = 1
x 2mx +10
fonksiyonunun
x −3
x = 1 için bir maksimumu olduğuna göre
1
f'(1) = 0 dır.
[0,1] aralýðýnda,
f '(1) =
y = x 2 − ⎡ −(x 2 − x) ⎤ = x 2 + x 2 − x = 2x 2 − x
⎣
⎦
[1,2 ] aralýðýnda y
= x 2 −(x 2 − x) = x 2 −x
b
1
1
[0,1] aralýðýnda x = − 2a = 2.2 = 4
2
f '(1) =
(x − 3)2
(2 − m)(1 − 3) − (1 − m +10)
(1 − 3) 2
−2(2 − m) − 11 + m = 0
2m − 4 + m − 11 = 0
3m − 15 = 0
m =5
+x = x
dür.
1
1
1 1 1 1 1 2
1
min y1 = 2( ) 2 − = 2.
− = − = − =−
4
4
16 4 8 4 8 8
8
[1,2 ] aralýðýn da min y 2 = 1 dir.
min(y1, y 2 ) = y 1 = −
(2x − m)(x − 3) − (x 2 − mx +10)
=0
1
dir.
8
59. f'(x) in yerel minimum değeri
−1 ise f" (−1) = 0 olmalıdır.
55.
y = (cos x + 5 )(7 −cos x)
f(x) = x3 −3ax2 +2x−1
y = 7cos x − cos 2 x + 35 − 5cos x
⇒ f'(x) = 3x2 −6ax +2
⇒ f" (x) = 6x − 6a
2
f (x ) = x 3 − 3x + 8
56.
⇒ f ' (x ) = 3x 2 − 3 = 0
⇒ x = 1 V x = −1
1
-1
f'(x)
-
+
y.max.
+
⇒ f" (−1) = 6 -6a = 0
altın nokta yayınları ©
y = − cos x + 2cos x + 35
−1 ≤ cos x ≤1 ∀x ∈R için cosx = 1 alý rsak
y = − 1+ 2 + 35 = 36 olur.
⇒
60.
x 2 + mx
x −1
(2x + m )(x − 1) − (x 2 + mx )
(x − 1)2
(6 + m ).2 − (9 + 3m ) = 0
=
⇒ f ' (x ) =
y.min.
⇒ f ' (3 )
4
⇒ 12 + 2m − 9 − 3m = 0
⇒ m=3
y = sin x + 2cos x
⇒ y ' = cos x − 2sin x = 0
⇒
cos x = 2sin x
1
⇒
tan x =
2
61.
f ' (2 ) = f ' (3 ) = 0 dýr.
1 3
x − mx 2 + nx
3
⇒ f ' (x ) = x 2 − 2mx + n
f (x ) =
⇒ f ' (2 ) = 4 − 4m + n = 0
f ' (3 ) = 9 − 6m + n = 0
5
⇒ 4m − n = 4
+ n − 6m = −9
1
.
f ' (3 ) = 0 dýr.
f (x ) =
f (1) = 1 − 3 + 8 = 6
57.
a=1
x
2
1
2
5
sin x + 2cos x =
+2 ⋅
=
= 5
5
5
5
− 2m = −5
5
m = ve n = 6
2
5 7
n −m = 6 − =
2 2
391
DEĞİŞMEYEN MATEMATİK SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ
62. y = x2 −2ax +a
66.
⇒ y' = 2x −2a = 0
⇒ x =a
⇒ y = a 2 − 2a 2 + a = −a 2 + a
a
a
O halde istenen geometrik yer
.
.
.
y = −x2 +x olur.
.
b
2a + b = 80 ⇒ b = 80 − 2a
Alan = S = a.b = a. (80 − 2a )
63. y = x2 −7x+ 14 söz konusu nokta (x,y) olsun
A = x+y = x+ x2 −7x+ 14
⇒ S = 80a − 2a 2
⇒ S ' = 80 − 4a = 0
⇒ a = 20
= x2 −6x + 14
⇒ A' = 2x − 6 = 0
⇒x=3
⇒ Smax = 80.20 − 2.20 2
= 1600 − 800
⇒ Amin = 32 −6.3 + 14 = 5
= 800 m 2
64.
AF ile AE en küçük A dan eksenlere indirilen
.
F
. A(6,3)
6
3
.
E
EF
min =
65.
3 5 olur.
E
67.
α
b
y
A
.
.
8
⇒
⇒
sin3 α
cos3 α
tan α =
=
2
3
8
27
b
α
O
8
27
, cos α =
x
y
S=x+y
8
27
⇒ S=
+
sin α cos α
−8cos α 27 sin α
⇒ S' =
+
=0
sin2 α
cos 2 α
⇒ − 8cos 3 α + 27 sin 3 α = 0
sin α =
2a
F
x
392
w w w. t e s l i m o z d e m i r. c o m
dikmeler alınırsa,
27
.
B
a
3a + b = 120 ⇒ b = 120 − 3a
Alan = S = 2a.b = 2a (120 −3a )
⇒ S = 240a − 6a 2
⇒ S ' = 240 − 12a = 0
⇒ a = 20
⇒ Smax = 240.20 − 6.20 2
= 4800 − 2400
= 2400
a
TÜREV VE UYGULAMALARI
71.
68.
R
O
cos α =
B
α
x Q
N
4
a
2
x
5
sin α =
25.x
5
2
O
25 − x 2 =5 sin x
x = 5cos x
− 2a
2 16 − a 2
=0
16 − a 2 − a 2
= 0 ⇒ 16 = 2a 2
16 − a 2
⇒ a = 2 2 ve b = 2 2 olur.
⇒
Smax = ab = 2 2 . 2 2 = 8 dir.
2
A = −x3 + 4x
4
3
2
x=
5
A ' = 0 ⇒ − 3x 2 + 4 = 0 ⇒ x 2 =
altın nokta yayınları ©
4-x2
A = x.(4−x2)
A
K
b
S = a. 16 − a 2 ⇒ S ' = 16 − a 2 + a ⋅
y=x2
x
.
a2 + b 2 = 16 ⇒ b = 16 − a 2
72.
69.
.
S = Alan (OKNL ) = a.b dir.
A(OQPR) = x. 25 − x 2
25
A = 5cos x.5 sin x = sin2x
2
25
A'=
cos2x = 0
4
cos 2x = 0
π
os2x = cos
2
π
x=
olur.
4
A=
.
L
P
5
3
3
.
x
3
Taralı üçgen ikizkenar olmalıdır.
O halde x =
3
3 2
=
2
2
2
4
16 3
(4 − )=
olur.
3
9
3
73.
y=
(x, x)
70.
x
2
(a,3-a )
x
a
H
.
36-x
x
B
a
x . (36 − x )
2
1⎛ 1
⎞
⇒ S' = ⎜
⋅ (36 − x ) + x . (−1 )⎟ = 0
⎠
2⎝2 x
36 − x − 2x
⇒
= 0 ⇒ 36 = 3 x ⇒ x = 12
2 x
S=
A = 2a.(3− a2)
A = 6a −2a3
A'= 6 −6a2 = 0
6 = 6a2 ⇒ a = 1
A = 2a (3 −a2)⇒ A =2.1 (3 −1)
A = 2.2 = 4
393
DEĞİŞMEYEN MATEMATİK SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ
74.
3
2
79. f (x ) = 2x − x + 5 ⇒ f ' (x ) = 2x 2 − x < 0
y = x(5 −x) = 5x −x2
3
A = x+y = 6x −x2
2
⇒ A' = 6 −2x = 0
⇒A=3
f'(x)
75.
1
0
2
-
+
+
0<x<
f " (1) = 0 olmalýdýr.
1
2
f (x ) = x 3 + ax 2 + (a + 7 ) x −1
f ' (x ) = 3x 2 + 2ax + a + 7
f " (x ) = 6x + 2a
f " (1) = 6 + 2a = 0 ⇒ a = −3
80.
f (x ) = x 3 − 3x 2 + 4x − 1
f (1) = 1 − 3 + 4 − 1 = 1
f ' (x ) > 0 olmalýdýr.
⇒ f ' (x ) = 3x 2 + 12x + k > 0
⇒ 12 2 − 4.3.k < 0
⇒ 12 < k
⇒Δ<0
f " (1) = 0 ve f ' (1) = 1 dir.
f (x ) = x 3 + bx 2 + cx − 1
⇒ f ' (x ) = 3x 2 + 2bx + c
⇒ f " (x ) = 6x + 2b
⇒ f " (1) = 6 + 2b = 0 ⇒ b = −3
f ' (1) = 1 ⇒ 3 + 2b + c = 1
⇒ c=4
−6
w w w. t e s l i m o z d e m i r. c o m
76.
f (x ) = x 3 + 6x 2 +kx
81.
y ' < 0 olmalýdýr.
y' =
k. (x + k ) − (kx + 1)
(x + k )
2
=
k2 − 1
(x + k )2
<0
⇒ k2 − 1 < 0 ⇒ k 2 < 1
⇒ − 1< k < 1
82. f ' (x ) < 0 dýr.
3
Şimdi şıkları inceleyelim.
2
77. y = ax + bx + cx + d
f (x ) − x ⇒ f ' (x ) − 1 < 0 azalan
2
y’ = 3 ax + 2bx + c = 0
denkleminin kökleri olmayabilir.
y” = 6ax + 2b = 0 denkleminin kökü vardır. Yani
dönüm noktası kesinlikle vardır.
( )⇒ 2
f x2
(x ) < 0 azalan
2
x .f '
+
−
x − f (x ) ⇒ 1 − f ' (x ) > 0 ar tan.
−
78. f' (x) >0 ise
f(x) artandır.
C şıkkında f '(x) =
3
(x + 2)2
olur.
∀x ∈ R − {2} için f '(x) > 0 olur.
394
83. f (x)> 0 ve f' (x) > 0 dır.
2f (x) ⇒ 2f' (x) > 0 artan
1
−f '(x)
⇒ 2
> 0 azalan
f(x)
f (x)
TÜREV VE UYGULAMALARI
3
de bir mak2
3
simum değeri vardır. Yani f'( ) = 0 olmalı. Bu şartı
2
sağlayan A şıkkıdır.
84. f' (x) > 0 ise f (x) artandır.
92. Grafik incelendiğinde fonksiyonun x =
Dolayısıyla,
a < x <b ⇒ f (a) <f (x) <f (b) olur.
93. f (0) = 3 şartını sadece E deki fonksiyon sağlar.
85. ⎡⎣g (x ).f (x )⎤⎦ ' > 0 olmalýdýr.
g' (x )⋅ f (x ) + g (x ).f ' (x ) > 0
f ' (x )⋅ g (x ) > −f (x )⋅ g' (x )
94. x = 0 düşey asimptottur.
y = 1 yatay asimptottur. x=0 ın düşey asimptot olduğu
tek şık B dir.
86. f' (−2) = 0 olduğundan
x = − 2 de ekstremum vardır.
87.
f ' (−3) = f ' (6) = 0 olduğundan −3 ve 6 da
ekstremum vardır. −3 de türev (−) den (+) ya geçtiğinden yerel minimum, 6 da ise türev (+) dan (−) ye
geçtiği için yerel maksimum vardır.
altın nokta yayınları ©
95. x = 0 düşey asimtot olduğundan A ve B şıkları olabilir.
y=
x −1
eğrisi x eksenini x = 1 de sağ tarafta keser.
x
96. Grafik x eksenini −1 ve 3 de kestiğinden x2 −2x −3
çarpanı olmalı. Yani B ve C olabilir.
y = 1 yatay asimptot olduğundan B deki olabilir.
88. y'' = 0 noktasında y' nin dönüm noktası vardır.
x = −3 noktasından + dan − ye geçtiği
için bu noktada yerel maksimum vardır.
89. f' (x)
97. x=0, π ve 2π değerleri için 0 olan fonksiyon y=sinx tir.
90. f' ( −1) > 0 dır.
Çünkü −1 de f(x) artandır.
98. y = −x4 + ax2 +b olduğuna göre kollar aşağı doğru
olmalı dolayısı ile 2. grafik bunu sağlar.
y = −x4 + ax2 +b ⇒ fonksiyonu x = ±1 de 0 dır.
91. Verilen grafik bir parabol grafiği ve de kollar yukarı
doğru olduğuna göre yanıt B dir.
-1+a+b=0
⇒ a+b=1 de x=0 için y=-1 dir.
Bundan b = −1 olur ve a = 2 bulunur.
395
DEĞİŞMEYEN MATEMATİK SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ
104. y =
→
99. y = (1 −x) (x +3)2 fonksiyonu x = −3 te Ox e teğettir.
x = 0 için y = 9 olur. Bu şartı sağlayan seçenek E dir.
x 2 − ax − 8
fonksiyon y eksenini +8 de kesiyorsa
x−b
x = 0 dır.
8=
02 − a.0 − 8
0−b
y=
x 2 − ax − 8
x −1
⇒
x 2 − ax − 8
∓ x ±x
düşey asimptotu
x −1
x +1− a
2
2x − 6
100. y =
x+2
yatay asimptotu
b = 1 olur.
(1 − a) x − 8
eğik asimtot
∓ (1 − a) x ± (1 − a)
y = 2 dir.
−7−a
x = −2 dir.
x-1=x+1-a
Bu şartları sağlayan tek şık B dir.
1-a=-1
a=2 bulunur.
105. y = (x+1)2(x −1) (ax+6)
101. y =
x 2 + 2x
x 2 + 2x
=
olur.
x 2 + 2x + 1 (x + 1) 2
yatay asimptot
y = 1 dir.
düşey asimptot
x = −1 dir.
Payda (x+1)2 olduğundan fonksiyon x = −1 de baca
yapmaktadır.
w w w. t e s l i m o z d e m i r. c o m
x = 2 için y = 0 dır.
0 = 9. (2a+6) 2n + 6 = 0 a = −3
106. y=x3+px2 +qx + r eğrisi 3. dereceden bir eğri ve de
en az bir x1 kökü vardır.
A ⎯→ x1 kökünden dolayı
doğru
doğru
B ⎯→ x =0 için y = r olur.
doğru
D ⎯→ x1 kökünden dolayı
doğru
E ⎯→ x1 kökünden dolayı
C ⎯→ P, q ve r nin seçimine göre kesişmeyebilir.
102. Paydada (x −2)2 olduğundan x = 2 asimptotunda
baca görüntüsü olacaktır. Yani A ve E olabilir.
Yatay asimptotu y = 1 olacağından A olabilir.
107.
x2
= mx ⇒ x 2 = mx 2 + mx
x +1
⇒ (1 − m) x 2 − mx =0 olur.
bu fonksiyon kökleri x = −1' e göre simetrik ise
103. y =
396
a
a
⇒1=
⇒ a =1 olur.
2x − 1
2 −1
−b
= − 1 dir.
2a
m
= −1 ⇒
2 − 2m
m = 2m − 2
m = 2 olur.